第二十九章 圆（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材人教版九年级上册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十九章圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列各图中的∠1为圆周角的是() A B D 2.平面内已知点P,以P为圆心，3Cm为半径作圆，这样的圆可以作() A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 3.下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的 圆心角所对的弧相等；正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，圆弧形桥拱的跨度AB=24m,拱高CD=8m.则拱桥的半径为（) A.12m B.13m C.14m D.11m 5.已知一条弧的半径为9，弧长为8π，那么这条弧所对的圆心角为() A.200° B.160° C.120° D.80° 6.(2026宁夏中考真题)如图， 的直径4B=6AC ⊙0 弦， ∠ACO=55°BC 的长为() A. 11 D. 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(2026江苏淮安·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E,∠ACD=60°， ∠ADC=50°，则∠CEB的度数为() B A.100° B.110° C.120° D.130 8.如图，AB为OO的直径，AE为OO的弦，C为优弧ABE的中点，CD1AB,垂足为D.若AE=8, DB=2,则OO的半径为() E A.6 B.5 c.4V2 D.4V5 9.平面上有⊙0及一点P,P到O0上一点的距离最长为6cm,最短为2cm,则O0的半径为()cm A.4 B.2或4 C.3或2 D.4或3 10.如图，OO是△ABC的外接圆，将△ABC绕点C顺时针旋转至△EDC,使点E在⊙0上，再将△EDC 沿CD翻折，点E恰好与点A重合，己知∠BAC=36°，则∠DCE的度数是() A D A.24° B.27 C.30° D.33o 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 218 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1,图，在0中，=,4=0,则22 B D 12.(2026江苏徐州中考真题)如图，AB是⊙0的直径，弦CD‖AB,若∠CAB=65°，则∠BCD= C D B 13.《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺， 问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD,垂足为E,CE=1寸， AB=1尺，则直径CD长为一寸.(1尺=10寸) A 】 14,如图，⊙0的直径AB与弦CD相交于点P,且∠APC=45°，若PC2+PD2=16,则⊙0的半径为 A B D 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.如图，在平行四边形ABCD中，AD=3,AB=6,∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交 AB于点E,连接CE,则阴影部分的面积是」 A30° B l6.图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径O9=2m,用长 为11dm的连杆将点9与动力装置P相连（∠OQP大小可变），点P在轨道AB上滑动，并带动磨盘绕点O 转动，OA上AB,OA=5dm.在磨盘转动过程中，AP的最大值为dm,最小值为 dm B 图1 图2 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.如图，在O0中，直径AB与弦CD相交于点卫，∠CAB=40°，∠APD=66°. D (1)求∠B的大小： (2)已知圆心O到BD的距离为4，求AD的长. 18.有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画.如图1，大观河上的这座圆弧形 拱桥建于上世纪70年代.图2是拱桥的示意图，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米. 4/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 图1 图2 ()求圆弧所在的圆的半径r的长： (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取 紧急措施？ 19.光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图.已知半径OA、OC分别为36cm、 12cm,∠AOB=135 灯罩 (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？ (2)求灯罩的侧面积（接缝不计）·（以上计算结果保留π） 20.如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E,交⊙O于另一点 F,FA=FE M E D B (I)求证：CD⊥AB (2)作FM⊥AB,垂足为M.若OM=OE=1,求AC的长. 21.(2026辽宁中考真题)如图，A,B,C,D是⊙0上的四个点，AC为⊙0的直径，且AB=BC, 连接AB,BC,BD,CD,过点A作AE⊥BD,垂足为E. 518 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D (1)求∠BDC的度数： BE=2 (2)若 求CD的长 CD ⊙0 22.(25-26八年级下江苏南京期末)已知，如图： 的半径R=5V ,弦B=14.点C在B上 CD⊥AB交⊙O于点D 0 0. (1)若BC=4,求线段CD的长. (2)若点C在弦AB上运动，则AC+CD的最大值」 23.综合与实践 【主题】扇面制作， 【背景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺 术风格.某班组织同学们开展扇面制作展示活动，扇面的形状如图2中阴影部分所示，∠AOB=120°，弦 AB与 D 相切. ·01 图1 图2 图3 303cm ⊙0 【素材】无刻度直尺、量角器、圆规、剪刀、如图3所示直径为 的卡纸 【任务】 618 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)猜想与证明：猜想OD与OA之间的数量关系，并证明. (2)设计扇面：若要求制作的扇面的宽AD=BC=15cm. ①求要制作的扇面中弦AB的长. ⊙0 ②在中能否设计出满足条件的扇面？若能，请利用【素材】中的工具在图3中直接画出扇面（标出相 关角的度数，保留作图痕迹)；若不能，请说明理由. 24.(25-26八年级下江苏盐城阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90,⊙0是△ABC的内切圆，切 点分别是D、E、F. B (I)连接OA、OB,求∠AOB, (2)若BD=6,AD=4,求⊙0的半径. (3)在(2)的条件下，求Rt△ABC的外心和内心的距离. 25.【材料阅读】 如图1，在R1△ABC中，B=90°，4B=6,BC=4,以4B为直径的O0交4C于点D,点P是D上的 一个动点，连接CP,求CP的最小值 解题思路：连接OC与O0交于点E,如图2.当点P运动到交点E时，CP取得最小值，此时最小值为 5-3=2. O D D B 图1 图2 718 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)如图3，在Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=I0,BC=6,P是△ABC内部的一个动点，且满足 ∠PAB=∠PBC,求CP的最小值. 【迁移拓展】 (2)如图4，在正方形ABCD中，AD=12,动点E,F分别在边DC,CB上移动，且满足DE=CF,连接 AE和DF,交于点P.点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，求点P运动路径的长 (3)如图5，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=3,CD=1,请直接写出AD的长为 D E B D 图3 图4 图5 8/8………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十九章 圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各图中的为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 2．平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 3．下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（     ） A． B． C． D． 5．已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·宁夏·中考真题）如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏淮安·中考真题）如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，为的直径，为的弦，C为优弧的中点，，垂足为D．若，，则的半径为（     ） A．6 B．5 C． D． 9．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 10．如图，是的外接圆，将绕点顺时针旋转至，使点在上，再将沿翻折，点恰好与点重合，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，，则______． 12．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，弦，若，则__________． 13．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 14．如图，的直径与弦相交于点，且，若，则的半径为___________． 15．如图，在平行四边形中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接，则阴影部分的面积是______． 16．图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动， ．在磨盘转动过程中，的最大值为______．最小值为______． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在中，直径与弦相交于点P，，． (1)求的大小； (2)已知圆心O到的距离为4，求的长． 18．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 19．光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，． (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？ (2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留） 20．如图，⊙O是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交⊙O于另一点F，． (1)求证：． (2)作，垂足为M．若，求的长． 21．（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 22．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 23．综合与实践 【主题】扇面制作． 【背景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．某班组织同学们开展扇面制作展示活动，扇面的形状如图2中阴影部分所示，，弦与相切． 【素材】无刻度直尺、量角器、圆规、剪刀、如图3所示直径为 的卡纸． 【任务】 (1)猜想与证明：猜想 与 之间的数量关系，并证明． (2)设计扇面：若要求制作的扇面的宽 ． ①求要制作的扇面中弦的长． ②在中能否设计出满足条件的扇面？若能，请利用【素材】中的工具在图3中直接画出扇面（标出相关角的度数，保留作图痕迹）；若不能，请说明理由． 24．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，求∠AOB． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，求的外心和内心的距离． 25．【材料阅读】 如图1，在中，，，，以为直径的交于点D，点P是上的一个动点，连接，求的最小值． 解题思路：连接与交于点E，如图2．当点P运动到交点E时，取得最小值，此时最小值为． (1)如图3，在中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求的最小值． 【迁移拓展】 (2)如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足，连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，求点P运动路径的长． (3)如图5，在中，，是边上的高，且，，请直接写出的长为________． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十九章圆·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A 8 A ⊙ ⊙ B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11.30°130度 12.25 13.26 14.22 15 27-3元 4 16.12 2W14 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分， 共9小题，共72分) 17 【详解】(1)解：根据同弧所对的圆周角相等可得到∠CAB=∠CDB=40°， .∠APD=66°，∠APD=∠B+∠CDB, ∠B=66°-40°=26°；3分 (2)解：过点O作OE⊥BD于点E,则圆心O到BD的距离OE=4,BE=DE, B E D O是AB的中点， .OE是△ABD的中位线， AD=20E=8.6分 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18 【详解】(1)解：连接OA, D A 由思意得：4D=4B=30米，OD=0-18米， 2 Rt△ADO 2=302+(r-18)2 在 中，有 解得”=34 米；3分 (2)解：连接0A. :OE=OP-PE=30米， ÷在R△4B0中，4E=√A0-0E=16(米)， AB=32 米 B=32>30. .不需要采取紧急措施。6分 19. 【〖详解】（少）解：由题意得，劣的长=35X36-27π(cm) 180 岁而的长52-9g(m）, ∴.花边的长度为 2x×36-27m+(2x12-9a)=60a(em）,…3分 135π×362 =486π(cm2) (2)解：由题意得， S小扇形O4B= 360 S小扇形OCD= 135π×122 360 =54π(cm2), .S=S9w=(π×362-S小m形0ui）-(π×122-S形0D） =(1296π-486π)-(144π-54π) 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =720m(cm2 ）.6分 20. 【详解】.(1) 证明：，FA=FE, ∴.∠FAE=∠AEF. 又∠FRME与∠BCE都是' 所对的圆周角， .∠FAE=∠BCE, .∠AEF=∠CEB, .∠CEB=∠BCE. .CE平分∠ACD, .∠ACE=∠DCE. AB是⊙O的直径， .∠ACB=90° .∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90° ,∠CDE=180°-（∠CEB+∠DCE)=90° CD1AB.3分 (2)解：由(1)知，∠BEC=∠BCE, ∴BE=BC. FA=FE,FM⊥AB, ∴.MA=ME=OM+OE=2. ..OB=OA=MA+OM=3. .AB=OA+OB=6,BC=BE=OB-OE=2. ,∠ACB=90°. :4C=V0-BC=VG-2=42.…6分 21」 【详解】(1)解：，AC为⊙0的直径， 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABC=90°， .AB=BC, :∠BAC=∠BCA=(180°-∠ABC)=)×180°-90)=45°， 在⊙0 中， BC BAC∠BDC 所对的圆周角为 ∠BDC=LBAC=45°；3分 (2)解：如图，过点C作CK⊥BD于点K, .AE⊥BD, .∠CKD=∠BKC=∠AEB=90°. 由(1)知：∠ABC=90°，∠BDC=45° .∠CBK=90°-∠ABE=∠BAE, ∠DCK=90°-∠BDC=90°-45°=45°=∠BDC, .DK=CK, 在△BCK和△ABE中， T∠CBK=∠BAE ∠BKC=∠AEB BC=AB ABCK≌△ABE(AAS) CK=BE=2 DK=CK= 在RIACDK中，CD=VDK2+CK2-V2+(2=2, 即CD的长为2.8分 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22. 【详解】(1)解：如图，过点O作OE⊥AB于点E,作OF⊥CD于点F,连接OA,OD, D O .OE⊥AB AE-BE-T4B-7, 2 .CE=BE-BC=7-4=3, 在RA40B中，0E=VOM-AE=52-72=1, OE⊥AB,OF⊥CD,CD⊥AB, ∴.∠OEC=∠OFC=∠ECF=90°， .四边形OECF是矩形， ..CF=OE=1,OF=CE=3. 在RUAOFD中，DF=VOD2-OF=52-32=V4I】 :CD=DF+CF=而+l,4分 (2)解：如图，过点O作OE⊥AB于点E,作OF⊥CD于点F,连接OA,OD, D -F B 同(1)得AE=7,CF=1,四边形OECF是矩形， 设CE=a,DF=b,则OF=CE=a, AC+CD=AE+CE+CF+DF=7+a+1+b=8+(a+b) 故求AC+CD的最大值，只需求a+b的最大值， 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rta0FD中，OF2+DF2=0D2,即d2+b=(52=50 a-b≥0.即02-2ah+220 .50-2ab≥0，即2ab≤50， .50+2ab≤100. :(（a+b=d+2ab+B=50+2ab≤10 即a+b≤10 ∴.当且仅当a=b时，a+b取得最大值，最大值为10， :AC+CD的最大值为 8+(a+b)=8+10=18 .8分 23. 【详解】(1)猜想： OD=10A 2 证明如下：如图1，记弦B与 D相切于点M,连接OM,则OM1B 图1 ∴.∠AMO=90° ∠AOB=120°，OA=OB, .∠MAO=∠MB0=30°. .OM-10A 2 ..OD=OM :0D=0A.n3分 2 (2)解：①如图， 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 30 30 OA=OB,OM⊥AB, ∴.AM=BM 由(1)知0D-0A=AD=OM=15cm. O4=2AD=30(cm) 在RIAAOM中，AM=VOP-OM2=V302-15-155 ,AB=2AM=2×15V3=30V5 6分 ②能， 30 8分 24. 【详解】(1)解：：⊙0是△ABC的内切圆， OA平分LCAB,OB平分LCBA, 在Rt△ABC中，∠C=90°， .∠CAB+∠CBA=90° ∠0MB+∠OBA=2∠CMB+∠CB)=45°， ∠A0B=180°-45°=135°.4分 (2)解：设半径为，连接OE、OF, :⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F, 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴由切线长定理得：BE=BD=6,AF=AD=4,CE=CF, :∠C=90°OE⊥BCOF⊥AC ∴四边形OECF是正方形，CE=CF=r, ..AC=AF+CF=4+r.BC=BE+CE=6+r, :AB=AD+BD=4+6=10 在Rt△ABC中，由勾股定理得： (4+r)2+(6+r)2=102 解得：”=2或r=-12(舍去负值)， .⊙0的半径r=2.8分 (3)解：由(2)知AC=6,BC=8,AB=10, 设斜边AB的中点为M,则M是Rt△ABC的外心， 分别连接OM,OD AD=4,AB=10. BAM=司AB=的 .MD=AM-AD=5-4=1. :OD是内切圆半径，OD1AB, ..OD=r=2, 在RtAOMD中，由勾股定理得： 0M=VOD+MD2=V22+12=V5 ∴.Rt△ABC 5 的外心和内心的距离为 ! M D .12分 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25. 【详解】(1)解：如图，作以AB为直径的⊙0， B C∠ABC=90° .∠ABP+∠PBC=90° ∠PAB=∠PBC, ∴.∠BAP+∠ABP=90° .∠APB=90°， AB ⊙0 “点P在以为直径的上. .连接OC交⊙O于点P,此时CP最小. 点O是AB的中点，AB=10,, :.04=OB=1AB=5 2 在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=6,OB=5, ..OC=BC2+0B2=61 ..CP=OC-OP=61-5 ∴C 的最小值为6-5 ;…4分 (2)解：如图，作以AD为直径的圆，连接AC,BD交于点O, 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B :正方形ABCD ∴.AD=CD,∠ADE=∠DCF=90° .DE =CF, ,△ADE≌△DCF(SAS) .∠DAE=∠CDF, .∠DAE+∠ADP=∠ADP+∠CDF=∠ADE=90°， .∠APD=90° :点P在运动中保持∠APD=90°， ·点P的运动路径是以AD为直径的圆的弧DPO, :点P的运动路径长为180 90mx6=3元.8分 (3)解：如图，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E,作OF⊥AD于点F,连接OA,OB, 0C, ,AD是BC边上的高， .LOED=∠OFD=∠FDE=90°， ∴四边形OEDF是矩形， ..OF=DE,OE=DF, :∠BAC=45 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BOC=90° 在Rt△BOC中，BC=BD+DC=3+1=4, .B0=C0=22 :OE⊥BC,O为圆心， :.BE=IBC ∴.DE=OF=BD-BE=1 Rt△BOE 在 中， B0=2V2BE=2 ∴OE=DF=2 在Ra10F中，40=25，OF=DE=1, AF=√万， ..AD=AF+DF=7+2 12分 11/11 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十九章 圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各图中的为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据圆周角的定义，选项C中的为圆周角． 2．平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【分析】根据圆的概念求解． 【详解】解：∵圆心P为定点，半径为是定长， ∴满足条件的圆有1个． 3．下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】需关注各圆相关结论的适用前提，结合定义判断说法的正确性． 【详解】解：①直径是经过圆心的弦，故①正确； ②平分弦的直径垂直于弦的前提是被平分的弦不是直径，该说法缺少此前提，故②错误； ③圆的对称轴是直径所在的直线，直径是线段，不是对称轴，故③错误； ④相等的圆心角所对的弧相等的前提是在同圆或等圆中，该说法缺少此前提，故④错误； 综上，正确的说法共个． 4．如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆心为O,半径为，则，，由垂径定理得，再由勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：如图，设圆弧形桥拱的圆心为O,半径为，则，，由题意得， ， 在中，由勾股定理得，即：， 解得， 拱桥的半径为． 5．已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弧长公式，将已知半径与弧长代入，计算求出圆心角度数． 【详解】解：设圆心角为，根据题意，得 ， ∴． 即这条弧所对的圆心角为． 6．（2026·宁夏·中考真题）如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角性质求出的度数，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：， ， 是的外角， ， 是的直径， 的半径为， 的长为：． 7．（2026·江苏淮安·中考真题）如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆周角定理可得，，作差可求出，最后利用三角形外角的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 8．如图，为的直径，为的弦，C为优弧的中点，，垂足为D．若，，则的半径为（     ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，延长交于点T，设的半径为r，证明，推出，在中，根据，构建方程求解． 【详解】解：连接，延长交于点T，设的半径为r， ∵C为优弧的中点， ∴， 由垂径定理得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据， ∴ 解得． 9．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【答案】B 【分析】根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可． 【详解】当点P在外时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴ 的直径为 ，半径为 ． 当点P在内时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴的直径为 ，半径为 ． 因此的半径为或． 10．如图，是的外接圆，将绕点顺时针旋转至，使点在上，再将沿翻折，点恰好与点重合，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，连接，根据圆周角定理得出，再由翻折的性质确定，，，得出，，确定，再由等腰三角形的性质及三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， 经过圆心， ， 由翻折得，，，， ， ∵， ∴， ， ， 是的外角， ， ， 由旋转的性质得，． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，，则______． 【答案】/30度 【分析】由可得，再根据圆心角、弧、弦之间的关系即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ， ， ， ∴． 12．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，弦，若，则__________． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出 ，利用三角形内角和求出 的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴． 13．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 【答案】26 【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，可得寸，再设出圆的半径为x寸，表示出，最后根据勾股定理建立关于x的方程进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ，且寸， 寸， 设圆O的半径的长为x寸， 寸， 在中， 解得， ， 寸． 14．如图，的直径与弦相交于点，且，若，则的半径为___________． 【答案】 【分析】过点O作于点E，连接，根据垂径定理得出，根据等腰三角形的判定和性质得出，整理得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点O作于点E，连接，如图所示： 则， ∵， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，负值舍去， 即的半径为． 15．如图，在平行四边形中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】过C作交的延长线于点F，先利用平行四边形的性质得到，，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，由阴影部分的面积为求解即可． 【详解】解：过C作交的延长线于点F，如图所示， ∵四边形是平行四边形，，， ，， ， ， ，， ， ∴阴影部分的面积为 ． 16．图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动， ．在磨盘转动过程中，的最大值为______．最小值为______． 【答案】 12 【分析】先根据当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最远，再根据勾股定理解答；然后结合当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最近，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最远， 在中，， ∴； 当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最近， 在中，， ∴． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在中，直径与弦相交于点P，，． (1)求的大小； (2)已知圆心O到的距离为4，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得，根据三角形外角性质求解即可； （2）过点O作于点E，则，根据垂径定理以及三角形中位线定理即可求解． 【详解】（1）解：根据同弧所对的圆周角相等可得到， ∵，， ∴； （2）解：过点O作于点E，则圆心O到的距离，， ∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 18．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； （2）解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． 19．光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，． (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？ (2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别求劣的长与劣的长，进而即可求解； （2）分别求出小扇形和小扇形的面积，进而即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，劣的长， 劣的长， ∴花边的长度为； （2）解：由题意得，， ， ∴ ． 20．如图，⊙O是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交⊙O于另一点F，． (1)求证：． (2)作，垂足为M．若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴． 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∴． ∴． (2) 【分析】（1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即． （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． 21．（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据等角对等边及三角形内角和得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）如图，过点作于点，根据等角对等边推出，证明得，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 22．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，作于点，连接，，用垂径定理得到，算出长，在中利用勾股定理求出，由三个直角判定四边形为矩形，得到、长度，再在利用勾股定理求出，最后由求得； （2）沿用（1）的辅助线与矩形结论，设，，将整理为，由勾股定理得到，利用完全平方公式推出的最大值，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， 同（1）得，，四边形是矩形， 设，，则， ∴， 故求的最大值，只需求的最大值， 在中，，即， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴当且仅当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为． 23．综合与实践 【主题】扇面制作． 【背景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．某班组织同学们开展扇面制作展示活动，扇面的形状如图2中阴影部分所示，，弦与相切． 【素材】无刻度直尺、量角器、圆规、剪刀、如图3所示直径为 的卡纸． 【任务】 (1)猜想与证明：猜想 与 之间的数量关系，并证明． (2)设计扇面：若要求制作的扇面的宽 ． ①求要制作的扇面中弦的长． ②在中能否设计出满足条件的扇面？若能，请利用【素材】中的工具在图3中直接画出扇面（标出相关角的度数，保留作图痕迹）；若不能，请说明理由． 【答案】(1)猜想： ． 证明如下：如图1，记弦与相切于点，连接 ，则 ． ∴ ． ∵， ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． (2)解：①，②能， 【分析】（1）记弦与相切于点，连接 ，则 ，根据圆切线的性质得出 ，根据等边对等角，以及三角形内角和定理得出 ，由含30度直角三角形的性质得出 ，进而可得出 ． （2）①由垂径定理得出 ，由（1）知 ．则，由勾股定理得出 ，进而可求出． ②画出直径，作的垂直平分线，再使用量角器量出的角与垂直平分线交于点，以点为圆心为半径画弧即可． 【详解】（1）略； （2）解：①如图， ∵ ， ， ∴ ． 由（1）知 ． ∴． ∴在 中，， ∴． ②能，略； 24．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，求∠AOB． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，求的外心和内心的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 25．【材料阅读】 如图1，在中，，，，以为直径的交于点D，点P是上的一个动点，连接，求的最小值． 解题思路：连接与交于点E，如图2．当点P运动到交点E时，取得最小值，此时最小值为． (1)如图3，在中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求的最小值． 【迁移拓展】 (2)如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足，连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，求点P运动路径的长． (3)如图5，在中，，是边上的高，且，，请直接写出的长为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明点P在以为直径的上，连接交于点P，此时最小，再进一步求解即可； （2）如图，作以为直径的圆，连接，交于点O，证明，可得， 点P的运动路径是以为直径的圆的弧，再进一步求解即可； （3）如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接，，，证明四边形是矩形，可得，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，作以为直径的， ， ． ， ． ， 点P在以为直径的上． ∴连接交于点P，此时最小． 点O是的中点，， ， 在中，，，， ， 的最小值为； （2）解：如图，作以为直径的圆，连接，交于点O， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 点P在运动中保持， 点P的运动路径是以为直径的圆的弧， 点P的运动路径长为． （3）解：如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接，，， ∵是边上的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ． 在中，， ， ，O为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $