福建省惠安第一中学2025-2026学年高二上学期第三次月考数学试卷

惠安一中2024级高二上学期第三次月考考试 考试科目：数学满分：150分考试时间：120分钟 命题者：蒋萍华审核者：郑志聪 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.两条平行直线x-2y+1=0与2x-4y+7=0之间的距离为() A.6 B.5 c.5 D.5 2 4 2.已知椭圆亡+ +片-1(m>0)与双曲线号-y-(a>0有共同的焦点，则直线m+m=1必过定点《) .传 C.(1,-1) D.(3,-3) 3.己知F是双曲线C:亡-上=1的右焦点，P是C的左支上一点，A0,V),则P4+P的最小值为() 8 A.5 B.6 C.7 D.8 4.已如裤四芒茶-a>60)的左、有焦点分别为5，R,焦距为2，过点5且事不为0的 直线1与E交于A,B两点，若A为E的上顶点，且AB=RB,则E的方程 为() A. =1 5+4 B.+上=1 43 c.+上-1 32 2+2=1 D. 5.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由如图所示的七块板组成的，即五块等腰直角三角形板（两 块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板)，一块正方形板和一块平行四边形板现从这 七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为() 2 A.21 B. C. 2 1 D.21 6.己知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,直线的斜率为√3且经过点F,直线1与抛物线C交于 点A、B两点（点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D,若引AF=8,则以下结论错误的是() A.p=4 B.DF=FA C.BD=2 BF D.BF=4 7.在三棱锥O-ABC中，OA=OB=OC=1,AB=BC=CA=√2，点P满足OP=ImOA+OB+1OC, 若实数m,n,1满足m+21+3引=3，则OP的最小值为() A.5 B.3V5 5 c.3 D.3V14 7 14 8已知乃，F,是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠EPF= 记椭圆和双曲线的 1,3 离心率分别为e,e2,则二+ 的最大值为() ee, A. 2W2 B.2V3 C.25 D.2√2 3 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知空间向量ā=(3，-2,2)，b=（4,3,m),下列说法正确的是（). A.若2ā+b=(10,-1,0),则m=4 B.若aLb,则m=-3 C.若ā在6上的投影向量为五，则m只有一个实数解 D.若a与b的夹角为钝角，则m>-3 3 MA1 10.已知点A(-1,0),B(2,0),动点M满足 MB2,记动点M的轨迹为曲线P,其中所有正确结论的序 号是() A.曲线W为一个圆： B.曲线W上存在点D,使得D到点(1,1)的距离为6： C.直线1：-y+2k+1=0(k为常数)，无论k为何值，直线l与曲线W恒有两个交点； D.曲线W上存在点F,使得F到点B与点(-2，O)的距离之和为8 11.己知棱长为2的正方体ABCD-ABCD1中，M,H,N分别为CC,AD,DD的中点，则下列正确 的是() D A.2-4Bw='4-B,M B.BH⊥BM B C.若点T是正方体表面上一动点且满足BNL DT,则点T的轨迹长度为巨+25 D.已知平面B过点D且BN⊥B,若P∈B,且PC=2PC,则P点的轨迹长度 为l6V2m H方 9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.过点PL2)的直线1与双曲线C:等=1交于4B两点，若=2D,则直线1的方程为 13.如图，在正四棱锥P-ABCD中，PF=FD,PE=2EB,设平面AEF与直线PC交于点G,PG=GC, 则= D 14.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线父上-1上的两个动 24 点，动点P满足OP=2OM-ON,直线OM与直线OW斜率之积为2，己知平面内 存在两定点F、F,使得PFPF,为定值，则该定值为 B 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分。解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.己知圆0：x2+y2=1. (1)求过点(1,2)与圆O相切的直线方程： (2)点P(x,)在直线1：3x+2y-4=0上，若在圆O上存在两个不同的点A,B,使OA+OB=OP,求x的 取值范围. 16.己知抛物线C:y2=4x,点F是C的焦点，O为坐标原点，过点F的直线1与C相交于A,B两点. (1)求向量OA与OB的数量积： (2)设F丽=1AF,若元∈[9,16]，求1在y轴上截距的取值范围， 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC,且 PA=AB=3,AC=2,E是棱PD的中点. D (1)求证：PB/平面AEC; (2)求直线PC与平面AEC所成角的正弦值； (3)在线段PB上（不含端点）是否存在一点M,使得二面角M-AC-卫的余弦值为0？若存在， 10 确定M的位置；若不存在，请说明理由. 18.为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球.先由其中一人投篮，若 投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况， 则比赛结束，且此人获胜.经过抽签决定，甲先开始投篮。己知甲每次投篮命中的概率为，，乙每次投篮 命中的概率为；，且两人每次投篮的结果均互不干扰。 (1)求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率： (2)求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率. 1以.已如t圆M若若=1a>b0)的离心率为 ,左焦点为F,左，右顶点分别为4，B,上顶点为C, 2 且△ACF的外接圆半径为√15 C P AF (1)求椭圆M的标准方程； (2)设斜率存在的直线l交椭圆M于P,Q两点(P,Q位于x轴的两侧)，记直线AP,B2的斜率分别为k,k, 若斯- ()试判断直线PQ是否过定点，若是，求出此定点坐标；若不是，请说明理由： (ii)设直线I与x轴的交点为T,记△APT与△BQT的面积分别为S,S2,求 S的取值范围 惠安一中2024级高二上学期数学第三次月考数学试卷 参考答案 一、单项选择题：CBBA CDDD 二、多项选择题：AB ACD ABD 三，填空题：12x-8y+15=0133 14.2W10 四、解答题 15。(1)当切线斜率不存在时，直线x=1与圆0：x2+y=1相切，.1分 此时切线方程为X=1,…。 ,2分 当切线斜率存在时，设切线斜率为k,直线方程为y-2=k(c-1),即c-y+2-k=0,…3分 因此有2丛-1，解得k=子，此时直线方程为3r-4y+5=0, .5分 Vk2+1 4 所以过点(1,2)与圆0相切的直线方程为x=1和3.x-4y+5=0 6分 (2)如图，OA+OB=OP,故四边形OAPB为平行四边形， 7分 因为OA=OB,所以四边形OAPB为菱形，故OP与AB互相垂直平分， .8分 则线段OP的中点在圆0内，因此+发<1，即+g<4, .9分 3 又3x。+2y。-4=0,即。=2- X0… 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 .10分 医t〔2-4.得0 24 12分 13 24 所以实数x的取值范围是(0，) 13 .13分 16.(1)设A,B坐标为()，(x22), 由题知直线倾斜角不可能为0，设直线1方程为：x=my+11分 x=y+1 联立 得y2-4y-4=0,△=16m2+16>0, ,,，,3分分 y2=4x 由韦达定理得少+乃=4加 y2=-4 .4分 丽0丽=5+-+- 16 16 -4=-3 6分 .向量OA,OB的数量积为-3. 7分 ②由知0面男 ..8分 入每0-040-对旷16心.1》 代入 -2=-41 -y=-4 -入 -4210分 4m2= -2 12 .11分 2 :f(2)）=元+}2在[9.16]为增函数 12分 ∴.42∈ 64225 16225 9’64 .14分 六1在y轴上截距加的取值范国为 ,&U8,&5纷 17.（1)如图所示：连接BD交AC于G,连接EG,则G为BD中点，E是棱PD的中点，.1分 故EG∥PB,… ”””。。■▣▣。▣▣▣■0。。””。。。””””””””””g”””。”0。。。。。。。} EGC EAC,PB丈EAC,故PB‖平面AEC… 4分 (2)以AC,AB,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则aac2a0.400.p10,l-》 .5分 3 3 设平面AC的法向量为n=(x,y,z),则 m=-2y+22=0 2 .6分 .AC=2x=0 取y=1,得到n=(0,1,1),P℃=(2,0，-3)， .7分 PC.n -33W26 直线PC与平面AEC所成角的正弦值为 V2×1326 ，.9分 (3)假设存在，M(x,y,z),设BM=BP,即(x,y-3,)=(0,-3,3)=(0,-31,3), 故M(0,3-3,3), 设平面MAC的法向量为m=(a,b,c),则 m-M=(3-32)y+3z=0 m.AC=2x=0 取y=1,得到m= 0-》 11分 m.n 1+1 V10 2 .14分 -1- 10 化简得到92-92+2=0，解得元=或元= 故M在PB的两个三等分点处 .15分 18.(1)若甲、乙投篮总次数为2次，则乙不可能获胜： 1分 若甲、乙投篮总次数为3次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第2、3次， 所以-(》8 3分 若甲、乙投篮总次数为4次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次，…4分 ……6分 +11 园甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件A,则P(4=R+R3+36司 7分 、所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率为2： 8分 《2)若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中2次，则概率乃号×号：10分 若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮， ①即设第次，第=次印末设，乙设第34次，则只=宁[-}片6 .12分 ②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中， 则1 .14分 ④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中， 则=卦》行a 16分 综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率P=B++B+R=4十36十54162162 1,1.1.149 .17分 Q)如图，连接ACCP,BP,因椭圆M的离心率为e=C=3,则=V1-e2-】 即a=2b,c=V3b 1分 在△OnC中，an∠CnO=b_ ,则∠CFO= …………2分 c3 6 在△4CF中，AC-g4c斗4-， 3分 4C-5-25,解得b=5枚a=25, 由正弦定理得im∠AFC1 .4分 2 则椭圆M的标准方程为女+y 正=1.……………5分 123 (2)(i)由题知直线l的斜率存在，且不为0，设直线1：x=y+t(m≠0)， 联立 x2+4y2=12 三0+’消去，可得心+4y+2咖+f-12=0, .6分 依题意，△=4m21-4(m2+4)t2-12）)>0,即32-t2+12>0,7分 -2t.-12 设P(,).2(x,),则y+%m+4%m+4 .8分 设直线BP的斜率为k,因为A(25,0),B(25,0）,且兰+上=1， 123 则站6高高子即店 1 二一 又因为点故= 3 9分 即有写255品即=动-20-2)。 y y2 3 8 叉=+m,所以+玉生51 代入(，可得-20G-12-=12m-2W5× 3(2+412+4 1m2+4 +12, .10分 化简得2r2-33-6=0,解得1=25或t=-5 2 ,11分 又P0位于装的两侧，所以g0.解得-25<125， 所以t=- √3，故直线9的方程=四，放必过定点 2 2,0）…12分 (i由()己得直线1过定点r(-5 ,0, …13分 于是三=出令生-只，则=，由)可得+% √3 -45 +4%= 4(m2+4）)' y=2y2 √3m √32 由 +y= 、3L,解得⅓+㎡+4y(1+r+4 14分 2+4 -45 32入 -45 再代入y: 4m+4·可得+Am+④4m+4④” 化简得九手-（）， .15分 因为41是>1，所以石对号即：1524以+150， m21m2 3 .16分 3 则片第是卧层 17分