第三章 圆锥曲线的方程单元复习讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版·选择性必修一·第三章 圆锥曲线的方程（思维导图＋知识清单） 课时同步练习 第三章 圆锥曲线的方程 思维导图+知识清单（14 张知识点与方法卡+易错辨析）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 椭圆·双曲线·抛物线　一张导图串全章：定义/标准方程/几何性质/联立与弦长 逐卡讲清，易错辨析对照 共 4 题（易错 4）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．3.1椭圆：会用定义与标准方程刻画椭圆，会由a、b、c、e中任两个条件确定方程，能用x、y的有界性（|x|≤a，|y|≤b）处理椭圆上点的最值。 2．3.2双曲线：会写两种位置的标准方程，会由方程读实轴、虚轴、渐近线、离心率，会用共渐近线、共焦点的方程设法简化待定系数。 3．3.3抛物线：会用「到焦点距离＝到准线距离」互化，会写四种标准方程，能借助x≥0（或y≥0）的范围求最值。 4．综合：会用相关点代入法、斜率之积条件求轨迹；会联立直线与曲线后用根与系数的关系处理垂直、数量积条件。 学习重难点 重点：一张导图串全章：定义（距离和·差·比）→ 标准方程 → 几何性质（范围、对称、顶点、离心率、渐近线）→ 直线与曲线 → 轨迹与应用；三类曲线的统一方法：先定位置（焦点在哪条轴）、再定形状（a、b、c或p），最后联立消元用根与系数的关系。 难点：mx²＋ny²＝1的类型判别要同时看m、n的符号与大小；离心率范围题要把几何条件翻译成a、c的不等式并与e＞1或0＜e＜1取交集；定义转化求最值要分清「同侧取差、异侧取和」。 　目　录 知识梳理 3 知识点 01　3.1.1 椭圆的定义：距离之和为定值且大于焦距 3 知识点 02　3.1.1 椭圆的标准方程：两种焦点位置与 a²＝b²＋c² 3 知识点 03　3.1.2 椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点与轴长 4 知识点 04　3.1.2 椭圆的离心率：e＝c÷a 刻画扁平程度 4 知识点 05　3.2.1 双曲线的定义：距离之差的绝对值为定值且小于焦距 5 知识点 06　3.2.1 双曲线的标准方程：c²＝a²＋b²，看正号项定焦点 5 知识点 07　3.2.2 双曲线的几何性质：实轴、虚轴与渐近线 5 知识点 08　3.2.2 双曲线的离心率：e＝c÷a＞1 与渐近线斜率 6 知识点 09　3.3.1 抛物线的定义与四种标准方程 7 知识点 10　3.3.2 抛物线的几何性质：焦半径 |PF|＝x₀＋p÷2 7 知识点 11　直线与圆锥曲线：联立消元与判别式 8 知识点 12　弦长与根与系数的关系 8 知识点 13　求轨迹方程的三种常用方法 9 知识点 14　阅读与思考：圆锥曲线的光学性质 9 易错专练 10 　课时核心导图 　知识梳理 知识点梳理　01　3.1.1 椭圆的定义：距离之和为定值且大于焦距 平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（2a大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，F1、F2叫做椭圆的焦点。若把这个常数记为2a、焦距记为2c，定义要求2a大于2c大于0。当2a等于|F1F2|时，轨迹退化为线段F1F2；当2a小于|F1F2|时，不存在满足条件的点。 椭圆＝{M | |MF1|＋|MF2|＝2a，2a＞|F1F2|} ＝－（a为半长轴，b为半短轴，c为半焦距） 小提示：拿到“距离之和为定值”先比较定值与|F1F2|的大小：大于才是椭圆，等于是线段，小于则无轨迹。 知识点梳理　02　3.1.1 椭圆的标准方程：两种焦点位置与 a²＝b²＋c² 焦点在x轴上时，椭圆的标准方程是＋＝1（a＞b＞0），焦点为F1(－c，0)、F2(c，0)；焦点在y轴上时，标准方程是＋＝1（a＞b＞0），焦点为F1(0，－c)、F2(0，c)。两种情形都满足＝－，分母较大的那一项对应焦点所在的坐标轴。 写成＋＝1（m、n＞0且m≠n）时，分母大的一项对应的轴就是焦点所在轴 小提示：判断焦点位置只看两个分母谁大，与、书写的先后次序无关。 知识点梳理　03　3.1.2 椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点与轴长 由＋＝1（a＞b＞0）可得|x|≤a、|y|≤b，椭圆落在矩形x＝±a、y＝±b围成的范围内。以－x代x、以－y代y方程都不变，所以椭圆关于两条坐标轴和原点都对称，原点叫做椭圆的中心。椭圆与对称轴的四个交点叫做顶点，长轴长为2a、短轴长为2b。 四个顶点（焦点在x轴上时）：A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) 小提示：b、c、a三个量构成一个直角三角形：斜边是a，两条直角边分别是b与c。 知识点梳理　04　3.1.2 椭圆的离心率：e＝c÷a 刻画扁平程度 椭圆的离心率定义为e＝。由0＜c＜a知0＜e＜1，e越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越接近于圆。由＝－可得＝，所以知道离心率就能确定椭圆的形状（长短轴之比）。 e＝（0＜e＜1） ＝ 小提示：算离心率前务必先把方程化成标准形式，再读出与，不能直接用原方程里的分母相除。 知识点梳理　05　3.2.1 双曲线的定义：距离之差的绝对值为定值且小于焦距 平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于非零常数2a（0小于2a小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，F1、F2是双曲线的焦点。若把绝对值去掉，只保留|MF1|－|MF2|＝2a，得到的是靠近F2的那一支；只保留|MF2|－|MF1|＝2a，得到的是靠近F1的那一支。当2a等于|F1F2|时，轨迹退化为以F1、F2为端点向外的两条射线。 双曲线＝{M | ||MF1|－|MF2||＝2a，0＜2a＜|F1F2|} 小提示：题目给“差”而不给“差的绝对值”时，轨迹只是一支，答案必须补上x（或y）的取值范围。 知识点梳理　06　3.2.1 双曲线的标准方程：c²＝a²＋b²，看正号项定焦点 焦点在x轴上时，双曲线的标准方程是－＝1（a＞0，b＞0），焦点为F1(－c，0)、F2(c，0)；焦点在y轴上时，标准方程是－＝1，焦点为F1(0，－c)、F2(0，c)。两种情形都满足＝＋，a、b之间没有大小限制。 正号项对应的坐标轴就是焦点所在轴 ＝＋，c是三个量中最大的 小提示：椭圆是＝－，双曲线是＝＋，符号相反是最容易混淆的一点。 知识点梳理　07　3.2.2 双曲线的几何性质：实轴、虚轴与渐近线 在－＝1（a＞0，b＞0）中，令y＝0得x＝±a，双曲线与x轴的两个交点A1(－a，0)、A2(a，0)叫做顶点，线段A1A2叫做实轴，长为2a；线段B1B2（B1(0，－b)、B2(0，b)不在曲线上，只是辅助点）叫做虚轴，长为2b。双曲线向外延伸时无限接近但不相交的两条直线y＝±叫做渐近线；焦点在y轴上时渐近线是y＝±。当a＝b时称为等轴双曲线，此时渐近线为y＝±x，离心率e＝。 渐近线：y＝±（焦点在x轴）或y＝±（焦点在y轴） 等轴双曲线：a＝b，e＝ 小提示：B1、B2不是双曲线上的点，只是画出渐近线所在矩形的辅助顶点，不能把它们当成焦点或顶点使用。 知识点梳理　08　3.2.2 双曲线的离心率：e＝c÷a＞1 与渐近线斜率 双曲线的离心率仍定义为e＝，由c＞a＞0知e＞1。由＝＋可得＝1＋，所以越大，e就越大，渐近线的斜率越大、双曲线张开的口越阔；反之越小，e越接近1，双曲线越“瘦长”。 ＝1＋（e＞1） 小提示：已知渐近线斜率k就能直接得到e：焦点在x轴时k＝，e＝；焦点在y轴时k＝，e＝。 知识点梳理　09　3.3.1 抛物线的定义与四种标准方程 平面内与一个定点F和一条定直线l（直线l不经过F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，F叫做焦点，直线l叫做准线。记焦点到准线的距离为p（p＞0），以过F且垂直于直线l的直线为x轴（或y轴）、以F在直线l上垂足与F的中点为原点建立坐标系，可得四种标准方程：＝2px（开口向右）、＝－2px（开口向左）、＝2py（开口向上）、＝－2py（开口向下）。 ＝2px：焦点，0)，准线x＝ ＝2py：焦点(0，，准线y＝ 小提示：先把方程化成“平方项系数为1、一次项在右”的样子，再对照四种形式确定开口方向和p，一次项系数是2p而不是p。 知识点梳理　10　3.3.2 抛物线的几何性质：焦半径 |PF|＝x₀＋p÷2 对＝2px（p＞0）上的点P(x0，y0)，由抛物线的定义，P到焦点，0)的距离等于P到准线x＝的距离，即|PF|＝x0＋，这个式子称为焦半径公式。抛物线只有x≥0这一部分（开口向右时），关于x轴对称，只有一条对称轴、一个顶点，抛物线的离心率恒为e＝1。 焦半径：|PF|＝x0＋（＝2px） 通径（过焦点垂直于对称轴的弦）长＝2p 小提示：用焦半径公式前要先确认方程是标准形式且已正确读出p，符号弄反会导致整题错误。 知识点梳理　11　直线与圆锥曲线：联立消元与判别式 把直线方程与圆锥曲线方程联立、消去一个未知数，若所得方程是二次方程，则由判别式Δ确定公共点个数：Δ＞0对应两个公共点，Δ＝0对应一个公共点（相切），Δ＜0对应没有公共点。需要特别注意，若消元后二次项系数为0，方程退化为一次方程，此时恰有一个公共点，却不是相切——这发生在直线与双曲线的渐近线平行（直线本身不是渐近线）、或直线与抛物线的对称轴平行时。 联立后设为＋Bx＋C＝0（A≠0）：Δ＝－4AC 小提示：遇到“只有一个公共点”的题，先检验二次项系数是否可能为0（即直线是否平行于渐近线或对称轴），这是最容易漏掉的一种情形。 知识点梳理　12　弦长与根与系数的关系 设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线斜率为k，则弦长|AB|＝·|x1－x2|，其中|x1－x2|可以由根与系数的关系算出：|x1－x2|＝。若要求OA⊥OB（O为坐标原点），这个几何条件可以翻译为代数条件x1x2＋y1y2＝0。 |AB|＝·|x1－x2| OA⊥OB ⇔ x1x2＋y1y2＝0 小提示：联立后先写出x1＋x2与x1x2（或y1＋y2与y1y2），再代入弦长或垂直条件，不要盲目去解出具体的交点坐标。 知识点梳理　13　求轨迹方程的三种常用方法 求轨迹方程常用三种方法：直接法是把动点满足的几何条件直接翻译成含x、y的等式再化简；定义法是先判断动点的轨迹符合椭圆、双曲线或抛物线中哪一种定义，再直接写出标准方程；相关点代入法是当动点由另一条已知曲线上的动点通过某种线性关系确定时，先用所求点的坐标反过来表示已知曲线上点的坐标，再代入已知曲线的方程。 相关点代入法的关键步骤：设所求点(x，y)，用x、y表示已知曲线上点(x0，y0)，再代回x0、y0满足的方程 小提示：相关点代入法用完后要检验一下变换是否是一一对应，避免漏掉或多算个别退化点。 知识点梳理　14　阅读与思考：圆锥曲线的光学性质 圆锥曲线都具有光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线经椭圆壁反射后，反射光线一定经过另一个焦点；从抛物线焦点发出的光线经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴（反之，平行于对称轴射入的光线经反射后都会聚于焦点）；从双曲线一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点。这些性质被广泛应用于探照灯、天线、望远镜等设备的设计中。 抛物面反射镜：平行光线经反射后会聚于焦点，反之亦然 小提示：记忆光学性质时抓住“焦点”这个关键词：椭圆是两焦点互相“看得见”，抛物线是焦点与无穷远处的平行方向互相对应。 　易错专练 1．已知两个定点F1(－3，0)、F2(3，0)，动点M满足||MF1|－|MF2||＝6，则点M的轨迹是（　　）。 A．双曲线 B．两条射线 C．线段F1F2 D．双曲线的一支 2．已知F1(0，－5)、F2(0，5)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝6（不是绝对值），则点P的轨迹方程是________，y的取值范围是________。 3．一个椭圆的两焦点相距8，长轴两端点相距10，它的标准方程可以是（　　）。 A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1或＋＝1 D．＋＝1或＋＝1 4．双曲线C：-＝1，是否存在以M(1，1)为中点的弦？先用点差法求出候选直线，再代入C用判别式Δ判断。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版·选择性必修一·第三章 圆锥曲线的方程（思维导图＋知识清单） 课时同步练习 第三章 圆锥曲线的方程 思维导图+知识清单（14 张知识点与方法卡+易错辨析）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 椭圆·双曲线·抛物线　一张导图串全章：定义/标准方程/几何性质/联立与弦长 逐卡讲清，易错辨析对照 共 4 题（易错 4）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．3.1椭圆：会用定义与标准方程刻画椭圆，会由a、b、c、e中任两个条件确定方程，能用x、y的有界性（|x|≤a，|y|≤b）处理椭圆上点的最值。 2．3.2双曲线：会写两种位置的标准方程，会由方程读实轴、虚轴、渐近线、离心率，会用共渐近线、共焦点的方程设法简化待定系数。 3．3.3抛物线：会用「到焦点距离＝到准线距离」互化，会写四种标准方程，能借助x≥0（或y≥0）的范围求最值。 4．综合：会用相关点代入法、斜率之积条件求轨迹；会联立直线与曲线后用根与系数的关系处理垂直、数量积条件。 学习重难点 重点：一张导图串全章：定义（距离和·差·比）→ 标准方程 → 几何性质（范围、对称、顶点、离心率、渐近线）→ 直线与曲线 → 轨迹与应用；三类曲线的统一方法：先定位置（焦点在哪条轴）、再定形状（a、b、c或p），最后联立消元用根与系数的关系。 难点：mx²＋ny²＝1的类型判别要同时看m、n的符号与大小；离心率范围题要把几何条件翻译成a、c的不等式并与e＞1或0＜e＜1取交集；定义转化求最值要分清「同侧取差、异侧取和」。 　目　录 知识梳理 3 知识点 01　3.1.1 椭圆的定义：距离之和为定值且大于焦距 3 知识点 02　3.1.1 椭圆的标准方程：两种焦点位置与 a²＝b²＋c² 3 知识点 03　3.1.2 椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点与轴长 4 知识点 04　3.1.2 椭圆的离心率：e＝c÷a 刻画扁平程度 4 知识点 05　3.2.1 双曲线的定义：距离之差的绝对值为定值且小于焦距 5 知识点 06　3.2.1 双曲线的标准方程：c²＝a²＋b²，看正号项定焦点 5 知识点 07　3.2.2 双曲线的几何性质：实轴、虚轴与渐近线 5 知识点 08　3.2.2 双曲线的离心率：e＝c÷a＞1 与渐近线斜率 6 知识点 09　3.3.1 抛物线的定义与四种标准方程 7 知识点 10　3.3.2 抛物线的几何性质：焦半径 |PF|＝x₀＋p÷2 7 知识点 11　直线与圆锥曲线：联立消元与判别式 8 知识点 12　弦长与根与系数的关系 8 知识点 13　求轨迹方程的三种常用方法 9 知识点 14　阅读与思考：圆锥曲线的光学性质 9 易错专练 10 参考答案与解析 10 　课时核心导图 　知识梳理 知识点梳理　01　3.1.1 椭圆的定义：距离之和为定值且大于焦距 平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（2a大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，F1、F2叫做椭圆的焦点。若把这个常数记为2a、焦距记为2c，定义要求2a大于2c大于0。当2a等于|F1F2|时，轨迹退化为线段F1F2；当2a小于|F1F2|时，不存在满足条件的点。 椭圆＝{M | |MF1|＋|MF2|＝2a，2a＞|F1F2|} ＝－（a为半长轴，b为半短轴，c为半焦距） 小提示：拿到“距离之和为定值”先比较定值与|F1F2|的大小：大于才是椭圆，等于是线段，小于则无轨迹。 知识点梳理　02　3.1.1 椭圆的标准方程：两种焦点位置与 a²＝b²＋c² 焦点在x轴上时，椭圆的标准方程是＋＝1（a＞b＞0），焦点为F1(－c，0)、F2(c，0)；焦点在y轴上时，标准方程是＋＝1（a＞b＞0），焦点为F1(0，－c)、F2(0，c)。两种情形都满足＝－，分母较大的那一项对应焦点所在的坐标轴。 写成＋＝1（m、n＞0且m≠n）时，分母大的一项对应的轴就是焦点所在轴 小提示：判断焦点位置只看两个分母谁大，与、书写的先后次序无关。 知识点梳理　03　3.1.2 椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点与轴长 由＋＝1（a＞b＞0）可得|x|≤a、|y|≤b，椭圆落在矩形x＝±a、y＝±b围成的范围内。以－x代x、以－y代y方程都不变，所以椭圆关于两条坐标轴和原点都对称，原点叫做椭圆的中心。椭圆与对称轴的四个交点叫做顶点，长轴长为2a、短轴长为2b。 四个顶点（焦点在x轴上时）：A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) 小提示：b、c、a三个量构成一个直角三角形：斜边是a，两条直角边分别是b与c。 知识点梳理　04　3.1.2 椭圆的离心率：e＝c÷a 刻画扁平程度 椭圆的离心率定义为e＝。由0＜c＜a知0＜e＜1，e越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越接近于圆。由＝－可得＝，所以知道离心率就能确定椭圆的形状（长短轴之比）。 e＝（0＜e＜1） ＝ 小提示：算离心率前务必先把方程化成标准形式，再读出与，不能直接用原方程里的分母相除。 知识点梳理　05　3.2.1 双曲线的定义：距离之差的绝对值为定值且小于焦距 平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于非零常数2a（0小于2a小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，F1、F2是双曲线的焦点。若把绝对值去掉，只保留|MF1|－|MF2|＝2a，得到的是靠近F2的那一支；只保留|MF2|－|MF1|＝2a，得到的是靠近F1的那一支。当2a等于|F1F2|时，轨迹退化为以F1、F2为端点向外的两条射线。 双曲线＝{M | ||MF1|－|MF2||＝2a，0＜2a＜|F1F2|} 小提示：题目给“差”而不给“差的绝对值”时，轨迹只是一支，答案必须补上x（或y）的取值范围。 知识点梳理　06　3.2.1 双曲线的标准方程：c²＝a²＋b²，看正号项定焦点 焦点在x轴上时，双曲线的标准方程是－＝1（a＞0，b＞0），焦点为F1(－c，0)、F2(c，0)；焦点在y轴上时，标准方程是－＝1，焦点为F1(0，－c)、F2(0，c)。两种情形都满足＝＋，a、b之间没有大小限制。 正号项对应的坐标轴就是焦点所在轴 ＝＋，c是三个量中最大的 小提示：椭圆是＝－，双曲线是＝＋，符号相反是最容易混淆的一点。 知识点梳理　07　3.2.2 双曲线的几何性质：实轴、虚轴与渐近线 在－＝1（a＞0，b＞0）中，令y＝0得x＝±a，双曲线与x轴的两个交点A1(－a，0)、A2(a，0)叫做顶点，线段A1A2叫做实轴，长为2a；线段B1B2（B1(0，－b)、B2(0，b)不在曲线上，只是辅助点）叫做虚轴，长为2b。双曲线向外延伸时无限接近但不相交的两条直线y＝±叫做渐近线；焦点在y轴上时渐近线是y＝±。当a＝b时称为等轴双曲线，此时渐近线为y＝±x，离心率e＝。 渐近线：y＝±（焦点在x轴）或y＝±（焦点在y轴） 等轴双曲线：a＝b，e＝ 小提示：B1、B2不是双曲线上的点，只是画出渐近线所在矩形的辅助顶点，不能把它们当成焦点或顶点使用。 知识点梳理　08　3.2.2 双曲线的离心率：e＝c÷a＞1 与渐近线斜率 双曲线的离心率仍定义为e＝，由c＞a＞0知e＞1。由＝＋可得＝1＋，所以越大，e就越大，渐近线的斜率越大、双曲线张开的口越阔；反之越小，e越接近1，双曲线越“瘦长”。 ＝1＋（e＞1） 小提示：已知渐近线斜率k就能直接得到e：焦点在x轴时k＝，e＝；焦点在y轴时k＝，e＝。 知识点梳理　09　3.3.1 抛物线的定义与四种标准方程 平面内与一个定点F和一条定直线l（直线l不经过F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，F叫做焦点，直线l叫做准线。记焦点到准线的距离为p（p＞0），以过F且垂直于直线l的直线为x轴（或y轴）、以F在直线l上垂足与F的中点为原点建立坐标系，可得四种标准方程：＝2px（开口向右）、＝－2px（开口向左）、＝2py（开口向上）、＝－2py（开口向下）。 ＝2px：焦点，0)，准线x＝ ＝2py：焦点(0，，准线y＝ 小提示：先把方程化成“平方项系数为1、一次项在右”的样子，再对照四种形式确定开口方向和p，一次项系数是2p而不是p。 知识点梳理　10　3.3.2 抛物线的几何性质：焦半径 |PF|＝x₀＋p÷2 对＝2px（p＞0）上的点P(x0，y0)，由抛物线的定义，P到焦点，0)的距离等于P到准线x＝的距离，即|PF|＝x0＋，这个式子称为焦半径公式。抛物线只有x≥0这一部分（开口向右时），关于x轴对称，只有一条对称轴、一个顶点，抛物线的离心率恒为e＝1。 焦半径：|PF|＝x0＋（＝2px） 通径（过焦点垂直于对称轴的弦）长＝2p 小提示：用焦半径公式前要先确认方程是标准形式且已正确读出p，符号弄反会导致整题错误。 知识点梳理　11　直线与圆锥曲线：联立消元与判别式 把直线方程与圆锥曲线方程联立、消去一个未知数，若所得方程是二次方程，则由判别式Δ确定公共点个数：Δ＞0对应两个公共点，Δ＝0对应一个公共点（相切），Δ＜0对应没有公共点。需要特别注意，若消元后二次项系数为0，方程退化为一次方程，此时恰有一个公共点，却不是相切——这发生在直线与双曲线的渐近线平行（直线本身不是渐近线）、或直线与抛物线的对称轴平行时。 联立后设为＋Bx＋C＝0（A≠0）：Δ＝－4AC 小提示：遇到“只有一个公共点”的题，先检验二次项系数是否可能为0（即直线是否平行于渐近线或对称轴），这是最容易漏掉的一种情形。 知识点梳理　12　弦长与根与系数的关系 设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线斜率为k，则弦长|AB|＝·|x1－x2|，其中|x1－x2|可以由根与系数的关系算出：|x1－x2|＝。若要求OA⊥OB（O为坐标原点），这个几何条件可以翻译为代数条件x1x2＋y1y2＝0。 |AB|＝·|x1－x2| OA⊥OB ⇔ x1x2＋y1y2＝0 小提示：联立后先写出x1＋x2与x1x2（或y1＋y2与y1y2），再代入弦长或垂直条件，不要盲目去解出具体的交点坐标。 知识点梳理　13　求轨迹方程的三种常用方法 求轨迹方程常用三种方法：直接法是把动点满足的几何条件直接翻译成含x、y的等式再化简；定义法是先判断动点的轨迹符合椭圆、双曲线或抛物线中哪一种定义，再直接写出标准方程；相关点代入法是当动点由另一条已知曲线上的动点通过某种线性关系确定时，先用所求点的坐标反过来表示已知曲线上点的坐标，再代入已知曲线的方程。 相关点代入法的关键步骤：设所求点(x，y)，用x、y表示已知曲线上点(x0，y0)，再代回x0、y0满足的方程 小提示：相关点代入法用完后要检验一下变换是否是一一对应，避免漏掉或多算个别退化点。 知识点梳理　14　阅读与思考：圆锥曲线的光学性质 圆锥曲线都具有光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线经椭圆壁反射后，反射光线一定经过另一个焦点；从抛物线焦点发出的光线经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴（反之，平行于对称轴射入的光线经反射后都会聚于焦点）；从双曲线一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点。这些性质被广泛应用于探照灯、天线、望远镜等设备的设计中。 抛物面反射镜：平行光线经反射后会聚于焦点，反之亦然 小提示：记忆光学性质时抓住“焦点”这个关键词：椭圆是两焦点互相“看得见”，抛物线是焦点与无穷远处的平行方向互相对应。 　易错专练 1．已知两个定点F1(－3，0)、F2(3，0)，动点M满足||MF1|－|MF2||＝6，则点M的轨迹是（　　）。 A．双曲线 B．两条射线 C．线段F1F2 D．双曲线的一支 2．已知F1(0，－5)、F2(0，5)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝6（不是绝对值），则点P的轨迹方程是________，y的取值范围是________。 3．一个椭圆的两焦点相距8，长轴两端点相距10，它的标准方程可以是（　　）。 A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1或＋＝1 D．＋＝1或＋＝1 4．双曲线C：-＝1，是否存在以M(1，1)为中点的弦？先用点差法求出候选直线，再代入C用判别式Δ判断。 　参考答案与解析 　易错专练 1．【答案】B 【解析】|F1F2|＝6，条件中的定值也是6，等于|F1F2|，不满足双曲线定义中「小于|F1F2|」的要求，轨迹不是双曲线。 M在x轴上F2右侧（含F2）时|MF1|－|MF2|＝6，在F1左侧（含F1）时|MF2|－|MF1|＝6；M在线段F1F2内部或不在x轴上时，差的绝对值小于6。 所以轨迹是以F1、F2为端点、方向相背的两条射线，故选B。 2．【答案】－＝1；y≤－3 【解析】|PF2|－|PF1|＝6＞0，说明P离F1更近，轨迹只是靠近F1的那一支（下支）。 焦点在y轴上，2a＝6，a＝3；2c＝10，c＝5；＝-＝25－9＝16。 所以轨迹方程为－＝1（y≤－3）。 3．【答案】C 【解析】由2c＝8得c＝4，由2a＝10得a＝5，＝－＝25－16＝9。 题目没有指明焦点在哪个轴上，所以焦点在x轴上、焦点在y轴上两种情形都要写：＋＝1或＋＝1，故选C。 4．【答案】候选直线y＝3x－2；代入C得－12x＋7＝0，Δ＝－24＜0，所以不存在以M(1，1)为中点的弦 【解析】设弦端点A(x1，y1)、B(x2，y2)在C上，两式相减：-－＝0。 即(x1+x2)(x1-x2)＝(y1+y2)(y1-y2)/3，由中点得x1+x2＝2，y1+y2＝2，所以斜率k＝＝3。 候选直线y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2。 代入-＝3：-＝3，整理得－12x＋7＝0，Δ＝144－168＝－24＜0。 直线与C无公共点，所以不存在以M(1，1)为中点的弦。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $