第三章 圆锥曲线的方程（举一反三讲义·基础篇）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学讲义以圆锥曲线为核心，按椭圆、双曲线、抛物线分模块梳理十五大基础题型，涵盖定义辨析、方程求解、轨迹推导、离心率计算及实际应用，构建从基础到应用的知识脉络，突出各曲线内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“问题情境化”练习设计，如卫星轨道（椭圆实际应用）、隧道设计（抛物线实际应用）等题型，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过动圆圆心轨迹推导（轨迹问题）培养数学思维。题目分层设置，基础题巩固概念，综合题提升能力，助力不同层次学生自主复习，为教师精准教学提供清晰路径。

第三章 圆锥曲线的方程全章十五大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版】 题型1 椭圆的定义及辨析 1．（25-26高二上·河北邢台·期中）椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【解题思路】由椭圆的定义即可求解. 【解答过程】由椭圆方程可得， 由椭圆的定义得到另一个焦点的距离为. 故选：B. 2．（25-26高三下·甘肃·开学考试）椭圆 的焦点为 ，点 在椭圆上，若 ，则 （    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解题思路】由椭圆的定义可得； 【解答过程】由椭圆方程可得， 由椭圆的定义， . 故选：B. 3．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，且是椭圆上的一点．若，则（　　） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【解题思路】根据椭圆的定义即可求解. 【解答过程】由椭圆的方程及题意知，，所以， 所以．由椭圆的定义，得，又， 所以． 故选：D． 4．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为C上一点，则___________． 【答案】 【解题思路】由方程可知，结合椭圆的定义运算求解即可. 【解答过程】由椭圆可知， 且点P为C上一点，所以. 故答案为：. 5．（25-26高二上·上海·期中）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则m等于___________. 【答案】36 【解题思路】分焦点在和两种情况，根据椭圆定义得到方程，求出答案. 【解答过程】若焦点在轴上，由椭圆定义得，解得，满足要求， 若焦点在轴上，，不合题意， 综上，. 故答案为：36. 题型2 椭圆的标准方程的求解 1．（25-26高二上·山西·期中）椭圆的短轴长为2，焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用已知椭圆标准方程确定椭圆的焦点位置，再根据短轴长和焦距得出，进而求出，得出椭圆的标准方程． 【解答过程】椭圆的短轴长为，焦距为， ， ， 椭圆的标准方程为， 故选：A． 2．（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将与椭圆焦点相同的椭圆的方程设为，再将点代入，求得的值，即可得出椭圆标准方程. 【解答过程】设所求椭圆方程为， 将点代入，可得，解得（舍去）， 故所求椭圆的标准方程为． 故选：D. 3．（25-26高二上·江苏·期中）已知椭圆经过点，离心率为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】代入点的坐标可得，利用离心率的公式可得，从而可得答案. 【解答过程】因为椭圆经过点，所以，即； 离心率，所以，所以方程为. 故选：D. 4．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为__________. 【答案】 【解题思路】根据条件，列出等式，求出a，b，c的值，即可得答案. 【解答过程】设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c， 由题意得，解得， 所以椭圆方程为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·天津·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 【答案】(1)或； (2)； (3). 【解题思路】（1）根据的关系求，可得椭圆方程. （2）根据椭圆的定义求，根据焦点定义求，再根据的关系求，可得椭圆方程. （3）根据焦点坐标求，根据椭圆上的点和的关系列式求，可得椭圆方程. 【解答过程】（1）因为，，所以. 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为； 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为. （2）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为， 且， ， 所以， 所以椭圆方程为：. （3）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为，且， 又 ，故所求椭圆方程为. 题型3 轨迹问题——椭圆 1．（25-26高二上·重庆·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据已知确定已知圆的圆心和半径及其位置关系，进而得到，结合椭圆的定义确定轨迹方程. 【解答过程】由，标准形式为，圆心为，半径， 由，标准形式为，圆心为，半径， 其中，即已知的两个圆是内含关系， 由题意，若动圆圆心为，半径为，则， 所以， 即是以为焦点，长轴长为12的椭圆，则， 所以动圆的圆心轨迹为. 故选：A. 2．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用椭圆的定义求解即可. 【解答过程】由题意，点到两点，的距离之和为， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，， 所以点P的轨迹方程为. 故选：B. 3．（25-26高二上·山西·期中）已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据垂直平分线的性质以及椭圆的定义可判断的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求解其方程. 【解答过程】圆的圆心，半径为， 由题意可知，又点是圆上的点，则， 且，则， 由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，，， 则点的轨迹方程； 故选：B. 4．（25-26高二上·山东滨州·阶段检测）已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程____________． 【答案】 【解题思路】应用椭圆定义可判断顶点C的轨迹，应用待定系数法求轨迹方程，要注意排除三点共线情况. 【解答过程】因为，，所以， 又因为 的周长为16， 所以，并且. 所以顶点在以，为焦点的椭圆上， 设椭圆方程为， 因为，，，所以，， 又因为三点不共线，所以顶点的轨迹方程为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·辽宁·期中）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程； (2)设点，点，求的最大值. 【答案】(1)； (2)； 【解题思路】（1）设，根据斜率公式，可得，表达式，根据，代入化简，即可得答案. （2）由（1）可得为椭圆的左焦点，分析可得点N在椭圆内，根据椭圆的定义，可得，分析求解，即可得答案. 【解答过程】（1）设，则，， 由，得，整理得， 故点P的轨迹方程E为. （2）由（1）知，点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中，，， 故点为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为， 因为，所以点N在椭圆内， 由椭圆的定义得， 当P，N，三点共线(在线段PN上)时取等号， 所以的最大值为. 题型4 求椭圆的离心率或其取值范围 1．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知椭圆的焦距等于2，则其离心率的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】根据椭圆的定义和性质求解即可. 【解答过程】因为椭圆的焦距等于2，所以，即. 所以，解得或. 当时，，此时椭圆的离心率为； 当时，，此时椭圆的离心率为； 所以椭圆的离心率为或. 故选：A. 2．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于、，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】连接，设，，根据题意在中，根据求出的关系，即可求出，在中，根据求出的关系，再结合离心率求解即可. 【解答过程】连接，设，，则， 因为，所以， 在中，，所以， 化简得，则，所以， 所以，， 在中，， 所以，即，所以离心率. 故选：C. 3．（25-26高二上·浙江·期中）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据椭圆的定义可知，再利用余弦定理化简整理得，进而根据均值不等式确定的范围，从而确定的最小值，求得和的关系，然后得和的关系，确定椭圆离心率的取值范围． 【解答过程】设，由椭圆的定义得， 由余弦定理得． 又，当且仅当时，取最大值， 于是，所以， 可得，又，． 即椭圆离心率的取值范围为. 故选：C. 4．（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线与椭圆相交于另一点，且，则椭圆的离心率为____________. 【答案】/ 【解题思路】设，结合已知求得，根据点在曲线上列方程，从而得到齐次方程，即可得. 【解答过程】设，由题，，且， 所以，则， 所以，则， 所以，即，解得， 故椭圆的离心率为. 故答案为：。 5．（25-26高二上·浙江金华·期中）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率； (2)若直线的倾斜角为，求的面积. 【答案】(1)焦距为，短轴长为6，离心率为 (2) 【解题思路】（1）求出，，根据焦距，短轴长和离心率的定义求出答案； （2）求出直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由求出面积. 【解答过程】（1）由已知方程得到，所以，， 由得， 故焦距为，短轴长为，离心率. （2）由（1）知焦点坐标为，设， 由已知得直线的方程为，即， 与联立消去得， 则， 故， 所以的面积为. 题型5 椭圆的实际应用 1．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知某太阳系行星运行的轨道是长轴长为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则该行星到太阳的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由椭圆的定义得到，再由椭圆的性质得到最大距离即可. 【解答过程】由椭圆的定义可知， 离心率， 因为太阳在这个椭圆的一个焦点上， 则该行星到太阳的最大距离是. 故选：B. 2．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意可得，，进而可求，即可得椭圆方程. 【解答过程】由题意知，卫星的运动轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点. 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 由题可知，，即． 因为天平三号卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径约为0.65万千米， 所以，可得， 因此，结合选项可知A满足． 故选：A. 3．（2026·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，即可求出离心率. 【解答过程】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系， 设椭圆方程为， 令，即，解得，依题意可得， 所以，所以，所以． 故选：D． 4．（25-26高二下·上海浦东新·期中）如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则椭圆轨道Ⅱ的离心率为____________.（用R、r表示） 【答案】 【解题思路】由题设可得即可求出椭圆参数，根据离心率定义求椭圆轨道Ⅱ的离心率. 【解答过程】由F为椭圆轨道Ⅱ的焦点，若分别为长轴长、焦距，则，故， 所以椭圆轨道Ⅱ的离心率为. 故答案为：. 5．（25-26高二下·上海·期中）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． (1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米） (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 【答案】(1) (2)拱高、拱宽 【解题思路】（1）建立直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，将点代入椭圆方程，即可求解； （2）由点在椭圆上或在椭圆内得，利用基本不等式即可求出半椭圆的面积的最小值，从而得解. 【解答过程】（1）如图建立平面直角坐标系， 依题意可得点在椭圆上， 又，将点代入椭圆方程得，解得， 此时， 因此隧道设计的拱宽约为米； （2）设隧道上方半椭圆部分的面积为， 由椭圆方程且点在椭圆上或椭圆内部，得， 因为，即，当且仅当时取等号， 所以， 由于隧道长度为米，故隧道上方半椭圆部分的土方工程量， 当取得最小值时，有且，得，， 此时，， 即拱高和拱宽，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小. 题型6 利用双曲线的定义解题 1．（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（    ） A．3 B．17 C．3或15 D．1或17 【答案】C 【解题思路】利用双曲线的定义即可求解. 【解答过程】由题意有：，，， 由双曲线的定义有：，且， 所以，所以或. 故选：C. 2．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 【答案】A 【解题思路】根据双曲线的定义求解即可. 【解答过程】因为双曲线， 所以，故，即， 由双曲线的定义知，， 所以或， 当时，,不合题意，舍去. 故. 故选：A. 3．（25-26高二上·河南驻马店·期中）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为6，则（   ） A．6或18 B．18 C．8或20 D．22 【答案】B 【解题思路】根据中位线性质可得，利用双曲线的定义可得. 【解答过程】设双曲线的右焦点为，连接. 由题意得， ∵M为线段FP的中点，为线段的中点， ∴， 由双曲线定义得，，故. 故选：B. 4．（25-26高二上·江西南昌·期中）设，是双曲线C：的左、右焦点，若点P在双曲线C上，且，则__________. 【答案】9 【解题思路】根据双曲线定义先求出的值，再根据三角形两边之和大于第三边验证，即可得解. 【解答过程】由双曲线方程可知，则，所以. 因为点P在双曲线C上，所以， 又，所以，解得或. 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 所以. 故答案为：9. 5．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，__________. 【答案】 【解题思路】根据给定条件，确定点在双曲线上的位置，再利用双曲线的定义求解. 【解答过程】点在双曲线上，而，则点在该双曲线的左支上， 又，分别为该双曲线的左、右焦点，因此， 所以. 故答案为：. 题型7 双曲线的标准方程的求解 1．（25-26高三下·江苏盐城·阶段检测）已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据等轴双曲线的性质结合所求双曲线的焦点位置即可得到答案. 【解答过程】由等轴双曲线可得： 且， 因为，所以， 又焦点在轴上，故得双曲线方程为：， 故选：B． 2．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且离心率为，则双曲线C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据椭圆方程得到，再由离心率得，根据双曲线中，计算得双曲线方程. 【解答过程】由椭圆方程，得其焦点为， 因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以双曲线中， 又因为离心率为，所以，，， 所以双曲线方程为. 故选：D. 3．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）已知焦距为4的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由已知焦距为4，得出，又由双曲线方程求出渐近线方程，而直线与渐近线垂直，得出它们斜率之积为 ，从而得出、之间的关系，代入，解出、，写出方程即可. 【解答过程】由已知焦距为4，所以 ，，又双曲线方程的渐近线方程为：，而直线的斜率，且直线与一条渐近线垂直，所以 ，即 ，由 解得 ，所以双曲线方程为： 故选：C. 4．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点坐标为，则双曲线的标准方程为____________. 【答案】 【解题思路】根据题目条件求出代入即可求出标准方程. 【解答过程】 ，代入由右焦点得，， 代入，故， 故双曲线的标准方程为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·广西桂林·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）假设双曲线标准方程，根据焦距、实轴长和之间关系可构造方程求得结果； （2）分别讨论双曲线焦点在轴和轴上的情况，根据离心率、双曲线上的点和之间的关系可构造方程求得结果. 【解答过程】（1）设双曲线标准方程为：， ，，双曲线标准方程为. （2）当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：，双曲线标准方程为； 当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：，双曲线标准方程为； 综上所述：双曲线标准方程为或. 题型8 求双曲线的轨迹方程 1．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设点,根据题意建立方程，化简即得点的轨迹方程，同时要注意条件的满足即得. 【解答过程】设点，则， 化简即得：. 即点的轨迹方程为：. 故选：B. 2．（25-26高二上·江苏·期中）方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由条件利用双曲线的定义、标准方程，求得双曲线的标准方程. 【解答过程】根据， 可得点到点的距离差的绝对值等于， 结合双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线， ，则，，所以，， 故方程为：， 故选：A. 3．（25-26高二上·全国·课后作业）相距1600m的两个哨所，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是，在哨所听到的爆炸声的时间比在哨所听到时迟．若以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据速度、时间、位移之间的关系，结合双曲线的定义进行求解即可. 【解答过程】以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则， 设为曲线上任一点， 则， 所以点的轨迹为双曲线的右支，且，， ， 点的轨迹方程为． 故选：B. 4．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为_____________. 【答案】 【解题思路】由题可得，然后根据双曲线的定义即得. 【解答过程】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为，由动圆与圆，都外切，得， 则，因此点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 设方程为，则， 所以M的轨迹方程为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心C的轨迹方程． 【答案】 【解题思路】利用两圆相切分别可得，结合双曲线的定义，可得点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支，从而可得的轨迹方程. 【解答过程】因为圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为， 又因为动圆C与圆外切，且与圆内切， 则，可得， 可知点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支， 则，， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 题型9 求双曲线的离心率的值或取值范围 1．（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）若直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据渐近线的概念，写出参数之间的等量关系，根据离心率的概念直接求出结果即可. 【解答过程】由题意知，所以， 所以离心率． 故选：D． 2．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的右支相交于P、Q两点，若，点位于第一象限，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，，，易得，令，则，利用双曲线的性质可得，可求出、，结合勾股定理可求得结果. 【解答过程】如下图所示： 由，不妨设，则，， 于是，，设，则， 由双曲线的定义得， 即，解得，因此，解得， ，，由勾股定理得， 即，解得，所以该双曲线的离心率为. 故选：B. 3．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用双曲线的定义可得，又，可得，又当轴时最小，可得，即，可得，即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【解答过程】根据双曲线的定义，有， 两式相加得， 又，所以， 又，所以， 当轴时最小，此时， 所以，又， 则，整理得， 又，两边除以得，解得， 又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：D. 4．（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上，若四边形为菱形，则双曲线的离心率为___________. 【答案】/ 【解题思路】设右焦点为，过作轴于，根据长度关系求出，最后根据双曲线的定义即可求出. 【解答过程】设右焦点为，连接，过作轴于， 因为双曲线关于轴对称，四边形为菱形，所以， 则，则，所以， 则为等边三角形，则，所以，所以， 根据双曲线的定义可知，所以. 故答案为：. 5．（25-26高二上·四川乐山·期末）已知，是双曲线的左右焦点，且两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的. (1)求双曲线C的离心率； (2)直线与双曲线交于A，B两点，若四边形的面积为，求. 【答案】(1) (2)6 【解题思路】（1）根据条件可求的值，进而求双曲线的离心率. （2）根据双曲线的对称性可得三角形的面积为，进而可得点的纵坐标，进而求. 【解答过程】（1），，，. ，. 双曲线的离心率. （2）直线与双曲线交于A，B两点， 如图： 两点关于原点为O对称，设，. 又，三角形的面积为. ，. 又点在双曲线上，则. 所以， 所以. 题型10 双曲线的实际应用 1．（25-26高二上·贵州·期中）在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】如图，建立平面直角坐标系，求得双曲线标准方程，当时，代入计算可解. 【解答过程】如图，建立平面直角坐标系，设该双曲线的方程为），焦距为， 由题意得，得， 所以双曲线的方程为1. 当时，， 所以该进料口的上口宽度为. 故选：B. 2．（25-26高二上·江西·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为，则该塔筒的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可. 【解答过程】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设A与分别为上，下底面对应点.设双曲线的方程为， 因为双曲线的离心率为，所以. 又喉部（中间最细处）的直径为，所以，所以双曲线的方程为. 由题意可知，代入双曲线方程，得， 所以该塔筒的高为. 故选:C. 3．（25-26高二上·广西河池·期末）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】作出辅助线，设，利用双曲线定义表达出其他边，在中，由余弦定理得到方程，求出，再在中，由余弦定理得到方程，求出，求出离心率. 【解答过程】由题意知延长 则必过点 ， ， 设， 则，， 由双曲线的定义可得 ，， 由可得， 在中，由余弦定理 可得， 在中，由余弦定理 可得， 解得：， 则， 故选：D. 4．（24-25高二上·河北沧州·阶段检测）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为__________cm. 【答案】/ 【解题思路】根据题意，以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出之间的关系.由题意该塔筒的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，所以双曲线过点和，代入双曲线方程即可求解方程从而得到喉部（最细处）的直径. 【解答过程】 以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图所示. 设双曲线方程为，由已知可得，且， 所以，即，所以双曲线方程为. 由题知该塔筒的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm， 所以双曲线过点 和，代入双曲线方程得： ，解得：. 所以，即喉部（最细处）的直径为 cm. 故答案为：. 5．（25-26高二下·上海·期中）已知、、是我方三个炮兵阵地，地在地的正东方向，相距6km；地在地的北偏西，相距4km．为敌方炮兵阵地．某时刻地发现地产生的某种信号，12s后地也发现该信号（该信号传播速度为km/s）．以方向为轴正方向，中点为坐标原点，与垂直的方向为轴建立平面直角坐标系．    (1)判断敌方炮兵阵地可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程； (2)若地与地同时发现该信号，求从地应以什么方向炮击地？ 【答案】(1)在以为焦点的双曲线右支上， (2)炮击的方位角为北偏东. 【解题思路】（1）依题意可得，根据双曲线的定义可知在以、为焦点的双曲线右支上，即可求出轨迹方程； （2）首先求出点坐标，依题意点在线段的垂直平分线上，求出的垂直平分线方程，再联立（1）中轨迹方程，求出点坐标，即可求出，从而确定方向. 【解答过程】（1）依题意，， 又，即， 故在以、为焦点的双曲线右支上， 设双曲线方程为 ，则且， 所以，所以双曲线方程为. （2）因为且，所以，， 所以， 因为，所以点在线段的垂直平分线上， 因为，中点， 所以直线的方程为， 由 （1） 知点还在上， 由，解得（负值已舍去），所以， 因此，则，所以， 故炮击的方位角为的北偏东.    题型11 利用抛物线的定义解题 1．（25-26高二上·四川达州·阶段检测）抛物线上的点到焦点的距离为6，则点到轴的距离为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解题思路】借助抛物线焦半径公式与抛物线定义计算即可得. 【解答过程】设，则，故， 则点到轴的距离为. 故选：B. 2．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为5，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，由抛物线的定义可得，得，代入抛物线方程求出纵坐标即可得到点的坐标. 【解答过程】抛物线的焦点为,准线方程为， ； 因为点到的焦点的距离为5，所以由抛物线的定义得，得； 又因为为抛物线上一点，所以，所以， 所以点的坐标为； 故选：A. 3．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，若，则（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【解题思路】根据抛物线定义可得为等边三角形，设准线与轴交于点，在中求解即可. 【解答过程】因为，所以为等边三角形， 设准线与轴交于点， 在中，， 所以． 故选：D. 4．（25-26高二上·天津·阶段检测）抛物线上一点到其焦点的距离为7，则点的横坐标为____________. 【答案】6 【解题思路】根据抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标. 【解答过程】如图所示： 由抛物线的准线方程为， 设焦点为：，令点的横坐标为， 根据抛物线的定义得：，解得：， 所以点的横坐标为6. 故答案为：6. 5．（25-26高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点； (2)焦点在直线上； (3)焦点到准线的距离是4． 【答案】(1)或． (2)或． (3)或或或． 【解题思路】（1）分过点的抛物线开口向左或开口向上两种情况设抛物线的标准方程求解即可； （2）由直线与坐标轴的交点为焦点，再由抛物线的性质求解即可； （3）由抛物线的性质求解即可； 【解答过程】（1）由于点在第二象限，所以过点的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在轴上，设其标准方程为． 将点的坐标代入，可得，所以， 所以抛物线的标准方程为； 若抛物线开口向上，焦点在轴上，设其标准方程为． 将点的坐标代入，可得，所以，所以抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． （2）因为直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为． 因为直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． （3）焦点到准线的距离，焦点可在轴或轴上，故有四种情况，所求抛物线的标准方程为或或或． 题型12 求抛物线的标准方程 1．（25-26高二上·江苏淮安·期中）过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（  ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【解题思路】根据抛物线焦点的位置设抛物线为，结合所过点求方程. 【解答过程】由题意，可设抛物线为，又点在抛物线上， 所以，故所求抛物线为. 故选：D. 2．（25-26高二上·全国·课前预习）边长为1的等边，O为坐标原点， x轴，以O为顶点且过的抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用题意得到抛物线上点的坐标，待定系数法求解参数即可. 【解答过程】设抛物线方程为.设， 由题意得，，解得，， 取点A在x轴上方，故，代入抛物线中，则有， 解得，所以抛物线方程为. 故选：C. 3．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据抛物线的定义得，结合得，将代入抛物线的方程即可解得的值，进而得C的方程. 【解答过程】 由抛物线的定义，得， 又，，则，即， 因此，由点在C上，得，结合，解得， 所以C的方程为． 故选：B． 4．（2026高二上·全国·专题练习）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是____________． 【答案】 【解题思路】本题根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等求解抛物线方程. 【解答过程】依题意，设抛物线方程为， 则，得， 故抛物线方程为． 故答案为：． 5．（25-26高二上·吉林·期末）如图，已知抛物线经过点，是抛物线的焦点，以为始边，为终边的角. (1)求抛物线的标准方程； (2)求. 【答案】(1) (2)4 【解题思路】（1）把代入求出，即可得到抛物线标准方程； （2）过作准线的垂线，利用抛物线定义结合所给角即可作答. 【解答过程】（1）把代入得，所以， 即抛物线的方程为. （2）如图，过作垂直于准线，垂足为，过作，垂足为， 由定义知， 所以， 因为，所以，又， 所以， 所以. 题型13 求抛物线的轨迹方程 1．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分析可知点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，即可得解. 【解答过程】因为点到直线和它到点的距离相等， 所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 设其方程为，则，可得， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 2．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】考察点到F的距离与到直线的距离，作辅助直线结合抛物线定义可解. 【解答过程】由图可知，到F的距离比到直线的距离大1， 记直线为直线 ，则到F的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义可知，M的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中， 所以M的轨迹方程为： 故选：B. 3．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设点，根据向量关系及垂直关系可得点的轨迹方程. 【解答过程】设点，因为，则为的中点，且点在轴上， 所以，则, 又，则，， 由， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 4．（25-26高二上·上海·课后作业）若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为___________. 【答案】 【解题思路】根据题意，由抛物线的定义，即可得到结果. 【解答过程】因为点P到点的距离比它到直线的距离大1， 所以点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 即抛物线的焦点在轴正半轴，，即， 所以点P的轨迹方程为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 【答案】(1) (2)最小值为，或 【解题思路】（1）利用抛物线的定义得解； （2）设，求出即得解. 【解答过程】（1）由题意知动点到的距离与它到的距离小1即与到直线的距离相等， 所以动点M的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线， 因此动点的轨迹方程为. （2）设， 由两点间的距离公式得：， 当，即时，， 即当或时，点与点的距离最小，最小值为. 题型14 抛物线的实际应用 1．（25-26高二上·山东滨州·期末）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽.当水面上升后，水面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立平面直角坐标系，先求抛物线方程，然后求解即可. 【解答过程】以拱形顶点为原点，建立如图所示平面直角坐标系，则， 设抛物线方程为， 则有，解得，得抛物线方程为， 令，则，得， 所以，当水面上升后，水面宽为m. 故选：C. 2．（25-26高二上·陕西西安·期末）某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）.已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】建立平面直角坐标系，得到，代入抛物线方程，求出，从而得到答案. 【解答过程】如图所示，建立平面直角坐标系，则， 将代入，故，解得，    所以该抛物线的焦点到顶点的距离为m. 故选：B. 3．（25-26高一上·江苏·期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 【答案】A 【解题思路】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点C、D的横坐标，从而可得CD的长． 【解答过程】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系：    ，， 设抛物线的解析式为，将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴C（-20，150），， ， 故选：A. 4．（25-26高二上·江苏徐州·期中）某数学爱好者在上海博物馆参观时，对一件清康熙款青花龙凤纹碗产生了兴趣.如图所示，该瓷碗水平置于桌面上，底座高1cm，碗口直径15cm，碗深7.5cm.若将碗身（不含底座）的轴截面轮廓近似看作抛物线，碗内有一根长度为10cm的木棒通过抛物线焦点，且两端紧贴碗的内壁.则木棒的中点离桌面的距离为__________cm. 【答案】/ 【解题思路】建立平面直角坐标系，设出抛物线的方程，代入点，求得抛物线的方程，利用抛物线的定义，即可求解. 【解答过程】建立平面直角坐标系，如图所示， 设抛物线的方程为，其焦点为， 碗口直径为，碗深，所以抛物线过点， 所以，解得，所以抛物线的方程为， 设，过中点作轴， 由抛物线的定义可得，解得， 所以，所以木棒的中点离桌面的距离为. 故答案为：.    5．（25-26高二·全国·随堂练习）一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.      (1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标； (2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标. 【答案】(1)抛物线的标准方程为，焦点的坐标为； (2) 【解题思路】（1）建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法进行求解即可； （2）利用待定系数法、代入法进行求解即可. 【解答过程】（1）建立如图所示的直角坐标系， 设抛物线的方程为：，把代入方程中，得 ， 所以抛物线的标准方程为，焦点的坐标为；    （2）设抛物线的方程为， 把代入方程中，得， 所以焦点的坐标为：. 题型15 直线与圆锥曲线的位置关系的判断及求参 1．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与的取值有关 【答案】A 【解题思路】分析直线的特点，联立直线与椭圆的方程，根据判别式确定位置关系 【解答过程】直线，化简可得：，则直线过定点， 将定点代入椭圆方程，则得到：， 因为，所以定点在椭圆的内部， 所以过定点的直线与椭圆相交. 故选：A. 2．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】联立直线与双曲线方程，结合韦达定理即可求解. 【解答过程】设直线与双曲线的右支有两个不同的交点， 联立，消去得， 所以，解得， 故k的取值范围是. 故选：A. 3．（25-26高二上·河北·期中）已知直线和抛物线，则“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【解题思路】充分性分析：当时，将代入抛物线的方程，利用判别式说明充分性成立；必要性分析：将直线代入抛物线，得到，分和两种情况讨论，说明必要性不成立，从而得到结论. 【解答过程】分析充分性： 当时，将代入抛物线的方程， 整理得，此时， 即直线与抛物线恰有一个公共点，因此充分性成立； 分析必要性： 将直线代入抛物线，整理得， 当时，令 解得. 当时，此时直线方程为，此时直线与抛物线恰有一个公共点. 综上可知，当直线与抛物线恰有一个公共点时，或， 故“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】根据直线方程与曲线具有两个公共点，联立方程进行求解. 【解答过程】直线过点，， 联立方程 则 ， 即，故， 根据图象的交点，可得， 故. 故答案为：. 5．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）已知双曲线（，）过点，且其两条渐近线方程为与. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用渐近线方程和双曲线上的点可求出双曲线的标准方程； （2）联立直线方程和双曲线方程后利用根的判别式可求参数的取值范围. 【解答过程】（1）∵双曲线的渐近线方程为与， ∴，故双曲线， ∵双曲线过点，∴，得， 故双曲线的标准方程为：. （2）由（1）知，双曲线， 联立可得， ∵直线与双曲线交于不同的两点， ∴，得或， ∴的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程全章十五大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版】 题型1 椭圆的定义及辨析 1．（25-26高二上·河北邢台·期中）椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．（25-26高三下·甘肃·开学考试）椭圆 的焦点为 ，点 在椭圆上，若 ，则 （    ） A．3 B．4 C．6 D．8 3．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，且是椭圆上的一点．若，则（　　） A． B．1 C． D．5 4．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为C上一点，则___________． 5．（25-26高二上·上海·期中）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则m等于___________. 题型2 椭圆的标准方程的求解 1．（25-26高二上·山西·期中）椭圆的短轴长为2，焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏·期中）已知椭圆经过点，离心率为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为__________. 5．（25-26高二上·天津·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 题型3 轨迹问题——椭圆 1．（25-26高二上·重庆·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山西·期中）已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东滨州·阶段检测）已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程____________． 5．（25-26高二上·辽宁·期中）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程； (2)设点，点，求的最大值. 题型4 求椭圆的离心率或其取值范围 1．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知椭圆的焦距等于2，则其离心率的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于、，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江·期中）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线与椭圆相交于另一点，且，则椭圆的离心率为____________. 5．（25-26高二上·浙江金华·期中）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率； (2)若直线的倾斜角为，求的面积. 题型5 椭圆的实际应用 1．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知某太阳系行星运行的轨道是长轴长为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则该行星到太阳的最大距离是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 3．（2026·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·上海浦东新·期中）如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则椭圆轨道Ⅱ的离心率为____________.（用R、r表示） 5．（25-26高二下·上海·期中）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． (1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米） (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 题型6 利用双曲线的定义解题 1．（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（    ） A．3 B．17 C．3或15 D．1或17 2．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 3．（25-26高二上·河南驻马店·期中）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为6，则（   ） A．6或18 B．18 C．8或20 D．22 4．（25-26高二上·江西南昌·期中）设，是双曲线C：的左、右焦点，若点P在双曲线C上，且，则__________. 5．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，__________. 题型7 双曲线的标准方程的求解 1．（25-26高三下·江苏盐城·阶段检测）已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且离心率为，则双曲线C的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）已知焦距为4的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点坐标为，则双曲线的标准方程为____________. 5．（25-26高二上·广西桂林·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 题型8 求双曲线的轨迹方程 1．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏·期中）方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·课后作业）相距1600m的两个哨所，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是，在哨所听到的爆炸声的时间比在哨所听到时迟．若以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为_____________. 5．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心C的轨迹方程． 题型9 求双曲线的离心率的值或取值范围 1．（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）若直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 2．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的右支相交于P、Q两点，若，点位于第一象限，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上，若四边形为菱形，则双曲线的离心率为___________. 5．（25-26高二上·四川乐山·期末）已知，是双曲线的左右焦点，且两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的. (1)求双曲线C的离心率； (2)直线与双曲线交于A，B两点，若四边形的面积为，求. 题型10 双曲线的实际应用 1．（25-26高二上·贵州·期中）在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江西·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为，则该塔筒的高为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广西河池·期末）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河北沧州·阶段检测）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为__________cm. 5．（25-26高二下·上海·期中）已知、、是我方三个炮兵阵地，地在地的正东方向，相距6km；地在地的北偏西，相距4km．为敌方炮兵阵地．某时刻地发现地产生的某种信号，12s后地也发现该信号（该信号传播速度为km/s）．以方向为轴正方向，中点为坐标原点，与垂直的方向为轴建立平面直角坐标系．    (1)判断敌方炮兵阵地可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程； (2)若地与地同时发现该信号，求从地应以什么方向炮击地？ 题型11 利用抛物线的定义解题 1．（25-26高二上·四川达州·阶段检测）抛物线上的点到焦点的距离为6，则点到轴的距离为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 2．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为5，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，若，则（    ） A．4 B． C． D．8 4．（25-26高二上·天津·阶段检测）抛物线上一点到其焦点的距离为7，则点的横坐标为____________. 5．（25-26高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点； (2)焦点在直线上； (3)焦点到准线的距离是4． 题型12 求抛物线的标准方程 1．（25-26高二上·江苏淮安·期中）过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（  ） A．或 B． C．或 D． 2．（25-26高二上·全国·课前预习）边长为1的等边，O为坐标原点， x轴，以O为顶点且过的抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高二上·全国·专题练习）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是____________． 5．（25-26高二上·吉林·期末）如图，已知抛物线经过点，是抛物线的焦点，以为始边，为终边的角. (1)求抛物线的标准方程； (2)求. 题型13 求抛物线的轨迹方程 1．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·上海·课后作业）若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为___________. 5．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 题型14 抛物线的实际应用 1．（25-26高二上·山东滨州·期末）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽.当水面上升后，水面宽为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西西安·期末）某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）.已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏·期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 4．（25-26高二上·江苏徐州·期中）某数学爱好者在上海博物馆参观时，对一件清康熙款青花龙凤纹碗产生了兴趣.如图所示，该瓷碗水平置于桌面上，底座高1cm，碗口直径15cm，碗深7.5cm.若将碗身（不含底座）的轴截面轮廓近似看作抛物线，碗内有一根长度为10cm的木棒通过抛物线焦点，且两端紧贴碗的内壁.则木棒的中点离桌面的距离为__________cm. 5．（25-26高二·全国·随堂练习）一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.      (1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标； (2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标. 题型15 直线与圆锥曲线的位置关系的判断及求参 1．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与的取值有关 2．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河北·期中）已知直线和抛物线，则“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 4．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是___________． 5．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）已知双曲线（，）过点，且其两条渐近线方程为与. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，求的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $