专题01 一元二次方程（期中真题汇编，河北专用）九年级数学上学期

专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）关于x的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（   ） A．3，，2 B．3，，2 C．3，5x， D．3，， 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的标准形式，需先将方程化为的形式，再确定系数即可得出答案． 【详解】解：原方程为， 移项得， ∴二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2， 故选：A． 2．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别．本题根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：A、当时，是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项符合题意； C、变形为不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B 3．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）下列关于的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的判断， 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 【详解】解：选项A：若，则方程变为，不是二次方程，故不一定是一元二次方程； 选项B：方程中含有未知数y，不是一元方程； 选项C：方程中含有分式，不是整式方程； 选项D：方程只含未知数x，最高次数为2，且为整式方程，符合定义． ∴故选：D． 4．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案： 【详解】A、，是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、，是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、，是一元二次方程，故此选项符合题意；     D、，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 5．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐一判断即可．一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、不是整式方程，故该选项不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项符合题意； D、不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C 6．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式及定义条件． 根据一元二次方程的定义，其一般形式为是常数且，据此分析的取值范围． 【详解】解：在方程中，要使其为一元二次方程，二次项系数不能为0，即． 故选：A． 7．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）下列方程，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； B、，满足一元二次方程的定义，故该选项是正确的； C、不是整式方程，则不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； D、，含有一个未知数x，未知数的最高次数是1，故该选项是错误的； 故选：B． 8．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）关于x的一元二次方程，则处可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义 方程是关于的一元二次方程，因此必须为的二次项，且系数不为零． 【详解】解：∵一元二次方程的标准形式为（）， ∴必须为的二次项，且系数不为零． 只有D符合要求． 故选：D． 9．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）将一元二次方程化成一般形式，可得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了化为一元二次方程的一般式．将方程展开并移项，化为一元二次方程的一般形式，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 即， 故选：C． 10．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，其一般形式是（））是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，据此列方程和不等式求解的值． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且． 由，得． 由，得． ∴． 故选：． 11．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述正确的是 （    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，关键是理解一元二次方程的定义，正确求出二次项系数，一次项系数和常数项．先化为一般式，再根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， ，，， 故选：． 12．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）若关于x的方程（）的一个根是，则的值是（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】此题考查一元二次方程根的定义，根据定义的是关键．将根代入方程，得到 ，然后整体代入所求表达式即可． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选 C． 13．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） 0 1 2 3 ... ... A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查列表法求一元二次方程的解，将方程变形为 ，从表格中找出使该式值为6的x值，即为方程的解． 【详解】解：∵ 可化为 ， 由表可知，当 或 时，， ∴ 方程的解为 或 ． 故选：D． 14．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）若是一元二次方程，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D．1或 【答案】B 【分析】本题考查根据一元二次方程的定义求参数，根据一元二次方程的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∴； 故选：B． 15．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）下列关于的方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一分析各选项即可得出答案． 【详解】解：A、若，不是一元二次方程，不符合题意； B、方程含有分式，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、方程化简得，未知数最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程化简得，是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 16．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）已知一元二次方程有一个根是2，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中计算求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根是2， ∴， ∴， 故选：B． 17．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）若为一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及代数式的化简求值，熟练掌握方程根的定义并对代数式进行合理变形是解题的关键． 利用一元二次方程的根的定义，得出的值，再对所求分式进行化简，通过变形求出分母的值，进而得出分式的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴，则， ∴ ， ∴． 故选：． 18．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）若关于的一元二次方程有一个根为1，则实数的值为______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一元一次方程的求解，将代入方程得关于k的方程，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为1， 故将代入，得， 解得：． 故答案为：1． 19．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为______． 【答案】7 【分析】把代入方程，列出关于a的方程，通过解该方程可以求得a的值． 【详解】解：把代入可得， 解得， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 20．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）若关于的方程的一个根是2，则_______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根，代数式求值．将根代入方程，得到关于和的等式，然后求解的值． 【详解】解： 是方程的一个根， 代入得：， 即， 整理得：， 两边同时除以 2：， 故答案为：． 21．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴． 故答案为：． 22．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）若关于x的方程的一个根是，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查一元二次方程的解，将已知根代入原方程，得到关于的方程，解出的值即可． 【详解】解：把代入方程， 得，即， ，解得． 故的值为或． 故答案为：或． 23．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为_______． 【答案】15 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵ m是方程的一个根， ， ， ∴ 故答案为：15． 考点02 配方法 1．（25-26九年级上·河北保定·期中）将一元二次方程配方成的形式，则a的值为（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键． 对原方程移项，利用完全平方公式的特点对其配方． 【详解】解： ∴， 故选B． 2．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）如图是小冀用配方法解方程的过程的一部分．①②分别代表的是（    ） 把常数项移到方程的右边，得………………第一步 二次项系数化为1，得①…………………………第二步 配方，得……………………………………第三步 A．3 ， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．第一步移项后，第二步将二次项系数化为1，得到①；第三步配方，需要加上一次项系数一半的平方，得到②，即可． 【详解】把常数项移到方程的右边，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得 ∴ ①为；②为． 故选：C 3．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）用配方法解方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤，移项，配方，变形，进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 故选A． 4．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）一元二次方程配方后可化为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程移项得：， 配方得：，即． 故选：B． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 5．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）一元二次方程经过配方变形为，则m的值（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，从而求出m的值． 【详解】解：， 移项得：， 配方：， 即， ∴． 故选：D． 6．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）已知方程__________，等号右侧的数印刷不清楚．若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数是（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法的应用，设，根据配方法可得，即可求解． 【详解】解：设， ∴， 即， ∵将其配方成的形式， ∴， ∴， 即印刷不清楚的数是2． 故选：D 7．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）已知方程■，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方变形为，则印刷不清楚的数字是（    ） A．6 B．9 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法．设印刷不清的数字是a，根据完全平方公式展开得出，再根据题意得出，最后求出答案即可． 【详解】解：设印刷不清的数字是a， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 即印刷不清的数字是2， 故选：C． 8．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）解下列一元二次方程可以直接开平方的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 形如的方程可以直接开平方法求解，据此，逐项判定即可． 【详解】解：A、方程不能直接开平方法求解，故此选项不符合题意； B、方程可以直接开平方法求解，故此选项符合题意； C、方程不能直接开平方法求解，故此选项不符合题意； D、方程，变形得，不能直接开平方法求解，故此选项不符合题意； 故选：B． 9．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（    ） 原方程           甲                乙                          丙            丁 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 或， 解得，或， ∴丁错误， 故选：D． 10．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）用配方法将转化为的形式，则的值为（　　） A． B．1 C． D．2025 【答案】B 【分析】本题考查了配方法，通过配方法将方程转化为平方形式，确定参a和b的值，再计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选B． 11．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到的值，最后代入计算即可． 【详解】解： 移项得， ∴ 即 故答案为：． 12．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）方程的解是_______． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，把常数移到右边，再利用直接开平方法解答即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：移项，得 ， 两边开平方，得， 即，， 故答案为：，． 13．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）若把方程化成的形式，则______． 【答案】8 【分析】本题考查配方法，掌握相关知识是解决问题的关键．通过配方法将方程化为完全平方形式，确定m和n的值，再计算它们的和． 【详解】解： ， 得 ，， ∴ ． 故答案为：8． 考点03 公式法 1．（25-26九年级上·河北保定·期中）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 2．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 3．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）【新考向】对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：这个方程有两个不相等的实数根； 乙：设这个方程的两个根分别为，，则有，， 丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为； 丁：这个方程的解为， 老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（   ） A．甲和乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．丙和丁 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，根据以上知识点逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，故乙错误； ∴这个方程有两个不相等的实数根，故甲正确； ∴， ∴，，故丁正确，丙错误； 故选：C． 4．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）若关于的方程有两个相等的实数根，则（    ） A． B．4 C．4或 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据方程有两个相等的实数根得到，再解方程即可． 【详解】解：由题意得， 整理得，， 解得， 故选：B． 5．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据根的判别式是非负数且二次项系数不等于0求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得 且， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 6．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，边长为1的正方形的纸片，先对折得到边、边的中点E、F，再沿过点A的直线折叠使落在线段上，折痕为，点G在边上，点D对应点H，连接，下列四条线段的长度，其中恰好是方程的一个正根的线段为（    ）． A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【分析】此题考查的是一元二次方程的应用，轴对称图形的性质，勾股定理．运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键． 设，则，由折叠的性质可知≌，是的中点，则，，再由勾股定理得，然后由，求出，即可解决问题． 【详解】解：解方程得， ∴该方程的正根为 设，则， 由折叠的性质可知：≌，是的中点， ，， ∵再中，，， ∴， ， ， 解得：， 即， ∴恰好是方程的一个正根的线段为线段． 故选：B． 7．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）对于关于的一元二次方程，下列说法错误的是（　　） A．若方程的两个根是和，则 B．若，则方程有一个根是 C．若是方程的一个根，则一定有成立 D．若，且方程有实数根，则 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的与系数的关系，解一元二次方程以及根的判别式． 根据根的与系数的关系可判断A，根据一元二次方程的解法可判断B，根据一元二次方程的根可判断C，根据根的判别式可判断D，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵方程的两个根是和， ∴， ∵， ∴， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，， ∴方程有一个根是，原选项说法正确，不符合题意； 、∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，原选项说法不一定正确，符合题意； 、∵， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 8．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）下列方程中没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解答本题的关键． 通过计算每个二次方程的判别式（），若，则方程无实数根． 【详解】解：A、在中，， ∴ ， ∴方程无实数根，符合题意； B、在中，， ∴ ， ∴方程有实数根，不符合题意； C、在中，， ， ∴方程有实数根，不符合题意； D、在中，， ∴ ， ∴方程有实数根，不符合题意； 故选A． 9．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）如图，在矩形中，，先以顶点B为圆心，以边为半径作弧交对角线于点E，再以顶点D为圆心，以边为半径作弧交对角线于点 F，则方程 的一个正根是（     ）      A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出，利用求根公式解方程，比较即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ 在中，由勾股定理得，， ∴， 解方程得， ∴线段的长是方程的一个根． 故选：C． 10．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，根据新定义得到，再根据一元二次方程根的判别式即可得出答案，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 11．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，数轴，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 由数轴得：，，先计算根的判别式即可． 【详解】解：由数轴得：，， ． ． 该方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 12．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）小明在解关于x的一元二次方程时，把一次项的符号抄成“”，得到其中一个根是，则方程根的情况，下列判断不正确的是（　　） A．无实数根 B．时，有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．有一个根是 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根， 通过错误方程求出，再计算原方程的判别式，故总有实数根，从而判断选项． 【详解】解：∵小明抄错一次项符号，得方程，且为其根， ∴代入得，即， ∴． 对于原方程，即， 判别式 ∴原方程总有实数根，故A错误； 当时，，有两个相等实数根，故B正确； ，总有实数根，故C正确； 将代入，，故恒为根，D正确． 故选：A． 13．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程 用公式法解方程： 解：将方程化为一般形式，得，      第一步， ，，，        第二步； ，      第三步；           第四步， 即，        第五步． (1)开始出现错误的步骤是第___________步； (2)请给出此题正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2) 解：解方程化为一般形式，得， ，，， ， ， 即，． 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可； （2）根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可． 【详解】（1）解：将方程化为一般形式，得 ， ∴第一步开始出现错误． 故答案为：一． （2）略 14．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）已知一元二次方程有实数根，请写出一个符合要求的正整数的值：__________． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程有实数根的条件，判别式非负，求出m的取值范围，从而写出一个符合条件的正整数m即可． 【详解】解：∵一元二次方程 有实数根， ∴，解得 ． 故正整数可以是1、2、3或4． 故答案为：（答案不唯一）． 15．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）关于x的一元二次方程的根的情况是 _____________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握根的判别式是解答本题的关键； 求出根的判别式，判断根的判别式和0的关系，然后即可求解； 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴关于x的一元二次方程的根的情况为：有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根； 16．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）已知关于的一元二次方程，若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，的值为_____． 【答案】4或5 【分析】本题考查一元二次方程的解和等腰三角形，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先利用公式法求出方程的解为，然后分类讨论：，当或时为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】解：， ∴= 即， ， 、中有一个数为．          当时， 解得：．          、、能构成等腰三角形， 符合题意；                                当时，、、能构成等腰三角形， 符合题意．               综上所述：的值为或． 17．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）关于x的一元二次方程的一个整数解满足． (1)求m的值； (2)求的另一个解． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及解一元二次方程，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据不等式组的整数解得，再把代入方程，求出，即可作答． （2）将代入，则，化简得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意满足的整数是， 将代入方程， 得， ∴ 解得； （2）解：将代入， 得方程为， 则， ∴， 故， ∴； ∴方程的另一个解为2． 18．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)当该方程有两个相等的实数根时，直接写出该方程的根． 【答案】(1) 证明：     ∴ 方程总有两个实数根． (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和求解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式和求解一元二次方程是解题的关键． （1）要证明一元二次方程总有两个实数根，就要利用一元二次方程根的判别式，对于给定的方程得到从而可证明该方程总有两个实数根． （2）当该方程有两个相等的实数根时，由（1）可知，令，求解出的值，然后将其代入回题目中的方程进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当该方程有两个相等的实数根时，， 由（1）知， ∴， 解得， 将代入， 得，即， 化简得， ∴． 19．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求k的取值范围； 若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值． 【答案】 ；k的值为2． 【详解】分析：（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围； （2）先确定k=1或2，再根据方程的根都是整数，分类讨论即可. 详解：根据题意得， 解得； 为正整数， 或， 当时，，所以该方程的根为无理数， 当是，原方程为，解得， 所有k的值为2． 点睛：考查一元二次方程根的判别式， 当时，方程有两个不相等的实数根. 当时，方程有两个相等的实数根. 当时，方程没有实数根. 20．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）已知关于x的一元二次方程（m为常数）． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程有两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1) 证明：， 无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．              (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）先求求出一元二次方程根的判别式，然后进行配方判断判别式的符号即可求解； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，再整理，最后将代入整理后的方程求解即可． 【详解】（1）略      （2）解：由根与系数的关系，得．                    ， ，即，解得． 考点04 因式分解法 1．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（   ）． A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根，计算判别式并解方程即可确定k的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 或， 解得：或， 故选：C． 2．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．  …第一步 移项，合并同类项，得．  …第二步 系数化为1，得．  …第三步 任务： (1)小明的解法从第______步开始出现错误； (2)请写出此题的正确解题过程． 【答案】(1)一 (2) 解∶ ， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【分析】本题考查了等式的性质、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据解题过程结合等式的性质即可解答； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：小明的解法从第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）略 3．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）下面分别是甲、乙两位同学板演的解题过程． 甲同学： 解：，，    第一步 ∴        第二步 ∴                第三步 ，                第四步 乙同学：     第一步     第二步         第三步 (1)甲同学解一元二次方程的方法是 ； (2)甲乙两名同学板演都出现了错误，分别写出他们从第几步开始出现错误； (3)从甲、乙两位同学中任选一个方程进行正确解答． 【答案】(1)公式法 (2)甲从第三步，乙从第一步 (3) 选择甲或乙： 甲同学： 解：，， ∴ ∴ ， 乙同学： 或 ， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法和因式分解法是解答本题的关键． （1）根据甲同学的解题步骤分析即可； （2）根据甲同学和乙同学的解题步骤分析即可； （3）分别根据公式法和因式分解法的步骤求解即可． 【详解】（1）解：甲同学解一元二次方程的方法是公式法， 故答案为：公式法； （2）根据可知甲从第三步开始出现错误；根据可能等于0可知乙从第一步开始出现错误； （3）略． 4．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 文文： 或 ∴或 明明： ，， ∵ ∴此方程无实数根 (1)你认为文文的解法 ，明明的解法 （以上均选填“正确”或“不正确”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】(1)不正确，不正确 (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据题意检查文文和明明的解一元二次方程步骤是否正确即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：文文的解法中，在解时解答错误，或不正确； 明明的解法中，不正确， 故答案为：不正确，不正确． （2）解：由题意知：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 5．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）一元二次方程________（填“是”或“不是”）“倍根方程”； （2）若是“倍根方程”，则的值为________． 【答案】 是 或 【分析】本题主要考查了新定义“倍根方程”、解一元二次方程等知识，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． （1）利用因式分解法解方程，然后根据“倍根方程”的定义判断即可； （2）解方程，然后分是的2倍，是的2倍，两种情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：（1）， ， ，， ∵4是2的2倍， ∴方程是“倍根方程”， 故答案为：是； （2）， ∴，， 解：，， ∵是“倍根方程”， ∴当是的2倍时，即，则， ∴当是的2倍时，即， 故答案为：或． 6．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是会用因式分解法及配方法解一元二次方程． （1）先变形，然后根据因式分解法即可解答此方程； （2）根据配方法即可解答此方程． 【详解】（1）移项，得， 因式分解，得， ∴或， 即； （2）方程移项，得：， 配方，得：， 即：， 开方，得：， 解得： 7．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了公式法求解一元二次方程，因式分解法求解一元二次方程，解题关键是掌握上述一元二次方程求解方法． （1）用公式法求解； （2）用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， 即，； （2）， 移项，得， 所以， 所以或， 解得：，． 8．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （2）先移项，再把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 9．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握公式法、因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键． （1）由公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）由因式分解法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ， 则， 即或， 解得． 10．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）计算 (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程． （1）利用因式分解将方程变为，得出或，随即得出结果； （2）先将方程整理为，再利用因式分解的方法得出或，随即得出结果． 【详解】（1）解：， ∴或， ∴，． （2）解：， ∴， ∴或， ∴，． 11．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程解法是解题关键． （1）利用因式分解即可求解． （2）移项，用平方差公式分解因式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 12．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 ∴，． 13．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，根据方程的特点选择简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 所以，． （2）解： ， ， ， ，． 14．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）已知点A，B在数轴上的位置如图所示，点A代表的数为，点B代表的数为． (1)若，求x的值； (2)小高通过计算得出A，B之间的距离不能为2，请你完成小高的计算过程． 【答案】(1)或4 (2) ， ∵， ∴、之间距离不能为2． 【分析】本题考查数轴上两点之间距离公式，解一元二次方程，配方法，读懂题意，转化为相关数学知识是解决问题的关键． （1）根据，由数轴上两点之间的距离公式列式解方程即可得到答案； （2）根据数轴上两点之间距离公式表示，利用配方法得到，再由平方非负性得到即可确定答案． 【详解】（1）解：点代表的数为，点代表的数为， 由数轴上两点之间的距离公式可得， ， 即， 解得或； （2）略 15．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）按要求解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握因式分解法，公式法，配方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用公式法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可； 【详解】（1）解：移项，得， 配方，得，即， 开方得， ∴，； （2）解：， ． ， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴， 即，； （3）解：移项，得． 因式分解，得． ∴或， ∴，． 16．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）阅读理解 在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化、明朗化．在解高次或多元方程时，换元法可以帮助我们降低方程的次数或减少未知数的个数，使方程变得更易于解决． 比如：方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，通常用换元法求方程的解，过程如下： 设，那么，于是原方程可化为， 解得，， 当时，，∴， 当时，，∴， ∴原方程有四个根：，，，． 学以致用 用换元法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查换元法解方程． （1）通过换元将高次方程转化为二次方程求解； （2）通过换元处理绝对值，转化为二次方程求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程化为． ∵， ∴， ∴，； 当时，， 即， ∴， ∴，； 当时，， 即， ∵， ∴无实数根； 故原方程的解为，； （2）解：设，则，且， 原方程化为， 即． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，即， ∴，． 17．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）用指定方法解下列方程： (1)；（公式法） (2)；（配方法） (3)（因式分解法） 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键. （1）先求出根的判别式，再用公式法计算即可； （2）将常数项移到方程右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，配方即得，直接开方求解即可； （3）将所有项移到方程左边，然后提公因式得到，解方程即可． 【详解】（1）解：，， ，； （2）解： ，； （3）解： 或 ，． 18．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2＋5x＋m2﹣3m＋2＝0的常数项为0 (1)求m的值； (2)求此时一元二次方程的解． 【答案】(1)m＝2 (2)x1＝0，x2＝﹣5 【分析】（1）根据常数项为0，列出关于的方程，解出即可； （2）将的值代入原方程，解出原方程即可 【详解】（1） 解：由题意，得：m2﹣3m+2＝0 解之，得m＝2或m＝1①， 由m﹣1≠0，得：m≠1②， 由①，②得：m＝2； （2） 解：当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0， 得x2+5x＝0， x（x+5）＝0 解得：x1＝0，x2＝﹣5． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键． 19．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法等）是解题关键． （1）将方程整理，利用完全平方公式配方，利用配方法解一元二次方程即可得； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】（1）解：， 整理得， 配方得，即， 开方得， 所以方程的解为，； （2）解：， ∴或， 所以方程的解为，． 20．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）解下列一元二次方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法求解即可； （2）先移项，再提公因式进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ， ， ∴； （2）解： 或 解得． 21．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，分别以为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”． (1)请你直接写出方程的“两根点”P的坐标； (2)点P是关于x的一元二次方程的“两根点”，若点P在直线上，求“两根点”P的坐标． 【答案】(1) (2)“两根点”P的坐标为． 【分析】本题考查解一元二次方程、新定义、一次函数上点的坐标等知识点，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先解方程得到两根，然后根据“两根点”的定义即可解答； （2）先求出“两根点”点P，然后将点P的坐标代入即可求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 所以该方程的解为：，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点P在直线上， ∴， ∴． ∴“两根点”P的坐标为． 22．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围： (2)若方程有一个根为，求方程的另一根． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式的作用是解本题的关键． （1）根据题意可得根的判别式和一元二次方程的定义，列出不等式组求解即可； （2）把代入到关于的一元二次方程求出值，解出一元二次方程的解即可． 【详解】（1）关于的一元二次方程有两个不等的实数根， 且， 故答案为：的取值范围是且； （2）把代入到关于的一元二次方程中，得 ， ， ， ，， 故答案为：方程的另一根是． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）一元二次方程的两根分别为和，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，和是方程 的两个根，根据一元二次方程的根与系数的关系可得： 【详解】解： 方程 中，， . 故选：C． 2．（25-26九年级上·河北保定·期中）已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B．12 C．3 D．0 【答案】B 【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系，即可得出，，再将其代入，计算即可．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义是解决本题的关键． 【详解】解：，是关于的方程的两根， ，，． ． 故选：B 3．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）设，是方程的两个实数根，则的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．先结合得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．3 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系先求出和的值，代入原式求解即可；本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：A． 5．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）已知点在第四象限，若，分别为一元二次方程的两根之和与两根之积，则这个一元二次方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，平面直角坐标系中点坐标的特点等知识点，掌握这些是解题的关键． 点在第四象限，故且，再根据一元二次方程根与系数的关系，逐一验证各选项即可． 【详解】解：点在第四象限， ， A. ，，故A不符合题意； B. ，，故B符合题意； C. ，，故C不符合题意； D. ，，故D不符合题意； 故选：B． 6．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）方程的两根分别是m，n，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 故选：D． 7．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．将方程化为一般形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，得到点的坐标，再判断所在象限即可． 【详解】解：∵方程化为， ∴, , ， ∴两根之和为， 两根之积为， ∴点为， ∵横坐标为正，纵坐标为负， ∴点在第四象限． 故选：D． 8．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）设，是一元二次方程的两根，则的值为（     ） A．6 B．8 C．14 D．16 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先求出与的值，再将转化为进行计算．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，． ∴． 故选：C． 9．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ）． A．2024 B．4 C．2022 D．0 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系． 根据一元二次方程根与系数关系，得到和的值，将代入方程可得，计算的值即可． 【详解】解：，， 将代入方程可得， ． 故选：B． 10．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根，根与系数的关系．由是方程的一个实数根，可得．由根与系数的关系，可得．代入即可求解． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， ． 是方程的两个实数根， ． ， 故选A． 11．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）一元二次方程的两根之和是______． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于负的二次项系数分之一次项系数，并得出对应的结果即可． 【详解】解：由题意知，． 故答案为：4． 12．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）关于x的方程的两个根分别为1和3，则的值为________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，可求出和的值，进而计算 ． 【详解】∵方程的两个根分别为1和3， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：12 13．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式_______． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先计算出3和的和、积，然后根据根与系数的关系写出一个满足条件的一元二次方程． 【详解】解：根据题意设一元二次方程为， ∵两个根分别为3和， ∴，， ∴以3和为根的一元二次方程可为， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）已知关于x的方程的一个根是2，则它的另一个根是______． 【答案】1 【分析】先把代入，解得，再根据一元二次方程的根与系数的关系进行列式解答即可． 【详解】解：关于x的方程的一个根是2， 则把代入，得， 解得， 因为， 所以 解得， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握是解题的关键． 15．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）已知是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解、代数式求值．根据题意得、，再将其代入即可求解． 【详解】解：由题意得： ，即：， ， ， 故答案为：2021． 16．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）已知方程的两根分别为，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：． 17．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：______； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，请直接写出一元二次方程两根． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查一元二次方程的解、根与系数的关系，解题的关键是掌握换根法的使用． （1）设所求方程的根为，利用根的相反数关系得到与的关系，代入原方程化简； （2）设所求方程的根为，利用根的倒数关系得到与的关系，代入原方程化简； （3）通过对方程变形，结合已知方程的根，分析新方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入，得，即， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入，得， 化简，两边同乘得，即， 故答案为：； （3）解：已知的根为， 对于方程， 变形为，即， 令，则方程变为，所以或， 当时，，解得；当时，，解得， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2． （1）求m的取值范围． （2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值. 【答案】（1）m≤．　 （2）m=-3. 【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数m的取值范围； （2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=3，x1x2=m-1．再代入等式2（x1+x2）+ x1x2+10=0，即可求得m的值． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．∴　　⊿≥0． 　　即　32-4（m-1）≥0，解得,m≤．　 （2）由已知可得　x1+x2=3　　 x1x2=m-1 　 又2（x1+x2）+ x1x2+10=0 ∴2×（-3）+m-1+10=0　　∴m=-3 19．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)试证：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； (2)设，为方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1) 证明：， 无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； (2)0或 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）计算一元二次方程根的判别式，证明其大于零即可； （2）由根与系数的关系得，，代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 即， 解得，， 的值为0或． 20．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若是方程的一个根，求方程的另一个根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据“一元二次方程有两个不相等的实数根”结合根的判别式计算即可； （2）根据根与系数的关系得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得； （2）解：设方程的另一根分别为n， 由根与系数关系可知， 解得， ∴另一根为． 21．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设，是方程的两个根且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元一次不等式和一元二次方程，解题的关键是掌握以上定义和公式． （1）利用根的判别式，列出不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 解这个不等式，得， 答：的取值范围是； （2）解：由题意，得 解得． 方程有两个不相等的根， 答：的值是． 22．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【答案】(1)证明： ， ∵， ∴， ∴不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识﹒ （1）计算出，据此即可证明一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）根据一元二次方程根与系数关系得到，代入，得到，即可求出﹒ 【详解】（1）略 （2）解：∵一元二次方程两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴﹒ 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）某剧场共有1161个座位，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少16，设每行的座位数是x，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意是解题关键． 根据题意，每行座位数比总行数少16，设每行座位数为x，则总行数为，总座位数为每行座位数与总行数的乘积，因此列方程即可． 【详解】解：设每行座位数为x，且每行座位数比总行数少16， ∴总行数为， ∵总座位数为1161，且总座位数每行座位数总行数， ∴， 故选：A． 2．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）如图，要把长为、宽为的长方形花坛四周扩展相同的宽度，得到面积为的新长方形花坛，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用长方形的面积计算公式，结合新长方形花坛的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设扩展的宽度为， 依题意，得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列一元二次方程，由题意可得3月份的售价为万元，4月份售价为万元，由此列方程即可． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x， 由题意得：， 故选：A． 4．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）某旅游景点8月份共接待游客万人次，月份共接待游客万人次，设游客每月的平均增长率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设游客每月的平均增长率为x，根据该旅游景点8月份及月份接待游客人次数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】设游客每月的平均增长率为x， 依题意，得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据增长率模型逐日计算票房并累加得到前三天的总和．据此列出方程即可． 【详解】解：将增长率记作，则： 第一天票房约为2亿元； 第二天票房为亿元； 第三天票房为亿元； 前三天的累计票房为：． 故选：D． 6．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）随着中考结束，某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送出了812张照片．若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，找到等量关系并列出方程是解决本题的关键．若该班有名同学，那么每名学生送照片张，全班应该送照片，根据题意列方程即可． 【详解】解：若该班有名同学，那么每名学生送照片张，全班应该送照片张， 则可列方程为：． 故选：A． 7．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 根据题意，每株椽的价钱为文，少拿一株后剩余株，运费为文，运费等于一株椽的价钱，由此列出方程． 【详解】解：∵每株椽的价钱为文，少拿一株后，运费为文，且运费等于一株椽的价钱， ∴， 两边乘以得：， 即选项B正确． 故选：B． 8．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）某商场销售一款恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销量，该商场准备降价销售.经市场调查发现，每件恤每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利3600元，设每件T恤降价元，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意，每件利润为售价减进价，降价x元后每件利润为元；销售量因降价增加，为件，总利润为每件利润乘以销售量，据此列方程． 【详解】解：∵降价后每件利润为元，每周销售量为件， ∴由总利润3600元得方程：， 故选：A． 9．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合并为一个长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合并为一个长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 10．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程． 设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为， 则， 解得：． 故选：C． 11．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，用一段长的铁丝围成一个一边靠墙（墙长，不使用铁丝）的矩形，其面积为，在矩形的边上留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设米，则米，根据矩形的面积为，列出关于的一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又长度要小于墙长米， ， ∴米． 故选：D． 12．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）某学校有一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若围成的菜地面积为180平方米，此时菜地的宽为（   ）米． A．6 B．10 C．6或10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的应用是解题的关键． 设，则，依题意列方程计算即可． 【详解】解：设，则， 依题意，得：， 即， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． ∴菜地的宽为10米， 故选：B 13．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，解题的关键是根据花卉带宽度相同的条件，正确表示出中间草坪的长和宽，再结合草坪面积与总面积的关系列出方程． 确定矩形总面积：矩形地面长、宽总面积为分析草坪的长和宽：花卉带宽度为且在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度（共即草坪的宽需减去上下两侧花卉带宽度（共即列面积关系方程：草坪面积为且等于总面积的，由此确定方程形式． 【详解】解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的，即草坪面积为． ∵花卉带宽度为，且分布在矩形四周， ∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽即 草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽即． 因此，草坪的面积可表示为结合面积关系可列方程： 故选：D． 14．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是， 依题意，得：， 化简，得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 答：纸盒的底面积是时，纸盒的高为． 故选：B． 15．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于1303年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．嘉淇对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为216文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（   ） A．设这批椽的数量为x株，则 B．这批椽的总运费为24文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意找出等量关系列方程求解，再判断各选项． 【详解】解：设这批椽的数量为株，一株椽的价钱为p文， ∵少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴， 又∵这批椽的价钱为216文， ∴， 将p代入得：，即， 解方程：，， 解得或（舍去）， ∴， ， 总运费为文， ∴A、C、D正确，B错误． 故选：B． 16．（25-26九年级上·河北保定·期中）某城市为申办冬奥会，决定改善城市容貌，计划用两年时间，使绿地面积增加，这两年平均每年绿地面积的增长率是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程解决增长率问题，解题关键是列出方程求解． 设每年的增长率为 ，根据“计划用两年时间，使绿地面积增加”列出方程求解． 【详解】解：设每年的增长率为 ， 则， 解得：(舍去），或， 即这两年平均每年绿地面积的增长率是， 故答案为： ． 17．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，如图所示． (1)若设正方形的边长为，则栽种鲜花区域(阴影部分)的面积为 (用含的代数式表示，要求结果最简)； (2)如果剩余空地面积为，求正方形的边长x的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设正方形的边长为，则空白部分的长为，宽为，根据长方形面积公式即可得出结论； （2）根据剩余空地面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为，则空白部分的长为，宽为， ∴栽种鲜花区域(阴影部分)的面积为：， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， (不符合题意，舍去)， 答：正方形的边长的值为． 18．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）暑假期间，某商场购进一批价格为元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的倍．该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件文化衫的定价为x元时，根据总利润每件利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合售价不能超过进价的倍即可确定x的值，此题得解． 【详解】解：设每件文化衫应定价为元， ， 解得：，， ∵该文化衫的售价不能超过进价的倍， ∴， ∴每件文化衫应定价为元， 故答案为：． 19．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）某水果店销售一种成本价是5元/千克的水果，若以7元/千克售出时，每天可以卖出160千克，经过几次调整价格，老板发现，销售价格影响了当天的销售量，设销售单价为x元/千克．下表是近三天的销售单价与销售量： 销售单价（元） 8 9 10 销售数量（千克） 140 120 100 (1)关于销售单价与销售量之间有下面两种观点： 观点一；每天的销售量与销售单价之间符合一次函数关系； 观点二：每天的销售单价每涨1元，销售量就会减少10千克； 以上观点正确的是 ； (2)请用含x的代数式表示每天的销售量 ； (3)物价局规定：这种水果的每千克售价不得超过进价的，若该水果店每天销售这种水果获利420元，则这种水果的单价应定为多少元． 【答案】(1)观点一 (2) (3)这种水果的单价应定为8元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． （1）观点二：由表格即可分析；观点一：设设销售量为y，销售单价为x，销售量与销售单价的函数关系为，代入、可得函数关系式，再将代入即可验证； （2）由（1）即可解答； （3）由题意可得售价上限为，由利润（单价成本）销售量即可列方程进而求解． 【详解】（1）解：观点二：从表格可得，销售单价从8元涨至9元（涨1元），销售量从140千克减至120千克（减少20千克）； 从9元涨至10元（涨1元），销售量从120千克减至100千克（减少20千克）． ∴观点二错误， 观点一：设销售量为y，销售单价为x， 设销售量与销售单价的函数关系为， 代入、得：， 解得， ∴函数关系为， 将代入得：， ∴符合一次函数关系， ∴正确的是观点一， 故答案为：观点一； （2）解：由（1）的一次函数关系，每天的销售量为：， 故答案为：； （3）解：由题意得，进价的为元， ∴， 由题意可得， ， 解得或． ∵售价， ∴舍去， ∴单价定为8元． 20．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第一年的可变成本为万元，设可变成本平均每年增长的百分率为． (1)用含的代数式表示第年的可变成本为______万元； (2)如果该养殖户第年的养殖成本为万元，求可变成本平均每年的增长百分率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程相关应用题中的“平均增长率”型问题． 对“平均增长率”意义的理解是这类应用题的难点． 这类实际问题中某量的增长一般分为两个阶段且每个阶段的实际增长率不同． 假设该量的值在保持某一增长率不变的前提下由原值增长两次，若所得的最终值与实际的最终值相同，则这一不变的增长率就是该量的“平均增长率”． （1）将基本等量关系“本年的可变成本=前一年的可变成本+本年可变成本的增长量”以及“本年可变成本的增长量=前一年的可变成本×可变成本平均每年增长的百分率”综合整理可得：本年的可变成本=前一年的可变成本×(1+可变成本平均每年增长的百分率)． 根据这一新的等量关系可以由第1年的可变成本依次递推求出第2年以及第3年的可变成本． （2）由题意知，第3年的养殖成本=第3年的固定成本+第3年的可变成本． 现已知固定成本每年均为4万元，在第(1)小题中已求得第3年的可变成本与x的关系式，故根据上述养殖成本的等量关系，容易列出关于x的方程，解方程即可得到x的值． 【详解】（1）解：∵该养殖户第1年的可变成本为2万元， 又∵该养殖户的可变成本平均每年增长的百分率为x， ∴该养殖户第2年的可变成本为： (万元)， ∴该养殖户第3年的可变成本为： (万元)． 故本小题应填：． （2）根据题意以及第(1)小题的结论，可列关于x的方程： 解此方程，得 ， 由于x为可变成本平均每年增长的百分率，不合题意，故x的值应为，即． 答：可变成本平均每年增长的百分率为． 21．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，某农家乐老板计划在一块长，宽的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，平移的性质，设垂钓通道的宽度为，把两块垂钓鱼塘平移在一起所得到的长方形的长为，宽为，根据题意列出方程即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：设垂钓通道的宽度为，把两块垂钓鱼塘平移在一起所得到的长方形的长为，宽为， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 当时，，不合题意，舍去， ∴， ∴垂钓通道的宽度为， 故答案为：． 22．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，厘米，是一条射线，．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线方向爬行，它们同时出发．当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过______秒，的面积为8平方厘米． 【答案】2或4或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意列一元二次方程是解题的关键． 由题意知，，，当时，，，令，计算求出满足要求的解即可；当时，，，令，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解： 由题意知，，， 当时，，， 令， 解得或； 当时，，， 令， 解得或（舍去）； 综上所述，经过2或4或秒，的面积为8平方厘米． 故答案为：2或4或． 23．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）如图，学校计划利用已有的一堵长为的墙（），用篱笆围成一个长方形花园．现有可用的篱笆长为（全部用完）．设的长为． (1)如图1，用含的代数式表示的长． (2)如图1，当长方形花园的面积为时，求的值． (3)如图2，将墙全部利用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形，其中，，和都由篱笆构成．长方形花园的面积可以为吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 不能，理由： 当时， 整理得， ， 该方程无实数根， 长方形花园的面积不可以为，即长方形花园的面积不可以为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握是解题的关键． （1）利用长方形的性可得到，即可得到的表达式； （2）根据花园的面积建立一元二次方程，先解方程，再根据（1）中的取值范围进行取舍即可； （3）根据花园的面积建立一元二次方程，判断方程的解得情况即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由题意得长方形花园的面积为， 当时， 整理得， 解得（舍），， 答：当长方形花园的面积为时，求的值为； （3）略 24．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长），另外三边用木栏围成，木栏全长35m． (1)若养鸡场的面积为，则养鸡场的长和宽分别是多少？ (2)养鸡场的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案：如果不能，请说明理由． 【答案】(1)长是，宽是． (2) 养鸡场的面积不能达到，理由如下： 假设养鸡场的面积能达到， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即养鸡场的面积不能达到． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，利用根的判别式计算是解题的关键． （1）设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，列出方程，计算即可； （2）假设养鸡场的面积能达到，根据题意得：，利用根的判别式判断即可． 【详解】（1）设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：养鸡场的长是15m，宽是10m． （2）略 25．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为； (2)当商品降价5元时，商场获利4250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 26．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）活动背景：制作无盖方形纸盒． 现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是．小成将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②），围城一个无盖的方形纸盒（如图③）． 任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是、容积的方形纸盒．求原硬纸板的长和宽分别是多少？ 任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面面积是的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，请说明理由． 【答案】（1）原硬纸板的长是和宽是； （2）剪裁的小正方形的边长为时，小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意建立方程求解是解题的关键． 任务1：设原硬纸板的长是和宽是，建立方程，求解即可； 任务2：设剪裁的小正方形的边长为，建立方程，求解即可． 【详解】解：任务1：设原硬纸板的长是和宽是．则          解得，（不符，舍）     所以 答：原硬纸板的长是和宽是．     任务2：小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒     设剪裁的小正方形的边长为．则              ，（不符，舍）     答：剪裁的小正方形的边长为时，小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒． 27．（25-26九年级上·河北保定·期中）某店一型号台灯的成本价为30元，若以每台40元出售，平均每月能售出600台，经过一周试销售，发现售价在40元至70元范围内，平均每天售出的台灯数量（台）与售价上涨（元）之间存在如图所示的函数关系． (1)求出与的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ (3)正式销售后每台台灯的利润率不得高于，该店每月能否获得12250元的利润？若能，则台灯的售价应定为多少？若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为每台50元 (3) 不能，理由如下： 由（2）可知，当该店每月获得12250元的利润时，， 整理，得， 解得． ∵每个台灯的利润率不得高于成本价的， ， 即． ， ∴不可能满足题意． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，求一次函数的解析式，解一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）充分理解题意，设台灯数量（台）与售价上涨（元）之间满足的函数关系为，再代入点和，进行计算，即可作答． （2）因为实现平均每月10000元的销售利润，且结合进行列式计算，即可作答． （3）与（2）同理，得出，解得．因为每个台灯的利润率不得高于成本价的，所以，解得，即可作答． 【详解】（1）解：由图可知，设平均每天售出的台灯数量（台）与售价上涨（元）之间满足的函数关系为， ∵函数过点和， ∴将点和代入， 得， 解得， ∵售价在40元至70元范围内， ， 与的函数表达式为． （2）解：由题意，得， 整理，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ， ∴为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为每台50元． （3）略 28．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）某商场售卖A，B两款儿童玩具，已知每个A款玩具的售价是每个B款玩具售价的倍，用元购买A款玩具的数量比用元购买B款玩具的数量少5个． (1)求每个B款玩具的售价为多少元； (2)经统计，商场每月卖出A款玩具个，每个A款玩具的利润为元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，每个A款玩具的售价每降低2元，那么平均每月可多售出个，商场要想每月销售A款玩具的利润达到元，每个A款玩具应降价多少元？ 【答案】(1)每个B款玩具的售价为元 (2)每个A款玩具应降价6元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，分式方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设每个B款玩具的售价为x元，则每个A款玩具的售价为元，根据两款玩具的数量关系列方程求解即可； （2）设每个A款玩具应降价a元，根据单利润乘以数量等于总利润列方程求解，并保留符合实际情况的解． 【详解】（1）解：设每个B款玩具的售价为x元，则每个A款玩具的售价为元， 由题意得， ， 检验：当时， 原分式方程的解为， 答：每个B款玩具的售价为元； （2）解：设每个A款玩具应降价a元， 由题意得， 解得，， 为了尽快减少库存， ， 答：每个A款玩具应降价6元． 29．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，有一幅长，宽的矩形照片，现要为这幅照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的二分之一． (1)求相框所占面积； (2)求相框的宽度． 【答案】(1)相框所占面积为 (2)相框的宽度为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据相框所占面积为照片面积的二分之一，列式计算即可； （2）设相框的宽度为，根据配上相框的照片面积＝照片面积+相框的面积，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知， ， 答：相框所占面积为； （2）设相框的宽度为， 由题意得：， 整理得：， 解得： (不符合题意，舍去)，， 答：相框的宽度为． 30．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； （2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【答案】（1）20%；（2）能 【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x，依题意列出关于x的一元二次方程，求解即可； （2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可． 【详解】解：（1）设亩产量的平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：亩产量的平均增长率为20%． （2）第四阶段的亩产量为（公斤）， ∵， ∴他们的目标可以实现． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握2次变化的关系式是解决本题的关键． 31．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？ 【答案】(1)20% (2)38元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为，根据题意得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设这种台灯售价应定为元，利用总利润每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，舍去， 答：月份和月份两个月的销售量月平均增长率为； （2）设这种台灯售价应定为元， 根据题意，得， 解得，， 售价在元至元范围内， ， 答：这种台灯售价应定为元． 32．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）用一元二次方程解决实际问题：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价元 (2)解：商场平均每天盈利不能达到元，理由如下： 假设能达到，由题意，得， 整理得：，， 即：该方程无解， 所以，商场平均每天盈利不能达到元． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用． （1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出，所以此时商场平均每天要盈利元，根据商场平均每天要盈利元，为等量关系列出方程求解即可； （2）假设能达到，根据商场平均每天要盈利元，列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能． 【详解】（1）解：设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出， 由题意，得， 即：， 解，得，， 为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以的值应为， 所以，商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价元； （2）略 33．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）如图，中，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动到达B时停止，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动到达时停止，P，Q两点同时出发，运动时间为． (1)若的面积是面积的，求的值； (2)的面积能否与四边形面积相等？若能，求出的值；若不能，说明理由． (3)线段的长度能否达到？说明理由． 【答案】(1) (2) 解：的面积不能与四边形面积相等．理由如下： 当的面积与四边形面积相等时， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴此方程没有实数根， ∴的面积不能与四边形面积相等． (3) 解：线段的长度能达到，理由如下： 当时， 在中，由勾股定理得， ∴， 整理得， 解得（舍去）或， ∴当时，线段的长度能达到． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式和勾股定理，根据题意正确得到一元二次方程成为解题的关键． （1）利用面积公式表示出和的面积，再根据题意列出关于t的方程求解即可； （2）假设的面积与四边形面积相等，则，利用面积列出方程，方然后根据方程解的情况即可解答； （3）根据“线段的长度能达到”，结合勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 解得； ∴当时，的面积是面积的． （2）略 （3）略 34．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用40米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设米． (1)若矩形花园的面积为300平方米，求x的值； (2)能围成面积为500平方米的矩形花园吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)x的值为10或30 (2) 不能围成面积为500平方米的矩形花园，理由如下： 由题意得：， 即， ， ∴该方程无实数根， ∴不能围成面积为500平方米的矩形花园． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用： （1）由矩形面积公式得出方程，解方程即可； （2）根据题意列出方程，求出该方程的根的判别式，即可解答． 【详解】（1）解：∵米， ∴米， 由题意得：， 即， 解得：，， 即x的值为10或30． （2）略 35．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）某市电动车的交通事故频出，交警部门提醒市民，16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销售量，该品牌头盔7月份销售50个，9月份销售72个，7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，每个头盔售价为40元时，平均每月销售量为600个，若在此基础上售价每下降1元，其月销售量就增加200个．为迎接“双十一”，该经销商决定降价促销，在库存为1210个头盔的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个头盔的售价． 【答案】(1) (2)37元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔7月份销售50个，9月份销售72个得出关于x的一元二次方程，然后解方程即可； （2）设每个头盔售价为元，则月销售量为个，根据预计月获利恰好为8400元得出关于m的一元二次方程，然后解方程结合库存为1210个头盔取合适的解即可． 【详解】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意，得， 解这个方程，得（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）设每个头盔售价为元，由题意， 得， 解得， 当时，， 当时，， 所以，每个头盔的售价是37元． 36．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价应定为50元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据5月份销售量月份销售量建立方程，解方程即可得； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元个，根据利润（售价进价）销售量建立方程，解方程求出的值，再选择较小的的值即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元／个， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元个． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）关于x的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（   ） A．3，，2 B．3，，2 C．3，5x， D．3，， 2．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）下列关于的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）下列方程，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）关于x的一元二次方程，则处可能是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）将一元二次方程化成一般形式，可得（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．不能确定 11．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述正确的是 （    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 12．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）若关于x的方程（）的一个根是，则的值是（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 13．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） 0 1 2 3 ... ... A． B． C．或 D．或 14．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）若是一元二次方程，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D．1或 15．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）下列关于的方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）已知一元二次方程有一个根是2，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 17．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）若为一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）若关于的一元二次方程有一个根为1，则实数的值为______． 19．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为______． 20．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）若关于的方程的一个根是2，则_______． 21．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． 22．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）若关于x的方程的一个根是，则的值为______． 23．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为_______． 考点02 配方法 1．（25-26九年级上·河北保定·期中）将一元二次方程配方成的形式，则a的值为（   ） A． B． C．4 D．8 2．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）如图是小冀用配方法解方程的过程的一部分．①②分别代表的是（    ） 把常数项移到方程的右边，得………………第一步 二次项系数化为1，得①…………………………第二步 配方，得……………………………………第三步 A．3 ， B．， C．， D．， 3．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）用配方法解方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）一元二次方程配方后可化为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）一元二次方程经过配方变形为，则m的值（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 6．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）已知方程__________，等号右侧的数印刷不清楚．若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数是（    ） A． B． C．3 D．2 7．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）已知方程■，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方变形为，则印刷不清楚的数字是（    ） A．6 B．9 C．2 D． 8．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）解下列一元二次方程可以直接开平方的是（  ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（    ） 原方程           甲                乙                          丙            丁 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）用配方法将转化为的形式，则的值为（　　） A． B．1 C． D．2025 11．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为____________． 12．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）方程的解是_______． 13．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）若把方程化成的形式，则______． 考点03 公式法 1．（25-26九年级上·河北保定·期中）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）【新考向】对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：这个方程有两个不相等的实数根； 乙：设这个方程的两个根分别为，，则有，， 丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为； 丁：这个方程的解为， 老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（   ） A．甲和乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．丙和丁 4．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）若关于的方程有两个相等的实数根，则（    ） A． B．4 C．4或 D．2 5．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（　　） A． B． C． D．1 6．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，边长为1的正方形的纸片，先对折得到边、边的中点E、F，再沿过点A的直线折叠使落在线段上，折痕为，点G在边上，点D对应点H，连接，下列四条线段的长度，其中恰好是方程的一个正根的线段为（    ）． A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 7．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）对于关于的一元二次方程，下列说法错误的是（　　） A．若方程的两个根是和，则 B．若，则方程有一个根是 C．若是方程的一个根，则一定有成立 D．若，且方程有实数根，则 8．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）下列方程中没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）如图，在矩形中，，先以顶点B为圆心，以边为半径作弧交对角线于点E，再以顶点D为圆心，以边为半径作弧交对角线于点 F，则方程 的一个正根是（     ）      A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 10．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 11．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 12．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）小明在解关于x的一元二次方程时，把一次项的符号抄成“”，得到其中一个根是，则方程根的情况，下列判断不正确的是（　　） A．无实数根 B．时，有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．有一个根是 13．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程 用公式法解方程： 解：将方程化为一般形式，得，      第一步， ，，，        第二步； ，      第三步；           第四步， 即，        第五步． (1)开始出现错误的步骤是第___________步； (2)请给出此题正确的解答过程． 14．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）已知一元二次方程有实数根，请写出一个符合要求的正整数的值：__________． 15．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）关于x的一元二次方程的根的情况是 _____________． 16．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）已知关于的一元二次方程，若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，的值为_____． 17．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）关于x的一元二次方程的一个整数解满足． (1)求m的值； (2)求的另一个解． 18．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)当该方程有两个相等的实数根时，直接写出该方程的根． 19．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求k的取值范围； 若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值． 20．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）已知关于x的一元二次方程（m为常数）． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程有两个实数根，且，求m的值． 考点04 因式分解法 1．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（   ）． A． B．或 C．或 D．或 2．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．  …第一步 移项，合并同类项，得．  …第二步 系数化为1，得．  …第三步 任务： (1)小明的解法从第______步开始出现错误； (2)请写出此题的正确解题过程． 3．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）下面分别是甲、乙两位同学板演的解题过程． 甲同学： 解：，，    第一步 ∴        第二步 ∴                第三步 ，                第四步 乙同学：     第一步     第二步         第三步 (1)甲同学解一元二次方程的方法是 ； (2)甲乙两名同学板演都出现了错误，分别写出他们从第几步开始出现错误； (3)从甲、乙两位同学中任选一个方程进行正确解答． 4．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 文文： 或 ∴或 明明： ，， ∵ ∴此方程无实数根 (1)你认为文文的解法 ，明明的解法 （以上均选填“正确”或“不正确”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 5．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）一元二次方程________（填“是”或“不是”）“倍根方程”； （2）若是“倍根方程”，则的值为________． 6．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）解下列方程： (1)； (2)． 7．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）解方程： (1)； (2)． 8．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）解方程： (1)． (2)． 9．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 10．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）计算 (1)． (2)． 11．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）解方程 (1) (2) 12．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）解方程：． 13．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）解方程： (1) (2) 14．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）已知点A，B在数轴上的位置如图所示，点A代表的数为，点B代表的数为． (1)若，求x的值； (2)小高通过计算得出A，B之间的距离不能为2，请你完成小高的计算过程． 15．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）按要求解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） 16．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）阅读理解 在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化、明朗化．在解高次或多元方程时，换元法可以帮助我们降低方程的次数或减少未知数的个数，使方程变得更易于解决． 比如：方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，通常用换元法求方程的解，过程如下： 设，那么，于是原方程可化为， 解得，， 当时，，∴， 当时，，∴， ∴原方程有四个根：，，，． 学以致用 用换元法解下列方程： (1)． (2)． 17．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）用指定方法解下列方程： (1)；（公式法） (2)；（配方法） (3)（因式分解法） 18．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2＋5x＋m2﹣3m＋2＝0的常数项为0 (1)求m的值； (2)求此时一元二次方程的解． 19．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）解方程： (1)； (2)． 20．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）解下列一元二次方程 (1)； (2)． 21．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，分别以为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”． (1)请你直接写出方程的“两根点”P的坐标； (2)点P是关于x的一元二次方程的“两根点”，若点P在直线上，求“两根点”P的坐标． 22．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围： (2)若方程有一个根为，求方程的另一根． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）一元二次方程的两根分别为和，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北保定·期中）已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B．12 C．3 D．0 3．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）设，是方程的两个实数根，则的（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．3 B． C．9 D． 5．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）已知点在第四象限，若，分别为一元二次方程的两根之和与两根之积，则这个一元二次方程可以是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）方程的两根分别是m，n，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 7．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）设，是一元二次方程的两根，则的值为（     ） A．6 B．8 C．14 D．16 9．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ）． A．2024 B．4 C．2022 D．0 10．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 11．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）一元二次方程的两根之和是______． 12．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）关于x的方程的两个根分别为1和3，则的值为________． 13．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式_______． 14．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）已知关于x的方程的一个根是2，则它的另一个根是______． 15．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）已知是一元二次方程的两个根，则______． 16．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）已知方程的两根分别为，，则的值为________． 17．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：______； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，请直接写出一元二次方程两根． 18．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2． （1）求m的取值范围． （2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值. 19．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)试证：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； (2)设，为方程的两个实数根，且，求m的值． 20．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若是方程的一个根，求方程的另一个根． 21．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设，是方程的两个根且，求的值． 22．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，且，求的值． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）某剧场共有1161个座位，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少16，设每行的座位数是x，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）如图，要把长为、宽为的长方形花坛四周扩展相同的宽度，得到面积为的新长方形花坛，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）某旅游景点8月份共接待游客万人次，月份共接待游客万人次，设游客每月的平均增长率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）随着中考结束，某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送出了812张照片．若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）某商场销售一款恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销量，该商场准备降价销售.经市场调查发现，每件恤每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利3600元，设每件T恤降价元，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·河北张家口桥东区·期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，用一段长的铁丝围成一个一边靠墙（墙长，不使用铁丝）的矩形，其面积为，在矩形的边上留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为（    ） A． B．或 C． D． 12．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）某学校有一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若围成的菜地面积为180平方米，此时菜地的宽为（   ）米． A．6 B．10 C．6或10 D．12 13．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于1303年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．嘉淇对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为216文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（   ） A．设这批椽的数量为x株，则 B．这批椽的总运费为24文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 16．（25-26九年级上·河北保定·期中）某城市为申办冬奥会，决定改善城市容貌，计划用两年时间，使绿地面积增加，这两年平均每年绿地面积的增长率是_________． 17．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，如图所示． (1)若设正方形的边长为，则栽种鲜花区域(阴影部分)的面积为 (用含的代数式表示，要求结果最简)； (2)如果剩余空地面积为，求正方形的边长x的值． 18．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）暑假期间，某商场购进一批价格为元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的倍．该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价___________． 19．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）某水果店销售一种成本价是5元/千克的水果，若以7元/千克售出时，每天可以卖出160千克，经过几次调整价格，老板发现，销售价格影响了当天的销售量，设销售单价为x元/千克．下表是近三天的销售单价与销售量： 销售单价（元） 8 9 10 销售数量（千克） 140 120 100 (1)关于销售单价与销售量之间有下面两种观点： 观点一；每天的销售量与销售单价之间符合一次函数关系； 观点二：每天的销售单价每涨1元，销售量就会减少10千克； 以上观点正确的是 ； (2)请用含x的代数式表示每天的销售量 ； (3)物价局规定：这种水果的每千克售价不得超过进价的，若该水果店每天销售这种水果获利420元，则这种水果的单价应定为多少元． 20．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第一年的可变成本为万元，设可变成本平均每年增长的百分率为． (1)用含的代数式表示第年的可变成本为______万元； (2)如果该养殖户第年的养殖成本为万元，求可变成本平均每年的增长百分率． 21．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，某农家乐老板计划在一块长，宽的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为________． 22．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，厘米，是一条射线，．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线方向爬行，它们同时出发．当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过______秒，的面积为8平方厘米． 23．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）如图，学校计划利用已有的一堵长为的墙（），用篱笆围成一个长方形花园．现有可用的篱笆长为（全部用完）．设的长为． (1)如图1，用含的代数式表示的长． (2)如图1，当长方形花园的面积为时，求的值． (3)如图2，将墙全部利用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形，其中，，和都由篱笆构成．长方形花园的面积可以为吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由． 24．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长），另外三边用木栏围成，木栏全长35m． (1)若养鸡场的面积为，则养鸡场的长和宽分别是多少？ (2)养鸡场的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案：如果不能，请说明理由． 25．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 26．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）活动背景：制作无盖方形纸盒． 现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是．小成将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②），围城一个无盖的方形纸盒（如图③）． 任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是、容积的方形纸盒．求原硬纸板的长和宽分别是多少？ 任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面面积是的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，请说明理由． 27．（25-26九年级上·河北保定·期中）某店一型号台灯的成本价为30元，若以每台40元出售，平均每月能售出600台，经过一周试销售，发现售价在40元至70元范围内，平均每天售出的台灯数量（台）与售价上涨（元）之间存在如图所示的函数关系． (1)求出与的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ (3)正式销售后每台台灯的利润率不得高于，该店每月能否获得12250元的利润？若能，则台灯的售价应定为多少？若不能，请说明理由． 28．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）某商场售卖A，B两款儿童玩具，已知每个A款玩具的售价是每个B款玩具售价的倍，用元购买A款玩具的数量比用元购买B款玩具的数量少5个． (1)求每个B款玩具的售价为多少元； (2)经统计，商场每月卖出A款玩具个，每个A款玩具的利润为元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，每个A款玩具的售价每降低2元，那么平均每月可多售出个，商场要想每月销售A款玩具的利润达到元，每个A款玩具应降价多少元？ 29．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，有一幅长，宽的矩形照片，现要为这幅照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的二分之一． (1)求相框所占面积； (2)求相框的宽度． 30．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； （2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 31．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？ 32．（25-26九年级上·河北保定安国·期中）用一元二次方程解决实际问题：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 33．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）如图，中，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动到达B时停止，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动到达时停止，P，Q两点同时出发，运动时间为． (1)若的面积是面积的，求的值； (2)的面积能否与四边形面积相等？若能，求出的值；若不能，说明理由． (3)线段的长度能否达到？说明理由． 34．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用40米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设米． (1)若矩形花园的面积为300平方米，求x的值； (2)能围成面积为500平方米的矩形花园吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 35．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）某市电动车的交通事故频出，交警部门提醒市民，16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销售量，该品牌头盔7月份销售50个，9月份销售72个，7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，每个头盔售价为40元时，平均每月销售量为600个，若在此基础上售价每下降1元，其月销售量就增加200个．为迎接“双十一”，该经销商决定降价促销，在库存为1210个头盔的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个头盔的售价． 36．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．A 2．B 3．D 4．C 5．C 6．A 7．B 8．D 9．C 10．C 11．D 12．C 13．D 14．B 15．D 16．B 17．C 18．1 19．7 20． 21． 22．或 23．15 考点02 配方法 1．B 2．C 3．A 4．B 5．D 6．D 7．C 8．B 9．D 10．B 11． 12．， 13．8 考点03 公式法 1．A 2．C 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C 8．A 9．C 10．C 11．B 12．A 13．(1)一 (2) 解：解方程化为一般形式，得， ，，， ， ， 即，． 14．4（答案不唯一） 15．有两个不相等的实数根 16．4或5 17．【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及解一元二次方程，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据不等式组的整数解得，再把代入方程，求出，即可作答． （2）将代入，则，化简得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意满足的整数是， 将代入方程， 得， ∴ 解得； （2）解：将代入， 得方程为， 则， ∴， 故， ∴； ∴方程的另一个解为2． 18．【答案】(1) 证明：     ∴ 方程总有两个实数根． (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和求解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式和求解一元二次方程是解题的关键． （1）要证明一元二次方程总有两个实数根，就要利用一元二次方程根的判别式，对于给定的方程得到从而可证明该方程总有两个实数根． （2）当该方程有两个相等的实数根时，由（1）可知，令，求解出的值，然后将其代入回题目中的方程进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当该方程有两个相等的实数根时，， 由（1）知， ∴， 解得， 将代入， 得，即， 化简得， ∴． 19．【答案】 ；k的值为2． 【详解】分析：（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围； （2）先确定k=1或2，再根据方程的根都是整数，分类讨论即可. 详解：根据题意得， 解得； 为正整数， 或， 当时，，所以该方程的根为无理数， 当是，原方程为，解得， 所有k的值为2． 点睛：考查一元二次方程根的判别式， 当时，方程有两个不相等的实数根. 当时，方程有两个相等的实数根. 当时，方程没有实数根. 20．【答案】(1) 证明：， 无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．              (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）先求求出一元二次方程根的判别式，然后进行配方判断判别式的符号即可求解； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，再整理，最后将代入整理后的方程求解即可． 【详解】（1）略      （2）解：由根与系数的关系，得．                    ， ，即，解得． 考点04 因式分解法 1．C 2．(1)一 (2) 解∶ ， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 3．(1)公式法 (2)甲从第三步，乙从第一步 (3) 选择甲或乙： 甲同学： 解：，， ∴ ∴ ， 乙同学： 或 ， 4．(1)不正确，不正确 (2)， 5．是 或 6．【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是会用因式分解法及配方法解一元二次方程． （1）先变形，然后根据因式分解法即可解答此方程； （2）根据配方法即可解答此方程． 【详解】（1）移项，得， 因式分解，得， ∴或， 即； （2）方程移项，得：， 配方，得：， 即：， 开方，得：， 解得： 7．【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了公式法求解一元二次方程，因式分解法求解一元二次方程，解题关键是掌握上述一元二次方程求解方法． （1）用公式法求解； （2）用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， 即，； （2）， 移项，得， 所以， 所以或， 解得：，． 8．【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （2）先移项，再把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 9．【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握公式法、因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键． （1）由公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）由因式分解法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ， 则， 即或， 解得． 10．【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程． （1）利用因式分解将方程变为，得出或，随即得出结果； （2）先将方程整理为，再利用因式分解的方法得出或，随即得出结果． 【详解】（1）解：， ∴或， ∴，． （2）解：， ∴， ∴或， ∴，． 11．【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程解法是解题关键． （1）利用因式分解即可求解． （2）移项，用平方差公式分解因式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 12．【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 ∴，． 13．【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，根据方程的特点选择简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 所以，． （2）解： ， ， ， ，． 14．【答案】(1)或4 (2) ， ∵， ∴、之间距离不能为2． 【分析】本题考查数轴上两点之间距离公式，解一元二次方程，配方法，读懂题意，转化为相关数学知识是解决问题的关键． （1）根据，由数轴上两点之间的距离公式列式解方程即可得到答案； （2）根据数轴上两点之间距离公式表示，利用配方法得到，再由平方非负性得到即可确定答案． 【详解】（1）解：点代表的数为，点代表的数为， 由数轴上两点之间的距离公式可得， ， 即， 解得或； （2）略 15．【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握因式分解法，公式法，配方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用公式法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可； 【详解】（1）解：移项，得， 配方，得，即， 开方得， ∴，； （2）解：， ． ， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴， 即，； （3）解：移项，得． 因式分解，得． ∴或， ∴，． 16．【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查换元法解方程． （1）通过换元将高次方程转化为二次方程求解； （2）通过换元处理绝对值，转化为二次方程求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程化为． ∵， ∴， ∴，； 当时，， 即， ∴， ∴，； 当时，， 即， ∵， ∴无实数根； 故原方程的解为，； （2）解：设，则，且， 原方程化为， 即． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，即， ∴，． 17．【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键. （1）先求出根的判别式，再用公式法计算即可； （2）将常数项移到方程右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，配方即得，直接开方求解即可； （3）将所有项移到方程左边，然后提公因式得到，解方程即可． 【详解】（1）解：，， ，； （2）解： ，； （3）解： 或 ，． 18．【答案】(1)m＝2 (2)x1＝0，x2＝﹣5 【分析】（1）根据常数项为0，列出关于的方程，解出即可； （2）将的值代入原方程，解出原方程即可 【详解】（1） 解：由题意，得：m2﹣3m+2＝0 解之，得m＝2或m＝1①， 由m﹣1≠0，得：m≠1②， 由①，②得：m＝2； （2） 解：当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0， 得x2+5x＝0， x（x+5）＝0 解得：x1＝0，x2＝﹣5． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键． 19．【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法等）是解题关键． （1）将方程整理，利用完全平方公式配方，利用配方法解一元二次方程即可得； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】（1）解：， 整理得， 配方得，即， 开方得， 所以方程的解为，； （2）解：， ∴或， 所以方程的解为，． 20．【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法求解即可； （2）先移项，再提公因式进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ， ， ∴； （2）解： 或 解得． 21．【答案】(1) (2)“两根点”P的坐标为． 【分析】本题考查解一元二次方程、新定义、一次函数上点的坐标等知识点，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先解方程得到两根，然后根据“两根点”的定义即可解答； （2）先求出“两根点”点P，然后将点P的坐标代入即可求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 所以该方程的解为：，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点P在直线上， ∴， ∴． ∴“两根点”P的坐标为． 22．【答案】(1)且 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式的作用是解本题的关键． （1）根据题意可得根的判别式和一元二次方程的定义，列出不等式组求解即可； （2）把代入到关于的一元二次方程求出值，解出一元二次方程的解即可． 【详解】（1）关于的一元二次方程有两个不等的实数根， 且， 故答案为：的取值范围是且； （2）把代入到关于的一元二次方程中，得 ， ， ， ，， 故答案为：方程的另一根是． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．C 2．B 3．B 4．A 5．B 6．D 7．D 8．C 9．B 10．A 11．4 12．12 13． 14．1 15． 16． 17．(1) (2) (3)， 18．【答案】（1）m≤．　 （2）m=-3. 【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数m的取值范围； （2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=3，x1x2=m-1．再代入等式2（x1+x2）+ x1x2+10=0，即可求得m的值． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．∴　　⊿≥0． 　　即　32-4（m-1）≥0，解得,m≤．　 （2）由已知可得　x1+x2=3　　 x1x2=m-1 　 又2（x1+x2）+ x1x2+10=0 ∴2×（-3）+m-1+10=0　　∴m=-3 19．【答案】(1) 证明：， 无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； (2)0或 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）计算一元二次方程根的判别式，证明其大于零即可； （2）由根与系数的关系得，，代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 即， 解得，， 的值为0或． 20．【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据“一元二次方程有两个不相等的实数根”结合根的判别式计算即可； （2）根据根与系数的关系得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得； （2）解：设方程的另一根分别为n， 由根与系数关系可知， 解得， ∴另一根为． 21．【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元一次不等式和一元二次方程，解题的关键是掌握以上定义和公式． （1）利用根的判别式，列出不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 解这个不等式，得， 答：的取值范围是； （2）解：由题意，得 解得． 方程有两个不相等的根， 答：的值是． 22．【答案】(1)证明： ， ∵， ∴， ∴不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识﹒ （1）计算出，据此即可证明一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）根据一元二次方程根与系数关系得到，代入，得到，即可求出﹒ 【详解】（1）略 （2）解：∵一元二次方程两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴﹒ 考点06 实际问题与一元二次方程 1．A 2．D 3．A 4．A 5．D 6．A 7．B 8．A 9．C 10．C 11．D 12．B 13．D 14．B 15．B 16． 17．(1)； (2) 18． 19．(1)观点一 (2) (3)这种水果的单价应定为8元 20．(1) (2) 21． 22．2或4或 23．【答案】(1) (2) (3) 不能，理由： 当时， 整理得， ， 该方程无实数根， 长方形花园的面积不可以为，即长方形花园的面积不可以为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握是解题的关键． （1）利用长方形的性可得到，即可得到的表达式； （2）根据花园的面积建立一元二次方程，先解方程，再根据（1）中的取值范围进行取舍即可； （3）根据花园的面积建立一元二次方程，判断方程的解得情况即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由题意得长方形花园的面积为， 当时， 整理得， 解得（舍），， 答：当长方形花园的面积为时，求的值为； （3）略 24．【答案】(1)长是，宽是． (2) 养鸡场的面积不能达到，理由如下： 假设养鸡场的面积能达到， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即养鸡场的面积不能达到． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，利用根的判别式计算是解题的关键． （1）设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，列出方程，计算即可； （2）假设养鸡场的面积能达到，根据题意得：，利用根的判别式判断即可． 【详解】（1）设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：养鸡场的长是15m，宽是10m． （2）略 25．【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为； (2)当商品降价5元时，商场获利4250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 26．【答案】（1）原硬纸板的长是和宽是； （2）剪裁的小正方形的边长为时，小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意建立方程求解是解题的关键． 任务1：设原硬纸板的长是和宽是，建立方程，求解即可； 任务2：设剪裁的小正方形的边长为，建立方程，求解即可． 【详解】解：任务1：设原硬纸板的长是和宽是．则          解得，（不符，舍）     所以 答：原硬纸板的长是和宽是．     任务2：小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒     设剪裁的小正方形的边长为．则              ，（不符，舍）     答：剪裁的小正方形的边长为时，小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒． 27．【答案】(1) (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为每台50元 (3) 不能，理由如下： 由（2）可知，当该店每月获得12250元的利润时，， 整理，得， 解得． ∵每个台灯的利润率不得高于成本价的， ， 即． ， ∴不可能满足题意． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，求一次函数的解析式，解一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）充分理解题意，设台灯数量（台）与售价上涨（元）之间满足的函数关系为，再代入点和，进行计算，即可作答． （2）因为实现平均每月10000元的销售利润，且结合进行列式计算，即可作答． （3）与（2）同理，得出，解得．因为每个台灯的利润率不得高于成本价的，所以，解得，即可作答． 【详解】（1）解：由图可知，设平均每天售出的台灯数量（台）与售价上涨（元）之间满足的函数关系为， ∵函数过点和， ∴将点和代入， 得， 解得， ∵售价在40元至70元范围内， ， 与的函数表达式为． （2）解：由题意，得， 整理，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ， ∴为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为每台50元． （3）略 28．【答案】(1)每个B款玩具的售价为元 (2)每个A款玩具应降价6元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，分式方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设每个B款玩具的售价为x元，则每个A款玩具的售价为元，根据两款玩具的数量关系列方程求解即可； （2）设每个A款玩具应降价a元，根据单利润乘以数量等于总利润列方程求解，并保留符合实际情况的解． 【详解】（1）解：设每个B款玩具的售价为x元，则每个A款玩具的售价为元， 由题意得， ， 检验：当时， 原分式方程的解为， 答：每个B款玩具的售价为元； （2）解：设每个A款玩具应降价a元， 由题意得， 解得，， 为了尽快减少库存， ， 答：每个A款玩具应降价6元． 29．【答案】(1)相框所占面积为 (2)相框的宽度为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据相框所占面积为照片面积的二分之一，列式计算即可； （2）设相框的宽度为，根据配上相框的照片面积＝照片面积+相框的面积，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知， ， 答：相框所占面积为； （2）设相框的宽度为， 由题意得：， 整理得：， 解得： (不符合题意，舍去)，， 答：相框的宽度为． 30．【答案】（1）20%；（2）能 【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x，依题意列出关于x的一元二次方程，求解即可； （2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可． 【详解】解：（1）设亩产量的平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：亩产量的平均增长率为20%． （2）第四阶段的亩产量为（公斤）， ∵， ∴他们的目标可以实现． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握2次变化的关系式是解决本题的关键． 31．【答案】(1)20% (2)38元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为，根据题意得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设这种台灯售价应定为元，利用总利润每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，舍去， 答：月份和月份两个月的销售量月平均增长率为； （2）设这种台灯售价应定为元， 根据题意，得， 解得，， 售价在元至元范围内， ， 答：这种台灯售价应定为元． 32．【答案】(1)商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价元 (2)解：商场平均每天盈利不能达到元，理由如下： 假设能达到，由题意，得， 整理得：，， 即：该方程无解， 所以，商场平均每天盈利不能达到元． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用． （1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出，所以此时商场平均每天要盈利元，根据商场平均每天要盈利元，为等量关系列出方程求解即可； （2）假设能达到，根据商场平均每天要盈利元，列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能． 【详解】（1）解：设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出， 由题意，得， 即：， 解，得，， 为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以的值应为， 所以，商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价元； （2）略 33．【答案】(1) (2) 解：的面积不能与四边形面积相等．理由如下： 当的面积与四边形面积相等时， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴此方程没有实数根， ∴的面积不能与四边形面积相等． (3) 解：线段的长度能达到，理由如下： 当时， 在中，由勾股定理得， ∴， 整理得， 解得（舍去）或， ∴当时，线段的长度能达到． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式和勾股定理，根据题意正确得到一元二次方程成为解题的关键． （1）利用面积公式表示出和的面积，再根据题意列出关于t的方程求解即可； （2）假设的面积与四边形面积相等，则，利用面积列出方程，方然后根据方程解的情况即可解答； （3）根据“线段的长度能达到”，结合勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 解得； ∴当时，的面积是面积的． （2）略 （3）略 34．【答案】(1)x的值为10或30 (2) 不能围成面积为500平方米的矩形花园，理由如下： 由题意得：， 即， ， ∴该方程无实数根， ∴不能围成面积为500平方米的矩形花园． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用： （1）由矩形面积公式得出方程，解方程即可； （2）根据题意列出方程，求出该方程的根的判别式，即可解答． 【详解】（1）解：∵米， ∴米， 由题意得：， 即， 解得：，， 即x的值为10或30． （2）略 35．【答案】(1) (2)37元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔7月份销售50个，9月份销售72个得出关于x的一元二次方程，然后解方程即可； （2）设每个头盔售价为元，则月销售量为个，根据预计月获利恰好为8400元得出关于m的一元二次方程，然后解方程结合库存为1210个头盔取合适的解即可． 【详解】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意，得， 解这个方程，得（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）设每个头盔售价为元，由题意， 得， 解得， 当时，， 当时，， 所以，每个头盔的售价是37元． 36．【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价应定为50元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据5月份销售量月份销售量建立方程，解方程即可得； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元个，根据利润（售价进价）销售量建立方程，解方程求出的值，再选择较小的的值即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元／个， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元个． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $