福建省泉州五中2026-2027学年高二上学期单元测试一（月考）数学试题

2028届高二上数学单元测试一 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则且 2．袋子里装有4支钢笔，其中2支黑笔，2支红笔，从中随机取出2支，下列事件中与事件“都是黑笔”互斥但不对立的是（ ） A．“恰有1支红笔” B．“至多有1支红笔” C．“至少有1支黑笔” D．“至少有1支红笔” 3．如图所示，在平行六面体中，设，，，是的中点，用，，表示为（ ） A． B． C． D． 4．从3名男生和2名女生中任选3人参加志愿者活动，则所选3人中既有男生又有女生的概率为（ ） A． B． C． D． 5．已知三棱柱中所有的棱长均为1，．若为棱的中点，则（ ） A． B． C． D． 6．如图所示，四棱锥，底面是边长为4的正方形，棱底面，且，，分别是，的中点，是线段上的动点，则（ ） A．一定为锐角 B．一定为直角 C．一定为钝角 D．锐角、直角、钝角均有可能 7．已知是空间的一组基底，其中，，，若，，，四点共面，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．对于一个单位球，O为球心，，，…，在球面上，若对任意的，都有，则的最大值为（ ）． A．4 B．6 C．7 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若是空间直角坐标系中的一点，则（ ） A．点关于平面对称的点的坐标为 B．点关于轴对称的点的坐标为 C．点到平面的距离为3 D．点到轴的距离为 10．设，为两个随机事件，且，，下列说法正确的有（ ） A．若，则 B．若，互斥，则 C．若，则，独立 D．若，则，独立 11．如图，在四棱锥中，平面，且底面为平行四边形，的中点为，点，分别在棱，上（均与不重合），且，，，四点共面，记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知空间向量，，且，则_________． 13．已知事件和互斥，它们都不发生的概率为，且，则_________． 14．已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，则三棱锥的外接球的表面积为_________． 四、解答题：本题共2小题，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（12分）如图，在直三棱柱中，为的中点，且，，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正切值； （3）点到平面的距离． 16．（15分）如图，正方体的棱长为1，点满足． （1）求证：平面； （2）记平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为． （i）若，求的值； （ii）当取最大值时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $《2028届高二上数学单元考1》参考答案 题号 6 P 9 10 11 答案 C A A C A C BC BCD BCD 8 251 12.7V2 13.15 14.25 15.【详解】(1)由AB=BC=5,D为AC的中点，得BD⊥AC,由A4上平面ABC, BDc平面ABC,得AA⊥BD,且AA∩AC=A,所以BD⊥平面ACCA,CAC平面ACCA 则BD⊥CA (2)取A,C的中点E,连接DE,以点D为原点，直线DA,DE,DB分别为x,y,z轴建立空间 直角坐标系， B B AD=1,BD=2,则D(00,0):B(0,0,2).A1,0,0).C(-13,0) DC=(-13,0）,DB=(0,0,2),AB=(1,0,2）,设平面BDC的法向量为7=(x2）, i.DC=-x+3y=0 则( i:DB=2z=0,取y=1,得i=(31,0) AB. 3 sin0=cos(AB,n)月 32 设直线AB与平面BDC所成角为B,则 AB时V5.0 10 3√4 所以直线AB与平面BDC所成角的正切值为41· C4·元6310 (3)由①知4(，3,0），C4=(2,00),所以点4到平面BDC的距离 成105 16.【详解】(I)证明：在正方体ABCD-AB,CD中，可得BD,IBD,且AB,ICD, 因为B,DC平面BCD,BDC平面BCD,所以B,D∥平面BCD 又因为AB:平面BCD,CDC平面BCD,所以AB,∥平面BCD 因为AB∩BD=B且AB,BDC平面AB,D,所以平面AB,D∥平面BCD, 又因为MD,C平面AB,D,所以MD,∥平面BCD (2)解：以A为坐标原点，分别以AB，AD,A4为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示 可得M(元，0,2)，B(10,0),C1,11).D(0,1,0) 设平面BCD的法向量为元=(xy2),因为BC=(0,11),BD=(11,0), ii.BC=y+z=0 则i:BD=-x+y=0,取y=1,可得x=1,2=-1,所以i=(,1,-), 设平面MBC的法向量为m=(:,,）, m·MB=1-)x-元名=0 因为M逦=(1-元0，-)，BC=(0,1）则 m,·BC=y+名=0 1用用安分风-学 设平面MBD的法向量为%=(x,,2) m2·MB=1-)x2-z2=0 因为MB=(1-元，0-2)，BD=(11,0）,则m·BD=-x+为=0 1刚1分西-u习 Q=T 1+21+21=0 ①当22时，m1元，得m万=0，可得+入+元 =2 ，解得3； m 1+-l+-1 132-2 cosa= mH列 :V9A2-122+6 (ii)由 tana Q=I 得 (当3时， 2) m,列 32-1 cos阝= 同 +=5 V9A2-62+3 由 1+1+元 √2， Bs 2), =12 ①当3或3时，可计算得 n(a+B)=_ 2: √2，√2 tan(a+)4-2 √2√2 1 2-1H31-2-2 ②当3且3时， 32-13元-2 0<号m(a+)=232t2-3别，-2,361-巨.1-2 3 1-32)(2-32)-2 V29-9元=32-元 <<2tam(e+p)=2,BA-+-3)。5 1 [42-2 若3 3, (31-1)(2-32)-2-922+91-47，-2 1mam-9。哥 若3 结合①②可知， e 因此，当O+B取最大值时， an(a+P)=-)】《2028届高二上数学单元考1》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 A A 0 A B BC BCD BCD 15.【详解】(1)由AB=BC=V5,D为AC的中点，得BD1AC,由AA11平面ABC, BDC平面ABC,得AA11BD,且AA1NAC=A,所以BD1平面ACC1A1,CA1C平面ACC1A1 则BD1CA1 (2)取A1C1的中点E,连接DE,以点D为原点，直线DA,DE,DB分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， AD=1,BD=2,则D(0,0,0),B(0,0,2),A(1,0,0),C1(-1,3,0), DC=(-1,3,0),DB=(0,0,2),AB=(-1,0,2),设平面BDC1的法向量为元= B (x,y,z), 则元DG二x+3y=0,取y=1,得i=31,0), 元.DB=2z=0 设直线AB与平面BDC所成角为6，则sin9=1 cos(AB,== 3 1AB同一V5V元= 恶 所以直线AB与平面BDC,所成角的正切值为3四 (3)由()知A,(13,0.G=(20),所以点A到平面BDG的距离d-高=盒=四 5 16.【详解】(1)证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得B1D1/BD,且AB1/C1D, 因为B1D1平面BC1D,BDC平面BC1D,所以B1D1/平面BC1D, 又因为AB1￠平面BC1D,C1DC平面BC1D,所以AB1/平面BC1D, 因为AB1NB1D1=B1且AB1,B1D1C平面AB1D1,所以平面AB1D1/平面BC1D, 又因为MD1C平面AB1D1,所以MD1/平面BC1D. (2)解：以A为坐标原点，分别以AB,AD,AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得M(,0,),B(1,0,0),C1(1,1,1),D(0,1,0), 设平面BC1D的法向量为=(x,y,z),因为BC1=(0,1,1),BD=(-1,1,0), 则78C=y+2=0,取y=1,可得x=1,2=-1,所以元=1,1，-1)， (i·BD=-x+y=0 设平面MBC1的法向量为=(x1,yh,21), 因为M丽=1-元0，-)，BG=(0,11),则元·M丽=1-0x-2=0 、m·BC=y1+Z1=0 取x=1,可得y=分，名=-头，所以而=(1，只，-) 设平面MBD的法向量为m2=(x2,y2,z2), 第1页（共2页） 因为MB=(1-,0,-0,BD=(-1,1,0), 则m·ME三(1-)x2-122=0 m2·BD=-x2+y2=0 取x2=1,可得2=1,2=分，所以m=(1,1-) (①当a=时，而1元，得而元=0，可得1+只+公=0，解得乳=子 (ii)由cosa= Imin ++H 13A-2 milln 1++v3 V972-121+6 得tana= (+)(当a-时，a= 由cosB= |m2 h+1+H 13-1 lmz +1+(9)v3 V92-6+3 B 得tam吸=(2+》（当A=时，B=, ①当a=域时，可计算得tam(a+B)=-号， ②当入≠且入≠时，tan(a+B)=2=V2,BA-3a-2 2V2 1-13-1131-可 13元-1-3-2-21 若0<1<号tan(a+P)=V2·t23=V2,3- (1-3)-(2-31)-2 =号器(m,9 若<A<手aa+)=VE 9∈【9,9 号<<1，ama+)=n品=2=g号(a9 (3-1)-(3-2)-2 结合①②可知，tan(c+B)e(-0,-月， 因此，当a+B取最大值时，tan(a+B)=-三 2 第2页（共2页）