2.6 受迫振动 共振（举一反三·讲义）物理人教版选择性必修第一册

2.6受迫振动 共振 【新教材人教版】 【知识框架+知识精讲（3个知识归纳+3个题型）+课后作业】 情景导入 鱼洗是古代盥洗用的脸盆，多用青铜铸成。在鱼洗中倒满清水，用手慢慢摩擦盆耳，鱼洗就会发出嗡嗡声，并溅起大量水花。这其中包含了怎样的原理呢？ 知识归纳 【知识点1 振动中的能量损失】 1. 固有振动、固有频率 （1）固有振动：振动系统在不受外力作用下的振动。 物体做固有振动时，其周期或频率与振幅无关，仅由系统自身的性质决定。 （2）固有频率：固有振动的频率。 2. 阻尼振动 （1）阻尼振动：实际的振动系统会受到摩擦力、黏滞力等阻碍作用，振幅逐渐减小。这种振幅随时间逐渐减小的振动称为阻尼振动。其振动图像如图所示。阻尼振动中，周期和频率不变。 （2）振动系统能量衰减的两种方式： ①振动系统受到摩擦阻力作用，机械能逐渐转化为内能。 ②振动系统引起邻近介质中各质点的振动，能量向四周辐射出去。 【例1】如图甲所示，粗细均匀的一根木筷，下端绕有铁丝，可使其竖直漂浮于装水的杯中。以竖直向上为正方向，把木筷提起一段距离后放手，木筷的振动图像如图乙所示。关于木筷（含铁丝）下列说法正确的是（　　） A．在时刻速度为零 B．在时刻向下运动 C．在时刻速度为零 D．木筷（含铁丝）振动过程中，机械能保持不变 【答案】A 【详解】A．在振动图像（图）中，时刻是图中的波峰位置，也就是木筷向上运动到最大位移处，速度为零，故A正确； BC．图像的切线斜率表示瞬时速度，时刻图像的斜率为正，说明速度方向为正（竖直向上），且斜率不为零，因此木筷正向上运动、速度不为零，故BC错误； D．由图乙可知木筷的振动振幅不断减小，属于阻尼振动，运动过程中要克服水的阻力做功，机械能不断减小，故D错误。 故选A。 【变式1-1】如图是摆球做阻尼振动的位移－时间图像，下列说法正确的是（　　） A．振动过程中周期不变 B．摆球在P时刻的势能等于N时刻的势能 C．摆球在P时刻的动能等于N时刻的动能 D．摆球在P时刻的机械能等于N时刻的机械能 【答案】AB 【详解】A．阻尼振动中，虽然振幅逐渐减小，但是周期与振幅无关，故振动过程中周期不变，A正确。 B．因P、N两时刻摆球的位移相同，故摆球P时刻的势能等于N时刻的势能，B正确。 CD．由于振动的能量逐渐减小，故摆球P时刻的动能大于N时刻的动能，摆球在P时刻的机械能大于N时刻的机械能，CD错误。 故选AB。 【变式1-2】如图所示，共振破冰船利用专用传感器感应冰面的振动反馈，自动调节锤头振动频率。结合所学知识，下列说法正确的是（　　） A．锤头振动频率越高，则冰层的振动幅度越大 B．锤头的振动频率大于冰层的固有频率时破冰效果最好 C．破冰船停止工作后，冰层余振的振幅越来越小，频率也越来越小 D．对于不同冰层，为增强破冰效果，锤头的振动频率的大小需要调整 【答案】D 【详解】A．冰层的振动幅度由驱动力的频率和冰层固有频率的接近程度共同决定。当驱动力频率越接近冰层固有频率时，冰层的振动幅度越大，A错误； B．当锤头的驱动力频率等于冰层的固有频率时，冰层发生共振、振幅达到最大，破冰效果最好，B错误； C．破冰船停止工作后，冰层的余振是阻尼振动，受阻力影响振幅会逐渐减小，但阻尼振动的频率由振动物体本身性质决定，不会随振幅衰减而变小，C错误； D．不同冰层的厚度、结构存在差异，对应的固有频率各不相同，为了让驱动力频率匹配冰层的固有频率、触发共振获得大振幅增强破冰效果，需要调整锤头的振动频率，D正确。 故选D。 【变式1-3】如图所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T型支架在竖直方向振动，T型支架下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中，当圆盘静止时，让小球在水中振动，其阻尼振动频率约为3Hz。现使圆盘以4s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球的振动达到稳定，下列说法正确的是（　　） A．圆盘转动时，小球稳定振动周期为4s B．圆盘转动时，小球稳定振动频率为3Hz C．圆盘静止和转动时，小球都是做受迫振动 D．圆盘静止和转动时，小球都是做自由振动 【答案】A 【详解】AB．圆盘转动：给小球施加驱动力，小球做受迫振动。受迫振动稳定后，振动周期=驱动力周期。驱动力周期，因此小球稳定周期为4s，频率不等于固有频率3Hz，故A正确，B错误； CD．圆盘静止时：无驱动力，小球在水中做阻尼自由振动，不是受迫振动，故CD错误。 故选A。 【知识点2 受迫振动】 1.如图所示的实验装置为一挂在曲轴上的弹簧振子，用不同的转速匀速转动手柄，弹簧振子就会振动起来，且转速大时弹簧振子振动得快。这说明弹簧振子振动的周期和频率由手柄的转速决定。 2. 驱动力：作用于振动物体的周期性的外力。如果这一外力做功，可以补偿系统损失的机械能，则系统的振动可以一直维持下去。 3. 受迫振动： （1）受迫振动：系统在驱动力作用下的振动。 （2）受迫振动的频率（周期）：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。 【知识点3 共振现象及其应用】 1. 定义：驱动力的频率f等于系统的固有频率f0时，系统做受迫振动的振幅达到最大值，这种现象称为共振。 2. 共振的条件：驱动力的频率与系统的固有频率相等，即f驱＝f固。 3. 共振曲线：如图所示，共振曲线的横坐标为驱动力的频率，纵坐标为受迫振动的振幅。 f＝f0时发生共振，振幅有最大值；f＞f0或f＜f0时振幅较小。f与f0相差越大，振幅越小。 4. 共振的利用与防止 （1）利用：要利用共振，就应尽量使驱动力的频率与物体的固有频率一致。如微波炉、共振筛、共振转速计、乐器上的共鸣箱等。 （2）防止：在需要防止共振危害时，要尽量使驱动力的频率和固有频率不相等，而且相差越多越好。如：部队过桥应便步走、高层建筑安装阻尼器等。 说明：共振是物体做受迫振动时的一种特殊现象。 【例2】在张紧的水平绳上挂5个单摆，先让A摆振动起来，其余各摆也随之振动，已知A、B、C的摆长相等，下列判断错误的是（　　） A．振动稳定后E摆的振动频率最大 B．E摆的固有频率最大 C．振动稳定后5个摆的振动频率都相等 D．B、C摆的振幅比D、E要大 【答案】A 【详解】AC．受迫振动稳定后，物体的振动频率等于驱动力的频率，本题中摆振动带动其他摆振动，摆是驱动源，其他摆做受迫振动，所以振动稳定后，所有摆的振动频率都等于摆的振动频率，即5个摆的振动频率相等，故A项错误、C项正确，C项不符合题意、A项符合题意； B．单摆的固有频率由摆长决定，公式为 由图可知，摆的摆长最短，所以摆的固有频率最大，故B项正确，不符合题意； D．当驱动力的频率等于物体的固有频率时，发生共振，振幅最大。 已知，则，、摆的固有频率等于驱动力频率，发生共振，振幅最大；而、摆的摆长与不同，固有频率与驱动频率不相等，不发生共振，振幅较小。所以、摆的振幅比、要大，故D项正确，不符合题意。 故选A。 【变式2-1】对下列各图的叙述，正确的是（　　） A．图甲为大楼建筑中的阻尼器，当阻尼器摆动后，摆动方向始终与大楼的振动方向相反 B．图乙中，C摆开始振动后，A、B、D三个摆中B摆的振幅最大 C．图丙为一个单摆做受迫振动的振幅与驱动力频率的曲线，此单摆的固有周期约为0.5 s D．图丁中随海浪上下振动的游艇运动到最高点时具有向上的最大加速度 【答案】A 【详解】A．大楼的调谐阻尼器作用就是抵消大楼的振动，阻尼器摆动方向始终与大楼振动方向相反，从而抑制共振、减小大楼摆动幅度，故A正确； B．图乙中C摆振动后，驱动力频率等于C摆的固有频率；共振发生在固有频率等于驱动力频率时，图中A摆摆长与C摆摆长相等，固有频率和C摆相同，因此A摆振幅最大，故B错误； C．受迫振动共振时，驱动力频率等于固有频率，由丙图得单摆固有频率，因此固有周期，故C错误； D．游艇随海浪上下做简谐类振动，运动到最高点时位移向上最大，回复力方向向下，因此加速度方向向下，是向下的最大加速度，故D错误。 故选 A。 【变式2-2】一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线（振幅与驱动力频率的关系）如图所示，则（　　） A．此单摆的固有周期为 B．此单摆的摆长约为 C．若摆长增大，单摆的固有频率增大 D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动 【答案】A 【详解】A．由共振曲线可知，振幅最大时驱动力频率为，故单摆的固有频率，固有周期，故A正确； B．由单摆周期公式 整理得，故B错误； CD．由 可知，摆长增大时固有频率减小，共振峰向左移动，故CD错误。 故选A。 【变式2-3】如图甲所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统。现使圆盘以不同的频率转动，测得小球的振幅与圆盘转动频率的关系如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．小球振动频率始终等于3Hz B．小球振动频率始终小于圆盘的转动频率 C．小球和弹簧组成振动系统的固有频率为3Hz D．若改变小球的质量，则图乙中曲线峰值对应的频率不变 【答案】C 【详解】AB．小球做受迫振动，稳定后振动频率等于驱动力的频率，随圆盘转动频率改变而改变，始终等于圆盘的转动频率，并不是始终等于3Hz，故AB错误； C．当驱动力频率等于振动系统的固有频率时，发生共振，振幅最大。由图乙可知，振幅峰值出现在，说明该振动系统的固有频率为，故C正确； D．若改变小球质量，振动系统固有频率会发生改变，因此乙图中峰值对应的频率也会改变，故D错误。 故选C。 【例3】铺设公路时需要将旧的水泥路面去除，经常使用一种路面破碎机械，如图所示，它可以通过调节振动锤头的振动频率来有效地击碎水泥路面。下列有关说法正确的是（　　） A．振动锤头的振动频率越大，击碎效率越高 B．振动锤头的振动频率越小，击碎效率越高 C．振动锤头的振动频率越接近路面的固有频率，击碎效率越高 D．振动锤头的振动频率越远离路面的固有频率，击碎效率越高 【答案】C 【详解】AB．击碎路面的效率并不单纯取决于振动锤头频率的绝对大小（并非越大越好或越小越好），而是取决于该频率与路面固有频率的匹配程度，故A、B错误； CD．路面破碎机具击碎路面，本质上是让路面做受迫振动。根据共振原理，当振动锤头的振动频率（即驱动力频率）越接近水泥路面的固有频率时，路面振动的振幅就越大，吸收的能量也越多，从而更容易被击碎，击碎效率越高；反之，频率偏离越大，击碎效率越低。故C正确，D错误。 故选C。 【变式3-1】用声波发生器对着一玻璃杯子产生频率为的声波，杯子未被声波震碎。将声波发生器产生的声波频率调整为时，杯子被声波震碎了。下列说法中正确的是（　　） A．若将声波发生器产生的声波频率调整为更高的，杯子一定更容易被声波震碎 B．当声波的频率为时，杯子做简谐振动 C．当声波的频率为时，杯子振动的频率为 D．轻敲一下杯子，它振动的频率更接近而不是 【答案】C 【详解】A．只有驱动力频率接近杯子固有频率时，共振效应最强、振幅最大，杯子才容易被震碎。能震碎杯子说明更接近杯子固有频率，更高的会偏离固有频率，振幅更小，不一定更容易震碎，故 A 错误； B．杯子在外来声波（驱动力）作用下做受迫振动，存在阻尼作用，不满足简谐振动“回复力满足、无阻尼自由振动”的条件，不是简谐振动，故 B错误； C．受迫振动稳定时，物体的振动频率等于驱动力频率，驱动力频率为，因此杯子振动频率为，故C正确。 D．轻敲杯子时杯子做自由振动，振动频率等于自身固有频率；能震碎杯子说明更接近杯子的固有频率，因此轻敲的振动频率更接近，故 D 错误。 故选C。 【变式3-2】滚筒式洗衣机的脱水桶转得很快时，机身的振动并不强烈。切断电源，脱水桶转速继续变慢，到某一时刻t，机身反而剧烈振动起来，之后机身的振动又随之减弱。对这种现象的分析说法正确的是（　　） A．在t时刻脱水桶的惯性最大 B．机身振动的频率与脱水桶的转动频率无关 C．在t时刻洗衣机发生共振 D．脱水桶以不同频率转动时，机身振动的剧烈程度一定不同 【答案】C 【详解】A．惯性是物体本身的性质，只与物体的质量有关，A错误； BC．脱水桶转动产生驱动力，这种驱动力的频率就是脱水桶转动的频率，当脱水桶的转动频率与机身的固有频率相等时机身发生共振，振幅最大，B错误，C正确。 D．由教材中的共振曲线可知，当脱水桶转动频率大于或小于机身系统的固有频率时，机身振动的剧烈程度可能相同，故D错误。 故选C。 【变式3-3】如图所示，蛇形摆各摆球的摆长从左到右按一定规律递减，现有10个摆球，质量均为m，从左到右依次编号为，摆长分别为，摆长满足，其中，编号的单摆周期为（为已知量），用一板子把所有摆球由平衡位置垂直于蛇形摆所在平面推起一小段相同的位移，然后同时释放，不考虑空气阻力，摆球开始做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．编号为n的单摆的周期 B．板子放开后编号的单摆若完成了5次全振动，则编号的单摆完成了8次全振动 C．板子放开后最短经过，所有摆球又重新回到释放时的状态 D．若沿垂直于蛇形摆所在平面方向以T为周期去摇晃摆架，经过足够长时间，所有摆球均以T为周期摆动 【答案】ABD 【详解】A．编号为的单摆的摆长为 由单摆周期公式得，故A正确； B．取，有，编号为的单摆完成次全振动的时间为，此时间内编号为的单摆完成的全振动次数为，故B正确； C．所有摆球重新回到释放状态时，各摆球均需完成整数次全振动。设编号为的单摆完成次全振动，则编号为的单摆完成的全振动次数为 要使均为整数，的最小值为，最短时间为，故C错误； D．摆架做周期为的振动后，各单摆在外力作用下做受迫振动，经过足够长时间后其振动周期均等于驱动力的周期，故D正确。 故选ABD。 一、单选题（共10道） 1．一个共振筛如图甲所示，该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电动偏心轮的电压，可使偏心轮转速提高，增加筛子的质量，筛子的固有周期随之增大。某段时间内偏心轮的转速是60r/min，下列说法正确的是（　　） A．共振筛此时振动的频率是0.8Hz B．增大偏心轮的转速，可以使筛子的振幅减小 C．适当减小筛子的质量，可以使筛子的固有频率减小 D．适当增大偏心轮的电压，可以使筛子的振幅增大 【答案】B 【详解】A．偏心轮的转速 则角速度为 故频率 共振筛的频率与偏心轮的频率相同，故A错误； BD．若增加偏心轮的转速，角速度增大，则共振筛的频率增大，根据题图乙可知，偏离固有频率越来越大，其振幅将减小；增大电动偏心轮的电压，共振筛的频率变大，则振幅也将减小，故B正确，D错误； C．减小筛子质量，可减小筛子的固有周期，则筛子的固有频率增大，故C错误。 故选B。 2．物体的固有频率为，若驱动力的频率由逐渐增加至，物体的振幅变化情况为（　　） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】C 【详解】在受迫振动中，物体的振幅取决于驱动力的频率与物体固有频率的关系。当驱动力的频率接近物体的固有频率时，物体的振幅增大，即物体振动得越来越剧烈；当驱动力的频率等于物体的固有频率时，物体发生共振，其振幅最大；而当驱动力的频率偏离物体的固有频率时，物体的振幅减小。所以当驱动力的频率由逐渐增加至时，物体的振幅先增大后减小。 故选C。 3．很多高层建筑都会安装减震耗能阻尼器，用来控制强风或地震导致的振动，阻尼器相当于一个巨型质量块，简单说就是将阻尼器悬挂在大楼上方。2024年9月16日，台风“贝碧嘉”登陆上海，安装在上海中心大厦125层的千吨“上海慧眼”阻尼器开始晃动。这款阻尼器由我国自主研发，在大厦受到风力作用摇晃时，阻尼器会摆向风吹来的方向，产生与大厦振动方向相反的力，从而削弱大厦的晃动幅度。下列说法正确的是（　　） A．阻尼器的振动频率取决于自身的固有频率 B．阻尼器做受迫振动，其振动频率与大楼的振动频率相同 C．阻尼器做的是阻尼振动，其振动频率大于大楼的振动频率 D．安装阻尼器能起到减震作用，其原理是阻尼器能改变大厦的固有频率，从而杜绝发生共振现象 【答案】B 【详解】A．阻尼器在大楼风力作用下做受迫振动，其振动频率等于驱动力的频率，即大楼的振动频率，而不是取决于自身的固有频率，故A错误； B．阻尼器做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以其振动频率与大楼的振动频率相同，故B正确； C．阻尼器做受迫振动，其振动频率等于大楼的振动频率，故C错误； D．大厦的固有频率由大厦本身的结构决定，安装阻尼器不能改变大厦的固有频率，阻尼器是通过产生与大厦振动方向相反的力来削弱晃动，故D错误。 故选B。 4．2026年4月，全球首个纳米级微振动实验室在我国雄安正式投运。实验中，科研人员对精密光学组件施加可控周期性驱动力，使组件做稳定受迫振动。下列说法正确的是（　　） A．组件稳定振动的频率由自身固有频率决定 B．增大周期性驱动力的频率，组件振幅一定变大 C．驱动力频率等于组件固有频率时，组件振幅最大 D．组件做受迫振动的振幅恒定，与驱动力频率无关 【答案】C 【详解】A．组件做稳定受迫振动时，其振动频率等于周期性驱动力的频率，与组件自身的固有频率无关，故A错误； B．根据受迫振动规律，当驱动力频率等于固有频率时振幅最大，若初始状态下驱动力频率满足，此时增大周期性驱动力的频率，使得驱动力频率与固有频率的差值变大，则组件的振幅会减小，故B错误； C．根据共振原理，当周期性驱动力的频率等于组件自身的固有频率时，组件发生共振现象，此时组件的振幅达到最大，故C正确； D．组件做受迫振动时的振幅大小与驱动力频率密切相关，驱动力频率越接近组件的固有频率，组件的振幅越大，偏离固有频率越多，振幅越小，并非恒定，故D错误。 故选C。 5．两个弹簧振子，甲的固有频率为f，乙的固有频率为2f、若它们均在频率为1.5f的驱动力作用下做受迫振动，则（　　） A．甲的振幅较大 B．乙的振幅较大 C．两者振幅相同 D．无法比较 【答案】A 【详解】物体做受迫振动时，振幅的大小取决于驱动力频率f驱和固有频率f固的接近程度，该程度由的值衡量，该值越小，振幅越大。甲的情况：；乙的情况：。因为，所以甲的振幅较大。 故选A。 6．历史上曾有军队齐步通过桥梁导致桥梁剧烈振动甚至坍塌的事故。为避免此类危险，现代军队过桥时通常改为便步（即步伐不统一）。下列说法正确的是（　　） A．军队齐步走产生的驱动力频率等于桥梁的固有频率时，桥梁的振幅最大 B．桥梁的固有频率与军队齐步走的频率有关 C．军队总质量越大，桥梁越有可能发生共振 D．桥梁做简谐运动时，振幅越大，固有频率越高 【答案】A 【详解】A．当驱动力频率等于振动系统的固有频率时，系统发生共振，振幅达到最大，即满足时振幅最大。军队齐步走的频率为驱动力频率，等于桥梁固有频率时桥梁发生共振，振幅最大，故A正确； B．固有频率是由物体自身的材料、结构等属性决定的，与外界驱动力的频率无关，桥梁的固有频率和军队齐步走的频率没有关联，故B错误； C．共振的发生只取决于驱动力频率与固有频率是否相等，与军队总质量无直接关系，故C错误； D．简谐运动的固有频率由系统自身属性决定，与振幅大小无关，故D错误。 故选A。 7．如图是单摆做阻尼振动的位移一时间图像，关于摆球在运动过程中，说法正确的是（　　） A．摆球的速度越来越小 B．摆球的机械能越来越小 C．两点的动能相等 D．两点的动量等大反向 【答案】B 【详解】A．摆球做往复运动，速度是周期性变化的（靠近平衡位置时速度增大，远离平衡位置时速度减小），只是最大速度逐渐减小，并非速度一直越来越小，故A错误； B．阻尼振动过程中，摆球始终克服阻力做功，机械能不断转化为内能，因此机械能越来越小，故B正确； C．两点位移大小相等，摆球的重力势能相等；由于时刻比时刻晚，机械能损失更多，总机械能更小，因此点的动能更小，故C错误； D．点动能大于点动能，因此点速率更大，动量大小更大，故D错误。 故选B。 8．一单摆在地球表面做受迫振动，振幅A与驱动力频率f之间的关系曲线如图所示，下列说法正确的是（　　） A．该单摆的摆长约为2m B．若摆长减小，则共振曲线的峰值向左偏移 C．当驱动力频率为0.5Hz时，该单摆的振幅最大 D．若在月球上做实验，则共振曲线的峰值向右偏移 【答案】C 【详解】AC．由题图可知，当驱动力频率为0.5Hz时，该单摆的振幅最大，则该单摆的固有频率为0.5Hz，固有周期，根据单摆周期公式有，可得该单摆的摆长约为L=1m，A错误，C正确； B．若摆长减小，则单摆的固有周期变小，固有频率变大，则共振曲线的峰值向右偏移，B错误； D．若在月球上做实验，因月球上重力加速度g较小，则单摆的固有周期变大，固有频率变小，则共振曲线的峰值向左偏移，D错误。 故选C。 9．如图所示，曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为。现匀速转动摇把，转速为，则（　　） A．当振子稳定振动时，它的振动周期是 B．当振子稳定振动时，它的振动频率是 C．当转速增大时，弹簧振子的振幅增大 D．当转速减小时，弹簧振子的振幅可能增大 【答案】D 【详解】AB．摇把转速，换算为频率 振子受迫振动稳定后的频率等于驱动力的频率，即 振子受迫振动稳定后的周期等于驱动力的周期，即，故AB错误； CD．受迫振动的振幅取决于驱动频率与固有频率的接近程度。固有频率    ，当前驱动频率 转速增大，则更大，离固有频率更远，因此振幅减小； 转速减小，则减小，向靠近，因此振幅可能增大，故C错误，D正确。 故选D。 10．一个风柔月明的夜晚，老夏坐在窗前桌旁学习，身在明灯下，心沐皎月中。窗外一番景色令人平静：“风抚新枝伴钟摇，一滴一嗒一上下”，桌上的钟，秒针走一下，窗外的枝头向上撩过月面，秒针又走一下，枝头又向下划过月面，如此往复许久。下列对上述情景的说法合理的是（　　 ） A．枝头的振动属于简谐振动 B．枝头的振动属于受迫振动 C．枝头振动的频率为2Hz D．若将树枝视作绕枝根的圆周运动，则枝上越靠近枝根的点转动得越快 【答案】B 【详解】A．简谐振动的回复力满足 树枝受到风力作用，阻尼、驱动力复杂，回复力不满足线性关系，不属于简谐振动，故A错误； B．树枝持续受风力周期性驱动而振动，属于受迫振动，驱动力为风的作用力，故B正确； C．根据题目可知，枝头的振动周期为2s，根据 可知，故C错误； D．若将树枝视作绕枝根的圆周运动，枝上各点的角速度相同，根据 可知枝上越靠近枝根的点转动半径越小，则转动得越慢，故D错误。 故选B。 二、多选题（共4道） 11．如图所示，把甲、乙两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为9Hz，乙弹簧振子的固有频率为72Hz，当支架受到竖直方向且频率为9Hz的驱动力作用做受迫振动时，两个弹簧振子的振动情况是（    ） A．甲的振幅较大 B．甲的振动频率为9Hz C．乙的振幅较大 D．甲、乙两振子的振幅、频率均相等 【答案】AB 【详解】B．物体做受迫振动时，稳定后的振动频率始终等于驱动力的频率，与自身固有频率无关。本题中驱动力频率为9Hz，因此甲、乙两个振子的振动频率都是9Hz，故B正确； ACD．当振子的固有频率等于驱动力频率时，会发生共振，振幅达到最大。本题中甲的固有频率为9Hz，和驱动力频率完全相等，发生共振；乙的固有频率72Hz和驱动力频率相差很大，因此甲的振幅远大于乙的振幅，故A正确，CD错误。 故选AB。 12．一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是（　　） A．机械能逐渐转化为其他形式的能 B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能 C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能 D．后一时刻的动能可能大于前一时刻的动能 【答案】AD 【详解】A．单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，机械能逐渐转化为其他形式的能，故A正确； BCD．摆球在平衡位置附近动能大，重力势能小，而在最大位置附近动能小，重力势能大，向平衡位置摆动，动能增大；远离平衡位置，重力势能增大，故BC错误，D正确。 故选AD。 13．有一根张紧的水平绳上挂有5个双线摆，其中b摆摆球质量最大，其他4个摆球质量相等，摆长关系为，如图所示。现将b摆垂直纸面向里拉开一微小角度，放手后让其振动，经过一段时间，其余各摆均振动起来，达到稳定时（　　） A．周期关系为 B．振幅关系为 C．其他四个摆中，d的振幅最大，且 D．其他四个摆中c摆的振幅最大 【答案】AC 【详解】A．b摆的振动，作为一种驱动力迫使其他四个摆做受迫振动，受迫振动的周期（或频率）等于驱动力的周期（或频率），而和自身的固有周期（固有频率）无关，故A正确； BCD．四个摆做受迫振动的振幅与驱动力的频率跟自身的固有频率之差有关，这个差越小，做受迫振动的振幅越大。在a、c、d、e四个摆中，d的摆长跟b的摆长相等，因此d的固有频率和驱动力的频率相等，d摆做受迫振动的振幅最大；a摆与e摆相比，a摆的摆长更接近于b的摆长，即固有频率和驱动力的频率相差较小，所以a摆做受迫振动的振幅大于e摆，故C正确，BD错误。 故选AC。 14．如图所示，在水平面上有一质量为m的小物块与左端固定的轻质弹簧相连，构成一个水平弹簧振子，已知弹簧劲度系数为k，弹簧处于原长时小物块位于O点。物块与地面间动摩擦因数为。现把小物块在N点（与O点相距x0）由静止释放，此后经过多次往复运动而静止。已知简谐运动周期为，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．物块做简谐运动，平衡位置为O点 B．相邻两次速度为零所经历的时间越来越短 C．从N点释放到速度第二次为零经历时间为 D．从N点释放到速度第二次为零走过的路程为 【答案】CD 【详解】A．设物块偏离点的位移为，则物块运动过程中所受的合外力，不满足弹簧振子做简谐运动时回复力的形式，且平衡位置合力为零，不在点，A错误； B．物块经过多次往复运动而静止，做阻尼振动，但阻力不大，弹簧振子的周期由自身性质决定，阻尼振动（阻力不大时）的周期近似等于系统固有周期，相邻两次速度为零的时间间隔近似为半个周期，几乎不变，不会越来越短，B错误； C．由前面分析知，物块从N点释放到速度第二次为零经历时间为一个周期，即，C正确； D．设物块第一次速度为零时离点的距离为，第二次为，由能量守恒定律 第一次有 得 第二次有 得，则总路程 解得，D正确。 故选CD。 【点睛】 三、解答题（共2道） 15．我国地铁道床技术革新，采用如图甲所示的“钢弹簧浮置板道床”装置，将浮置板道床置于钢弹簧隔振器上，有效降低了列车经过时的振动和噪音。该装置可以等效为如图乙所示的弹簧振子模型，将列车经过时使道床振动的力等效为对弹簧振子施加一个周期性驱动力，使振子做受迫振动，振子振动图像如图丙所示。若振子总质量，弹簧质量不计，弹簧劲度系数，忽略振动过程所受的阻力，重力加速度g取。 （1）请写出振子做受迫振动的振动方程（不需要写出推导过程）； （2）振子受迫振动时在空气中产生次声波，已知声波在空气中传播速度为340m/s，求此声波的波长； （3）若振子做简谐振动时振幅，求振动过程振子所受的最大回复力和最大动能。（提示：弹性势能可用计算，其中k为弹簧劲度系数，x为弹簧形变量） 【答案】（1） （2）34m （3）1×106N，1×104J 【详解】（1）由图丙可知，振幅为3cm，周期为0.1s，所以振动方程为 （2）空气也属于受迫振动，振动频率与振子的频率相等，即 所以波长为 （3）在最大位移处，回复力最大，即 平衡位置，速度最大，动能最大，加速度为零，即 从最低点运动到平衡位置的过程，根据系统机械能守恒定律可得 代入数据解得 16．一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线振幅与驱动力频率的关系如图1所示，如图2是在驱动力作用下做受迫振动的振动图像，求 （1）该单摆的摆长（，取）； （2）写出图2的振动方程（用正弦函数表示），并求出时摆球的位移的大小。 【答案】（1） （2）， 【详解】（1）由图像可知，此单摆的固有频率为，由频率和周期之间的关系可得周期为 根据周期公式 可得单摆的摆长 （2）图2的周期为，振幅为，可得振动方程为 初始时刻位移为，代入可得 可得振动方程为 时摆球的位移为 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.6受迫振动 共振 【新教材人教版】 【知识框架+知识精讲（3个知识归纳+3个题型）+课后作业】 情景导入 鱼洗是古代盥洗用的脸盆，多用青铜铸成。在鱼洗中倒满清水，用手慢慢摩擦盆耳，鱼洗就会发出嗡嗡声，并溅起大量水花。这其中包含了怎样的原理呢？ 知识归纳 【知识点1 振动中的能量损失】 1. 固有振动、固有频率 （1）固有振动：振动系统在__________作用下的振动。 物体做固有振动时，其周期或频率与振幅__________，仅由____________________决定。 （2）固有频率：__________振动的频率。 2. 阻尼振动 （1）阻尼振动：实际的振动系统会受到摩擦力、黏滞力等__________作用，振幅逐渐__________。这种振幅随时间逐渐__________的振动称为阻尼振动。其振动图像如图所示。阻尼振动中，周期和频率__________。 （2）振动系统能量衰减的两种方式： ①振动系统受到__________阻力作用，机械能逐渐转化为__________。 ②振动系统引起邻近介质中各__________的振动，能量向__________辐射出去。 【例1】如图甲所示，粗细均匀的一根木筷，下端绕有铁丝，可使其竖直漂浮于装水的杯中。以竖直向上为正方向，把木筷提起一段距离后放手，木筷的振动图像如图乙所示。关于木筷（含铁丝）下列说法正确的是（　　） A．在时刻速度为零 B．在时刻向下运动 C．在时刻速度为零 D．木筷（含铁丝）振动过程中，机械能保持不变 【变式1-1】如图是摆球做阻尼振动的位移－时间图像，下列说法正确的是（　　） A．振动过程中周期不变 B．摆球在P时刻的势能等于N时刻的势能 C．摆球在P时刻的动能等于N时刻的动能 D．摆球在P时刻的机械能等于N时刻的机械能 【变式1-2】如图所示，共振破冰船利用专用传感器感应冰面的振动反馈，自动调节锤头振动频率。结合所学知识，下列说法正确的是（　　） A．锤头振动频率越高，则冰层的振动幅度越大 B．锤头的振动频率大于冰层的固有频率时破冰效果最好 C．破冰船停止工作后，冰层余振的振幅越来越小，频率也越来越小 D．对于不同冰层，为增强破冰效果，锤头的振动频率的大小需要调整 【变式1-3】如图所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T型支架在竖直方向振动，T型支架下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中，当圆盘静止时，让小球在水中振动，其阻尼振动频率约为3Hz。现使圆盘以4s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球的振动达到稳定，下列说法正确的是（　　） A．圆盘转动时，小球稳定振动周期为4s B．圆盘转动时，小球稳定振动频率为3Hz C．圆盘静止和转动时，小球都是做受迫振动 D．圆盘静止和转动时，小球都是做自由振动 【知识点2 受迫振动】 1.如图所示的实验装置为一挂在曲轴上的弹簧振子，用不同的转速匀速转动手柄，弹簧振子就会振动起来，且转速大时弹簧振子振动得快。这说明弹簧振子振动的周期和频率由__________决定。 2. 驱动力：作用于振动物体的__________的外力。如果这一外力做功，可以____________________，则系统的振动可以一直维持下去。 3. 受迫振动： （1）受迫振动：系统在__________作用下的振动。 （2）受迫振动的频率（周期）：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于__________的频率，与物体的固有频率__________。 【知识点3 共振现象及其应用】 1. 定义：驱动力的频率f__________系统的固有频率f0时，系统做受迫振动的振幅达到__________，这种现象称为共振。 2. 共振的条件：驱动力的频率与系统的固有频率__________，即__________。 3. 共振曲线：如图所示，共振曲线的横坐标为驱动力的频率，纵坐标为受迫振动的振幅。 __________时发生共振，振幅有最大值；__________或__________时振幅较小。f与f0相差越大，振幅越__________。 4. 共振的利用与防止 （1）利用：要利用共振，就应尽量使驱动力的频率与物体的固有频率__________。如微波炉、共振筛、共振转速计、乐器上的共鸣箱等。 （2）防止：在需要防止共振危害时，要尽量使驱动力的频率和固有频率__________，而且相差越__________越好。如：部队过桥应便步走、高层建筑安装阻尼器等。 说明：共振是物体做__________时的一种特殊现象。 【例2】在张紧的水平绳上挂5个单摆，先让A摆振动起来，其余各摆也随之振动，已知A、B、C的摆长相等，下列判断错误的是（　　） A．振动稳定后E摆的振动频率最大 B．E摆的固有频率最大 C．振动稳定后5个摆的振动频率都相等 D．B、C摆的振幅比D、E要大 【变式2-1】对下列各图的叙述，正确的是（　　） A．图甲为大楼建筑中的阻尼器，当阻尼器摆动后，摆动方向始终与大楼的振动方向相反 B．图乙中，C摆开始振动后，A、B、D三个摆中B摆的振幅最大 C．图丙为一个单摆做受迫振动的振幅与驱动力频率的曲线，此单摆的固有周期约为0.5 s D．图丁中随海浪上下振动的游艇运动到最高点时具有向上的最大加速度 【变式2-2】一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线（振幅与驱动力频率的关系）如图所示，则（　　） A．此单摆的固有周期为 B．此单摆的摆长约为 C．若摆长增大，单摆的固有频率增大 D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动 【变式2-3】如图甲所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统。现使圆盘以不同的频率转动，测得小球的振幅与圆盘转动频率的关系如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．小球振动频率始终等于3Hz B．小球振动频率始终小于圆盘的转动频率 C．小球和弹簧组成振动系统的固有频率为3Hz D．若改变小球的质量，则图乙中曲线峰值对应的频率不变 【例3】铺设公路时需要将旧的水泥路面去除，经常使用一种路面破碎机械，如图所示，它可以通过调节振动锤头的振动频率来有效地击碎水泥路面。下列有关说法正确的是（　　） A．振动锤头的振动频率越大，击碎效率越高 B．振动锤头的振动频率越小，击碎效率越高 C．振动锤头的振动频率越接近路面的固有频率，击碎效率越高 D．振动锤头的振动频率越远离路面的固有频率，击碎效率越高 【变式3-1】用声波发生器对着一玻璃杯子产生频率为的声波，杯子未被声波震碎。将声波发生器产生的声波频率调整为时，杯子被声波震碎了。下列说法中正确的是（　　） A．若将声波发生器产生的声波频率调整为更高的，杯子一定更容易被声波震碎 B．当声波的频率为时，杯子做简谐振动 C．当声波的频率为时，杯子振动的频率为 D．轻敲一下杯子，它振动的频率更接近而不是 【变式3-2】滚筒式洗衣机的脱水桶转得很快时，机身的振动并不强烈。切断电源，脱水桶转速继续变慢，到某一时刻t，机身反而剧烈振动起来，之后机身的振动又随之减弱。对这种现象的分析说法正确的是（　　） A．在t时刻脱水桶的惯性最大 B．机身振动的频率与脱水桶的转动频率无关 C．在t时刻洗衣机发生共振 D．脱水桶以不同频率转动时，机身振动的剧烈程度一定不同 【变式3-3】如图所示，蛇形摆各摆球的摆长从左到右按一定规律递减，现有10个摆球，质量均为m，从左到右依次编号为，摆长分别为，摆长满足，其中，编号的单摆周期为（为已知量），用一板子把所有摆球由平衡位置垂直于蛇形摆所在平面推起一小段相同的位移，然后同时释放，不考虑空气阻力，摆球开始做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．编号为n的单摆的周期 B．板子放开后编号的单摆若完成了5次全振动，则编号的单摆完成了8次全振动 C．板子放开后最短经过，所有摆球又重新回到释放时的状态 D．若沿垂直于蛇形摆所在平面方向以T为周期去摇晃摆架，经过足够长时间，所有摆球均以T为周期摆动 一、单选题（共10道） 1．一个共振筛如图甲所示，该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电动偏心轮的电压，可使偏心轮转速提高，增加筛子的质量，筛子的固有周期随之增大。某段时间内偏心轮的转速是60r/min，下列说法正确的是（　　） A．共振筛此时振动的频率是0.8Hz B．增大偏心轮的转速，可以使筛子的振幅减小 C．适当减小筛子的质量，可以使筛子的固有频率减小 D．适当增大偏心轮的电压，可以使筛子的振幅增大 2．物体的固有频率为，若驱动力的频率由逐渐增加至，物体的振幅变化情况为（　　） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 3．很多高层建筑都会安装减震耗能阻尼器，用来控制强风或地震导致的振动，阻尼器相当于一个巨型质量块，简单说就是将阻尼器悬挂在大楼上方。2024年9月16日，台风“贝碧嘉”登陆上海，安装在上海中心大厦125层的千吨“上海慧眼”阻尼器开始晃动。这款阻尼器由我国自主研发，在大厦受到风力作用摇晃时，阻尼器会摆向风吹来的方向，产生与大厦振动方向相反的力，从而削弱大厦的晃动幅度。下列说法正确的是（　　） A．阻尼器的振动频率取决于自身的固有频率 B．阻尼器做受迫振动，其振动频率与大楼的振动频率相同 C．阻尼器做的是阻尼振动，其振动频率大于大楼的振动频率 D．安装阻尼器能起到减震作用，其原理是阻尼器能改变大厦的固有频率，从而杜绝发生共振现象 4．2026年4月，全球首个纳米级微振动实验室在我国雄安正式投运。实验中，科研人员对精密光学组件施加可控周期性驱动力，使组件做稳定受迫振动。下列说法正确的是（　　） A．组件稳定振动的频率由自身固有频率决定 B．增大周期性驱动力的频率，组件振幅一定变大 C．驱动力频率等于组件固有频率时，组件振幅最大 D．组件做受迫振动的振幅恒定，与驱动力频率无关 5．两个弹簧振子，甲的固有频率为f，乙的固有频率为2f、若它们均在频率为1.5f的驱动力作用下做受迫振动，则（　　） A．甲的振幅较大 B．乙的振幅较大 C．两者振幅相同 D．无法比较 6．历史上曾有军队齐步通过桥梁导致桥梁剧烈振动甚至坍塌的事故。为避免此类危险，现代军队过桥时通常改为便步（即步伐不统一）。下列说法正确的是（　　） A．军队齐步走产生的驱动力频率等于桥梁的固有频率时，桥梁的振幅最大 B．桥梁的固有频率与军队齐步走的频率有关 C．军队总质量越大，桥梁越有可能发生共振 D．桥梁做简谐运动时，振幅越大，固有频率越高 7．如图是单摆做阻尼振动的位移一时间图像，关于摆球在运动过程中，说法正确的是（　　） A．摆球的速度越来越小 B．摆球的机械能越来越小 C．两点的动能相等 D．两点的动量等大反向 8．一单摆在地球表面做受迫振动，振幅A与驱动力频率f之间的关系曲线如图所示，下列说法正确的是（　　） A．该单摆的摆长约为2m B．若摆长减小，则共振曲线的峰值向左偏移 C．当驱动力频率为0.5Hz时，该单摆的振幅最大 D．若在月球上做实验，则共振曲线的峰值向右偏移 9．如图所示，曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为。现匀速转动摇把，转速为，则（　　） A．当振子稳定振动时，它的振动周期是 B．当振子稳定振动时，它的振动频率是 C．当转速增大时，弹簧振子的振幅增大 D．当转速减小时，弹簧振子的振幅可能增大 10．一个风柔月明的夜晚，老夏坐在窗前桌旁学习，身在明灯下，心沐皎月中。窗外一番景色令人平静：“风抚新枝伴钟摇，一滴一嗒一上下”，桌上的钟，秒针走一下，窗外的枝头向上撩过月面，秒针又走一下，枝头又向下划过月面，如此往复许久。下列对上述情景的说法合理的是（　　 ） A．枝头的振动属于简谐振动 B．枝头的振动属于受迫振动 C．枝头振动的频率为2Hz D．若将树枝视作绕枝根的圆周运动，则枝上越靠近枝根的点转动得越快 二、多选题（共4道） 11．如图所示，把甲、乙两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为9Hz，乙弹簧振子的固有频率为72Hz，当支架受到竖直方向且频率为9Hz的驱动力作用做受迫振动时，两个弹簧振子的振动情况是（    ） A．甲的振幅较大 B．甲的振动频率为9Hz C．乙的振幅较大 D．甲、乙两振子的振幅、频率均相等 12．一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是（　　） A．机械能逐渐转化为其他形式的能 B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能 C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能 D．后一时刻的动能可能大于前一时刻的动能 13．有一根张紧的水平绳上挂有5个双线摆，其中b摆摆球质量最大，其他4个摆球质量相等，摆长关系为，如图所示。现将b摆垂直纸面向里拉开一微小角度，放手后让其振动，经过一段时间，其余各摆均振动起来，达到稳定时（　　） A．周期关系为 B．振幅关系为 C．其他四个摆中，d的振幅最大，且 D．其他四个摆中c摆的振幅最大 14．如图所示，在水平面上有一质量为m的小物块与左端固定的轻质弹簧相连，构成一个水平弹簧振子，已知弹簧劲度系数为k，弹簧处于原长时小物块位于O点。物块与地面间动摩擦因数为。现把小物块在N点（与O点相距x0）由静止释放，此后经过多次往复运动而静止。已知简谐运动周期为，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．物块做简谐运动，平衡位置为O点 B．相邻两次速度为零所经历的时间越来越短 C．从N点释放到速度第二次为零经历时间为 D．从N点释放到速度第二次为零走过的路程为 三、解答题（共2道） 15．我国地铁道床技术革新，采用如图甲所示的“钢弹簧浮置板道床”装置，将浮置板道床置于钢弹簧隔振器上，有效降低了列车经过时的振动和噪音。该装置可以等效为如图乙所示的弹簧振子模型，将列车经过时使道床振动的力等效为对弹簧振子施加一个周期性驱动力，使振子做受迫振动，振子振动图像如图丙所示。若振子总质量，弹簧质量不计，弹簧劲度系数，忽略振动过程所受的阻力，重力加速度g取。 （1）请写出振子做受迫振动的振动方程（不需要写出推导过程）； （2）振子受迫振动时在空气中产生次声波，已知声波在空气中传播速度为340m/s，求此声波的波长； （3）若振子做简谐振动时振幅，求振动过程振子所受的最大回复力和最大动能。（提示：弹性势能可用计算，其中k为弹簧劲度系数，x为弹簧形变量） 16．一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线振幅与驱动力频率的关系如图1所示，如图2是在驱动力作用下做受迫振动的振动图像，求 （1）该单摆的摆长（，取）； （2）写出图2的振动方程（用正弦函数表示），并求出时摆球的位移的大小。 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $