专题06 圆、直线与圆的位置关系（期中真题汇编，河北专用）九年级数学上学期

专题06 圆、直线与圆的位置关系 8大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点07 圆的切线 考点08 正多边形与圆 考点01 圆的有关概念 1．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）已知的半径为2，点到点的距离为3，则点与的位置关系是（    ） A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．不确定 2．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）有甲、乙两种说法，甲：直径是弦； 乙：长度相等的两条弧是等弧，其中正确的是 （    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、 乙均对 D．甲、 乙均不对 3．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，正方形在半圆内部，顶点在圆上，在直径上．    (1)______（填“”“”或“”）； (2)在正方形右侧再作一个小正方形，点在直径上，点在上，点在半圆弧上；若正方形的边长为，求正方形的边长． 4．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）在平面直角坐标系中，如果点A的坐标为，点B的坐标为，则称点B为点A的“亲情点” (1)如图1，如果的半径为． ①请你判断，两个点的“亲情点”与的位置关系； ②设与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于点D，C．若点的“亲情点”在直线上，求a的值； (2)如图2，如果的半径为1，且的“亲情点”为，求点到上任一点距离的最小值． 考点02 过三点的圆 1．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______． 考点03 垂直于弦的直径 1．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ） A．4 B． C．5 D． 2．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）如图所示，是的直径，是非直径的弦，与相交于点．添加一个条件可以得到，这个条件可以是____（写出一个即可）． 3．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏，现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取，结果保留整数） 4．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水罐田的工具，点表示筒车的一个盛水桶，如图①．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，如图②．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的一个圆，且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为2米． (1)求该圆的半径． (2)若水面下降导致圆被水面截得的弦的长度从原来的8米变为6米，则水面下盛水桶的最大深度为多少米？ 5．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，． (1)作于点C，求的长； (2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？ 考点04 圆心角 1．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，厘米，且、两部分的面积相等，那么圆的面积是________平方厘米． 考点05 圆周角 1．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，用直角曲尺检查半圆形工件，合格的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，，，都是上的点，点在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）如图，是半圆的直径，弦，的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）如图，A、B、C、D均为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦长时，发现C点、D点分别与刻度1和4对齐，则A、B两点的距离是（    ） A． B． C． D．6 7．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则_____°．    8．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，是的直径，是的弦，，则_______． 9．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为___________． 10．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，四边形内接于，是的直径，点在上，且，则的度数为______． 11．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，的半径为2，求的长． 12．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，为的外接圆，且，是的直径，过点作于点，交于点，连接． (1)写出图中一个与相等的角； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，，求的长． 13．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，在中，弦、交于点E，． (1)求证：； (2)直接写出与的数量关系． 14．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，以的边为直径作，交边于点D，为的切线，弦于点F，连接． (1)求证：． (2)若点F为中点，且，求线段的长． 考点06 弧长和扇形面积 1．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长度分别为半径，已知扇面宣传板的面积为，若，则扇面宣传板所对的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，圆锥的底面半径，高，该圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧的长等于(  ) A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点和点均在轴上，纵坐标分别为和，点的坐标为，点的坐标为，与交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是______． 7．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，是的内接三角形，是的直径，弦，垂足为．设，，则图中阴影部分的面积为______． 8．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）【新情境•传统文化】瓷板画图1是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入到屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，，为上的两点，连接、，（桌面），，分别垂直直线于，两点，过点作于点，交于点．已知，，． (1)求的长； (2)求图2中阴影部分的周长． 9．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，是上一点，，垂足为，． (1)求这段弯路的半径； (2)若m，，在不计公路宽度的前提下，计算该段公路的展直长度．（结果保留） 考点07 圆的切线 1．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，分别与相切于两点，点在优弧上，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，是的直径，直线与相切于点A，交于点C，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C．是的平分线 D． 4．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，在中，是的直径，过点D作的切线，点A是上一点，且，连接交于点B，点C是的中点，连接，，为的切线． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知的半径为1，求阴影部分的面积．（结果保留π） 5．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，为的切线，为切点，过作，垂足为，交于点，延长与的延长线交于点．    (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 6．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）如图，是的直径，一直尺的顶点M在的延长线上，使边与相切，C为切点，连接． (1)求的度数； (2)若，求的长． 7．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）已知为的直径，C为上一点，过点C作的切线交的延长线于点P，D为弧上一点，连接，，． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，连接，若，，求的半径． 考点08 正多边形与圆 1．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）以半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（    ） A．不能构成三角形 B．这个三角形是等腰三角形 C．这个三角形是直角三角形 D．这个三角形是钝角三角形 3．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，正方形的边长为，剪去四个角后成为一个正八边形．求这个正八边形的边长和面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆、直线与圆的位置关系 8大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点07 圆的切线 考点08 正多边形与圆 考点01 圆的有关概念 1．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）已知的半径为2，点到点的距离为3，则点与的位置关系是（    ） A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握其判断方法是解题的关键． 根据点与圆的位置关系解题即可． 【详解】解：∵的半径为，点到点的距离为， ∴， ∴点在外． 故选：C． 2．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）有甲、乙两种说法，甲：直径是弦； 乙：长度相等的两条弧是等弧，其中正确的是 （    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、 乙均对 D．甲、 乙均不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的相关说法，根据等弧的定义，直径、弦的定义进行分析，解答即可． 【详解】解：直径是弦，甲说法正确， 长度相等的两条弧一定是等弧，乙说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同； 故甲对，乙错， 故选A． 3．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，正方形在半圆内部，顶点在圆上，在直径上．    (1)______（填“”“”或“”）； (2)在正方形右侧再作一个小正方形，点在直径上，点在上，点在半圆弧上；若正方形的边长为，求正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是关于圆和正方形的题目，涉及到正方形、圆的有关性质以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和圆的知识是解决本题的关键． （1）连接，则，在、中利用勾股定理即可得到结论； （2）连接，设正方形的边长为，在中利用勾股定理，得到关于的方程，解方程，问题即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接，，则．   四边形为正方形， ，， ， ． 故答案为： （2）解：如上图，连接，则． 由题意，得，， ． 设正方形的边长为． 在中，， 即，解得（负值已舍去）． 故正方形的边长为． 4．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）在平面直角坐标系中，如果点A的坐标为，点B的坐标为，则称点B为点A的“亲情点” (1)如图1，如果的半径为． ①请你判断，两个点的“亲情点”与的位置关系； ②设与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于点D，C．若点的“亲情点”在直线上，求a的值； (2)如图2，如果的半径为1，且的“亲情点”为，求点到上任一点距离的最小值． 【答案】(1)①点在外，点在内；② (2) 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆上一点的最值问题，一次函数的应用，理解新定义是解题的关键． （1）①根据“亲情点”的定义可得，，即可求解； ②求出直线的解析式，根据“亲情点”的定义可得为，再由点在直线上，即可求解； （2）根据“亲情点”的定义可得的坐标为，可得到点到圆心O的距离，即可求解． 【详解】（1）解：①由题意得，点M的“亲情点”为，点N的“亲情点”为， ，， 点在外，点在内； ②设直线的解析式为，将和代入 ， 解得：， ， 根据题意得：点的“亲情点”为， 点在直线上， ， 解得； （2）解：∵的“亲情点”为， ∴的坐标为， 点到圆心O的距离为， 点与上任意一点的最短距离是． 考点02 过三点的圆 1．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______． 【答案】外心 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，勾股定理，解题关键是根据勾股定理得出．根据勾股定理得出，进而得到答案． 【详解】解：由图中信息可得：， ∴点O在的外心上， 故答案为：外心． 考点03 垂直于弦的直径 1．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离， ∴，， 在中，， 故选：B． 2．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）如图所示，是的直径，是非直径的弦，与相交于点．添加一个条件可以得到，这个条件可以是____（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了垂径定理的推论，解题的关键是掌握垂径定理的推论． 根据“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”即可得答案． 【详解】解：，是的直径，是非直径的弦， ． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏，现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取，结果保留整数） 【答案】(1)5米 (2)25盏 【分析】本题考查垂径定理，求圆的周长，熟练掌握垂径定理，是解题的关键． （1）连接，设喷泉的半径为，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可； （2）根据喷泉的半径求出防护栏的半径，进而求出防护栏的周长，进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则：， ∴， ∵D是弦的中点， ∴平分弦，， ∴， ∴， ∴， 解得：米； 答：喷泉的半径为5米； （2）解：由题意，得：（米）， （盏）； 答：大约需要安装25盏景观灯． 4．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水罐田的工具，点表示筒车的一个盛水桶，如图①．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，如图②．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的一个圆，且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为2米． (1)求该圆的半径． (2)若水面下降导致圆被水面截得的弦的长度从原来的8米变为6米，则水面下盛水桶的最大深度为多少米？ 【答案】(1)该圆的半径为米 (2)1米 【分析】此题考查勾股定理，垂径定理． （1）过作于点，交于点，根据垂径定理有米，设圆的半径为米，则米，（米）， 在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可； （2）如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点，根据垂径定理有米，在中，根据勾股定理求得米，则米，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 过作于点，交于点，则， ∴（米） 设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，， 即， 解得， ∴该圆的半径为5米； （2）如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点， ∴（米）， ∵的半径为5米， ∴米 ∴在中，（米）， ∴（米）， ∴水面下盛水桶的最大深度为（米）． 5．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，． (1)作于点C，求的长； (2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？ 【答案】(1)的长 (2)此时水面截线减少了 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用、勾股定理的应用等知识点，理解垂径定理是解题的关键． （1）如图1：连接，由圆的性质可得，再利用垂径定理得出，再运用勾股定理计算即可解答； （2）如图2：过点O作，垂足为点D，连接，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出，最后与相减即可解答． 【详解】（1）解：如图1：连接， ∵， ∴                  ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得：， ∴的长． （2）解：如图2：过点O作，垂足为点D，连接，   ∴ 由题意可知： 在中，根据勾股定理得：， ∴ ，解得：， ∴，   ∴， ∴此时水面截线减少了． 考点04 圆心角 1．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，厘米，且、两部分的面积相等，那么圆的面积是________平方厘米． 【答案】400 【分析】本题主要考查了三角形面积，扇形面积，已知等腰直角三角形的底和高都是10厘米，根据“三角形面积底高”计算出三角形的面积；因为两部的面积相等，所以扇形的面积等于三角形的面积；由于三角形是等腰直角三角形，，所以扇形的圆心角，所以扇形面积是圆A面积的，计算圆A的面积就是用扇形面积除以即可． 【详解】解：（平方厘米）， ∵两部的面积相等， ∴扇形的面积等于三角形的面积； ∴扇形的面积等于（平方厘米）， ∵， ∴扇形的圆心角， ∴圆A的面积为（平方厘米）． 故答案为：400． 考点05 圆周角 1．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．角的顶点在圆上，角的两边是圆的两条弦，这样的角是圆周角． 【详解】解：根据圆周角的定义，只有A选项符合， 故选：A． 2．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，用直角曲尺检查半圆形工件，合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“直径所对的圆周角等于”判断即可．本题主要考查圆周角的概念及“直径所对的圆周角等于”，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：A、圆周角所对的弦不是直径，故该工件不合格； B、角不是圆周角，故该工件不合格； C、圆周角所对的弦不是直径，故该工件不合格； D、圆周角所对的弦是直径，故该工件合格； 故选：D． 3．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，，，都是上的点，点在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，理解相关知识是解答关键．在优弧上取一点D，连接，利用同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半求出的度数，再利用圆内接四边形内对角互补来求解． 【详解】解：在优弧上取一点D，连接， 则． ∵点四点共圆， ， ． 故选：B． 4．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）如图，是半圆的直径，弦，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，解题的关键是掌握直径所对的圆周角等于． 先根据圆周角定理得到，再根据平行线的性质得到，再由即可求解． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，由直径所对的圆周角是得出，根据直角三角形的两个锐角互余结合圆周角定理计算即可． 【详解】∵在中，为直径， ∴， ∵， ∴， 故选D． 6．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）如图，A、B、C、D均为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦长时，发现C点、D点分别与刻度1和4对齐，则A、B两点的距离是（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据点B，找到十二等分点的第六个分点E，连接，则为圆上的直径，连接，取的中点O，连接、，在证为等边三角形，根据刻度尺得出圆半径，根据圆周角定理得为直角三角形，根据勾股定理即可求出． 【详解】如图，在圆上取点E，连接，使得为圆上的直径，连接，取的中点O，连接、， C、D均为圆周上十二等分点， 占2个分点，， ， 为等边三角形， C点、D点分别与刻度1和4对齐， ，即， 由图可知：占4个分点，为直径， 占2个分点，，， ， ， 中 ， 故选：C． 7．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则_____°．    【答案】15 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及直径所对的圆周角等于，根据圆内接四边形的性质可得出，再根据直径所对的圆周角等于可得出，再利用角的和差关系可得出答案． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，且， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：15． 8．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，是的直径，是的弦，，则_______． 【答案】##30度 【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理及同弧所对的圆周角相等，先根据直径所对的圆周角是直角求得的度数，再根据同弧所对的圆周角相等可知． 【详解】解：∵是的直径，， ∴，则， 又∵对应的圆周角为和， ∴， 即． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，同角的补角相等，由四边形是圆内接四边形，则有，由，，所以，然后通过圆周角定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，四边形内接于，是的直径，点在上，且，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，连接，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，的半径为2，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解题的关键： （1）三线合一，得到，圆周角定理，得到，即可得出结果； （2）根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴平分， ∴， ∴； （2）∵的半径为2， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，为的外接圆，且，是的直径，过点作于点，交于点，连接． (1)写出图中一个与相等的角； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 解：是等腰三角形，理由如下： 为的直径， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 是等腰三角形． (3) 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理即可推出； （2）根据直角三角形的性质推出，再结合，即可证明； （3）根据勾股定理求出，再利用勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴（答案不唯一）． （2）略 （3）解：如图，连接， ，且由（2）知，在等腰中，， ． ，， 在中，由勾股定理，得， ， 在中，由勾股定理，得， 设的半径为，则， 解得， ， ． 13．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，在中，弦、交于点E，． (1)求证：； (2)直接写出与的数量关系． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． (2) 【分析】本题考查了圆的性质中弦与弧的关系，圆周角定理及全等三角形的判定与性质． （1）由可知其对应的弧长同样相等，再由，推得，从而证得； （2）根据同弧所对的圆周角相等得到，再由（1）中，利用“”证明，从而得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵所对的圆周角为和， ∴， 由（1）知，， 在和中， ， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，以的边为直径作，交边于点D，为的切线，弦于点F，连接． (1)求证：． (2)若点F为中点，且，求线段的长． 【答案】(1) 证明：∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查了切线的定义，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． （1）根据切线的定义得出，进而得出，则，根据圆周角定理得出，即可求证； （2）根据中点的定义得出，则，再根据勾股定理得出，最后根据垂径定理得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵点F为中点，且， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴． 考点06 弧长和扇形面积 1．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长度分别为半径，已知扇面宣传板的面积为，若，则扇面宣传板所对的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由扇形面积公式求角度，熟记扇形面积公式是解决问题的关键； 利用，再由扇形面积公式代值计算即可求解． 【详解】解：设扇面宣传板所对的圆心角为， 则，， ∵， ∴， 解得， 即扇面宣传板所对的圆心角为， 故选：C． 2．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，圆锥的底面半径，高，该圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积计算它的侧面积即可． 【详解】解：圆锥的母线的长， 这个圆锥的侧面积， 故选：C． 3．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键．利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径，再利用矩形的性质证得是等边三角形，得到，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，，交于点， ∵ ， ∴是直径， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴门洞的圆弧所对的圆心角为 ， ∴改建后门洞的圆弧长是， 故选：C． 4．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧的长等于(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接OB、OC，利用圆周角定理求得∠BOC=60°，然后利用弧长公式l=来计算劣弧的长． 【详解】如图，连接OB、OC， ∵∠BAC=30°， ∴∠BOC=2∠BAC=60°， 又OB=OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC=OB=OC=2， ∴劣弧的长为：． 故选A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长的计算以及等边三角形的判定与性质．根据圆周角定理得到∠BOC=60°是解题的关键所在． 5．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点和点均在轴上，纵坐标分别为和，点的坐标为，点的坐标为，与交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，圆周角定理，弧长等，由题意可知所在圆的圆心一定在直线上，设圆心的坐标为，如图，连接，由可得，即得，进而可得所在圆的半径为，再根据勾股定理及其逆定理可得是等腰直角三角形，即得，即得到，再根据弧长公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵点和点均在轴上，纵坐标分别为和， ∴所在圆的圆心一定在直线上， 设圆心的坐标为，如图，连接， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，即所在圆的半径为， 由网格得，，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：． 6．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是______． 【答案】16 【分析】本题考查了勾股定理和求圆锥的高，理解题意是解决本题的关键． 根据圆锥的底面周长求出底面半径，根据扇形面积公式求出母线长，再根据勾股定理求出高即可． 【详解】解：∵圆锥的底面周长为， ∴圆锥的底面半径为， ∵侧面积为， ∴圆锥的母线长为， ∴该吊灯外罩的高是． 故答案为：16． 7．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，是的内接三角形，是的直径，弦，垂足为．设，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】如图，连接，根据圆周角定理得到，求得，根据圆周角定理得到、，根据勾股定理得到，根据扇形和三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，是的直径，连接， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 图中阴影部分的面积， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理、垂径定理、圆周角定理、扇形面积的计算等知识点，将求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积是解题的关键． 8．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）【新情境•传统文化】瓷板画图1是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入到屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，，为上的两点，连接、，（桌面），，分别垂直直线于，两点，过点作于点，交于点．已知，，． (1)求的长； (2)求图2中阴影部分的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理、垂径定理求出，，再根据平行四边形的判定与性质求解即可； （2）证明是等边三角形得，根据弧长公式求出，再根据阴影部分的周长为求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）如图2，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为． 【点睛】本题考查了垂径定理、平行四边形的判定与性质、弧长公式、等边三角形的判定与性质，利用垂径定理结合勾股定理求出弦长，再结合图形性质分析各部分长度关系是解题的关键． 9．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，是上一点，，垂足为，． (1)求这段弯路的半径； (2)若m，，在不计公路宽度的前提下，计算该段公路的展直长度．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理，弧长公式，勾股定理等知识． （1）设该段弯路的半径为，由垂直定理得出，再利用勾股定理得出，代入数值计算即可得出答案． （2）根据该段公路的展直长度为计算即可． 【详解】（1）解：设该段弯路的半径为， ∵，， ∴， 在中， ， 解得：（米）． （2）解：根据题意：， ∴展直长度为： 考点07 圆的切线 1．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，分别与相切于两点，点在优弧上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线的性质，四边形的内角和，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键． 连接，，根据切线的性质求出，根据四边形的内角和为求得，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，， ∵，分别与相切， ∴， ∵， ∴． ∴ 故选：B． 2．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，是的直径，直线与相切于点A，交于点C，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质及圆周角定理，根据圆周角定理和切线的性质分别求得和的度数是解题的关键． 【详解】解：由题意知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵直线与相切于点A， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C．是的平分线 D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆切线判定．熟练掌握圆切线判定的方法，是解题的关键．根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质、圆的性质，逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， 当时，则， 即， 根据切线的判定，切于点C， 该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， 即， 根据切线的判定，切于点C， 该选项正确，不符合题意； C、∵， ∴，则， ∵， ∴， 若是的平分线， 即时， 则， 即， 根据切线的判定，切于点C， 该选项正确，不符合题意； D、当时， 由得到， 则是等边三角形， 无法确定， 不能得到切于点C， 该选项不正确，符合题意． 故选：D． 4．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，在中，是的直径，过点D作的切线，点A是上一点，且，连接交于点B，点C是的中点，连接，，为的切线． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知的半径为1，求阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】(1) 证明：如图，连接， 与都是的切线， ，， ， ， 又点C为的中点， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，且， ，且， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）通过切线性质得垂直关系，因为，则可得由切线长定理得，结合中点得，则，可得，则四边形为矩形，则，且，故，且，从而判定平行四边形； （2）因为，则矩形为正方形，利用计算阴影部分面积． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，四边形为矩形， 又∵， 矩形为正方形， 阴影部分的面积是． 【点睛】本题考查圆的切线性质，切线长定理，平行四边形的判定，矩形、正方形的判定，扇形面积，掌握相关知识是解决问题的关键． 5．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，为的切线，为切点，过作，垂足为，交于点，延长与的延长线交于点．    (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，   ，， ， 是的切线， ， 在与中， ， ， ， ， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理证明结论； （2）根据勾股定理得出，根据切线的性质得到，再根据勾股定理得出，根据勾股定理求出，然后利用三角形的面积即可得解． 【详解】（1）略 （2），， 在中，， 、为的切线， ， 在中，，即， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理，三角形的面积，熟记切线的判定与性质是解题的关键． 6．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）如图，是的直径，一直尺的顶点M在的延长线上，使边与相切，C为切点，连接． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的判定与性在，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）如图，连接，根据切线的性质得到，结合等腰三角形的性质推出，由已知，即可求解； （2）由题意求出，，由直角三角形的性质可得，则，求出，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的切线， ， ， ， ， ∴， ， ， ； （2）解：由题意得：， ， ∵， ，则， 解得， ∴． 7．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）已知为的直径，C为上一点，过点C作的切线交的延长线于点P，D为弧上一点，连接，，． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，连接，若，，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查切线的性质、圆的基本性质、勾股定理等性质，准确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质，得到，，求出，根据，求出，根据圆内接四边形的性质即可求解； （2）连接、，与交于点E，求出，根据勾股定理求出，设的半径为，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴． （2）连接、，与交于点E，如图： ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴（负值已舍去）， 设的半径为r， 在 中，， ∴， 解得：． 考点08 正多边形与圆 1．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查切线的性质，正多边形的内角，圆周角定理，连接，求出的度数，根据四边形的内角和为360度求出的度数，圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， 连接， 由题意，得：， ∴， ∴； 故选B． 2．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）以半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（    ） A．不能构成三角形 B．这个三角形是等腰三角形 C．这个三角形是直角三角形 D．这个三角形是钝角三角形 【答案】C 【详解】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形解答． 解：（1）因为OC=1，所以OD=1×sin30°=； （2）因为OB=1，所以OE=1×sin45°=； （3）因为OA=1，所以OD=1×cos30°=． 因为 ， 所以这个三角形是直角三角形． 故选：C. 【点睛】本题考查多边形的半径、边心距、中心角等概念，还考查了勾股定理的逆定理,解直角三角形，解题的关键是构造直角三角形. 3．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，正方形的边长为，剪去四个角后成为一个正八边形．求这个正八边形的边长和面积． 【答案】这个正八边形的边长是（4－4）cm，面积是（32－32）cm2． 【分析】设剪去的小直角三角形的两直角边均为xcm，根据勾股定理可得(4－2x)2＝x2＋x2，求出的值，即可得出4－2x的值，即为正八边形的边长，再根据正八边形的面积等于正方形的面积减去4个小等腰直角三角形的面积即可得出答案． 【详解】解：由正方形剪去四个角后成为一个正八边形，可知减去的每个角所组成的三角形为等腰直角三角形，设剪去的小直角三角形的两直角边均为xcm， 由题意可知(4－2x)2＝x2＋x2， 解得x1＝4＋2（舍去），x2＝4－2， 所以4－2x＝4－2×(4－2)＝4－4， 即这个正八边形的边长是(4－4)cm． S正八边形＝S正方形－4S小三角形 ＝42－4×·x·x ＝16－2(4－2)2 ＝16－2(24－16) ＝32－32(cm2) ． 答：这个正八边形的边长是(4－4)cm，面积是(32－32)cm2． 【点睛】本题考查了正方形的性质、正八边形的性质、勾股定理、解一元二次方程，得出“减去的每个角所组成的三角形为等腰直角三角形”并能正确列出方程是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆、直线与圆的位置关系 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点07 圆的切线 考点08 正多边形与圆 考点01 圆的有关概念 1．C 2．A 3．(1) (2) 4．【答案】(1)①点在外，点在内；② (2) 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆上一点的最值问题，一次函数的应用，理解新定义是解题的关键． （1）①根据“亲情点”的定义可得，，即可求解； ②求出直线的解析式，根据“亲情点”的定义可得为，再由点在直线上，即可求解； （2）根据“亲情点”的定义可得的坐标为，可得到点到圆心O的距离，即可求解． 【详解】（1）解：①由题意得，点M的“亲情点”为，点N的“亲情点”为， ，， 点在外，点在内； ②设直线的解析式为，将和代入 ， 解得：， ， 根据题意得：点的“亲情点”为， 点在直线上， ， 解得； （2）解：∵的“亲情点”为， ∴的坐标为， 点到圆心O的距离为， 点与上任意一点的最短距离是． 考点02 过三点的圆 1．外心 考点03 垂直于弦的直径 1．B 2．（答案不唯一） 3．【答案】(1)5米 (2)25盏 【分析】本题考查垂径定理，求圆的周长，熟练掌握垂径定理，是解题的关键． （1）连接，设喷泉的半径为，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可； （2）根据喷泉的半径求出防护栏的半径，进而求出防护栏的周长，进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则：， ∴， ∵D是弦的中点， ∴平分弦，， ∴， ∴， ∴， 解得：米； 答：喷泉的半径为5米； （2）解：由题意，得：（米）， （盏）； 答：大约需要安装25盏景观灯． 4．【答案】(1)该圆的半径为米 (2)1米 【分析】此题考查勾股定理，垂径定理． （1）过作于点，交于点，根据垂径定理有米，设圆的半径为米，则米，（米）， 在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可； （2）如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点，根据垂径定理有米，在中，根据勾股定理求得米，则米，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 过作于点，交于点，则， ∴（米） 设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，， 即， 解得， ∴该圆的半径为5米； （2）如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点， ∴（米）， ∵的半径为5米， ∴米 ∴在中，（米）， ∴（米）， ∴水面下盛水桶的最大深度为（米）． 5．【答案】(1)的长 (2)此时水面截线减少了 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用、勾股定理的应用等知识点，理解垂径定理是解题的关键． （1）如图1：连接，由圆的性质可得，再利用垂径定理得出，再运用勾股定理计算即可解答； （2）如图2：过点O作，垂足为点D，连接，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出，最后与相减即可解答． 【详解】（1）解：如图1：连接， ∵， ∴                  ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得：， ∴的长． （2）解：如图2：过点O作，垂足为点D，连接，   ∴ 由题意可知： 在中，根据勾股定理得：， ∴ ，解得：， ∴，   ∴， ∴此时水面截线减少了． 考点04 圆心角 1．400 考点05 圆周角 1．A 2．D 3．B 4．A 5．D 6．C 7．15 8．#度 9． 10． 11．【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解题的关键： （1）三线合一，得到，圆周角定理，得到，即可得出结果； （2）根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴平分， ∴， ∴； （2）∵的半径为2， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 12．【答案】(1) (2) 解：是等腰三角形，理由如下： 为的直径， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 是等腰三角形． (3) 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理即可推出； （2）根据直角三角形的性质推出，再结合，即可证明； （3）根据勾股定理求出，再利用勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴（答案不唯一）． （2）略 （3）解：如图，连接， ，且由（2）知，在等腰中，， ． ，， 在中，由勾股定理，得， ， 在中，由勾股定理，得， 设的半径为，则， 解得， ， ． 13．【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． (2) 【分析】本题考查了圆的性质中弦与弧的关系，圆周角定理及全等三角形的判定与性质． （1）由可知其对应的弧长同样相等，再由，推得，从而证得； （2）根据同弧所对的圆周角相等得到，再由（1）中，利用“”证明，从而得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵所对的圆周角为和， ∴， 由（1）知，， 在和中， ， ∴， ∴． 14．【答案】(1) 证明：∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查了切线的定义，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． （1）根据切线的定义得出，进而得出，则，根据圆周角定理得出，即可求证； （2）根据中点的定义得出，则，再根据勾股定理得出，最后根据垂径定理得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵点F为中点，且， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴． 考点06 弧长和扇形面积 1．C 2．C 3．C 4．A 5．B 6．16 7． 8．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理、垂径定理求出，，再根据平行四边形的判定与性质求解即可； （2）证明是等边三角形得，根据弧长公式求出，再根据阴影部分的周长为求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）如图2，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为． 【点睛】本题考查了垂径定理、平行四边形的判定与性质、弧长公式、等边三角形的判定与性质，利用垂径定理结合勾股定理求出弦长，再结合图形性质分析各部分长度关系是解题的关键． 9．【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理，弧长公式，勾股定理等知识． （1）设该段弯路的半径为，由垂直定理得出，再利用勾股定理得出，代入数值计算即可得出答案． （2）根据该段公路的展直长度为计算即可． 【详解】（1）解：设该段弯路的半径为， ∵，， ∴， 在中， ， 解得：（米）． （2）解：根据题意：， ∴展直长度为： 考点07 圆的切线 1．B 2．B 3．D 4．【答案】(1) 证明：如图，连接， 与都是的切线， ，， ， ， 又点C为的中点， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，且， ，且， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）通过切线性质得垂直关系，因为，则可得由切线长定理得，结合中点得，则，可得，则四边形为矩形，则，且，故，且，从而判定平行四边形； （2）因为，则矩形为正方形，利用计算阴影部分面积． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，四边形为矩形， 又∵， 矩形为正方形， 阴影部分的面积是． 【点睛】本题考查圆的切线性质，切线长定理，平行四边形的判定，矩形、正方形的判定，扇形面积，掌握相关知识是解决问题的关键． 5．【答案】(1) 证明：连接，   ，， ， 是的切线， ， 在与中， ， ， ， ， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理证明结论； （2）根据勾股定理得出，根据切线的性质得到，再根据勾股定理得出，根据勾股定理求出，然后利用三角形的面积即可得解． 【详解】（1）略 （2），， 在中，， 、为的切线， ， 在中，，即， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理，三角形的面积，熟记切线的判定与性质是解题的关键． 6．【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的判定与性在，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）如图，连接，根据切线的性质得到，结合等腰三角形的性质推出，由已知，即可求解； （2）由题意求出，，由直角三角形的性质可得，则，求出，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的切线， ， ， ， ， ∴， ， ， ； （2）解：由题意得：， ， ∵， ，则， 解得， ∴． 7．【答案】(1) (2) 【分析】本题考查切线的性质、圆的基本性质、勾股定理等性质，准确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质，得到，，求出，根据，求出，根据圆内接四边形的性质即可求解； （2）连接、，与交于点E，求出，根据勾股定理求出，设的半径为，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴． （2）连接、，与交于点E，如图： ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴（负值已舍去）， 设的半径为r， 在 中，， ∴， 解得：． 考点08 正多边形与圆 1．B 2．C 3．【答案】这个正八边形的边长是（4－4）cm，面积是（32－32）cm2． 【分析】设剪去的小直角三角形的两直角边均为xcm，根据勾股定理可得(4－2x)2＝x2＋x2，求出的值，即可得出4－2x的值，即为正八边形的边长，再根据正八边形的面积等于正方形的面积减去4个小等腰直角三角形的面积即可得出答案． 【详解】解：由正方形剪去四个角后成为一个正八边形，可知减去的每个角所组成的三角形为等腰直角三角形，设剪去的小直角三角形的两直角边均为xcm， 由题意可知(4－2x)2＝x2＋x2， 解得x1＝4＋2（舍去），x2＝4－2， 所以4－2x＝4－2×(4－2)＝4－4， 即这个正八边形的边长是(4－4)cm． S正八边形＝S正方形－4S小三角形 ＝42－4×·x·x ＝16－2(4－2)2 ＝16－2(24－16) ＝32－32(cm2) ． 答：这个正八边形的边长是(4－4)cm，面积是(32－32)cm2． 【点睛】本题考查了正方形的性质、正八边形的性质、勾股定理、解一元二次方程，得出“减去的每个角所组成的三角形为等腰直角三角形”并能正确列出方程是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $