第三章 位置与坐标（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级上册

第三章 位置与坐标复习讲义 教学目标 1.理解有序实数对含义，掌握平面内确定位置需要两个数据，会用定位方法表示位置。 2.认识平面直角坐标系，理解点的坐标意义，熟记各象限及坐标轴上点的坐标特征。 3.掌握点到坐标轴距离、特殊直线上点的坐标特点，能根据条件求出对应点坐标。 4.熟练掌握点关于坐标轴、原点及特殊直线的对称规律，会做图形轴对称变换。 教学重难点 重点： 1.有序实数对的意义，平面直角坐标系构成，各象限、坐标轴上点的坐标特征。 2.掌握点到坐标轴距离计算，熟悉平行坐标轴、象限角平分线上点的坐标特点。 3.牢记点关于x轴、y轴、原点的对称规律，能够写出对应对称点坐标。 难点： 1.区分点到坐标轴的距离与坐标，距离为绝对值，做题容易忽略绝对值造成符号错误。 2.掌握点关于x=m、y=n、象限角平分线的对称，理解推导，避免死记公式。 3.综合运用坐标特征、对称性质，结合条件求解含字母参数点的相关问题。 知识点01确定位置 1.有序实数对定义：有先后顺序的两个数组成的数对，记作，叫做有序实数对。 2.核心性质：数对是有序的，顺序不能互换，与表示平面内两个不同的点。 3.书写规范：用括号把两个数括起来，中间用逗号隔开，格式：。 4.生活中的两类定位模型 定位类型 书写示例 解读规则 行列定位（教室、影院 （4排，6号） 前面数字代表行/排，后面代表列/座位号 经纬定位（地理） （东经，北纬） 先经度，后纬度，依靠两组数据确定地点 关键结论：在平面内确定一个点的位置，必须要有两个数据，仅靠一个数据不能确定唯一位置。 知识点02平面直角坐标系 1.平面直角坐标系的定义 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。 水平的数轴叫做横轴（轴），向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（轴），向上为正方向；两条数轴的公共原点叫作坐标原点。 注意：同一数轴单位长度一致，一般情况下轴、轴的单位长度保持相同。 2.点的坐标 过平面内一点，分别向轴、轴作垂线。垂足落在轴上对应的数是点的横坐标，垂足落在轴上对应的数是点的纵坐标，点坐标记作。 3.象限与坐标轴上点的特征 （1）第一象限：；（2）第二象限： （3）第三象限：；（4）第四象限： （5）轴上的点：，横坐标为任意实数 （6）轴上的点：，纵坐标为任意实数 注意：轴、轴上的点不属于任何象限。 4.坐标系中的特殊直线 （1）平行于轴的直线：直线上所有点纵坐标相等，形式：； （2）平行于轴的直线：直线上所有点横坐标相等，形式：； （3）一、三象限角平分线：点的横坐标与纵坐标相等，直线：； （4）二、四象限角平分线：点的横坐标与纵坐标互为相反数，直线：。 5.点到坐标轴、特殊直线的距离 设点， （1）点到轴的距离：；到直线的距离： （2）点到轴的距离：；到直线的距离： 知识点03坐标系中的点的对称 设平面内任意一点 （1）关于轴对称：对称点 横坐标保持不变，纵坐标变为原来的相反数。 （2）关于轴对称：对称点 纵坐标保持不变，横坐标变为原来的相反数。 （1）（2）总结口诀：关于哪条坐标轴对称，则哪个坐标不变，另一个坐标取相反数。 （3）关于坐标原点对称：对称点 横坐标、纵坐标都变为原来的相反数。 （4）点关于点的中心对称点：。 （5）点关于直线的对称点：。 （6）点关于直线的对称点：。 （7）点关于一、三象限角平分线（直线）对称点：。 （8）点关于二、四象限角平分线（直线）对称点：。 补充：一个图形关于坐标轴做轴对称，只需把图形每一个顶点按对应规则求出对称点，再顺次连接，就得到对称后的图形，图形形状、大小不发生改变。 题型01用有序数确定位置 【例1】根据下列表述，能确定具体位置的是（     ） A．横店电影城1号厅6排 B．曲靖市罗平县 C．北纬，东经 D．南偏西 【例2】在如图所示的字母网格中，每个字母的位置由有序数对（列号，行号）确定．例如，字母“”对应有序数对．现有一个由三个字母组成的英文单词，其字母按顺序分别对应以下有序数对：、、．请根据坐标写出该英文单词：________． 【变式1-1】坐标方法是数学的一个重要方法，除了平面直角坐标系外，还可以用表示方位的角和距离来表示平面内物体的位置．例如，经测学校到遵义市政府的直线距离约3.9公里，其相对位置如图所示，则遵义市政府（点B）相对学校（点A）的位置可用方位坐标描述为（   ） A．（北偏西，） B．（西偏北，） C．（北偏西，） D．（东偏南，） 【变式1-2】在“探索与发现展厅”有一个雷达探测器，如图，雷达探测器测得六个目标点A，B，C，D，E，F，按照规定的目标表示方法，目标点A，B的位置分别表示为，，按照此方法在表示目标C，D，E，F的位置时，点C的位置表示为____________． 【变式1-3】如图是古诗《登飞来峰》，如果“浮”用表示，“上”用表示，那么“升”可以表示为______． 登 飞 来 峰 飞 来 山 上 千 寻 塔 ， 闻 说 鸡 鸣 见 日 升 ． 不 畏 浮 云 遮 望 眼 ， 自 缘 身 在 最 高 层 ． 题型02判断平面直角坐标系中点所在的象限 【例3】下列各点在第二象限的是（     ） A． B． C． D． 【例4】（学年八上·安徽池州部分学校·期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-1】如果，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-2】在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，若，则点A在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-3】如图，每个小正方形的边长均为，下列各点中不会落在正方形框（四个顶点均为格点）内部的是（     ） A． B． C． D． 题型03根据点所在象限求解字母参数 【例5】在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的值可以为________． 【例6】在平面直角坐标系中，已知点，点在第二象限，轴且，则点的坐标为______． 【变式3-1】已知点P的坐标为，且点P在x轴上，则P的坐标为______． 【变式3-2】如果点在第一象限且到x轴，y轴的距离相等，那么点P的坐标是______． 【变式3-3】在平面直角坐标系中，在第四象限内有一点，点到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标为____________． 题型04求点到坐标轴的距离问题 【例7】在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，且到原点的距离为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【例8】点到x轴和y轴的距离相等，则点P的坐标是______． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为1，则m的值为（     ） A．1 B． C．1或3 D．2或3 【变式4-2】已知点在第二象限，且点到轴的距离为，则的值是________． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，点G的坐标为． (1)若点G在x轴上，求点G的坐标； (2)若点G到x轴、y轴的距离相等，求点G的坐标． 题型05根据点的坐标在坐标系中描点作图 【例9】如图是某一中学校园的平面示意图，已知育才楼的坐标是．（图中每个小正方形格的边长为1个单位长度） (1)请你画出该学校平面示意图所在的坐标系； (2)食堂的位置点的坐标是，活动中心的位置点的坐标是，请在图中标出食堂和活动中心的位置； (3)写出校门和艺术中心的坐标． 【例10】某公园有6个景点．如图所示是景点在平面直角坐标系中的分布示意图，景点A的坐标是，景点B的坐标是． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出景点C的坐标； (2)若景点D的坐标为，景点E的坐标为，景点F的坐标为，请在图中的平面直角坐标系中描出点D，E，F． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，，则描错的点的个数是________． 【变式5-2】已知在平面直角坐标系中，有点和点，且，． (1)在平面直角坐标系中描出三个点； (2)点的坐标为_____． 【变式5-3】2025年9月3日举行了纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵，某校航空小组在操场上用5架无人机模拟阅兵中的空中梯队飞行，在预设的平面直角坐标系下，其中三架无人机在某一时刻的坐标分别为． (1)请你根据题目条件，在图中建立平面直角坐标系； (2)已知另外的两架无人机在这一时刻的坐标分别为，请在图中标出的位置．（用小实心圆表示） 题型06平面直角坐标系中点的坐标平移 【例11】已知平面直角坐标系中一点，若将点A向下平移，再向右平移，则可能移动到下列哪一点（    ） A． B． C． D． 【例12】的三个顶点的坐标分别是，，，如果将向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到，则的顶点坐标为______，______，______． 【变式6-1】如图所示，三架飞机P，M，N保持编队飞行，某时刻在直角坐标系中的坐标分别为，30秒后，飞机P飞到的位置，则飞机M，N飞到的位置为_____________，为_____________． 【变式6-2】点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点N，则点N的坐标为_________． 题型07平面直角坐标系中的平移作图 【例13】已知四边形的顶点坐标，将点A向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点B，将点B向下平移3个单位长度得到点C． (1)写出B，C点的坐标并在平面直角坐标系中画出四边形． (2)求四边形的面积． 【例14】如图，在直角坐标系中， (1)请写出各点的坐标． (2)若把向上平移3个单位，再向右平移2个单位得，在 图 中 画 出 变化位置，并 写 出 的坐标． (3)求出 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为． (1)在平面直角坐标系中画出，并求出面积； (2)如图，是由经过平移得到的，若点为内的一点，则点P在内的对应点的坐标（__________，_________）． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点，，的坐标分别为，，，仅用无刻度的直尺完成画图，并回答下列问题（画图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． (1)画出三角形，并直接写出三角形的面积； (2)将线段平移到，点的对应点为点； (3)在轴上画点，使； (4)连接，在线段上画点，使三角形的面积为5． 【变式7-3】在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到． (1)请在单位长度为1的平面直角坐标系中画出； (2)请直接写出，，三点的坐标； (3)请求出的面积． 题型08平面直角坐标系中的对称问题 【例15】若点和关于x轴对称，则的值是______． 【例16】若点与点关于轴对称，则的值为________． 【变式8-1】在平面直角坐标系中，已知点，，，．下列说法正确的是（    ） A．点A与点B关于轴对称 B．点A与点B关于轴对称 C．点A与点B关于直线对称 D．点A与点B关于直线对称 【变式8-2】点关于y轴对称的点的坐标是____________． 【变式8-3】若点和关于x轴对称，则点到坐标原点的距离为___________． 题型09坐标系中求几何图形的面积 【例17】在平面直角坐标系中，若点，点，点在轴上，且三角形的面积为，则点的坐标为____________． 【例18】在平面直角坐标系中，长方形的顶点O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，点B的坐标为．点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿的路线运动，到点B停止；点Q从点C同时出发，以每秒1个单位的速度沿的路线运动，到点B停止．设运动时间为t秒（）． (1)当时，求点P和点Q的路程？ (2)当时，三角形的面积是否为10？ 【变式9-1】在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形和三角形面积相等，则点C的坐标为______________． 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，，且，满足关系式：． (1)填空： ， ； (2)求三角形的面积； (3)若点为轴上一点，且三角形的面积等于三角形的面积，求点的坐标． 【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空：______，_____； (2)若在第三象限内有一点，用含m的式子表示的面积； (3)在（2）条件下，线段BM与y轴相交于，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的5倍时，求点P的坐标． 一、单选题 1．根据下列描述，能确定具体位置的是（     ） A．东经，北纬 B．天桥南边 C．北偏东 D．某电影院第二排 2．已知点 M 的坐标为，则它关于x 轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．点在第一象限，则点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 4．“凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月．”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花．如图，将水仙花图置于正方形网格图中，点均在格点上．若点，，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．在平面直角坐标系中，一只青蛙从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次跳动，每次跳动个单位长度，其坐标为：，，，，，，其行走路线如图所示，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了，，三地的坐标，如图所示（单位：）．笔直铁路经过，两地．计划修一条从到铁路的最短公路，则，间的距离为________． 8．已知点在轴上，则的值为________． 9．如图，已知，则的面积是___________． 三、解答题 10．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、． (1)在图中作，使和关于y轴对称； (2)写出点、、的坐标：（____，____）（____，____）（____，____） (3)点P是x轴上一个动点，请在图中画出点P，使得最小． 11．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于y轴对称的（其中，，分别是A，B，C的对应点）； (2)写出，，三点的坐标： ， ， ； (3)平面内一点关于y轴对称的点的坐标为 ，点关于x轴对称的点的坐标为 ； 12．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”，如：点的“3级关联点”为，即． (1)已知的“5级关联点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“级关联点”位于轴上，求点的坐标． 1．在平面直角坐标系中，点P的横坐标是，且点P到x轴的距离为5，则点P的坐标是（     ） A． B．或 C． D．或 2．将自然数从1开始，按如图所示的规律排列，规定图中第m行、第n列的位置记作，如自然数8的位置是，则自然数的位置记作_______． 3．如图，在网格中画一条线段，连接点和点，然后为内部与该线段相交的个小方格涂色，若连接点和点，并为内部与该线段相交的小方格涂色，要涂______个小方格． 4．如图，、、，，、两点分别在线段、轴上，则的最小值为________． 5．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”，例如的“属派生点”为，即．若点在轴上且不与原点重合，的“属派生点”为，且，则________． 6．如图，在边长为1的正方形网格中，中任意一点经平移后对应点为．已知，，将作同样的平移得到． (1)画出平移后的； (2)直接求出的面积为___________； (3)已知点在轴上，且的面积等于面积的一半，求点的坐标． 7．如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，点C在y轴上，且轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线运动（回到O为止）． (1)求出点A，B的坐标； (2)点P运动t秒后，是否存在点P到x轴的距离为个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．已知均为实数，当平面直角坐标系内的点满足等式时，称点为“星光点”． (1)判断点是否为“星光点”； (2)若点的坐标为，点是“星光点”，问在轴上是否存在一点，使得的面积为10？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 位置与坐标复习讲义 教学目标 1.理解有序实数对含义，掌握平面内确定位置需要两个数据，会用定位方法表示位置。 2.认识平面直角坐标系，理解点的坐标意义，熟记各象限及坐标轴上点的坐标特征。 3.掌握点到坐标轴距离、特殊直线上点的坐标特点，能根据条件求出对应点坐标。 4.熟练掌握点关于坐标轴、原点及特殊直线的对称规律，会做图形轴对称变换。 教学重难点 重点： 1.有序实数对的意义，平面直角坐标系构成，各象限、坐标轴上点的坐标特征。 2.掌握点到坐标轴距离计算，熟悉平行坐标轴、象限角平分线上点的坐标特点。 3.牢记点关于x轴、y轴、原点的对称规律，能够写出对应对称点坐标。 难点： 1.区分点到坐标轴的距离与坐标，距离为绝对值，做题容易忽略绝对值造成符号错误。 2.掌握点关于x=m、y=n、象限角平分线的对称，理解推导，避免死记公式。 3.综合运用坐标特征、对称性质，结合条件求解含字母参数点的相关问题。 知识点01确定位置 1.有序实数对定义：有先后顺序的两个数组成的数对，记作，叫做有序实数对。 2.核心性质：数对是有序的，顺序不能互换，与表示平面内两个不同的点。 3.书写规范：用括号把两个数括起来，中间用逗号隔开，格式：。 4.生活中的两类定位模型 定位类型 书写示例 解读规则 行列定位（教室、影院 （4排，6号） 前面数字代表行/排，后面代表列/座位号 经纬定位（地理） （东经，北纬） 先经度，后纬度，依靠两组数据确定地点 关键结论：在平面内确定一个点的位置，必须要有两个数据，仅靠一个数据不能确定唯一位置。 知识点02平面直角坐标系 1.平面直角坐标系的定义 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。 水平的数轴叫做横轴（轴），向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（轴），向上为正方向；两条数轴的公共原点叫作坐标原点。 注意：同一数轴单位长度一致，一般情况下轴、轴的单位长度保持相同。 2.点的坐标 过平面内一点，分别向轴、轴作垂线。垂足落在轴上对应的数是点的横坐标，垂足落在轴上对应的数是点的纵坐标，点坐标记作。 3.象限与坐标轴上点的特征 （1）第一象限：；（2）第二象限： （3）第三象限：；（4）第四象限： （5）轴上的点：，横坐标为任意实数 （6）轴上的点：，纵坐标为任意实数 注意：轴、轴上的点不属于任何象限。 4.坐标系中的特殊直线 （1）平行于轴的直线：直线上所有点纵坐标相等，形式：； （2）平行于轴的直线：直线上所有点横坐标相等，形式：； （3）一、三象限角平分线：点的横坐标与纵坐标相等，直线：； （4）二、四象限角平分线：点的横坐标与纵坐标互为相反数，直线：。 5.点到坐标轴、特殊直线的距离 设点， （1）点到轴的距离：；到直线的距离： （2）点到轴的距离：；到直线的距离： 知识点03坐标系中的点的对称 设平面内任意一点 （1）关于轴对称：对称点 横坐标保持不变，纵坐标变为原来的相反数。 （2）关于轴对称：对称点 纵坐标保持不变，横坐标变为原来的相反数。 （1）（2）总结口诀：关于哪条坐标轴对称，则哪个坐标不变，另一个坐标取相反数。 （3）关于坐标原点对称：对称点 横坐标、纵坐标都变为原来的相反数。 （4）点关于点的中心对称点：。 （5）点关于直线的对称点：。 （6）点关于直线的对称点：。 （7）点关于一、三象限角平分线（直线）对称点：。 （8）点关于二、四象限角平分线（直线）对称点：。 补充：一个图形关于坐标轴做轴对称，只需把图形每一个顶点按对应规则求出对称点，再顺次连接，就得到对称后的图形，图形形状、大小不发生改变。 题型01用有序数确定位置 【例1】根据下列表述，能确定具体位置的是（     ） A．横店电影城1号厅6排 B．曲靖市罗平县 C．北纬，东经 D．南偏西 【答案】C 【详解】解：平面内确定具体位置需要两个有序的唯一数据， A 选项，横店电影城1号厅6排，缺少具体座位号，无法确定具体位置； B 选项，曲靖市罗平县是一个大范围区域，无法确定具体位置； C 选项，北纬，东经，两个数据可以唯一确定具体位置； D 选项，南偏西，缺少距离信息，无法确定具体位置． 【例2】在如图所示的字母网格中，每个字母的位置由有序数对（列号，行号）确定．例如，字母“”对应有序数对．现有一个由三个字母组成的英文单词，其字母按顺序分别对应以下有序数对：、、．请根据坐标写出该英文单词：________． 【答案】 【详解】解：∵对应的字母为F，对应的字母为A，对应的字母为， 这个英文单词为：． 【变式1-1】坐标方法是数学的一个重要方法，除了平面直角坐标系外，还可以用表示方位的角和距离来表示平面内物体的位置．例如，经测学校到遵义市政府的直线距离约3.9公里，其相对位置如图所示，则遵义市政府（点B）相对学校（点A）的位置可用方位坐标描述为（   ） A．（北偏西，） B．（西偏北，） C．（北偏西，） D．（东偏南，） 【答案】C 【详解】解：由图可知，射线指向正北方向， ∵，且点B在点A的左侧（西方）， 点B在点A的北偏西方向． 又∵学校到遵义市政府的直线距离约3.9公里， ∴遵义市政府（点B）相对学校（点A）的位置可用方位坐标描述为（北偏西，） 【变式1-2】在“探索与发现展厅”有一个雷达探测器，如图，雷达探测器测得六个目标点A，B，C，D，E，F，按照规定的目标表示方法，目标点A，B的位置分别表示为，，按照此方法在表示目标C，D，E，F的位置时，点C的位置表示为____________． 【答案】 【详解】解：根据题意可得点C的位置表示为． 【变式1-3】如图是古诗《登飞来峰》，如果“浮”用表示，“上”用表示，那么“升”可以表示为______． 登 飞 来 峰 飞 来 山 上 千 寻 塔 ， 闻 说 鸡 鸣 见 日 升 ． 不 畏 浮 云 遮 望 眼 ， 自 缘 身 在 最 高 层 ． 【答案】 【详解】解：“浮”在从上往下第行，从左往右第列，坐标为， “上”在从上往下第行，从左往右第列，坐标为， 即：有序数对中，第一个数为从左往右数的列数减，第二个数为减去从上往下数的行数； “升”在从上往下第行，从左往右第列， 故“升”的坐标为. 题型02判断平面直角坐标系中点所在的象限 【例3】下列各点在第二象限的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0． 所以选项A、，横、纵坐标均为正，不符合题意． 选项B、，横坐标为负、纵坐标为正，符合题意． 选项C、，横、纵坐标均为负，不符合题意． 选项D、，横坐标为正、纵坐标为负，不符合题意． 【例4】（学年八上·安徽池州部分学校·期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：因为，， 所以点所在的象限是第二象限. 【变式2-1】如果，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：， ， 由得， 把代入得：， 解得， 点坐标为， 第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正， 点在第二象限． 【变式2-2】在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，若，则点A在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】解：∵点的坐标为，， ∴点的横坐标为正，纵坐标为正， ∴点在第一象限． 【变式2-3】如图，每个小正方形的边长均为，下列各点中不会落在正方形框（四个顶点均为格点）内部的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据网格与平面直角坐标系，可得正方形四个格点顶点的坐标为： ，，，， 正方形内部的点满足：横坐标范围：，纵坐标范围：， 选项：点， ，， 该点落在正方形内部； 选项：点， ，， 该点落在正方形内部； 选项：点， ，， 该点落在正方形内部； 选项：点， ，纵坐标小于正方形下边界， 该点不会落在正方形框内部． 题型03根据点所在象限求解字母参数 【例5】在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的值可以为________． 【答案】任意负数均可，例如 【详解】解：∵ 点在第四象限，第四象限内点的纵坐标小于， ∴， ∴ 可以取任意负数，例如． 【例6】在平面直角坐标系中，已知点，点在第二象限，轴且，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵，轴， ∴点的纵坐标为， ∵， ∴点的横坐标为或， ∵点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 【变式3-1】已知点P的坐标为，且点P在x轴上，则P的坐标为______． 【答案】 【详解】解：点在轴上， ， 解得， 将代入横坐标得， 点的坐标为． 【变式3-2】如果点在第一象限且到x轴，y轴的距离相等，那么点P的坐标是______． 【答案】 【详解】解：∵点在第一象限， ∴，， ∵点到轴，轴的距离相等，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值， ∴， ∴， 移项，合并同类项得， 解得， ∴，， ∴点的坐标为． 【变式3-3】在平面直角坐标系中，在第四象限内有一点，点到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标为____________． 【答案】 【详解】解：设， ∵点到轴的距离为2，到轴的距离为3， ∴，， ∴，， ∵点在第四象限内，第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负， ∴，， ∴点的坐标为． 题型04求点到坐标轴的距离问题 【例7】在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，且到原点的距离为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点在轴负半轴，且到原点的距离为， ∴点的横坐标为， 纵坐标为，即点的坐标为． 【例8】点到x轴和y轴的距离相等，则点P的坐标是______． 【答案】或 【详解】解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， 又点到轴和轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， ∴当时，，，此时点坐标为； 当时，，，此时点坐标为． ∴点的坐标是或． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为1，则m的值为（     ） A．1 B． C．1或3 D．2或3 【答案】C 【详解】解：∵点到轴的距离为1， ∴， ∴或， 解得或. 【变式4-2】已知点在第二象限，且点到轴的距离为，则的值是________． 【答案】1 【详解】解：∵点在第二象限，且到轴的距离为， ∴点的横坐标，且， 可得， 移项，得， 系数化为，得， 当时，纵坐标，符合第二象限点的坐标特征， ∴的值是． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，点G的坐标为． (1)若点G在x轴上，求点G的坐标； (2)若点G到x轴、y轴的距离相等，求点G的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）解：∵点G在x轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点G的坐标为； （2）解：∵点G到x轴、y轴的距离相等， ∴， 解得或， ∴点G的坐标为或． 题型05根据点的坐标在坐标系中描点作图 【例9】如图是某一中学校园的平面示意图，已知育才楼的坐标是．（图中每个小正方形格的边长为1个单位长度） (1)请你画出该学校平面示意图所在的坐标系； (2)食堂的位置点的坐标是，活动中心的位置点的坐标是，请在图中标出食堂和活动中心的位置； (3)写出校门和艺术中心的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)校门的坐标是，艺术中心的坐标是 【分析】 【详解】（1）解：根据育才楼的坐标是得出从育才楼向左移5个单位再向下2个单位即得到坐标原点，画出轴与轴的位置． （2）解：根据（1）中平面直角坐标系以及食堂的位置点的坐标是，活动中心的位置点的坐标是画出食堂以及活动中心如（1）中图所示． （3）解：根据（1）中平面直角坐标系得到校门的坐标是，艺术中心的坐标是． 【例10】某公园有6个景点．如图所示是景点在平面直角坐标系中的分布示意图，景点A的坐标是，景点B的坐标是． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出景点C的坐标； (2)若景点D的坐标为，景点E的坐标为，景点F的坐标为，请在图中的平面直角坐标系中描出点D，E，F． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：如图所示， ， 景点C的坐标为： （2）解：点D，E，F的位置如图所示 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，，则描错的点的个数是________． 【答案】1 【分析】 【详解】解：由图可知：点的坐标为，，，， 根据题意可得描错的点是． 故答案为：． 【变式5-2】已知在平面直角坐标系中，有点和点，且，． (1)在平面直角坐标系中描出三个点； (2)点的坐标为_____． 【答案】(1) 如图所示： (2)或 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：，， 或，即或． 故答案为：或． 【变式5-3】2025年9月3日举行了纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵，某校航空小组在操场上用5架无人机模拟阅兵中的空中梯队飞行，在预设的平面直角坐标系下，其中三架无人机在某一时刻的坐标分别为． (1)请你根据题目条件，在图中建立平面直角坐标系； (2)已知另外的两架无人机在这一时刻的坐标分别为，请在图中标出的位置．（用小实心圆表示） 【答案】(1) 如图，建立平面直角坐标系如图： ； (2)如图，点的位置如图． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 题型06平面直角坐标系中点的坐标平移 【例11】已知平面直角坐标系中一点，若将点A向下平移，再向右平移，则可能移动到下列哪一点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点向下平移，再向右平移， 平移后所得点的横坐标大于，纵坐标小于2， 只有符合要求． 【例12】的三个顶点的坐标分别是，，，如果将向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到，则的顶点坐标为______，______，______． 【答案】 【详解】解：，，， ，，， 即，，， 故答案为：，，． 【变式6-1】如图所示，三架飞机P，M，N保持编队飞行，某时刻在直角坐标系中的坐标分别为，30秒后，飞机P飞到的位置，则飞机M，N飞到的位置为_____________，为_____________． 【答案】 【详解】解：∵飞机P飞到的位置， ∴平移方式为向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴点的坐标为，即，点的坐标为，即． 故答案为：，． 【变式6-2】点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点． 故选C． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点N，则点N的坐标为_________． 【答案】 【详解】解：点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点N， ，， 点N的坐标为,即． 题型07平面直角坐标系中的平移作图 【例13】已知四边形的顶点坐标，将点A向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点B，将点B向下平移3个单位长度得到点C． (1)写出B，C点的坐标并在平面直角坐标系中画出四边形． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)；， 如图所示，四边形即为所求； (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵将点A向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为，即， ∵将点B向下平移3个单位长度得到点C， ∴点C的坐标为，即． （2）解： ． 【例14】如图，在直角坐标系中， (1)请写出各点的坐标． (2)若把向上平移3个单位，再向右平移2个单位得，在 图 中 画 出 变化位置，并 写 出 的坐标． (3)求出 【答案】(1) (2) 如图所示，即为所求，则； (3)7 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：略． （3）解：． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为． (1)在平面直角坐标系中画出，并求出面积； (2)如图，是由经过平移得到的，若点为内的一点，则点P在内的对应点的坐标（__________，_________）． 【答案】(1) 如图所示： (2) 【分析】 【详解】（1）解：； （2）解：由图可知：点的坐标为， ∴向右平移四个单位长度，向下平移三个单位长度即可得到； ∴点P在内的对应点的坐标为； 故答案为： 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点，，的坐标分别为，，，仅用无刻度的直尺完成画图，并回答下列问题（画图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． (1)画出三角形，并直接写出三角形的面积； (2)将线段平移到，点的对应点为点； (3)在轴上画点，使； (4)连接，在线段上画点，使三角形的面积为5． 【答案】(1) 如图，即为所求， (2) 如图，即为所求， (3) 如图，点D即为所求， (4) 如图， ， 【分析】 【详解】（1）解：； （2）略 （3）解：根据平移的性质得， ∴； （4）解：取，连接交于E，点E即为所求； 可证明，则． 【变式7-3】在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到． (1)请在单位长度为1的平面直角坐标系中画出； (2)请直接写出，，三点的坐标； (3)请求出的面积． 【答案】(1) 如图，为所作． (2)，， (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：由图可得，，． （3）解：． 题型08平面直角坐标系中的对称问题 【例15】若点和关于x轴对称，则的值是______． 【答案】 【详解】解： ∵ 点和关于x轴对称， ∴，， ∴． 【例16】若点与点关于轴对称，则的值为________． 【答案】 【详解】解：根据关于轴对称的点的坐标特征：关于轴对称的两点，纵坐标相等，横坐标互为相反数． 点与点关于轴对称， ，， 将，代入得：． 【变式8-1】在平面直角坐标系中，已知点，，，．下列说法正确的是（    ） A．点A与点B关于轴对称 B．点A与点B关于轴对称 C．点A与点B关于直线对称 D．点A与点B关于直线对称 【答案】B 【详解】解：∵点与点的纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴点与点关于轴对称． 【变式8-2】点关于y轴对称的点的坐标是____________． 【答案】 【详解】解：已知点的坐标为，关于轴对称的点，可得点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 【变式8-3】若点和关于x轴对称，则点到坐标原点的距离为___________． 【答案】 【详解】解：由关于轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，得 ， 解得 ，， 即点的坐标为， 点到坐标原点的距离，由勾股定理得 ． 题型09坐标系中求几何图形的面积 【例17】在平面直角坐标系中，若点，点，点在轴上，且三角形的面积为，则点的坐标为____________． 【答案】或 【详解】解：设点坐标为， 点在轴上，点的坐标为， ， 点的坐标为， 点到轴的距离为，即中边上的高为， ， ， 整理得， 或， 解得或， 点的坐标为或． 【例18】在平面直角坐标系中，长方形的顶点O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，点B的坐标为．点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿的路线运动，到点B停止；点Q从点C同时出发，以每秒1个单位的速度沿的路线运动，到点B停止．设运动时间为t秒（）． (1)当时，求点P和点Q的路程？ (2)当时，三角形的面积是否为10？ 【答案】(1)点P路程为，点Q路程为； (2)不为10． 【分析】 【详解】（1）解：∵点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿的路线运动，点Q从点C同时出发，以每秒1个单位的速度沿的路线运动， ∴当时，点P路程为，点Q路程为； （2）解：是，理由如下： 如图， 当时，点P路程为， ∵， ∴， 当时，点Q路程为，即， 此时 ， 即当时，三角形的面积不为10． 【变式9-1】在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形和三角形面积相等，则点C的坐标为______________． 【答案】或或 【详解】解：由题意得，， 计算可得． 当点C在x轴上时， ， ， 解得， 点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， ， ， 解得， 又点C不与点B重合， 点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或． 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，，且，满足关系式：． (1)填空： ， ； (2)求三角形的面积； (3)若点为轴上一点，且三角形的面积等于三角形的面积，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）解：， ，， 解得，； （2）解：根据（1）可得，，， 如图，过点作轴于点， 则， ； （3）解：设点， 则， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空：______，_____； (2)若在第三象限内有一点，用含m的式子表示的面积； (3)在（2）条件下，线段BM与y轴相交于，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的5倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或； 【分析】 【详解】（1）解：， 又，， ，， 解得：，． （2）解：，， ， 点在第三象限， ， ． （3）解：， ， ， 设点的坐标为， ，， ， 由题意：， ， 或， 解得：或， 点的坐标为或． 一、单选题 1．根据下列描述，能确定具体位置的是（     ） A．东经，北纬 B．天桥南边 C．北偏东 D．某电影院第二排 【答案】A 【详解】解：A. 东经，北纬，由两个独立条件确定唯一位置，符合要求； B. 天桥南边仅描述大致方位，不能确定唯一位置，不符合要求； C. 北偏东仅给出方向，不能确定唯一位置，不符合要求； D. 某电影院第二排仅给出排数，均缺少必要定位条件，不能确定唯一位置，不符合要求． 2．已知点 M 的坐标为，则它关于x 轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点的坐标为， ∴它关于轴对称的点的坐标为． 3．点在第一象限，则点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：平面直角坐标系中，第一象限内点的坐标特征为横坐标大于0，纵坐标大于0，即符号符合， 逐个判断选项： 选项A，点的横、纵坐标都为正，符合第一象限点的特征，故该选项符合题意； 选项B，点的横坐标为负，属于第二象限，故该选项不符合题意； 选项C，点的横、纵坐标都为负，属于第三象限，故该选项不符合题意； 选项D，点的纵坐标为负，属于第四象限，故该选项不符合题意． 4．“凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月．”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花．如图，将水仙花图置于正方形网格图中，点均在格点上．若点，，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：已知，： 由横坐标为、横坐标为，得出所在竖直线为轴；、横纵坐标确定每个方格边长为， 则原点在向上1格的位置，从而建立平面直角坐标系． 观察网格，点在原点向右格的位置，因此的坐标为． 5．在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵点的横坐标为， ∴． ∵任意实数的绝对值是非负数， ∴， ∴． ∵点横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限点的坐标特征， ∴点一定在第二象限． 6．在平面直角坐标系中，一只青蛙从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次跳动，每次跳动个单位长度，其坐标为：，，，，，，其行走路线如图所示，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点，，，，，，，，，…， ∴每4个点为一个循环，纵坐标依次为2，2，0，0，每个循环横坐标增加4， ∵， ∴点纵坐标为2，横坐标为， 点的坐标为． 二、填空题 7．勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了，，三地的坐标，如图所示（单位：）．笔直铁路经过，两地．计划修一条从到铁路的最短公路，则，间的距离为________． 【答案】 15 【详解】解：，， 点与点的纵坐标相同， 直线平行于轴，且直线上所有点的纵坐标均为， 公路是从到铁路的最短公路， 根据垂线段最短可知，， 的长即为点到直线的距离， ， 的长为． 8．已知点在轴上，则的值为________． 【答案】 【详解】解：点在轴上， 点的纵坐标为， 即， 解得． 9．如图，已知，则的面积是___________． 【答案】12 【详解】， ∵， ∴C到x轴的距离为， ∴． 三、解答题 10．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、． (1)在图中作，使和关于y轴对称； (2)写出点、、的坐标：（____，____）（____，____）（____，____） (3)点P是x轴上一个动点，请在图中画出点P，使得最小． 【答案】(1) (2)，， (3)或 【详解】（1）略 （2）解：和关于轴对称， 和的每个点坐标只变横坐标， ，，， ，，． （3）解：①为最小，是动点，作点关于x轴的对称点 最小， 三点共线最小， 连接，与交轴的交点即是点，如图所示， ②为最小，是动点，作点关于x轴的对称点， 最小， 三点共线最小， 连接，与交轴的交点即是点，如图所示， 11．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于y轴对称的（其中，，分别是A，B，C的对应点）； (2)写出，，三点的坐标： ， ， ； (3)平面内一点关于y轴对称的点的坐标为 ，点关于x轴对称的点的坐标为 ； 【答案】(1)如图，即为所求； (2)；； (3)； 【详解】（1）解：点A，B，C三点的坐标分别为，，； ∵关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴点，，三点的坐标分别为；；． 作图：在坐标系中描出点，，，并顺次连接，即可得到． （2）解：点，，三点的坐标分别为；； （3）解：∵关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴关于y轴对称的点的坐标为． ∵关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于x轴对称的点的坐标为． 12．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”，如：点的“3级关联点”为，即． (1)已知的“5级关联点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“级关联点”位于轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：点的“5级关联点”是点， ． （2）解：点的“级关联点”是点， ， ． 位于轴上， ， 解得 ， ． 1．在平面直角坐标系中，点P的横坐标是，且点P到x轴的距离为5，则点P的坐标是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】解：∵ 点的横坐标为，点到轴的距离为， 又∵ 平面直角坐标系中，点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值， ∴ 点的纵坐标为或， ∴ 点的坐标为或． 2．将自然数从1开始，按如图所示的规律排列，规定图中第m行、第n列的位置记作，如自然数8的位置是，则自然数的位置记作_______． 【答案】 【详解】解：由图观察可知，奇数列每列第1个数恰好是奇数的平方，，，， 偶数列第1个数刚好是前一列的第一个数字加1，，， 偶数列整个数列都是从上往下进行数字的排列， ，第列第1个数是， 第列第1个数是， 从数到刚好是第个数， 所以在第行，第列，记作． 3．如图，在网格中画一条线段，连接点和点，然后为内部与该线段相交的个小方格涂色，若连接点和点，并为内部与该线段相交的小方格涂色，要涂______个小方格． 【答案】400 【详解】解：根据题意，得，连接点和点，然后为内部与该线段相交的个小方格涂色， 故即纵坐标差的绝对值与横坐标差的绝对值的和，减去两个绝对值的最大公约数， 故连接点和点，并为内部与该线段相交的小方格涂色，要涂小方格的数量为：． 4．如图，、、，，、两点分别在线段、轴上，则的最小值为________． 【答案】12 【详解】解：连接，如图所示： 根据三角形三边不等关系可知：，当点P、N、M三点共线时，取得最小值， ∵、两点分别在线段、轴上，， ∴当时，有最小值，如图， ∵、、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为12． 5．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”，例如的“属派生点”为，即．若点在轴上且不与原点重合，的“属派生点”为，且，则________． 【答案】 【详解】解：设点的坐标为（），则的坐标为（）， 则，， 由， 可得， 则， 解得． 6．如图，在边长为1的正方形网格中，中任意一点经平移后对应点为．已知，，将作同样的平移得到． (1)画出平移后的； (2)直接求出的面积为___________； (3)已知点在轴上，且的面积等于面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）略 （2）． （3）∵以为底，高为点到轴的距离， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∵点， ∴或． 7．如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，点C在y轴上，且轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线运动（回到O为止）． (1)求出点A，B的坐标； (2)点P运动t秒后，是否存在点P到x轴的距离为个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【详解】（1）解：∵， ，， ，， ∴，； （2）解：存在． ①当点P运动到上时，，根据题意得： ，解得，不符合题意，舍去； ②当点P运动到上时，，根据题意得： ，解得， ∴点P的坐标为； ③当点P运动到上时，，根据题意得： ，解得， ∴点P的坐标为； ④当点P运动到上时，，根据题意得： ，解得，不符合题意，舍去； 综上所述，满足条件的点P的坐标为：或． 8．已知均为实数，当平面直角坐标系内的点满足等式时，称点为“星光点”． (1)判断点是否为“星光点”； (2)若点的坐标为，点是“星光点”，问在轴上是否存在一点，使得的面积为10？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点是“星光点” (2)存在，点的坐标为或 【详解】（1）解：， ， 点是“星光点”． （2）解：存在． 设点，     是“星光点”， ， 解得， ． ， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $