精品解析：福建省厦门市双十中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

厦门双十中学2025-2026学年上学期 高二数学第一次月考 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2.选择题答案必须用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的垂直关系即可求解. 【详解】因为，所以，所以，解得． 故选:B 2. 已知，，，若､､三个三向量共面，则实数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共面，设，由空间向量的坐标线性运算和向量相等，列出方程组，解之可求得答案. 【详解】解：因为，，三个向量共面，所以设，即， 所以，解得， 故选：D. 3. 如图，已知空间四边形，其对角线，，，分别是对边，的中点，点在线段上，且，现用向量，，表示向量，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，利用基底表示向量，即可得解. 【详解】由已知，所以， 则， 即，，所以， 故选：A. 4. 已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 【答案】B 【解析】 【分析】圆关于直线对称时，圆心必在该直线上．先由此求出 ，进而确定圆 的圆心和半径；再求两圆圆心距，与两圆半径之和、之差比较，判断两圆的位置关系． 【详解】圆 的圆心为 ． 因为圆 关于直线 对称，所以圆心在该直线上，故解得 ． 所以即 故圆 的圆心为 ，半径 ； 圆 的圆心为 ，半径 ． 两圆圆心距 又 ，因此 ，所以圆 与圆 外切． 5. 若，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】，几何意义是点到原点的距离的平方. 【详解】，化为标准方程为， 所以点在以为圆心，为半径的圆上. 的几何意义是点到原点的距离的平方， 在平面直角坐标系中画出草图，分析可知， 当三点共线且在中间时， 距离取最小值为， 所以的最小值为. 6. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的几何意义是点与点之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 7. 已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先利用对称性将转化为（为原点关于直线的对称点），从而将问题转化为，求圆上动点到定点的最短距离，再由圆心到定点的距离减去半径即可得到最小值． 【详解】圆的方程为，圆心，半径， 原点关于直线的对称点为，设， 则：，解得，所以， 由对称性，， 所以， 当为线与直线的交点时取等号， 所以问题转化为求圆上的动点到定点距离的最小值， 因为圆心到的距离为， 所以圆上点到 的最小距离为． 所以的最小值为． 8. 已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析角的最大值，结合直线与圆的位置关系建立不等式求解参数范围，首先明确圆与直线的基本信息，然后结合切线性质分析角的最大值，角度条件转化为距离条件，最后结合直线与圆的位置关系（距离公式）得出不等关系. 【详解】过作分别与圆相切于两点，连接， 在中，由正弦定理得， 当点相对固定时，均为定值，要使得最大， 则需要最大.当时，即与圆相切时，最大， 即为，所以,同理，， 故 即，所以要使圆上存在两点使得只需要 平分只需要 只需要 则直线与圆相交或相切，又已知直线与圆相离， 则弦心距满足 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于直线和直线，以下说法正确的有（ ） A. 直线一定过定点 B. 若，则 C. 的充要条件是 D. 点到直线的距离的最大值为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出直线所过定点判断A；利用垂直关系计算判断B；由两直线不相交求出判断C；求出直线所过定点，并求出它与点的距离判断D. 【详解】对于A，变形为， 令，解得，因此直线一定过定点，A正确； 对于B，若，则，解得，B正确； 对于C，当与不相交时，，解得或， 当时，直线与平行， 当时，直线与平行， 因此当时，或，C错误； 对于D，直线恒过点，点到直线的距离的最大值为间距离， 而，D正确. 故选：ABD 10. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（ ） A. B. C. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为 D. 点O到直线BC的距离是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标表示，结合向量数量积、模的意义计算判断选项AB；利用异面直线夹角的向量求法判断选项C；利用空间向量求出点到直线距离判断选项D作答. 【详解】对于A，，，， 依题意，，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，,因为， 则异面直线OB与AC所成角的余弦值为，故C正确； 对于D，因为，，在上的投影为， 所以点O到直线BC的距离是，故D错误. 故选：AC. 11. 古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的方程为 B. 已知点，，圆上存在点，使得 C. 圆上恰有一个点到直线的距离为2 D. 在轴上存在异于，的两个定点，，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，根据题意运用两点间距离公式列出方程，化简得轨迹C的方程，可判断选项A；满足的点的轨迹是以为直径的圆，根据圆与圆的位置关系判断出圆和圆外离，可判断选项B；由距离公式判断直线与圆的位置关系，从而判断C；设，并由距离公式结合点P的轨迹方程，利用待定系数法解方程，从而判断D. 【详解】如图： 对于选项A，因为在平面直角坐标系中，，，点满足. 设，则，化简可得，故选项A正确； 对于选项B，若，则在以为直径的圆上. 因为中点，直径， 所以圆的半径，则圆的方程为， 设圆的半径为，则，圆心距， 则圆和圆外离，即圆上不存在点，使得，故B错误； 对于选项C，圆心到直线的距离为， 则该直线与圆相离，因为，也就是圆上恰有一个点到直线距离等于（离直线最近那一点），故C正确； 对于选项D，假设存在这样的点，可设，可得， 两边平方并整理：， 由P的轨迹方程为，可得， 解得或（舍去），即存在，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线的一个方向向量，则的倾斜角等于_________. 【答案】## 【解析】 【分析】计算得，即可得到倾斜角大小. 【详解】设直线的倾斜角为，则，，则. 故答案为：. 13. 已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设中点坐标，利用中点公式将圆上动点的坐标用中点坐标表示出来，再代入圆的方程，化简即得轨迹方程． 【详解】设在圆上运动，则：①, 设的中点，由中点坐标公式：， 解得， 将代入①：得 化简得： 即： 因此线段中点的轨迹方程为：． 14. 如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】以 为原点建立空间直角坐标系，把 化为坐标满足的方程，确定点 所在区域；再把 用坐标表示并配方，即可求出取值范围. 【详解】以 为原点，，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系. 由 ， 得 ，，，. 设 . 因为 在长方体内部（含边界），所以 ，，. 又 ，. 由 得 ，即 ，化简得 . 由 得 ，解得 ，故 ，. 因为 ，，所以 . 又 ，代入得 . 配方得 . 因为 ，，所以当 ， 时（此时 ，符合 ）， 取最小值 . 当 ， 或 ， 时， 取最大值 . 所以 的取值范围是 . 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系． （1）试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离； （2）某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？ 【答案】（1）； （2）会驶入安全预警区，行驶时长为半小时 【解析】 【分析】（1）先求出A，B的坐标，再由距离公式得出A，B之间的距离； （2）由三点的坐标列出方程组得出经过三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为，再由几何法得出直线与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长. 【小问1详解】 由题意得，∴； 【小问2详解】 设圆的方程为， 因为该圆经过三点，∴，得到. 所以该圆的方程为：， 化成标准方程为：. 设轮船航线所在的直线为，则直线的方程为：， 圆心（6，8）到直线的距离， 所以直线与圆相交，即轮船会驶入安全预警区. 直线与圆截得的弦长为，行驶时长小时. 即在安全警示区内行驶时长为半小时. 16. 底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 因为四边形为菱形，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到⊥，⊥，故平面； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，根据线面角的正弦值得到方程，求出，求出两个平面的法向量，根据面面角夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，，则，， 设平面的一个法向量为， ， 令得，故， 直线与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，负值舍去，则， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角余弦值为. 17. 已知的一条内角平分线的方程为，一个顶点为，边上的中线所在直线的方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点在直线上，设，由为边上的中线，得出线段的中点在直线上，根据中点公式求出中点，代入直线的方程即可求解； （2）由是的一条角平分线，得出点关于直线的对称点在直线上，由点关于直线对称得出坐标，结合点的坐标求出直线的方程，再与直线联立求出的坐标，由两点之间距离公式求出，由点到直线距离公式求出到直线的距离，即可根据三角形面积公式代入计算即可． 【小问1详解】 因为直线的方程为， 设，又， 所以线段的中点坐标为， 因为线段的中点在直线上， 所以，整理得，即， 所以． 【小问2详解】 因为是的一条角平分线， 所以点关于直线的对称点在直线上， 设， 则，解得， 所以， 所以直线的方程为，整理得， 联立直线与直线的方程，， 解得，即， 所以， 点到直线的距离， 所以． 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，平面平面，，. （1）在棱上是否存在某一点，使得过点，，的截面与底面的夹角为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （2）在（1）的条件下，设过点，，的截面交于，求四棱锥的体积. 【答案】（1）存在，.理由如下： 取中点，取中点，连接，，. ∵侧面为正三角形，， 又∵平面平面，平面平面，面， 面， ∵底面为矩形，且， 则以为原点，，，所在直线分别为，，轴建系如图， 所以，，，，， 设，，且， 因为面平面的一个法向量 设平面的一个法向量为，， 则，， 令，则，. 因为平面与底面的夹角为, 所以， 得，解得或. 又，解得，因此存在点满足条件，. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，取中点，连接，，再分别以为轴建立空间直角坐标系，再设，，用向量的方法计算面面角，从而可得，进而可判断存在点且； （2）解法一：先由线面平行的判定定理及性质定理可得是梯形，再通过向量的长度计算可得是等腰梯形，再用向量的方法计算点到平面的距离，进而可求四棱锥的体积；解法二：先在梯形中，进而，再结合，从而可得，从而可得四棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，面，面， 由线面平行的判定定理，面. 又面，面面，且面， 由线面平行的性质定理，. 又，，所以. ∴由（1）知，所以. （解法1）：由（1）知面的一个法向量为 则点到平面的距离为，， 所以， 因为，所以，， ，， 所以，所以为等腰梯形，， 所以等腰梯形的高， 所以， 所以. （解法2）：在梯形中， ，，， 所以， 又，则， 又， 因此. 19. 已知二次曲线表示圆的充要条件为，且.关于二次曲线，有以下结论：若，，，为平面内三条直线，且，，，则过，，三点的二次曲线系方程为（，为参数）.若，，，为平面内四条直线，且，，，，则过四点的二次曲线系方程为（为参数）. （1）若三角形三边所在直线方程分别为：，，.求该三角形的外接圆方程. （2）记（1）中所求的外接圆为，直线与交于，两点（在第一象限），直线与交于，两点（在第二象限），直线交轴于点，直线交轴于点，直线与直线交于点. （i）求证：； （ii）求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）证明：如图，在平面直角坐标系中， 设直线与轴的交点，直线与轴的交点， 由题意知直线均不与轴垂直， 则直线方程可设为，直线方程可设为， 由题意可知，且. 不妨记直线分别为， 且， 其中，，，. 故由题意，过四点的二次曲线系方程可设为 （为参数）， 即 ①， 若时，方程表示两条直线，不表示圆， 故. 由四点不共线，且都在圆②上， 所以方程①②表示同一圆， 则有③，且④. （i）由③式及，可得， 即；故（i）得证； （ii） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据三条直线方程设出二次曲线系方程，通过方程表示圆的充要条件待定系数可得； （2）由四条直线方程设出二次曲线系方程，再由已知圆的一般方程，对比两方程寻找系数的等量关系，由关系可证得，由关系式（即）可得交点在定直线上上，进而求解最值. 【小问1详解】 则由题意，可设所求三角形的外接圆方程为：（，为参数）， 即 ，（） 若方程表示圆，则，解得. 将代入（）式化简得， 验证：由，可知该方程表示圆. 故该三角形的外接圆方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由③式可得，令，则， 代入④式可得， 联立直线方程，解得， 即交点在定直线上，故. 如图2，由对称性可知，当时，交点在轴上， 即，此时. 故的最小值为. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键有两点，一是理解二次曲线系方程的设法，能够根据题目提供的条件由直线方程设出二次曲线方程；二是二次曲线系方程的应用，本题主要是三角形外接圆与四边形外接圆的应用，第（1）问通过方程表示圆的充要条件待定系数，第（2）问通过同一圆的两种不同方程表达形式寻求等量关系从而解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门双十中学2025-2026学年上学期 高二数学第一次月考 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2.选择题答案必须用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知，，，若､､三个三向量共面，则实数等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知空间四边形，其对角线，，，分别是对边，的中点，点在线段上，且，现用向量，，表示向量，设，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 5. 若，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 8. 已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于直线和直线，以下说法正确的有（ ） A. 直线一定过定点 B. 若，则 C. 的充要条件是 D. 点到直线的距离的最大值为5 10. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（ ） A. B. C. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为 D. 点O到直线BC的距离是 11. 古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的方程为 B. 已知点，，圆上存在点，使得 C. 圆上恰有一个点到直线的距离为2 D. 在轴上存在异于，的两个定点，，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线的一个方向向量，则的倾斜角等于_________. 13. 已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 14. 如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系． （1）试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离； （2）某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？ 16. 底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知的一条内角平分线的方程为，一个顶点为，边上的中线所在直线的方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求的面积． 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，平面平面，，. （1）在棱上是否存在某一点，使得过点，，的截面与底面的夹角为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （2）在（1）的条件下，设过点，，的截面交于，求四棱锥的体积. 19. 已知二次曲线表示圆的充要条件为，且.关于二次曲线，有以下结论：若，，，为平面内三条直线，且，，，则过，，三点的二次曲线系方程为（，为参数）.若，，，为平面内四条直线，且，，，，则过四点的二次曲线系方程为（为参数）. （1）若三角形三边所在直线方程分别为：，，.求该三角形的外接圆方程. （2）记（1）中所求的外接圆为，直线与交于，两点（在第一象限），直线与交于，两点（在第二象限），直线交轴于点，直线交轴于点，直线与直线交于点. （i）求证：； （ii）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $