2.5 实验：用单摆测量重力加速度（举一反三·讲义）物理人教版选择性必修第一册

2.5实验：用单摆测量重力加速度 【新教材人教版】 【知识框架+知识精讲（1个知识归纳+2个题型）+课后作业】 情景导入 我们已经知道，单摆的周期公式是。 那么能不能借此利用单摆实现重力加速度的测量呢？ 知识归纳 【知识点 用单摆测量重力加速度】 1．实验思路： 在偏角很小（小于5°）时，可以将单摆的机械振动看作简谐运动。 由单摆的周期公式可以推得，如果测量出单摆的摆长和周期，就可以利用此式计算得出本地重力加速度。 2．实验装置： · 应选用不可伸长的细线，长度要长一些（1m左右），质量相对于摆球质量可忽略。 · 应选用半径较小的摆球，半径相对于摆线长可忽略，质量要大一些，即密度要大一些。 · 细线的悬挂方式：应选用下图中图乙的悬挂方式。因为这种方式可保证单摆在摆动过程中摆长不变，且便于调整。 图甲 图乙 3．物理量的测量： （1）摆长的测量：测量摆长应在组装单摆之后进行。 方法一：用刻度尺直接测量小球球心与悬挂点之间的距离L，即为摆长。 方法二：用游标卡尺或螺旋测微器测量小球的直径d，用刻度尺测量悬挂点与小球顶端之间的距离l，则摆长为。 （2）周期的测量： 方法：累积法，即用停表测量单摆多次（30-50次）全振动的时间，然后计算求得周期。 注意：从摆球运动到最低点（即平衡位置）时开始计时，因为这一点的位置明确，便于观测。 具体方案一：开始计时后，摆球每次经过最低点均计数，记录在时间t内摆球经过最低点的次数n，则周期为。 具体方案二：开始计时后，只在摆球从同一方向经过最低点时计数，记录在时间t内摆球完成全振动的次数n，则周期为。 4．数据分析： （1）平均值法：多次改变摆长l，并测量对应的周期T，代入公式计算出g值，并求出g的平均值。 次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/m·s-2 g的平均值 1 2 3 （2）图像法： 由单摆的周期公式可推得，绘制T2-l图，得到的图像是一条通过原点的倾斜直线，其斜率为，则。 5．误差分析： （1）系统误差： · 装置：是否满足摆线长远大于摆球直径，摆球质量远大于摆线质量，悬挂点固定。 · 操作：是否满足最大摆角不超过5°，单摆在同一竖直平面内摆动，不能形成圆锥摆。 （2）偶然误差： · 测量周期：记录次数n时出现多记、少记的情况。 · 测量摆长时引起的偶然误差。 （3）绘制图像时，图像没有经过原点，而是在l轴或T2轴上有非零截距。 · 误将直径当作半径：由可知，有l轴正半轴的非零截距，截距的大小等于摆球的半径R，图像的斜率不变，不影响g的数值。 · 漏记了摆球半径：由可知，有T2轴正半轴的非零截距，图像反向延长线在l轴负半轴的截距大小等于摆球的半径R，图像的斜率不变，不影响g的数值。 【例1】小明学习“用单摆测量重力加速度”实验后，利用甲图装置做了该实验。 （1）测量摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长（从悬点到摆球的最上端）为L，再用游标卡尺测得摆球的直径，读数如乙图所示，则d＝__________mm，若再测得单摆周期为T，则当地的重力加速度g＝__________（用L、d、T表示）。 （2）在安装装置时，摆线上端有三种系挂方式，下列方式哪种是正确的__________（填对应序号）。 （3）在测量周期时，若从摆球运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t，则单摆周期为T＝__________（用n、t表示）。 （4）假如把该装置搬到月球上进行实验，改变单摆的摆长l，多次测量单摆在不同摆长下所对应的周期T，并描绘出T2-l图像如丙图所示，则可得知月球重力加速度大小为__________m/s2。 【答案】（1） （2）③ （3） （4） 【详解】（1）[1]游标卡尺的主尺读数为，游标尺分度值为，第10条刻度线与主尺刻度线对齐，因此 [2]单摆的摆长等于悬点到摆球球心的距离，因此 将单摆周期公式平方后得 整理得 代入摆长表达式得 （2）①．用绳结悬挂时，摆动过程中绳结处可能发生滑动，悬点不稳定，故①错误； ②．将摆线缠绕在横杆上时，摆线与横杆的接触点可能随摆动而改变，摆长不稳定，故②错误； ③．用夹子固定摆线上端，能够使悬点位置固定且摆线不易滑动，故③正确。 故选③。 （3）相邻两次经过最低点的时间间隔为，从第1次到第次共有个时间间隔，因此 解得 （4）图像是图像，当时 图线过原点，因此图线斜率为 设月球表面的重力加速度大小为，将单摆周期公式平方后得 所以图线斜率满足 代入图中数据得 【变式1-1】某小组在“用单摆测量重力加速度”实验中 （1）安装好实验装置后，先用刻度尺测量摆线长 ，再用游标卡尺测量摆球直径 ，其示数如图乙所示，则__________； （2）该组同学测出五组单摆振动周期 与摆长的数据如下表，请在图丙中作出关系图像。根据图像算出重力加速度__________；（结果保留位有效数字） 次数 （3）若测量值与当地重力加速度值相比偏大，可能原因是_________（写出一个）。 【答案】（1） （2） ////// （3）测得的周期偏小或测得的摆长偏大 【详解】（1）由题图乙可知摆球直径为 （2）[1]作出关系图像如图所示。 [2]根据单摆周期公式可得 所以图像的斜率为，解得 （3）（1）本实验通过累积法来测量周期，即测量摆球完成n次全振动的总时间t，从而求得周期，若计算时不慎将n的值记录得偏大，则所测周期偏小，会造成g的测量值偏大。 （2）实验时，摆球有时不一定严格在竖直面内运动，而是做圆锥摆运动，在摆角为的情况下，小球向心力为，解得 由上式可知摆球做圆锥摆运动时，所测周期比严格做单摆运动时偏小，从而造成g的测量值偏大。 （3）测量摆长时，用摆线长加小球的直径，使得摆长的测量值偏大，从而造成g的测量值偏大。 【变式1-2】用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示。 （1）组装单摆时，应在下列器材中选用【变式1-3】（选填选项前的字母）。 A．长度为左右的细线 B．长度为左右的细线 C．直径为的塑料球 D．直径为的铁球 （2）如图，为某同学用10等分游标卡尺测量小球直径，则直径__________，用秒表记录小球摆动时间，则时间__________ （3）实验中测出单摆的摆线长为。摆球直径为、单摆完成次全振动所用的时间为，则重力加速度__________（用、、、表示）。 （4）该同学测得的值偏大，可能的原因是__________（多选） A．测摆线长时摆线拉得过紧 B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动使摆线长度增加了 C．开始计时的时候，秒表过迟按下 D．实验中误将49次全振动数为50次 E．摆球的质量偏大 F．单摆振动的振幅偏小 （5）为了提高实验的准确度，小红在实验中改变几次摆长并测出相应的周期，从而得出几组对应的和的数值，以为横坐标、为纵坐标作出图线，通过图像求得当地重力加速度。但不小心她每次都把小球直径当作半径来计算摆长，由此得到的图像是图中的__________（选填“①”“②”或“③”）。请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将__________（选填“偏大”“偏小”或“相同”）。 【答案】（1）AD （2） （3） （4）ACD （5） ① 相同 【详解】（1）实验时为了减小小球直径对实验结果的影响，在选取细线的长度时，应该选择细线的长度远远大于小球的直径，同时，为了减小实验过程中球受到空气阻力对实验结果的影响，需要尽量选择小球体积小但是质量相对大的。 故选AD。 （2）[1]由图可知，小球的直径为 [2]由图可知，小球摆动时间为 （3）单摆完成次全振动所用的时间为，则单摆周期为 由单摆周期公式有 整理可得重力加速度 （4）由单摆周期公式有 整理可得 A．测摆线长时摆线拉得过紧，测量的摆长偏大，则重力加速度偏大，故A正确； B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动使摆线长度增加了，测量的摆长偏小，则重力加速度偏小，故B错误； C．开始计时的时候，秒表过迟按下，周期的测量值偏小，则重力加速度偏大，故C正确； D．实验中误将49次全振动数为50次，周期的测量值偏小，则重力加速度偏大，故D正确； EF．重力加速度的测量值与摆球的质量、单摆振动的振幅无关，故EF错误。 故选ACD。 （5）[1]若不小心每次都把小球直径当作半径来计算摆长，则有 整理可得 可知，由此得到的图像是图中的①。 [2]摆球重心就在球心处，则有 整理可得 可知，通过图像求得当地重力加速度，则有 可见该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将相同。 4．用单摆测定当地重力加速度的实验装置如图所示。 （1）组装单摆时，应在下列器材中选用__________（选填选项前的字母）。 A．长度为1.0m左右的细线 B．长度为30cm左右的细线 C．直径为1.8cm的塑料球 D．直径为1.8cm的铁球 （2）用毫米刻度尺测出摆线长l，用游标卡尺测出摆球的直径d，用秒表测出单摆完成n次全振动所用的时间t，则当地重力加速度的表达式为__________（用测出的物理量的符号表达）。 （3）下表是某同学记录的3组数据，并做了部分计算处理。请计算出第3组实验中的周期__________s和重力加速度__________。 组次 1 2 3 摆长L/cm 80.00 90.00 100.00 50次全振动时间t/s 90.0 95.5 100.5 振动周期T/s 1.80 1.91 重力加速度g/ 9.74 9.73 （4）用多组实验数据作出图像，也能求出重力加速度g。已知三位同学作出的图线如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b，下列分析正确的是__________（选填选项前的字母） A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L B．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次 C．图线c对应的g值小于图线b对应的g值 （5）某同学在家里测重力加速度。他找到细线和铁锁，制成一个单摆，如图所示，由于家里只有一根量程为30cm的刻度尺，于是他在细线上的A点做了一个标记，使得悬点O到A点间的细线长度小于刻度尺量程。保持该标记以下的细线长度不变，通过改变O、A间细线长度以改变摆长。实验中，当O、A间细线的长度分别为、时，测得相应单摆的周期为、。由此可得重力加速度__________（用、、、表示）。 【答案】（1）AD （2） （3） 2.01 9.77 （4）B （5） 【详解】（1）在用单摆测定重力加速度的实验基本条件是摆线长度远大于小球直径，小球的密度越大越好；故摆线应选取长约1m左右的不可伸缩的细线，摆球应选取体积小而质量大的铁球，以减小因空气阻力造成的实验误差。 故选AD。 （2）次全振动的时间为，则振动周期为 根据单摆周期公式 其中摆长为 解得 （3）[1]50次全振动的时间为100.5s，则振动周期为 [2]根据 解得 （4）根据 整理可得 C．图线的斜率为 由图可知，图线c对应的斜率小于图线b对应的斜率，则图线c对应的g值大于图线b对应的g值，故C错误； A．根据可知，图线应为过坐标原点的直线，图线a和图线b平行，且在一定时，图线a对应的L小于图线b对应的L，因此出现图线a的原因可能是误将悬点到小球上端的距离记为摆长L，故A错误； B．实验中误将49次全振动记为50次，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，故B正确。 故选B。 （5）设A到铁锁重心的距离为，则第一次的实际摆长为，第二次的实际摆长为，由周期公式可得， 联立，解得 【例2】某实验小组利用智能手机及单摆测定当地的重力加速度。将一个直径为d的小球用不可伸长的细线竖直悬挂，小球下方吸住一小块磁铁（厚度不计），手机放在悬点正下方水平面上，实验装置如图（1）所示。 （1）用游标卡尺测得小球的直径d，摆线长度为L。 （2）打开手机的磁传感器，让小球在竖直面内做小角度摆动，手机记录了竖直方向上磁感应强度的大小B随时间t变化的图像如图（2）所示，则单摆的周期T＝__________s。 （3）根据上述条件，计算出重力加速度g＝__________（用L、d、T表示）。 （4）多次改变摆长，重复实验，得到多组摆长L及小球摆动的周期T，作出相应的关系图像如图（3）所示。 ①取，根据图像可求出当地重力加速度__________m/s²。 ②在实际操作中，磁铁的厚度不能被忽略。请你根据图像，求出小球与磁铁组成的整体的重心到球心的高度差__________cm。 【答案】 1.98 9.86 2.5 【详解】（1）[1] 图（2）中两虚线处均对应磁感应强度的极大值，二者之间有5个完整周期，因此 [2] 单摆摆长为悬点到小球球心的距离，由周期公式 解得 [3] 图（3）中直线斜率 根据关系式 直线斜率为 因此 [4] 磁铁厚度不可忽略时，悬点到组合体重心的距离为，由周期公式可得 整理得 图线过点，故 【变式2-1】某同学在家做“用单摆测定重力加速度的实验”，由于没有带孔的小球，故用家里的铁锁来代替，使用手机里的秒表功能记录铁锁做次全振动所对应的时间。实验中将不可伸长的轻绳上端固定在桌子边缘，如图甲所示，将铁锁拉离竖直方向一个很小的角度，然后由静止释放。多次改变轻绳的长度，获取多组数据，最后作出图像，如图乙所示。回答下面的问题： （1）该实验__________（选填“需要”或“不需要”）确定铁锁重心的位置； （2）根据图乙可知当地重力加速度__________；（取10，结果保留两位有效数字） （3）有同学建议使用如图丙所示的双线摆，其优点是__________。（填选项前的字母） A．可以有效减小铁锁摆动过程中空气阻力的影响 B．能保证铁锁在同一竖直平面内摆动 C．能更准确测量其振动周期 【答案】（1）不需要 （2）9.5 （3）B 【详解】（1）设铁锁重心到轻绳下端的距离为，实际摆长为，根据单摆周期公式 整理得 图像的斜率 重力加速度仅由斜率求得，与（重心位置）无关，因此不需要确定铁锁重心位置。 （2）由图乙得斜率 结合，代入得 （3）A．双线摆不会减小空气阻力，故A错误； B．双线摆的优点是可以约束铁锁，保证铁锁始终在同一竖直平面内摆动，避免形成圆锥摆带来误差，故B正确； C．双线摆不改变周期的测量方法，故C错误。 故选B。 【点睛】 【变式2-2】如图，是用某实验小组测量重力加速度的装置。摆线长为L，摆球直径为d，让摆球从不同角度θ摆下，利用光电门与无线数字毫秒计，测出小球经过最低点时的挡光时间t。 （1）小球经过最低点的速度为__________； （2）有关t和θ的关系式为__________； （3）为了得到一条线性图像，纵轴应选定的物理量为__________（t、、），横轴应选定的物理量为__________（、、） （4）若所得图像纵轴截距为b，则所测的重力加速度表达式为__________。 【答案】（1） （2） （3） （4） 【详解】（1）小球挡光宽度为直径d，极短时间平均速度近似瞬时速度，则小球经过最低点的速度为。 （2）对摆球，根据动能定理有 整理得 （3）[1][2]根据 整理得 可知图像是一条线性图像，因此纵轴应选定的物理量为，横轴应选定的物理量为。 （4）若所得图像纵轴截距为b，则有 解得 【变式2-3】某探究小组通过单摆实验测当地重力加速度，用到的器材有光滑圆弧形轨道和实心球，其截面如图甲，实验步骤如下： （1）实心球尽量选择质量__________（选填“大些”或“小些”）、体积小些的小球。 （2）将轨道的弧用铅笔描绘在白纸上，通过几何方法算出圆弧轨道的半径R，用螺旋测微器测量实心球的直径，如图乙所示，读数__________mm，单摆摆长__________（用R、d表示）。 （3）找出轨道的最低点O，把实心球从O点移至轨道上P点，P点离O点位置__________（选填“适当靠近O点”或“应尽量远离O点”），由静止释放，第1次经过O点开始计时，并记为次数“1”，每经过一次O点，计数增加1，测得n次经过O点所用的时间为t，则实心球做往复运动的周期__________（用n、t表示）。 根据公式，分别计算出每组L和T对应的重力加速度g，然后取平均值作为重力加速度的测量结果。 （4）若直接用圆弧轨道的半径R当作单摆摆长L，则重力加速度的测量值__________（选填“>”“＝”或“<”）真实值。 【答案】（1）大些 （2） 6.700 （3） 适当靠近O点 （4） 【详解】（1）为了减小空气阻力的影响，实心球尽量选择质量大些、体积小些的小球。 （2）[1]用螺旋测微器测量实心球的直径，读数 [2]单摆摆长 （3）[1]找出轨道的最低点O，把实心球从O点移至轨道上P点，为了使实心球做简谐运动，P点离O点位置适当靠近O点； [2]实心球连续两次经过最低点的时间为半个周期，实心球做往复运动的周期为 （4）根据单摆周期公式，可得 若直接用圆弧轨道的半径R当作单摆摆长L，则所测摆长偏大，则重力加速度的测量值大于真实值。 一、实验题（共18道） 1．随着科技发展，智能手机不仅为我们的生活带来了便利，也可以利用它的摄像头和内部传感器协助我们完成物理实验。如图甲，某同学在“用单摆测量重力加速度”的实验中，利用了智能手机磁传感器和一个磁性小球进行了如下实验： （1）实验前，用刻度尺测出绳长为，用游标卡尺测量摆球的直径为，则摆长__________。 （2）利用软件可将磁感应强度信号转换为电压信号，记录电压的变化曲线如图乙所示，则测得单摆周期__________（用和表示）。 （3）经测量得到多组不同的摆长和对应的周期，画出图线如图丙所示，然后在图线上选取A、B两个点，可计算出重力加速度__________（用、、、表示）。 【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1）摆长为点至摆球球心的距离，故摆长 （2）软件将磁感应强度信号转换为电压信号，摆球每次经过平衡位置时离磁传感器最近，磁感应强度出现峰值，电压也对应出现峰值。单摆一个周期内，摆球会两次经过平衡位置，相邻两个峰值的时间间隔为，从图乙可知，为第一个峰值的时刻，为第二个峰值的时刻，故 解得 （3）根据单摆周期公式有 解得 则图像的斜率为 解得 【点睛】 2．小明同学进行“用单摆测定重力加速度”实验。 （1）该同学组装了如下几种实验装置，你认为最合理的装置是__________。（填正确答案前的标号） （2）实验时，用刻度尺测得摆线的长度为，用游标卡尺测得球的直径为。 （3）摆球在竖直平面内稳定摆动后，若用秒表记录单摆经历次全振动所用的时间，则此单摆的周期__________。重力加速度大小__________（用、和表示）。 （4）与重力加速度的真实值比较，发现根据公式计算出的结果偏大，原因可能是__________。（多选，填正确答案前的标号） A．振幅偏小 B．将摆线长加直径当成了摆长 C．将摆线长当成了摆长 D．将通过平衡位置的次数当成全振动次数 【答案】 B 2.0/2 / BD 【详解】（1）[1]为了减小误差小球应选取质量大体积小即密度大的铁球，摆线用细丝线，而不能用弹性绳，还需要保证摆动过程中摆线的长度不变，应采取铁夹夹住细丝线，故ACD错误，B正确； 故选B。 （2）[2]单摆经历次全振动所用的时间，则单摆的周期为 [3]根据单摆周期公式可得 解得重力加速度大小为 [4] A．由重力加速度公式可知，测量结果与振幅无关，振幅偏小不影响测量结果，故A错误； B．将摆线长加直径当成了摆长，则重力加速度公式中的分子偏大，测量值偏大，故B正确； C．将摆线长当成了摆长，则重力加速度公式中的分子偏小，测量值偏小，故C错误； D．将通过平衡位置的次数当成全振动次数，则周期T偏小，重力加速度公式中的分母偏小，测量结果偏大，故D正确； 故选BD。 3．某实验小组做“用单摆测量重力加速度”实验。 （1）该小组的小莉同学先测出摆长，再用秒表测量单摆的周期。在单摆摆动稳定且摆球到达最低点时开始计时，计数为，摆球每经过最低点一次计数一次，当时，秒表的示数如图乙所示，该单摆的周期是__________（结果保留三位有效数字）。 （2）小莉同学测量出单摆的多组周期和摆长的数值后，画出图线如图丙，则测出的重力加速度__________（用所给字母表示），图像不过原点的主要原因可能是__________（填选项前的字母）。 A．该同学把摆线长度当成了摆长 B．该同学把摆线长度和小球直径之和当成了摆长 C．该同学把摆线长度和小球半径之和当成了摆长 【答案】（1）2.05 （2） A 【详解】（1）单摆一个全振动会2次经过最低点。从n=1到n=61，一共经过最低点的次数是60次。对应的全振动次数 小表盘（分钟）指针在1分钟刻度之后少许，能确定时间有60s；大表盘读数是1.5s，总时间t=61.5s。单摆的周期是 （2）[1]由单摆公式得，得 结合图线，得 解得 [2]图像特点：当时，测量摆长L=−b。意思就是：我读出来的摆长L，比真实摆长偏小，少算了小球半径。 故选A。 4．某实验小组用如图甲所示装置做“用单摆测重力加速度”实验。 （1）组装单摆时，应该选用__________（选填器材前的字母代号）。 A．长度为1 m左右的细线 B．长度为20 cm左右的细线 C．直径约为1.0 cm的木质球 D．直径约为1.0 cm的小钢球 （2）某同学将摆球沿圆弧拉离竖直方向约，然后由静止释放，摆动稳定后，自摆球经过最低点时记为0次并用秒表开始计时，此后摆球每经过最低点一次计数一次，计数到50时，秒表的读数为t，则摆的振动周期__________（用t表示）。图丁中用游标卡尺测量的小球直径是__________cm。 （3）甲同学多次改变摆长L，测量对应的周期T，绘制出图像，如图乙所示，直线的斜率为k。由此可得重力加速度__________（用含k的式子表示）。 （4）已知四位同学做出的图线的示意图如图丙中的a、b、c、d所示，其中a、b和d平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b，下列分析正确的是__________（选填选项前的字母）。 A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L B．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次 C．图线c对应的g值大于图线b对应的g值 D．出现图线d的原因可能是误将悬点到小球上端的距离记为摆长L （5）实验过程中，由于操作失误给了小球初速度，使小球做圆锥摆运动，但仍按照单摆公式计算。请通过推理，证明此操作测量出的重力加速度偏大。 【答案】（1）AD （2） （3） （4）BC （5）设细线与竖直方向的夹角为，为细线对小球的拉力，为运动周期，则由牛顿第二定律得 在竖直方向，由平衡条件可得 解得 等效摆长比真实值偏小，测得的运动周期偏小，根据单摆公式求出的重力加速度偏大。 【详解】（1）为减小实验误差，单摆摆线应选用长度1m左右的细线以保证周期测量精度，摆球应选用密度大、体积小的小钢球以降低空气阻力的影响。 故选AD。 （2）[1]摆球完成一次全振动会2次经过最低点，从记为0次的初始时刻到计数到50次，共完成25次全振动，总时间为，因此振动周期为 [2]根据游标卡尺读数规则，小球直径是 （3）由单摆周期公式 整理可得 因此图像的斜率 整理得重力加速度 （4）A．图线a与b平行，斜率相同说明测量值准确，截距为正，说明相同摆长下测量值偏大，是误将悬点到小球上端的距离记为摆长（漏加小球半径）导致，故A错误； B．误将49次全振动记为50次时，周期测量值小于真实值，相同摆长下偏小，导致图像斜率偏小，与图线c特征吻合，故B正确； C．由可知，斜率越小对应的值越大，因此图线c的值大于图线b的值，故C正确； D．图线d与b平行，斜率相同说明准确，截距为负，说明相同下摆长测量值偏大，可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长（多加小球半径）导致，故D错误。 故选BC。 （5）设细线与竖直方向的夹角为，为细线对小球的拉力，为运动周期，则由牛顿第二定律得 在竖直方向，由平衡条件可得 解得 等效摆长比真实值偏小，测得的运动周期偏小，根据单摆公式求出的重力加速度偏大。 5．在“用单摆测定重力加速度”的实验中，某实验小组在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时且计数为，到第次经过最低点所用的时间为。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得悬挂摆球后的摆线长为，再用游标卡尺测得摆球的直径为。 （1）该单摆的周期为__________，该单摆的摆长为__________。 （2）用上述物理量的符号写出求重力加速度的一般表达式__________（用题中所给字母表示）。多次测量后，该实验小组发现测得的重力加速度的值总是偏大，其原因可能是下述原因中的__________。 A．单摆的悬点未固定紧，振动中出现松动，使摆线增长了 B．把次经过最低点的时间误记为次 C．以摆线长作为摆长来计算 D．以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算 【答案】（1） （2） 或 BD/DB 【详解】（1）[1]单摆一次全振动会2次经过最低点，从计时（计数为0）到第n次经过最低点，共经过n个半周期，即 解得 [2]单摆摆长是悬点到摆球球心的距离，等于摆线长加摆球半径，故摆长为 （2）[1]根据单摆周期公式 变形得 将，代入化简，可得或 [2]由可知，g测量值偏大的原因是摆长L测量值偏大，或周期T测量值偏小： A．悬点松动，实际摆长大于测量的摆线长，L测量值偏小，g偏小，故A错误； B．把n次记为n+1次，计算得到的T偏小，g偏大，故B正确； C．以摆线长作为摆长，未加摆球半径，L测量值偏小，g偏小，故C错误； D．以摆线长加直径作为摆长，多计算了半个摆球直径的长度，L测量值偏大，g偏大，故D正确。 故选BD。 6．惠更斯在推导出单摆的周期公式后，用一个单摆测出了巴黎的重力加速度。某探究小组也采用同样的办法，测量所在地区的重力加速度。 某同学的实验步骤如下： （1）用游标卡尺测出单摆小球的直径D如图所示，则D＝__________mm。 （2）小球某次摆到最低点时开始计时，并计数为1，第二次摆到最低点时计数为2，当小球第n次摆到最低点时停止计时，测得的总时间为t，测出细线长L，则重力加速度__________（用L、n、t、D表示）。 （3）若在减速下降的电梯中做此实验，不考虑电梯加速度对结果的影响，则所测得重力加速度的值与真实值相比是__________（选填“偏大”、“偏小”或“不变”）。 【答案】（1）21.25 （2） （3）偏大 【详解】（1）游标卡尺分度值为0.05mm，游标刻度5与主尺刻度对齐，游标零刻度在21至22之间，故游标卡尺读数为21.25mm。 （2）小球第n次摆到最低点时停止计时，测得的总时间为t，则周期，由单摆周期公式解得 （3）若在减速下降的电梯中做此实验，单摆周期公式为，其中为电梯的加速度，在不考虑电梯加速度的情况下测得的结果应为，故偏大。 7．在“用单摆测定重力加速度”实验中： （1）除长约1m的细线、带铁夹的铁架台、有小孔的小球、游标卡尺外，下列器材中，还需要__________。（填正确答案的标号） A．秒表 B．米尺 C．天平 D．弹簧测力计 （2）下列做法正确的是__________。（填正确答案的标号） A．从摆球达到最高位置时开始计时 B．记录摆球完成一次全振动的时间 C．要让摆球在竖直平面内摆动的角度不小于5 D．选用的细线应细、质量小，且不易伸长 （3）为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长L并测出相应的周期T，以L为横坐标、为纵坐标，作出了图像，求得该直线的斜率为k。则重力加速度__________。 （4）乙同学在实验过程中，摆长没有加小球的半径，其他操作无误，那么他得到的实验图像可能是下列图像中的__________。 A． B． C． D． 【答案】（1）AB （2）D （3） （4）B 【详解】（1）“用单摆测定重力加速度”实验中需要使用秒表测量单摆的运动周期，需要米尺测量摆线的长度，不需要测量摆球的质量，故不需要天平或弹簧测力计。 故选AB。 （2）A．摆球经过平衡位置时速度最大，且平衡位置是确定的，在该处计时测量误差较小，故A错误； B．一次全振动的时间较短，测量的相对误差较大，应测量多次（n次）全振动的总时间t，通过 计算周期，故B错误； C．摆球应在同一竖直面内摆动，不能做圆锥摆，当摆角不超过时，其摆动可视为简谐振动，故C错误； D．实验选用的细线应细、质量小，且不易伸长，故D正确。 故选D。 （3）根据单摆周期公式 整理得 根据图像中直线的斜率 解得重力加速度为 （4）某同学在实验过程中，摆长没有加小球的半径，则有单摆周期公式 整理得 可知图像的斜率为，图像的纵截距为，图B符合要求。 故选B。 8．为测量在平直路面上行驶的汽车加速度，某兴趣小组设计了一款如图所示的简易加速度测量仪。如图（a）所示。将一总刻度长为的直尺水平固定在一个型架的竖直杆上，将一端系有小球的细线悬于型架上的点，点位于直尺中央刻度的正上方，点距直尺上沿。将该装置底座平放在车上，当细线与直尺的交点位置不变时，根据直尺的刻度，便可得到车水平运动时的加速度。 （1）图（b）中刻度应该标记的加速度为__________；该装置可测加速度最大值是__________。（结果由表示） （2）该加速度计的刻度__________（选填“均匀”或“不均匀”）。 （3）为了制作加速度计的刻度盘，需要测量当地的重力加速度，该同学用图（c）中圆锥摆进行测量，将一细线上端固定，下端连接一小球。让小球某段时间内在某一水平面做匀速圆周运动，测出小球做次完整圆周运动的时间为，又测出悬点到小球做圆周运动平面的高为，则当地重力加速度大小__________（用题中所给物理量符号表示）。 （4）若用加速度测量仪直接测量正在爬坡的汽车加速度，则加速度的测量值__________真实值（选填“大于”、“小于”或“等于”）。 【答案】（1） （2）均匀 （3） （4）大于 【详解】（1）[1]设细线与型架的竖直杆的夹角为，汽车水平加速度大小为。小球相对测量仪静止并随汽车一起加速，根据牛顿第二定律，有 解得 设点到直尺的竖直距离为，点与直尺中点的水平距离为，根据几何关系有 联立解得 由图可读出点对应的刻度为，直尺中点刻度为，因此 且，代入数据解得 [2]直尺总长度为，点位于直尺中点正上方，因此细线与直尺的交点相对中点的最大水平距离为 可测加速度最大值 （2）由前面的推导可知，加速度与交点相对直尺中点的位移满足 由于为常量，加速度与刻度位置的变化量成正比，因此该加速度计的刻度均匀。 （3）设小球做匀速圆周运动的半径为，细线与竖直方向的夹角为，小球运动周期为。小球完成周所用时间为，因此 小球运动的角速度为 根据牛顿第二定律，有 由圆锥摆的几何关系，有 联立解得 代入角速度的表达式解得 （4）设斜坡倾角为，汽车沿斜坡向上的真实加速度大小为，细线与型架的竖直杆的夹角为。沿斜坡方向，根据牛顿第二定律，有 垂直斜坡方向，根据平衡条件，有 联立解得 该仪器按照水平路面上的关系 比较测量值与真实值可得 因此加速度的测量值大于真实值。 9．一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。 （1）用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图（a）所示，该示数为__________mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图（b）所示，该示数为__________mm，则摆球的直径为__________mm。 （2）某次实验所用单摆的摆线长度为81.50cm，则摆长为__________cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60s，则该小组测得的重力加速度大小为__________m/s2.（结果均保留3位有效数字，π2取9.870） 【答案】（1） 0.007/0.006/0.008 20.034/20.033/20.035 20.027/20.028/20.029 （2） 82.5 9.83 【详解】（1）[1]测量前测微螺杆和测砧相触时，图（a）的示数为 [2]由图（b）可得，螺旋测微器读数 [3]则摆球的直径为 （2）[1]单摆的摆线长度为，则摆长为 [2]由单摆的周期表达式 可得重力加速度 10．某实验小组用如图甲所示的装置做“用单摆测重力加速度”的实验。回答下列问题： （1）若摆球运动到最低点开始计时，且计数为1，到第81次经过最低点所用的时间如图乙所示，则单摆的振动周期为__________s；（结果保留一位小数） （2）改变摆线长度，重复实验，记录下多组单摆的摆长L和对应的周期T，以T为纵轴、L为横轴，作出的图像的斜率为k，则当地的重力加速度测量值为__________（用已知物理量的符号表示）； （3）若开始计时时，秒表过迟按下，则直接用单摆周期公式所计算出的重力加速度的值__________（填“偏大”“偏小”或“无影响”）。 【答案】（1） （2） （3）偏大 【详解】（1）由图乙可知，总时间为 则周期为 （2）单摆的周期为 整理可得 则图像的斜率为 解得 （3）开始计时时，停表过迟按下，周期的测量值偏小，根据可知，重力加速度的测量值偏大。 11．如图甲所示，将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h（未知）且开口向下的小筒中（单摆的下半部分露于筒外），将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆在摆动过程中悬线不会碰到筒壁。如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以为纵轴、L为横轴作出其关系图像，那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度g。 （1）测量单摆的周期时，某同学在摆球某次通过最低点时按下停表开始计时，同时数“1”，当摆球第二次通过最低点时数“2”，依此法往下数，当他数到“61”时，按下停表停止计时，读出这段时间t，则该单摆的周期T为__________（填正确答案标号）。 A． B． C． D． （2）若不考虑实验误差的影响，根据实验数据，得到的关系图线应该是图乙中的图线__________（填“a”“b”或“c”）。 （3）根据图线可求得当地的重力加速度__________（结果保留三位有效数字），筒的深度__________cm。 （4）若在测量上述L的过程中，误测成了筒的下端口到小球底部的距离，则计算出的重力加速度__________（填“偏大”“偏小”或“准确”） 【答案】（1）C （2）a （3） 9.86 40 （4）准确 【详解】（1）摆球每经过一次最低点，相邻两次经过最低点的时间间隔为半个周期。开始计时时该同学数“1”，数到“61”时，共经历了个半周期，故，解得。 故选C。 （2）由图甲可知，单摆的实际摆长为悬点到摆球球心的距离，即筒内深度与筒口到球心距离之和，所以。单摆小角度摆动周期满足，则。由于，当时，且图线为斜率为正的直线，因此应为图乙中过纵轴正半轴的图线a。 故填a。 （3）[1]由可知，图线斜率。由图乙中图线a可见，当由增大到时，由增大到，故，所以。 [2]图线a与横轴交点为，此时，由可得，所以。 （4）若误测成筒的下端口到小球底部的距离，设小球半径为，则测得的距离比原来筒口到球心的距离多，即。实际摆长仍为，因此。可见图线斜率仍为，由斜率求得的重力加速度不变，所以计算出的重力加速度准确。 12．某实验小组甲、乙两名同学做“用单摆测量重力加速度”的实验。 （1）如下图中，最合理的装置及器材是（　　） A． B． C． D． （2）为减小实验误差，甲同学通过多次改变摆长L，测量多组对应的单摆周期T，利用T2-L的关系图线求出本地重力加速度值。依照绘制出的T2-L关系图线，可求得g的测量值为__________m/s2。（π取3.14，计算结果保留三位有效数字） （3）甲同学选择了合理的实验装置后，测量出几组不同摆长L和周期T的数值，画出如图中T2-L图像中的实线a。乙同学也进行了与甲同学同样的实验，不过乙同学实验中将摆线长作为摆长L，测得多组周期T和L的数据，作出T2-L图像，应是图中的图线__________。（已知c、d两条图线和a平行）（选填“a”“b”“c”“d”或“e”） 【答案】（1）C （2）9.74 （3）c 【详解】（1）本实验中单摆的线不能选择有弹性的绳子，且绳子的上端要固定，否则单摆的摆长就不确定了，且摆球应选质量较大的铁球。 故选C。 （2）由单摆的周期公式 可得 结合图像 可得 （3）乙同学将摆线长作为摆长，则 化简可得 故选c。 13．甲、乙两个学习小组分别利用单摆测量重力加速度。 （1）甲组同学采用如图所示的实验装置。 ①利用单摆测重力加速度的实验中，为了减小测量周期的误差，应在__________位置开始计时和结束计时。 ②在一次用单摆测定加速度的实验中，图A是用毫米刻度尺测摆长，若测得悬点到小球最下端长为，小球直径为，则摆长__________。 ③图B为测量周期用的秒表，长针转一圈的时间为，表盘上部的小圆共大格，每一大格为，该单摆摆动次全振动时，长，短针位置如图中所示，所用时间__________。用以上直接测量的、、表示出重力加速度的计算式为__________（不必代入具体数值）。 ④若某同学测摆长时，忘记测摆球的半径，而只把悬点到小球最下端长度作为摆长，则他根据以上计算式求得的重力加速度__________（选填“偏大”“偏小”或“准确”）。 （2）乙组同学在实验装置的基础上再增加一个速度传感器，将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图E所示的图线。 ①由图E可知，该单摆的周期__________。 ②更换摆线长度后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出（周期平方摆长）图线，并根据图线拟合得到方程。由此可以得出当地的重力加速度__________。（取，结果保留位有效数字） 【答案】（1） 平衡 100.4 偏大 （2） 2.0 9.76 【详解】（1）①[1]利用单摆测重力加速度的实验中，为了减小测量周期的误差，应在平衡位置开始计时和结束计时； ②[2]摆长等于摆线的长度到摆球球心的距离，摆长 [3]秒表的小盘读数为90s,大盘读数为10.4s,则最终读数为100.4s； [4]单摆的周期 根据得 ③[5]根据知，测摆长时，忘记测摆球的半径，而只把悬点到小球最下端长度作为摆长，则摆长的测量值偏大，导致重力加速度的测量值偏大。 （2）①[1]根据图线知，单摆的周期T=2.0s； ②[2]根据可知 由题中可知 解得 14．小明做“用单摆测量重力加速度”的实验。 （1）如图甲所示，不可伸长且轻质细线的上端固定在铁架台上，下端系一个直径远小于细线长度的小钢球（下方吸附有小磁片），做成一个单摆。用刻度尺测量摆线长l，用游标卡尺测量摆球的直径，如图乙所示，则球的直径d为__________cm；从而得到该单摆的摆长L。 （2）使小球在竖直平面内做小角度摆动，打开手机的磁传感器软件。某次采集到的磁感应强度B的大小随时间t变化的图像如图丙所示，则单摆的振动周期T=__________s（结果保留3位有效数字）。 （3）改变摆线长l，重复上述步骤，用实验测得数据，在图丁方格纸上作出L﹣T2图像；由图可得当地的重力加速度g=__________（结果保留3位有效数字）。 【答案】（1）2.075 （2）1.36 （3） 【详解】（1）20分度游标卡尺的精确度为0.05mm，则球的直径d=20mm+15×0.05mm=20.75mm=2.075cm （2）由图丙可得 （3）根据单摆周期公式 变形得 故图像的斜率 解得重力加速度 15．杆线摆可以绕着立柱来回摆动，其摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，可看作单摆在倾角为的斜面上来回摆动，如图甲所示。某实验小组采用杆线摆测量重力加速度，实验步骤如下： （1）用游标卡尺测量摆球直径D，如图乙所示，则摆球直径为__________cm； （2）如图丙所示，在铁架台上装一根铅垂线，在铁架台的立柱跟铅垂线平行的情况下把杆线摆装在立柱上，调节细线的长度，使轻杆与立柱垂直，保持轻杆长度L不变。 （3）如图丁所示，把铁架台底座的一侧垫高，立柱倾斜，绕立柱摆动的摆球实际上是在一倾斜平面上运动。测出静止时轻杆与铅垂线的夹角为，则该倾斜平面与水平面的夹角。 （4）用停表测量摆球全振动N次所用的时间t，计算出周期__________； （5）改变铁架台的倾斜程度，测出多组夹角和周期T，作出图像是一条过原点的直线，其斜率为k，则可以求得重力加速度为__________（结果用k、L、D表示）。 【答案】 2.06 【详解】（1）[1]由图乙可知，摆球直径为 （4）[2]用停表测量摆球全振动N次所用的时间t，计算出周期 （5）[3]根据题意可知，摆球做单摆运动的等效重力加速度为 摆长为 由单摆周期公式有 整理可得 则有 解得 16．实验小组使用双线摆（等效为单摆）测量当地的重力加速度，实验装置如图所示： （1）操作步骤如下： ①用两根细线连接小球的顶端并悬挂在水平细杆上，小球的直径为3.0cm，小球与两悬点的距离分别为36.0cm、48.0cm，两个悬点的距离为60.0cm； ②将小球垂直纸面向外拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，小球某次经过__________时开始计时（选填“最低点”或“最高点”），记为第1次经过该位置；小球第50次经过同一位置时停止计时，总时间为。 （2）该双线摆的等效单摆摆长__________cm（保留三位有效数字）； （3）当地的重力加速度大小为__________（用、表示）； （4）由于实验过程无法保证细杆绝对水平，这会对测量结果带来误差，使测量的重力加速度__________（选填“偏大”、“偏小”或“无影响”），这样的误差属于__________误差（选填“偶然”或“系统”）。 【答案】（1）最低点 （2）30.3 （3）/ （4） 偏小 系统 【详解】（1）小球经过最低点时开始计时误差较小，所以选填“最低点”。 （2）由几何关系可知双线摆对应的单摆摆长为小球重心到细杆的距离，即 （3）小球相邻两次经过最低点之间的时间为小球摆动的半个周期，故小球做单摆运动的周期 结合单摆周期公式 联立得 （4）[1][2]小球做单摆运动时，摆动平面始终垂直于细杆，当细杆倾斜时，提供等效重力的是小球所受重力在摆动平面内的分力，测量的重力加速度值实际为重力加速度在摆动平面的分量，所以总是偏小，为系统误差。 17．小明同学进行“用单摆测量重力加速度”实验。 （1）组装了如下几种实验装置，你认为最合理的装置是（　　） A．B． C． D． （2）单摆的回复力是由__________提供的。 A．重力和绳的拉力的合力　　B．重力沿圆弧切线方向的分力 （3）（多选）关于实验中的描述，正确的是（　　） A．测量摆长时用刻度尺量出从悬点到摆球上端点间的距离 B．为了减小测量周期的误差，应在摆球经过最低点时开始计时 C．摆球应在竖直平面内做小角度摆动 D．不考虑阻力，若摆长不变，摆角越小，周期越小 E.当摆球振动稳定后，记下摆球连续50次经过平衡位置所用的时间，则单摆周期为 （4）如图所示，小明同学测量了多组实验数据作出了周期的平方与绳长的关系图像，由图像可知当地重力加速度大小为__________m/s2（保留3位有效数字），π取3.14，仅考虑该数据处理方法，得到的加速度g与真实值相比__________（选填“偏大”、“偏小”或“相同”）。 【答案】18．D 19． C B BC 9.86 相同 【详解】18．A．由振动方程可知， 一次全振动路程为，路程为，是半个全振动，故A错误； B．周期，故B错误； C．时，，即位置在点，故C错误； D．振子从最大位移向平衡位置运动，回复力做正功，动能增大，故D正确。 故选D。 19．[1]单摆实验要求：摆线不可伸长、摆球密度大（减小空气阻力影响）、悬点固定。因此选悬点固定、不可伸长的细丝线、密度大的铁球。 故选C。 [2]单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，重力与拉力的合力沿法线方向的分量提供向心力 故选B。 [3]A．摆长是悬点到摆球球心的距离，不是上端点，故A错误； B．摆球在最低点速度大，计时误差小，因此在最低点开始计时减小误差，故B正确； C．单摆只有小角度摆动才近似为简谐运动，故C正确； D．单摆小角度摆动时，周期与摆角无关，摆长不变则周期不变，故D错误； E．50次经过平衡位置对应24.5个周期，周期，故E错误。 故选BC。 [4]根据单摆周期公式 变形得，总摆长（为绳长，为摆球半径），因此 得图形斜率 解得 [5]本实验中，由图像斜率计算得到，斜率不受摆球半径的影响，因此测量值与真实值相同。 18．小尧家中有一盏典雅的吊灯（图1），当微风吹过时会轻轻摆动，绚丽非常。小尧想利用单摆相关知识粗略确定该吊灯的重心位置，进行以下操作： （1）使用手机的AR测量软件测出灯绳的长度 （2）打开窗户，让微风扰动吊灯开始轻微摆动，然后关闭窗户； （3）使用手机秒表计时，单摆每次到达__________（填“最高点”或“最低点”）时进行一次计数，开始计时并从1开始数数，数数到n时所经历时间为t，可以得出吊灯完成一次完整摆动周期__________（用n、t表示） （4）将手机静置于斜面上，打开手机物理工坊软件，测得重力加速度在三维坐标下结果如图2所示，则当地重力加速度__________ （5）根据单摆公式，吊灯的重心与灯罩顶端距离__________用L、T、g表示 （6）重复实验取平均值； （7）在实验过程中，下列说法正确的是__________： A．必须关闭窗户后再继续后续实验 B．手机放置平面必须倾斜 C．重复实验时计数次数n必须相同 【答案】 最低点 A 【详解】（3）[1]计时应在单摆经过最低点的时候开始计时，最高点计时误差较大； [2]一个周期内通过最低点2次，开始计时并从1开始数数，数数到n时，有个半周期，故； （4）[3]由图可知，在y、z方向上有加速度的分量，当地的重力加速度不是这两个分加速度的值，应是最下面的数据，即； （5）[4]根据单摆公式有 变形得 （7）[5]A．微风扰动后必须关闭窗户，吊灯只受重力和拉力做小角度摆动，才可看成是单摆运动，故A正确； B．手机放置的平面不必倾斜，测量值是x、y、z三个方向的分量，与平面倾斜程度无关，B错误； C．通过实验测量单摆周期，由（3）可知重复实验时计数次数要合适，但不用每次相同，C错误。 故选A。 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5实验：用单摆测量重力加速度 【新教材人教版】 【知识框架+知识精讲（1个知识归纳+2个题型）+课后作业】 情景导入 我们已经知道，单摆的周期公式是__________。 那么能不能借此利用单摆实现重力加速度的测量呢？ 知识归纳 【知识点 用单摆测量重力加速度】 1．实验思路： 在偏角很小（小于__________）时，可以将单摆的机械振动看作简谐运动。 由单摆的周期公式可以推得__________，如果测量出__________和__________，就可以利用此式计算得出本地重力加速度。 2．实验装置： · 应选用__________的细线，长度要__________一些（1m左右），质量相对于摆球质量__________。 · 应选用__________的摆球，半径相对于摆线长__________，质量要__________一些，即__________要大一些。 · 细线的悬挂方式：应选用下图中__________的悬挂方式。因为这种方式可保证单摆在摆动过程中__________，且便于调整。 图甲 图乙 3．物理量的测量： （1）摆长的测量：测量摆长应在组装单摆之__________进行。 方法一：用__________直接测量小球__________与悬挂点之间的距离L，即为摆长。 方法二：用__________或__________测量小球的直径d，用__________测量悬挂点与小球__________之间的距离l，则摆长为__________。 （2）周期的测量： 方法：__________，即用__________测量单摆多次（30-50次）全振动的时间，然后计算求得周期。 注意：从摆球运动到__________点（即__________）时开始计时，因为这一点的位置明确，便于观测。 具体方案一：开始计时后，摆球每次经过最低点均计数，记录在时间t内摆球经过最低点的次数n，则周期为__________。 具体方案二：开始计时后，只在摆球从同一方向经过最低点时计数，记录在时间t内摆球完成__________的次数n，则周期为__________。 4．数据分析： （1）平均值法：多次改变摆长l，并测量对应的周期T，代入公式__________计算出g值，并求出g的平均值。 次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/m·s-2 g的平均值 1 2 3 （2）图像法： 由单摆的周期公式可推得__________，绘制__________图，得到的图像是一条____________________，其斜率为__________，则__________。 5．误差分析： （1）系统误差： · 装置：是否满足摆线长__________摆球直径，摆球质量__________摆线质量，悬挂点__________。 · 操作：是否满足最大摆角不超过__________，单摆在__________平面内摆动，不能形成__________。 （2）偶然误差： · 测量周期：记录次数n时出现多记、少记的情况。 · 测量摆长时引起的偶然误差。 （3）绘制图像时，图像没有经过原点，而是在l轴或T2轴上有非零截距。 · 误将直径当作半径：由____________________可知，有__________轴__________半轴的非零截距，截距的大小等于__________，图像的斜率__________，__________g的数值。 · 漏记了摆球半径：由____________________可知，有__________轴__________半轴的非零截距，图像反向延长线在__________轴__________半轴的截距大小等于__________，图像的斜率__________，__________g的数值。 【例1】小明学习“用单摆测量重力加速度”实验后，利用甲图装置做了该实验。 （1）测量摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长（从悬点到摆球的最上端）为L，再用游标卡尺测得摆球的直径，读数如乙图所示，则d＝__________mm，若再测得单摆周期为T，则当地的重力加速度g＝__________（用L、d、T表示）。 （2）在安装装置时，摆线上端有三种系挂方式，下列方式哪种是正确的__________（填对应序号）。 （3）在测量周期时，若从摆球运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t，则单摆周期为T＝__________（用n、t表示）。 （4）假如把该装置搬到月球上进行实验，改变单摆的摆长l，多次测量单摆在不同摆长下所对应的周期T，并描绘出T2-l图像如丙图所示，则可得知月球重力加速度大小为__________m/s2。 【变式1-1】某小组在“用单摆测量重力加速度”实验中 （1）安装好实验装置后，先用刻度尺测量摆线长 ，再用游标卡尺测量摆球直径 ，其示数如图乙所示，则__________； （2）该组同学测出五组单摆振动周期 与摆长的数据如下表，请在图丙中作出关系图像。根据图像算出重力加速度__________；（结果保留位有效数字） 次数 （3）若测量值与当地重力加速度值相比偏大，可能原因是_________（写出一个）。 【变式1-2】用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示。 （1）组装单摆时，应在下列器材中选用【变式1-3】（选填选项前的字母）。 A．长度为左右的细线 B．长度为左右的细线 C．直径为的塑料球 D．直径为的铁球 （2）如图，为某同学用10等分游标卡尺测量小球直径，则直径__________，用秒表记录小球摆动时间，则时间__________ （3）实验中测出单摆的摆线长为。摆球直径为、单摆完成次全振动所用的时间为，则重力加速度__________（用、、、表示）。 （4）该同学测得的值偏大，可能的原因是__________（多选） A．测摆线长时摆线拉得过紧 B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动使摆线长度增加了 C．开始计时的时候，秒表过迟按下 D．实验中误将49次全振动数为50次 E．摆球的质量偏大 F．单摆振动的振幅偏小 （5）为了提高实验的准确度，小红在实验中改变几次摆长并测出相应的周期，从而得出几组对应的和的数值，以为横坐标、为纵坐标作出图线，通过图像求得当地重力加速度。但不小心她每次都把小球直径当作半径来计算摆长，由此得到的图像是图中的__________（选填“①”“②”或“③”）。请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将__________（选填“偏大”“偏小”或“相同”）。 4．用单摆测定当地重力加速度的实验装置如图所示。 （1）组装单摆时，应在下列器材中选用__________（选填选项前的字母）。 A．长度为1.0m左右的细线 B．长度为30cm左右的细线 C．直径为1.8cm的塑料球 D．直径为1.8cm的铁球 （2）用毫米刻度尺测出摆线长l，用游标卡尺测出摆球的直径d，用秒表测出单摆完成n次全振动所用的时间t，则当地重力加速度的表达式为__________（用测出的物理量的符号表达）。 （3）下表是某同学记录的3组数据，并做了部分计算处理。请计算出第3组实验中的周期__________s和重力加速度__________。 组次 1 2 3 摆长L/cm 80.00 90.00 100.00 50次全振动时间t/s 90.0 95.5 100.5 振动周期T/s 1.80 1.91 重力加速度g/ 9.74 9.73 （4）用多组实验数据作出图像，也能求出重力加速度g。已知三位同学作出的图线如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b，下列分析正确的是__________（选填选项前的字母） A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L B．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次 C．图线c对应的g值小于图线b对应的g值 （5）某同学在家里测重力加速度。他找到细线和铁锁，制成一个单摆，如图所示，由于家里只有一根量程为30cm的刻度尺，于是他在细线上的A点做了一个标记，使得悬点O到A点间的细线长度小于刻度尺量程。保持该标记以下的细线长度不变，通过改变O、A间细线长度以改变摆长。实验中，当O、A间细线的长度分别为、时，测得相应单摆的周期为、。由此可得重力加速度__________（用、、、表示）。 【例2】某实验小组利用智能手机及单摆测定当地的重力加速度。将一个直径为d的小球用不可伸长的细线竖直悬挂，小球下方吸住一小块磁铁（厚度不计），手机放在悬点正下方水平面上，实验装置如图（1）所示。 （1）用游标卡尺测得小球的直径d，摆线长度为L。 （2）打开手机的磁传感器，让小球在竖直面内做小角度摆动，手机记录了竖直方向上磁感应强度的大小B随时间t变化的图像如图（2）所示，则单摆的周期T＝__________s。 （3）根据上述条件，计算出重力加速度g＝__________（用L、d、T表示）。 （4）多次改变摆长，重复实验，得到多组摆长L及小球摆动的周期T，作出相应的关系图像如图（3）所示。 ①取，根据图像可求出当地重力加速度__________m/s²。 ②在实际操作中，磁铁的厚度不能被忽略。请你根据图像，求出小球与磁铁组成的整体的重心到球心的高度差__________cm。 【变式2-1】某同学在家做“用单摆测定重力加速度的实验”，由于没有带孔的小球，故用家里的铁锁来代替，使用手机里的秒表功能记录铁锁做次全振动所对应的时间。实验中将不可伸长的轻绳上端固定在桌子边缘，如图甲所示，将铁锁拉离竖直方向一个很小的角度，然后由静止释放。多次改变轻绳的长度，获取多组数据，最后作出图像，如图乙所示。回答下面的问题： （1）该实验__________（选填“需要”或“不需要”）确定铁锁重心的位置； （2）根据图乙可知当地重力加速度__________；（取10，结果保留两位有效数字） （3）有同学建议使用如图丙所示的双线摆，其优点是__________。（填选项前的字母） A．可以有效减小铁锁摆动过程中空气阻力的影响 B．能保证铁锁在同一竖直平面内摆动 C．能更准确测量其振动周期 【变式2-2】如图，是用某实验小组测量重力加速度的装置。摆线长为L，摆球直径为d，让摆球从不同角度θ摆下，利用光电门与无线数字毫秒计，测出小球经过最低点时的挡光时间t。 （1）小球经过最低点的速度为__________； （2）有关t和θ的关系式为__________； （3）为了得到一条线性图像，纵轴应选定的物理量为__________（t、、），横轴应选定的物理量为__________（、、） （4）若所得图像纵轴截距为b，则所测的重力加速度表达式为__________。 【变式2-3】某探究小组通过单摆实验测当地重力加速度，用到的器材有光滑圆弧形轨道和实心球，其截面如图甲，实验步骤如下： （1）实心球尽量选择质量__________（选填“大些”或“小些”）、体积小些的小球。 （2）将轨道的弧用铅笔描绘在白纸上，通过几何方法算出圆弧轨道的半径R，用螺旋测微器测量实心球的直径，如图乙所示，读数__________mm，单摆摆长__________（用R、d表示）。 （3）找出轨道的最低点O，把实心球从O点移至轨道上P点，P点离O点位置__________（选填“适当靠近O点”或“应尽量远离O点”），由静止释放，第1次经过O点开始计时，并记为次数“1”，每经过一次O点，计数增加1，测得n次经过O点所用的时间为t，则实心球做往复运动的周期__________（用n、t表示）。 根据公式，分别计算出每组L和T对应的重力加速度g，然后取平均值作为重力加速度的测量结果。 （4）若直接用圆弧轨道的半径R当作单摆摆长L，则重力加速度的测量值__________（选填“>”“＝”或“<”）真实值。 一、实验题（共18道） 1．随着科技发展，智能手机不仅为我们的生活带来了便利，也可以利用它的摄像头和内部传感器协助我们完成物理实验。如图甲，某同学在“用单摆测量重力加速度”的实验中，利用了智能手机磁传感器和一个磁性小球进行了如下实验： （1）实验前，用刻度尺测出绳长为，用游标卡尺测量摆球的直径为，则摆长__________。 （2）利用软件可将磁感应强度信号转换为电压信号，记录电压的变化曲线如图乙所示，则测得单摆周期__________（用和表示）。 （3）经测量得到多组不同的摆长和对应的周期，画出图线如图丙所示，然后在图线上选取A、B两个点，可计算出重力加速度__________（用、、、表示）。 2．小明同学进行“用单摆测定重力加速度”实验。 （1）该同学组装了如下几种实验装置，你认为最合理的装置是__________。（填正确答案前的标号） （2）实验时，用刻度尺测得摆线的长度为，用游标卡尺测得球的直径为。 （3）摆球在竖直平面内稳定摆动后，若用秒表记录单摆经历次全振动所用的时间，则此单摆的周期__________。重力加速度大小__________（用、和表示）。 （4）与重力加速度的真实值比较，发现根据公式计算出的结果偏大，原因可能是__________。（多选，填正确答案前的标号） A．振幅偏小 B．将摆线长加直径当成了摆长 C．将摆线长当成了摆长 D．将通过平衡位置的次数当成全振动次数 3．某实验小组做“用单摆测量重力加速度”实验。 （1）该小组的小莉同学先测出摆长，再用秒表测量单摆的周期。在单摆摆动稳定且摆球到达最低点时开始计时，计数为，摆球每经过最低点一次计数一次，当时，秒表的示数如图乙所示，该单摆的周期是__________（结果保留三位有效数字）。 （2）小莉同学测量出单摆的多组周期和摆长的数值后，画出图线如图丙，则测出的重力加速度__________（用所给字母表示），图像不过原点的主要原因可能是__________（填选项前的字母）。 A．该同学把摆线长度当成了摆长 B．该同学把摆线长度和小球直径之和当成了摆长 C．该同学把摆线长度和小球半径之和当成了摆长 4．某实验小组用如图甲所示装置做“用单摆测重力加速度”实验。 （1）组装单摆时，应该选用__________（选填器材前的字母代号）。 A．长度为1 m左右的细线 B．长度为20 cm左右的细线 C．直径约为1.0 cm的木质球 D．直径约为1.0 cm的小钢球 （2）某同学将摆球沿圆弧拉离竖直方向约，然后由静止释放，摆动稳定后，自摆球经过最低点时记为0次并用秒表开始计时，此后摆球每经过最低点一次计数一次，计数到50时，秒表的读数为t，则摆的振动周期__________（用t表示）。图丁中用游标卡尺测量的小球直径是__________cm。 （3）甲同学多次改变摆长L，测量对应的周期T，绘制出图像，如图乙所示，直线的斜率为k。由此可得重力加速度__________（用含k的式子表示）。 （4）已知四位同学做出的图线的示意图如图丙中的a、b、c、d所示，其中a、b和d平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b，下列分析正确的是__________（选填选项前的字母）。 A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L B．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次 C．图线c对应的g值大于图线b对应的g值 D．出现图线d的原因可能是误将悬点到小球上端的距离记为摆长L （5）实验过程中，由于操作失误给了小球初速度，使小球做圆锥摆运动，但仍按照单摆公式计算。请通过推理，证明此操作测量出的重力加速度偏大。 5．在“用单摆测定重力加速度”的实验中，某实验小组在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时且计数为，到第次经过最低点所用的时间为。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得悬挂摆球后的摆线长为，再用游标卡尺测得摆球的直径为。 （1）该单摆的周期为__________，该单摆的摆长为__________。 （2）用上述物理量的符号写出求重力加速度的一般表达式__________（用题中所给字母表示）。多次测量后，该实验小组发现测得的重力加速度的值总是偏大，其原因可能是下述原因中的__________。 A．单摆的悬点未固定紧，振动中出现松动，使摆线增长了 B．把次经过最低点的时间误记为次 C．以摆线长作为摆长来计算 D．以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算 6．惠更斯在推导出单摆的周期公式后，用一个单摆测出了巴黎的重力加速度。某探究小组也采用同样的办法，测量所在地区的重力加速度。 某同学的实验步骤如下： （1）用游标卡尺测出单摆小球的直径D如图所示，则D＝__________mm。 （2）小球某次摆到最低点时开始计时，并计数为1，第二次摆到最低点时计数为2，当小球第n次摆到最低点时停止计时，测得的总时间为t，测出细线长L，则重力加速度__________（用L、n、t、D表示）。 （3）若在减速下降的电梯中做此实验，不考虑电梯加速度对结果的影响，则所测得重力加速度的值与真实值相比是__________（选填“偏大”、“偏小”或“不变”）。 7．在“用单摆测定重力加速度”实验中： （1）除长约1m的细线、带铁夹的铁架台、有小孔的小球、游标卡尺外，下列器材中，还需要__________。（填正确答案的标号） A．秒表 B．米尺 C．天平 D．弹簧测力计 （2）下列做法正确的是__________。（填正确答案的标号） A．从摆球达到最高位置时开始计时 B．记录摆球完成一次全振动的时间 C．要让摆球在竖直平面内摆动的角度不小于5 D．选用的细线应细、质量小，且不易伸长 （3）为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长L并测出相应的周期T，以L为横坐标、为纵坐标，作出了图像，求得该直线的斜率为k。则重力加速度__________。 （4）乙同学在实验过程中，摆长没有加小球的半径，其他操作无误，那么他得到的实验图像可能是下列图像中的__________。 A． B． C． D． 8．为测量在平直路面上行驶的汽车加速度，某兴趣小组设计了一款如图所示的简易加速度测量仪。如图（a）所示。将一总刻度长为的直尺水平固定在一个型架的竖直杆上，将一端系有小球的细线悬于型架上的点，点位于直尺中央刻度的正上方，点距直尺上沿。将该装置底座平放在车上，当细线与直尺的交点位置不变时，根据直尺的刻度，便可得到车水平运动时的加速度。 （1）图（b）中刻度应该标记的加速度为__________；该装置可测加速度最大值是__________。（结果由表示） （2）该加速度计的刻度__________（选填“均匀”或“不均匀”）。 （3）为了制作加速度计的刻度盘，需要测量当地的重力加速度，该同学用图（c）中圆锥摆进行测量，将一细线上端固定，下端连接一小球。让小球某段时间内在某一水平面做匀速圆周运动，测出小球做次完整圆周运动的时间为，又测出悬点到小球做圆周运动平面的高为，则当地重力加速度大小__________（用题中所给物理量符号表示）。 （4）若用加速度测量仪直接测量正在爬坡的汽车加速度，则加速度的测量值__________真实值（选填“大于”、“小于”或“等于”）。 9．一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。 （1）用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图（a）所示，该示数为__________mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图（b）所示，该示数为__________mm，则摆球的直径为__________mm。 （2）某次实验所用单摆的摆线长度为81.50cm，则摆长为__________cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60s，则该小组测得的重力加速度大小为__________m/s2.（结果均保留3位有效数字，π2取9.870） 10．某实验小组用如图甲所示的装置做“用单摆测重力加速度”的实验。回答下列问题： （1）若摆球运动到最低点开始计时，且计数为1，到第81次经过最低点所用的时间如图乙所示，则单摆的振动周期为__________s；（结果保留一位小数） （2）改变摆线长度，重复实验，记录下多组单摆的摆长L和对应的周期T，以T为纵轴、L为横轴，作出的图像的斜率为k，则当地的重力加速度测量值为__________（用已知物理量的符号表示）； （3）若开始计时时，秒表过迟按下，则直接用单摆周期公式所计算出的重力加速度的值__________（填“偏大”“偏小”或“无影响”）。 11．如图甲所示，将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h（未知）且开口向下的小筒中（单摆的下半部分露于筒外），将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆在摆动过程中悬线不会碰到筒壁。如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以为纵轴、L为横轴作出其关系图像，那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度g。 （1）测量单摆的周期时，某同学在摆球某次通过最低点时按下停表开始计时，同时数“1”，当摆球第二次通过最低点时数“2”，依此法往下数，当他数到“61”时，按下停表停止计时，读出这段时间t，则该单摆的周期T为__________（填正确答案标号）。 A． B． C． D． （2）若不考虑实验误差的影响，根据实验数据，得到的关系图线应该是图乙中的图线__________（填“a”“b”或“c”）。 （3）根据图线可求得当地的重力加速度__________（结果保留三位有效数字），筒的深度__________cm。 （4）若在测量上述L的过程中，误测成了筒的下端口到小球底部的距离，则计算出的重力加速度__________（填“偏大”“偏小”或“准确”） 12．某实验小组甲、乙两名同学做“用单摆测量重力加速度”的实验。 （1）如下图中，最合理的装置及器材是（　　） A． B． C． D． （2）为减小实验误差，甲同学通过多次改变摆长L，测量多组对应的单摆周期T，利用T2-L的关系图线求出本地重力加速度值。依照绘制出的T2-L关系图线，可求得g的测量值为__________m/s2。（π取3.14，计算结果保留三位有效数字） （3）甲同学选择了合理的实验装置后，测量出几组不同摆长L和周期T的数值，画出如图中T2-L图像中的实线a。乙同学也进行了与甲同学同样的实验，不过乙同学实验中将摆线长作为摆长L，测得多组周期T和L的数据，作出T2-L图像，应是图中的图线__________。（已知c、d两条图线和a平行）（选填“a”“b”“c”“d”或“e”） 13．甲、乙两个学习小组分别利用单摆测量重力加速度。 （1）甲组同学采用如图所示的实验装置。 ①利用单摆测重力加速度的实验中，为了减小测量周期的误差，应在__________位置开始计时和结束计时。 ②在一次用单摆测定加速度的实验中，图A是用毫米刻度尺测摆长，若测得悬点到小球最下端长为，小球直径为，则摆长__________。 ③图B为测量周期用的秒表，长针转一圈的时间为，表盘上部的小圆共大格，每一大格为，该单摆摆动次全振动时，长，短针位置如图中所示，所用时间__________。用以上直接测量的、、表示出重力加速度的计算式为__________（不必代入具体数值）。 ④若某同学测摆长时，忘记测摆球的半径，而只把悬点到小球最下端长度作为摆长，则他根据以上计算式求得的重力加速度__________（选填“偏大”“偏小”或“准确”）。 （2）乙组同学在实验装置的基础上再增加一个速度传感器，将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图E所示的图线。 ①由图E可知，该单摆的周期__________。 ②更换摆线长度后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出（周期平方摆长）图线，并根据图线拟合得到方程。由此可以得出当地的重力加速度__________。（取，结果保留位有效数字） 14．小明做“用单摆测量重力加速度”的实验。 （1）如图甲所示，不可伸长且轻质细线的上端固定在铁架台上，下端系一个直径远小于细线长度的小钢球（下方吸附有小磁片），做成一个单摆。用刻度尺测量摆线长l，用游标卡尺测量摆球的直径，如图乙所示，则球的直径d为__________cm；从而得到该单摆的摆长L。 （2）使小球在竖直平面内做小角度摆动，打开手机的磁传感器软件。某次采集到的磁感应强度B的大小随时间t变化的图像如图丙所示，则单摆的振动周期T=__________s（结果保留3位有效数字）。 （3）改变摆线长l，重复上述步骤，用实验测得数据，在图丁方格纸上作出L﹣T2图像；由图可得当地的重力加速度g=__________（结果保留3位有效数字）。 15．杆线摆可以绕着立柱来回摆动，其摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，可看作单摆在倾角为的斜面上来回摆动，如图甲所示。某实验小组采用杆线摆测量重力加速度，实验步骤如下： （1）用游标卡尺测量摆球直径D，如图乙所示，则摆球直径为__________cm； （2）如图丙所示，在铁架台上装一根铅垂线，在铁架台的立柱跟铅垂线平行的情况下把杆线摆装在立柱上，调节细线的长度，使轻杆与立柱垂直，保持轻杆长度L不变。 （3）如图丁所示，把铁架台底座的一侧垫高，立柱倾斜，绕立柱摆动的摆球实际上是在一倾斜平面上运动。测出静止时轻杆与铅垂线的夹角为，则该倾斜平面与水平面的夹角。 （4）用停表测量摆球全振动N次所用的时间t，计算出周期__________； （5）改变铁架台的倾斜程度，测出多组夹角和周期T，作出图像是一条过原点的直线，其斜率为k，则可以求得重力加速度为__________（结果用k、L、D表示）。 16．实验小组使用双线摆（等效为单摆）测量当地的重力加速度，实验装置如图所示： （1）操作步骤如下： ①用两根细线连接小球的顶端并悬挂在水平细杆上，小球的直径为3.0cm，小球与两悬点的距离分别为36.0cm、48.0cm，两个悬点的距离为60.0cm； ②将小球垂直纸面向外拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，小球某次经过__________时开始计时（选填“最低点”或“最高点”），记为第1次经过该位置；小球第50次经过同一位置时停止计时，总时间为。 （2）该双线摆的等效单摆摆长__________cm（保留三位有效数字）； （3）当地的重力加速度大小为__________（用、表示）； （4）由于实验过程无法保证细杆绝对水平，这会对测量结果带来误差，使测量的重力加速度__________（选填“偏大”、“偏小”或“无影响”），这样的误差属于__________误差（选填“偶然”或“系统”）。 17．小明同学进行“用单摆测量重力加速度”实验。 （1）组装了如下几种实验装置，你认为最合理的装置是（　　） A．B． C． D． （2）单摆的回复力是由__________提供的。 A．重力和绳的拉力的合力　　B．重力沿圆弧切线方向的分力 （3）（多选）关于实验中的描述，正确的是（　　） A．测量摆长时用刻度尺量出从悬点到摆球上端点间的距离 B．为了减小测量周期的误差，应在摆球经过最低点时开始计时 C．摆球应在竖直平面内做小角度摆动 D．不考虑阻力，若摆长不变，摆角越小，周期越小 E.当摆球振动稳定后，记下摆球连续50次经过平衡位置所用的时间，则单摆周期为 （4）如图所示，小明同学测量了多组实验数据作出了周期的平方与绳长的关系图像，由图像可知当地重力加速度大小为__________m/s2（保留3位有效数字），π取3.14，仅考虑该数据处理方法，得到的加速度g与真实值相比__________（选填“偏大”、“偏小”或“相同”）。 18．小尧家中有一盏典雅的吊灯（图1），当微风吹过时会轻轻摆动，绚丽非常。小尧想利用单摆相关知识粗略确定该吊灯的重心位置，进行以下操作： （1）使用手机的AR测量软件测出灯绳的长度 （2）打开窗户，让微风扰动吊灯开始轻微摆动，然后关闭窗户； （3）使用手机秒表计时，单摆每次到达__________（填“最高点”或“最低点”）时进行一次计数，开始计时并从1开始数数，数数到n时所经历时间为t，可以得出吊灯完成一次完整摆动周期__________（用n、t表示） （4）将手机静置于斜面上，打开手机物理工坊软件，测得重力加速度在三维坐标下结果如图2所示，则当地重力加速度__________ （5）根据单摆公式，吊灯的重心与灯罩顶端距离__________用L、T、g表示 （6）重复实验取平均值； （7）在实验过程中，下列说法正确的是__________： A．必须关闭窗户后再继续后续实验 B．手机放置平面必须倾斜 C．重复实验时计数次数n必须相同 9 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $