等比数列 寒假练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

2025-2026学年高中数学人教A版选修二 4.3 等比数列 寒假练习 一、选择题 1．河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之一.某洞窟的浮雕共7层，它们构成一幅优美的图案.若从下往上计算，从第二层开始，每层浮雕像的个数依次是下层个数的2倍，且第三层与第二层浮雕像个数的差是16，则该洞窟的浮雕像的总个数为（　　） A．1016 B．512 C．128 D．1024 2．在递增等比数列中，其前项和为，且是和的等差中项，则（　　） A．28 B．20 C．18 D．12 3．设为数列的前n项积，若，且，当取得最小值时，则（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 4．已知等比数列的前项积为，若，则（　　） A． B． C． D． 5．在等比数列中，，公比，则与的等比中项是（　　） A．1 B．3 C． D． 6．在数列中，若，则（　　） A． B． C． D． 7．“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于而早在世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献若第一个单音的频率为，则第四个单音的频率为 （　　） A． B． C． D． 8．若数列满足，则“，，”是“为等比数列”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知正项等比数列中，为前n项和，，则（　　） A．7 B．9 C．15 D．30 10．已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（　　） A．3 B．18 C．54 D．152 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（　　） A．999 B．749 C．499 D．249 12．已知非常数列满足，若，则（　　） A．存在，，对任意，，都有为等比数列 B．存在，，对任意，，都有为等差数列 C．存在，，对任意，，都有为等差数列 D．存在，，对任意，，都有为等比数列 二、多项选择题 13．设数列、都是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（　　） A． B． C． D． 14．已知数列满足，，则（　　） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前n项和 15．已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，则（　　） A．存在公差为1的等差数列，使得 B．存在公比为2的等比数列，使得 C．若，则 D．若，则 16．记正项等比数列的前n项和为，则下列数列为等比数列的有（　　） A． B． C． D． 17．已知正项等比数列，其前项和为，且成等差数列，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 18．已知数列，满足，，，，若，则（　　） A． B． C． D． 三、填空题 19．记为等比数列的前项和，若，，则　 　. 20．设等比数列的前项和为，若，则　 　. 21．设等比数列的公比为2，前项和为，若，则　 　． 22．在等比数列中，，，则等于　 　． 23．已知等比数列的前三项和为，且，则的公比为　 　． 24．已知等比数列满足：，.数列满足，其前项和为，若恒成立，则的最小值为　 　. 四、解答题 25．已知等比数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 26．已知数列的前项和为，，. （1）求的通项公式； （2）设数列满足：，记的前项和为，求. 27．已知数列中，是其前项的和，，. （1）求，的值，并证明是等比数列； （2）证明：. 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和 【解析】【解答】解：设每层浮雕像的个数构成数列{an}(1≤n≤7)，记最低一层为a1， 则由题意知数列{an}是等比数列，其中q=2， 则由a3-a2=16得a1q2-a1q=16 即4a1-2a1=16 解得a1​​​​​​​=8 则. ​​​​​​​故答案为：A 【分析】根据等比数列的定义，通项公式以及前n项和公式求解即可. 2．【答案】A 【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质 【解析】【解答】根据题意得12a7= a8+a9，12=q+q2，解得q=3或q = -4(舍) =1+q3=28. 故选择：A 【分析】由等比数列的通项公式求出q=3，再由等比数列的前n项和公式代入化简求解. 3．【答案】B 【知识点】等差数列的前n项和；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式 【解析】【解答】解：显然，因为，可得， 所以数列是公比为的等比数列， 又因为，则，解得， 所以， 所以 ， 若取得最小值，则为奇数，且取最小值， 结合二次函数知识知时，满足为奇数，且取最小值， 所以当取得最小值时，. 故答案为：B. 【分析】根据题意结合等比数列可得，进而结合指数运算以及等差数列求和可得，分析可得若取得最小值，则为奇数，且取最小值，结合二次函数运算求解即可. 4．【答案】D 【知识点】等比数列概念与表示；等比关系的确定 【解析】【解答】设等比数列的首项为，公比为，则，， AB、，，即， ， 有，，，，AB错误； CD、，，，C错误，D正确. 故答案为：D 【分析】设的首项为，公比为，求出，利用 分析求出，的范围，进而分析选项. 5．【答案】D 【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的性质 【解析】【解答】数列 为等比数列，，与的等比中项是. 故答案为：D 【分析】先求出，再利用等比中项定义求 与的等比中项。 6．【答案】C 【知识点】等比数列的前n项和 【解析】【解答】， 。 故答案为：C 【分析】将 转化为，利用等比数列前n项和公式求解数列 通项。 7．【答案】B 【知识点】等比数列的通项公式 【解析】【解答】由题意可得十三个单音构成首项为 ，公比为 的等比数列{an}， 第四个单音的频率为 故选： B. 【分析】 先将所要解决的问题转化为求首项为 ，公比为 的等比数列，根据等比数列的通项公式得出an，再求出，即可得答案. 8．【答案】A 【知识点】等比数列概念与表示；等比关系的确定 【解析】【解答】充分性： ，，，有，，，是首项，公比的等比数列； 必要性：若 为等比数列 ，设公比为，则，，只有时，才有，必要性不成立. 故答案为：A 【分析】利用等比数列定义分别判断充分性和必要性. 9．【答案】C 【知识点】等比数列的前n项和 【解析】【解答】根据题意，设数列 的公比为q(q>1)， ∴，同理， 由 ， ∴，整理得，解得， ∴. 故选：C. 【分析】根据题意设出公比，利用等比数列前n项和公式将已知条件转化成关于q的方程从而解出q，即可算出 . 10．【答案】C 【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和 【解析】【解答】 ∵......①， ∴......② 由①－②得，，即， ∴公比为3， 当n=1时，，解得， ， 故选：C. 【分析】由递推公式与关系得出数列公比为，再由递推公式当n=1时，求出首项即得 的值 . 11．【答案】A 【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和 【解析】【解答】解：由 得 ， 因此数列{an+1-an}为公比为5，首项为a2-a1=4的等比数列，故an+1-an=4×5n-1 ，进而根据累加法 得an+1=(an+1-an)+(an-an-1)+……+(a2-a1)+a1=4(5n-1+5n-2+……+50)+2=5n+1 ， 由于log5an+1=log5(5n+1) ，又log55n<log5(5n+1)<log5(5×5n) ， 则n<log5(5n+1)<n+1 因此 ，则 ，故 ， 所以 ， 故选：A 【分析】根据递推关系可得{an+1-an}为等比数列，进而可得an+1-an=4×5n-1 ，由累加法可求解an+1=5n+1 ，进而根据对数的运算性质可得，根据裂项求和即可求解. 12．【答案】B 【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；数列的递推公式 【解析】【解答】由题意得 ，令，则， ，，即， 为非常数列， 令，则数列是以 为首项，为公比的等比数列， ， 当，即，时，， 即，数列 是等差数列， 存在，，对任意，，都有为等差数列 . 故答案为：B 【分析】分析得 ，令得，则为等比数列，求得，当时有为等差数列 . 13．【答案】B,D 【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比关系的确定 【解析】【解答】解：设等比数列的公比分别为，可知， 对于A：取，则数列都是等比数列， 可得， 所以数列不是等比数列，故A错误； 对于B：因为，且，所以数列为等边数列，故B正确； 对于C：令m=0时，则，此时，不是等比数列，故C错误； 对于D：因为，且，所以为等比数列，故D正确. 故答案为：BD. 【分析】对A：取特例，分析判断；对B、D：利用等比数列的定义分析判断；对C：取特值，分析判断. 14．【答案】A,D 【知识点】数列的应用；数列的递推公式；数列的前n项和 【解析】【解答】解： 由 得，等式两边同时加3得：， 又因为，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A选项正确； 所以，所以，故B选项错误； 所以， 因为n∈N*，所以2n+1-3>0，2n+2-3>0，所以，即an+1-an<0， 所以数列{an}为递减数列，故C选项错误； 又 故D选项正确； 故选：AD. 【分析】根据已知条件，构造一个新数列，证明其为等比数列，并求得其通项公式，进而求得数列{an}的通项公式，即可判断ABC选项，利用分组求和法求Tn进而判断D选项. 15．【答案】A,B,C 【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和 【解析】【解答】对于A，设数列的首项为，则，解得，即当等差数列首项是138，公差为1时，，故A正确；对于B，设数列的首项为，则，所以，符合题意，故B正确；对于C，要使尽可能大，不妨设，，则有，所以，又，即，所以，所以，所以，故C正确；对于D，，所以，即，例如，，则，故D错误. 故选ABC. 【分析】运用公式法计算A，B选项，根据数列的性质推到C，D选项. 16．【答案】A,B 【知识点】等比数列概念与表示 【解析】【解答】由正项等比数列，则，则>0， =常数，故 是等比数列，故A正确； 同理=常数，得 是等比数列，故B正确； 当公比时，常数，得 不是等比数列，故C错误； 当公比时，常数，得 不是等比数列，故D错误. 故选：AB. 【分析】利用等比数列的定义和性质，逐项进行判断，可得答案. 17．【答案】A,C 【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列的性质 【解析】【解答】设等比数列的公比为，因为成等差数列，所以， 所以，即，解得或； 因为正项等比数列满足，所以； 因为，所以； ； ； 故答案为：AC. 【分析】设等比数列的公比为，再利用成等差数列结合等差中项公式和等比数列的通项公式以及正项等比数列满足，从而得出公比，再结合等比数列前n项和公式得出数列的首项的值，从而得出最终的通项与前n项和得出答案。 18．【答案】B,C 【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；数列的应用 【解析】【解答】，，，数列是以为首项，1为公差的等差数列，， ， ， ， 故答案为：BC 【分析】对 取倒数利用等差数列求通项，进而求出 和判断选项。 19．【答案】31 【知识点】等比数列的前n项和 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：31. 【分析】根据，可先求出q，再求出，即可求出答案. 20．【答案】156 【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的性质 【解析】【解答】解：设，则，可得， 因为为等比数列，则仍成等比数列. 又因为，则，可得， 所以. 故答案为：156. 【分析】利用等比数列前n项和的性质计算即可. 21．【答案】 【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和 【解析】【解答】设等比数列首项为， 公比，， 由得，解得， . 故答案为： 【分析】利用等比数列求和公式 代入 求出 . 22．【答案】27 【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质 【解析】【解答】设等比数列的公比为， 由题意可得，解得， 所以 . 故答案为：27. 【分析】根据等比数列的通项公式列式求解可得公比，再根据等比数列的性质运算求解. 23．【答案】 【知识点】等比数列概念与表示 【解析】【解答】解：设公比是， 根据等比数列的前三项和为， 且， ∴， ， 解得：. 故答案为：. 【分析】根据等比数列前n项和公式求出即可. 24．【答案】 【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质；等差数列与等比数列的综合 【解析】【解答】设等比数列的公比为q， 由已知可得：，解得， 所以， 所以， 所以， 所以， 由对勾函数的性质可得： 当n=3时，取得最小值， 此时取得最大值， 所以， 故答案为： 【分析】根据已知先求得的首项和公比，进而求得通项公式，然后求得，最后利用对勾函数的性质求得的最小值。 25．【答案】（1）解：方法一：设等比数列的首项为，公比为. 由，得，即， 解得， 故. 方法二：设等比数列的首项为，公比为. 由，得， 两式相减得，即，得. 由，得，解得. 故. （2）解：因为， 所以，① .② 由①-②得 ， 故 【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的递推公式 【解析】【分析】(1)方法一：用和表示从而得到关于和q的方程组，解得，利用等比数列的通项公式即可求解. 方法二：利用递推关系求出，结合等比数列的定义求出，再令n=1求出，利用等比数列的通项公式即可求解. （2）利用错位相减法即可求解. 26．【答案】（1）解：①， 当时，②， ①−②得：，即， ，数列是以3为首项，3为公比的等比数列， （2）解：， ， 所以的前项和 【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列与等比数列的综合 【解析】【分析】（1）利用公式和已知条件，求得an与an-1的关系式，进而求得通项公式an； （2）由an求得bn，再运用分类求和的方法求得Tn。 27．【答案】（1）解：由，得， 所以，， 由，得， 所以，. 证明如下： 由，得， 所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以，， 即数列是以为首项，以为公比的等比数列. （2）解：由（1）知，， ，， ， 因为，所以， 于是， 其中， 于是， 所以. 即. 【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的递推公式；数列与不等式的综合 【解析】【分析】(1)根据题意直接求，的值，并结合等比数列的定义分析证明； (2)由（1）知，，整理得，利用放缩证明. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $