第二章 机械振动（单元复习讲义）物理人教版选择性必修第一册

该高中物理机械振动单元复习讲义通过模块式梳理构建完整知识体系，涵盖简谐运动特征、两种理想化模型（弹簧振子与单摆）、受迫振动与共振等核心内容，用对比表格呈现模型差异，要点速测强化基础，突出简谐运动特征及力学综合问题等重难点。 讲义以科学思维与科学探究为导向，设计“概念辨析-证明推导-图像分析”三级练习，如证明光滑斜面上小球做简谐运动（科学推理）、结合x-t图像分析速度加速度（模型建构），基础题巩固概念，能力题提升综合应用，助力教师实施分层教学，支持学生自主复习与深度学习。

第二章 机械振动 复习要点 一、简谐运动 1．简谐运动的概念 如果物体的位移与时间的关系遵从 的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条 ，这样的振动是一种简谐运动。 2．平衡位置 振动物体 时的位置。 3．回复力 (1)定义：使振动物体在平衡位置附近做 的力。 (2)方向：总是指向 。 (3)来源：可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。 4．描述简谐运动的物理量 物理量 定义 意义 位移 由 指向物体 的有向线段 描述物体振动中某时刻的位置相对于 的位移 振幅 振动物体离开平衡位置的 描述振动的 和能量 周期 振动物体完成一次 所需要的时间 描述振动的 ，两者关系：T＝ 频率 振动物体完成全振动的次数与 之比 相位 ωt＋φ0 描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态 二、简谐运动的公式和图像 1．表达式 (1)动力学表达式：F＝ ，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。 (2)运动学表达式：x＝ ，其中A表示振幅，ω＝＝2πf表示简谐运动的快慢，ωt＋φ0表示简谐运动的相位，φ0叫作 。　　　　　　　　　　　 2．简谐运动的图像 (1)如图所示。 (2)物理意义：表示振动质点的位移随 变化的规律。 三、弹簧振子、单摆及其周期公式 简谐运动的两种理想化模型 模型 弹簧振子(以水平 弹簧振子为例) 单摆 概念 是小球和弹簧组成的系统，有时简称为 。是一个理想化模型 将一小球用细线悬挂起来，把小球拉离最低点释放后，小球就会来回摆动，这样的装置就叫作单摆，是实际摆的理想化模型 示意图 特点 (1)弹簧质量与小球相比可忽略； (2)杆光滑无摩擦，小球运动时空气阻力可忽略 (1)摆线为不可伸缩的细线； (2)细线的质量与小球相比可忽略； (3)球的直径与线的长度相比可忽略； (4)空气等阻力可以忽略 做简谐运动的条件 弹簧形变在弹簧弹性限度内 最大摆角θ 做简谐运动的回复 力　　　 弹簧的 提供 摆球 沿与摆线垂直方向的分力提供 做简谐运动的平衡 位置　　 弹簧处于 处 最低点 做简谐运动的周期 与 无关 T＝ 做简谐运动的能量转化　　 弹性势能与动能相互转化， 守恒 重力势能与动能相互转化， 守恒 四、受迫振动和共振 1．振动中的能量损失 (1)阻尼振动：由于实际的振动系统都会受到摩擦力、黏滞力等阻碍作用，振幅必然 ，这种振动称为 。 (2)振动系统能量衰减的方式：①由于受到摩擦阻力的作用，振动系统的机械能逐渐转化为 ；②由于振动系统引起邻近介质中各质点的振动，使能量 。 2．受迫振动 系统在 作用下的振动叫作受迫振动。物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的周期(或频率)等于 的周期(或频率)，与物体的固有周期(或频率) 关。 3．共振 如图反映了受迫振动振幅A与驱动力频率f之间的关系。驱动力的频率f跟振动系统的固有频率f0相差越小，振幅越大；驱动力的频率f等于振动系统的 时，振幅最大，这种现象称为共振。 复习重难点 重点： 一、简谐运动的特征 1.受力和运动特征 (1)回复力F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。 (2)做简谐运动的物体加速度与物体偏离平衡位置的位移大小成正比而方向相反，为变加速运动。远离平衡位置时，x、F、a均增大，v减小，靠近平衡位置时则相反。 2．能量特征 简谐运动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。振幅越大，能量越大。远离平衡位置时，Ek减小，Ep增大；靠近平衡位置时则相反。 3．周期性特征 (1)相隔nT(n为正整数)的两个时刻，物体处于同一位置且振动状态相同。 (2)做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为。 4．对称性特征 相隔或(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度、回复力大小相等、方向相反，动能、势能相等。 二、简谐运动的描述 1.解析法 简谐运动的表达式为x＝Asin(ωt＋φ0)，它是用解析的方法描述简谐运动，结合三角函数的知识可作定量分析。 2．图像法 (1)图像特征 如图1所示，简谐运动的图像是一条正弦函数曲线，是正弦曲线、余弦曲线还是一般的正弦曲线，取决于质点初始时刻的位置，即初相位。 (2)图像的物理意义 图像反映的是做简谐运动的物体(质点)的位移随时间变化的规律，图像不代表质点运动的轨迹。 (3)图像信息 ①由图像可以看出质点振动的振幅、周期、初相位。 ②可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。 ③可以确定某时刻质点所受的回复力、加速度的方向；或比较各时刻质点加速度的大小。 难点：简谐运动与力学的综合问题 1．弹簧振子的力学综合问题 对于弹簧振子的简谐运动，常见的问题有：弹簧振子的振幅、小球最大速度、所受的最大力的分析、计算。 (1)弹簧振子的动力学分析通常用到回复力公式及牛顿第二定律。 (2)水平弹簧振子的能量由弹簧的最大弹性势能决定，它等于小球的最大动能。 2．单摆的力学综合问题 对于单摆的简谐运动，常见的问题有：单摆的振幅、摆球的最大速度、摆球所受的最小力、最大力的分析、计算。 (1)单摆的动力学分析通常用到回复力公式、圆周运动规律及牛顿第二定律。 (2)单摆的能量由振幅(用弧长表示)、摆长及摆球的质量共同决定：E＝Epm＝mgl(1－cosθm)。 它等于摆球的最大动能。 要点 简谐运动的特征 1.受力和运动特征 (1)回复力F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。 (2)做简谐运动的物体加速度与物体偏离平衡位置的位移大小成正比而方向相反，为变加速运动。远离平衡位置时，x、F、a均增大，v减小，靠近平衡位置时则相反。 2．能量特征 简谐运动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。振幅越大，能量越大。远离平衡位置时，Ek减小，Ep增大；靠近平衡位置时则相反。 3．周期性特征 (1)相隔nT(n为正整数)的两个时刻，物体处于同一位置且振动状态相同。 (2)做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为。 4．对称性特征 (1)相隔或(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度、回复力大小相等、方向相反，动能、势能相等。 如图甲所示，O为平衡位置，A、B为振子偏离平衡位置最大位移处，振子t时刻在C点，t＋时刻运动到D点，则位移xD＝－xC，速度vD＝－vC，加速度aD＝－aC。 (2)如图乙所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，相对于平衡位置的位移大小相等，速度的大小、加速度的大小、回复力的大小、动能、势能相等。 (3)如图乙所示，振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。 要点速测 1．关于简谐运动的理解，下列说法中正确的是（　　） A．简谐运动是匀变速运动 B．周期越大，说明物体做简谐运动越快 C．位移减小时，加速度减小，速度增大 D．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同 2．如图所示，甲质点在x1轴上做简谐运动，O1为其平衡位置，A1、B1为其所能到达的最远处。乙质点沿x2轴从A2点开始做初速度为零的匀加速直线运动。已知，甲、乙两质点分别经过O1、O2时速率相等，设甲质点从A1运动到O1的时间为t1，乙质点从A2运动到O2的时间为t2，则下式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．光滑斜面上的小球连在弹簧上，把原来静止的小球沿斜面拉下一段距离后释放，试证明小球的运动是简谐运动。    要点 简谐运动的描述 1.解析法 简谐运动的表达式为x＝Asin(ωt＋φ0)，它是用解析的方法描述简谐运动，结合三角函数的知识可作定量分析。 2．图像法 (1)图像特征 如图1所示，简谐运动的图像是一条正弦函数曲线，是正弦曲线、余弦曲线还是一般的正弦曲线，取决于质点初始时刻的位置，即初相位。 (2)图像的物理意义 图像反映的是做简谐运动的物体(质点)的位移随时间变化的规律，图像不代表质点运动的轨迹。 (3)图像信息 ①由图像可以看出质点振动的振幅、周期、初相位。 a．图像中最大位移的绝对值就是质点振动的振幅。如图2所示，质点振动的振幅是10 cm。 b．振动图像上一个完整的正弦(或余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期，频率等于周期的倒数。如图2所示，OD、AE、BF的时间间隔都等于质点振动的周期，T＝0.2 s，频率f＝＝5 Hz。 c．初相位可根据t＝0时刻，质点偏离平衡位置的位移、速度方向及振幅的大小来综合分析得到。 ②可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。 ③可以确定某时刻质点所受的回复力、加速度的方向；或比较各时刻质点加速度的大小。 例如图2中在t1时刻，质点偏离平衡位置的位移x1为正，则加速度a1为负；在t2时刻，质点偏离平衡位置的位移x2为负，则加速度a2为正；因为|x1|>|x2|，所以|a1|>|a2|。 ④可以确定质点的速度方向：任一时刻在图线上对应点的切线的斜率绝对值表示该时刻质点的速度大小，斜率正负表示速度的方向，斜率为正时，表示质点的速度沿x轴正方向；斜率为负时，表示质点的速度沿x轴负方向。 也可以通过下一时刻质点偏离平衡位置的位移的变化来判断，若下一时刻位移增加，速度方向就是背离平衡位置；若下一时刻位移减小，速度方向就是指向平衡位置。 如图2所示，在t1时刻，质点正远离平衡位置向正方向运动；在t3时刻，质点正朝向平衡位置运动。 ⑤可以确定某段时间质点的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能等的变化情况。 3．简谐运动两种描述方法的转换 两种方法对同一个简谐运动的描述是一致的。 (1)根据简谐运动的表达式作简谐运动的图像 ①根据x＝Asin(ωt＋φ0)找出振幅A和振动周期T＝。 ②令t＝0，找出初始时刻的位移x0(x0的正、负要有明确表示)，并根据表达式判断此后极短时间内位移的变化。 ③选好标度，作出正弦函数图像。 (2)根据简谐运动的图像写简谐运动的表达式 ①从简谐运动图像中找出振幅A和周期T，圆频率ω＝。 ②根据t＝0时的位移求出初相位φ0，即x0＝Asinφ0；根据三角函数的周期性，一般在[0，2π)区间求φ0，然后再根据t＝0后极短时间内位移的变化排除φ0的2个可能解中的一个。 ③把A、ω、φ0代入表达式x＝Asin(ωt＋φ0)即可。 要点速测 1．有两个简谐运动，其表达式分别是，，下列说法正确的是（     ） A．它们的周期相同 B．它们的振幅相同 C．它们的初相相同 D．它们经过相同时间位移相同 2．如图甲为一个仓鼠小摆件，用力向下按压弹簧后松开，小仓鼠上下振动，其振动的位移随时间变化图像如图乙所示。不计弹簧质量及所有阻力，小仓鼠视为质点，该运动视为简谐运动。下列说法正确的是（　　） A．弹簧原长位置为小仓鼠振动的平衡位置 B．小仓鼠振动的振幅为1cm C．时，小仓鼠速度最大 D．和时，小仓鼠的加速度相同 3．（多选）如图甲，水平弹簧振子的平衡位置为O点，振子在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是振子做简谐运动的x-t图像。下列说法正确的是（　　） A．振子从C点经过O点运动到B点为一次全振动 B．图乙中的P点时刻，振子的速度沿负方向 C．振子的振动方程为 D．振子初相 要点 单摆 1.对单摆的动力学分析 除分析实际摆做阻尼振动的情形外，一般不考虑空气等对单摆的阻力。单摆做简谐运动时， (1)回复力：摆球重力沿轨迹切线方向的分力提供回复力，F回＝－mgsinθ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。 (2)向心力：细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcosθ。 两点说明： ①当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mgcosθm。 ②当摆球在最低点时，F向＝，F向最大，FT＝mg＋m。 2．应用单摆周期公式T＝2π 的注意事项 (1)公式的适用条件：单摆的最大偏角θm很小时，单摆的运动才能近似看作简谐运动，公式T＝2π 才适用。一般要求最大偏角θm<5°。 (2)在等效单摆模型中，公式可变换为T＝2π 。 ①l′——等效摆长：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。如图甲所示的双线摆在垂直于纸面的平面内摆动，等效摆长l′＝r＋Lcosα。乙图中小球(可看作质点)在半径为R的光滑圆槽中A点的附近振动，其等效摆长为l′＝R。 ②g′——等效重力加速度：与单摆所处物理环境有关。 a．在不同星球表面，若忽略星球的自转，g′＝，M为星球的质量，R为星球的半径。 b．单摆处于超重或失重状态下的等效重力加速度分别为g′＝g＋a和g′＝g－a，a为超重或失重时单摆系统整体竖直向上或竖直向下的加速度大小。 c．如图丙所示，空间有竖直向下的电场强度大小为E的匀强电场，小球的质量为m、所带电荷量为＋q，细线绝缘，则等效重力加速度g′＝g＋。 单摆 (1)单摆和弹簧振子不同，单摆在平衡位置时，摆球所受回复力为零，但所受合力不为零。 (2)单摆做简谐运动的周期只由摆长和重力加速度决定。 (3)在单摆做简谐运动时，单摆的振幅A指的是摆球偏离平衡位置的最大位移大小，可以近似等于摆球偏离平衡位置的最大弧长。 (4)单摆周期公式T＝2π仅适用于单摆做简谐运动时的情形，即单摆偏离竖直方向的最大偏角θm<5°时的情形。 要点速测 1．图甲中摆球表面包有一小块橡皮泥，在竖直平面内其振动图像如图乙所示，某时刻橡皮泥瞬间自然脱落，不考虑单摆摆长的变化，则下列说法错误的是（　　） A．时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期 B．时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期 C．时刻橡皮泥脱落，此后单摆振幅 D．时刻橡皮泥脱落，此后单摆振幅 2．如图甲所示的挖掘机的顶部垂下一个大铁球并让它小角度地摆动，可用作工地的拆除工作。大铁球摆动时可视为单摆，对应的振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．单摆振动的周期是 B．如果再知道单摆的摆长，可粗略算出当地的重力加速度 C．大铁球摆动的角度增大，则振动周期增大，能量也增大 D．当时，大铁球的动能最小，回复力最大 要点 受迫振动与共振 简谐运动、受迫振动和共振的比较 振动类型 项目 简谐运动 受迫振动 共振 受外力情况 没有外力干预，仅受系统内部的相互作用力 受到周期性的驱动力作用 受到周期性的驱动力作用 振动周期 和频率 由系统本身的性质决定，即固有周期和固有频率 由驱动力的周期和频率决定：T＝T驱，f＝f驱 T驱＝T固 f驱＝f固 振动能量 振动系统的机械能守恒 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大 常见例子 弹簧振子，单摆(θ<5°) 机器运转时底座发生的振动 共振筛， 转速计 要点速测 1．一个共振筛如图甲所示，该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电动偏心轮的电压，可使偏心轮转速提高，增加筛子的质量，筛子的固有周期随之增大。某段时间内偏心轮的转速是60r/min，下列说法正确的是（　　） A．共振筛此时振动的频率是0.8Hz B．增大偏心轮的转速，可以使筛子的振幅减小 C．适当减小筛子的质量，可以使筛子的固有频率减小 D．适当增大偏心轮的电压，可以使筛子的振幅增大 2．高层大厦在台风、地震等外力影响下易产生晃动，悬挂式阻尼器可通过质量块的惯性减小大厦晃动幅度，如图为装置示意，下列关于该阻尼器的说法正确的是（     ） A．风力越大，大厦晃动的频率越高 B．风力越大，阻尼器摆动幅度越小 C．阻尼器通过与大厦发生共振达到减震效果 D．阻尼器能将大厦晃动的能量转化为其它形式的能 难点 弹簧振子的力学综合问题 对于弹簧振子的简谐运动，常见的问题有：弹簧振子的振幅、小球最大速度、所受的最大力的分析、计算。 (1)弹簧振子的动力学分析通常用到回复力公式及牛顿第二定律。 (2)水平弹簧振子的能量由弹簧的最大弹性势能决定，它等于小球的最大动能。 难点 单摆的力学综合问题 对于单摆的简谐运动，常见的问题有：单摆的振幅、摆球的最大速度、摆球所受的最小力、最大力的分析、计算。 (1)单摆的动力学分析通常用到回复力公式、圆周运动规律及牛顿第二定律。 (2)单摆的能量由振幅(用弧长表示)、摆长及摆球的质量共同决定：E＝Epm＝mgl(1－cosθm)。 它等于摆球的最大动能。 考点 简谐运动的特征 ▌例1 对于下面甲、乙、丙、丁四种情况，不是简谐运动的是（　　） A．如甲图：倾角为的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开（忽略空气阻力） B．如乙图：粗细均匀的木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动 C．如丙图：小球在半径为R的光滑球面上的A、B（R远大于弧长AB）之间来回运动 D．如丁图：小球在光滑固定的斜面上来回运动 【关键能力提升】 分析简谐运动的技巧 (1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。 (2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。 (3)若没有给出开始时刻质点的振动方向，还须分情况讨论，以防丢解。 ▌迁移练1-1 如图所示，O为弹簧振子的平衡位置，时刻把小球向右拉到C点静止释放。以水平向右为正方向，下列描述小球相对O点的位移x、小球的速度v随时间t变化的关系图像，小球的加速度a、所受回复力F随位移x变化的关系图像中，正确的是（　　） A． B． C． D． ▌迁移练1-2 如图所示，两端开口、粗细均匀的U形管，管内装有液体。给左管液面加压，当液体静止时，右管液面比左管液面高。现撤去外压并开始计时，时液体速度第一次减为零。不计摩擦力，外界压强视为恒定。下列说法正确的是（　　） A．液体运动的振幅为 B．液体运动的周期为2s C．时，液体势能最大 D．时，右液面处的液体处于失重状态 【答案】D 【详解】A．由题意可知，液体在U形管中做简谐运动，当两侧液体液面高度相同时，液体处于平衡位置，可知液体运动的振幅为，故A错误。 B．当时液体速度第一次减为零，即此时左侧液面达到最高处，可知液体运动的周期为，故B错误。 C．时，液体处于平衡位置，动能最大，势能最小，故C错误。 D．时，液体运动了个周期，此时右侧液面在平衡位置上方，向上做减速运动，故此时右侧液面处的液体处于失重状态，故D正确。 故选D。 考点 简谐运动的描述 ▌例1 某弹簧振子做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为。下列说法正确的是（     ） A．弹簧振子的振动频率为 B．在时，弹簧振子的速度最大 C．在时，弹簧振子的回复力最大 D．在时，弹簧振子回到平衡位置 ▌迁移练1-1 （多选）某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移，振动图像如图所示，则（　　） A．弹簧在第1s末与第5s末的长度相同 B．简谐运动的频率为 C．第3s末，弹簧振子的位移大小为 D．弹簧振子在第3s末与第5s末的速度方向相反 ▌迁移练1-2 装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示。把玻璃管向下缓慢按压4cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向上的简谐运动，测得振动周期为0.5s。以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅。对于玻璃管，下列说法正确的是（     ） A．位移满足 B．玻璃管及内部液体受到重力、浮力和回复力的作用 C．振动过程中玻璃管及内部液体的机械能守恒 D．在时间内，位移减小，速度减小，加速度增大 考点 单摆 ▌例1 把秋千看成单摆模型，图为小明在荡秋千时的振动图像，已知小王的体重比小明的大，已知绳子等长且不可伸长，二人均可看成质点，则下列说法正确的是（g取10m/s2）（　　） A．图中b点对应荡秋千时的最低点，此时回复力为零 B．小王荡秋千时，其周期大于6.28s C．小明荡到图中对应的b点时，动能最小 D．该秋千的绳子长度约为5m 【关键能力提升】(1)单摆和弹簧振子不同，单摆在平衡位置时，摆球所受回复力为零，但所受合力不为零。 (2)单摆做简谐运动的周期只由摆长和重力加速度决定。 (3)在单摆做简谐运动时，单摆的振幅A指的是摆球偏离平衡位置的最大位移大小，可以近似等于摆球偏离平衡位置的最大弧长。 (4)单摆周期公式T＝2π仅适用于单摆做简谐运动时的情形，即单摆偏离竖直方向的最大偏角θm<5°时的情形。 ▌迁移练1-1某同学利用图甲所示装置来测量重力加速度。打开手机的磁传感器并放置于O点正下方，将磁性小球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，手机软件记录的磁感应强度变化曲线如图乙，已知单摆摆长为l，忽略实验环境对磁性小球的影响，则（　　） A．单摆的周期为t0 B．测量出的重力加速度 C．小球的摆幅越小，周期越小 D．小球经过最高点时，绳的拉力最大 ▌迁移练1-2 如图所示，可视为质点的小球在半径为R的光滑圆弧面上A、B之间来回运动（），不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球在A点加速度为0 B．小球经过同一位置速度一定相同 C．小球在A点的回复力等于重力与支持力的合力 D．增大半径R，小球运动的周期不变 考点 受迫振动与共振 ▌例1（多选）把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图甲所示。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高，增加筛子质量，可增大筛子的固有周期。现在，在某电压下偏心轮的转速是。为了使筛子的振幅增大，则（    ） A．减小驱动力的频率 B．增大驱动力的频率 C．减小筛子的固有频率 D．增大筛子的固有频率 ▌迁移练1-1一个风柔月明的夜晚，老夏坐在窗前桌旁学习，身在明灯下，心沐皎月中。窗外一番景色令人平静：“风抚新枝伴钟摇，一滴一嗒一上下”，桌上的钟，秒针走一下，窗外的枝头向上撩过月面，秒针又走一下，枝头又向下划过月面，如此往复许久。下列对上述情景的说法合理的是（　　 ） A．枝头的振动属于简谐振动 B．枝头的振动属于受迫振动 C．枝头振动的频率为2Hz D．若将树枝视作绕枝根的圆周运动，则枝上越靠近枝根的点转动得越快 ▌迁移练1-2 如图所示，两个弹簧与钩码组成固有频率为的振动系统，架子上面的电动机对该系统施加周期性的驱动力，使钩码在竖直方向做受迫振动。电动机的转速可以改变，钩码振动稳定后，下列判断正确的是（     ） A．当电动机的转速为时，钩码的振动频率为 B．当电动机的转速为时，钩码的振动周期为 C．当电动机的转速为时，钩码振动的振幅最大 D．无论电动机的转速如何变化，钩码振动的振幅都不会发生改变 基础达标 1．（25-26高二上·江苏盐城·期中）垂钓时鱼漂是反映鱼儿咬钩信息的工具，如图甲所示。当鱼漂静止时P点恰在水面上。将鱼漂缓慢向下压，松手后，鱼漂在竖直方向上做简谐运动，其振动图像如图乙，取竖直向上为位移的正方向，则（     ） A．该鱼漂的振动频率为 B．时鱼漂的速度方向竖直向下 C．时鱼漂的加速度方向竖直向下 D．时鱼漂的速度和加速度均最大 2．（25-26高二上·广东河源·期末）如图所示，在光滑水平面上有一轻质弹簧左端固定，右端与一质量为m的小球相连，构成一个水平弹簧振子，弹簧处于原长时小球位于O点。现使小球以O点为平衡位置，在A、B两点间沿光滑水平面做简谐运动，关于这个弹簧振子做简谐运动的过程，下列说法中正确的是（　　） A．小球从O位置向B位置运动过程中合外力变小 B．小球每次通过同一位置时的速度一定相同 C．小球从A位置向B位置运动过程中，动能的变化量为零 D．小球先后经过两个对称位置的过程中，弹力做正功 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）如图为某物体做简谐运动的图像，在0~1.5s范围内分析下列说法，正确的是（     ） A．0.6s时物体的速度与0.4s时的速度相同 B．物体做简谐运动的振幅为8cm C．0.1~0.3s时间内加速度增大 D．0.3~0.5s时间内动能减小 4．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）一质点做简谐运动的图像如图所示，则该质点（     ） A．在0.015s时，速度与加速度都为方向 B．在0.01~0.03s内，速度与加速度先沿负方向后沿正方向，且速度是先减小后增大，加速度是先增大后减小 C．在第8个0.01s内，速度与位移方向相同，且都在不断增大 D．在每1s内，回复力的瞬时功率有100次为零 5．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）一单摆，图是其做阻尼振动的位移-时间图像，图是其做受迫振动的共振曲线。以下说法正确的是（     ） A．受到的拉力 B．机械能 C．若仅摆长增大，单摆的固有频率增大 D．若仅摆长增大，共振曲线的峰将向右移 6．（25-26高二上·江苏·期末）如图甲所示是演示简谐运动图像的装置，当沙漏摆动时，漏斗中的细沙均匀流出，同时匀速拉出沙漏正下方的木板，漏出的细沙在板上会形成一条曲线。图乙是同一个沙漏分别在两块木板上形成的曲线图中的虚线，已知P，Q分别是木板上的两点，忽略沙漏重心的变化，则（　　） A．两次实验沙漏振动周期不同 B．木板移动的速度v1与木板的速度v2之比为3∶2 C．位置P处的沙层比Q处的沙层浅一些 D．若要记录沙漏多次全振动的时间，则应该在P点开始计时 7．（多选）（25-26高二下·安徽六安·期末）如图，一轻质弹簧竖直悬挂，上端固定，下端系一质量的小球。开始时小球静止于点，现将小球从点竖直向下缓慢拉下后由静止释放，小球在竖直方向上做简谐运动。已知弹簧的劲度系数，重力加速度，不计空气阻力，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（     ） A．小球做简谐运动的振幅为 B．小球运动到最高点时弹簧处于原长 C．小球经过平衡位置时速度最大 D．小球振动过程中最大加速度大小为 8．（25-26高二上·江苏盐城·期中）如图所示，质量为的小球甲在半径为的光滑圆槽上的、之间来回运动，间弧长远小于圆槽半径。当摆角很小时，重力加速度为。小球均可看成质点，不计空气阻力的影响。 (1)证明小球甲的运动是简谐运动； (2)将小球甲从圆弧面的处由静止释放，同时在圆弧的圆心处由静止释放另一小球乙（图中未画出）。通过计算说明哪个小球先到达圆弧面的最低点； (3)当甲球完成（为整数）次全振动过程中，圆槽对甲球的冲量。 9．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）如图所示，一个质量为的大圆环直立在水平面上，圆环顶端固定了一根劲度系数为的轻质弹簧，弹簧下面拴接了一个质量为的小球（可视为质点），处于静止状态。现用力托住小球缓慢向上运动，当弹簧恢复原长时，撤去外力，小球开始上下振动。在小球振动过程中，大圆环始终与地面接触，弹簧始终处在弹性限度内。已知弹簧的弹性势能为形变量，重力加速度为，不计空气阻力。求： (1)小球处于静止状态时，弹簧的形变量； (2)小球运动过程中的最大速度； (3)小球运动到最低点时，大圆环对地面的压力大小。 10．（25-26高二上·山东菏泽·期末）如图甲，上端固定着力传感器的弹簧振子沿竖直方向做简谐运动，弹簧向下拉传感器时其示数为正，从某时刻开始计时，获得传感器示数F与时间t的关系图像如图乙，已知弹簧的劲度系数k=20N/m，，g取． (1)求小球的质量m； (2)写出从计时开始小球的位移随时间变化的关系式（取向下为正方向）； (3)求图中时间内弹簧对小球所做的功。 11．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图所示，水平光滑桌面上，轻弹簧的左端固定，右端连接物块P，P和物块Q通过轻绳绕过定滑轮连接。开始时，系统处于静止状态，P处于位置O。将P向左推至弹簧原长的位置A点后由静止释放，P将在A点和右侧的某位置（图中未画出）之间做简谐运动，物块未与定滑轮相碰，弹簧未超出弹性限度。已知P的质量为m，Q的质量为2m，弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，不计一切摩擦。求： (1)P做简谐运动的振幅A； (2)弹簧的最大弹性势能； (3)绳上的最大拉力。 能力进阶 12．（2026·湖北宜昌·二模）港珠澳大桥是世界上技术最复杂、施工难度最高、工程规模最大的桥梁工程。港珠澳大桥在设计和建造中采用了一种安装在桥塔与梁体之间的阻尼器，其作用主要是通过消耗振动能量来减小桥梁的振幅。阻尼器的使用主要改变了（　　） A．桥梁的固有频率 B．桥梁系统的总阻尼 C．外来驱动力的频率 D．桥梁的固有周期 13．（2026·广东深圳·模拟预测）如图所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T型支架在竖直方向振动，T型支架下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中，当圆盘静止时，让小球在水中振动，其阻尼振动频率约为3Hz。现使圆盘以4s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球的振动达到稳定，下列说法正确的是（　　） A．圆盘转动时，小球稳定振动周期为4s B．圆盘转动时，小球稳定振动频率为3Hz C．圆盘静止和转动时，小球都是做受迫振动 D．圆盘静止和转动时，小球都是做自由振动 14．（2026·浙江·一模）一位宇航员在地球表面进行单摆实验，记录下摆球的振动图像如图所示，若能将该单摆装置带到火星表面（已知火星表面的重力加速度约为地球表面的倍），并让摆球从相同的最大摆角处开始摆动，下列关于火星上单摆振动图像的描述，最接近实际情况的是（     ） A． B． C． D． 15．（2026·陕西渭南·三模）一列简谐横波在介质中沿x轴传播，先后经过A和B两点且均已振动，A和B是介质中平衡位置相差半个波长的两个质点。已知A质点的位移随时间变化的关系为：，则下列判断正确的是（     ） A．这列波的传播周期为2 s B．质点B的振动方程为 C．时质点A偏离平衡位置的位移是 D．时质点B偏离平衡位置的位移是 16．（2026·广东佛山·三模）如图甲，用轻弹簧悬挂的手机在竖直方向做简谐运动，点为平衡位置，点为最高点，点为最低点。手机上的传感器记录其竖直方向的加速度随时间变化的曲线如图乙。已知手机质量为，振动周期为，最大加速度大小为，重力加速度为，忽略空气阻力，以竖直向下为正方向。下列说法正确的是（　　） A．时，手机在点 B．过程中，手机运动的动能增大 C．手机运动的最大速度大小为 D．时刻，弹簧弹力大小为 17．（多选）（26-27高三·全国·一轮复习）一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则下列说法正确的是（     ） A．若t时刻和时刻振子对平衡位置的位移大小相等，方向相同，则一定等于T的整数倍 B．若t时刻和时刻振子运动速度的大小相等，方向相反，则一定等于的整数倍 C．若，则在t时刻到时刻的时间内振子的位移可能大于振幅，可能等于振幅，可能小于振幅 D．若，则在t时刻和时刻振子的速度大小一定相等 18．（多选）（2026·新疆喀什·模拟预测）如图甲所示，一可视为质点的小球在光滑圆弧面上做简谐运动，圆弧轨道对小球的支持力大小随时间变化的曲线如图乙所示，图中时刻小球从点开始运动，重力加速度为。下列说法正确的是（     ） A．时刻小球的动能最小 B．该圆弧轨道的半径为 C．小球在A点所受的合力为零 D．小球的质量为 19．（2026·天津北辰·二模）用单摆测定重力加速度的实验装置如图甲所示。 (1)组装单摆时，在下列提供的器材中应选用_________（填选项前字母）。 A．长度为左右的细线 B．长度为左右的细线 C．直径为左右的铁球 D．直径为左右的塑料球 (2)选择好器材，将符合实验要求的摆球用细线悬挂在铁架台横梁上，应采用图_________（选填“乙”或“丙”）所示的固定方式。 (3)甲同学测得摆球的直径为，测得球完成次全振动所用的时间为，测得摆球用线长为，根据以上数据，可得到当地的重力加速度为_________（用、等字母表示）。 20．（2026·四川巴中·模拟预测）某同学用单摆测量当地的重力加速度，实验装置如图甲所示. (1)组装单摆时，应在下列器材中选用__________，（选填选项前的字母）。 A．长度约为的橡皮绳 B．长度约为的细线 C．直径约为的塑料球 D．直径约为的铁球 (2)实验过程同学分别用图乙、图丙的两种不同方式悬挂小球，你认为__________（选填“乙”或“丙”）的悬挂方式较好。 (3)下列振动图像真实地描述了用单摆进行周期测量的四组信息。图中横坐标原点表示计时起点，图A、B、C、D为单摆全振动的图像，符合实验要求且误差最小的是__________。（已知，） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 机械振动 复习要点 一、简谐运动 1．简谐运动的概念 如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。 2．平衡位置 振动物体原来静止时的位置。 3．回复力 (1)定义：使振动物体在平衡位置附近做往复运动的力。 (2)方向：总是指向平衡位置。 (3)来源：可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。 4．描述简谐运动的物理量 物理量 定义 意义 位移 由平衡位置指向物体所在位置的有向线段 描述物体振动中某时刻的位置相对于平衡位置的位移 振幅 振动物体离开平衡位置的最大距离 描述振动的强弱和能量 周期 振动物体完成一次全振动所需要的时间 描述振动的快慢，两者关系：T＝ 频率 振动物体完成全振动的次数与所用时间之比 相位 ωt＋φ0 描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态 二、简谐运动的公式和图像 1．表达式 (1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。 (2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A表示振幅，ω＝＝2πf表示简谐运动的快慢，ωt＋φ0表示简谐运动的相位，φ0叫作初相位。　　　　　　　　　　　 2．简谐运动的图像 (1)如图所示。 (2)物理意义：表示振动质点的位移随时间变化的规律。 三、弹簧振子、单摆及其周期公式 简谐运动的两种理想化模型 模型 弹簧振子(以水平 弹簧振子为例) 单摆 概念 是小球和弹簧组成的系统，有时简称为振子。是一个理想化模型 将一小球用细线悬挂起来，把小球拉离最低点释放后，小球就会来回摆动，这样的装置就叫作单摆，是实际摆的理想化模型 示意图 特点 (1)弹簧质量与小球相比可忽略； (2)杆光滑无摩擦，小球运动时空气阻力可忽略 (1)摆线为不可伸缩的细线； (2)细线的质量与小球相比可忽略； (3)球的直径与线的长度相比可忽略； (4)空气等阻力可以忽略 做简谐运动的条件 弹簧形变在弹簧弹性限度内 最大摆角θ <5° 做简谐运动的回复 力　　　 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直方向的分力提供 做简谐运动的平衡 位置　　 弹簧处于原长处 最低点 做简谐运动的周期 与振幅无关 T＝2π__ 做简谐运动的能量转化　　 弹性势能与动能相互转化，机械能守恒 重力势能与动能相互转化，机械能守恒 四、受迫振动和共振 1．振动中的能量损失 (1)阻尼振动：由于实际的振动系统都会受到摩擦力、黏滞力等阻碍作用，振幅必然逐渐减小，这种振动称为阻尼振动。 (2)振动系统能量衰减的方式：①由于受到摩擦阻力的作用，振动系统的机械能逐渐转化为内能；②由于振动系统引起邻近介质中各质点的振动，使能量向四周辐射出去。 2．受迫振动 系统在驱动力作用下的振动叫作受迫振动。物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，与物体的固有周期(或频率)无关。 3．共振 如图反映了受迫振动振幅A与驱动力频率f之间的关系。驱动力的频率f跟振动系统的固有频率f0相差越小，振幅越大；驱动力的频率f等于振动系统的固有频率f0时，振幅最大，这种现象称为共振。 复习重难点 重点： 一、简谐运动的特征 1.受力和运动特征 (1)回复力F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。 (2)做简谐运动的物体加速度与物体偏离平衡位置的位移大小成正比而方向相反，为变加速运动。远离平衡位置时，x、F、a均增大，v减小，靠近平衡位置时则相反。 2．能量特征 简谐运动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。振幅越大，能量越大。远离平衡位置时，Ek减小，Ep增大；靠近平衡位置时则相反。 3．周期性特征 (1)相隔nT(n为正整数)的两个时刻，物体处于同一位置且振动状态相同。 (2)做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为。 4．对称性特征 相隔或(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度、回复力大小相等、方向相反，动能、势能相等。 二、简谐运动的描述 1.解析法 简谐运动的表达式为x＝Asin(ωt＋φ0)，它是用解析的方法描述简谐运动，结合三角函数的知识可作定量分析。 2．图像法 (1)图像特征 如图1所示，简谐运动的图像是一条正弦函数曲线，是正弦曲线、余弦曲线还是一般的正弦曲线，取决于质点初始时刻的位置，即初相位。 (2)图像的物理意义 图像反映的是做简谐运动的物体(质点)的位移随时间变化的规律，图像不代表质点运动的轨迹。 (3)图像信息 ①由图像可以看出质点振动的振幅、周期、初相位。 ②可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。 ③可以确定某时刻质点所受的回复力、加速度的方向；或比较各时刻质点加速度的大小。 难点：简谐运动与力学的综合问题 1．弹簧振子的力学综合问题 对于弹簧振子的简谐运动，常见的问题有：弹簧振子的振幅、小球最大速度、所受的最大力的分析、计算。 (1)弹簧振子的动力学分析通常用到回复力公式及牛顿第二定律。 (2)水平弹簧振子的能量由弹簧的最大弹性势能决定，它等于小球的最大动能。 2．单摆的力学综合问题 对于单摆的简谐运动，常见的问题有：单摆的振幅、摆球的最大速度、摆球所受的最小力、最大力的分析、计算。 (1)单摆的动力学分析通常用到回复力公式、圆周运动规律及牛顿第二定律。 (2)单摆的能量由振幅(用弧长表示)、摆长及摆球的质量共同决定：E＝Epm＝mgl(1－cosθm)。 它等于摆球的最大动能。 要点 简谐运动的特征 1.受力和运动特征 (1)回复力F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。 (2)做简谐运动的物体加速度与物体偏离平衡位置的位移大小成正比而方向相反，为变加速运动。远离平衡位置时，x、F、a均增大，v减小，靠近平衡位置时则相反。 2．能量特征 简谐运动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。振幅越大，能量越大。远离平衡位置时，Ek减小，Ep增大；靠近平衡位置时则相反。 3．周期性特征 (1)相隔nT(n为正整数)的两个时刻，物体处于同一位置且振动状态相同。 (2)做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为。 4．对称性特征 (1)相隔或(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度、回复力大小相等、方向相反，动能、势能相等。 如图甲所示，O为平衡位置，A、B为振子偏离平衡位置最大位移处，振子t时刻在C点，t＋时刻运动到D点，则位移xD＝－xC，速度vD＝－vC，加速度aD＝－aC。 (2)如图乙所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，相对于平衡位置的位移大小相等，速度的大小、加速度的大小、回复力的大小、动能、势能相等。 (3)如图乙所示，振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。 要点速测 1．关于简谐运动的理解，下列说法中正确的是（　　） A．简谐运动是匀变速运动 B．周期越大，说明物体做简谐运动越快 C．位移减小时，加速度减小，速度增大 D．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同 【答案】C 【详解】A．简谐运动受到的回复力是变力，加速度变化，所以简谐运动不是匀变速运动，A错误； B．周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量，周期越大，说明物体做简谐运动越慢，B错误； C．当位移减小时，回复力减小，则加速度减小，物体向平衡位置运动，速度增大，C正确； D．根据可知加速度和位移方向相反，但速度与位移方向可以相同，也可以相反，D错误。 故选C。 2．如图所示，甲质点在x1轴上做简谐运动，O1为其平衡位置，A1、B1为其所能到达的最远处。乙质点沿x2轴从A2点开始做初速度为零的匀加速直线运动。已知，甲、乙两质点分别经过O1、O2时速率相等，设甲质点从A1运动到O1的时间为t1，乙质点从A2运动到O2的时间为t2，则下式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，甲、乙两质点分别经过、时速率相等，结合题意甲、乙分别运动到、的v-t图像如图所示 可得。 故选A。 3．光滑斜面上的小球连在弹簧上，把原来静止的小球沿斜面拉下一段距离后释放，试证明小球的运动是简谐运动。    【答案】小球静止时弹簧的伸长量为 设小球相对于静止位置时弹簧伸长x，则小球的回复力 由此可判定小球做简谐运动。 【详解】略。 要点 简谐运动的描述 1.解析法 简谐运动的表达式为x＝Asin(ωt＋φ0)，它是用解析的方法描述简谐运动，结合三角函数的知识可作定量分析。 2．图像法 (1)图像特征 如图1所示，简谐运动的图像是一条正弦函数曲线，是正弦曲线、余弦曲线还是一般的正弦曲线，取决于质点初始时刻的位置，即初相位。 (2)图像的物理意义 图像反映的是做简谐运动的物体(质点)的位移随时间变化的规律，图像不代表质点运动的轨迹。 (3)图像信息 ①由图像可以看出质点振动的振幅、周期、初相位。 a．图像中最大位移的绝对值就是质点振动的振幅。如图2所示，质点振动的振幅是10 cm。 b．振动图像上一个完整的正弦(或余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期，频率等于周期的倒数。如图2所示，OD、AE、BF的时间间隔都等于质点振动的周期，T＝0.2 s，频率f＝＝5 Hz。 c．初相位可根据t＝0时刻，质点偏离平衡位置的位移、速度方向及振幅的大小来综合分析得到。 ②可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。 ③可以确定某时刻质点所受的回复力、加速度的方向；或比较各时刻质点加速度的大小。 例如图2中在t1时刻，质点偏离平衡位置的位移x1为正，则加速度a1为负；在t2时刻，质点偏离平衡位置的位移x2为负，则加速度a2为正；因为|x1|>|x2|，所以|a1|>|a2|。 ④可以确定质点的速度方向：任一时刻在图线上对应点的切线的斜率绝对值表示该时刻质点的速度大小，斜率正负表示速度的方向，斜率为正时，表示质点的速度沿x轴正方向；斜率为负时，表示质点的速度沿x轴负方向。 也可以通过下一时刻质点偏离平衡位置的位移的变化来判断，若下一时刻位移增加，速度方向就是背离平衡位置；若下一时刻位移减小，速度方向就是指向平衡位置。 如图2所示，在t1时刻，质点正远离平衡位置向正方向运动；在t3时刻，质点正朝向平衡位置运动。 ⑤可以确定某段时间质点的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能等的变化情况。 3．简谐运动两种描述方法的转换 两种方法对同一个简谐运动的描述是一致的。 (1)根据简谐运动的表达式作简谐运动的图像 ①根据x＝Asin(ωt＋φ0)找出振幅A和振动周期T＝。 ②令t＝0，找出初始时刻的位移x0(x0的正、负要有明确表示)，并根据表达式判断此后极短时间内位移的变化。 ③选好标度，作出正弦函数图像。 (2)根据简谐运动的图像写简谐运动的表达式 ①从简谐运动图像中找出振幅A和周期T，圆频率ω＝。 ②根据t＝0时的位移求出初相位φ0，即x0＝Asinφ0；根据三角函数的周期性，一般在[0，2π)区间求φ0，然后再根据t＝0后极短时间内位移的变化排除φ0的2个可能解中的一个。 ③把A、ω、φ0代入表达式x＝Asin(ωt＋φ0)即可。 要点速测 1．有两个简谐运动，其表达式分别是，，下列说法正确的是（     ） A．它们的周期相同 B．它们的振幅相同 C．它们的初相相同 D．它们经过相同时间位移相同 【答案】A 【详解】简谐运动的通用表达式为，其中为振幅，为角频率，为初相位。结合题干两个表达式可知，，；，，。 A．周期公式为，由于，因此二者周期相同，故A正确； B．二者振幅分别为4cm、5cm，不相同，故B错误； C．二者初相分别为、，不相同，故C错误； D．二者位移随时间变化的规律不同，并非经过相同时间位移相同，故D错误。 故选A。 2．如图甲为一个仓鼠小摆件，用力向下按压弹簧后松开，小仓鼠上下振动，其振动的位移随时间变化图像如图乙所示。不计弹簧质量及所有阻力，小仓鼠视为质点，该运动视为简谐运动。下列说法正确的是（　　） A．弹簧原长位置为小仓鼠振动的平衡位置 B．小仓鼠振动的振幅为1cm C．时，小仓鼠速度最大 D．和时，小仓鼠的加速度相同 【答案】C 【详解】A．小仓鼠振动的平衡位置在小仓鼠受力平衡的位置，此时弹簧处于压缩状态，故A错误； B．由图乙可知，小仓鼠的振幅为0.5cm，故B错误； C．由图乙可知，时，小仓鼠处于平衡位置，此时小仓鼠速度最大，故C正确； D．由图乙可知，时，小仓鼠处于正向最大位移处，此时加速度负向最大；时，小仓鼠处于负向最大位移处，此时加速度正向最大，即和时，小仓鼠的加速度大小相等，方向相反，故D错误。 故选C。 3．（多选）如图甲，水平弹簧振子的平衡位置为O点，振子在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是振子做简谐运动的x-t图像。下列说法正确的是（　　） A．振子从C点经过O点运动到B点为一次全振动 B．图乙中的P点时刻，振子的速度沿负方向 C．振子的振动方程为 D．振子初相 【答案】BD 【详解】A．振子从C点经过O点运动到B点，再从B点经过O点回到C点才是一次全振动，故A错误； B．图乙中的P点时刻，振子正向负方向运动，故振子的速度沿负方向，故B正确； C．图乙可知振子的振幅A为0.1m，周期T为1s，故振子的振动方程为，故C错误； D．由C选项可知，振子初相为，故D正确。 故选BD。 要点 单摆 1.对单摆的动力学分析 除分析实际摆做阻尼振动的情形外，一般不考虑空气等对单摆的阻力。单摆做简谐运动时， (1)回复力：摆球重力沿轨迹切线方向的分力提供回复力，F回＝－mgsinθ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。 (2)向心力：细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcosθ。 两点说明： ①当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mgcosθm。 ②当摆球在最低点时，F向＝，F向最大，FT＝mg＋m。 2．应用单摆周期公式T＝2π 的注意事项 (1)公式的适用条件：单摆的最大偏角θm很小时，单摆的运动才能近似看作简谐运动，公式T＝2π 才适用。一般要求最大偏角θm<5°。 (2)在等效单摆模型中，公式可变换为T＝2π 。 ①l′——等效摆长：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。如图甲所示的双线摆在垂直于纸面的平面内摆动，等效摆长l′＝r＋Lcosα。乙图中小球(可看作质点)在半径为R的光滑圆槽中A点的附近振动，其等效摆长为l′＝R。 ②g′——等效重力加速度：与单摆所处物理环境有关。 a．在不同星球表面，若忽略星球的自转，g′＝，M为星球的质量，R为星球的半径。 b．单摆处于超重或失重状态下的等效重力加速度分别为g′＝g＋a和g′＝g－a，a为超重或失重时单摆系统整体竖直向上或竖直向下的加速度大小。 c．如图丙所示，空间有竖直向下的电场强度大小为E的匀强电场，小球的质量为m、所带电荷量为＋q，细线绝缘，则等效重力加速度g′＝g＋。 单摆 (1)单摆和弹簧振子不同，单摆在平衡位置时，摆球所受回复力为零，但所受合力不为零。 (2)单摆做简谐运动的周期只由摆长和重力加速度决定。 (3)在单摆做简谐运动时，单摆的振幅A指的是摆球偏离平衡位置的最大位移大小，可以近似等于摆球偏离平衡位置的最大弧长。 (4)单摆周期公式T＝2π仅适用于单摆做简谐运动时的情形，即单摆偏离竖直方向的最大偏角θm<5°时的情形。 要点速测 1．图甲中摆球表面包有一小块橡皮泥，在竖直平面内其振动图像如图乙所示，某时刻橡皮泥瞬间自然脱落，不考虑单摆摆长的变化，则下列说法错误的是（　　） A．时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期 B．时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期 C．时刻橡皮泥脱落，此后单摆振幅 D．时刻橡皮泥脱落，此后单摆振幅 【答案】A 【详解】AB．因为是自然脱落，橡皮泥与摆球之间无相互作用且摆长不变，根据单摆周期公式 可知单摆的周期与摆球质量无关，所以橡皮泥脱落，此后单摆周期仍为4s，故A错误，B正确。 CD．因为是自然脱落，橡皮泥与摆球之间无相互作用，所以摆球机械能并未增大，单摆的振幅仍为10cm，故CD正确。 本题选择不正确的，故选A。 2．如图甲所示的挖掘机的顶部垂下一个大铁球并让它小角度地摆动，可用作工地的拆除工作。大铁球摆动时可视为单摆，对应的振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．单摆振动的周期是 B．如果再知道单摆的摆长，可粗略算出当地的重力加速度 C．大铁球摆动的角度增大，则振动周期增大，能量也增大 D．当时，大铁球的动能最小，回复力最大 【答案】B 【详解】A.由图乙可知，相邻位移最大点间隔4s，故单摆的周期为，故A错误； B.根据单摆周期公式可知，如果再知道单摆的摆长，可算出当地的重力加速度，故B正确； C.由单摆周期公式可知，振动周期与摆动的角度大小无关，根据机械能守恒，角度增大导致重力势能增加，总能量增加，故C错误； D.在时大铁球处在平衡位置，动能最大，回复力最小，故D错误。 故选B。 要点 受迫振动与共振 简谐运动、受迫振动和共振的比较 振动类型 项目 简谐运动 受迫振动 共振 受外力情况 没有外力干预，仅受系统内部的相互作用力 受到周期性的驱动力作用 受到周期性的驱动力作用 振动周期 和频率 由系统本身的性质决定，即固有周期和固有频率 由驱动力的周期和频率决定：T＝T驱，f＝f驱 T驱＝T固 f驱＝f固 振动能量 振动系统的机械能守恒 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大 常见例子 弹簧振子，单摆(θ<5°) 机器运转时底座发生的振动 共振筛， 转速计 要点速测 1．一个共振筛如图甲所示，该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电动偏心轮的电压，可使偏心轮转速提高，增加筛子的质量，筛子的固有周期随之增大。某段时间内偏心轮的转速是60r/min，下列说法正确的是（　　） A．共振筛此时振动的频率是0.8Hz B．增大偏心轮的转速，可以使筛子的振幅减小 C．适当减小筛子的质量，可以使筛子的固有频率减小 D．适当增大偏心轮的电压，可以使筛子的振幅增大 【答案】B 【详解】A．偏心轮的转速 则角速度为 故频率 共振筛的频率与偏心轮的频率相同，故A错误； BD．若增加偏心轮的转速，角速度增大，则共振筛的频率增大，根据题图乙可知，偏离固有频率越来越大，其振幅将减小；增大电动偏心轮的电压，共振筛的频率变大，则振幅也将减小，故B正确，D错误； C．减小筛子质量，可减小筛子的固有周期，则筛子的固有频率增大，故C错误。 故选B。 2．高层大厦在台风、地震等外力影响下易产生晃动，悬挂式阻尼器可通过质量块的惯性减小大厦晃动幅度，如图为装置示意，下列关于该阻尼器的说法正确的是（     ） A．风力越大，大厦晃动的频率越高 B．风力越大，阻尼器摆动幅度越小 C．阻尼器通过与大厦发生共振达到减震效果 D．阻尼器能将大厦晃动的能量转化为其它形式的能 【答案】D 【详解】A．大厦在风力作用下做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力的频率，与风力的大小无关，故A错误； B．风力越大，驱动力的能量越大，大厦晃动越剧烈，阻尼器为了抵消晃动，其摆动幅度也会越大，故B错误； CD．阻尼器的固有频率调至与大厦的固有频率一致，使阻尼器发生共振，从而获得较大的振幅，但减震的根本原因是阻尼器在摆动过程中，通过空气阻力、摩擦或液压装置等克服阻力做功，将大厦晃动的机械能转化为内能等其他形式的能，从而减小大厦的振幅，故C错误，D正确。 故选D。 难点 弹簧振子的力学综合问题 对于弹簧振子的简谐运动，常见的问题有：弹簧振子的振幅、小球最大速度、所受的最大力的分析、计算。 (1)弹簧振子的动力学分析通常用到回复力公式及牛顿第二定律。 (2)水平弹簧振子的能量由弹簧的最大弹性势能决定，它等于小球的最大动能。 难点 单摆的力学综合问题 对于单摆的简谐运动，常见的问题有：单摆的振幅、摆球的最大速度、摆球所受的最小力、最大力的分析、计算。 (1)单摆的动力学分析通常用到回复力公式、圆周运动规律及牛顿第二定律。 (2)单摆的能量由振幅(用弧长表示)、摆长及摆球的质量共同决定：E＝Epm＝mgl(1－cosθm)。 它等于摆球的最大动能。 考点 简谐运动的特征 ▌例1 对于下面甲、乙、丙、丁四种情况，不是简谐运动的是（　　） A．如甲图：倾角为的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开（忽略空气阻力） B．如乙图：粗细均匀的木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动 C．如丙图：小球在半径为R的光滑球面上的A、B（R远大于弧长AB）之间来回运动 D．如丁图：小球在光滑固定的斜面上来回运动 【答案】D 【详解】A．甲图小球沿斜面方向受到的合力是弹力与重力的分力，当小球在平衡位置上方时，合力方向沿斜面向下，当在平衡位置下方时合力沿斜面向上，弹力与重力的分力的合力与位移成正比，其特点符合简谐振动物体的动力学特征，小球做简谐振动，故A不符合题意； B．乙图木筷在水中受浮力和重力作用，当木筷在平衡位置上方时，合力向下，当木筷在平衡位置下方时，合力向上，重力和浮力的合力与位移成正比，其特点符合简谐振动物体的动力学特征，木筷做简谐振动，故B不符合题意； C．丙图小球离开最低点受到重力沿切线方向的分力与位移成正比，方向与小球位移方向相反，为小球提供回复力，小球在最低点附近左右振动属于简谐振动，故C不符合题意； D．丁图斜面光滑，重力沿斜面的分力提供小球做机械振动的回复力，但该力大小不变，不与位移成正比，故小球的运动为机械振动，不是简谐振动，故D符合题意。 故选D。 【关键能力提升】 分析简谐运动的技巧 (1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。 (2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。 (3)若没有给出开始时刻质点的振动方向，还须分情况讨论，以防丢解。 ▌迁移练1-1 如图所示，O为弹簧振子的平衡位置，时刻把小球向右拉到C点静止释放。以水平向右为正方向，下列描述小球相对O点的位移x、小球的速度v随时间t变化的关系图像，小球的加速度a、所受回复力F随位移x变化的关系图像中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．向右为正方向，时刻，小球在右方最大位移处，位移是正向最大，A错误； B．由 可知振子的加速度随位移变化的图像为斜向下的直线，B正确； C．小球运动过程中，合力 可知振子的回复力随位移变化的图像为斜向下的直线，C错误； D．小球运动过程中加速度大小不是恒定的，不会做匀变速运动，D错误。 故选B。 ▌迁移练1-2 如图所示，两端开口、粗细均匀的U形管，管内装有液体。给左管液面加压，当液体静止时，右管液面比左管液面高。现撤去外压并开始计时，时液体速度第一次减为零。不计摩擦力，外界压强视为恒定。下列说法正确的是（　　） A．液体运动的振幅为 B．液体运动的周期为2s C．时，液体势能最大 D．时，右液面处的液体处于失重状态 【答案】D 【详解】A．由题意可知，液体在U形管中做简谐运动，当两侧液体液面高度相同时，液体处于平衡位置，可知液体运动的振幅为，故A错误。 B．当时液体速度第一次减为零，即此时左侧液面达到最高处，可知液体运动的周期为，故B错误。 C．时，液体处于平衡位置，动能最大，势能最小，故C错误。 D．时，液体运动了个周期，此时右侧液面在平衡位置上方，向上做减速运动，故此时右侧液面处的液体处于失重状态，故D正确。 故选D。 考点 简谐运动的描述 ▌例1 某弹簧振子做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为。下列说法正确的是（     ） A．弹簧振子的振动频率为 B．在时，弹簧振子的速度最大 C．在时，弹簧振子的回复力最大 D．在时，弹簧振子回到平衡位置 【答案】B 【详解】A．由位移表达式可知圆频率，则振子的振动频率，故A错误； BC．由位移表达式可知，在时，振子的位移为零，此时振子的速度最大，回复力为零，故B正确，C错误； D．在时，弹簧振子的位移为，此时弹簧振子与平衡位置间的距离最大，故D错误。 故选B。 ▌迁移练1-1 （多选）某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移，振动图像如图所示，则（　　） A．弹簧在第1s末与第5s末的长度相同 B．简谐运动的频率为 C．第3s末，弹簧振子的位移大小为 D．弹簧振子在第3s末与第5s末的速度方向相反 【答案】BC 【详解】A．在水平方向上做简谐运动的弹簧振子，位移x的正负表示弹簧被拉伸或压缩，所以在第1s末与第5s末，虽然振子位移大小相同，但方向不同，弹簧长度不同，选项A错误； B．由题图可知，周期，故频率为，选项B正确； C．，则将代入，可得弹簧振子的位移大小为，选项C正确； D．因x-t图像的斜率等于速度，由题图可看出第3s末与第5s末弹簧振子速度方向相同，选项D错误。 故选BC。 ▌迁移练1-2 装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示。把玻璃管向下缓慢按压4cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向上的简谐运动，测得振动周期为0.5s。以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅。对于玻璃管，下列说法正确的是（     ） A．位移满足 B．玻璃管及内部液体受到重力、浮力和回复力的作用 C．振动过程中玻璃管及内部液体的机械能守恒 D．在时间内，位移减小，速度减小，加速度增大 【答案】A 【详解】A．由题意可知玻璃管做简谐运动，振幅，周期，则角频率 设振动方程为 由图乙可知时且图像斜率为负即向负方向运动，代入得 解得 因时速度，即，故初相位 位移满足，故A正确； B．玻璃管及内部液体受到重力和浮力作用，回复力是重力和浮力的合力，效果力不是物体实际受到的力，故B错误； C．振动过程中，水对玻璃管的浮力做功，玻璃管及内部液体的机械能不守恒，故C错误； D．在时间内，由图乙可知玻璃管从负向位移处向平衡位置运动，位移大小减小，速度增大，加速度减小，故D错误。 故选A。 考点 单摆 ▌例1 把秋千看成单摆模型，图为小明在荡秋千时的振动图像，已知小王的体重比小明的大，已知绳子等长且不可伸长，二人均可看成质点，则下列说法正确的是（g取10m/s2）（　　） A．图中b点对应荡秋千时的最低点，此时回复力为零 B．小王荡秋千时，其周期大于6.28s C．小明荡到图中对应的b点时，动能最小 D．该秋千的绳子长度约为5m 【答案】A 【详解】A．根据简谐振动的回复力可知，在最低点（即平衡位置），位移，此时回复力为0，故A正确； B．根据单摆的周期可知，单摆的周期与摆球的质量无关，因此小王荡秋千时，其周期也等于6.28s，故B错误； C．小明荡到图中对应的b点时，由图可知，b点为平衡位置，小明的速度最大，动能最大，故C错误； D．根据单摆的周期 解得，故D错误。 故选A。 【关键能力提升】(1)单摆和弹簧振子不同，单摆在平衡位置时，摆球所受回复力为零，但所受合力不为零。 (2)单摆做简谐运动的周期只由摆长和重力加速度决定。 (3)在单摆做简谐运动时，单摆的振幅A指的是摆球偏离平衡位置的最大位移大小，可以近似等于摆球偏离平衡位置的最大弧长。 (4)单摆周期公式T＝2π仅适用于单摆做简谐运动时的情形，即单摆偏离竖直方向的最大偏角θm<5°时的情形。 ▌迁移练1-1某同学利用图甲所示装置来测量重力加速度。打开手机的磁传感器并放置于O点正下方，将磁性小球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，手机软件记录的磁感应强度变化曲线如图乙，已知单摆摆长为l，忽略实验环境对磁性小球的影响，则（　　） A．单摆的周期为t0 B．测量出的重力加速度 C．小球的摆幅越小，周期越小 D．小球经过最高点时，绳的拉力最大 【答案】B 【详解】A．在一个周期内小球两次经过最低点，由图乙可知单摆的周期为，故A错误。 B．根据 可得重力加速度大小为，故B正确。 C．由可知单摆的周期大小与单摆的振幅无关，即与小球拉起的幅度无关，故C错误。 D．小球经过最高点时，速度为零，合力方向指向摆动弧线的切线方向，大小为重力在该方向的分力，拉力为重力沿绳子方向的分力，此时拉力最小，故D错误。 故选:B。 ▌迁移练1-2 如图所示，可视为质点的小球在半径为R的光滑圆弧面上A、B之间来回运动（），不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球在A点加速度为0 B．小球经过同一位置速度一定相同 C．小球在A点的回复力等于重力与支持力的合力 D．增大半径R，小球运动的周期不变 【答案】C 【详解】A．小球的振动类似单摆，在A点合外力方向指向平衡位置，则加速度不为0，A错误； B．小球经过同一位置速度大小一定相同，但方向不一定相同，B错误； C．小球在A点的回复力等于重力与支持力的合力，C正确； D．小球的运动类似单摆，根据，可知增大半径R，小球运动的周期变大，D错误。 故选C。 考点 受迫振动与共振 ▌例1（多选）把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图甲所示。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高，增加筛子质量，可增大筛子的固有周期。现在，在某电压下偏心轮的转速是。为了使筛子的振幅增大，则（    ） A．减小驱动力的频率 B．增大驱动力的频率 C．减小筛子的固有频率 D．增大筛子的固有频率 【答案】AD 【详解】在某电压下偏心轮的转速是，即周期为 所以驱动力的频率 由乙图可知筛子的固有频率 由于驱动力的频率大于固有频率，要使振幅变大，应减小驱动力的频率或增大筛子的固有频率，故AD正确 ▌迁移练1-1一个风柔月明的夜晚，老夏坐在窗前桌旁学习，身在明灯下，心沐皎月中。窗外一番景色令人平静：“风抚新枝伴钟摇，一滴一嗒一上下”，桌上的钟，秒针走一下，窗外的枝头向上撩过月面，秒针又走一下，枝头又向下划过月面，如此往复许久。下列对上述情景的说法合理的是（　　 ） A．枝头的振动属于简谐振动 B．枝头的振动属于受迫振动 C．枝头振动的频率为2Hz D．若将树枝视作绕枝根的圆周运动，则枝上越靠近枝根的点转动得越快 【答案】B 【详解】A．简谐振动的回复力满足 树枝受到风力作用，阻尼、驱动力复杂，回复力不满足线性关系，不属于简谐振动，故A错误； B．树枝持续受风力周期性驱动而振动，属于受迫振动，驱动力为风的作用力，故B正确； C．根据题目可知，枝头的振动周期为2s，根据 可知，故C错误； D．若将树枝视作绕枝根的圆周运动，枝上各点的角速度相同，根据 可知枝上越靠近枝根的点转动半径越小，则转动得越慢，故D错误。 故选B。 ▌迁移练1-2 如图所示，两个弹簧与钩码组成固有频率为的振动系统，架子上面的电动机对该系统施加周期性的驱动力，使钩码在竖直方向做受迫振动。电动机的转速可以改变，钩码振动稳定后，下列判断正确的是（     ） A．当电动机的转速为时，钩码的振动频率为 B．当电动机的转速为时，钩码的振动周期为 C．当电动机的转速为时，钩码振动的振幅最大 D．无论电动机的转速如何变化，钩码振动的振幅都不会发生改变 【答案】C 【详解】AB．钩码做受迫振动，其振动周期与驱动力的周期相同，因此当电动机的转速为时，可知钩码的振动频率为，则周期，故AB错误； CD．当驱动力的频率与振动系统的固有频率相等时，振幅最大，即当电动机的转速为时，钩码振动的振幅最大，故C正确，D错误。 故选C。 基础达标 1．（25-26高二上·江苏盐城·期中）垂钓时鱼漂是反映鱼儿咬钩信息的工具，如图甲所示。当鱼漂静止时P点恰在水面上。将鱼漂缓慢向下压，松手后，鱼漂在竖直方向上做简谐运动，其振动图像如图乙，取竖直向上为位移的正方向，则（     ） A．该鱼漂的振动频率为 B．时鱼漂的速度方向竖直向下 C．时鱼漂的加速度方向竖直向下 D．时鱼漂的速度和加速度均最大 【答案】C 【详解】A．由题可知鱼漂振动周期为0.8s，其频率为，故A错误； B．由图乙可知，时鱼漂位移沿y轴正方向，此时运动方向向上，故鱼漂的速度方向竖直向上，故B错误； C．时鱼漂的位移为正，根据可知鱼漂加速度方向竖直向下，故C正确； D．时鱼漂在负向最大位移处，此时速度最小，加速度最大，故D错误。 故选C。 2．（25-26高二上·广东河源·期末）如图所示，在光滑水平面上有一轻质弹簧左端固定，右端与一质量为m的小球相连，构成一个水平弹簧振子，弹簧处于原长时小球位于O点。现使小球以O点为平衡位置，在A、B两点间沿光滑水平面做简谐运动，关于这个弹簧振子做简谐运动的过程，下列说法中正确的是（　　） A．小球从O位置向B位置运动过程中合外力变小 B．小球每次通过同一位置时的速度一定相同 C．小球从A位置向B位置运动过程中，动能的变化量为零 D．小球先后经过两个对称位置的过程中，弹力做正功 【答案】C 【详解】A．小球从O位置向B位置运动过程中弹簧弹力逐渐增大，则合外力变大，故A错误； B．小球每次通过同一位置时的速度大小一定相等，但方向可能不同，故B错误； C．A、B是简谐运动的两个最大位移处，小球在这两个位置的速度均为0，因此从A到B过程中，初末动能都为0，动能变化量为0，故C正确； D．小球先后经过两个对称位置的过程中，弹性势能相等，弹性势能变化为0，则弹力做功为0，故D错误。 故选C。 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）如图为某物体做简谐运动的图像，在0~1.5s范围内分析下列说法，正确的是（     ） A．0.6s时物体的速度与0.4s时的速度相同 B．物体做简谐运动的振幅为8cm C．0.1~0.3s时间内加速度增大 D．0.3~0.5s时间内动能减小 【答案】D 【详解】A．由图可知，时物体处于波峰位置，与关于对称。根据简谐运动的对称性，这两时刻物体的位移相同，速度大小相等。但在图像中，切线斜率表示速度，时斜率为正，时斜率为负，说明速度方向相反，故A错误； B．振幅是物体偏离平衡位置的最大距离，由图像纵坐标可知，最大位移为，即振幅，故B错误； C．在时间内，物体从负向最大位移处（）向平衡位置（）运动，位移的大小在减小。根据简谐运动的加速度公式可知，加速度的大小与位移大小成正比，所以加速度在减小，故C错误； D．在时间内，物体从平衡位置（）向正向最大位移处（）运动，位移增大，速度减小。根据动能公式可知，物体的动能减小，故D正确。 故选 D。 4．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）一质点做简谐运动的图像如图所示，则该质点（     ） A．在0.015s时，速度与加速度都为方向 B．在0.01~0.03s内，速度与加速度先沿负方向后沿正方向，且速度是先减小后增大，加速度是先增大后减小 C．在第8个0.01s内，速度与位移方向相同，且都在不断增大 D．在每1s内，回复力的瞬时功率有100次为零 【答案】D 【详解】A．在时，图像斜率为负，速度沿负方向；质点位移为负，简谐运动的加速度指向平衡位置，沿正方向，二者方向相反，故A错误； B．在内，质点先沿负方向运动，后沿正方向运动；但在该过程中位移始终为负，加速度始终沿正方向，并非先沿负方向后沿正方向，故B错误； C．由图可知振动周期为，第8个对应，与的运动状态相同。此时位移和速度均沿正方向，但质点向正向最大位移运动，位移增大而速度大小减小，并非二者都不断增大，故C错误； D．由前述计算得频率为 由瞬时功率公式 回复力在平衡位置为零，速度在最大位移处为零，所以每个周期内回复力的瞬时功率有4次为零。每内包含25个周期，零功率次数为，故D正确。 故选D。 5．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）一单摆，图是其做阻尼振动的位移-时间图像，图是其做受迫振动的共振曲线。以下说法正确的是（     ） A．受到的拉力 B．机械能 C．若仅摆长增大，单摆的固有频率增大 D．若仅摆长增大，共振曲线的峰将向右移 【答案】A 【详解】A．点与点的位移大小相等，摆球所处高度相同。阻尼振动的机械能随时间减小，且点对应时刻早于点，所以，进而，两点摆角大小相同，由沿摆线方向的动力学关系有 所以，故A正确； B．阻尼力做负功，机械能随时间减小，点对应时刻早于点，所以，故B错误； CD．单摆的固有频率 摆长增大时减小；共振曲线的峰值对应驱动力频率等于，峰值将向左移动，故CD错误。 故选A。 6．（25-26高二上·江苏·期末）如图甲所示是演示简谐运动图像的装置，当沙漏摆动时，漏斗中的细沙均匀流出，同时匀速拉出沙漏正下方的木板，漏出的细沙在板上会形成一条曲线。图乙是同一个沙漏分别在两块木板上形成的曲线图中的虚线，已知P，Q分别是木板上的两点，忽略沙漏重心的变化，则（　　） A．两次实验沙漏振动周期不同 B．木板移动的速度v1与木板的速度v2之比为3∶2 C．位置P处的沙层比Q处的沙层浅一些 D．若要记录沙漏多次全振动的时间，则应该在P点开始计时 【答案】B 【详解】A．根据单摆周期公式可知，两次实验沙漏振动周期相同，故A错误； B．木板做匀速运动，设振动周期为T，则 解得，故B正确； C．沙漏摆动时在最大位移处速度为零，在平衡位置处速度最大，所以P处堆积的细沙比Q处多，故C错误； D．若要记录沙漏多次全振动的时间，则应该在单摆运动到最低点开始计时，即Q点开始计时，故D错误。 故选B。 7．（多选）（25-26高二下·安徽六安·期末）如图，一轻质弹簧竖直悬挂，上端固定，下端系一质量的小球。开始时小球静止于点，现将小球从点竖直向下缓慢拉下后由静止释放，小球在竖直方向上做简谐运动。已知弹簧的劲度系数，重力加速度，不计空气阻力，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（     ） A．小球做简谐运动的振幅为 B．小球运动到最高点时弹簧处于原长 C．小球经过平衡位置时速度最大 D．小球振动过程中最大加速度大小为 【答案】BC 【详解】A．开始时小球静止于点，故小球做简谐运动的平衡位置就是O点，振幅是偏离平衡位置的最大距离，从平衡位置O向下拉5cm释放，因此振幅就是5cm，故A错误； B．开始时小球静止于点，此时弹簧拉伸量 根据简谐运动对称性可知，小球运动的最低点在O点下方5cm处，则小球运动的最高点在O点上方5cm处，因此小球运动到最高点时弹簧处于原长，故B正确； C．做简谐运动的物体，经过平衡位置时速度达到最大值。O点是平衡位置，经过O点时速度最大，故C正确； D．小球的最大加速度出现在最大位移处，此时小球可在最高点，合力大小等于mg，根据牛顿第二定律可知，此时加速度，故D错误。 故选BC。 8．（25-26高二上·江苏盐城·期中）如图所示，质量为的小球甲在半径为的光滑圆槽上的、之间来回运动，间弧长远小于圆槽半径。当摆角很小时，重力加速度为。小球均可看成质点，不计空气阻力的影响。 (1)证明小球甲的运动是简谐运动； (2)将小球甲从圆弧面的处由静止释放，同时在圆弧的圆心处由静止释放另一小球乙（图中未画出）。通过计算说明哪个小球先到达圆弧面的最低点； (3)当甲球完成（为整数）次全振动过程中，圆槽对甲球的冲量。 【答案】(1)见解析 (2)小球乙先到达圆弧面的最低点，说明见解析 (3)，方向竖直向上 【详解】（1）小球甲的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力 当摆角很小时 因此小球甲运动的回复力可表示为 负号表示与位移方向相反，所以小球甲的运动是简谐运动 （2）小球甲做简谐运动，周期 小球甲第一次运动到最低点的时间 根据自由落体运动规律，小球乙到达最低点时间 因为，所以小球乙先到达最低点 （3）小球甲完成次全振动过程，动量的变化量 重力的冲量 由动量定理 解得，方向竖直向上 9．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）如图所示，一个质量为的大圆环直立在水平面上，圆环顶端固定了一根劲度系数为的轻质弹簧，弹簧下面拴接了一个质量为的小球（可视为质点），处于静止状态。现用力托住小球缓慢向上运动，当弹簧恢复原长时，撤去外力，小球开始上下振动。在小球振动过程中，大圆环始终与地面接触，弹簧始终处在弹性限度内。已知弹簧的弹性势能为形变量，重力加速度为，不计空气阻力。求： (1)小球处于静止状态时，弹簧的形变量； (2)小球运动过程中的最大速度； (3)小球运动到最低点时，大圆环对地面的压力大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）静止时有 解得 （2）平衡位置处速度最大，从释放到平衡位置的过程有 解得 （3）由简谐运动的对称性，最低点处，小球所受合力为，竖直向上。 弹簧弹力 对大圆环有 由牛顿第三定律可知压力 解得 10．（25-26高二上·山东菏泽·期末）如图甲，上端固定着力传感器的弹簧振子沿竖直方向做简谐运动，弹簧向下拉传感器时其示数为正，从某时刻开始计时，获得传感器示数F与时间t的关系图像如图乙，已知弹簧的劲度系数k=20N/m，，g取． (1)求小球的质量m； (2)写出从计时开始小球的位移随时间变化的关系式（取向下为正方向）； (3)求图中时间内弹簧对小球所做的功。 【答案】(1) (2) (3)-0.4J 【详解】（1）小球做简谐运动，利用对称性，根据牛顿第二定律，小球在最高点有 小球在最低点有 解得 （2）根据胡克定律有， 振幅为 解得 利用简谐运动的对称性，由题图乙可知 解得 t=0时刻小球所受弹力最大，方向竖直向上，所以小球处于最低点，则弹簧振子的振动方程为 （3）将代入简谐振动方程，解得 将代入简谐振动方程，解得 时间内弹簧对小球所做的功为 11．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图所示，水平光滑桌面上，轻弹簧的左端固定，右端连接物块P，P和物块Q通过轻绳绕过定滑轮连接。开始时，系统处于静止状态，P处于位置O。将P向左推至弹簧原长的位置A点后由静止释放，P将在A点和右侧的某位置（图中未画出）之间做简谐运动，物块未与定滑轮相碰，弹簧未超出弹性限度。已知P的质量为m，Q的质量为2m，弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，不计一切摩擦。求： (1)P做简谐运动的振幅A； (2)弹簧的最大弹性势能； (3)绳上的最大拉力。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）平衡位置位于O点，平衡条件 解得 （2）对系统，P从开始释放到最右侧由能量守恒可得 解得 （3）释放P瞬间，对P由牛顿第二定律得 对Q由牛顿第二定律得 解得 根据对称性，Q在最低点处的加速度大小为a，方向向上。 对Q由牛顿第二定律得 解得绳上的最大拉力 能力进阶 12．（2026·湖北宜昌·二模）港珠澳大桥是世界上技术最复杂、施工难度最高、工程规模最大的桥梁工程。港珠澳大桥在设计和建造中采用了一种安装在桥塔与梁体之间的阻尼器，其作用主要是通过消耗振动能量来减小桥梁的振幅。阻尼器的使用主要改变了（　　） A．桥梁的固有频率 B．桥梁系统的总阻尼 C．外来驱动力的频率 D．桥梁的固有周期 【答案】B 【详解】A．桥梁的固有频率由其自身质量、结构等固有属性决定，阻尼器不会改变这些属性，因此固有频率不变，故A错误； B．阻尼器通过消耗振动能量减小振幅，本质是增大了桥梁系统的总阻尼，使振动更快衰减，故B正确； C．外来驱动力的频率由外界振源（如风、通行车辆等）决定，阻尼器无法改变外界振源的频率，故C错误； D．根据可知固有周期与固有频率互为倒数，由桥梁自身固有属性决定，不受阻尼器影响，因此固有周期不变，故D错误。 故选B。 13．（2026·广东深圳·模拟预测）如图所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T型支架在竖直方向振动，T型支架下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中，当圆盘静止时，让小球在水中振动，其阻尼振动频率约为3Hz。现使圆盘以4s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球的振动达到稳定，下列说法正确的是（　　） A．圆盘转动时，小球稳定振动周期为4s B．圆盘转动时，小球稳定振动频率为3Hz C．圆盘静止和转动时，小球都是做受迫振动 D．圆盘静止和转动时，小球都是做自由振动 【答案】A 【详解】AB．圆盘转动：给小球施加驱动力，小球做受迫振动。受迫振动稳定后，振动周期=驱动力周期。驱动力周期，因此小球稳定周期为4s，频率不等于固有频率3Hz，故A正确，B错误； CD．圆盘静止时：无驱动力，小球在水中做阻尼自由振动，不是受迫振动，故CD错误。 故选A。 14．（2026·浙江·一模）一位宇航员在地球表面进行单摆实验，记录下摆球的振动图像如图所示，若能将该单摆装置带到火星表面（已知火星表面的重力加速度约为地球表面的倍），并让摆球从相同的最大摆角处开始摆动，下列关于火星上单摆振动图像的描述，最接近实际情况的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，单摆在地球表面上摆动的周期为，振幅为，根据单摆周期公式有 该单摆装置带到火星表面，已知火星表面的重力加速度约为地球表面的倍，可得 解得单摆在火星表面上摆动的周期 摆球从相同的最大摆角处开始摆动，故单摆的振幅 则火星上单摆振动图像的描述，最接近实际情况的是B。 故选B。 15．（2026·陕西渭南·三模）一列简谐横波在介质中沿x轴传播，先后经过A和B两点且均已振动，A和B是介质中平衡位置相差半个波长的两个质点。已知A质点的位移随时间变化的关系为：，则下列判断正确的是（     ） A．这列波的传播周期为2 s B．质点B的振动方程为 C．时质点A偏离平衡位置的位移是 D．时质点B偏离平衡位置的位移是 【答案】D 【详解】A．由A的振动方程得角频率 周期，故A错误； B．A、B平衡位置相差半个波长，振动相位差为，因此B的振动方程为 相位项应为或，故B错误； C．将代入A的振动方程：，故C错误； D．A、B反相，任意时刻 时 因此，故D正确。 故选D。 16．（2026·广东佛山·三模）如图甲，用轻弹簧悬挂的手机在竖直方向做简谐运动，点为平衡位置，点为最高点，点为最低点。手机上的传感器记录其竖直方向的加速度随时间变化的曲线如图乙。已知手机质量为，振动周期为，最大加速度大小为，重力加速度为，忽略空气阻力，以竖直向下为正方向。下列说法正确的是（　　） A．时，手机在点 B．过程中，手机运动的动能增大 C．手机运动的最大速度大小为 D．时刻，弹簧弹力大小为 【答案】D 【详解】A．时，加速度为向下的最大，可知手机在最高点P点，A错误； B．过程中，手机从平衡位置O点向最低点Q运动，则动能减小，B错误； C．因a-t图像的面积等于速度的变化量，从P点开始运动到O点时速度最大，可知手机运动的最大速度大小大于，C错误； D．时刻，手机在Q点，加速度为向上的am，则由牛顿第二定律，可得弹簧弹力大小为，D正确。 故选D。 17．（多选）（26-27高三·全国·一轮复习）一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则下列说法正确的是（     ） A．若t时刻和时刻振子对平衡位置的位移大小相等，方向相同，则一定等于T的整数倍 B．若t时刻和时刻振子运动速度的大小相等，方向相反，则一定等于的整数倍 C．若，则在t时刻到时刻的时间内振子的位移可能大于振幅，可能等于振幅，可能小于振幅 D．若，则在t时刻和时刻振子的速度大小一定相等 【答案】CD 【详解】ABD．根据波时间的周期性，若时刻与时刻质点的振动情况（位移、速度、加速度）都相同，则 若质点的振动情况（位移、速度、加速度）大小相等方向相反，则 所以若t时刻和时刻只有振子对平衡位置的位移大小相等，方向相同，则不一定等于T的整数倍；若t时刻和时刻振子运动速度的大小相等，方向相反，则不一定等于的整数倍；若，则在t时刻和时刻振子的速度大小一定相等，但方向相反，AB错误，D正确； C．由于质点在不同位移处速度不同，越靠近平衡位置速度越大，则若，则在t时刻到时刻的时间内，若质点从平衡位置一侧靠近平衡位置的位置向另一侧运动，该段时间内的过程位移大小可能大于振幅；若质点从平衡位置开始或者从最高点（最低点）开始振动，则位移等于振幅；若质点从距离平衡位置的某点向远离平衡位置振动，则振子的位移小于振幅，所以C正确。 故选CD。 18．（多选）（2026·新疆喀什·模拟预测）如图甲所示，一可视为质点的小球在光滑圆弧面上做简谐运动，圆弧轨道对小球的支持力大小随时间变化的曲线如图乙所示，图中时刻小球从点开始运动，重力加速度为。下列说法正确的是（     ） A．时刻小球的动能最小 B．该圆弧轨道的半径为 C．小球在A点所受的合力为零 D．小球的质量为 【答案】AB 【详解】A．由图可知，支持力在和时均取最小值，在两时刻之间取最大值，说明小球在时位于左侧最大位移处，经过平衡位置后，在时到达右侧最大位移处，此时小球速度为零，动能为 因此时刻小球的动能最小，故A正确； B．设小球做简谐运动的周期为，圆弧轨道的半径为，根据单摆的周期公式有 小球从运动到所用时间为半个周期，由图可知 联立解得，故B正确； C．设小球在点相对最低点的圆心角为，小球在点速度为零，沿半径方向的加速度为零，因此支持力与重力沿半径方向的分力平衡，有 但重力沿圆弧切线方向的分力为，该分力不为零，因此小球在点所受合力不为零，故C错误； D．小球在点速度为零，由上述分析可知 小球从点运动到最低点，根据机械能守恒定律有 解得 在最低点，根据牛顿第二定律有 联立解得 因此小球质量为 题中所给质量表达式错误，故D错误。 故选AB。 19．（2026·天津北辰·二模）用单摆测定重力加速度的实验装置如图甲所示。 (1)组装单摆时，在下列提供的器材中应选用_________（填选项前字母）。 A．长度为左右的细线 B．长度为左右的细线 C．直径为左右的铁球 D．直径为左右的塑料球 (2)选择好器材，将符合实验要求的摆球用细线悬挂在铁架台横梁上，应采用图_________（选填“乙”或“丙”）所示的固定方式。 (3)甲同学测得摆球的直径为，测得球完成次全振动所用的时间为，测得摆球用线长为，根据以上数据，可得到当地的重力加速度为_________（用、等字母表示）。 【答案】(1)AC (2)乙 (3) 【详解】（1）本实验要求摆长约1m，以减小测量误差； 同时需要选择密度更大的摆球，减小空气阻力对实验的影响 因此选1m左右的细线、直径2cm左右的铁球，故选AC。 （2）实验过程中需要保证悬点固定，避免摆动时摆长发生变化。乙图用夹子固定悬点，摆长稳定； 丙图缠绕式固定，摆动时悬点会滑动、摆长会改变，故选乙。 （3）单摆的实际摆长为​ 单摆的周期为 根据单摆周期公式​​ 联立可得 20．（2026·四川巴中·模拟预测）某同学用单摆测量当地的重力加速度，实验装置如图甲所示. (1)组装单摆时，应在下列器材中选用__________，（选填选项前的字母）。 A．长度约为的橡皮绳 B．长度约为的细线 C．直径约为的塑料球 D．直径约为的铁球 (2)实验过程同学分别用图乙、图丙的两种不同方式悬挂小球，你认为__________（选填“乙”或“丙”）的悬挂方式较好。 (3)下列振动图像真实地描述了用单摆进行周期测量的四组信息。图中横坐标原点表示计时起点，图A、B、C、D为单摆全振动的图像，符合实验要求且误差最小的是__________。（已知，） A． B． C． D． 【答案】(1)BD (2)丙 (3)A 【详解】（1）测量重力加速度时，根据单摆周期公式可得 为减小实验误差，摆线应选择较长且不易伸长的细线，因此选择长度约为的细线；摆球应选择体积较小、质量较大的小球，使空气阻力相对重力的影响较小，因此选择直径约为的铁球，故选BD。 （2）单摆摆动过程中要求悬点固定，摆线长度保持不变。图乙中摆线绕在横杆上，摆动时摆线与横杆的接触位置可能发生变化，使悬点位置和有效摆长发生变化；图丙能使摆线的悬点固定，因此图丙的悬挂方式较好。 （3）单摆实验要求摆角较小，通常应控制摆角不超过。若摆长约为，摆球振幅满足 当时，有 因此图A、B中振幅约为，符合小角度摆动要求；图C、D中振幅约为，由于，摆角甚至大于，不符合单摆实验要求。计时时应选择摆球经过平衡位置的时刻作为计时起点，因为摆球经过平衡位置时速度最大，位置判断较准确，相比在最大位移处计时误差更小，因此A图符合实验要求且误差最小。 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $