专题02 二次函数（期中真题汇编，河北专用）九年级数学上学期

专题02 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）下列各项中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）函数的常数项为（   ） A． B． C． D． 考点02 二次函数y=ax2的图象和性质 1．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，图象对应的函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“2”按成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（   ） A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标 3．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）已知点在二次函数的图象上，则______． 考点03 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 1．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）已知抛物线，则它的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）点，，均在抛物线上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）将抛物线进行平移后，其顶点在坐标轴上，则这个平移的过程可能是（   ） A．向上平移4个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向右平移4个单位长度 6．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）二次函数的图象中，若随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）将抛物线平移1个单位长度后得到，则平移方向为（    ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 8．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）对于抛物线，下列说法正确的个数是（    ） ①抛物线开口向上                    ②图像的对称轴为直线 ③当时，y随x的增大而增大      ④当时，y有最小值 A．1 B．2 C．3 D．4 9．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．下列结论：①无论取何值，都有；②若点平移后的对应点为，则；③当时，线段的长随着的增大而减小．其中正确的结论为（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 11．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为________． 12．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）将抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为_________． 13．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）数学课上，老师出了这样一道数学题：取何值时，抛物线的开口向下？嘉琪解答过程如下： 解： ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， 即当时，抛物线的开口向下． 嘉琪的解答过程正确吗？如果不正确，请指出嘉琪解答错误的原因，并改正过来． 考点04 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）二次函数的对称轴为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）二次函数，无论为何值，函数值总是成立的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）四个二次函数的图象对应的函数关系式分别是①；②；③；④．则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，下列说法：①；②；③；④方程有两个实数根；⑤（为任意实数）．其中正确的有（　） A．②③④ B．①④⑤ C．②③⑤ D．①②③④⑤ 8．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）阅读材料：抛物线上任意一点到定点和到定直线的距离相等，我们把定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线，如，抛物线的焦点为，准线为直线． 解决问题：如图，为抛物线上的一点，为该抛物线的焦点，点的坐标为，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度．若得到的抛物线经过点，则h的值是________． 10．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）嘉嘉同学准备一条绳子晾晒衣被，他在两棵与地面垂直的树，之间悬挂一条绳子，绳子下垂近似成抛物线，建立如图1所示的平面直角坐标系．已知树与等高，且，之间的水平距离为6米． (1)树，的高度是________米，抛物线的顶点坐标为________； (2)如图2，为了更好地晾晒衣被，嘉嘉把绳子从点M处用一根木棍撑起，将抛物线分成抛物线和两部分，并使得点M到树的距离为米，使抛物线的最低点距树的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． 11．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则______（填“”或“”） 12．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图，取水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立如图2平面直角坐标系． 运动员从点滑出，运动轨迹近似抛物线，该运动员飞行的水平距离（与相距的距离）为时，恰好达到最大高度，运动员着陆在线段上，在着陆坡上设置点K（与相距） 作为标准点，着陆点在K点或在K点右侧视为成绩达标． (1)求抛物线的解析式； (2)判断该运动员的成绩是否达标，并说明理由； (3)直接写出该运动员飞行过程中离着陆坡CE的竖直距离的最大值 米． 13．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）对于二次函数，当时，y的取值范围为___________． 14．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）若规定：如果抛物线的顶点在轴上，那么称该抛物线为“横轴函数”，例如抛物线和都是“横轴函数”． (1)抛物线______（填“是”或“不是”）“横轴函数”； (2)若抛物线是“横轴函数”，求该抛物线的解析式． 15．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 16．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）已知抛物线． (1)将 化成的形式； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 17．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接，点是线段上一点（不含端点），作射线轴交于点D，交于点E． (1)求抛物线的函数解析式． (2)嘉嘉和淇淇分别提出一个问题． 嘉嘉：m为何值时，使得的长最大？ 淇淇：m为何值时，使得点E是的中点？ 请选择其中一人的问题进行解答． (3)将抛物线向上平移n个单位长度，再向左平移个单位长度，使其经过点得到抛物线点D也相应地平移到上的点F处，设直线的解析式为．点P在线段上从右向左移动，判断k的值的变化情况，若不变，直接写出k的值；若变化，直接写出变化规律． 18．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）已知二次函数为常数，且 (1)若函数图象过点，求a的值． (2)当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，a的值． 19．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，连接，当时，求的面积． (3)如图2，过点作轴于点，交于点，直线能否将分成面积相等的两部分?若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由． 20．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）已知抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标，与轴的交点坐标．根据这三个点在平面直角坐标系中画出抛物线的简图； (3)当时，直接写出的取值范围． 21．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）已知：二次函数的图象经过点． (1)求t的值和二次函数图象顶点坐标； (2)当时，直接写出y的最小值． 22．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）如图，抛物线经过点，，点是抛物线的顶点． (1)求a，m的值及点的坐标； (2)将抛物线平移，使其顶点落在轴上，得到抛物线． ①直接写出抛物线平移的最短路程及此时抛物线的顶点坐标； ②在①的条件下，抛物线上有一个动点，其横坐标为，当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围． 23．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）已知关于x的二次函数 (1)若时，求该函数的解析式； (2)当时，该函数的最大值与最小值的差为18，求a的值； (3)若是该函数图象上的两点，且对于都有，求a的取值范围． 24．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为P．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为． (1)求b，c的值及点P的坐标． (2)点D在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． 25．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求b的值； (2)求抛物线最高点的坐标； (3)已知小球自带一个红外线发射器，竖直向下发射一束红外线，照射到斜坡上，求小球飞行过程中这束红外线的最大长度． 26．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）如图，矩形的两个顶点为，，抛物线的表达式为． (1)若点，都在该抛物线上，通过计算说明、的大小； (2)当抛物线经过点时，说明该抛物线是否经过矩形的中心； (3)在矩形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”，若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出的取值范围． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）抛物线y＝x2+2的图象与y轴的交点坐标是（　　） A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（0，2） 2．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）二次函数与y轴的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）下列关于二次函数的图象和性质的说法，正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴有唯一交点 4．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 6．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）已知抛物线的位置如图所示，甲、乙、丙三人对关于x的一元二次方程的根的情况判断如下，其中正确的有（    ） 甲：当时，该方程没有实数根； 乙：当时，该方程有两个相等的实数根； 丙：当时，该方程有两个不相等的实数根． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下： 0 1 2 8 3 0 0 下列说法错误的是（   ） A．对称轴为直线 B．图象开口向下 C．的解集为 D．当时， 8．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是_____． 9．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）二次函数的图象与轴的交点坐标是________，与轴的交点坐标为________． 10．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）抛物线的部分图像如图所示，则关于的方程的解是______． 11．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)结合图象填空： ①关于x的一元二次方程的解是________； ②不等式的解集为________； (2)求b，c的值； (3)在自变量x的值满足的情况下，求对应的函数值y的取值范围． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（　　） A．2 B．4 C．6 D．2+ 2．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论， AI ①水面宽度为 ②抛物线的解析式为 ③最大水深为 ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点E）到的距离为，，，如图2所示，甲、乙两位同学得到如下结论：甲：抛物线的解析式一定为；乙：点C到的距离为．则下列说法正确的是（　　） A．甲对乙错 B．甲乙都对 C．甲错乙对 D．甲乙都错 4．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）掷实心球是中考体育必考项目，体育老师给出标准示范，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度（米）与飞行的水平距离（米）之间具有函数关系，则小明这次实心球训练的成绩为______． 5．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）当一枚火箭被竖直向上发射时，如果它的高度与时间之间的关系可以用公式表示，那么火箭到达最高点，经过的时间为 ________． 6．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数解析式为． (1)则水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数解析式为______，雕塑高______； (2)求落水点之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立雕塑，，，．问：顶点是否会碰到水柱？请通过计算说明． 7．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面宽，拱顶距离水面．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若水位上升就达到警戒线的位置，求这时水面的宽度． 8．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）有一条长为12m的绳子，用它围成一个矩形，设矩形的长为，面积为 (1)能否围成一个面积为的矩形？ (2)写出与之间的函数关系式，并直接写出面积的最大值． 9．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）商家销售某种日用品一段时间后，发现该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系（如图所示），其中． (1)求关于的函数表达式； (2)若该种日用品进价为每件元，该商家如何确定销售单价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 10．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）近年来越来越多的商家向互联网转型发展，“直播带货”已经成为商家销售产品的重要途径，为了在店庆期间扩大销量，某商家在直播间销售一种高档水果，将售价从原来的每千克元经两次降价后，调至每千克元． (1)若该商家两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； (2)现在店庆结束了，商家准备适当涨价，如果现在每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克每涨价元，日销量将减少千克，则商品涨价多少元时，商家每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少元？ 11．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，小明利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． (1)若， ①当围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙的长； ②求矩形菜园面积的最大值； (2)当矩形菜园的面积是1250平方米时，直接写出a的最小值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）下列各项中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义：形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意； B、是二次函数，故此选项合题意； C、不是二次函数，故此选项不符合题意； D、不是二次函数，故此选项不合题意； 故选：B． 2．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）函数的常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，关键是注意再找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．常数项是指多项式中不含变量的项，据此即可求解． 【详解】解：在函数中，是二次项，是常数项，因此常数项为． 故选：A． 考点02 二次函数y=ax2的图象和性质 1．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，图象对应的函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数图象的识别，掌握根据图象形状判断函数类型，结合函数的性质分析选项是解题的关键． 通过观察函数图象的形状，判断函数类型，再逐一分析每个选项的函数类型及图象特征是否符合． 【详解】解：A、是一次函数，图象是直线，与题目中抛物线形状不符，不符合题意； B、是反比例函数，图象是双曲线，与题目中抛物线形状不符，不符合题意； C、是二次函数，开口向下，顶点在原点，与题目中图象形状一致，符合题意； D、是二次函数，开口向上，与题目中图象开口方向不符，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“2”按成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（   ） A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；越大，抛物线的开口越小，即可解答，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线：和的对称轴都是轴，顶点坐标都是，开口方向都向上，而抛物线的开口比抛物线的开口大， ∴和原图象相比，发生改变的是开口大小， 故选：B． 3．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）已知点在二次函数的图象上，则______． 【答案】0 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，将点代入二次函数解析式求解即可得出m的值． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴当时，， 代入函数解析式：， ∴． 故答案为：0． 考点03 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 1．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）已知抛物线，则它的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟知抛物线的顶点式为，其中对称轴为直线．直接根据给定函数解析式得到值即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线． 故选：D． 2．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，根据二次函数的顶点式即可求解，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：． 3．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数顶点式的识别，直接根据公式 的顶点坐标 ．据此求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 顶点坐标为 ． 故选：D 4．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）点，，均在抛物线上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，通过直接计算各点的纵坐标值，再比较大小，即可作答． 【详解】解：∵点，，均在抛物线上， ∴，，， ∵， ∴， 即， 故选：A． 5．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）将抛物线进行平移后，其顶点在坐标轴上，则这个平移的过程可能是（   ） A．向上平移4个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向右平移4个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的平移，原抛物线的顶点为，平移后顶点需在坐标轴（x轴或y轴）上，通过计算各选项平移后的顶点坐标，判断是否满足条件即可． 【详解】解：∵ 抛物线 的顶点为． 选项A：向上平移4个单位，新顶点坐标为，不在坐标轴上； 选项B：向下平移3个单位，新顶点坐标为，在x轴上； 选项C：向左平移3个单位，新顶点坐标为，不在坐标轴上； 选项D：向右平移4个单位，新顶点坐标为，不在坐标轴上． ∴ 只有选项B使顶点在坐标轴上，故这个平移的过程可能是向下平移3个单位． 故选：B． 6．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）二次函数的图象中，若随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据，可得函数图象开口向上，对称轴为，根据二次函数的单调性，在对称轴右侧随增大而增大． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 函数图象开口向上， 又函数对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大． 故若随的增大而增大，则的取值范围是． 故选：B． 7．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）将抛物线平移1个单位长度后得到，则平移方向为（    ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，先把化为顶点式，再结合“平移1个单位长度后得到”，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， 依题意，将抛物线向左平移1个单位长度后得到， 故选：C 8．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）对于抛物线，下列说法正确的个数是（    ） ①抛物线开口向上                    ②图像的对称轴为直线 ③当时，y随x的增大而增大      ④当时，y有最小值 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象和性质；由可得出开口方向、对称轴、增减性、最小值，据此判断即可． 【详解】解：∵开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为 ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y有最小值， ∴①②④正确，正确的个数是3个， 故选：C． 9．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：由抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故选：． 10．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．下列结论：①无论取何值，都有；②若点平移后的对应点为，则；③当时，线段的长随着的增大而减小．其中正确的结论为（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．求得抛物线的顶点即可判断①正确；由抛物线的解析式可知将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，即可求出，即可判断②正确；由可知当时，，当时，，根据一次函数的性质即可判断③错误． 【详解】解：抛物线开口向下，顶点为， 无论取何值，都有，故①正确； 将抛物线的顶点为，抛物线开口向下，顶点为， 将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线， ∴点平移后的对应点为 ，故②正确； ， 当时，，随着的增大而减小， 当时，，随着的增大而增大，故③错误； 综上分析可知：正确的是①②． 故选：A． 11．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为________． 【答案】## 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为． 故答案为： 12．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）将抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为_________． 【答案】 【分析】根据向左平移横坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：∵原抛物线解析式为， ∴原抛物线顶点坐标为， ∴平移后的抛物线顶点坐标为， ∴将抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．． 13．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）数学课上，老师出了这样一道数学题：取何值时，抛物线的开口向下？嘉琪解答过程如下： 解： ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， 即当时，抛物线的开口向下． 嘉琪的解答过程正确吗？如果不正确，请指出嘉琪解答错误的原因，并改正过来． 【答案】 解：错误，原因是忽略了的指数为． 正确解法：∵抛物线开口向下， ∴， ∴， 又∵函数为二次函数， ∴， 解得或（舍去）， 故当时，抛物线开口向下． 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质，解一元二次方程．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的定义可知还需要满足，再结合条件可求出的值． 【详解】略 考点04 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）二次函数的对称轴为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的对称轴，利用二次函数对称轴公式求解本题即可． 【详解】解：∵二次函数一般形式为，对称轴为， 本题中， ∴对称轴，即对称轴为直线． 故选：A． 2．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线的对称性找到线段之间的关系来求解的长度是解决本题的关键． 分别求出，和的长度，再根据抛物线的对称性即可求解． 【详解】解：因为，，， 由图可知， ， ， 因为两条抛物线的顶点A，B都在直线上， 根据抛物线的对称性可知． 故选：B． 3．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，开口向上，离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案；本题主要考查了比较二次函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大，对称轴为直线， ∵，， ∴． 故选：B． 4．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据a的不同情况分类讨论进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵， 当时，函数的图象开口向下；对称轴，在y轴的左侧；，图象交y轴的正半轴； 故A不符合题意，B符合题意； 当时，函数的图象开口向上；对称轴，在y轴的右侧；，图象交y轴的正半轴； 故C、D不符合题意． 故选：B． 5．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）二次函数，无论为何值，函数值总是成立的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与系数的关系等知识点，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 依据题意，由于无论x为何值，函数值，从而二次函数的图象总在x轴的上方，可得抛物线开口向上，与x轴无交点，故，． 【详解】解：由题意可得：无论x为何值，函数值， ∴二次函数的图象总在x轴的上方． ∴抛物线开口向上，与x轴无交点． ∴，． 故选：C． 6．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）四个二次函数的图象对应的函数关系式分别是①；②；③；④．则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质：①抛物线的开口大小由决定，越大，抛物线的开口越窄，越小，抛物线的开口越宽；②抛物线的开口方向由决定，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．根据以上抛物线性质即可分析出的大小关系． 【详解】抛物线、开口向上， 且抛物线的开口更窄， ， 抛物线、开口向下， 且抛物线的开口更窄， ， ． 故选：． 7．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，下列说法：①；②；③；④方程有两个实数根；⑤（为任意实数）．其中正确的有（　） A．②③④ B．①④⑤ C．②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，根据图形开口，对称轴的知识即可求解，掌握二次函数图象的性质，对称轴的计算方法是解题的关键． 根据所给函数图象，得出，，的正负，再结合抛物线的对称性和增减性对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由函数图象和已知条件可知，，，， ∴， ∴，故①错误； ∴，即，故②正确； 由函数图象可知，当时，， 即，故③正确； ∵的图象与直线有两个交点， ∴方程有两个实数根，故④正确； ∵， ∴当时，，故⑤错误． 故正确的有：②③④． 故选：A． 8．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）阅读材料：抛物线上任意一点到定点和到定直线的距离相等，我们把定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线，如，抛物线的焦点为，准线为直线． 解决问题：如图，为抛物线上的一点，为该抛物线的焦点，点的坐标为，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，垂线段最短，勾股定理的应用，仔细审题得出函数的准线与焦点坐标是解答本题的关键．首先得出焦点的坐标和准线方程，由点到点的距离等于点到准线的距离，从而根据垂线段最短的知识可找到点的位置，结合图形可得出这个最小值． 【详解】解：由题意得，抛物线的焦点的坐标为，准线为直线． 过点作直线，交直线于点，过点作直线，交直线于点，与抛物线的交点为点，如图： 则由题意可得，， 故可得：， 结合垂线段最短，可得当点与点重合时，，此时的值最小， 此时， ∵，， ∴， ∴周长的最小值为． 故选：A． 9．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度．若得到的抛物线经过点，则h的值是________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了抛物线的平移．根据抛物线的平移规律，得到平移后的解析式后，代入点，即可求解． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度后的解析式为， 即平移后的抛物线解析式为， 把点代入得：， 解得：． 故答案为：6 10．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）嘉嘉同学准备一条绳子晾晒衣被，他在两棵与地面垂直的树，之间悬挂一条绳子，绳子下垂近似成抛物线，建立如图1所示的平面直角坐标系．已知树与等高，且，之间的水平距离为6米． (1)树，的高度是________米，抛物线的顶点坐标为________； (2)如图2，为了更好地晾晒衣被，嘉嘉把绳子从点M处用一根木棍撑起，将抛物线分成抛物线和两部分，并使得点M到树的距离为米，使抛物线的最低点距树的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． 【答案】(1)， (2)点M到地面的距离为米 【分析】本题考查二次函数的应用，求二次函数解析式，顶点坐标，函数值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将代入抛物线解析式，直接求树的高度；② 与等高且米，可得坐标，将代入抛物线求得解析式，再用顶点公式求顶点坐标； （2）根据的顶点坐标设出解析式，代入已知点求参数，代入点的横坐标，计算对应的纵坐标即到地面的距离． 【详解】（1）解：已知抛物线，当时，代入得： ； ∵与等高且米， ∴， 将代入抛物线解析式： ， 化简得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴顶点横坐标为， 代入解析式得顶点纵坐标： ， ∴顶点坐标为． 故答案为：，； （2）解：由题意，点的横坐标为， 抛物线的顶点为， 设的解析式为． ∵过点，代入得： ， 化简得， 解得， ∴的解析式为， 将代入解析式，得： ． 故点到地面的距离为米． 11．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则______（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∵若，， ， ∴， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图，取水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立如图2平面直角坐标系． 运动员从点滑出，运动轨迹近似抛物线，该运动员飞行的水平距离（与相距的距离）为时，恰好达到最大高度，运动员着陆在线段上，在着陆坡上设置点K（与相距） 作为标准点，着陆点在K点或在K点右侧视为成绩达标． (1)求抛物线的解析式； (2)判断该运动员的成绩是否达标，并说明理由； (3)直接写出该运动员飞行过程中离着陆坡CE的竖直距离的最大值 米． 【答案】(1) (2) 该运动员的成绩没有达标，理由如下： 设直线的表达式为，把代入得到， , 解得，， ∴直线的表达式为， 联立得到， 解得（不合题意，舍去） ∴点E的坐标为， 即着陆点与相距， ∵， ∴该运动员的成绩没有达标； (3) 【分析】此题考查了二次函数的实际应用， （1）由题意可得抛物线的顶点坐标为，且经过点，利用待定系数法即可求出答案； （2）求出直线的表达式为，与二次函数解析式联立求出点E的坐标为，即可得到结论； （3）设该运动员飞行过程中离着陆坡的竖直距离为，则，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）略 （3）设该运动员飞行过程中离着陆坡的竖直距离为， 则 ∴当时，有最大值为， 即该运动员飞行过程中离着陆坡CE的竖直距离的最大值， 故答案为： 13．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）对于二次函数，当时，y的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质得出该函数图象开口向下，当时，有最大值4，再结合当时，，当时，，即可以得到当时的取值范围． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向下，当时，有最大值4， 当时，，当时，， ， 的取值范围为， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）若规定：如果抛物线的顶点在轴上，那么称该抛物线为“横轴函数”，例如抛物线和都是“横轴函数”． (1)抛物线______（填“是”或“不是”）“横轴函数”； (2)若抛物线是“横轴函数”，求该抛物线的解析式． 【答案】(1)是 (2)或 【分析】本题考查了抛物线的性质．把抛物线一般式化为顶点式是解答本题的关键． （1）根据“横轴函数”的定义解答即可； （2）配成顶点式，根据“横轴函数”的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点为，抛物线的顶点在轴上， ∴抛物线是“横轴函数”； 故答案为：是 （2）， 顶点坐标为． 由于抛物线是“横轴函数”， 顶点在轴上，即，解得：， 抛物线的表达式为或 15．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标； (2) 【分析】（1）将代入即可求得m的值，再将抛物线的一般式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标； （2）根据抛物线的顶点坐标，对称轴为直线，可知时，当时，取得最小值，当时，取得最大值，即可求出y的取值范围． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得：， ， ， ， 此抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）可知抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，y的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查二次函数图像和性质，懂得把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 16．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）已知抛物线． (1)将 化成的形式； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)； (2)抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为． 【分析】本题主要考查了二次函数．解决本题的关键是利用配方法把二次函数的一般形式转化成顶点式，根据二次函数的顶点式解析式判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标． （1）利用配方法将抛物线解析式化成； （2）根据二次函数顶点式解析式可求抛物线的开口方向、对称轴、抛物线顶点坐标． 【详解】（1）解：， 整理得：, ； （2）解：， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为． 17．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接，点是线段上一点（不含端点），作射线轴交于点D，交于点E． (1)求抛物线的函数解析式． (2)嘉嘉和淇淇分别提出一个问题． 嘉嘉：m为何值时，使得的长最大？ 淇淇：m为何值时，使得点E是的中点？ 请选择其中一人的问题进行解答． (3)将抛物线向上平移n个单位长度，再向左平移个单位长度，使其经过点得到抛物线点D也相应地平移到上的点F处，设直线的解析式为．点P在线段上从右向左移动，判断k的值的变化情况，若不变，直接写出k的值；若变化，直接写出变化规律． 【答案】(1) (2) 设直线表达式为， 则代入点坐标得：， 解得：， ∴所在直线的解析式为， 选嘉嘉的问题：由题意得，，， ∴的长为， ∴当时，的长最大． 选淇淇的问题：由题意得，，， 若点E是的中点，则， 解得或（舍去）， ∴当时，点E是的中点； (3)k的值不变，为 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、一次函数、二次函数的性质、平移，核心素养表现为几何直观和运算能力． （1）运用待定系数法即可求解； （2）先求出所在直线的解析式为，由题意得，，，则，再利用二次函数的性质求最值；由点E是的中点，得到，解一元二次方程即可； （3）：可得顶点为，求出的解析式为，顶点为，可得直线的解析式为，由于点的对应点为点，点的对应点为点，则，故． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得 ∴抛物线的函数解析式为； （2）略 （3）解：整理，得，顶点为． 由题意得，， ∵经过点， 则， 解得或（舍去）， 的解析式为，顶点为， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为． ∵点的对应点为点，点的对应点为点， ∴， ． 18．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）已知二次函数为常数，且 (1)若函数图象过点，求a的值． (2)当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键． （1）把点代入解析式即可求得a的值； （2）把解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点为，即可求得时，，进而求得当时，，然后分两种情况列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点， ， （2）解：由题意，， 抛物线的顶点为， 时，， 当时，， 当时，当时，，， ， ， 当时，当时，，， ， ， 的值为或 19．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，连接，当时，求的面积． (3)如图2，过点作轴于点，交于点，直线能否将分成面积相等的两部分?若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点 【分析】本题考查二次函数综合性问题，涉及解析式，面积，图象的性质等． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据求出点P的坐标，利用三角形面积公式即可解答； （3）先求出直线的解析式，设点，则点的坐标为．根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：将点与点代入， 得 解得 抛物线的解析式为． （2）解：， ． 将代入中， 得， 解得（舍去），， 点， ， ． （3）解：由题意可设直线的解析式为， 将点代入上式，得， 解得， 直线的解析式为． 设点，则点的坐标为． ， ， ， 整理得， 解得，（舍去）， 点． 20．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）已知抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标，与轴的交点坐标．根据这三个点在平面直角坐标系中画出抛物线的简图； (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)它的顶点坐标为，与轴交点坐标为， 图象如图所示： (3)当时， 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键． （1）利用待定系数法求得二次函数的解析式，再运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的y的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：； ∴它的顶点坐标为； 令，则， 解得或， ∴与轴交点坐标为， 列表如下： x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 （3）解：当时，的最大值为4， 由图象可得，当时，． 21．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）已知：二次函数的图象经过点． (1)求t的值和二次函数图象顶点坐标； (2)当时，直接写出y的最小值． 【答案】(1)，二次函数的顶点坐标为 (2)y的最小值为 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）将点代入二次函数解析式中求得t的值，再将二次函数的一般式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）由（1）可得该二次函数开口向上，根据顶点式求得其对称轴，在中，当时，即对称轴，y有最小值，将代入二次函数解析式即可求得y的最小值． 【详解】（1）解：由题意知，将点代入中， ∴，解得， ∴二次函数解析式为， 将二次函数解析式化为顶点式为：， ∴二次函数图象顶点坐标为． （2）解：当时， ∵二次函数的对称轴为，且抛物线开口向上， ∴当时，y有最小值， ∴y的最小值为． 22．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）如图，抛物线经过点，，点是抛物线的顶点． (1)求a，m的值及点的坐标； (2)将抛物线平移，使其顶点落在轴上，得到抛物线． ①直接写出抛物线平移的最短路程及此时抛物线的顶点坐标； ②在①的条件下，抛物线上有一个动点，其横坐标为，当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)①3，；②． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和动点问题． （1）先根据点，求出对称轴，再利用对称轴公式即可求出和解析式，将代入解析式中即可求出，将解析式化成顶点式即可求出； （2）①根据抛物线的顶点落在轴上，且点的坐标为即可求出结果； ②先求出抛物线的表达式，再令，代入解析式求解，再结合点在抛物线上关于对称轴对称的点为点，且当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，即可求出结果． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， 对称轴为直线， ， ， 的解析式为． 将代入，得， 即． ， 点的坐标为． （2）解：①抛物线的顶点落在轴上，且点的坐标为， ∴抛物线平移的最短路程为3，此时顶点坐标为． ②由①得，抛物线的表达式为． 令，则． 点在抛物线上关于对称轴对称的点为点，且当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2， ． 23．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）已知关于x的二次函数 (1)若时，求该函数的解析式； (2)当时，该函数的最大值与最小值的差为18，求a的值； (3)若是该函数图象上的两点，且对于都有，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把，分别代入，得出，即可作答． （2）先整理，故图象的对称轴为直线，结合．故当时，最小，当时，，列式，即可作答． （3）进行分类讨论，即①若，则函数图象开口向上．②若，则函数图象开口向下，再结合二次函数的图象性质，进行分析列式，即可作答． 【详解】（1）解： ， 当时，， ， ． 该函数的解析式为． （2）解：依题意，， 图象的对称轴为直线． 又． 当时，最小， ∵ ∴当时，， ∴． ． ； （3）解：①若，则函数图象开口向上． 又对称轴为直线， 当时，随的增大而增大． ∴点在对称轴的右侧． 又对于，都有， ， ． ②若，则函数图象开口向下， ∴点在对称轴的左侧． 对称轴为直线 当或时函数值相等． 又对于，都有， ， ． 综上：或． 24．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为P．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为． (1)求b，c的值及点P的坐标． (2)点D在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，，点P的坐标为 (2) 不能，理由如下： 令，则， 解得，， ∴点D的坐标为或， ∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴经过点和， ∴不能经过点D． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入点到，利用待定系数法求出b，c的值，得到抛物线的解析式，再利用二次函数的性质即可求出点P的坐标； （2）代入到，求出点D的坐标为或，根据二次函数的性质可知经过点和，即可得出结论． 【详解】（1）解：代入点到， 得， 解得， ∴抛物线， ∴顶点P的坐标为； （2）略 25．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求b的值； (2)求抛物线最高点的坐标； (3)已知小球自带一个红外线发射器，竖直向下发射一束红外线，照射到斜坡上，求小球飞行过程中这束红外线的最大长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键； （1）依据题意，由点是抛物线上一点，则，从而计算可以得解； （2）依据题意，由，从而可以判断得解； （3）依据题意可得直线的解析式为，设这束红外线的长度为，则，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：点是抛物线上一点， ． ． （2）解：， 抛物线最高点的坐标为． （3）解：设直线的解析式为：， 将代入中， 得，解得：， 直线的解析式为． 设这束红外线的长度为，则． ， 小球飞行过程中这束红外线的最大长度为． 26．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）如图，矩形的两个顶点为，，抛物线的表达式为． (1)若点，都在该抛物线上，通过计算说明、的大小； (2)当抛物线经过点时，说明该抛物线是否经过矩形的中心； (3)在矩形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”，若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) 解：∵点，都在抛物线上， 故将，代入，得，， ∴， 即． (2) 解：不经过，理由如下： ∵四边形是矩形，，， ∴矩形的中心坐标为； 当抛物线经过点时，将代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 所以该抛物线不经过矩形的中心． (3) 【分析】（1）根据题意，将，代入得出，，再列式求出，即可求解； （2）先根据矩形的性质和中点坐标公式求出矩形的中心坐标，待定系数法求出抛物线的解析式，求出当横坐标为时，抛物线上点的纵坐标，即可求解； （3）根据矩形的性质得出，，结合“好点”的定义得出，矩形的边界上，“好点”有六个，结合抛物线的性质，以及“好点”与抛物线的位置关系，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：四边形是矩形，，， ∴，， 故矩形的边界上，“好点”有，，，，，，共六个； 若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，即抛物线将“好点”分为两部分，每部分各有个“好点”， ∵抛物线开口向下，对称轴为轴， 故点，，在抛物线的下方，点，，在抛物线的上方， 当时，，此时点在点的上方，即， ∴， 当时，，此时点在点的上方，即， ∴， 故当时，点，，在抛物线的下方． 当时，，此时点在点的下方，即， ∴， 当时，，此时点在点的下方，即， ∴， 故当时，点，，在抛物线的上方； 即当时，抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分． 【点睛】本题考查了二次函数上点的坐标特征，待定系数法求抛物线的解析式，矩形的性质，中点坐标，二次函数的性质等，熟练掌握在抛物线上方和下方的点的坐标特征是解题的关键． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）抛物线y＝x2+2的图象与y轴的交点坐标是（　　） A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（0，2） 【答案】D 【分析】根据y轴上点的坐标特征，计算自变量为0时的函数值即可． 【详解】当x＝0时，y＝x2+2＝2， ∴抛物线y＝x2+2的图象与y轴的交点坐标是（0，2）． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，即已知横坐标可求对应的纵坐标．本题的关键是确定y轴上点的坐标特征． 2．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）二次函数与y轴的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点， 求二次函数与y轴的交点，即令，计算y的值． 【详解】解：∵二次函数与y轴的交点的横坐标为0， ∴令，代入函数解析式：， ∴交点坐标为． 故选：D． 3．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）下列关于二次函数的图象和性质的说法，正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴有唯一交点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练运用配方法和判别式是解题关键． 通过配方法将二次函数化为顶点式，得到顶点坐标和开口方向，再根据二次函数的性质判断各选项即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 对于A：开口向下，错误； 对于B：顶点坐标是，不是，错误； 对于C：∵ 开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大，正确； 对于D：判别式， ∴与轴有两个交点，错误． 故选 C． 4．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象和性质，掌握二次函数与一次函数的交点的含义是解题关键．根据题意可知方程的解即为抛物线和直线的交点的横坐标，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为， 方程的解是， 故选：B． 5．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是函数图象与轴的交点，分两种情况分析，求出的取值范围即可． 【详解】解： 当时，函数是二次函数， 函数的图象与轴有交点， 解得且． 当时，函数是一次函数，图象与轴有交点， 综上所述 故选：C． 6．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）已知抛物线的位置如图所示，甲、乙、丙三人对关于x的一元二次方程的根的情况判断如下，其中正确的有（    ） 甲：当时，该方程没有实数根； 乙：当时，该方程有两个相等的实数根； 丙：当时，该方程有两个不相等的实数根． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与直线的交点问题，关键是把方程的解转化为抛物线与直线的交点问题． 先把一元二次方程的根的情况转化为直线与抛物线的交点问题，再根据抛物线的最大值为，然后结合图形分类讨论即可． 【详解】解：， ， 观察图象得：该函数的最大值为， 当时，， 直线与抛物线没有公共点， 方程无实数根，故甲说法正确； 当时，， 直线与抛物线有两个公共点， 方程有两个不相等的实数根，故乙说法错误； 当时，， 直线与抛物线有两个公共点， 方程有两个不相等的实数根，故丙说法正确； 说法正确的有甲、丙，共2个， 故选：C． 7．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下： 0 1 2 8 3 0 0 下列说法错误的是（   ） A．对称轴为直线 B．图象开口向下 C．的解集为 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式的关系等知识点． 根据给定的对应值，可求出二次函数解析式为，再逐一验证各选项． 【详解】解：将点、、代入得： 解得， ∴， A、对称轴，正确； B、，图象开口向上，故开口向下错误； C、由表格可知抛物线经过，而抛物线开口向上，则时，，正确； D、时，，正确， ∴ 错误的是B， 故选：B． 8．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，该抛物线与轴有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，可得，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 解得且， 故答案为：且． 9．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）二次函数的图象与轴的交点坐标是________，与轴的交点坐标为________． 【答案】 【分析】根据题意得出令，求出的值，即可求出抛物线与轴交点的坐标，令，然后求出的值，即可以得到与轴的交点坐标． 【详解】由图象与轴相交则，代入得：， 解方程得， ∴与轴交点的坐标是， 由图象与轴相交则，代入得：， ∴与轴交点坐标是； 故答案为；． 【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关键． 10．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）抛物线的部分图像如图所示，则关于的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程， 根据抛物线的对称轴为直线与x轴的交点为，利用抛物线的对称性即可求得． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线与x轴的交点为， 设另一个交点为 ， 解得：， 故另一个交点为， 关于的方程的解是：， 故答案为; ． 11．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)结合图象填空： ①关于x的一元二次方程的解是________； ②不等式的解集为________； (2)求b，c的值； (3)在自变量x的值满足的情况下，求对应的函数值y的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程，求二次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系． （1）①找到点关于函数对称轴的对称点即可解答；②找出与x轴的两个交点，然后根据函数图象解答即可； （2）根据函数与x轴的交点可知抛物线解析式为，然后化简进而可求出的值； （3）根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵二次函数对称轴为直线，与y轴交于点， 故C点的对称点为：， 故关于x的一元二次方程的解是， 故答案为：． ②∵二次函数与x轴交于，对称轴为直线 ∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为， ∴不等式的解为或， 故答案为：或． （2）解：∵抛物线与x轴的交点坐标为和两点， ∴抛物线解析式为， ∴． （3）解：∵抛物线开口向下，且对称轴为直线， ∴顶点坐标为：， 当时，，当时，， 故在自变量x的值满足的情况下，y的取值范围为：． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（　　） A．2 B．4 C．6 D．2+ 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，在顶点处取最值即可． 【详解】解：∵抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6， ∵a=-1＜0 ∴当x=2时，水柱的最大高度是：6． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用—喷水问题．根据二次函数的解析式得到抛物线顶点坐标是解决此类问题的关键． 2．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论， AI ①水面宽度为 ②抛物线的解析式为 ③最大水深为 ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的实际应用，根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为，再把代入解析式求出a即可判断②；把代入解析式求出，再用即可判断③；把代入解析式即可判断④． 【详解】解：①观察图形可知，， 即水面宽度为， 故①错误； ②设池底所在抛物线的解析式为， 将代入，可得， 故抛物线的解析式为； 故②错误； ③∵， ∴当时，， ∴最大水深为， 故③正确； ④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为时， 将代入，得， 可知此时最深处到水面的距离为， 即为原来的， 故④错误． 故选：A． 3．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点E）到的距离为，，，如图2所示，甲、乙两位同学得到如下结论：甲：抛物线的解析式一定为；乙：点C到的距离为．则下列说法正确的是（　　） A．甲对乙错 B．甲乙都对 C．甲错乙对 D．甲乙都错 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的解析式求解及点与点之间的距离计算，解题关键是通过建立合适的平面直角坐标系，利用抛物线的顶点式结合已知条件确定解析式，再据此分析点的位置关系． 建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再由题意得出点D的横坐标为2，代入抛物线计算即可得解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， ∵抛物线最高点的五角星（点E）到的距离为，，， ∴点C的坐标为，点B的坐标为，点D的横坐标为2， ∴点E的坐标为， 设抛物线的解析式为，将点E的坐标代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为．故甲不对； ∵点D的横坐标为2， ∴点D的纵坐标为， ∴点C到的距离为．故乙对． 故选：C． 4．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）掷实心球是中考体育必考项目，体育老师给出标准示范，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度（米）与飞行的水平距离（米）之间具有函数关系，则小明这次实心球训练的成绩为______． 【答案】##米 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际运用、解一元二次方程，解题关键是理解题意及熟练掌握一元二次方程的解法． 根据题意可知，求小明这次实心球训练的成绩即求时，二次函数中的取值，将代入后求解即可． 【详解】解：依题得：在二次函数中， 时，即实心球的飞行高度为时， 有， ， ， 解得或（舍去）， 即实心球飞行的水平距离为． 小明这次实心球训练的成绩为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）当一枚火箭被竖直向上发射时，如果它的高度与时间之间的关系可以用公式表示，那么火箭到达最高点，经过的时间为 ________． 【答案】 【分析】把抛物线解析式从一般形式化为顶点式后直接解答即可． 【详解】 经过 ，火箭达到最大高度，最大高度为 1135 米； 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次函数的应用，难度一般，关键是用配方法得到二次函数的顶点式． 6．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数解析式为． (1)则水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数解析式为______，雕塑高______； (2)求落水点之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立雕塑，，，．问：顶点是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】(1)， (2) (3)不会碰到水柱． 理由：当时，， ， ∴不会碰到水柱． 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质． （1）根据轴对称即可求出函数解析式，求雕塑高,直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【详解】（1）解：根据题意可知，水柱所在抛物线的第一象限部分和水柱所在抛物线的第二象限部分关于y轴对称， ∴水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数解析式为． 由题意得，A点在图象上． 当时， ． 故答案为：， （2）由题意得，D点在图象上． 令，得． 解得：（不合题意，舍去）． （3）略 7．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面宽，拱顶距离水面．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若水位上升就达到警戒线的位置，求这时水面的宽度． 【答案】(1) (2)米 【分析】此题考查了求抛物线的解析式，二次函数的应用，正确理解题意得到为是解题的关键． （1）由抛物线对称性可知，为，设解析式为，将点B坐标代入求出a即可． （2）根据题意得出点C、D的纵坐标为，代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线对称性可知，为， ∵抛物线顶点在原点， ∴设解析式为，把代⼊得： ∴， ∴． （2）∵水位上升就达到警戒线的位置， ∴点C、D的纵坐标为， 当时， ， 解得：， ∴， ∴米． 8．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）有一条长为12m的绳子，用它围成一个矩形，设矩形的长为，面积为 (1)能否围成一个面积为的矩形？ (2)写出与之间的函数关系式，并直接写出面积的最大值． 【答案】(1)能 (2)，9 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是根据矩形的周长和面积公式建立函数关系，再利用二次函数的性质求解． （1）根据矩形周长求出宽，结合面积公式列方程，判断方程是否有实数解； （2）根据矩形面积公式建立函数关系式，再通过二次函数的性质求面积最大值． 【详解】（1）解：能，理由如下： 设矩形的长为，则宽为． 根据题意可得： 解得． 当时，宽为；当时，宽为，均符合矩形长和宽的实际意义， 能围成面积为的矩形； （2）解：矩形面积公式，． 矩形的长，宽， ， 即函数关系式为． 当时，面积的最大值为9． 答：与的函数关系式为，面积最大值为9． 9．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）商家销售某种日用品一段时间后，发现该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系（如图所示），其中． (1)求关于的函数表达式； (2)若该种日用品进价为每件元，该商家如何确定销售单价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)关于的函数解析式为； (2)该商家将售价定为元时，才能使每天获得的利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设关于的函数解析式为，将点，代入，得，然后解方程组即可； （）设该商家每天获得的利润为元，根据题意得，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 将点，代入，得， 解得， ∴关于的函数解析式为； （2）解：设该商家每天获得的利润为元， 根据题意得 ， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为元， 答：该商家将售价定为元时，才能使每天获得的利润最大，最大利润是元． 10．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）近年来越来越多的商家向互联网转型发展，“直播带货”已经成为商家销售产品的重要途径，为了在店庆期间扩大销量，某商家在直播间销售一种高档水果，将售价从原来的每千克元经两次降价后，调至每千克元． (1)若该商家两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； (2)现在店庆结束了，商家准备适当涨价，如果现在每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克每涨价元，日销量将减少千克，则商品涨价多少元时，商家每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)商品涨价元时，商家每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，运用方程思想和二次函数性质是解题的关键． （1）通过设降价百分率列一元二次方程求解； （2）设商品涨价元，根据题意列出与的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为． 根据题意得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：每次降价的百分率为； （2）设商品涨价元，则每千克盈利元，日销量为千克． 根据题意得，， 因为， 所以当时，有最大值， 答：商品涨价元时，商家每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是元． 11．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，小明利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． (1)若， ①当围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙的长； ②求矩形菜园面积的最大值； (2)当矩形菜园的面积是1250平方米时，直接写出a的最小值． 【答案】(1)①所利用旧墙的长为10米；②矩形菜园面积的最大值为800平方米 (2)a的最小值为50 【分析】（1）①设米，因为另三边一共用了100米木栏，所以米，而米，已知矩形菜园的面积为450平方米，根据矩形面积公式，可列出方程，求解该方程得到x的值，再根据求出的长，同时要结合对结果进行检验； ②设米，则米，根据矩形面积公式可得面积，因为二次项系数，所以该函数图象开口向下，在顶点处取得最大值，又因为，即，而函数在上单调递增，所以当时，S取得最大值； （2）设米，则米，根据矩形面积公式可得面积，已知矩形菜园的面积是1250平方米，可列出方程，求解该方程得到x的值，因为，所以a要大于等于x的最大值，从而得到a的最小值． 【详解】（1）解：①设米，则米， 由题意得，，解得，， 当时，，不合题意舍去； 当时，， 即的长为10米． ②设米，则米， ∴， 当时，则时，S的最大值为1250平方米， 当时，则当时，S随x的增大而增大， ∴当时，S的最大值为（平方米）， 综上所述，当时，S的最大值为800平方米． （2）解：设米，则米， ∴，整理得：， 解得：， ∵， ∴，即a的最小值为50． 【点睛】本题考查了矩形的周长与面积公式，一元二次方程的求解，二次函数的性质及不等式的应用． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．B 2．A 考点02 二次函数y=ax2的图象和性质 1．C 2．B 3．0 考点03 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 1．D 2．B 3．D 4．A 5．B 6．B 7．C 8．C 9．A 10．A 11．## 12． 13．【答案】 解：错误，原因是忽略了的指数为． 正确解法：∵抛物线开口向下， ∴， ∴， 又∵函数为二次函数， ∴， 解得或（舍去）， 故当时，抛物线开口向下． 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质，解一元二次方程．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的定义可知还需要满足，再结合条件可求出的值． 【详解】略 考点04 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1．A 2．B 3．B 4．B 5．C 6．A 7．A 8．A 9．6 10．(1)， (2)点M到地面的距离为米 11． 12．(1) (2) 该运动员的成绩没有达标，理由如下： 设直线的表达式为，把代入得到， , 解得，， ∴直线的表达式为， 联立得到， 解得（不合题意，舍去） ∴点E的坐标为， 即着陆点与相距， ∵， ∴该运动员的成绩没有达标； (3) 13． 14．(1)是 (2)或 15．【答案】(1)顶点坐标； (2) 【分析】（1）将代入即可求得m的值，再将抛物线的一般式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标； （2）根据抛物线的顶点坐标，对称轴为直线，可知时，当时，取得最小值，当时，取得最大值，即可求出y的取值范围． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得：， ， ， ， 此抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）可知抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，y的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查二次函数图像和性质，懂得把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 16．【答案】(1)； (2)抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为． 【分析】本题主要考查了二次函数．解决本题的关键是利用配方法把二次函数的一般形式转化成顶点式，根据二次函数的顶点式解析式判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标． （1）利用配方法将抛物线解析式化成； （2）根据二次函数顶点式解析式可求抛物线的开口方向、对称轴、抛物线顶点坐标． 【详解】（1）解：， 整理得：, ； （2）解：， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为． 17．【答案】(1) (2) 设直线表达式为， 则代入点坐标得：， 解得：， ∴所在直线的解析式为， 选嘉嘉的问题：由题意得，，， ∴的长为， ∴当时，的长最大． 选淇淇的问题：由题意得，，， 若点E是的中点，则， 解得或（舍去）， ∴当时，点E是的中点； (3)k的值不变，为 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、一次函数、二次函数的性质、平移，核心素养表现为几何直观和运算能力． （1）运用待定系数法即可求解； （2）先求出所在直线的解析式为，由题意得，，，则，再利用二次函数的性质求最值；由点E是的中点，得到，解一元二次方程即可； （3）：可得顶点为，求出的解析式为，顶点为，可得直线的解析式为，由于点的对应点为点，点的对应点为点，则，故． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得 ∴抛物线的函数解析式为； （2）略 （3）解：整理，得，顶点为． 由题意得，， ∵经过点， 则， 解得或（舍去）， 的解析式为，顶点为， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为． ∵点的对应点为点，点的对应点为点， ∴， ． 18．【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键． （1）把点代入解析式即可求得a的值； （2）把解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点为，即可求得时，，进而求得当时，，然后分两种情况列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点， ， （2）解：由题意，， 抛物线的顶点为， 时，， 当时，， 当时，当时，，， ， ， 当时，当时，，， ， ， 的值为或 19．【答案】(1) (2) (3)点 【分析】本题考查二次函数综合性问题，涉及解析式，面积，图象的性质等． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据求出点P的坐标，利用三角形面积公式即可解答； （3）先求出直线的解析式，设点，则点的坐标为．根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：将点与点代入， 得 解得 抛物线的解析式为． （2）解：， ． 将代入中， 得， 解得（舍去），， 点， ， ． （3）解：由题意可设直线的解析式为， 将点代入上式，得， 解得， 直线的解析式为． 设点，则点的坐标为． ， ， ， 整理得， 解得，（舍去）， 点． 20．【答案】(1) (2)它的顶点坐标为，与轴交点坐标为， 图象如图所示： (3)当时， 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键． （1）利用待定系数法求得二次函数的解析式，再运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的y的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：； ∴它的顶点坐标为； 令，则， 解得或， ∴与轴交点坐标为， 列表如下： x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 （3）解：当时，的最大值为4， 由图象可得，当时，． 21．【答案】(1)，二次函数的顶点坐标为 (2)y的最小值为 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）将点代入二次函数解析式中求得t的值，再将二次函数的一般式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）由（1）可得该二次函数开口向上，根据顶点式求得其对称轴，在中，当时，即对称轴，y有最小值，将代入二次函数解析式即可求得y的最小值． 【详解】（1）解：由题意知，将点代入中， ∴，解得， ∴二次函数解析式为， 将二次函数解析式化为顶点式为：， ∴二次函数图象顶点坐标为． （2）解：当时， ∵二次函数的对称轴为，且抛物线开口向上， ∴当时，y有最小值， ∴y的最小值为． 22．【答案】(1)，，； (2)①3，；②． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和动点问题． （1）先根据点，求出对称轴，再利用对称轴公式即可求出和解析式，将代入解析式中即可求出，将解析式化成顶点式即可求出； （2）①根据抛物线的顶点落在轴上，且点的坐标为即可求出结果； ②先求出抛物线的表达式，再令，代入解析式求解，再结合点在抛物线上关于对称轴对称的点为点，且当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，即可求出结果． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， 对称轴为直线， ， ， 的解析式为． 将代入，得， 即． ， 点的坐标为． （2）解：①抛物线的顶点落在轴上，且点的坐标为， ∴抛物线平移的最短路程为3，此时顶点坐标为． ②由①得，抛物线的表达式为． 令，则． 点在抛物线上关于对称轴对称的点为点，且当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2， ． 23．【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把，分别代入，得出，即可作答． （2）先整理，故图象的对称轴为直线，结合．故当时，最小，当时，，列式，即可作答． （3）进行分类讨论，即①若，则函数图象开口向上．②若，则函数图象开口向下，再结合二次函数的图象性质，进行分析列式，即可作答． 【详解】（1）解： ， 当时，， ， ． 该函数的解析式为． （2）解：依题意，， 图象的对称轴为直线． 又． 当时，最小， ∵ ∴当时，， ∴． ． ； （3）解：①若，则函数图象开口向上． 又对称轴为直线， 当时，随的增大而增大． ∴点在对称轴的右侧． 又对于，都有， ， ． ②若，则函数图象开口向下， ∴点在对称轴的左侧． 对称轴为直线 当或时函数值相等． 又对于，都有， ， ． 综上：或． 24．【答案】(1)，，点P的坐标为 (2) 不能，理由如下： 令，则， 解得，， ∴点D的坐标为或， ∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴经过点和， ∴不能经过点D． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入点到，利用待定系数法求出b，c的值，得到抛物线的解析式，再利用二次函数的性质即可求出点P的坐标； （2）代入到，求出点D的坐标为或，根据二次函数的性质可知经过点和，即可得出结论． 【详解】（1）解：代入点到， 得， 解得， ∴抛物线， ∴顶点P的坐标为； （2）略 25．【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键； （1）依据题意，由点是抛物线上一点，则，从而计算可以得解； （2）依据题意，由，从而可以判断得解； （3）依据题意可得直线的解析式为，设这束红外线的长度为，则，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：点是抛物线上一点， ． ． （2）解：， 抛物线最高点的坐标为． （3）解：设直线的解析式为：， 将代入中， 得，解得：， 直线的解析式为． 设这束红外线的长度为，则． ， 小球飞行过程中这束红外线的最大长度为． 26．【答案】(1) 解：∵点，都在抛物线上， 故将，代入，得，， ∴， 即． (2) 解：不经过，理由如下： ∵四边形是矩形，，， ∴矩形的中心坐标为； 当抛物线经过点时，将代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 所以该抛物线不经过矩形的中心． (3) 【分析】（1）根据题意，将，代入得出，，再列式求出，即可求解； （2）先根据矩形的性质和中点坐标公式求出矩形的中心坐标，待定系数法求出抛物线的解析式，求出当横坐标为时，抛物线上点的纵坐标，即可求解； （3）根据矩形的性质得出，，结合“好点”的定义得出，矩形的边界上，“好点”有六个，结合抛物线的性质，以及“好点”与抛物线的位置关系，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：四边形是矩形，，， ∴，， 故矩形的边界上，“好点”有，，，，，，共六个； 若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，即抛物线将“好点”分为两部分，每部分各有个“好点”， ∵抛物线开口向下，对称轴为轴， 故点，，在抛物线的下方，点，，在抛物线的上方， 当时，，此时点在点的上方，即， ∴， 当时，，此时点在点的上方，即， ∴， 故当时，点，，在抛物线的下方． 当时，，此时点在点的下方，即， ∴， 当时，，此时点在点的下方，即， ∴， 故当时，点，，在抛物线的上方； 即当时，抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分． 【点睛】本题考查了二次函数上点的坐标特征，待定系数法求抛物线的解析式，矩形的性质，中点坐标，二次函数的性质等，熟练掌握在抛物线上方和下方的点的坐标特征是解题的关键． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．D 2．D 3．C 4．B 5．C 6．C 7．B 8．且 9． 10． 11．(1)①，；②或 (2) (3) 考点06 实际问题与二次函数 1．C 2．A 3．C 4．##米 5． 6．(1)， (2) (3)不会碰到水柱． 理由：当时，， ， ∴不会碰到水柱． 7．【答案】(1) (2)米 【分析】此题考查了求抛物线的解析式，二次函数的应用，正确理解题意得到为是解题的关键． （1）由抛物线对称性可知，为，设解析式为，将点B坐标代入求出a即可． （2）根据题意得出点C、D的纵坐标为，代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线对称性可知，为， ∵抛物线顶点在原点， ∴设解析式为，把代⼊得： ∴， ∴． （2）∵水位上升就达到警戒线的位置， ∴点C、D的纵坐标为， 当时， ， 解得：， ∴， ∴米． 8．【答案】(1)能 (2)，9 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是根据矩形的周长和面积公式建立函数关系，再利用二次函数的性质求解． （1）根据矩形周长求出宽，结合面积公式列方程，判断方程是否有实数解； （2）根据矩形面积公式建立函数关系式，再通过二次函数的性质求面积最大值． 【详解】（1）解：能，理由如下： 设矩形的长为，则宽为． 根据题意可得： 解得． 当时，宽为；当时，宽为，均符合矩形长和宽的实际意义， 能围成面积为的矩形； （2）解：矩形面积公式，． 矩形的长，宽， ， 即函数关系式为． 当时，面积的最大值为9． 答：与的函数关系式为，面积最大值为9． 9．【答案】(1)关于的函数解析式为； (2)该商家将售价定为元时，才能使每天获得的利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设关于的函数解析式为，将点，代入，得，然后解方程组即可； （）设该商家每天获得的利润为元，根据题意得，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 将点，代入，得， 解得， ∴关于的函数解析式为； （2）解：设该商家每天获得的利润为元， 根据题意得 ， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为元， 答：该商家将售价定为元时，才能使每天获得的利润最大，最大利润是元． 10．【答案】(1) (2)商品涨价元时，商家每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，运用方程思想和二次函数性质是解题的关键． （1）通过设降价百分率列一元二次方程求解； （2）设商品涨价元，根据题意列出与的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为． 根据题意得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：每次降价的百分率为； （2）设商品涨价元，则每千克盈利元，日销量为千克． 根据题意得，， 因为， 所以当时，有最大值， 答：商品涨价元时，商家每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是元． 11．【答案】(1)①所利用旧墙的长为10米；②矩形菜园面积的最大值为800平方米 (2)a的最小值为50 【分析】（1）①设米，因为另三边一共用了100米木栏，所以米，而米，已知矩形菜园的面积为450平方米，根据矩形面积公式，可列出方程，求解该方程得到x的值，再根据求出的长，同时要结合对结果进行检验； ②设米，则米，根据矩形面积公式可得面积，因为二次项系数，所以该函数图象开口向下，在顶点处取得最大值，又因为，即，而函数在上单调递增，所以当时，S取得最大值； （2）设米，则米，根据矩形面积公式可得面积，已知矩形菜园的面积是1250平方米，可列出方程，求解该方程得到x的值，因为，所以a要大于等于x的最大值，从而得到a的最小值． 【详解】（1）解：①设米，则米， 由题意得，，解得，， 当时，，不合题意舍去； 当时，， 即的长为10米． ②设米，则米， ∴， 当时，则时，S的最大值为1250平方米， 当时，则当时，S随x的增大而增大， ∴当时，S的最大值为（平方米）， 综上所述，当时，S的最大值为800平方米． （2）解：设米，则米， ∴，整理得：， 解得：， ∵， ∴，即a的最小值为50． 【点睛】本题考查了矩形的周长与面积公式，一元二次方程的求解，二次函数的性质及不等式的应用． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $