精品解析：河北省邢台市清河县第二中学2025-2026学年上学期九年级数学期中检测题

九年级(上)学业质量检测卷 时间：120分钟 满分∶120分 第Ⅰ卷(选择题 共30分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2. 从数学的观点看，对以下事件判断正确的是（ ） A. “清明时节雨纷纷”是必然事件 B. “煮熟的鸭子飞了”是确定性事件 C. “水中捞月”是随机事件 D. “水涨船高”是不可能事件 3. 如图， 是的直径， 是的弦，连接 ，，．若， ，则的长为（　　） A. π B. C. D. 4. 已知，，是抛物线上的三点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的方程 的一个根是1，则另一个根为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与围成的扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 中国画以墨代色，产生了墨分五色的说法，唐代张彦远《历代名画记》中曰：“运墨而五色具”，五色：即焦、浓、重、淡、清，这就是中国画用墨的奇妙处．美术老师想从这五色中先选择两色让学生重点练习，则正好选中淡与清的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部装有带有桨叶的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进．这种船的桨轮下半部浸入水中，上半部露出水面，因其推进方式类似车轮，故又被称为“明轮船”或“轮船”．如图，该桨轮船的轮子被水面截得线段 为，轮子的吃水深度为 ，则该桨轮船轮子半径为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是正方形内一点，以为一条边作正方形，连接和．根据旋转知识，给出下列四个说法：①；②； ③若点恰好落在 边上时，则； ④若，则．其中正确说法的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 抛物线交x轴于，，交y轴的负半轴于C，对称轴与抛物线交于点D．根据以上信息得出下列结论：①；②；③；④当时，y的值随x值的增大而减小；⑤当时，；其中结论正确的个数有（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中的横线上) 11. 点与点关于原点对称，则点A的坐标为__________ 12. 为确保产品质量，某厂质检部门定期对该厂生产的各类产品按一定比例进行随机检查．并统计产品的合格情况，下图表示的是A产品的部分质检数据： 估计该厂生产的A产品合格的概率是______．（结果精确到） 13. 从，1，2中取两个不同的数，分别记为a 和b，则a，b是方程的两个根的概率是_________． 14. 如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径，直线 的解析式为．若直线 与半圆有交点，则的取值范围是_____． 15. 如图，嘉琪需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y＝ax2＋bx（a≠0）表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为m，到墙边OA的距离分别为m， m．该抛物线的图案最高点到地面的距离是___________m；若该墙的长度为10m，则最多可以连续绘制这样的抛物线型图案___________个． 16. 如图所示，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形绕点O逆时针旋转后，得到正方形，第2次将正方形绕点 O 逆时针旋转 后，得到正方形，……，依此规律，绕点 O 旋转得到正方形，则点的坐标为_________________． 三、解答题(本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图所示，在边长为1个单位的小正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段 ，直线l在网格线上． （1）把线段 向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到线段 （其中A与C是对应点），请画出线段 ； （2）把线段 绕点D按顺时针方向旋转，得到线段，在网格中画出； （3）请在网格中画出关于直线l对称的． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两实数根，满足，求实数k的值． 20. 如图所示的转盘，被均分成5等份，分别标记数字1、2、3、4、5，小娟和小丽玩转盘游戏，转动转盘指针停在哪个区域就得相应分数（指针停在分界线，则重转） （1）如果转一次，求指针停在偶数区域的概率； （2）如果约定游戏规则：小娟转一次，指针落在奇数区域就得15分；小丽连续转两次，两次得分之积为偶数就得15分．试问游戏公平吗？若不公平，请修改小娟或小丽的得分使游戏公平． 21. 渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克． （1）写出工厂每天的利润元与降价元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？ （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ （3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？ 22. 如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C． （1）若，求∠C的度数； （2）若，，求⊙O半径的长． 23. 如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C. 图1 图2 （1）求该抛物线的解析式； （2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长； （3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨） 24. 综合与实践： 问题情境：在中，，点 D 在边上，连接 ，将 绕点 A 逆时针旋转至的位置，使得．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答． 特例分析： （1）“希望”小组提出问题：如图1，若，连接，试判断四边形的形状，并说明理由； （2）“智慧”小组提出问题：如图2，连接 ，取 的中点G，连接，请猜想线段与 的数量关系，并加以证明； （3）深入探究： “创新”小组提出问题：如图 3，若，，连接交 于点H，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级(上)学业质量检测卷 时间：120分钟 满分∶120分 第Ⅰ卷(选择题 共30分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一进行判断即可得. 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意， 故选C. 【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形. 2. 从数学的观点看，对以下事件判断正确的是（ ） A. “清明时节雨纷纷”是必然事件 B. “煮熟的鸭子飞了”是确定性事件 C. “水中捞月”是随机事件 D. “水涨船高”是不可能事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查对于事件类型的判断．随机事件在随机试验中，可能出现也可能不出现；不可能事件在随机试验中一定不会出现；必然事件在随机试验中一定会出现． 【详解】A. “清明时节雨纷纷”是随机事件，故该选项不符合题意； B. “煮熟的鸭子飞了”是不可能事件，是确定性事件，故该选项符合题意； C. “水中捞月”是不可能事件，故该选项不符合题意； D. “水涨船高”是必然事件，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图，是的直径，是的弦，连接 ， ，．若，，则的长为（　　） A. π B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理和弧长公式，熟练掌握相关的定理和公式是解答本题的关键． 根据圆周角定理和弧长公式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， 是直径， ∴， ， 解得：， ， 的长， 故选：A． 4. 已知，，是抛物线上的三点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出该抛物线的对称轴为直线，再由二次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 5. 若关于x的方程 的一个根是1，则另一个根为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系快速求出另一个根，也可先代入已知根求出k的值，再解方程得到结果． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵对于一元二次方程，两根之和为， 又∵方程中，，一个根为1， ∴， ∴， 即方程的另一个根为， 故选：A． 6. 如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与围成的扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心角∠AOB的度数，再根据扇形面积公式即可求解． 【详解】∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆． ∴∠AOB= ∴OB与围成的扇形的面积是 故选B． 【点睛】此题主要考查扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆内正多边形的性质及扇形面积公式的运用． 7. 中国画以墨代色，产生了墨分五色的说法，唐代张彦远《历代名画记》中曰：“运墨而五色具”，五色：即焦、浓、重、淡、清，这就是中国画用墨的奇妙处．美术老师想从这五色中先选择两色让学生重点练习，则正好选中淡与清的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率，记焦、浓、重、淡、清分别为A，B，C，D，E．画出树状图求解即可． 【详解】记焦、浓、重、淡、清分别为A，B，C，D，E． 共有20种等可能，正好选中淡与清有两种可能， ∴正好选中淡与清的概率． 故选：C． 8. 唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部装有带有桨叶的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进．这种船的桨轮下半部浸入水中，上半部露出水面，因其推进方式类似车轮，故又被称为“明轮船”或“轮船”．如图，该桨轮船的轮子被水面截得线段为，轮子的吃水深度为，则该桨轮船轮子半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． 过圆心P作于点D，交于点C，连接，根据垂径定理可得，设该桨轮船轮子的半径为r，则，，在中，根据勾股定理即可列出方程，求解即可． 【详解】过圆心P作于点D，交于点C，连接． 由题意可得， ∵过圆心P，且， ∴， 设该桨轮船轮子的半径为r，则，， ∵在中，， 即， 解得， ∴该桨轮船轮子半径为. 故选：B 9. 如图，是正方形 内一点，以为一条边作正方形，连接和．根据旋转知识，给出下列四个说法：①；②； ③若点恰好落在 边上时，则； ④若，则．其中正确说法的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由“SAS”可证△ABK≌△ADM，可得把△ABK绕A逆时针旋转90°后与△ADM重合，且BK与DM是对应边，可得BK＝DM，BK⊥DM，故①②正确；由正方形的性质可得∠MAD＝∠MAL＝45°，可求∠MAB＝135°，故③正确；先求出∠KAB＝30°，由AK不一定等于BK，可得∠KBA不一定等于∠KAB＝30°，故④错误，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD和四边形AKLM都是正方形， ∴AB＝AD，AK＝AM，∠BAK＝90°−∠DAK，∠DAM＝90°−∠DAK， ∴∠BAK＝∠DAM， 在△ABK和△ADM中， ， ∴△ABK≌△ADM（SAS）． ∴把△ABK绕A逆时针旋转90°后与△ADM重合， ∴BK＝DM，BK⊥DM，故①②正确； ∵点L恰好落在AD边上， ∴∠MAD＝∠MAL＝45°， ∴∠MAB＝∠MAD＋∠DAB＝135°，故③正确； ∵∠MAB＝120°，∠MAK＝90°， ∴∠KAB＝30°， ∵K是正方形ABCD内一点， ∴AK不一定等于BK， ∴∠KBA不一定等于∠KAB＝30°，故④错误， 综上所述：正确的有3个， 故选：B． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，证明△ABK≌△ADM是解题的关键． 10. 抛物线交x轴于，，交y轴的负半轴于C，对称轴与抛物线交于点D．根据以上信息得出下列结论：①；②；③；④当时，y的值随x值的增大而减小；⑤当时，；其中结论正确的个数有（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点坐标，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结论是否正确．根据抛物线的开口方向、对称轴的位置、与轴交点位置便可确定、、的正负，进而确定①正确与否；利用与轴的交点坐标，求出抛物线的对称轴，再根据对称轴判断与之间的关系，即可判断②，当时，，即可判③，根据图象即可判断④，当时，函数取最小值，进而判断⑤． 【详解】解： 抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴在轴的右侧， 、异号，即， 抛物线与轴交于负半轴， ， ，故①错误； 抛物线交轴于，， 对称轴为直线， 即， ， ，故②正确； 当时，， ，故③正确； 由图象可知，当时，的值随值的增大而减小，故④正确； 当时，抛物线有最小值， 当，且时，， ， ，故⑤正确； 所以正确的有4个． 故选：B． 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中的横线上) 11. 点与点关于原点对称，则点A的坐标为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点．根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可以直接得到答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． 故答案为： 12. 为确保产品质量，某厂质检部门定期对该厂生产的各类产品按一定比例进行随机检查．并统计产品的合格情况，下图表示的是A产品的部分质检数据： 估计该厂生产的A产品合格的概率是______．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】根据概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率解答即可． 【详解】解：在大量重复试验的情况下，频率的稳定值作为概率的估计值，即次数越多，频率越接近于概率，则这种幼树移植成活的概率约为 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比及运用样本数据去估计总体数据的基本解题思想． 13. 从 ，1，2中取两个不同的数，分别记为a 和b，则a，b是方程的两个根的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先解一元二次方程得到其两根，再列举出从三个数中任取两个不同数的所有有序等可能结果，最后依据概率公式计算对应概率． 【详解】解：解方程得，， 从 ，，中任取两个不同的数分别记为和，所有有序等可能结果为，，，，，，共6种， 其中满足，是方程的两个根的结果为，，共2种， 所以a，b是方程的两个根的概率是． 14. 如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径，直线的解析式为．若直线与半圆有交点，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了直线和圆的位置关系，以及用待定系数法求解直线的解析式等方法，若直线与半圆有交点，则直线和半圆相切于点开始到直线过点结束（不包括直线过点），当直线和半圆相切于点时，根据直线的解析式知直线与x轴所形成的锐角是，从而求得，即可得出点的坐标，进一步得出t的值；当直线过点时，直线根据待定系数法求得的值，进而即可求解． 【详解】若直线与半圆有交点，则 直线和半圆相切于点开始到直线过点结束，当直线和半圆相切于点时，直线与轴所形成的锐角是， ∴， 又∵半圆的半径， ∴， ∴代入解析式，得， 当直线过点时，把代入直线解析式，得， 即当，直线和半圆有交点． 15. 如图，嘉琪需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y＝ax2＋bx（a≠0）表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为m，到墙边OA的距离分别为m， m．该抛物线的图案最高点到地面的距离是___________m；若该墙的长度为10m，则最多可以连续绘制这样的抛物线型图案___________个． 【答案】 ①. 1 ②. 5 【解析】 【分析】根据图像得到，，代入解析式求出解析式，最后根据顶点坐标公式即可得到答案；令 ，解出方程得到两点距离，进而即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：，， 把B，C代入得 ， 解得：， ∴抛物线的函数关系为； ∴图案最高点到地面的距离； 令 ，即， ∴，， ∴， ∴最多可以连续绘制5个这样的抛物线型图案． 故答案为：1，5． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，正确的求出二次函数的解析式是解题的关键． 16. 如图所示，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形绕点O逆时针旋转后，得到正方形，第2次将正方形绕点 O 逆时针旋转 后，得到正方形，……，依此规律，绕点 O 旋转得到正方形，则点的坐标为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形可知：点在以 为圆心，以为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形绕点 逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点 逆时针旋转，可得对应点的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案．本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是数形结合并学会从特殊到一般的探究规律的方法． 【详解】解：∵点的坐标为，四边形是正方形， ∴点的坐标为， ， 四边形是正方形， ， 连接，如图： 由勾股定理得：， 由旋转的性质得：， 将正方形绕点 逆时针旋转后得到正方形， 相当于将线段绕点 逆时针旋转，依次得到， ，，，，，，，， 发现是8次一循环，则， 点的坐标为． 三、解答题(本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用公式法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解： ， ， ∴； 【小问2详解】 解： 或 ∴． 18. 如图所示，在边长为1个单位的小正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段，直线l在网格线上． （1）把线段向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到线段（其中A与C是对应点），请画出线段； （2）把线段绕点D按顺时针方向旋转，得到线段，在网格中画出 ； （3）请在网格中画出 关于直线l对称的． 【答案】（1） 所画线段如图①所示； （2） 所画 ，如图②所示； （3） 所画 ，如图③所示． 【解析】 【分析】（1）将点及点分别向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到点和点 ，连接点和点 即可； （2）根据旋转的性质，找出点绕点 按顺时针方向旋转后所得到的对应点 ，连接，，即可得到 ； （3）根据对称的性质，分别找出点，点 ，点 关于直线对称的点，点，点，连接点，，，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了作图-图象的平移，画旋转图形，画轴对称图形，掌握图象平移的性质，旋转的性质及对轴称图形的性质是解题关键． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两实数根，满足，求实数k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据根的判别式计算即可； （2）先根据根与系数的关系得到，，再代入计算即可，注意取值范围． 【小问1详解】 由题意得：， 解得； 【小问2详解】 根据题意得，， ∵， ∴，即， 则， 整理得， 解得，， 又，故 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20. 如图所示的转盘，被均分成5等份，分别标记数字1、2、3、4、5，小娟和小丽玩转盘游戏，转动转盘指针停在哪个区域就得相应分数（指针停在分界线，则重转） （1）如果转一次，求指针停在偶数区域的概率； （2）如果约定游戏规则：小娟转一次，指针落在奇数区域就得15分；小丽连续转两次，两次得分之积为偶数就得15分．试问游戏公平吗？若不公平，请修改小娟或小丽的得分使游戏公平． 【答案】（1） （2）游戏不公平，修改规则如下：小娟转一次，指针落在奇数区域就得16分 【解析】 【分析】（1）利用概率公式进行计算即可； （2）列表，求出概率进行判断即可． 【小问1详解】 解：转一次指针停在偶数的可能性有2个，所有等可能的情况有5种，故指针停在偶数的概率为． 【小问2详解】 小娟每转一次得15分的概率为；小丽转两次共有25种情形，其积如下表： 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 4 6 8 10 3 3 6 9 12 15 4 4 8 12 16 20 5 5 10 15 20 25 共有25种等可能结果，其中积为偶数的共16种等可能的结果，其得15分的概率为 ， 游戏不公平． ∵， ∴修改规则如下：小娟转一次，指针落在奇数区域就得16分． 【点睛】本题考查列表法求概率，以及利用概率解决游戏公平性问题．熟练掌握列表法以及概率公式，是解题的关键． 21. 渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克． （1）写出工厂每天的利润元与降价元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？ （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ （3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？ 【答案】（1），9600；（2）降价4元，最大利润为9800元；（3）43 【解析】 【分析】（1）若降价元，则每天销量可增加千克，根据利润公式求解并整理即可得到解析式，然后代入求出对应函数值即可； （2）将（1）中的解析式整理为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）令可解出对应的的值，然后根据“让利于民”的原则选择合适的的值即可． 【详解】（1）若降价元，则每天销量可增加千克， ∴， 整理得：， 当时，， ∴每天的利润为9600元； （2）， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为9800， ∴降价4元，利润最大，最大利润为9800元； （3）令，得：， 解得：，， ∵要让利于民， ∴，（元） ∴定价为43元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，弄清数量关系，准确求出函数解析式并熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 22. 如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C． （1）若，求∠C的度数； （2）若，，求⊙O半径的长． 【答案】（1）32° （2）1 【解析】 【分析】(1)连接OA，则∠AOE=2∠ADE，利用切线性质，得到∠OAC=90°，利用直角三角形两个锐角互余计算即可． (2) 连接AE，证明△CAE∽△CBA，列出比例式计算即可． 【小问1详解】 连接OA，∠ADE=29°， 则∠AOE=2∠ADE=58°， ∵AC是圆的切线， ∴∠OAC=90°， ∴∠C=90°-∠AOE=90°-58°=32°． 【小问2详解】 连接AE，OA， ∵AC是圆的切线， ∴∠OAC=90°， ∴∠EAC=90°-∠OAE， ∵BE是圆的直径， ∴∠BAE=90°， ∴∠BAO=90°-∠OAE， ∴∠EAC=∠BAO， ∵OA=OB， ∴∠OBA=∠BAO， ∴∠OBA=∠EAC， ∴△CAE∽△CBA， ∴， ∴， 解得BE=2， 故圆的半径为1． 【点睛】本题考查了圆的切线，直径所对的圆周角是直角，三角形相似的判定和性质，熟练掌握切线的性质，灵活运用三角形相似是解题的关键． 23. 如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C. 图1 图2 （1）求该抛物线的解析式； （2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长； （3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨） 【答案】（1） （2）2 （3）当点的坐标分别为，，，时， 【解析】 【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可； （2）结合抛物线的解析式得到点C、F的坐标，利用B、C的坐标可以求得直线BC的解析式，由一次函数图像上点的坐标特征和点的坐标与图形的性质进行解答即可； （3）根据P点在抛物线上设出P点，然后再由S△PAB=8，从而求出P点坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴的两个交点分别为，， ∴，解得． ∴所求抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的解析式为，则， 又， ∴． 设直线 的解析式为， 把代入，得， 解得，则该直线的解析式为． 故当时，，即， ∴， 即． 【小问3详解】 解：设点，由题意，得， ∴，∴， 当时，， ∴，， 当时，， ∴，， ∴当点的坐标分别为，，，时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和待定系数法求一次函数以及一次函数图像上点的坐标特征，抛物线解析式的三种形式之间的转化，熟练掌握函数的性质是解答此题的关键． 24. 综合与实践： 问题情境：在 中， ，点 D 在 边上，连接 ，将 绕点 A 逆时针旋转至 的位置，使得．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答． 特例分析： （1）“希望”小组提出问题：如图1，若，连接，试判断四边形的形状，并说明理由； （2）“智慧”小组提出问题：如图2，连接，取的中点G，连接，请猜想线段与的数量关系，并加以证明； （3）深入探究： “创新”小组提出问题：如图 3，若，，连接交 于点H，请直接写出的面积． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定，三角形内角和定理及全等三角形的判定与性质． （1）根据平行线的性质，结合已知条件和三角形内角和定理，证明，再由等腰三角形的性质可证明，得，进而可得，可判定四边形是平行四边形，再根据邻边相等即可得证； （2）延长至点F，使，连接，得，再证明，得对应边相等，等量代换后可得数量关系； （3）过点A作于点F，过点D作交延长线于点G，由已知条件及平角求出，再根据等边三角形与直角三角形的性质，结合勾股定理求得 的长，再求出的长，根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， 理由：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 又∵将 绕点 A 逆时针旋转至 的位置， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：， 证明：如图，延长至点F，使，连接， ∵点G是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴，， 又∵ ，， ∴ 是等边三角形， ∴，， 如图，过点A作于点F，则， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， 过点D作交延长线于点G，则， 在中，，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $