专题07 相似（期中真题汇编，河北专用）九年级数学上学期

专题07 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26九年级上·河北保定·期中）下列各组图形中，一定相似的是（　　） A．任意两个正五边形 B．任意两个平行四边形 C．任意两个菱形 D．任意两个矩形 2．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）若，则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，她想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 5．（25-26九年级上·河北保定·期中）某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，则该车车身总长约为（    ）    A．4.14米 B．2.56米 C．6.70米 D．3.82米 6．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）古希腊数学家毕达哥拉斯学派发现，一个点将一线段分为两部分，较长段与全段的比等于较短段与较长段的比（比值约为），这一比例兼具几何美感与数学规律性，这个点被称为这条线段的黄金分割点．如图，上海东方明珠塔的塔身高为，在塔身上装置了下球体、中球体和上球体（太空舱），分别计算位于塔身的，，之间，要使塔身显得非常协调美观．塔身的黄金分割点位于（    ） A．下球体 B．下球体与中球体之间 C．中球体 D．上球体 7．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（   ）． A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）下列说法中正确的是（    ） A．矩形都相似 B．菱形都相似 C．平行四边形都相似 D．正方形都相似 11．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）已知，那么下列四个选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）如图，一块矩形的土地被分成4小块，用来种植4种不同的花卉，其中4块面积分别是，则关于与之间的关系，正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·河北保定·期中）已知，且，则________． 14．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）已知，则__________． 15．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）如图，小提琴的设计中蕴含着数学知识，点是线段的黄金分割点（），若小提琴的总长度为，则琴身的长为_______．（结果保留根号） 16．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）已知，则的值是______________. 17．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）书画经装裱后更便于收藏．如图，画心为长、宽的矩形，装裱后整幅画为矩形，两矩形的对应边互相平行，且与的距离、与的距离都等于当与的距离、与距离都等于，且矩形∽矩形，整幅书画最美观此时，的值为___________ 18．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）线段a、b、c、d成比例，其中，，，则______． 19．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）已知线段满足，且． (1)求线段的长． (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长． 20．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）在比例尺为的地图上量得两地之间的距离为2厘米，则两地之间的实际距离为多少米． 21．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）已知，，求的值． 22．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 3．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（    ） A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5 4．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（   ） A． B． C． D． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）《九章算术》中记载：今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？译文：如图，一座正方形城池北、西边正中，处各开一道门，从点往正北方向走40步刚好有一棵树位于点处，若从点往正西方向走810步到达点处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（    ） A．360步 B．270步 C．180步 D．90步 2．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（   ） A． B． C． D．以上都不对 3．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，在中，是边的中点.按下列步骤尺规作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交线段于点；②以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点；③以点为圆心，的长为半径画弧，交前一条弧于点；④作直线，交线段于点． 嘉嘉：. 淇淇：与的相似比为. 对于嘉嘉和淇淇的看法，下列判断正确的是（   ） A．嘉嘉和淇淇都正确 B．嘉嘉正确，淇淇错误 C．嘉嘉错误，淇淇正确 D．嘉嘉和淇淇都错误 5．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上），则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）如图，中，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）如图，一张锐角三角形纸片，点分别在边上，，，沿将剪开，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）如图，将的边与刻度尺的边缘重合，点，，分别对应刻度尺上的整数刻度，已知，，下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）如图，与的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．则线段的长（    ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连结、，与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）如图，在△ABC中，DE//BC，AD∶DB＝1∶2， 若DE=3，则BC=______． 16．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）图中的两个三角形是否相似，______（填“是”或“否”）. 17．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）如图，已知矩形的顶点分别落在x轴，y轴上，，则点C的坐标是__________． 18．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的说法的对错，小星_______，小红_______，小亮_______．（填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)在（）的条件下，，若，，直接写出的长． 19．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）综合与探究 【问题情境】 如图1，正方形外有一动点是等腰直角三角形，，连接，请探究的位置关系． 【问题解决】 (1)请直接写出的位置关系：__________； (2)将图1中的正方形变为矩形，等腰直角三角形变为，如图2，其中，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 20．（25-26九年级上·河北保定·期中）【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．    (1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 (3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 21．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）如图，在中，，，垂足为D． (1)求证：； (2)已知，，求AD的长． 22．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． (1)若，求的长； (2)如果，求证：． 23．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）已知：如图，在中，，，于点． (1)用尺规作图：在边上找一点，使，并说明理由（保留作图痕迹，不写做法）； (2)求线段的长． 24．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）尺规作图：如图，在正方形中，点为对角线的延长线上一点，连接，请用尺规作图法在上找一点，使得．保留作图痕迹，并说明两三角形相似的理由． 25．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）如图，在中，D是边上一点，且， (1)求证：； (2)若，，的面积为2，求的面积． 26．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，，．求的面积． 27．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）如图，BO 是△ABC 的角平分线，延长 BO 至 D 使得 BC＝CD． （1）求证：△AOB∽△COD． （2）若 AB＝2，BC＝4，OA＝1，求 OC 长． 28．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图 ①中作边上的中线； (2)在图②中作 的角平分线； (3)在图③中的边上找到一点F，使． 29．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）某数学兴趣小组在数学课外活动中研究三角形和矩形性质时，做了如下探究： 在矩形中，点在上，，，． 【观察与猜想】 （1）如图1，连接，过点作，交于点，连接，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，点在矩形的边上（点不与点、重合），连接，过点作，交于点，连接．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，点在矩形的边上（点不与点、重合），连接，过点作，交于点，连接，且的面积是3.84，直接写出长． 30．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）已知，如图1，在矩形中，，点是上一动点，连接，将沿折叠得，设． (1)如图2，当点Q落在上时，求的值； (2)如图3，当时，求点Q到的距离； (3)直接写出点Q到的距离（用含的代数式表示）． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）若两个相似三角形的相似比是，则对应周长的比是（    ） A． B． C． D．25∶4 2．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）两个相似三角形的周长比是，其中较小三角形的面积为，则较大三角形的面积为______． 3．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）如图，在菱形ABCD中，，，动点分别在线段上，且，的最小值为__________． 4．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在中，点D，E分别在边和上，且． （1）若，则等于多少？ （2）若，则，各等于多少？ 5．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）如图，在中，D为上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 6．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）如图，四边形是某学校的一块种植实验基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知． (1)求证：； (2)若蔬菜园的面积为80，求水果园的面积． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）邢窑是河北著名瓷窑，也是我国北方最早烧制白瓷的窑厂.如图，嘉嘉用两根木棍，制成一个测量工具，测量白瓷瓷瓶瓶底内径的长.若两木棍交于点，且，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为，又测得镜子与旗杆底部的距离，已知人的眼睛距离地面的高度为，则旗杆的高度大约是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为________m． 6．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域，预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE之间的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在，上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为______． 7．（25-26九年级上·河北保定·期中）兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得该影子的长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为____________    8．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）某班进行了一次数学实践活动，探索测量校园围墙的高度． (1)如图，小慧组把一根长为米的竹竿斜靠在墙上，量出距竹竿点米的点离地面的高度为米，请你求出墙的垂直高度． (2)如图，小聪组用平面镜来测量另一处墙的高度示意图点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到墙的顶端处，已知、、在同一条直线上，，如果测得米，米，米，请求此处墙的垂直高度． 9．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）小明想测量电线杆的高度，他发现电线杆的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此时测得高的标杆在地面的影长为，求的长度． 10．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米，点M在上，米． (1)求车头盲区的长度； (2)在M处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 11．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）如图，树垂直立在地面上，嘉嘉在时测得树的影子长为，时又测得该树的影子长为，若两次日照的光线互相垂直，求树的高度长．（精确到，参考数据：，，） 考点06 位似 1．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（　　） A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1 2．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）如图，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）如图，在由相同的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，正方形的顶点均在格点（网格线的交点）上，且点的坐标为．以原点为位似中心，把正方形缩小为原来的一半，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（ ） A．1 B．3 C．9 D．27 5．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，是由等腰直角三角形经过位似变换得到的，位似中心在x轴的正半轴上，相似比为，已知，D点的坐标为，则这两个三角形的位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）如图，在的正方形网格中，将以点O为位似中心放大后得到，O、B、D均在格点上，则与的位似比是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河北保定·期中）已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为，． (1)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形； (2)直接写出点的坐标；若点在线段上，点D对应点的坐标为 ． 8．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，与位似，的延长线与的延长线交于点，点和点在线段上． (1)与的位似中心为点__________． (2)若与的位似比为，，求的长． (3)若，，求的度数． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 6．C 7．C 8．B 9．A 10．D 11．C 12．D 13． 14． 15． 16．4 17． 18．1或4或9 19．【答案】(1)线段的长为12，线段的长为3 (2)线段的长为6 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵， 设，， ∵， ∴， ， ，， 线段的长为12，线段的长为3． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为6． 20．【答案】两地之间的实际距离为2000米 【分析】本题考查了比例尺的应用，根据比例尺=图上距离：实际距离，可得实际距离=图上距离÷比例尺，据此列式解答即可． 【详解】解：设实际距离为x厘米， 图上距离：实际距离， ∴， ∴， 200000厘米=2000米， ∴两地之间的实际距离为2000米． 21．【答案】44 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，再代入可求出的值，从而可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 22．【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了比例线段． （1）设，然后用k表示出a、b、c，再代入求解得到k，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解，即可求出线段k的长． 【详解】（1）解：设，则，，， 又∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段k是线段a，b的比例中项， ∴， 解得或（舍去）， ∴线段． 考点02 平行线分线段成比例 1．C 2．A 3．D 4．C 考点03 三角形相似的判定 1．A 2．C 3．C 4．D 5．C 6．D 7．B 8．C 9．C 10．A 11．A 12．D 13．A 14．D 15．9 16．是 17． 18．(1)对，对，错 (2) 证明：选小星说法， ∵，， ∴； 选小红说法， ∵，， ∴； (3)． 19．(1) (2) 解：（1）中的结论仍然成立， 理由如下： 设与交于点，与交于点，如图所示： ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ． 20．(1) (2) 解：成立；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴；    (3)或 21．【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由得到，则，进而得到，再利用两角对应相等判定三角形相似即可； （2）利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 22．【答案】(1) (2) 证明：∵为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，由平行线分线段成比例定理得，继而得到，根据平行四边形性质得，推出，可得结论； （2）根据中点的定义及已知得，由（1）知，推出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接交于点， ∵点和点分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴的长为； （2）略． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点．掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定是解题的关键． 23．【答案】(1) 所求图形如图所示， (2)线段的长为. 【分析】本题考查了尺规作图——作垂直平分线，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）作垂直平分线，然后根据相似三角形的判定方法即可； （）由，，，则，在中，，由（）可知，所以，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：依作图可知：， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 在中，， 由（1）可知， ∴， 即， 解得， ∴线段的长为. 24．【答案】 解：如图，点P即为所求作． 在正方形中，， 又∵， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定、尺规作一个角等于已知角．先根据正方形的性质得到，再利用尺规作一个角等于已知角的步骤作，即可解答． 【详解】略 25．【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴； (2)6 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质． （1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定即可证明，即得出； （2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴的面积． 26．【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)81 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理，证明三角形相似并掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）先由平行线分线段成比例定理得，再结合已知得，即可得出结论； （2）先根据已知结合（1）得，求出，再证明，根据相似三角形的性质得，进而可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 27．【答案】 （1）证明： BO是的角平分线 BC=CD 又 ∽ （2）2． 【详解】试题分析：由BD是∠ABC的角平分线得，再由BC=CD得，所以，又，从而∽； （2）根据∽可求出结果. 试题解析：（1）略 （2） ∽ 又 AB=2，BC=4，OA=1，BC=CD OC=2 28．【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据矩形的对角线互相平分即可得到答案； （2）根据等腰三角形三线合一和勾股定理即可得到答案； （3）根据相似三角形的判定和性质即可作图． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求， （3）如图，点F即为所求， 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是关键． 29．【答案】 （1）证明：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3） 【分析】（1）根据矩形的性质和已知数据，证明，即可推出； （2）根据矩形的性质可得，再通过导角证明，即可证明； （3）过F作于G，根据的面积可得，同（2）可证，推出，进而求出，再利用勾股定理解求出，即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过F作于G， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同（2）可证：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是综合应用上述知识点． 30．【答案】(1) (2) (3)点Q到的距离是 【分析】（1）如图1，在矩形中，，，勾股定理求出，根据折叠可得，则，求出，在中，根据勾股定理即可求解． （2）如图，过点Q作分别交于点，在矩形中，，，根据折叠可得，则四边形是矩形，从而得出，证明，得出，当时，，列出方程，求出，即可解答． （3）设点Q到的距离是，如图，过点Q作分别交于点，在矩形中，，，根据折叠可得，则四边形是矩形，证明，得出，分三种情况：当点在矩形内部时，当点在矩形的边上时，当点在矩形外部时，分别画出图形，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图1，在矩形中，，， ∴， 根据折叠可得， 则， ∴， 在中，， ∴， 解得：． （2）解：如图，过点Q作分别交于点， 在矩形中，，， 根据折叠可得， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ， ， 解得：， 即点Q到的距离是． （3）解：设点Q到的距离是， 如图，过点Q作分别交于点， 在矩形中，，， 根据折叠可得， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在矩形内部时，如图， 则， 同上，解得：， 即点Q到的距离是． 当点在矩形的边上时，如图， 则四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴， 即点Q到的距离是3． 当点在矩形外部时，如图， 同理， ∴， 则， 解得：， 即点Q到的距离是． 综上，点Q到的距离是． 【点睛】该题考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，运用分类讨论思想解答． 考点04 相似三角形的性质 1．A 2．32 3． 4．【答案】（1）；（2），． 【分析】（1）根据平行线的性质，得出，可得，依据题意得出相似三角形的相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出，由图形中的三角形、四边形的关系即可得出面积比； （2）由（1）得：且，可得：，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出三角形的相似比，即：，然后再根据图形中AD、DB、AB之间的关系即可得出答案． 【详解】解：（1）∵DE//BC， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵，由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】题目主要考查相似三角形的相似比及面积比之间的关系，熟练掌握相似三角形的基本性质是解题关键． 5．【答案】(1) 证明：， ； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键． （1）根据两角对应相等证明； （2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ， ， ， ． 6．【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）由，可得，由，，即，可证． （2）由（1）知，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴，即， 解得，， 答：水果园的面积为． 考点05 相似三角形的应用 1．B 2．C 3．B 4．D 5．4 6． 7． 8．【答案】(1)墙的垂直高度为米 (2)墙的垂直高度为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， 答：墙的垂直高度为米； （2），， ， ， ， ， ， ， 答：墙的垂直高度为米． 9．【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，勾股定理，的直角三角形，作出两条辅助线构造出2个直角三角形是解决本题的关键．利用直角三角形的性质可得的长，也就求得了的长；由已知可得与影长构成的三角形和标杆与影长构成的三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例可得的长． 【详解】解：作于点，于点． 则四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ． 同一时刻的光线是平行的，水平线是平行的， 光线与水平线的夹角相等， 又标杆与影长构成的角为直角，与构成的角为直角， 与影长构成的三角形和标杆与影长构成的三角形相似， ， 解得， ． 答：的长为． 10．【答案】(1) (2) 解：不能； 如图所示，过点M作交AF于点N， 所以，，， ∵，， ∴， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以驾驶员不能观察到物体． 【分析】本题考查相似三角形的应用、 （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）过点M作交AF于点N，证明，根据相似三角形的性质求得，进而与实际高度比较可得结论． 【详解】（1）解：根据题意，，，，， 所以，， 所以， 所以，又， 所以， 解得，， 检验，当时，原方程的分母不为零， 所以， 所以； （2）略 11．【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等角的余角相等，直角三角形两个锐角互余，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．由两次日照的光线互相垂直、树垂直于地面得出，推得，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴（负值舍去）， 树的高度长为． 考点06 位似 1．A 2．A 3．D 4．C 5．A 6．A 7．(1) 如图所示： (2)， 8．(1)O (2) (3) 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26九年级上·河北保定·期中）下列各组图形中，一定相似的是（　　） A．任意两个正五边形 B．任意两个平行四边形 C．任意两个菱形 D．任意两个矩形 【答案】A 【分析】根据相似多边形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、任意两个正五边形对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，符合题意； B、任意两个平行四边形对应角不一定相等，对应边的比也不一定相等，故不一定相似，不符合题意， C、任意两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似； D、任意两个矩形对应边的比不一定相等，故不一定相似； 故选：A 【点睛】本题考查的是相似多边形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键． 2．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）若，则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用比例的基本性质，把每一个选项中的比例式化成等积式即可解答． 【详解】解：A．因为，所以，故A符合题意； B．因为，所以，故B不符合题意； C．因为，所以，故C不符合题意； D．因为，所以，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 3．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，她想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得：． 故选：D． 4．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查比例线段的概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等． 由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解： A．，这四条线段不成比例，故不符合题意； B．，这四条线段成比例；符合题意； C．，这四条线段不成比例，故不符合题意； D．，这四条线段不成比例，故不符合题意； 故选：B． 5．（25-26九年级上·河北保定·期中）某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，则该车车身总长约为（    ）    A．4.14米 B．2.56米 C．6.70米 D．3.82米 【答案】A 【分析】设整个车身长为，点C表示倒车镜位置，根据黄金分割确定的长，继而确定车身长，对照选项判断即可． 【详解】解：如图，设整个车身长为，点C表示倒车镜位置，    根据题意，米， ∴米， ∴车长米， 故选A． 【点睛】本题考查了线段的黄金分割点，准确理解黄金分割点的意义并正确计算是解题的关键． 6．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）古希腊数学家毕达哥拉斯学派发现，一个点将一线段分为两部分，较长段与全段的比等于较短段与较长段的比（比值约为），这一比例兼具几何美感与数学规律性，这个点被称为这条线段的黄金分割点．如图，上海东方明珠塔的塔身高为，在塔身上装置了下球体、中球体和上球体（太空舱），分别计算位于塔身的，，之间，要使塔身显得非常协调美观．塔身的黄金分割点位于（    ） A．下球体 B．下球体与中球体之间 C．中球体 D．上球体 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割的概念，熟练掌握黄金分割的比值并计算对应长度是解题的关键．根据黄金分割的定义，先计算塔身高度的黄金分割点对应的长度，再判断该长度所在的区间，从而确定位置． 【详解】解：∵ 黄金分割比值约为，塔身高度为， ∴ 黄金分割点对应的长度为． ∵ ，此区间对应中球体的位置， ∴ 塔身的黄金分割点位于中球体． 故选：C． 7．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得： 故选：C． 8．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为得到，据此求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵点P是的黄金分割点（）， ∴， ∵长为， ∴， ∴， 故选：B． 9．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，， ∴， ∵的长度为， ∴， ∴， ∴的长度是， 故选：A． 10．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）下列说法中正确的是（    ） A．矩形都相似 B．菱形都相似 C．平行四边形都相似 D．正方形都相似 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似多边形的判定，利用相似多边形的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、所有的矩形的对应角相等但对应边不一定成比例，故不相似，不符合题意； B、所有的菱形的对应边成比例但对应角不一定相等，故不相似，不符合题意； C、所有的平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，故不相似，不符合题意； D、所有的正方形的对应角相等，对应边成比例，相似，符合题意； 故选：D． 11．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）已知，那么下列四个选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质及变形． 根据比例的性质，对每个选项逐一分析，判断其是否正确． 【详解】解：已知，设（为常数，）， A、只是时的特殊情况，并非一定成立，所以A错误，不符合题意； B、不一定等于1，所以B错误，不符合题意； C、，所以，C正确，符合题意； D、，所以D错误，不符合题意； 故选：C． 12．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）如图，一块矩形的土地被分成4小块，用来种植4种不同的花卉，其中4块面积分别是，则关于与之间的关系，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的面积以及比例的应用，通过矩形分割后，利用同宽或同长的面积比等于长度比或宽度比的原理，建立比例关系求解． 【详解】解：如下图， 根据题意，， ∵左上与右上同宽， ∴面积比等于长度比：， ∵左下与右下同宽， ∴面积比等于长度比： ∴， ∴， ∴． 故选：D． 13．（25-26九年级上·河北保定·期中）已知，且，则________． 【答案】 【分析】本题考查等比性质的应用，若，且，则，熟练掌握等比性质是解题关键. 【详解】解：设，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）已知，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值． 将所求分式拆分为两个分式之和，利用已知条件代入计算． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）如图，小提琴的设计中蕴含着数学知识，点是线段的黄金分割点（），若小提琴的总长度为，则琴身的长为_______．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割比例是解题的关键． 根据黄金分割点的定义，利用黄金分割比例公式计算的长度． 【详解】∵点是线段的黄金分割点（）， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 16．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）已知，则的值是______________. 【答案】4 【分析】根据题意表示出x，y的值，进而代入求出答案． 【详解】∵，∴设x=2a，则y=3a，∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了比例的性质，正确表示出x，y的值是解题的关键． 17．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）书画经装裱后更便于收藏．如图，画心为长、宽的矩形，装裱后整幅画为矩形，两矩形的对应边互相平行，且与的距离、与的距离都等于当与的距离、与距离都等于，且矩形∽矩形，整幅书画最美观此时，的值为___________ 【答案】 【详解】解：由题意，，，， ∵矩形∽矩形， ∴， ∴ ， 解得， 【点睛】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 18．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）线段a、b、c、d成比例，其中，，，则______． 【答案】1或4或9 【分析】本题主要考查了比例线段．解题的关键是熟练掌握比例线段的定义．由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可求得a的值．比例线段的定义是在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 【详解】解：∵四条线段a、b、c、d成比例， 或或， ∴或或， ∵，，， ∴或或， 解得：或或； 故答案为：1或4或9． 19．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）已知线段满足，且． (1)求线段的长． (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)线段的长为12，线段的长为3 (2)线段的长为6 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵， 设，， ∵， ∴， ， ，， 线段的长为12，线段的长为3． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为6． 20．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）在比例尺为的地图上量得两地之间的距离为2厘米，则两地之间的实际距离为多少米． 【答案】两地之间的实际距离为2000米 【分析】本题考查了比例尺的应用，根据比例尺=图上距离：实际距离，可得实际距离=图上距离÷比例尺，据此列式解答即可． 【详解】解：设实际距离为x厘米， 图上距离：实际距离， ∴， ∴， 200000厘米=2000米， ∴两地之间的实际距离为2000米． 21．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）已知，，求的值． 【答案】44 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，再代入可求出的值，从而可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 22．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了比例线段． （1）设，然后用k表示出a、b、c，再代入求解得到k，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解，即可求出线段k的长． 【详解】（1）解：设，则，，， 又∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段k是线段a，b的比例中项， ∴， 解得或（舍去）， ∴线段． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，掌握知识点是解题的关键． 根据平行线等分定理列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题意可得到，求出的长，再根据即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 3．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（    ） A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5 【答案】D 【分析】过点 D 作 DF∥CA 交 BE 于 F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由 DF∥CE 得到==，则 CE=DF，由 DF∥AE 得到==，则 AE=4DF， 然后计算的值． 【详解】如图，过点 D作 DF∥CA 交 BE于 F， ∵DF∥CE， ∴=， 而 BD：DC=2：3，BC=BD +CD， ∴=，则 CE=DF， ∵DF∥AE， ∴=， ∵AG：GD=4：1， ∴=，则 AE=4DF， ∴=， 故选D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，熟练掌握相关知识是解题的关键. 4．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键． 先根据平行线等分线段定理列比例式求得，再运用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵， ，即，解得：． ． 故选C． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）《九章算术》中记载：今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？译文：如图，一座正方形城池北、西边正中，处各开一道门，从点往正北方向走40步刚好有一棵树位于点处，若从点往正西方向走810步到达点处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（    ） A．360步 B．270步 C．180步 D．90步 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质得出，再根据相似三角形的判定与性质得出，然后求解即可． 【详解】设正方形城池的边长为步 则 即 或（不符实际，舍去） 即正方形城池的边长为360步 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，依据题意，找出两个相似三角形是解题关键． 2．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】该题主要考查了尺规作相等角、相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定． 根据作图可知，即可证明． 【详解】解：根据作图可知， 又， ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意． 故选：C． 4．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，在中，是边的中点.按下列步骤尺规作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交线段于点；②以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点；③以点为圆心，的长为半径画弧，交前一条弧于点；④作直线，交线段于点． 嘉嘉：. 淇淇：与的相似比为. 对于嘉嘉和淇淇的看法，下列判断正确的是（   ） A．嘉嘉和淇淇都正确 B．嘉嘉正确，淇淇错误 C．嘉嘉错误，淇淇正确 D．嘉嘉和淇淇都错误 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由作图过程可得，得出，从而证明判定嘉嘉说法错误；再根据对应边之比是，其值大小不确定确定淇淇说法错误即可． 【详解】解：由作图过程可得，， ， ，即，故嘉嘉说法错误； 与的对应边之比为，其值大小不确定，故淇淇说法错误； 故选：D． 5．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上），则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，配方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合图1和图2，得，再证明，故，最后运用配方法解得，即可作答． 【详解】解：∵将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上）， ∴，， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ 即， ∴， 整理得 ∴ 解得（舍去），， 故选：C 6．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 7．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．本题先根据，得出，再根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：， ， A、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意； B、添加，无法判定，故本选项符合题意； C、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； D、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； 故选：B． 8．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）如图，中，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意． 故选：C． 9．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】试题分析：由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数． 解：∵AB⊥BC， ∴∠B=90°． ∵AD∥BC， ∴∠A=180°﹣∠B=90°， ∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4， 设AP的长为x，则BP长为8﹣x． 若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况： ①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8﹣x）=3：4，解得x=； ②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8﹣x），解得x=2或x=6． ∴满足条件的点P的个数是3个， 故选C． 考点：相似三角形的判定；直角梯形． 10．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）如图，一张锐角三角形纸片，点分别在边上，，，沿将剪开，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质解答即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键. 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：. 11．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）如图，将的边与刻度尺的边缘重合，点，，分别对应刻度尺上的整数刻度，已知，，下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，列出比例式，分别计算出线段，，，的长度，对每个选项进行判断即可得出结论． 【详解】解：由题意得：，，． ， 四边形为平行四边形， ，， ∵， ∽， ， ， ， ， A选项不正确，符合题意；B选项正确，不符合题意； ， C选项正确，不符合题意； ， D选项的结论正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 12．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）如图，与的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用三边成比例的两个三角形相似证明，然后利用相似三角形的性质可得，即可解答． 【详解】解：由题意，得，，，，， ，，， ， ， ． 故选：D． 13．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．则线段的长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交延长线于点，过点作于点，可证四边形是矩形，得，，由得，利用相似比求出长，由及可证，设，则，，在中，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：如图，延长交延长线于点，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 在中，， ∴， 解得：，即． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形判定及性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形判定及性质，勾股定理，作辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键． 14．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连结、，与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由正方形的性质得出，，由等边三角形的性质得出，，进而得出，即可判断选项①；由等腰三角形的性质得出，由正方形对角线的性质得出，得，得出，由平行线的性质得出，得出，即可判断选项②；证明，由相似三角形的性质即可判断选项③；利用含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系求出与的数量关系从而判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，，，，， ∴，，， ∴，， ∴结论①正确； ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴结论②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴结论③正确； 在中，，则：， ∴， 在中，，则，， ∴， ∴， ∴；故④正确 ∴正确的是①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键． 15．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）如图，在△ABC中，DE//BC，AD∶DB＝1∶2， 若DE=3，则BC=______． 【答案】9 【分析】根据题意，先求证△ADE∽△ABC，因为相似三角形的对应边的比等于相似比．根据题意求出两个三角形的相似比，再由DE的长和对应关系可求出BC． 【详解】解：∵AD：DB=1：2 ∴， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC ∴ ∵DE=3， ∴BC=9 故答案为：9． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质．找到BC对的应边和确定两个三角形的相似比是解决本题的关键．解决本题的过程中，易弄错两个三角形的相似比． 16．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）图中的两个三角形是否相似，______（填“是”或“否”）. 【答案】是 【分析】先根据三角形的内角和定理求得第一个三角形的第三个内角的度数，根据相似三角形的判定即可解答． 【详解】解：如图，第一个三角形的第三个内角的度数为， 根据有两个角对应相等的两个三角形相似得这两个三角形相似， 故答案为：是 【点睛】本题考查相似三角形的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键． 17．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）如图，已知矩形的顶点分别落在x轴，y轴上，，则点C的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．过作轴于，根据矩形的性质得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，，即可求解． 【详解】解：过作轴于， 四边形是矩形． 故答案为：． 18．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的说法的对错，小星_______，小红_______，小亮_______．（填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)在（）的条件下，，若，，直接写出的长． 【答案】(1)对，对，错 (2) 证明：选小星说法， ∵，， ∴； 选小红说法， ∵，， ∴； (3)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （）根据相似三角形的判定方法即可求证； （）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星说法对；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的说法对；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的说法错； 故答案为：对，对，错； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）综合与探究 【问题情境】 如图1，正方形外有一动点是等腰直角三角形，，连接，请探究的位置关系． 【问题解决】 (1)请直接写出的位置关系：__________； (2)将图1中的正方形变为矩形，等腰直角三角形变为，如图2，其中，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：（1）中的结论仍然成立， 理由如下： 设与交于点，与交于点，如图所示： ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）设与交于点，与交于点，由四边形是正方形，则，由是等腰直角三角形，所以，证明，得出，进而证明； （2）设与交于点，与交于点，先由角度和差证明，从而可证，再由相似三角形的性质可得，然后通过角度和差即可求解． 【详解】（1）解：， 理由如下： 设与交于点，与交于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 【点睛】本题考查四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 20．（25-26九年级上·河北保定·期中）【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．    (1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 (3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】(1) (2) 解：成立；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴；    (3)或 【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； 故答案为：．    （2）略 （3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示：    设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 当点D在线段上时，连接，如图所示：    设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论． 21．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）如图，在中，，，垂足为D． (1)求证：； (2)已知，，求AD的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由得到，则，进而得到，再利用两角对应相等判定三角形相似即可； （2）利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 22．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． (1)若，求的长； (2)如果，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：∵为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，由平行线分线段成比例定理得，继而得到，根据平行四边形性质得，推出，可得结论； （2）根据中点的定义及已知得，由（1）知，推出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接交于点， ∵点和点分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴的长为； （2）略． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点．掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定是解题的关键． 23．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）已知：如图，在中，，，于点． (1)用尺规作图：在边上找一点，使，并说明理由（保留作图痕迹，不写做法）； (2)求线段的长． 【答案】(1) 所求图形如图所示， (2)线段的长为. 【分析】本题考查了尺规作图——作垂直平分线，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）作垂直平分线，然后根据相似三角形的判定方法即可； （）由，，，则，在中，，由（）可知，所以，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：依作图可知：， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 在中，， 由（1）可知， ∴， 即， 解得， ∴线段的长为. 24．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）尺规作图：如图，在正方形中，点为对角线的延长线上一点，连接，请用尺规作图法在上找一点，使得．保留作图痕迹，并说明两三角形相似的理由． 【答案】 解：如图，点P即为所求作． 在正方形中，， 又∵， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定、尺规作一个角等于已知角．先根据正方形的性质得到，再利用尺规作一个角等于已知角的步骤作，即可解答． 【详解】略 25．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）如图，在中，D是边上一点，且， (1)求证：； (2)若，，的面积为2，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴； (2)6 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质． （1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定即可证明，即得出； （2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴的面积． 26．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，，．求的面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)81 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理，证明三角形相似并掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）先由平行线分线段成比例定理得，再结合已知得，即可得出结论； （2）先根据已知结合（1）得，求出，再证明，根据相似三角形的性质得，进而可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 27．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）如图，BO 是△ABC 的角平分线，延长 BO 至 D 使得 BC＝CD． （1）求证：△AOB∽△COD． （2）若 AB＝2，BC＝4，OA＝1，求 OC 长． 【答案】 （1）证明： BO是的角平分线 BC=CD 又 ∽ （2）2． 【详解】试题分析：由BD是∠ABC的角平分线得，再由BC=CD得，所以，又，从而∽； （2）根据∽可求出结果. 试题解析：（1）略 （2） ∽ 又 AB=2，BC=4，OA=1，BC=CD OC=2 28．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图 ①中作边上的中线； (2)在图②中作 的角平分线； (3)在图③中的边上找到一点F，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据矩形的对角线互相平分即可得到答案； （2）根据等腰三角形三线合一和勾股定理即可得到答案； （3）根据相似三角形的判定和性质即可作图． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求， （3）如图，点F即为所求， 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是关键． 29．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）某数学兴趣小组在数学课外活动中研究三角形和矩形性质时，做了如下探究： 在矩形中，点在上，，，． 【观察与猜想】 （1）如图1，连接，过点作，交于点，连接，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，点在矩形的边上（点不与点、重合），连接，过点作，交于点，连接．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，点在矩形的边上（点不与点、重合），连接，过点作，交于点，连接，且的面积是3.84，直接写出长． 【答案】 （1）证明：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3） 【分析】（1）根据矩形的性质和已知数据，证明，即可推出； （2）根据矩形的性质可得，再通过导角证明，即可证明； （3）过F作于G，根据的面积可得，同（2）可证，推出，进而求出，再利用勾股定理解求出，即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过F作于G， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同（2）可证：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是综合应用上述知识点． 30．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）已知，如图1，在矩形中，，点是上一动点，连接，将沿折叠得，设． (1)如图2，当点Q落在上时，求的值； (2)如图3，当时，求点Q到的距离； (3)直接写出点Q到的距离（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)点Q到的距离是 【分析】（1）如图1，在矩形中，，，勾股定理求出，根据折叠可得，则，求出，在中，根据勾股定理即可求解． （2）如图，过点Q作分别交于点，在矩形中，，，根据折叠可得，则四边形是矩形，从而得出，证明，得出，当时，，列出方程，求出，即可解答． （3）设点Q到的距离是，如图，过点Q作分别交于点，在矩形中，，，根据折叠可得，则四边形是矩形，证明，得出，分三种情况：当点在矩形内部时，当点在矩形的边上时，当点在矩形外部时，分别画出图形，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图1，在矩形中，，， ∴， 根据折叠可得， 则， ∴， 在中，， ∴， 解得：． （2）解：如图，过点Q作分别交于点， 在矩形中，，， 根据折叠可得， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ， ， 解得：， 即点Q到的距离是． （3）解：设点Q到的距离是， 如图，过点Q作分别交于点， 在矩形中，，， 根据折叠可得， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在矩形内部时，如图， 则， 同上，解得：， 即点Q到的距离是． 当点在矩形的边上时，如图， 则四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴， 即点Q到的距离是3． 当点在矩形外部时，如图， 同理， ∴， 则， 解得：， 即点Q到的距离是． 综上，点Q到的距离是． 【点睛】该题考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，运用分类讨论思想解答． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）若两个相似三角形的相似比是，则对应周长的比是（    ） A． B． C． D．25∶4 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．相似三角形的周长比等于相似比． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴对应周长的比也为． 故选：A． 2．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）两个相似三角形的周长比是，其中较小三角形的面积为，则较大三角形的面积为______． 【答案】32 【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方进行求解即可 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是， ∴这两个相似三角形的相似比是， ∴这两个相似三角形的面积比是， ∵较小三角形的面积为， ∴较大的三角形面积为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 3．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）如图，在菱形ABCD中，，，动点分别在线段上，且，的最小值为__________． 【答案】 【分析】连接，过点作于，先证明、都是等边三角形，得到，进而证明得到，进一步证明是等边三角形，得到，则当与重合时，此时最小，即最小，最小值为，利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴、都是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当与重合时，此时最小，即最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及最小值等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 4．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在中，点D，E分别在边和上，且． （1）若，则等于多少？ （2）若，则，各等于多少？ 【答案】（1）；（2），． 【分析】（1）根据平行线的性质，得出，可得，依据题意得出相似三角形的相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出，由图形中的三角形、四边形的关系即可得出面积比； （2）由（1）得：且，可得：，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出三角形的相似比，即：，然后再根据图形中AD、DB、AB之间的关系即可得出答案． 【详解】解：（1）∵DE//BC， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵，由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】题目主要考查相似三角形的相似比及面积比之间的关系，熟练掌握相似三角形的基本性质是解题关键． 5．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）如图，在中，D为上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：， ； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键． （1）根据两角对应相等证明； （2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ， ， ， ． 6．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）如图，四边形是某学校的一块种植实验基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知． (1)求证：； (2)若蔬菜园的面积为80，求水果园的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）由，可得，由，，即，可证． （2）由（1）知，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴，即， 解得，， 答：水果园的面积为． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）邢窑是河北著名瓷窑，也是我国北方最早烧制白瓷的窑厂.如图，嘉嘉用两根木棍，制成一个测量工具，测量白瓷瓷瓶瓶底内径的长.若两木棍交于点，且，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由可得，进而根据相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 4．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为，又测得镜子与旗杆底部的距离，已知人的眼睛距离地面的高度为，则旗杆的高度大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形应用．根据题意可得，可证得，再由，代入即可求解． 【详解】解：如图： 根据光的反射定律得：， 又∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴. 故选：D. 5．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为________m． 【答案】4 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 【详解】解：作，，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：4． 6．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域，预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE之间的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在，上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为______． 【答案】 【分析】过点P作于点N，交AF于点根据求解即可． 本题考查视点、视角和盲区，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题． 【详解】解：如图，过点P作于点N，交AF于点 ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ∴， ， ， 答：汽车盲区的长度为， 故答案为： 7．（25-26九年级上·河北保定·期中）兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得该影子的长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为____________    【答案】 【分析】现根据题意画出几何图形，延长交于，，，，易得，，再根据在同一时刻物高与影长的比相等，得到，从而可以算出，然后计算即可． 【详解】解：如图，表示树高，表示树在地上的影长，表示树在台阶上的影长，为第一级台阶的高，延长交于，，，，易得为矩形， ，， ， ， ， ， 故答案为：．    【点睛】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等，熟练画出几何模型是解题的关键． 8．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）某班进行了一次数学实践活动，探索测量校园围墙的高度． (1)如图，小慧组把一根长为米的竹竿斜靠在墙上，量出距竹竿点米的点离地面的高度为米，请你求出墙的垂直高度． (2)如图，小聪组用平面镜来测量另一处墙的高度示意图点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到墙的顶端处，已知、、在同一条直线上，，如果测得米，米，米，请求此处墙的垂直高度． 【答案】(1)墙的垂直高度为米 (2)墙的垂直高度为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， 答：墙的垂直高度为米； （2），， ， ， ， ， ， ， 答：墙的垂直高度为米． 9．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）小明想测量电线杆的高度，他发现电线杆的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此时测得高的标杆在地面的影长为，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，勾股定理，的直角三角形，作出两条辅助线构造出2个直角三角形是解决本题的关键．利用直角三角形的性质可得的长，也就求得了的长；由已知可得与影长构成的三角形和标杆与影长构成的三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例可得的长． 【详解】解：作于点，于点． 则四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ． 同一时刻的光线是平行的，水平线是平行的， 光线与水平线的夹角相等， 又标杆与影长构成的角为直角，与构成的角为直角， 与影长构成的三角形和标杆与影长构成的三角形相似， ， 解得， ． 答：的长为． 10．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米，点M在上，米． (1)求车头盲区的长度； (2)在M处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：不能； 如图所示，过点M作交AF于点N， 所以，，， ∵，， ∴， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以驾驶员不能观察到物体． 【分析】本题考查相似三角形的应用、 （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）过点M作交AF于点N，证明，根据相似三角形的性质求得，进而与实际高度比较可得结论． 【详解】（1）解：根据题意，，，，， 所以，， 所以， 所以，又， 所以， 解得，， 检验，当时，原方程的分母不为零， 所以， 所以； （2）略 11．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）如图，树垂直立在地面上，嘉嘉在时测得树的影子长为，时又测得该树的影子长为，若两次日照的光线互相垂直，求树的高度长．（精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等角的余角相等，直角三角形两个锐角互余，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．由两次日照的光线互相垂直、树垂直于地面得出，推得，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴（负值舍去）， 树的高度长为． 考点06 位似 1．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（　　） A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1 【答案】A 【分析】根据位似图形的概念得到△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，根据△OA′B′∽△OAB，求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵△A′B′C′与△ABC是位似图形， ∴△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB， ∴△OA′B′∽△OAB， ∴， ∴△A′B'C′与△ABC的面积比为1：4， 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 2．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）如图，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的位似中心，结合与是位似图形，故连接，它们都经过点，即可作答． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴连接，它们都经过点，如图所示： 即位似中心为点， 故选：A． 3．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）如图，在由相同的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，正方形的顶点均在格点（网格线的交点）上，且点的坐标为．以原点为位似中心，把正方形缩小为原来的一半，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．先根据网格特点求出点的坐标，根据以原点为位似中心的位似图形的性质计算即可． 【详解】解：∵正方形的顶点均在格点（网格线的交点）上，且点的坐标为， ∴根据网格可知：点的坐标为， 以原点为位似中心，把正方形缩小为原来的一半， 点的对应点的坐标是或，即或， 故选：D． 4．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（ ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换、相似多边形的性质、相似三角形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．根据位似图形的概念得到四边形，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，， ， ， ∴四边形的周长四边形周长， ∵四边形的周长是3， ∴四边形的周长是9， 故选：C． 5．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，是由等腰直角三角形经过位似变换得到的，位似中心在x轴的正半轴上，相似比为，已知，D点的坐标为，则这两个三角形的位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似的性质，待定系数法求一次函数解析式，掌握位似中心是由位似图形的对应顶点的连线的交点是解答本题的关键． 先确定G点的坐标，再结合D点坐标和位似比为，求出A点的坐标；然后再求出直线的解析式，直线与x的交点坐标，即为这两个三角形的位似中心的坐标． 【详解】解：∵是由等腰直角三角形经过位似变换得到的， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ∴G点的坐标分别为 ∵D点坐标为，位似比为， ∴A点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴直线与x的交点坐标为， ∴位似中心的坐标是． 故选：A． 6．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）如图，在的正方形网格中，将以点O为位似中心放大后得到，O、B、D均在格点上，则与的位似比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求位似比，勾股定理，相似三角形的性质，由网格求出，，得到，由题意可得：，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由网格可得：，， ∴， 由题意可得：， ∴与的相似比为：， ∴与的位似比为：， 故选：A． 7．（25-26九年级上·河北保定·期中）已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为，． (1)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形； (2)直接写出点的坐标；若点在线段上，点D对应点的坐标为 ． 【答案】(1) 如图所示： (2)， 【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似比与坐标的关系是解题的关键． （1）根据位似图形的性质得出、，再顺次连接即可； （2）利用（1）中位似比得出对应点坐标关系即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得：， 点在线段上，点D对应点的坐标为． 8．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，与位似，的延长线与的延长线交于点，点和点在线段上． (1)与的位似中心为点__________． (2)若与的位似比为，，求的长． (3)若，，求的度数． 【答案】(1)O (2) (3) 【分析】本题考查位似变换的概念、相似三角形的判定与性质，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）由图形结合位似图形定义直接得出结论； （2）由与的位似比为，可得，再求的长即可； （3）根据位似图形的性质先求出的度数，再根据三角形外角的性质求出结论即可． 【详解】（1）解：与的位似中心为点O； （2）解：与的位似比为，， ， ； （3）解：∵与位似，， ， ， ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $