奥数思维培优 第8讲 多边形面积·公式推导（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

人教版 · 五年级上册奥数思维培优 第8讲 多边形面积 · 公式推导 —— ★ ★ ★ ★ ★ —— 一、课程信息 项目 内容 讲次 第8讲 专题 多边形面积——公式推导 适用年级 小学五年级上册 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★☆☆ 前置知识 长方形正方形面积；单位换算 核心方法 割补转化；公式逆用 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 掌握平行四边形、三角形、梯形面积公式及推导过程。 过程与方法 经历"转化→推导→应用"的过程。 思维品质 培养转化思想（新图形转化为已知图形）。 情感应用 感受图形之间可以互相转化。 三、情境导入 小明有一块平行四边形的菜地，底5米，高2米。他想知道面积是多少，却不知道公式。 动脑筋：能不能把它变成学过的长方形？ 悬念：沿高剪开、平移，就变成长方形了！ 图1 平行四边形 今天我们就来推导多边形面积的公式。 四、知识导航 三种图形面积公式： 图2 三大公式 图形 公式 推导思路 平行四边形 S=底×高 剪拼成长方形 三角形 S=底×高÷2 两个相同三角形拼成平行四边形 梯形 S=(上底+下底)×高÷2 两个相同梯形拼成平行四边形 五、易错辨析 常见错误 正确做法 三角形忘÷2 S=底×高÷2，别忘除以2 梯形公式记成(上×下) 是(上底+下底)×高÷2 高找错 高是与底垂直的线段 单位不统一 先统一单位再计算 六、典例精讲 本讲安排6道例题，从基本公式到综合应用；每例后附一道变式练习。 例1【平行四边形面积】 题目：平行四边形底5厘米，高2厘米。面积是多少？ 分析：用公式S=底×高，直接代入。 详解： S=底×高。 =5×2=10（平方厘米）。 图3 平行四边形面积 方法点睛：平行四边形面积=底×高，与相邻边无关。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：平行四边形底8厘米，高3厘米。面积是多少？ 解答： S=8×3=24（平方厘米）。 点拨：与例1同法：底×高。 例2【三角形面积】 题目：三角形底7厘米，高3厘米。面积是多少？ 分析：用公式S=底×高÷2。 详解： S=底×高÷2。 =7×3÷2=21÷2=10.5（平方厘米）。 图4 三角形面积 方法点睛：三角形面积=底×高÷2，底和高要对应。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：三角形底10厘米，高6厘米。面积是多少？ 解答： S=10×6÷2=30（平方厘米）。 点拨：与例2同法：底×高÷2。 例3【梯形面积】 题目：梯形上底3厘米，下底7厘米，高2.5厘米。面积是多少？ 分析：用公式S=(上底+下底)×高÷2。 详解： S=(上底+下底)×高÷2。 =(3+7)×2.5÷2。 =10×2.5÷2=25÷2=12.5（平方厘米）。 图5 梯形面积 方法点睛：梯形面积=(上底+下底)×高÷2。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：梯形上底5厘米，下底9厘米，高4厘米。面积是多少？ 解答： S=(5+9)×4÷2=14×4÷2=28（平方厘米）。 点拨：与例3同法：梯形公式。 例4【公式逆用】 题目：平行四边形面积21平方厘米，高3厘米。底是多少？ 分析：面积÷高=底，反过来求。 详解： 底=面积÷高。 =21÷3=7（厘米）。 图6 公式逆用 方法点睛：已知面积求底：底=面积÷高；已知面积求高：高=面积÷底。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：三角形面积24平方厘米，底6厘米。高是多少？ 解答： 高=24×2÷6=8（厘米）。 点拨：与例4同法：公式逆用（注意三角形要×2）。 例5【等底等高】 题目：两个三角形同底等高（底6厘米，高4厘米），面积相等吗？各是多少？ 分析：三角形面积只与底和高有关，与形状无关。 详解： S=6×4÷2=12（平方厘米）。 两个三角形同底等高，面积都是12平方厘米。 结论：面积相等。 图7 等底等高 方法点睛：等底等高的三角形面积一定相等。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：底8厘米高5厘米的三角形，与底5厘米高8厘米的三角形，面积相等吗？ 解答： 第一个S=8×5÷2=20；第二个S=5×8÷2=20。相等。 点拨：与例5同法：只看底×高÷2。 例6【组合图形】 题目：求组合图形面积：长方形（长6厘米、宽3厘米）右边接一个三角形（底2厘米、高3厘米）。 分析：分割法：长方形面积+三角形面积。 详解： 长方形：6×3=18（平方厘米）。 三角形：2×3÷2=3（平方厘米）。 总面积：18+3=21（平方厘米）。 图8 组合图形 方法点睛：组合图形用"割"（分块求和）或"补"（补成完整图形再减）。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：求组合面积：长方形8×4，上面接三角形底8高3。 解答： 长方形32+三角形12=44（平方厘米）。 点拨：与例6同法：分割求和。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【等积变形】（某名校小升初真题） 题目：一个三角形和一个平行四边形等底等高，三角形面积是15平方厘米。平行四边形面积是多少？ 分析：等底等高时，平行四边形面积是三角形面积的2倍。 详解： 平行四边形=三角形×2。 =15×2=30（平方厘米）。 方法点睛：等底等高：平行四边形=三角形×2。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：平行四边形面积48平方厘米，与三角形等底等高。三角形面积是多少？ 解答： 三角形=48÷2=24（平方厘米）。 点拨：与真题1同法：一半关系。 真题2【综合应用】（某重点中学分班考试真题） 题目：一块梯形稻田，上底30米，下底50米，高20米。如果每平方米收稻谷0.8千克，这块稻田能收多少千克？ 分析：先求梯形面积，再乘每平方米产量。 详解： 梯形面积：(30+50)×20÷2=80×20÷2=800（平方米）。 产量：800×0.8=640（千克）。 方法点睛：实际应用：先面积后总产。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：三角形菜地底40米高25米，每平方米种6棵白菜，共种多少棵？ 解答： 面积40×25÷2=500平方米。500×6=3000棵。 点拨：与真题2同法：先面积再乘单位量。 八、方法总结表 图形 公式 变形 例 平行四边形 S=底×高 底=S÷高 5×2=10 三角形 S=底×高÷2 底=2S÷高 7×3÷2=10.5 梯形 S=(上+下)×高÷2 高=2S÷(上+下) 10×2.5÷2=12.5 组合图形 割或补 分块求和/补差 18+3=21 九、解题口诀 平行四边形面积，底乘高来记牢； 三角形来别忘记，底乘高来除以2； 梯形上底加下底，乘高再除以2； 组合图形有妙招，分割求和或补差； 等底等高面积等，公式逆用也能行。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 平行四边形底6厘米，高4厘米。面积是多少？ A2. 三角形底8厘米，高5厘米。面积是多少？ A3. 梯形上底4厘米，下底6厘米，高3厘米。面积是多少？ A4. 平行四边形面积30平方厘米，底6厘米。高是多少？ A5. 三角形底9厘米，高4厘米。面积是多少？ B组 能力提升（5题） B6. 三角形面积36平方厘米，底9厘米。高是多少？ B7. 梯形上底8厘米，下底12厘米，高5厘米。面积是多少？ B8. 平行四边形和三角形等底等高，平行四边形面积48平方厘米。三角形面积是多少？ B9. 求组合面积：长方形长10宽4，右边接三角形底6高4。 B10. 梯形面积60平方厘米，上底8厘米，高6厘米。下底是多少？ C组 思维挑战（5题） C11. 三角形底10厘米，高增加2厘米变成12厘米。面积增加多少？（原高8厘米） C12. 两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，梯形上底5下底7高4。拼成的平行四边形面积是多少？ C13. 平行四边形底12厘米，高8厘米。如果底不变，高减少3厘米，面积减少多少？ C14. 三角形底15厘米，高8厘米。与它等底等高的平行四边形面积是多少？ C15. 一块平行四边形菜地底20米高15米，每平方米收菜8千克。共收多少千克？ 十一、参考答案与详细解析 A1 S=6×4=24（平方厘米）。 A2 S=8×5÷2=20（平方厘米）。 A3 S=(4+6)×3÷2=15（平方厘米）。 A4 高=30÷6=5（厘米）。 A5 S=9×4÷2=18（平方厘米）。 B6 高=36×2÷9=8（厘米）。 B7 S=(8+12)×5÷2=50（平方厘米）。 B8 三角形=48÷2=24（平方厘米）。 B9 长方形40+三角形12=52（平方厘米）。 B10 下底=60×2÷6−8=20−8=12（厘米）。 C11 原S=10×8÷2=40；新S=10×12÷2=60。增加60−40=20（平方厘米）。 C12 拼成的平行四边形=(5+7)×4=48（平方厘米）。 C13 原S=12×8=96；新S=12×5=60。减少96−60=36（平方厘米）。 C14 平行四边形=15×8=120（平方厘米）。 C15 面积20×15=300平方米。300×8=2400（千克）。 十二、本讲小结 本讲学习了三种图形的面积公式：平行四边形S=底×高，三角形S=底×高÷2，梯形S=(上底+下底)×高÷2。 推导靠转化思想：平行四边形剪拼成长方形，三角形、梯形用"两个相同图形拼成平行四边形"。组合图形用割补法。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 三角形忘÷2 S=底×高÷2 梯形公式 (上底+下底)×高÷2，是加不是乘 高与底不对应 高必须垂直于底 单位换算 1平方米=100平方分米 学习建议：动手剪拼图形理解推导；下讲预告：第9讲 组合图形·割补法。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $