第二章 机械振动（举一反三·专项训练）物理人教版选择性必修第一册

第二章 机械振动 【题型1 简谐运动综合辨析】 1 【题型2 单摆模型基础计算】 1 【题型3 等效单摆（类单摆）】 6 【题型4 实验：用单摆测量重力加速度】 10 【题型5 阻尼、受迫振动与共振综合】 14 【题型6 简谐运动与单摆综合计算题】 22 【题型1 简谐运动综合辨析】 1．如图所示，弹簧振子在B、C两点之间做简谐运动，其平衡位置为O点。已知B、C相距30cm。从小球经过O点时开始计时，经过1.0s第二次到达B点。取向左为正方向，下列说法正确的是（　　） A．小球振动的周期一定为0.8s B．小球振动的振幅为0.3m C．1.8s末，小球一定在平衡位置 D．弹簧振子振动方程可能为x=﹣0.15sin（2.5πt）m 2．如图甲所示为一列简谐横波在t=7s时刻的波形图，波的传播速度为3m/s，图中 a、b 的位移均为5cm，质点c的位移为零；图乙为该波传播介质中某一质点的振动图像，其振幅为10cm。已知从t=7s起，质点b较质点a先回到平衡位置，则下列说法正确的是（　　） A．图乙可能是c的振动图像 B．t=7s时，a与b的相位差的绝对值为π C．从t=7s时起，每经，a 回到平衡位置 D．从t=7s时起，a 在内，经历的路程为 3．某学生自制简谐运动轨迹描绘装置如图甲所示，滑块在弹簧作用下水平振动，画笔在匀速移动的纸面绘制轨迹如图乙所示（A、B为最左端位置，C为最右端位置）。纸张竖直向上匀速移动，A、C竖直距离为8.00cm，下列说法正确的是（　　） A．画笔经过A点时，滑块速度最大 B．画笔从A画到B经历了一个周期 C．滑块振幅为8.00cm D．画笔从A画到C的过程中滑块的加速度先变大再变小 4．如图甲所示，弹簧振子以点为平衡位置，在、两点之间做简谐运动。振子的位移随时间的变化如图乙所示，则由图可知（　　） A．时，振子的速度方向沿负方向 B．时，振子的回复力方向沿正方向 C．到的时间内，振子通过的路程是 D．到的时间内，振子的动能逐渐减小 5．如图1所示，底端固定在水平面上的轻弹簧竖直放置，将一小球轻轻放在弹簧上端，放手后，小球做简谐运动的图像如图2所示。不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球做简谐运动的振幅为8cm B．在0.3s～0.9s的时间内，小球速度先增大后减小 C．小球在任意0.3s的时间内运动的路程均为4cm D．时，小球的加速度大小为 【题型2 单摆模型基础计算】 6．长为的轻绳一端固定在点，另一端系一个质量为的小球。重力加速度为，不计空气阻力。 （1）如图1所示，将小球拉至某一位置，轻绳与竖直方向夹角为，静止释放小球。 a．求小球运动到最低点时受到绳的拉力大小； b．若较小，释放后小球做简谐运动。求一个周期内绳对小球拉力的冲量大小。 （2）如图2所示，使小球在水平面内做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向夹角为，求小球运动的周期。 7．假如宇航员在月球上用单摆测量月球表面的重力加速度。如图甲所示，将力传感器（未画出）固定在点，将摆球通过不可伸长的轻细线悬挂在传感器上。现将质量为的摆球拉到点由静止释放，摆球将在竖直面内的、之间来回摆动，其中点为运动中的最低位置，摆角为。图乙为细线对摆球的拉力大小F随时间变化的曲线（图中已知，、未知），已知单摆摆长为L，不计一切阻力。求： （1）单摆周期和月球表面的重力加速度； （2）与的大小。 8．如图，轻绳上端固定在点，下端将质量的小球悬挂在点。质量的玩具子弹以的速度射向小球，与小球碰撞后，又以的速度弹回。已知绳长为取，不计空气阻力及小球大小。求： （1）碰撞后瞬间小球达到的速度。 （2）碰撞后，小球向右摆动到最高点时相对于A点的高度 （3）从碰撞后瞬间开始计时，小球经过多长时间第一次回到点。 9．如图甲是用力传感器测量单摆做简谐运动时细线对摆球拉力大小的装置图，图乙是拉力大小随时间变化的曲线，其中的最大值为。已知摆球质量为，重力加速度为，不计摆线质量及空气阻力。求： （1）单摆摆长； （2）的最小值。 10．正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时，第21次通过B点用时30 s；球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1 m，当地重力加速度g取π2（m/s2）；根据以上数据，求： （1）小球运动的周期T是多少？ （2）房顶到窗上沿的高度h是多少？ 【题型3 等效单摆（类单摆）】 11．如图甲所示，一可视为质点的小球在光滑圆弧曲面AOB上做简谐运动，圆弧轨道对小球的支持力大小F随时间t变化的曲线如图乙所示，图中t=0时刻小球从A点开始运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．该圆弧轨道的半径为 B．小球的质量为 C．小球在A点所受的回复力为零 D．t0时刻小球的动能为零 12．惠更斯发现“单摆做简谐运动的周期T与重力加速度的二次方根成反比”。为了通过实验验证这一结论，某同学创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境：如图1所示，在水平地面上固定一倾角可调的光滑斜面，把摆线固定于斜面上的O点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至A点，静止释放后，摆球在ABC之间做简谐运动，摆角为，在某次实验中，摆球自然悬垂时，通过力传感器（图中未画出）测得摆线的拉力为；摆球摆动过程中，力传感器测出摆线的拉力随时间变化的关系如图2所示，其中、、均已知。当地的重力加速度为g。下列选项正确的是（　　） A．多次改变图1中角的大小，即可获得不同的等效重力加速度 B．在图2的测量过程中，单摆n次全振动的时间为 C．多次改变斜面的倾角，只要得出就可以验证该结论成立 D．在图2的测量过程中，满足关系 13．如图所示，质量m=1kg小球用两根不可伸长的光滑绝缘细线悬挂在水平天花板上，ab间距为。小球静止时，细线Oa与ab间夹角为53°，细线Ob与ab间夹角为37°。当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与ab交点的单摆，重力加速度g=10m/s2，π2取10，sin37°=0.6，cos37°=0.8。则下列说法正确的是（　　） A．小球静止时，a端拉力小于b端拉力 B．小球摆动周期为2s C．小球摆到最低点时，小球所受合外力不为0 D．摆角变小，周期变大 14．如图所示，质量为，长为的铜棒，用长度也为的两根轻导线水平悬吊在竖直向上的匀强磁场中，未通电时，轻导线静止在竖直方向，通入大小为的恒定电流后，棒向纸面外偏转的最大角度为，忽略一切阻力，已知重力加速度为g。则（　　） A．棒中电流的方向为 B．磁场的大小为 C．磁场的大小为 D．保持电流的大小方向恒定，在外力作用下，将ab棒拉到角时静止释放，则ab棒来回摆动的周期为 15．如图所示，光滑的圆弧槽的半径为R（R弧MN），A为弧形槽的最低点，小球B放在A点正上方离A点的高度为h，小球C放在M点，同时释放两球，使两球正好在A点相碰，则h应多大？ 【题型4 实验：用单摆测量重力加速度】 16．在“用单摆测重力加速度”实验中： （1）当单摆摆动稳定后，用秒表测量时间t，秒表的示数如图所示，则__________s。 （2）用游标卡尺测量摆球直径。摆球直径__________cm。 （3）若摆线长为L，摆球直径为D，从0数起，摆球n次经过最低点所用时间为t，写出重力加速度的表达式__________。 （4）同学测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值，原因可能是__________ A．开始摆动时振幅较小 B．开始计时时，过早按下停表 C．测量周期时，误将摆球次全振动的时间记为n次全振动的时间 D．测量摆长时，以悬点到小球下端边缘的距离为摆长 17．实验小组的同学们用图甲所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验。 （1）在这个实验中，应该选用下列哪两组材料构成单摆（　　）（填选项前的字母）。 A．长约1m的细线 B．长约1m的橡皮绳 C．直径约1cm的均匀铁球 D．直径约1cm的塑料球 （2）将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是（　　）（填选项前的字母）。 A．测出摆线长作为单摆的摆长 B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之在竖直平面内做简谐运动 C．在摆球经过平衡位置时开始计时 D．用停表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期 （3）王同学多次改变单摆的摆长并测得相应的周期，他根据测量数据作出了如图乙所示的图像，横坐标为摆长，纵坐标为周期平方。若图线斜率为k，则当地的重力加速度__________（用k表示）。 （4）上题中，在描点时若误将摆线长当做摆长，那么画出的直线将不通过原点，由图线斜率得到的重力加速度将因此而产生哪一种结果？（　　） A．偏大 B．偏小 C．不变 D．都有可能 （5）该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度。他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期，然后把摆线缩短适当的长度，再测出其振动周期。用该同学测出的物理量表达重力加速度为__________。 18．在利用单摆实验测量重力加速度时，某同学想改变传统秒表计时的方式，改为使用霍尔元件和单片机进行计时。按图乙方式将霍尔元件置于磁性摆球静止时的正下方，当小球做单摆运动经过最低点时，霍尔传感器产生脉冲信号并发送给单片机，单片机接收信号并计时，并将数据传输给电脑和手机，实时显示测量结果并分析处理和存储数据。 （1）实验前，再用刻度尺测出绳长为L，用游标尺测出摆球的直径d； （2）电脑将单片机传输的计时数据处理后得到电压的脉冲信号随时间t的变化图线如图丙所示，则该单摆的周期为__________； （3）最后根据测量得到单摆的摆长和运动周期，计算出重力加速度，其表达式为g＝__________。（用本题中涉及的符号表示） （4）若某次实验找不到磁性小球，只有一个不规则的小磁铁，将小磁铁用细线悬挂起来做成单摆，取不同摆长、……进行n次测量，得周期、……，以测量的绳长L为横坐标，为纵坐标，作出图线，如图丁所示，应为图线__________（填“a”“b”或“c”）。使用图像法处理数据测重力加速度，不规则小磁铁的重心不确定，这对测量结果是否有影响？__________（填“是”或“否”） 19．在“用单摆测量重力加速度”的实验中： （1）为了利用单摆较准确地测出重力加速度，可选用的器材有__________； A．20cm长的结实细线、小木球、秒表、米尺、铁架台 B．100cm长的结实细线、小钢球、秒表、米尺、铁架台 C．100cm长的结实细线、大木球、秒表、50cm量程的刻度尺、铁架台 D．100cm长的结实细线、大钢球、大挂钟、米尺、铁架台 （2）利用如图方式测量单摆摆长为__________cm； （3）某同学想在家里做“用单摆测定重力加速度”的实验，但没有合适的摆球，他找到了一块大小约为3cm、外形不规则的大理石代替小球，他设计的实验步骤如下： A．将石块和细尼龙线系好，结点为，将尼龙线的上端固定于点，如图所示； B．用刻度尺测量间尼龙线的长度作为摆长； C．将石块拉开一个大约的角度，然后由静止释放； D．从摆球摆到最高点时开始计时，测出30次全振动的总时间，由得出周期； E．改变间尼龙线的长度再做几次实验，记下每次相应的和； F．求出各组的和的值，作为计算时用的数据，代入公式，再取所求得的各个重力加速度的平均值。 ①该同学以上实验步骤中有重大错误的两项是__________；（填相应的字母） ②该同学用的长作为摆长，这样做引起的系统误差将使重力加速度的测量值比真实值__________（填“偏大”或“偏小”）； ③为解决摆长无法准确测量的困难，可采用图像法，以为纵轴，以为横轴，作出多次测量得到的图线，求出图线斜率，进而求得__________（用表示），值不受悬点不确定因素的影响，因此可以解决摆长无法准确测量的困难。 20．某同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验时： （1）如果他测得的g值偏小，可能的原因是__________ A．悬点到摆球最低点的距离为摆长 B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了 C．实验中误将49次全振动次数记为50次 （2）在某次假期夏令营游学活动中，有两位同学分别去参观北京大学和武汉大学的物理实验室，各自在实验室利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长L的关系”，并用计算机绘制了如图甲所示的图像。由图可知，去北京大学的同学所测实验结果对应的图线是___________（填“A”或“B”） （3）另外，在武汉大学做探究的同学还利用计算机绘制了他实验用的a、b两个摆球的振动图像，如图乙所示，则下列说法正确的是___________ A．a摆球的摆长比b摆球小 B．时，b摆球的加速度为0 C．a、b两个摆球的振动周期之比 【题型5 阻尼、受迫振动与共振综合】 21．为了能观察到某玻璃杯在声波驱动下发生的振动，一同学在杯中放入一根如图所示的质量很小的吸管并靠近杯子拉动特制琴弦，发现吸管会发生明显的摆动，逐渐改变琴弦振动的频率，该玻璃杯会破碎。关于此现象，下列分析正确的是（　　） A．吸管的摆动属于受迫振动 B．该玻璃杯振动的频率比琴弦振动的频率大 C．增大琴弦振动的频率，该玻璃杯的振幅一定变大 D．该玻璃杯破碎时不一定发生了共振 22．工业上筛选矿石的筛子可以简化为如图所示的模型，筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图甲所示。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高；增加筛子（连同筛子里边的矿石）的质量，可增大筛子的固有周期。现在，在某电压下偏心轮的转速是30r/min。为了使筛子的振幅增大，可以（　　） A．增大电压 B．减小电压 C．增加筛子（连同筛子里边的矿石）质量 D．减小筛子（连同筛子里边的矿石）质量 23．延安某黄土边坡存在深层蠕滑风险。科研团队部署了一种改进型惯性式位移传感器：将质量为m的金属块通过两根相同的轻质弹簧（劲度系数均为k）水平连接于固定支架两端，初始时系统处于平衡。当边坡发生微小形变时，支架整体产生缓慢位移，而金属块因惯性滞后，其相对位移实际运行中发现，由于黄土颗粒摩擦和空气阻尼，系统存在微弱阻力，且雨季时边坡常受周期性降雨入渗诱发的低频振动激励频率约为（0.2Hz），已知该振子无阻尼固有频率为。下列说法正确的是（　　） A．若忽略阻尼，以地面为参考系，金属块的运动方程为 B．当边坡受频率为0.5Hz的外部扰动时，系统振幅达到最大，可能发生共振 C．由于阻尼存在，系统自由振动的机械能不断减小，但振动周期略大于 D．在长期监测中，若记录到金属块相对位移呈指数衰减的正弦波，则说明边坡已停止形变且无外部激励 24．如图所示为两个单摆的受迫振动的共振曲线，则下列说法正确的是（　　） A．若两个受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线I表示月球上单摆的共振曲线 B．若两个受迫振动是在地球上同一地点进行，则两个摆长之比LI∶LII=25∶4 C．图线II若表示是在地面上完成的，则该单摆摆长约为1m D．若摆长均为1m，则图线I表示是在地面上完成的 25．如图所示，一根绷紧的水平绳上挂五个摆，摆球质量均相同，先让A摆振动起来，其他各摆随后也跟着振动起来（　　） A．其他各摆振动周期跟A摆相同 B．E摆的驱动力频率最大 C．其他各摆振动的振幅大小不同，E摆的振幅最大 D．B、C、D三摆振动的振幅相同 【题型6 简谐运动与单摆综合计算题】 26．简谐运动与匀速圆周运动具有巧妙的联系。 （1）如图1所示，固定在竖直圆盘上的小球A随着圆盘以角速度沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动。用竖直向下的平行光照射小球A，在圆盘下方的屏上可以观察到小球A在x方向上的“影子”的运动。 a、请根据简谐运动的运动学特征（即做简谐运动的物体的位移x与运动时间t满足正弦函数规律），证明：小球A的“影子”以圆盘圆心在屏上的投影点O为平衡位置做简谐运动。 （2）未来人类设计的穿过地球的真空列车隧道，可使列车在地球表面任意两地间的运行时间大大缩短。如图2所示，假想凿通一条贯穿地心的极窄且光滑的隧道，只在引力作用下，人们可乘坐列车通过该隧道直通地球彼岸。已知列车的质量为m，地球质量为M、半径为R，引力常量为G。为简化研究，列车视为质点，地球视为质量分布均匀的球体，忽略地球自转，不计空气阻力。 a、已知质量均匀分布的球壳内的质点所受万有引力的合力为零，以地心O为原点，沿隧道方向建立x轴，请根据简谐运动的动力学特征（即做简谐运动的物体所受的力与它偏离平衡位置的位移的大小成正比，并总是指向平衡位置）证明：质量为m的质点从静止开始落入隧道后在隧道内做简谐运动； b、根据简谐运动的周期以及匀速圆周运动与简谐运动的关系，计算列车通过隧道所用的时间； 27．如图所示。一宽度为d的光滑长方形平板MNQP，长边MN、PQ分别平滑连接半径均为r的光滑圆弧面，形成“U”形槽，将其整体固定在水平地面上。现有质量为m的物块a，从圆弧面上相对平板竖直高度为h的A点静止下滑（h<< r），途经圆弧面上最低点B，平板上有一质量为的物块b与MN成45°角从O点滑入圆弧面，第一次到达最高点时恰好与同时到达最高点的物块a发生弹性碰撞。两物块均为质点，重力加速度为g。 （1）求物块a第一次经过B点时速度大小v0和所受支持力大小FN； （2）从A到B的过程：物块a相对于B点位移为x，求其所受回复力F与x的关系式； （3）求物块b的初速度大小vb以及碰撞后瞬间物块a的速度大小va； （4）若h=0.032m，r=10m，d=0.4m，要使物块a从N点滑离，求BQ间距L可能的取值。 28．如图甲所示，一个方形台安装在足够大的水平地面上，方形台的横截面是边长为a（未知）的正方形，沿方形台的轴线开凿有半径为R（）、与台等长的圆柱形中空光滑通道，为通道底部的中心线。现有一个内含少量炸药的可视为质点的滑块在通道底部中心线附近滑行，俯视轨迹近似为正弦曲线，如图乙所示。滑块每次通过中心线时的速度大小为v，方向与中心线夹角为45°。某次通过中心线时，滑块瞬间炸裂成速率不等的两个小滑块，炸裂前后各速度方向均在同一条直线上，炸裂处距通道两端均足够远。炸裂后，两个小滑块在离开通道前均刚好不脱离轨道，离开通道后均做平抛运动且平抛运动的水平位移大小相等。忽略炸裂前后滑块总质量的变化，重力加速度为g。 （1）若、，g取，求图中轨迹的“波长”； （2）求炸裂刚结束时，两个小滑块中的较小速率和较大速率； （3）求方形台横截面的边长a； （4）若，求两个小滑块中较大质量与较小质量的比值。 29．如图所示，质量为m1=1kg的小球用长度为l=5m的细线悬挂于O点，质量为m2=3kg的物块静止在质量为m3=6kg的木板右端，物块和木板上表面的动摩擦因数为，木板静置于光滑水平地面上，木板左侧地面上固定一个和木板等高的挡板P。现将小球拉起h=0.2m由静止释放，小球沿圆弧运动至最低点和物块发生弹性碰撞，碰撞后小球开始做简谐运动。物块和木板达到共速后再运动一段时间，木板与挡板P发生弹性碰撞，物块和木板再次达到共速时物块恰好未从木板上滑下。物块再次回到O点正下方时，小球恰好完成6次全振动。已知重力加速度g=10m/s2，物块可视为质点，空气阻力忽略不计，求： （1）小球与物块发生第一次碰撞前小球的速率； （2）与挡板P发生弹性碰撞前木板的速度，以及木板的长度； （3）初始时，木板左端到挡板P的距离。 30．如图所示，一圆心为，半径为的固定光滑圆弧轨道，最低点为。将一质量为的小球从轨道上的点由静止释放，在轨道上做往复运动。已知与的夹角为，重力加速度为，弧的长度远小于半径，小球可视为质点。求： （1）小球对轨道压力的最大值； （2）小球从释放到第10次经过点所经历的时间。 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 机械振动 【题型1 简谐运动综合辨析】 1 【题型2 单摆模型基础计算】 1 【题型3 等效单摆（类单摆）】 6 【题型4 实验：用单摆测量重力加速度】 10 【题型5 阻尼、受迫振动与共振综合】 14 【题型6 简谐运动与单摆综合计算题】 22 【题型1 简谐运动综合辨析】 1．如图所示，弹簧振子在B、C两点之间做简谐运动，其平衡位置为O点。已知B、C相距30cm。从小球经过O点时开始计时，经过1.0s第二次到达B点。取向左为正方向，下列说法正确的是（　　） A．小球振动的周期一定为0.8s B．小球振动的振幅为0.3m C．1.8s末，小球一定在平衡位置 D．弹簧振子振动方程可能为x=﹣0.15sin（2.5πt）m 【答案】D 【详解】B．B、C是简谐运动的两个端点，间距 因此振幅，故B错误。 A．从O点开始计时，存在两种初始运动方向：若时，振子向B端运动，第一次到达B的时间为，第二次到达B的时间为 解得 若时，振子向C端运动，第一次到达B的时间为，第二次到达B的时间为 解得 因此周期不一定为，故A错误； C．对的情况，有 时振子恰好位于B点，不是平衡位置，因此1.8s末不一定在平衡位置，故C错误； D．对的情况，角频率 时振子在平衡位置，速度向右，沿着负方向，则设弹簧振子振动方程为 代入， 解得 即 对的情况，角频率 时振子在平衡位置，速度向左，沿着正方向，则设弹簧振子振动方程为 代入， 解得 即 因此弹簧振子振动方程可能为，故D正确。 故选D。 2．如图甲所示为一列简谐横波在t=7s时刻的波形图，波的传播速度为3m/s，图中 a、b 的位移均为5cm，质点c的位移为零；图乙为该波传播介质中某一质点的振动图像，其振幅为10cm。已知从t=7s起，质点b较质点a先回到平衡位置，则下列说法正确的是（　　） A．图乙可能是c的振动图像 B．t=7s时，a与b的相位差的绝对值为π C．从t=7s时起，每经，a 回到平衡位置 D．从t=7s时起，a 在内，经历的路程为 【答案】C 【详解】A．从t=7s起，质点b较质点a先回到平衡位置，由图甲可知，则说明 时向下运动（向平衡位置），向上运动（远离平衡位置）， 根据“上坡下，下坡上”或平移法，波沿 轴负方向（向左）传播，因此可知c点也是向下振动，根据图乙，周期为， 时，质点位移为，且向上振动，故A错误； B． 时， ，位移均为 ，因 ，由 可知 ，相位 为 或 ，又向上振动， 向下振动，故对应相位 ，对应相位 ，a与b的相位差的绝对值为，故B错误； C． 时， 点相位为 且向上运动，回到平衡位置（相位变为 ）所需相位变化 所需时间 考虑到周期性， 回到平衡位置的时刻为 （k=0，1，2，3……）， 从 起经过的时间为 （k=0，1，2，3……），故C正确； D．从 起，时间 ， 简谐运动在内的路程为，在内的路程为，故总路程 （k=0，1，2，3……），故D错误。 故选C。 3．某学生自制简谐运动轨迹描绘装置如图甲所示，滑块在弹簧作用下水平振动，画笔在匀速移动的纸面绘制轨迹如图乙所示（A、B为最左端位置，C为最右端位置）。纸张竖直向上匀速移动，A、C竖直距离为8.00cm，下列说法正确的是（　　） A．画笔经过A点时，滑块速度最大 B．画笔从A画到B经历了一个周期 C．滑块振幅为8.00cm D．画笔从A画到C的过程中滑块的加速度先变大再变小 【答案】B 【详解】A．画笔经过A点时，滑块处于左端极限位置，位移的绝对值最大，速度为零，故A错误； B．A、B是滑块连续两次到达最左端的位置，振动状态完全相同，所经历的时间为一个周期，故B正确； C．A、C分别为左、右端点，端点间距等于振幅的两倍。由图可知端点间距为，所以振幅为，故C错误； D．从A到C，滑块先由左端点运动到平衡位置，再由平衡位置运动到右端点。位移绝对值先减小后增大，而简谐运动的加速度大小与位移绝对值成正比，因此加速度大小先减小后增大，故D错误。 故选B。 4．如图甲所示，弹簧振子以点为平衡位置，在、两点之间做简谐运动。振子的位移随时间的变化如图乙所示，则由图可知（　　） A．时，振子的速度方向沿负方向 B．时，振子的回复力方向沿正方向 C．到的时间内，振子通过的路程是 D．到的时间内，振子的动能逐渐减小 【答案】C 【详解】A．由图乙可知，时，振子远离平衡位置向右运动，位移增大，速度方向沿正方向，故A错误； B．时，振子靠近平衡位置向左运动，回复力指向平衡位置，故振子的回复力方向沿负方向，故B错误； C．到的时间内，振子从O运动到B，通过的路程是，故C正确； D．到的时间内，振子向平衡位置运动，速度逐渐增大，振子的动能逐渐增大，故D错误。 故选C。 5．如图1所示，底端固定在水平面上的轻弹簧竖直放置，将一小球轻轻放在弹簧上端，放手后，小球做简谐运动的图像如图2所示。不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球做简谐运动的振幅为8cm B．在0.3s～0.9s的时间内，小球速度先增大后减小 C．小球在任意0.3s的时间内运动的路程均为4cm D．时，小球的加速度大小为 【答案】D 【详解】A．由图2可知小球做简谐运动的周期为1.2s，振幅为4cm，A错误； B．图2的斜率表示小球的速度，故在0.3～0.9s的时间内，小球速度先减小后增大，B错误； C．小球在0.3s的时间内，即四分之一周期内，如果不是在平衡位置与最大位移之间运动，路程不等于4cm，C错误； D．小球到达平衡位置时，弹簧的压缩量为x0=4cm，则 时，小球的位移为，即弹簧的压缩量为x1=6cm，根据牛顿第二定律可知 解得小球的加速度大小为，D正确。 故选D。 【题型2 单摆模型基础计算】 6．长为的轻绳一端固定在点，另一端系一个质量为的小球。重力加速度为，不计空气阻力。 （1）如图1所示，将小球拉至某一位置，轻绳与竖直方向夹角为，静止释放小球。 a．求小球运动到最低点时受到绳的拉力大小； b．若较小，释放后小球做简谐运动。求一个周期内绳对小球拉力的冲量大小。 （2）如图2所示，使小球在水平面内做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向夹角为，求小球运动的周期。 【答案】（1）a．；b． （2） 【详解】（1）a．小球从静止释放到最低点的过程中，根据机械能守恒可得 解得 在最低点，由牛顿第二定律可得 解得 b．若较小，释放后小球做简谐运动；根据单摆周期公式可得 根据动量定理可得 联立解得一个周期内绳对小球拉力的冲量大小为 （2）使小球在水平面内做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向夹角为，根据牛顿第二定律可得 其中 解得小球运动的周期为 7．假如宇航员在月球上用单摆测量月球表面的重力加速度。如图甲所示，将力传感器（未画出）固定在点，将摆球通过不可伸长的轻细线悬挂在传感器上。现将质量为的摆球拉到点由静止释放，摆球将在竖直面内的、之间来回摆动，其中点为运动中的最低位置，摆角为。图乙为细线对摆球的拉力大小F随时间变化的曲线（图中已知，、未知），已知单摆摆长为L，不计一切阻力。求： （1）单摆周期和月球表面的重力加速度； （2）与的大小。 【答案】（1）， （2）， 【详解】（1）由图像可知，单摆周期 根据 可得月球表面的重力加速度 （2）当小球在AC两点时摆线拉力最小，则最小值 在最低点时摆线拉力最大，则由， 解得 8．如图，轻绳上端固定在点，下端将质量的小球悬挂在点。质量的玩具子弹以的速度射向小球，与小球碰撞后，又以的速度弹回。已知绳长为取，不计空气阻力及小球大小。求： （1）碰撞后瞬间小球达到的速度。 （2）碰撞后，小球向右摆动到最高点时相对于A点的高度 （3）从碰撞后瞬间开始计时，小球经过多长时间第一次回到点。 【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1）以水平向右为正方向，子弹和小球组成的系统动量守恒 解得 （2）碰撞后，小球向右摆动到最高点，由机械能守恒定律 解得最高点相对于点的高度 （3）由于最高点的高度和绳长相比，所以小球被碰撞后的运动属于单摆运动，由单摆周期公式， 解得 所以从碰撞后，小球第一次回到点所需时间 9．如图甲是用力传感器测量单摆做简谐运动时细线对摆球拉力大小的装置图，图乙是拉力大小随时间变化的曲线，其中的最大值为。已知摆球质量为，重力加速度为，不计摆线质量及空气阻力。求： （1）单摆摆长； （2）的最小值。 【答案】（1） （2） 【详解】（1）题图可知单摆周期 又因为 联立解得 （2）设摆线与竖直方向的最大夹角为，在最高点时有 在最低点时拉力最大，且有 从最高点到最低点过程，根据机械能守恒有 联立解得 10．正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时，第21次通过B点用时30 s；球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1 m，当地重力加速度g取π2（m/s2）；根据以上数据，求： （1）小球运动的周期T是多少？ （2）房顶到窗上沿的高度h是多少？ 【答案】（1）3s （2）3m 【详解】（1）由题意知，小球30s内完成全振动的次数 故小球运动的周期 T＝＝3s （2）设球以窗上沿为悬点做单摆运动的周期为T1，以房顶为悬点做单摆运动的周期为T2，则由题意知 ， 故 解得 h＝3m 【题型3 等效单摆（类单摆）】 11．如图甲所示，一可视为质点的小球在光滑圆弧曲面AOB上做简谐运动，圆弧轨道对小球的支持力大小F随时间t变化的曲线如图乙所示，图中t=0时刻小球从A点开始运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．该圆弧轨道的半径为 B．小球的质量为 C．小球在A点所受的回复力为零 D．t0时刻小球的动能为零 【答案】AD 【详解】A．小球运动的周期为 根据单摆周期公式可得 所以，故A正确： B．小球在A点，有 在O点时，根据牛顿第二定律可得 小球从A点运动到O点，根据机械能守恒定律可得 联立解得小球的质量为，故B错误； C．小球在A点回复力最大，所受的合力不为零，故C错误； D．t0时刻小球到达B点，则此时的动能最小，故D正确。 故选AD。 12．惠更斯发现“单摆做简谐运动的周期T与重力加速度的二次方根成反比”。为了通过实验验证这一结论，某同学创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境：如图1所示，在水平地面上固定一倾角可调的光滑斜面，把摆线固定于斜面上的O点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至A点，静止释放后，摆球在ABC之间做简谐运动，摆角为，在某次实验中，摆球自然悬垂时，通过力传感器（图中未画出）测得摆线的拉力为；摆球摆动过程中，力传感器测出摆线的拉力随时间变化的关系如图2所示，其中、、均已知。当地的重力加速度为g。下列选项正确的是（　　） A．多次改变图1中角的大小，即可获得不同的等效重力加速度 B．在图2的测量过程中，单摆n次全振动的时间为 C．多次改变斜面的倾角，只要得出就可以验证该结论成立 D．在图2的测量过程中，满足关系 【答案】CD 【详解】A．对小球进行受力分析可知，小球重力垂直于斜面的分力始终与斜面的支持力平衡，令等效重力加速度为，则有 解得 所以等效重力加速度和摆角无关，故A错误； B．单摆在运动过程中，A、C两位置摆线的拉力最小，根据图2可知，相邻两个摆线拉力最小的位置的时间间隔为半个周期，故单摆的周期为 所以单摆次全振动的时间为，故B错误； C．根据单摆的周期公式可知，该单摆的周期为 其中为单摆的摆长，保持不变。所以多次改变斜面的倾角，只要得出就可以验证该结论成立，故C正确； D．已知摆球自然悬垂时，通过力传感器测得摆线的拉力为，则根据平衡条件有 在A、C两位置时，摆球的速度为0，则有 设摆球经过最低点B时的速度为，则根据动能定理有 在B点根据牛顿第二定律有 联立解得，故D正确。 故选CD。 13．如图所示，质量m=1kg小球用两根不可伸长的光滑绝缘细线悬挂在水平天花板上，ab间距为。小球静止时，细线Oa与ab间夹角为53°，细线Ob与ab间夹角为37°。当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与ab交点的单摆，重力加速度g=10m/s2，π2取10，sin37°=0.6，cos37°=0.8。则下列说法正确的是（　　） A．小球静止时，a端拉力小于b端拉力 B．小球摆动周期为2s C．小球摆到最低点时，小球所受合外力不为0 D．摆角变小，周期变大 【答案】BC 【详解】A．小球静止时，对小球受力分析如图 可得， ，故A错误； B．根据几何知识可知摆长为L=1m 故周期为，故B正确； C．由于小球的运动属于圆周运动的一部分，故在最低点合外力提供向心力，故C正确； D．根据单摆的周期公式可知周期与摆角无关，故D错误。 故选BC。 14．如图所示，质量为，长为的铜棒，用长度也为的两根轻导线水平悬吊在竖直向上的匀强磁场中，未通电时，轻导线静止在竖直方向，通入大小为的恒定电流后，棒向纸面外偏转的最大角度为，忽略一切阻力，已知重力加速度为g。则（　　） A．棒中电流的方向为 B．磁场的大小为 C．磁场的大小为 D．保持电流的大小方向恒定，在外力作用下，将ab棒拉到角时静止释放，则ab棒来回摆动的周期为 【答案】BD 【详解】A．棒受到的安培力方向垂直纸面向外，由左手定则可知，棒中电流的方向为a→b，故A错误； BC．通入大小为I的恒定电流后，棒做圆周运动，将恒定的安培力与重力的合力F作为等效重力，已知棒偏转的最大角度为=60°，则在偏转了30°时速度最大，此位置为等效最低点，可得合力F的方向与竖直方向的夹角为30°，如下图所示 则有BIl= mgtan 30° 解得     故B正确，C错误； D．将ab棒拉到=25°角时静止释放后，棒的运动可看作单摆的简谐运动，安培力与重力的合力 F作为等效重力，则有 解得等效重力加速度 根据单摆周期公式可得ab棒来回摆动的周期为 故D正确。 故选BD。 15．如图所示，光滑的圆弧槽的半径为R（R弧MN），A为弧形槽的最低点，小球B放在A点正上方离A点的高度为h，小球C放在M点，同时释放两球，使两球正好在A点相碰，则h应多大？ 【答案】h=（2k+1）22R  （k=0,1,2,3） 【详解】小球C的运动可以视为单摆的模型，摆长等于圆弧的半径，摆球C的周期为 T=2 设小球B自由落体运动的时间为t，则有 h=gt2 同时释放两球正好在A点相碰有 t=（2k+1）T 联立解得小球B放在A点正上方离A点的高度 h=（2k+1）22R（k=0，1，2…） 【题型4 实验：用单摆测量重力加速度】 16．在“用单摆测重力加速度”实验中： （1）当单摆摆动稳定后，用秒表测量时间t，秒表的示数如图所示，则__________s。 （2）用游标卡尺测量摆球直径。摆球直径__________cm。 （3）若摆线长为L，摆球直径为D，从0数起，摆球n次经过最低点所用时间为t，写出重力加速度的表达式__________。 （4）同学测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值，原因可能是__________ A．开始摆动时振幅较小 B．开始计时时，过早按下停表 C．测量周期时，误将摆球次全振动的时间记为n次全振动的时间 D．测量摆长时，以悬点到小球下端边缘的距离为摆长 【答案】（1）337.5 （2）1.85 （3） （4）CD 【详解】（1）由图可知，秒表的读数为 （2）由图可知，游标卡尺的读数为 （3）由题意可知，单摆的周期为 单摆的摆长为 根据单摆周期公式 解得 （4）A．由 得振幅大小与g无关，故A错误； B．开始计时时，过早按下秒表，所测周期偏大，则g偏小，故B错误； C．测量周期时，误将摆球次全振动的时间记为n次全振动的时间，则所测周期偏小，则g偏大，故C正确； D．测量摆长时，以悬点到小球下端边缘的距离为摆长，可知摆长偏大，则g偏大，故D正确。 故选CD。 17．实验小组的同学们用图甲所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验。 （1）在这个实验中，应该选用下列哪两组材料构成单摆（　　）（填选项前的字母）。 A．长约1m的细线 B．长约1m的橡皮绳 C．直径约1cm的均匀铁球 D．直径约1cm的塑料球 （2）将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是（　　）（填选项前的字母）。 A．测出摆线长作为单摆的摆长 B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之在竖直平面内做简谐运动 C．在摆球经过平衡位置时开始计时 D．用停表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期 （3）王同学多次改变单摆的摆长并测得相应的周期，他根据测量数据作出了如图乙所示的图像，横坐标为摆长，纵坐标为周期平方。若图线斜率为k，则当地的重力加速度__________（用k表示）。 （4）上题中，在描点时若误将摆线长当做摆长，那么画出的直线将不通过原点，由图线斜率得到的重力加速度将因此而产生哪一种结果？（　　） A．偏大 B．偏小 C．不变 D．都有可能 （5）该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度。他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期，然后把摆线缩短适当的长度，再测出其振动周期。用该同学测出的物理量表达重力加速度为__________。 【答案】（1）AC （2）BC （3） （4）C （5） 【详解】（1）AB．在这个实验中，应该选用长约1m的不可伸长的细线，故A正确，B错误； CD．为了减小相对阻力大小，可选用直径约1cm的均匀铁球，故C正确，D错误； 故选AC。 （2）A．测出摆线长加上摆球的半径作为单摆的摆长，故A错误； B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之在竖直平面内做简谐运动，故B正确； C．在摆球经过平衡位置时开始计时，故C正确； D．用秒表测量单摆完成至少30次全振动所用时间，求出周期的平均值作为单摆的周期，故D错误； 故选BC。 （3）由单摆周期公式知 推理得 图线斜率为k，则 变形得 （4）由（3）知图线斜率为 斜率与摆长无关，故由图线斜率得到的重力加速度不变。 故选C。 （5）先测出摆线较长的单摆周期 然后把摆线缩短适当的长度，再测出其振动周期 解得 18．在利用单摆实验测量重力加速度时，某同学想改变传统秒表计时的方式，改为使用霍尔元件和单片机进行计时。按图乙方式将霍尔元件置于磁性摆球静止时的正下方，当小球做单摆运动经过最低点时，霍尔传感器产生脉冲信号并发送给单片机，单片机接收信号并计时，并将数据传输给电脑和手机，实时显示测量结果并分析处理和存储数据。 （1）实验前，再用刻度尺测出绳长为L，用游标尺测出摆球的直径d； （2）电脑将单片机传输的计时数据处理后得到电压的脉冲信号随时间t的变化图线如图丙所示，则该单摆的周期为__________； （3）最后根据测量得到单摆的摆长和运动周期，计算出重力加速度，其表达式为g＝__________。（用本题中涉及的符号表示） （4）若某次实验找不到磁性小球，只有一个不规则的小磁铁，将小磁铁用细线悬挂起来做成单摆，取不同摆长、……进行n次测量，得周期、……，以测量的绳长L为横坐标，为纵坐标，作出图线，如图丁所示，应为图线__________（填“a”“b”或“c”）。使用图像法处理数据测重力加速度，不规则小磁铁的重心不确定，这对测量结果是否有影响？__________（填“是”或“否”） 【答案】 a 否 【详解】（2）[1]由题意可知，当小球做单摆运动经过最低点时，霍尔传感器产生脉冲信号，因此由图丙可知相邻两个电压脉冲之间的时间间隔为半个周期，则该单摆的周期为 （3）[2]可知绳长为L，摆球的直径为d，则有摆长为 由单摆的周期公式可得 （4）[3]以测量的绳长L为横坐标，为纵坐标，设小磁铁的重心到固定小磁铁悬线的距离为，可知单摆的摆长为，由单摆的周期公式可得 可知图线应为图线 [4]使用图像法处理数据测重力加速度，不规则小磁铁的重心不确定，由可知图线的斜率不变，则测量值不变，因此这对测量结果没有影响，即否。 19．在“用单摆测量重力加速度”的实验中： （1）为了利用单摆较准确地测出重力加速度，可选用的器材有__________； A．20cm长的结实细线、小木球、秒表、米尺、铁架台 B．100cm长的结实细线、小钢球、秒表、米尺、铁架台 C．100cm长的结实细线、大木球、秒表、50cm量程的刻度尺、铁架台 D．100cm长的结实细线、大钢球、大挂钟、米尺、铁架台 （2）利用如图方式测量单摆摆长为__________cm； （3）某同学想在家里做“用单摆测定重力加速度”的实验，但没有合适的摆球，他找到了一块大小约为3cm、外形不规则的大理石代替小球，他设计的实验步骤如下： A．将石块和细尼龙线系好，结点为，将尼龙线的上端固定于点，如图所示； B．用刻度尺测量间尼龙线的长度作为摆长； C．将石块拉开一个大约的角度，然后由静止释放； D．从摆球摆到最高点时开始计时，测出30次全振动的总时间，由得出周期； E．改变间尼龙线的长度再做几次实验，记下每次相应的和； F．求出各组的和的值，作为计算时用的数据，代入公式，再取所求得的各个重力加速度的平均值。 ①该同学以上实验步骤中有重大错误的两项是__________；（填相应的字母） ②该同学用的长作为摆长，这样做引起的系统误差将使重力加速度的测量值比真实值__________（填“偏大”或“偏小”）； ③为解决摆长无法准确测量的困难，可采用图像法，以为纵轴，以为横轴，作出多次测量得到的图线，求出图线斜率，进而求得__________（用表示），值不受悬点不确定因素的影响，因此可以解决摆长无法准确测量的困难。 【答案】（1）B （2）91.60 （3） BD 偏小 【详解】（1）本实验需要用的器材：约1m长的摆线，密度大、体积小钢球（减小空气阻力影响），计时工具用秒表，测量工具用米尺，支架用铁架台。 故选B。 （2）摆长是悬点到摆球球心的距离。由图可知，刻度尺的分度值为0.1cm，故读数需保留到百分位，故摆长为91.60cm。 （3）[1]B项中直接用OM的长度作为摆长，而摆长应该是悬点O到大理石质心的距离，因此摆长测量错误。 D项中从最高点开始计时，误差大（最高点速度为0，计时起点不易判断；应从平衡位置开始计时，速度最大，计时误差小）。所以有重大错误的两项是BD。 [2]单摆周期 解得 该同学用的长作为摆长，即摆长测量值偏小知，故重力加速度的测量值偏小，即重力加速度的测量值比真实值偏小。 [3]根据 整理得 可知图像斜率 解得 20．某同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验时： （1）如果他测得的g值偏小，可能的原因是__________ A．悬点到摆球最低点的距离为摆长 B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了 C．实验中误将49次全振动次数记为50次 （2）在某次假期夏令营游学活动中，有两位同学分别去参观北京大学和武汉大学的物理实验室，各自在实验室利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长L的关系”，并用计算机绘制了如图甲所示的图像。由图可知，去北京大学的同学所测实验结果对应的图线是___________（填“A”或“B”） （3）另外，在武汉大学做探究的同学还利用计算机绘制了他实验用的a、b两个摆球的振动图像，如图乙所示，则下列说法正确的是___________ A．a摆球的摆长比b摆球小 B．时，b摆球的加速度为0 C．a、b两个摆球的振动周期之比 【答案】（1）B （2）B （3）A 【详解】（1）A．摆长应量取悬点到摆球球心的距离。若量到摆球最低点，测得的摆长偏大。由单摆周期公式 整理得 测得的将偏大，故A错误； B．振动中摆线松动使实际摆长增大，而测量的摆长仍偏小，周期变大。由前述推得的重力加速度表达式可知，测得的偏小，故B正确； C．由周期定义，误将次全振动记为次，使测得周期偏小。由前述推得的重力加速度表达式可知，测得的偏大，故C错误。 故选B。 （2）由单摆周期公式 整理得 可知图像的斜率为 北京的重力加速度较武汉大，图线斜率较小。图线的斜率较大，对应武汉的测量结果，故北京大学对应图线。 （3）A．在同一地点，两摆的相同。单摆周期公式 表明摆长越大，周期越大。由图可知，故A正确； B．时，摆球经过平衡位置，速度不为零，法向加速度为，故B错误； C．由图读出，故C错误。 故选A。 【题型5 阻尼、受迫振动与共振综合】 21．为了能观察到某玻璃杯在声波驱动下发生的振动，一同学在杯中放入一根如图所示的质量很小的吸管并靠近杯子拉动特制琴弦，发现吸管会发生明显的摆动，逐渐改变琴弦振动的频率，该玻璃杯会破碎。关于此现象，下列分析正确的是（　　） A．吸管的摆动属于受迫振动 B．该玻璃杯振动的频率比琴弦振动的频率大 C．增大琴弦振动的频率，该玻璃杯的振幅一定变大 D．该玻璃杯破碎时不一定发生了共振 【答案】AD 【详解】A．吸管在外界驱动力的作用下发生摆动，属于受迫振动，故A正确； B．受迫振动的物体振动的频率等于驱动力的频率，因此玻璃杯振动的频率等于琴弦振动的频率，故B错误； C．当琴弦振动的频率等于玻璃杯的固有频率时，玻璃杯的振幅最大，增大琴弦的振动频率，若偏离玻璃杯的固有频率，则玻璃杯的振幅会减小，故C错误； D．当驱动力的频率接近或等于玻璃杯的固有频率时，玻璃杯可能会因为振幅较大而导致破碎，也可能振动频率未达到完全共振时，由于声波强度足够大的原因导致玻璃杯破碎，故D正确。 故选AD。 22．工业上筛选矿石的筛子可以简化为如图所示的模型，筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图甲所示。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高；增加筛子（连同筛子里边的矿石）的质量，可增大筛子的固有周期。现在，在某电压下偏心轮的转速是30r/min。为了使筛子的振幅增大，可以（　　） A．增大电压 B．减小电压 C．增加筛子（连同筛子里边的矿石）质量 D．减小筛子（连同筛子里边的矿石）质量 【答案】AC 【详解】在某电压下偏心轮的转速是，即周期为 所以驱动力的频率 由乙图可知筛子的固有频率 由于驱动力的频率小于固有频率，要使振幅变大，应增大驱动力的频率或减小筛子的固有频率，即可以增大偏心轮电压或增加筛子的质量。 故选AC。 23．延安某黄土边坡存在深层蠕滑风险。科研团队部署了一种改进型惯性式位移传感器：将质量为m的金属块通过两根相同的轻质弹簧（劲度系数均为k）水平连接于固定支架两端，初始时系统处于平衡。当边坡发生微小形变时，支架整体产生缓慢位移，而金属块因惯性滞后，其相对位移实际运行中发现，由于黄土颗粒摩擦和空气阻尼，系统存在微弱阻力，且雨季时边坡常受周期性降雨入渗诱发的低频振动激励频率约为（0.2Hz），已知该振子无阻尼固有频率为。下列说法正确的是（　　） A．若忽略阻尼，以地面为参考系，金属块的运动方程为 B．当边坡受频率为0.5Hz的外部扰动时，系统振幅达到最大，可能发生共振 C．由于阻尼存在，系统自由振动的机械能不断减小，但振动周期略大于 D．在长期监测中，若记录到金属块相对位移呈指数衰减的正弦波，则说明边坡已停止形变且无外部激励 【答案】ACD 【详解】A．金属块与弹簧组成弹簧振子，以地面为参考系，所受回复力为 所以金属块的运动方程为 可得，A正确； B．由于系统存在阻尼，其振幅达到最大时的驱动频率（共振频率）略小于系统的固有频率。因此，当边坡受频率为0.5Hz的外部扰动时，系统振幅很大，但并非达到最大值，B错误； C．在有阻尼的自由振动中，系统因克服阻力做功导致机械能不断减小。同时，阻尼会使振动周期延长，使其略大于系统的无阻尼固有周期，C正确； D．金属块相对位移呈指数衰减的正弦波，系统的振动为阻尼振动，系统的机械能逐渐转为内能，阻尼振动最终会停下来，说明边坡已停止形变且无外部激励，D正确。 故选ACD。 24．如图所示为两个单摆的受迫振动的共振曲线，则下列说法正确的是（　　） A．若两个受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线I表示月球上单摆的共振曲线 B．若两个受迫振动是在地球上同一地点进行，则两个摆长之比LI∶LII=25∶4 C．图线II若表示是在地面上完成的，则该单摆摆长约为1m D．若摆长均为1m，则图线I表示是在地面上完成的 【答案】ABC 【详解】A．图线中振幅最大处对应的频率应与做受迫振动的单摆的固有频率相等，从图线上可以看出，两摆的固有频率fI=0.2Hz，fII=0.5Hz 当两摆在月球和地球上分别做受迫振动且摆长相等时，根据公式 可知，g越大，f越大，所以 又因为g地＞g月 因此可推知图线I表示月球上单摆的共振曲线，故A正确； B．若在地球上同一地点进行两次受迫振动，g相同，摆长长的f小，且有 所以，故B正确； CD．fII=0.5Hz，若图线II表示是在地面上完成的，根据g=9.8m/s2， 可计算出LII约为1m，故C正确，D错误。 故选ABC。 25．如图所示，一根绷紧的水平绳上挂五个摆，摆球质量均相同，先让A摆振动起来，其他各摆随后也跟着振动起来（　　） A．其他各摆振动周期跟A摆相同 B．E摆的驱动力频率最大 C．其他各摆振动的振幅大小不同，E摆的振幅最大 D．B、C、D三摆振动的振幅相同 【答案】AC 【详解】A．A摆摆动，它们均做受迫振动，A正确； BC．由于A、E两个摆的摆长相等，所以这两个摆的固有频率相同，振幅最大，受迫振动的频率都等于驱动力的频率，只有受迫振动驱动力的频率等于物体的固有频率时，才会出现共振现象， B错误，C正确； D．B、C、D三摆均不发生共振，根据固有频率 摆长越接近A摆，物体的固有频率才越接近驱动力的频率，振幅越大，B、C、D三摆的摆长不同，固有频率不同，振幅各不相同，D错误。 故选AC。 【题型6 简谐运动与单摆综合计算题】 26．简谐运动与匀速圆周运动具有巧妙的联系。 （1）如图1所示，固定在竖直圆盘上的小球A随着圆盘以角速度沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动。用竖直向下的平行光照射小球A，在圆盘下方的屏上可以观察到小球A在x方向上的“影子”的运动。 a、请根据简谐运动的运动学特征（即做简谐运动的物体的位移x与运动时间t满足正弦函数规律），证明：小球A的“影子”以圆盘圆心在屏上的投影点O为平衡位置做简谐运动。 （2）未来人类设计的穿过地球的真空列车隧道，可使列车在地球表面任意两地间的运行时间大大缩短。如图2所示，假想凿通一条贯穿地心的极窄且光滑的隧道，只在引力作用下，人们可乘坐列车通过该隧道直通地球彼岸。已知列车的质量为m，地球质量为M、半径为R，引力常量为G。为简化研究，列车视为质点，地球视为质量分布均匀的球体，忽略地球自转，不计空气阻力。 a、已知质量均匀分布的球壳内的质点所受万有引力的合力为零，以地心O为原点，沿隧道方向建立x轴，请根据简谐运动的动力学特征（即做简谐运动的物体所受的力与它偏离平衡位置的位移的大小成正比，并总是指向平衡位置）证明：质量为m的质点从静止开始落入隧道后在隧道内做简谐运动； b、根据简谐运动的周期以及匀速圆周运动与简谐运动的关系，计算列车通过隧道所用的时间； 【答案】（1）见解析 （2）a、见解析；b、 【详解】（1）a、设经过时间t小球与圆心连线转过的角度为，小球A的“影子”的位移为 又因为 解得 所以，小球A的“影子”以圆盘圆心在屏上的投影点O为平衡位置做简谐运动； （2）a、设质点偏离地心的位移为x，根据万有引力定律得 又因为 解得 质点所受的万有引力与它偏离平衡位置的位移的大小成正比，方向与位移方向相反，所以质点从静止开始落入隧道后在隧道内做简谐运动； b、根据 得 简谐运动的周期为 列车通过隧道所用的时间 解得 27．如图所示。一宽度为d的光滑长方形平板MNQP，长边MN、PQ分别平滑连接半径均为r的光滑圆弧面，形成“U”形槽，将其整体固定在水平地面上。现有质量为m的物块a，从圆弧面上相对平板竖直高度为h的A点静止下滑（h<< r），途经圆弧面上最低点B，平板上有一质量为的物块b与MN成45°角从O点滑入圆弧面，第一次到达最高点时恰好与同时到达最高点的物块a发生弹性碰撞。两物块均为质点，重力加速度为g。 （1）求物块a第一次经过B点时速度大小v0和所受支持力大小FN； （2）从A到B的过程：物块a相对于B点位移为x，求其所受回复力F与x的关系式； （3）求物块b的初速度大小vb以及碰撞后瞬间物块a的速度大小va； （4）若h=0.032m，r=10m，d=0.4m，要使物块a从N点滑离，求BQ间距L可能的取值。 【答案】（1），，方向竖直向上 （2） （3）， （4）（n=0，1，2，3，4……）或（k=1，2，3，4……） 【详解】（1）对a物块下滑过程中根据动能定理有 可得 在B点根据牛顿第二定律有 可得，方向竖直向上 （2）如图所示 由于h<<r，滑块a所受回复力F，则 可知滑块受到的回复力F与x成正比，方向与x相反，因此滑块a从释放到第一次到达最低点的运动是简谐运动。 （3）滑块b在圆弧形斜面上垂直槽轴线方向的运动性质与a相同，平行槽轴线方向做匀速直线运动。设滑块b的速度沿槽轴线和垂直槽轴线分速度为vbx、vby，如图 当vbx=0时，滑块b第一次滑到最高点，由题意可知滑块b到达的最高点高度与滑块a的开始下滑的高度相等。此时速度为vby， 又因与滑块a最高点相同，由题意可知 即 因为滑块a、b在最高点发生碰撞，设碰后滑块b的速度为v'by。由动量守恒有 机械能守恒有 联立解得， （4）碰后滑块a在平行于槽轴线方向的速度始终为va，从N射出的最基本的几种临界情况如图所示。考虑周期性，则L有多种情况 滑块在曲面上从边界上运动到最高点 由题给数据可得，， 滑块a每一次在圆弧形斜面上滑或下滑的时间为 滑块a每一次滑过水平面的时间为 又由于滑块a从任一点出发回到该点同高度位置时（同一侧圆弧面）的时间相等，设时间为T'，则 滑块a由碰后到从N飞出的时间t满足 其中（n=0，1，2，3，4……） 或（k=1，2，3，4……） 则滑块a能从N飞出时L的取值为（n=0，1，2，3，4……） 或（k=1，2，3，4……） 28．如图甲所示，一个方形台安装在足够大的水平地面上，方形台的横截面是边长为a（未知）的正方形，沿方形台的轴线开凿有半径为R（）、与台等长的圆柱形中空光滑通道，为通道底部的中心线。现有一个内含少量炸药的可视为质点的滑块在通道底部中心线附近滑行，俯视轨迹近似为正弦曲线，如图乙所示。滑块每次通过中心线时的速度大小为v，方向与中心线夹角为45°。某次通过中心线时，滑块瞬间炸裂成速率不等的两个小滑块，炸裂前后各速度方向均在同一条直线上，炸裂处距通道两端均足够远。炸裂后，两个小滑块在离开通道前均刚好不脱离轨道，离开通道后均做平抛运动且平抛运动的水平位移大小相等。忽略炸裂前后滑块总质量的变化，重力加速度为g。 （1）若、，g取，求图中轨迹的“波长”； （2）求炸裂刚结束时，两个小滑块中的较小速率和较大速率； （3）求方形台横截面的边长a； （4）若，求两个小滑块中较大质量与较小质量的比值。 【答案】（1） （2）， （3） （4）或 【详解】（1）未炸裂前小滑块的运动可以近似看成单摆和水平方向匀速直线运动的合成，根据单摆的周期公式可得 小滑块水平方向匀速直线运动的速度为 所以图中轨迹的“波长”为 （2）由分析可知，要想使两个小滑块在离开通道前均刚好不脱离轨道，且小滑块炸裂瞬间两滑块的速率不等，则应使较小速率的小滑块刚好到达圆心的等高处，而较大速率的小滑块刚好过圆形通道的顶点，则对炸裂后速率较小的小滑块根据动能定理有 解得 设炸裂后速率较大的小滑块运动到圆形通道顶点时的速率为，其沿着半径方向的速率为，则对炸裂后速率较大的小滑块根据动能定理有 对炸裂后速率较大的小滑块在圆形通道的顶点根据牛顿第二定律有 又因为 联立解得 （3）水平位移相等的两个平抛运动只能分别是：较大速率的小滑块在最低点平抛，较小速率的小滑块在最高点（即与轴线等高处）平抛。即 解得 （4）设炸裂后向前和向后运动的小滑块的质量分别记为和。若向前、向后，则根据动量守恒定律有 解得 即两个小滑块中较大质量与较小质量的比值为；若向前、向后，则根据动量守恒定律有 解得 即两个小滑块中较大质量与较小质量的比值为。综上所述，若，则两个小滑块中较大质量与较小质量的比值为或。 29．如图所示，质量为m1=1kg的小球用长度为l=5m的细线悬挂于O点，质量为m2=3kg的物块静止在质量为m3=6kg的木板右端，物块和木板上表面的动摩擦因数为，木板静置于光滑水平地面上，木板左侧地面上固定一个和木板等高的挡板P。现将小球拉起h=0.2m由静止释放，小球沿圆弧运动至最低点和物块发生弹性碰撞，碰撞后小球开始做简谐运动。物块和木板达到共速后再运动一段时间，木板与挡板P发生弹性碰撞，物块和木板再次达到共速时物块恰好未从木板上滑下。物块再次回到O点正下方时，小球恰好完成6次全振动。已知重力加速度g=10m/s2，物块可视为质点，空气阻力忽略不计，求： （1）小球与物块发生第一次碰撞前小球的速率； （2）与挡板P发生弹性碰撞前木板的速度，以及木板的长度； （3）初始时，木板左端到挡板P的距离。 【答案】（1）2m/s （2）， （3） 【详解】（1）设碰前小球速度为，碰后小球速度为，物块的速度为，取向左为正方向，则由动能定理有 解得第一次碰撞前小球的速率 （2）小球与物块发生弹性碰撞，碰撞过程动量守恒和机械能守恒，有， 联立解得， 设物块和木板第一次共速的速度，即与木板挡板发生弹性碰撞前的速度为，取向左为正方向，物块在木板上运动过程系统动量守恒，则 解得与挡板发生弹性碰撞前木板的速度 设此时相对位移为，由功能关系有 解得 木板与挡板发生弹性碰撞，木板速度反向，物块和木板再次达到共速过程动量守恒，则 解得 设此时相对位移为，由功能关系有 解得 所以木板的长度 （3）取向左为正方向，小球与物块碰撞后，对木板，由牛顿第二定律有 解得 第一次共速时，对木板有， 解得， 设初始时，木板左端到挡板的距离为，以速度匀速运动用时为，则 木板与挡板碰撞后第二次共速有， 解得， 设以速度再匀速运动，物块回到点正下方，则 碰撞后小球开始做简谐运动，则其周期 物块再次回到点正下方时，小球恰好完成次全振动，则 联立解得 30．如图所示，一圆心为，半径为的固定光滑圆弧轨道，最低点为。将一质量为的小球从轨道上的点由静止释放，在轨道上做往复运动。已知与的夹角为，重力加速度为，弧的长度远小于半径，小球可视为质点。求： （1）小球对轨道压力的最大值； （2）小球从释放到第10次经过点所经历的时间。 【答案】（1） （2） 【详解】（1）根据题意可得，在最低点时小球对轨道压力最大； 在最低点时，对小球受力分析得 小球从点到点过程，由动能定理得 联立可得 根据牛顿第三定律得 （2）由题意知，小球的运动为单摆模型，周期 从点释放，第1次经点需，之后每经点一次，总时间 代入解得 32 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $