4.3等比数列专项检测卷2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 等比数列专项检测卷覆盖定义、通项、求和等核心知识，通过菱形中点四边形面积计算（解答17）、“等比分割数列”新定义（解答19）等题，体现数学眼光观察现实世界与创新思维，适配高二新授课巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|公比计算（题1）、充要条件判断（题4）|基础概念辨析，梯度合理| |多选题|3题|前n项和性质（题9）、公比与单调性（题10）|多角度考查知识关联性| |填空题|3题|正项等比数列基本量（题12）、方程与求和综合（题14）|小综合应用，渗透数学语言表达| |解答题|5题|递推构造等比数列（题15）、新定义创新（题19）|分层设计，如题17结合几何与极限，题19以新定义考查逻辑推理，贴合高考命题趋势|

2026-2027学第一学期高二数学等比数列专项检测卷人教A版 一、单选题 1．在等比数列中，，，则公比（   ） A． B．3 C． D．9 2．已知数列是等比数列且是其前项和，，若，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．在160和之间插入4个数，使这6个数成等比数列，则公比q的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知数列1，，，，4，则是该数列成等比数列的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 5．已知正项等比数列，其前n项和为．若，，则（    ） A． B． C． D． 6．将2，2，4，4，8，16，32，64分为4组，每组2个数，使得每组的2个数之积可构成一个项数为4且公比为（）的等比数列，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．若数列的通项公式为．的最大项为第项，最小项为第项，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则的最小值为4051 二、多选题 9．记为等比数列的前项和，公比为，且，若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，前 项积为 ，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 11．已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．，，成等比数列 D．若，则 三、填空题 12．已知正项等比数列满足，，则______________． 13．已知等比数列，公比，且，则______． 14．已知正项等比数列的前n项和为，，是关于x的方程的两个不等实根，则的最小值为___________． 四、解答题 15．在数列中，，，． (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求的前n项和． 16．已知公比为的等比数列的前项和为，且． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 17．如图，是边长为5的菱形且，取四边形各边中点，，，作第2个四边形，然后再取四边形各边中点，，，作第3个四边形，依此方法一直继续下去. (1)设从菱形开始的前个四边形面积之和为，求和； (2)这个作图过程一直继续下去，所有这些四边形的面积之和将趋于一个常数，求满足的的最小正整数值. 18．已知等比数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前n项和； (3)若存在正整数n，使得成立，求m的取值范围. 19．设数列，若存在公比为的等比数列，使得，其中，则称数列为数列的“等比分割数列”． (1)写出数列的一个“等比分割数列”； (2)若数列的通项公式为，其“等比分割数列”的首项为1，求数列的公比的取值范围； (3)若数列的通项公式为，且数列存在“等比分割数列”，求的最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A B D B A D AD AD 题号 11 答案 BC 1．B 【详解】因为，，所以. 2．A 【分析】由解得,然后根据求和公式建立方程求解即可 【详解】在等比数列中，设公比为, 因为，所以,解得. ,解得. 3．A 【详解】设该等比数列为，，由题意得，, 根据等比数列通项公式代入 可得：， 将、代入上式：， 整理得， 所以． 4．B 【分析】分别判断充分性、必要性是否成立，结合等比数列的定义与性质推导结论. 【详解】首先判断必要性：若数列1，，，，4为等比数列，设公比为，根据等比数列通项公式，第3项，由于，故，必要性成立； 再判断充分性： 若，取特殊值，此时数列是，相邻项的比值不恒定，不满足等比数列的定义，充分性不成立； 综上，是该数列成等比数列的必要不充分条件. 5．D 【详解】因为，所以，则公比， 则，得，因为，所以. 6．B 【详解】给定的数为2，2，4，4，8，16，32，64， 将其转化为以2为底的幂次：， 总乘积为：， 设每组的积构成的等比数列为，项数为4，公比为（）， 则数列可表示为，各项的乘积为，有， 由于所有数均为2的幂次，每组的积也必为2的幂次， 因此设， 故 ，所以为正整数， 则，即，可得， 方程的正整数解只有，， 则有， 等比数列为8，32，128，512 (即) ， 由， 所有数据均被使用，分组合理，所以. 7．A 【分析】根据指数函数的性质及二次函数的性质，结合数列的取值计算即可. 【详解】令，因为，所以，且随的增大而递减， 当时，；当时，；当时，； 则. 数列通项可化为. 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 所以当，即时，，为最小项，即. 所以当，即时，，为最大项，即. 故. 8．D 【分析】根据已知分析得且，结合等比数列的性质及的定义依次判断各项的正误. 【详解】已知等比数列，，，说明与异号，即一项大于 1，一项小于 1， 又，故同号且，结合，若，则，矛盾， 因此，数列单调递减，由此得， A：，，故，错误； B：等比中项公式得， 因为，则，即，错误； C：因为，数列单调递减，又， 当时，当时， 所以，， 因此最大项是，不是，错误； D：若，则最小值为， 等比数列性质，， 因为===， 所以， 已知，故； 因为===， ，故最小值为 4051，正确. 9．AD 【分析】先利用等比数列的通项公式和前项和公式，结合已知条件求出首项和公比，再逐项验证各选项即可 【详解】选项A：由等比数列通项得，即， 前3项和，整理得，解得或， 因为，所以，，A选项正确； 对于B，，故B选项错误； 对于C，，故C选项错误； 对于D，，， 所以，故D选项正确. 10．AD 【分析】A. 利用等比数列性质，若下标和相等则对应项乘积相等，因，故该项正确；B. 将各项用与公比表示后作差，因式分解得差恒为正，故原不等式方向错误；C. 由前项积公式取对数作差，得两式比值与有关，其大小关系随变化而不恒成立，故该项错误；D. 将前项和公式代入作差，化简后差值为负，故原不等式恒成立，该项正确. 【详解】已知是各项为正的等比数列，则. 选项A：根据等比数列性质可知，若，则. 由于，因此，A正确； 选项B：作差比较得， 因为，，，所以差大于0， 即，B错误； 选项C：是前项积，对两边取对数推导得， 即. 若，则； 若，，则 ，C错误； 选项D：等比数列前项和，作差得 ， 因此，D正确. 11．BC 【详解】对于A，当时，无意义，A错误； 对于B， ，B正确； 对于C，若，则，，， 因为，所以，，成公比为的等比数列； 若，则，， ， 所以，所以，，成公比为的等比数列，C正确； 对于D，当时，,对于任意的都满足， 但不一定成立，D错误. 12． 【分析】根据等比数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，， 所以等比数列的公比为， ， ，得， 因为数列是正项等比数列， 所以由. 13．256 【分析】根据题意，得到，，成等比，且公比为，结合等比数列的性质，即可求解. 【详解】因为等比数列中，且公比， 可得，，成等比，且公比为， 又因为，所以可得， 可得． 14． 【分析】由韦达定理得到，结合等比数列求和公式得到，再结合二次函数求最值即可. 【详解】设等比数列公比为，由题意， 由韦达定理得： ，即， ， 代入， 化简得： 令，则得， 二次函数开口向上，对称轴为， 代入得最小值： 所以的最小值为. 15．(1)由题意得，即，因此数列是以为首项，为公比的等比数列． . (2) 【分析】（1）由递推关系构造等比数列即可证明，结合等比数列的通项公式即可求得的通项公式. （2）使用分组求和分别求出等比数列的前项和与常数的前项和，将其相加即可. 【详解】（1）即，所以. （2）由上知， 则 . 16．(1)或． (2) 【分析】（1）由等比数列通项公式和求和公式得到方程组，求出首项； （2），分和两种情况，结合对勾函数性质可得答案 【详解】（1），由，得，又，，即或． 由，得，，或． 或． （2）由，得．由，得，或． 又． 由“对勾函数”的性质易知，当时，单调递增， 所以； 当时，单调递增， 所以， 综上，的取值范围是. 17．(1)， (2)11 【分析】（1）算出菱形面积，根据中点四边形面积是原图的，得到各四边形面积构成首项，公比的等比数列，再利用等比数列求和公式求解； （2）根据极限的思想求出，代入不等式化简求和. 【详解】（1）设第个四边形的面积记为，由， 根据菱形对角线互相垂直平分及中位线性质可知，第二个四边形是邻边长为菱形对角线长一半的矩形， 则； 第三个四边形为与第一个菱形相似的菱形棱长为第一个菱形边长的一半， 则，依次类推，故每一次的面积组成一个数列， 它是以为首项为公比的等比数列. 故连续4个四边形的面积之和， ； （2）由（1）得， 当无限变大时将趋于一个常数 比值，解得， 故满足条件的最小正整数为11. 18．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由已知及等比数列的性质求公比和首项，进而写出等比数列通项公式； （2）讨论n的奇偶性，结合数列通项公式及等差数列前n项和公式求； （3）等比数列前n项和得，且能成立，讨论n的奇偶性，结合的单调性求参数范围. 【详解】（1）设等比数列的公比为q，则， 由，解得， 所以. （2）由（1），得，则， 当n为偶数时，令，则， 当n为奇数时，. 所以. （3）由（1），知， 存在正整数n，使得成立. 当n为偶数时，，， 由，得. 因为单调递增，所以的最小值为， 因为单调递减，所以的最大值为， 所以. 当n为奇数时，，， 由，得. 因为单调递减，所以的最大值为， 因为单调递增，所以的最小值为， 所以. 综上，m的取值范围是. 19．(1).（答案不唯一） (2) (3)5 【分析】（1）由于是公比为2的等比数列，因此“等比分割数列”的公比也取2，易得结论； （2）利用定义得出，然后确定出的最小值即得； （3）用反证法证明时，数列不存在“等比分割数列”，然后对找出“等比分割数列”数列即证． 【详解】（1）由，可以取，得.（答案不唯一）； （2）由得， 所以， 令， 则单调递减，所以的最小值是， 所以公比的取值范围是； （3）首先证明时，数列不存在“等比分割数列”， 假设当时，数列存在“等比分割数列”， 则． 易知， 因为且，则，而，所以， 又因为，所以， 与矛盾， 所以当时，数列不存在“等比分割数列”． 所以， 当时，数列，存在首项为，公比为的数列满足： , 所以时，数列存在“等比分割数列”， 所以的最大值是5. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $