专题08 解直角三角形（期中真题汇编，河北专用）九年级数学上学期

专题08 解直角三角形 3大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）若，则“□”表示的数是（） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，掌握知识点是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值，的值为，直接与给定等式比较即可得出答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 故选：A． 2．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，准确识图，根据锐角三角函数的定义对题目中给出的四个选项逐一进行分析判断即可得出答案．熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，， ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 3．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）如图，在中，若，，，则的值估计在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，无理数的估算，根据正切的定义得到，则，再根据无理数的估算方法求出的范围即可得到答案． 【详解】解：∵在中，若，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值估计在4到5之间， 故选：B． 4．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）在中，若，则的长为（    ） A． B．2 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 根据正弦的定义即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 5．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，在中，，若，，则，被墨迹覆盖的内容可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据正切的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，若，， ∴， 故选：C． 6．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）按如图所示的运算程序，能使输出的值为的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据流程图以及锐角三角函数的定义，逐一判定选项，即可得到答案． 【详解】A. ，时，y=sin60°=， B. ，时，y=cos45°=， C. ，时，y=sin30°=， D. ，时，y=cos45°=， 故选C． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 7．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）如图，将菱形纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在射线上的点E处，折痕交于点P．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，作于，由菱形，，可得，，则，由折叠的性质可知，，则，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于， ∵菱形，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质，余弦，正切等知识．熟练掌握菱形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质，余弦，正切是解题的关键． 8．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求角的正切值，根据网格可知，，即可知，即可得出，由即可推出． 【详解】解：由网格可知：，， ， ∴， ∵， ∴ ∴， 故选C 9．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为 （   ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，根据垂径定理得出CH=DH，DM=EM，BN=CN，利用勾股定理求得OH，即可求得BH，进而求得BC，求得ON，根据三角形函数求得DG，因为MN=DG，即可求得OM，根据勾股定理求得DM，得出DE． 【详解】解：设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC， ∵DE∥BC， ∴MN⊥BC，DG⊥DE， ∴四边形DMNG是矩形， ∴DG=MN， ∵OM⊥DE，ON⊥BC， ∴DM=EM=DE，BN=CN， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB． ∴CH=DH=CD=3， ∴OH==4， ∴BH=9， ∴BC==3， ∴BN=BC=， ∴ON=， ∵sin∠BCH=，即， ∴DG=， ∴MN=DG=， ∴OM=MN-ON=， ∴DM==， ∴DE=2DM=． 故选A． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，平行线的性质，矩形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 10．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，两同心圆的圆心为O，一个宽度为的刻度尺一边与大圆相切于点P，另一边与小圆相切于点Q，与大圆交于C，D两点，P，Q均在圆O的同侧，，若用阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小圆半径为厘米，则大圆半径为厘米， 利用垂径定理结合勾股定理列方程求出两圆半径， 利用三角函数可求出，则阴影部分半径和圆心角都可知，计算阴影部分对应的弧长，利用圆锥底面圆周长=侧面展开弧长求出底面半径． 【详解】解：连接，， ∵刻度尺一边与大圆相切于点P，另一边与小圆相切于点Q， ∴，， ∵直尺两边平行， ∴， 则三点共线， 设小圆半径为厘米， ∵刻度尺宽度为厘米， 则大圆半径厘米， 由垂径定理得： 厘米， 在中，由勾股定理： ， 即 ∴厘米，大圆半径厘米， 在中， ∴， ∴， ， 则阴影部分对应的圆心角为， 则阴影部分（扇形）的弧长为： 厘米 设圆锥底面半径为， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的切线性质，垂径定理，勾股定理，圆锥侧面展开图与底面圆的关系，垂直的性质，锐角三角函数，掌握相关知识是解决问题的关键． 11．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）在中，，都是锐角，，，写出最确切的形状是______． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值求出的度数，进而确定出三角形的形状即可． 【详解】解：∵，都是锐角，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形． 12．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）计算 结果是________． 【答案】1 【分析】本题考查特殊角的三角函数值和零指数幂的运算，需将各三角函数值代入后，进行运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 13．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）计算：______． 【答案】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 14．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）下图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，每个三角形都以点为一顶点，已知（为正整数）是第一个小于的角，则的值为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形中正切值的计算，勾股定理，正确进行计算是解题关键．根据，，，，，的值，求出，，，找到规律求出，最后根据是第一个小于的角，列不等式求解即可． 【详解】解：其中，，每个三角形都以点为顶点． ，，则， ，，则， ，，则， ∴，，则， ∵是第一个小于的角， ∴， 即， 整理得， 取最小自然数得， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减法，即可求解； （）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， 或， ∴，． 16．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、二次根式的性质，分别根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质计算各项，即可求解． 【详解】解：原式 17．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，在图2中： (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求角的正切值，一元一次方程的应用，平行线的性质等，熟练掌握正切的定义是解题的关键． （1）根据图1中的矩形的面积等于图2中的的面积，列出方程，解方程即可求解； （2）根据平行线的性质得出，根据正切的定义即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，图1中的矩形的面积等于图2中的的面积， 即， ∴， 解得：． （2）解：延长，交直线于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即． 18．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，在菱形中，交于E，连接，若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、三角函数的定义等知识点，根据菱形的性质以及勾股定理求得相关边的长是解题的关键． 设，根据菱形的性质可得，进而得到、，再运用勾股定理求得、，最后利用三角函数的定义求解即可． 【详解】解：设， 四边形是菱形， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理可得， 在中，， ． 考点02 解直角三角形 1．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵D为的中点，， ∴， 故选：A． 2．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 3．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】B 【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为， 在中，， 在中，， ∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 4．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）如图，矩形中，是对角线的中点，连接，若，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质和直角三角形斜边中线定理，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．利用矩形的性质和直角三角形斜边中线定理来求解． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，两束光线从成像图层的点处发射，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点和，若入射角，，平面镜与成像图层平行，它们之间的距离为，则，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了光的反射定律与解直角三角形的综合应用，解题的关键是通过作垂线构建直角三角形，利用三角函数求线段长度． 分别过反射点作成像图层的垂线，构建直角三角形，利用三角函数求出和的长度，再通过计算出两点间距离． 【详解】解：如图，分别过反射点作成像图层的垂线，设平面镜上两个反射点为、，过作于，过作于． 由题意知，平面镜与成像图层平行，且距离为， ． 对于的光线： 根据反射定律，入射角等于反射角， 是等腰直角三角形（）． 在中，，即， 解得． 又垂直平分（反射对称性）， ． 对于的光线： 在中，，即， 解得． 同理，垂直平分， ． ． 故选D 6．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为： 现已知在中，，， ，则等于（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，新定义，解题关键是理解新定义．把，， ，代入，得到关于a的方程，求解即可． 【详解】解：∵，， ，， ∴ 即 化简整理得： 解得：，（舍去）， 即， 故选：B． 7．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至C，连结，若满足，，则点C的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作轴，垂足为D，通过解直角三角形可求得，根据已知易证，从而可得，，然后在中求出与的长，最后证明，利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：过点C作轴，垂足为D，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了坐标与图形、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 8．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）如图1，在平行四边形中，，，于点，且．点从点出发，沿向终点运动，设点在该折线上运动的路径长为，连接． (1)的长为___________； (2)连接，求的大小； (3)延长到点，使得，以，为邻边作平行四边形．如图2，当点在上，平行四边形对角线所在的直线恰好经过点时，求的值； 【答案】(1)5 (2)为 (3) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角函数，勾股定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，解题的关键是分类讨论思想的运用，正确的作图． （1）利用正弦函数的定义求得，即可求解； （2）根据勾股定理，求出，得到，则，根据三角形的内角和即可求解． （3）分别用表示出，，和的值，证明，，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：D落在对角线上，如图，过点作于点，设交延长线于点， 由题意得，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴,， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴, ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 9．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）如图，将矩形对折使与重合，得到折痕，再次折叠，使点落在折痕上，并使折痕经过点，得到折痕和线段，记与的交点为．若，则_______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形等知识点，掌握解直角三角形成为解题的关键． 由折叠的性质可得：，在根据特殊角的三角函数值可得，进而得到、，再解直角三角形得到，，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为4． 10．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空： ， ； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】(1)64；53； (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）过点C作，根据平行线的判定和性质求角度即可； （2）过点D作，过点E作，利用矩形的判定得出四边形为矩形，四边形为矩形，再结合图形，利用三角函数求解即可． 【详解】（1）解：过点C作， ∵垂直于， ∴， ∴， ∵与水平线平行， ∴， ∴， ∴， 故答案为：64；53； （2）解：过点D作，过点E作，如图所示： ∴四边形为矩形， 同理得：四边形为矩形， ∴， ∵为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）在Rt中，，，，在、上取两点，连接，且，．把绕点逆时针旋转，旋转角为，连接、； (1)在图中， ； (2)在图中，求证：； (3)继续旋转 ①如图3，当点落在上时，恰有，求的值； ②当点、、在同一条直线上时恰好，直接写出的长． 【答案】(1)6 (2) 证明：图1中，∵， ∴， ∴图1、图2中，， ∵绕点旋转， ∴， 在和中， ∵，， ∴； (3)①；②或 【分析】（1）先由三角函数定义求出AB，再用勾股定理求AC； （2）先由DE∥BC得相似，再结合旋转角相等，证两边成比例且夹角相等，从而得相似； （3）①先利用三角形面积或三角函数求出AD，再结合求k；②先求AD、AE、DE的长，利用相似得BD与CE的关系，结合勾股定理分情况求CE． 【详解】（1）解：在中， ∵，， ∴， 由勾股定理：， 故答案为：； （2）略 （3）解：∵，， ∴ ∴， ∵， ∴； ②当时，∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， 设，则， ∵， ∴ ∴， ∴， 情况1：点在延长线上， ， 在中， ∵， ∴， 化简得：， 解得：（舍去负根）； 情况2：点在上， ， 在中， ∵， ∴， 化简得：， 解得：（舍去负根）， 综上，或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数的定义、旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 12．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）如图，在中，，的平分线交于D，，解这个直角三角形． 【答案】 解：∵，， ∴， ∴， ∵的平分线交于D， ∴， ∴， ∴，． 【分析】本题考查解直角三角形，在中，根据，求出，角平分线求出，进而得到，根据锐角三角函数求出的长即可． 【详解】略 考点03 应用举例 1．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 2．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）某河堤横断面如图所示，河堤，水平距离，则斜坡的坡度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，坡度坡比的问题，解题的关键是理解坡度的概念． 根据坡度的定义直接求解即可． 【详解】解：在中，，， 斜坡的坡度． 故选：B． 3．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）如图，已知从点看点，仰角为，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点位于点的（    ） A．南偏西方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 【答案】A 【分析】本题考查了仰角与方向角；过B作水平方向射线，垂直方向射线，则，；由此可求得，从而可确定点位于点的方向． 【详解】解：过B作水平方向射线，垂直方向射线，则，； 则， ∴点位于点的方向为南偏西方向上． 故选：A． 4．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，一艘轮船在处测得灯塔位于的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达处，测得灯塔位于的北偏东方向上，测得港口位于的北偏东方向上．已知港口在灯塔的正北方向上．    (1)填空： 度， 度； (2)求灯塔到轮船航线的距离（结果保留根号）； (3)求港口与灯塔的距离（结果保留根号）． 【答案】(1)30，45 (2)灯塔到轮船航线的距离为海里 (3)港口与灯塔的距离为海里 【分析】（1）作交于，作交于，由三角形外角的定义与性质可得，再由平行线的性质可得，即可得解； （2）作交于，作交于，由（1）可得：，从而得到海里，再由进行计算即可； （3）作交于，作交于，证明四边形是矩形，得到海里，，由计算出的长度，证明是等腰直角三角形，得到海里，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，作交于，作交于，   ，， ， 都是正北方向， ， ， ， 故答案为：30，45； （2）解：如图，作交于，作交于，   ， 由（1）可得：， 海里， 在中，，海里， 海里； 灯塔到轮船航线的距离为海里； （3）解：如图，作交于，作交于，   ，，，、都是正北方向， 四边形是矩形， 海里，， 在中，，海里， 海里， 在中，， 是等腰直角三角形， 海里， 海里， 港口与灯塔的距离为海里． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 5．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）图1是某云梯消防车停在地面上演练救援的场景，图2是其侧面示意图，车身高米（），为车身长，且，云梯可绕点O旋转，点O、D、B在同一直线上，可伸缩，套管米，液压杆底端C为上的固定点，米．在现在工作状态下，．求此时： (1)救援高度点B到地面的距离是多少米； (2)的值． （参考数据：，结果精确到0.1） 【答案】(1)救援的高度为13.7米 (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键． （1）过点B作，延长交于点Q，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答； （2）过点D作于点P，依次求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图作，延长交于点Q． ∴． ∵， ∴． ∴四边形为矩形． ∴． 在中， ∵， ∴． ∴． ∴． 此时救援的高度为13.7米． （2）解：作， ∴． ∵， ∴． 在中， ∵， ∴． ∴． ∴． 6．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度均等于，且与在同一条直线上． (1)如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角，求出此时拉杆把手A点距离地面的高度； (2)如图2，当拉杆伸出两节（）时，此时拉杆把手A点距离地面高度与图1相同．求出此时与地面夹角的度数．（参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是关键． （1）过点A作，，由可求解； （2）过点A作，由可求解． 【详解】（1）解：如图，过点A作，， 在中， ∵， ∴， 解得 拉杆箱把手A点距离地面； （2）解：如图，过点A作， ，， 在中， ∵， ∴． 7．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）情境 嘉嘉和淇淇利用水槽和射灯进行综合实践探究，如图1，图2所示，一水槽放置在水平面上，射灯支架垂直于水平面，射灯AB发出垂直于的光线，和的夹角，． 操作 嘉嘉进行了两步实验操作： ①如图1，光线投射到空水槽底部处． ②如图2，向水槽注水，光线投射到水面处，然后发生折射，最后投射到底部处． 探究 (1)请求出长（结果保留一位小数）； (2)在图2中，嘉嘉认为需要知道折射角的度数，才能求的长度，淇淇认为不需知道折射角度数就可以求出长．你认为谁的看法正确，并写出理由．（注：，，） 【答案】(1)cm (2) 解：淇淇看法正确．理由如下： 延长，交底部于C，D． 由题意得，， 四边形是平行四边形， ． 同理，． ． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）作于，利用矩形的性质，通过求得，然后根据锐角三角函数解直角三角形； （2）延长，交底部于C，D，结合平行四边形的判定和性质进行推理说明． 【详解】（1）解：如图，作于， 由题意可得四边形是矩形， ． 又∵， ，． 在Rt中，． （2）略 8．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，作出辅助线并正确地进行计算是解题关键． （1）如图，过D作于H，过C作于E，证明四边形为矩形，分别求解，，，，可得答案； （2）如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米，连接，过点M作于点F，分别用含x的代数式表示出、、，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：过D作于H，过C作于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，， 根据题意得，，，而千米， ∴（千米）， ∴千米，（千米）， ∵， ∴千米， ∴（千米）； （2）解：如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点M作于点F， 由（1）可得千米， ∴千米，在左边， ∵， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴千米； 即小南出发千米后恰好与小开相距千米． 9．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）图1是一款落地式三杆折叠晾衣架，该晾衣架固定杆，，，的长度都相同，加粗杆，的长度也都相同，使用中，加粗杆始终与水平地面垂直，晾衣架的宽度最宽可拉伸到，最窄可拉伸到，点，始终在加粗杆的相同高度上，且，图2是其最窄状态下的示意图，此时固定杆与加粗杆的夹角，．（固定杆及加粗杆的厚度忽略不计） (1)求固定杆的长度． (2)将晾衣架从最窄拉伸到最宽，此时，求，两点之间缩短的距离． （计算过程和结果都精确到；参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，求出，判断四边形是矩形，得， 由正弦定义即得的长度约为． （2）当晾衣架最宽时，，，由勾股定理求出；当晾衣架从最窄时，，由正切定义求出．即得E、F之间的距离大约缩短了． 【详解】（1）解：连接． 由题意知，，． ∴． ∵垂直于， ∴． ∴ ∵A，E始终在加粗杆的相同高度上， ∴． ∴四边形是矩形． ∴． ∴． ∴． 答：固定杆的长度约为． （2）当晾衣架从最宽时， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 当晾衣架最窄时， ∵， ∴． ∴E、F间缩短的距离为． ∴． 答：E、F之间的距离大约缩短了． 【点睛】本题考查了解直角三角形应用．熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，按比例分配，平行线判定和性质，单位之间的换算，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 解直角三角形 3大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）若，则“”表示的数是（） A．1 B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）如图，在中，若，，，则的值估计在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 4．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）在中，若，则的长为（    ） A． B．2 C．8 D．10 5．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，在中，，若，，则，被墨迹覆盖的内容可能是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）按如图所示的运算程序，能使输出的值为的是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）如图，将菱形纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在射线上的点E处，折痕交于点P．若，，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为 （   ） A． B． C．6 D． 10．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，两同心圆的圆心为O，一个宽度为的刻度尺一边与大圆相切于点P，另一边与小圆相切于点Q，与大圆交于C，D两点，P，Q均在圆O的同侧，，若用阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）在中，，都是锐角，，，写出最确切的形状是______． 12．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）计算 结果是________． 13．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）计算：______． 14．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）下图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，每个三角形都以点为一顶点，已知（为正整数）是第一个小于的角，则的值为_____________． 15．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）计算： (1)； (2)． 16．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）计算： 17．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，在图2中： (1)求的长； (2)求． 18．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，在菱形中，交于E，连接，若，求的值． 考点02 解直角三角形 1．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 4．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）如图，矩形中，是对角线的中点，连接，若，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 5．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）如图，两束光线从成像图层的点处发射，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点和，若入射角，，平面镜与成像图层平行，它们之间的距离为，则，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为： 现已知在中，，， ，则等于（      ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至C，连结，若满足，，则点C的坐标为（   ）    A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）如图1，在平行四边形中，，，于点，且．点从点出发，沿向终点运动，设点在该折线上运动的路径长为，连接． (1)的长为___________； (2)连接，求的大小； (3)延长到点，使得，以，为邻边作平行四边形．如图2，当点在上，平行四边形对角线所在的直线恰好经过点时，求的值； 9．（25-26九年级上·河北保定清苑区·期中）如图，将矩形对折使与重合，得到折痕，再次折叠，使点落在折痕上，并使折痕经过点，得到折痕和线段，记与的交点为．若，则_______． 10．（25-26九年级上·河北张家口宣化区·期中）现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空： ， ； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 11．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）在Rt中，，，，在、上取两点，连接，且，．把绕点逆时针旋转，旋转角为，连接、； (1)在图中， ； (2)在图中，求证：； (3)继续旋转 ①如图3，当点落在上时，恰有，求的值； ②当点、、在同一条直线上时恰好，直接写出的长． 12．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）如图，在中，，的平分线交于D，，解这个直角三角形． 考点03 应用举例 1．（25-26九年级上·河北张家口桥西区·期中）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）某河堤横断面如图所示，河堤，水平距离，则斜坡的坡度是（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）如图，已知从点看点，仰角为，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点位于点的（    ） A．南偏西方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 4．（25-26九年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，一艘轮船在处测得灯塔位于的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达处，测得灯塔位于的北偏东方向上，测得港口位于的北偏东方向上．已知港口在灯塔的正北方向上．    (1)填空： 度， 度； (2)求灯塔到轮船航线的距离（结果保留根号）； (3)求港口与灯塔的距离（结果保留根号）． 5．（25-26九年级上·河北唐山迁安·期中）图1是某云梯消防车停在地面上演练救援的场景，图2是其侧面示意图，车身高米（），为车身长，且，云梯可绕点O旋转，点O、D、B在同一直线上，可伸缩，套管米，液压杆底端C为上的固定点，米．在现在工作状态下，．求此时： (1)救援高度点B到地面的距离是多少米； (2)的值． （参考数据：，结果精确到0.1） 6．（25-26九年级上·河北唐山遵化·期中）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度均等于，且与在同一条直线上． (1)如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角，求出此时拉杆把手A点距离地面的高度； (2)如图2，当拉杆伸出两节（）时，此时拉杆把手A点距离地面高度与图1相同．求出此时与地面夹角的度数．（参考数据：，） 7．（25-26九年级上·河北邢台信都区邢台区·期中）情境 嘉嘉和淇淇利用水槽和射灯进行综合实践探究，如图1，图2所示，一水槽放置在水平面上，射灯支架垂直于水平面，射灯AB发出垂直于的光线，和的夹角，． 操作 嘉嘉进行了两步实验操作： ①如图1，光线投射到空水槽底部处． ②如图2，向水槽注水，光线投射到水面处，然后发生折射，最后投射到底部处． 探究 (1)请求出长（结果保留一位小数）； (2)在图2中，嘉嘉认为需要知道折射角的度数，才能求的长度，淇淇认为不需知道折射角度数就可以求出长．你认为谁的看法正确，并写出理由．（注：，，） 8．（25-26九年级上·河北邯郸永年区·期中）中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 9．（25-26九年级上·河北石家庄高新区学校·期中）图1是一款落地式三杆折叠晾衣架，该晾衣架固定杆，，，的长度都相同，加粗杆，的长度也都相同，使用中，加粗杆始终与水平地面垂直，晾衣架的宽度最宽可拉伸到，最窄可拉伸到，点，始终在加粗杆的相同高度上，且，图2是其最窄状态下的示意图，此时固定杆与加粗杆的夹角，．（固定杆及加粗杆的厚度忽略不计） (1)求固定杆的长度． (2)将晾衣架从最窄拉伸到最宽，此时，求，两点之间缩短的距离． （计算过程和结果都精确到；参考数据：，，） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08解直角三角形 考点01正弦、余弦与正切 考点02解直角三角形 考点03应用举例 》 考点01正弦、余弦与正切 1.A 2.D 3.B 4.C 5.C 6.C 7.D 8.C 9.A 10.B 11.等腰直角三角形 12.1 13.25 14.8 15.【答案】(1)1： (②x=3,x=2: 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键. (1)先求出特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减法，即可求解； (2)利用因式分解法解方程即可· V3cos30°-√2sin45°+tan45°cos60° 【详解】(1)解： =5x5-2x2+1x +1× 2 21 2 1/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 =1； (2)解：3x2-13x+14=0, (3x-7)(x-2)=0 3x-7=0或x-2=0, 7 x=3,x2=2 16【答案】35-1 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、二次根式的性质，分别根据特殊角的三角函数值、二次根式 的性质计算各项，即可求解 【详解】解：原式=V1-tan60)'+2V3 =1-5+25 =1-3+25 =V3-1+2√3 =3√5-1 17.【答案】(1)DN=4 gna号 【分析】本题考查了求角的正切值，一元一次方程的应用，平行线的性质等，熟练掌握正切的定义是 解题的关键。 (1)根据图1中的矩形AMND的面积等于图2中的△AND的面积，列出方程，解方程即可求解； (2)根据平行线的性质得出∠DAN=∠AEF=a,根据正切的定义即可求解. 【详解】(1)解：由题意可知，图1中的矩形AMWD的面积等于图2中的△AWD的面积， S矩形AD=S.AD 2/12 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :0-7小9590w, 解得：DN=4. (2)解：延长AN,交直线BC于点E,如图， D A(M) E C B R工a G AN∥FG. ∴.∠AEF=∠F=a, .ADlI BC. ∴.∠DAN=∠AEF=&, 在RtAND中，an∠DAW=DN-4 AD9· 即ana=4 9· √6 18.【答案】6 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、三角函数的定义等知识点，根据菱形的性质以及勾 股定理求得相关边的长是解题的关键。 设AB=3x,根据菱形的性质可得AD=AB=3x,进而得到BE=x、AE=2x,再运用勾股定理求得 DE=5x BD=6x ,最后利用三角函数的定义求解即可. 【详解】解：设AB=3x, ·四边形ABCD是菱形， :AD=AB=3x, ..BE=x, 3/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DE⊥AB, 在Rt△ADE中，AE=AB-BE=3x-x=2x, 由勾股定理可得DE=VAD-AE=V3x-(2x=5x. 在RIABDE中，BD=VDE2+BE=5x+2=6x. ∴cOs∠DBE=BE=x-V6 BD6x 6. 考点02解直角三角形 1.A 2.A 3.B 4.C 5.D 6.B 7.B 8.(1)5 (2)∠CAE为45 周* 9.4 10.(1)64:53: (2)40cm 11.(1)6 (2) 证明：图1中，：DElIBC, ∴△ADE△ABC. 图1图2.8 ,△ADE绕点A旋转C, 4/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠DAB=∠EAC=a, 在△ABD和△ACE中， :B长，208.∠EC ∴.△ABD∽△ACE: 33V91+123V91-12 60k=5:②5或5 12.【答案】 解：∠C=90,AC=5cm, 4D=10 3cm :os∠CaD=4C=V5 AD 2, ∴.∠CAD=30°， :∠BAC的平分线交BC于D, .∠BAC=2∠CAD=60°， .∠ABC=30°， 4B=24C=10cm BC=AC.tan60=53cm 【分析】本题考查解直角三角形，在RACD中，根据©0s∠C4D-C D,求出∠CAD=30,角平分线 求出∠BAC=60°，进而得到∠ABC=30°，根据锐角三角函数求出AB,BC的长即可. 【详解】略 》 考点03应用举例 1.D 2.B 3.A 4.(1)30,45 (②灯搭“到轮船航线1B的距离为0W5 海里 5/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)港口C与灯塔M的距离 10(5-）海里 5.【答案】Q)救援的高度为13.7米 (2)0.9 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直 角三角形是解答本题的关键。 (1)过点B作BH⊥MN,延长OA交BH于点Q,构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行 计算即可解答： (2)过点D作DP⊥OA于点P,依次求出DP,OD,OP,即可求解. 【详解】(I)解：如图作BH⊥MN,延长OA交BH于点Q. B M HE ∴.∠BHE=∠AEH=90° .OA∥MN, .∠QAE=90° 四边形AQHE为矩形. .QH=AE=2.5,∠H0A=90° 在RtAOOB中， :BD=0D=10,∠0=34°， .OB=20 .2B=sin34°×0B≈0.56×20=11.2 .BH=QB+QH=11.2+2.5=13.7 此时救援的高度为13.7米. (2)解：作DP⊥OA, 6/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .PD∥BQ .BD =OD. :PD=}B0=56 2 在RtAODP中， .0D=10,∠0=34°， .OP=cos34°×OD≈0.83×10=8.3. .PC=OP-C0=8.3-2.3=6. :tm乙4cD=DP-560.9 PC 6 6.【答案】(1)72cm (2)37° 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是关键. )过点A作AH1cG,4C=4B+BC=30+60=90cm由n∠4CH- AC可求解； (2)过点A作AN⊥CG,由sin∠ACN= AC可求解。 【详解】(1)解：如图，过点A作AH⊥CG,AC=AB+BC=30+60=90cm, 在RIAHC中，sin乙ACH=4H AC .∠ACH=53°，sin53°≈0.8 AH .90 ≈0.8 解得AH=72cm 拉杆箱把手A点距离地面72cm; (2)解：如图，过点A作AW⊥CG, 7/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B D , G C AC=AM+MB+BC=30+30+60=120cm AN=AH =72cm 在R△ANC中，sin∠ACN=W-72 0.6 AC-120 .sin37°≈0.6， .∠ACN=37° 7.【答案】(1)15.7cm (2) 解：淇淇看法正确。理由如下： 延长AM,BN交底部于C,D. A(a 由题意得MN∥CD,MC II ND ∴四边形MNDC是平行四边形， .MN=CD 同理，MN=EF ∴.EF=CD≈15.7cm 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 (1)作CG⊥BD于G,利用矩形的性质，通过求得∠GCD=40°，然后根据锐角三角函数解直角三角 形 (2)延长AM,BW交底部于C,D,结合平行四边形的判定和性质进行推理说明. 【详解】(1)解：如图，作CG⊥BD于G, 8/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A 由题意可得四边形ABGC是矩形， ∴.CG=AB=12 又：∠OAC=a-∠BAC=40°， ∴∠AC0=90°-∠OAC=50°，∠GCD=40°」 在RtACDG中，CD= CG cos∠GCD ≈15.7(cm) (2)略 8.【答案】a2+)T米 (2)1.98千米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，作出辅助线并正确地进行计算是解题关键. (I)如图，过D作DH⊥AB于H,过C作CE1DH于E,证明四边形BCEH为矩形，分别求解CE, DE,BH,AH,可得答案： (2)如图，设出发”小时后，小南到达点M,小开到达点，他们之间的距离 N=2V3 千米，则 DM=2x千米，AN=4x千米，连接MN,过点M作MF⊥AB于点F,分别用含x的代数式表示出 MF、FV、MN,再利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】(I)解：过D作DH⊥AB于H,过C作CE⊥DH于E, 北 西个东 南 459 30 E A: H .∠B=90°， ∴四边形BCEH是矩形， 9/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC=EH=1千米，CE=BH, 根据题意得，∠DCE=90°-45°=45°，∠DAH=90°-30°=60°，而DC=2V2千米， E=DE=222=2元米。 BH=CE=2千米，DH=DE+EH=2+1=3(千米)， DH :AH =tan∠DAH=tan60°=√5 AH =3 =5千米， 4B-BH+AH=2+ (千米)； (②解：如图，设出发”小时后，小南到达点M,小开到达点，他们之间的距离W=25 米， 则DM=2x千米，AW=4x千米， 连接MN,过点M作MF⊥AB于点F, 由1D可得40==25千米， cos60° :MM=D-DM=-(25-2x)千米，F在N左边， .∠MAF=60°， 、4F=M60=(5-于米，MF=4Msm60-(6-5于米， 北 D 西 个，东 南 M 459 309 N B :.FN=AN-AF=4r-(5--(5x-5)千米， 在Rt△MFN中，MF2+FN2=MN2, 10112 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :(3-3x+5x-5=(25, 解得x=7或x=0(舍太) :DM=2x=2x4 ≈1.98 千米 即小南出发98千米后恰好与小开相距 3 千米。 9.【答案】(1)80cm (2)22cm 【分析】(1)连接AE,求出MH=240,判断四边形AMHE是矩形，得AE=MH=240,由正弦定 义即得AF的长度约为80cm. (2)当晾衣架最宽时，AE=MH=600,AF=800,由勾股定理求出EF≈530；当晾衣架从最窄时， AE=MH=240,由正切定义求出EF≈750.即得E、F之间的距离大约缩短了22cm. 【详解】(1)解：连接AE. A E B 由题意知，HⅢ=600，M:MH=3:2 :.MH=600 3+2240 2 .AM,EH垂直于HI, .AM EH ∴.∠AFE=∠FAM=17.5 A,E始终在加粗杆的相同高度上， .AM=EH, ∴.四边形AMHE是矩形. 11/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.AE=MH=240 ..AF=_ AE 240.240 =800 sin∠AFE sinl7.5°0.3 .800mm=80cm 答：固定杆AF的长度约为8Ocm. (2)当晾衣架从最宽时， .M=MH,HⅢ=1200. :MI=MH-HI=600 2 .AE=MH=600 AF=800 :.EF=VAF2-AE2=207≈530 当晾衣架最窄时， .AE=240 ..EF= AE 240240 =750 tan∠4FE tan17.5o0.32 ,E、F间缩短的距离为750-530=220. .220mm=22cm 答：E、F之间的距离大约缩短了22cm 【点睛】本题考查了解直角三角形应用.熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，按 比例分配，平行线判定和性质，单位之间的换算，是解题的关键. 12112