专题4.5 二次函数的应用（8大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级上册

专题4.5 二次函数的应用 教学目标 1. 能分析实际情境中的数量关系，建立合适的二次函数模型。 2. 会运用二次函数的性质（顶点、最值）解决利润、面积、运动等实际问题。 3. 体会数学建模思想，提升将实际问题转化为数学问题的能力与应用意识。 教学重难点 1.重点 （1）掌握从实际问题中抽象数量关系、构建二次函数模型的方法。 （2）熟练运用二次函数的顶点特征求实际问题中的最大（小）值。 2.难点 （1） 难以精准提炼实际问题中的变量关系，建立符合题意的二次函数表达式。 （2）求解时易忽略自变量的实际取值范围，导致结果不符合现实情境。 知识点01 二次函数的应用 二次函数的应用知识总结 1. 核心应用场景： - 最值问题：解决利润最大、产量最优、用料最省、高度/距离最值等 - 实际建模：根据实际情境（如抛体运动、增长率、几何图形面积）建立二次函数关系式，转化为数学问题求解。 2. 解题步骤： - 审题：明确变量关系，确定自变量取值范围（需符合实际意义）。 - 建模：设合适的函数解析式（顶点式、一般式、交点式按需选择）。 - 求解：代入已知条件求参数，利用顶点或单调性求目标值。 - 检验：验证结果是否符合实际情境，舍去不合理解。 3. 关键技巧与思想： - 解析式选择：最值问题优先用顶点式 y=a(x-h)^2+k ，已知交点用交点式 y=a(x-x_1)(x-x_2) 。 - 数形结合：通过函数图像分析自变量取值范围与最值的合理性。 - 实际约束：忽略不符合实际的解（如负数、超出定义域的数值）。 【即学即练】1．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】C 【分析】将高度函数整理为二次函数一般式，结合开口方向，通过对称轴公式计算最高点对应时间. 【详解】解：， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，顶点处取得最大值. 将，代入，得. 2．（26-27九年级上·天津南开·开学考试）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是），围成中间有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽是（单位：），面积是（单位：）． （1）写出与的函数关系式_______________，的取值范围为_______________； （2）如果要围成面积为的花圃，则的长为__________米． 【答案】 9 【分析】（1）根据题目数量关系列函数表达式即可； （2）将代入（1）中表达式即可求解． 【详解】解：（1）由，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴S与x的函数关系式为； （2）若，则， 解得：，， ∵， 所以， 即当的长为9米时，花圃的面积为162平方米． 3．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）现在，租赁汽车已成为外出旅行时的一种重要的交通方式．某租赁公司拥有辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共元．当每辆车的日租金为元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加元，未租出的车将增加辆．设该租赁公司每日租出辆，其日收益为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ (3)试说明该租赁公司的日收益能否为元？ 【答案】(1)（且为整数） (2)每日租出辆时，租赁公司日收益最大，最大收益为元 (3)根据题意，当租赁公司的日收益为元时， ， 解得，， 为非负整数， 或均不符合题意， 租赁公司的日收益不能为元． 【分析】（1）根据日租金收入每辆车的日租金日租出车辆的数量，日收益日租金收入平均每日的各项支出，据此可求函数关系式； （2）根据 二次函数的性质进行求解即可； （3）令租赁公司的日收益为元，列方程求解，并由为正整数，可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：． 即与之间的函数关系式为（且为整数）； （2）解：在中，，， 当时，取最大值，最大值是， 每日租出辆时，租赁公司日收益最大，最大收益为元． （3）略 题型01 图形问题 【典例1】（26-27九年级上·湖北·期中）用一条的绳子围成一个矩形，矩形的面积可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设矩形一边长为，再结合周长表示另一边长，从而得到面积的二次函数表达式，接着配方求出矩形的最大面积为，根据面积不能超过最大值，对比选项选出答案． 【详解】解：设这个矩形的一条边长为，面积为， ∵这个矩形的周长是， ∴另一边长为：， ∴， ∵， ∴当为时，矩形面积最大，最大面积为：， ∴， 选项C ：，符合题意． 【变式1】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，正方形的边长为2，点分别在边上，，设，五边形的面积，则关于的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，进而可得，再观察图形可得五边形的面积正方形的面积三角形的面积，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴五边形的面积正方形的面积三角形的面积 ， ∵正方形的边长为2，， ∴ 解得， ∴x的取值范围为． 【变式2】（25-26九年级上·山东枣庄·期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个矩形的最大面积是______． 【答案】2400 【分析】本题考查了相似三角形的应用，二次函数的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．由矩形的性质可得，，进而由得到，，设，则，证明得到，得到，即可得，最后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，矩形的面积最大，最大面积是． 故答案为：2400． 【变式3】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）已知一铝合金门窗截面如图所示，它的上、下部都是一个矩形，横档垂直底边且长为，制作所需材料的总长为，设，透光面积为． (1)求S关于的函数表达式及的取值范围； (2)当时，对应的透光面积分别为，，比较，的大小，并说明理由； (3)求S的最大值． 【答案】(1)； (2)解：因为，对称轴，抛物线开口向下， 所以当时，S随的增大而增大， 因为， 所以； (3)． 【分析】（1）根据题意求出的值，进而根据矩形面积公式得到函数表达式，结合实际情况即可得到的取值范围； （2）根据二次函数的性质作答即可； （3）根据二次函数的性质作答即可； 【详解】（1）解：由题意，得 ， 所以 所以， 化简，得， ∵制作所需材料的总长为， ∴， ∴， 即； （2）略； （3）解：因为对称轴，在范围内，且，抛物线开口向下， 所以当时，． 题型02 图形运动问题 【典例1】（2026·江苏连云港·中考真题）如图，四边形中，，，，．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿的路径向终点运动，同时点从点出发，以同样速度沿边向终点运动．设的面积为，运动时间为（），则关于的函数图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，先求得，，根据三角形的面积公式，分成当在上时，即时，当在上时，即时，当在上且未到达时，即时，当在上且到达后，即时，分别求得函数解析式，结合选项，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， 过点作于点， 当在上时，即时，如图所示， ∴， ∴，函数图象为开口向上的抛物线，C，D不符合题意； 当在上时，即时， ∴， ∴，函数图象为直线的一部分， 当在上且未到达时，即时， ∴， ∴， ∴，函数图象为开口向下的抛物线，故B不符合题意； 当在上且到达后，即时， ∴，函数图象为直线的一部分，故A符合题意． 【变式1】（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，，，点D是的中点，点P、Q分别是、上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作于点，设，根据含30度角的直角三角形的性质，求出，，进而求出点与点重合时，的长，当点在点左侧，得到，勾股定理得到，利用二次函数求最值，当点在点右侧得到的长比重合时要大，且，得到，即可得出结果． 【详解】解：作于点，设， ∵，，， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵，， ∴，， 当点与点重合时，则：， 解得， ∴， 当点在点的左侧时，如图， 则：， ∴ ， ∴抛物线的开口向上，当时， 有最小值为， ∴的最小值为； 当点在点的右侧时，如图， 此时的长比重合时要大，且， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【变式2】（2026·浙江衢州·一模）如图1，四边形中，，平分，，（a为常数）且．记长为x，的值为y，y关于x的函数图象如图2所示，最高点E的纵坐标为16，当时，四边形的面积为________． 【答案】 【分析】先证明，得到，进而可得，结合图2知，，求出（负值舍去），当时，求出或，根据得到，．过点作于点，利用等腰三角形三线合一及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵（a为常数），长为x，长为y， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 由图2知，， ∴（负值舍去）， ∴， 当时，则，即， 解得或， 当时，，，符合； 当时，，，不符合，舍去． 过点作于点， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴四边形的面积为． 【变式3】（2026·吉林·模拟预测）如图，菱形中，对角线，相交于点，且，，动点，分别从点，同时出发，运动速度为，点沿运动，到点停止，点沿运动，运动速度为，到停止，连接，，．设的面积为（）（这里规定：线段是面积的几何图形），点的运动时间为（）． (1)填空：　　　　　，菱形高为　　　　　　； (2)求与之间的函数解析式． 【答案】(1)5， (2) 【分析】（1）根据勾股定理即可求得，根据菱形面积公式求得菱形的高； （2）首先求出，，过点作于点，然后分两种情况讨论，解直角三角形表示出，分别根据和求解． 【详解】（1）解：菱形中，，， ，，， ， 设菱形的高为， ， ， 菱形高为； （2）解：∵，，， ∴，， 如图，过点作于点，当时，点P在上，点Q在上， 根据题意得，，，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵菱形高为 ∴， ∴ 当时，点P在上，点Q在上，如图， 根据题意得，，，则 ∵四边形是菱形 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵菱形高为 ∴ ∴ ∴ 综上所述，与之间的函数解析式为． 题型03 拱桥问题 【典例1】（24-25九年级上·江西九江·期中）某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，如图2所示，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再由题意得出点的横坐标为2，代入抛物线计算即可得解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为， 故设抛物线的解析式为， 将点的坐标代入上式，得， 解得：， 抛物线的解析式为． 点的横坐标为2， 点的纵坐标为， 点到的距离为． 【变式1】（2026·天津和平·二模）赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出的值，可判断①正确，把解析式化为顶点式，可判定②正确，令，求出的值，可得水面的安全距离为，可得设计龙舟赛道数为，即可判定③正确；综上即可得答案． 【详解】解：∵竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系， ∴当时，， 解得：，， ∴水面宽度，故①正确； ∵， ∴拱桥的最大高度是，故②正确； ∵龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少， ∴通过拱桥时龙舟最高处到水面至少， 当时，， 解得：，， ∴水面的安全距离为， ∵每条龙舟赛道宽度为， ∴可设计龙舟赛道数为(个)， ∴最多可设计龙舟赛道条，故③正确． 综上所述：正确结论的个数有个． 【变式2】2026·甘肃平凉·二模）如图1，玛曲黄河大桥位于甘肃玛曲县城南，北连玛曲县城，南通阿万仓乡，是甘肃省黄河上游的第一座桥梁，因此有“黄河第一桥”之称．如图2是它的部分示意图，可近似地用抛物线的一部分表示，若当水面宽度为时，水面到拱顶的高度为，当水位在此基础上继续上涨时，水面的宽度为______m（结果保留根号）． 【答案】 【详解】根据图示建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为顶点式，利用已知条件求出点的坐标并代入解析式求出的值，确定函数解析式，再根据水位上涨后的高度求出对应的值，再列式求出水面宽度，即可作答． 【点睛】解：设抛物线的解析式为. 由题意可知，抛物线顶点为原点，对称轴为轴， ∵，，且点在第四象限， 根据抛物线的对称性，点的横坐标为，纵坐标为， 即； 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当水位上涨时，水面到拱顶的距离变为． 此时水面上点的纵坐标为， 把代入，得， 解得，， ∴水面的宽度：． 【变式3】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 【答案】(1)拱桥抛物线表达式为；右边钢缆的抛物线表达式为；左边钢缆的抛物线表达式为 (2)灯带长度的最小值是 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设灯带长度为，则，即可得解． 【详解】（1）解：①由题意得，，右边钢缆的抛物线顶点为， 设右边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． ②由题意得，，左边钢缆的抛物线顶点为， 设左边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． 设拱桥抛物线表达式为，由题意得， ， ． ． （2）解：设灯带长度为， 则， ， 当时，有最小值为． 答：灯带长度的最小值是． 题型04 销售问题 【典例1】（2026·河南周口·二模）第十九届杭州亚运会的吉祥物“琮琮”、“宸宸”、“莲莲”深受大家喜爱．某商场购进一批吉祥物玩偶，进价为每个40元，按每个50元出售，每周可卖出200个．经调查发现，售价每上涨1元，每周少卖10个．若设每个涨价x元，每周总利润为y元，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用总利润单个玩偶的利润销售量，分别表示出单个玩偶的利润和销售量，即可得到y与x的函数关系式． 【详解】解：设每个涨价元，则现在的售价为元，单个利润为元， 由于售价每上涨元，每周少卖个， 则涨价元后，每周的销售量为个， 根据题意得：． 【变式1】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨元/千克时，日销售量就会减少15千克．若使日销售利润最大，则销售价格应定为（    ）元/千克． A．42 B．40 C．38 D．35 【答案】B 【分析】本题考查二次函数在实际销售问题中的最值应用，通过设变量建立利润与销售价格的二次函数关系式，利用二次函数开口向下的性质，求顶点对应的销售价格即为利润最大时的价格． 【详解】解：设销售价格定为元/千克，日销售利润为元， ∵每千克利润为元， 售价较35元上涨了元，每涨元日销量减少15千克，故日销量减少千克， ∴实际日销售量为千克， 则， 展开整理得， ∵二次项系数，函数图象开口向下，存在最大值， ∴当时，取得最大值． 即销售价格应定为40元/千克． 故选：B． 【变式2】（2026·福建福州·模拟预测）已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记涨价元时，利润最大，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值，涨价元时，利润最大，可设解析式为，其中，故抛物线开口向下，函数图象上的点到对称轴的距离越小函数值越大，据此结合题意列不等式组即可求解. 【详解】设月利润为元，涨价额为元，二次函数为，，其对称轴为． 存在最大值， 抛物线开口向下，，函数图象上的点到对称轴的距离越小函数值越大， 由题意可得：， 当时，不等式组可化为：，不等式组无解， 当时，不等式组可化为：，解得， 当时，不等式组可化为：，该不等式组恒成立， 综上所述：． 【变式3】（2026·辽宁沈阳·三模）某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件.设每件商品的售价为元（且为整数），每天的销售量为件. (1)求与的函数关系式； (2)设每天的销售利润为元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（且为整数） (2)当每件商品的售价定为32元或33元时，每天的销售利润最大，最大利润是612元 【分析】（1）根据“现有销售量原销售量涨价减少的销售量”列出与的函数关系式，并结合实际意义确定自变量的取值范围； （2）根据“总利润每件商品的利润销售量”得到关于的二次函数, 再利用二次函数的性质结合为整数的条件, 求出最大利润和对应售价． 【详解】（1）解：（且为整数）； （2）解：， 对称轴为直线， 因为x为整数，且两侧的整数为32和33，， 当时， （元）． 当时： （元）． 答：当售价定为32元或33元时，每天利润最大，最大利润为612元． 题型05 投球问题 【典例1】（2026·甘肃定西·三模）如图，在体育测试中，小亮同学掷实心球时，实心球沿抛物线运行，其中是实心球离初始位置的水平距离，是实心球离地面的高度．若实心球抛出时离地面的高度为，则实心球掷出的水平距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，求出当时对应的的值，即可得到实心球掷出的水平距离． 【详解】解：为， 点的坐标为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 当时，可得：， 解得：，（舍去）， 所以实心球掷出的水平距离为米． 【变式1】（2026·新疆·模拟预测）一位足球运动员将足球沿与地面成一定角度踢出，足球飞行的路线可以近似看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：m）与足球被踢出后经过的时间（单位：s）之间的关系式为．有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为； ②足球被踢出和时，足球距离地面的高度是一样的； ③足球被踢出时落地．其中正确的有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】利用配方法和二次函数的性质，计算对应时间的高度，逐一判断结论即可． 【详解】解：， 当时，取得最大值，即足球距离地面的最大高度为，故①错误； 当时，， 当时，， 足球被踢出和时高度相等，故②正确； 当时，， 即足球被踢出时高度为，落地，故③正确； 综上，正确的结论共个． 【变式2】（2026·湖北省直辖县级单位·二模）如图①是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，A是其弹射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，B是羽毛球落地点．．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为 ，羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度__________． 【答案】2.25 【分析】将，两点坐标代入解析式，求得、的值，用顶点公式求最大值即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， 解得， ， ∵， ∴当时，， 羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度为． 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了篮球队，如图，篮球运动员投篮时，篮球的运动路线可近似看作抛物线的一部分．已知篮球从距地面2米的点A处投出，并落在水平地面上的点M处，其运动路线的最高点P距地面3.8米，最高点P与篮球出手点A的水平距离为3米．以地面所在直线为x轴，过点A且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求点P所在抛物线的函数表达式； (2)已知篮球运动路线的形状保持不变（即抛物线的形状不变），若将篮球从点A正上方1米的点B处投出，落地点为N，点N在x轴的正半轴上，求点B与落地点N的水平距离的长． 【答案】(1) (2)​米． 【分析】（1）根据题意可知、，设抛物线顶点式为，将代入计算即可； （2）根据平移的性质得到，令，求解后根据在正半轴取合适的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：出手点的坐标为， 最高点距水平距离3米，距地面3.8米，因此坐标为． 设抛物线顶点式为， 将代入得：， 解得：， ∴； （2）解：∵将篮球从点A正上方1米的点B处投出， ∴新抛物线表达式为：， 令，得：， 解得， ∵在正半轴， ∴​， ∴​米． 题型06 喷水问题 【典例1】（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 【变式1】（2026·河南驻马店·二模）如图为喷泉某一截面的水流可看作关于轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求出点B的坐标，可得到点A的坐标，即可求解． 【详解】解：对于， 当时，， 解得：， ∴点， ∵水流是关于轴对称的两条抛物线， ∴点A，B关于y轴对称， ∴点， ∴． 【变式2】（2026·甘肃天水·中考真题）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据题意，把代入，把结果与50比较即可． 【详解】解：把代入，得， ， 不能击中昆虫． 【变式3】（2026·内蒙古通辽·三模）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以为原点，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，点A在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． (1)求雕塑的高； (2)求落水点C、之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立雕塑，，，问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】(1)雕塑的高为 (2) (3)当时，， ∴点在抛物线上． 又∵， ∴顶部不会碰到水柱． 【分析】（1）直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【详解】（1）解：当时，， ∴点的坐标为， ∴雕塑的高为． （2）解：当时，， 解得（舍去），， ∴点的坐标为， ∴． ∵从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ∴， ∴． （3）略 题型07 增长率问题 【典例1】（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·山东青岛·周测）某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为y万元．设每月的平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式为_______ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．由题意知，二月份的营业额万元，三月份的营业额万元，依题意得，． 【详解】解：由题意知，二月份的营业额万元，三月份的营业额万元， 依题意得，， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段检测）由于制药技术的提高，某种疫苗的成本下降了很多，因此医院对该疫苗进行了两次降价，设平均降价率为x，已知该疫苗的原价为462元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．原价为462元，第一次降价后的价格是元，第二次降价后的价格为元，则函数解析式即可求得． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可得： y与x之间的函数关系为：． 故答案为． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长率都是，写出利润与增长的百分率之间的函数解析式，它是什么函数？ 【答案】，是二次函数． 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果． 根据增长率的问题，基数是a万元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式． 【详解】解：依题意得， 此函数是二次函数． 题型08 线段、周长、面积问题 【典例1】（25-26九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据A、B两点纵坐标相等求出二次函数对称轴，进而得到b的值，再利用二次函数与x轴只有一个交点的性质求出c的值，得到函数解析式后求出m，最后计算的面积． 【详解】解：∵二次函数经过点，，两点纵坐标相等 ∴二次函数的对称轴为直线 ∵对称轴公式为， ∴，解得 又∵二次函数图象与轴只有一个交点 ∴ 解得 ∴二次函数解析式为 将代入解析式，得 ∴，， ∴，原点到直线的距离为 ∴． 【变式1】（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴上有一点P，使的和最小，则点P坐标为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、轴对称的性质、待定系数法求一次函数解析式，熟练运用轴对称的性质是解题的关键． 根据抛物线的对称性可知，所以当点P在线段上时，的值最小，以此为依据求解即可． 【详解】解：如图，连接，交对称轴于点P，连接， ∵点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 要使的值最小，则应使的值最小， ∴与对称轴的交点P，使得的值最小， 令，则， 解得，， ∴，， 抛物线的对称轴为， ∴点P的横坐标为1， 当时，， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， ，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点P坐标为． 故答案为：． 【变式2】（2026·辽宁本溪·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，若点在第二象限的抛物线上，则的面积为_____． 【答案】 【分析】先求出，对称轴为直线，从而可得点和点关于对称轴对称，轴，求出，即可得出，最后由三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：在中，当时，，即， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵点在第二象限的抛物线上，， ∴点和点关于对称轴对称，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【变式3】（2026·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）由题意易得，，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）连接，由题意易得，，设点，且，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线得：，解得：， ∴， 把代入直线得：， ∴， ∵抛物线经过，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图所示： ∴， ∵，， ∴，， 设点，由题意知， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，此时点的坐标为． 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【答案】B 【分析】根据关系式可知抛物线开口向下，再求出对称轴即可． 【详解】解：，， ∴当时，水火箭达到最高点． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利x元，一天可售出个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y（元）最大，则x的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据利润（售价进价）销售量列出y关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得， 整理得， ∵ 该二次函数的二次项系数 ， ∴ 函数图象开口向下，有最大值， 配方得， ∴ 当时，取得最大值. 3．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设抛物线解析式为，将与代入解析式，求得a的值，再令，求得y的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线解析式为， 由题意知，抛物线顶点坐标为，与x轴的一个交点坐标为， ， 解得， ， 当时，， 水管的长度是． 4．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意分三种情况讨论，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时， ∴ ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点在轴上，点在抛物线上， ∴当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 将代入得， 解得或 ∴； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 同理可得； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴； 由图像可得，直线与抛物线有两个不同的交点， ∴此时有两个符合条件的点P， 综上所述，符合条件的点有3个． 5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，，，动点从点出发沿边向终点匀速运动，同时动点从点出发，沿边向终点匀速运动，两动点运动到各自终点停止运动．若，两点每秒运动的路程相同，点运动的路程为，的面积为，则下列图象能反映与之间函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出的长，分三段讨论： 时，在上，在上；时，在上，在上；时，在上，到达点停止．分别求出与的函数关系式，结合图象即可判断． 【详解】解：在 中，，，， ，，． 分三种情况讨论： ①当时，点在上，点在上，，， 过点作于点， 则， ， 此时图象为开口向上的抛物线，当 时，； ②当时，点在上，点在上，过点作于点 ，， ∴， ， 此时图象为开口向下的抛物线，当时，；当时，； ③当时，点在上，点到达点停止运动， 此时（即变为），， 以为底，为高， ， 此时图象为线段， 当时，； 当时，． 综上所述，图象D符合题意． 二、填空题 6．（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________________． 【答案】 4 【分析】将给定二次函数配方为顶点式，二次项系数小于0，开口向下，顶点横坐标即为所求引爆时间． 【详解】解：， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为18， ∴从点火升空到引爆需要的时间为． 7．（2026·广东佛山·模拟预测）某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为____元． 【答案】 【分析】根据每件利润乘以总销售量得到利润的二次函数解析式，再结合二次函数的性质和给定的自变量取值范围求解最大利润． 【详解】解∶设每件玩具涨价x元， 则利润， ∵每件销售价不低于57元销售， ∴，解得， ∵，抛物线开口向下，当时，w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值，为， ∴最大利润w为2210元． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为．一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动________的距离才能击中昆虫． 【答案】或 【分析】首先确定原始抛物线的解析式为，设需要水平向右游动的距离才能击中昆虫，得到平移后的抛物线解析式为，把代入解析式求解即可． 【详解】解：根据题意，得y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为， 故抛物线的解析式为， 由抛物线经过原点， ， 解得， 故抛物线的解析式为． 当时，， 故点不在抛物线上， 设需要水平向右游动的距离才能击中昆虫， 故平移后的抛物线解析式为， 把代入解析式，得， 整理，得， 或， 解得或， 故需要水平向右游动或的距离才能击中昆虫． 9．（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 【答案】3 【分析】设点的纵坐标为，先分别求出点的坐标，再根据求出的值，由此即可得． 【详解】解：由题意，设点的纵坐标为， 令得：， 解得或， ∴，， ∴， ∵与关于轴对称， ∴点与点关于轴对称，点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边紧靠围墙，且的长不能超过，其余三边用长的铁质栅栏围成．有下列结论： ①的长可以为； ②当农场的面积为时，满足条件的的长只有一个值； ③农场面积的最大值为． 其中，正确的是______（只需填序号）． 【答案】② 【分析】设边长为，则边长为，当时，解方程即可判断①；根据开心农场面积为，列出一元二次方程，解方程，即可判断②；设矩形菜园的面积为，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，结合的取值范围即可判断③． 【详解】解：设边长为，则边长为， 当时， 解得， 的长不能超过， ，故①不正确； 开心农场面积为， 解得， 又∵， ， 满足条件的的长只有一个值，故②正确； 由题意得，设矩形开心农场的面积为， 根据题意得，， ，， 当时，有最大值，最大值为不可能为，故③不正确； 综上所述，正确的是②． 三、解答题 11．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1)该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为． (2)该品牌头盔的实际售价应定为每个410元时，月销售利润最大． 【分析】（1）设平均月增长率为未知数，根据4月销量与6月销量的数量关系列一元二次方程求解． （2）以售价为自变量，月销售利润为因变量，结合销量与售价的变化关系构建二次函数，利用二次函数的性质求最大值对应的售价． 【详解】（1）解：设该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，根据题意， 得， 整理得， 解得，， ∵月增长率为正数， ∴不符合题意，舍去． 答：该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价为每个元，月销售利润为元．单个头盔的利润为元． ∵售价每上涨2元，月销售量减少1个，当售价为400元时月销量为60个， ∴月销售量为个， ， 解不等式组得， 根据题意，得． ∵， ∴抛物线开口向下，当时，取得最大值．将，代入，得， ∵， ∴该售价符合实际销售的取值范围． 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个410元时，月销售利润最大． 12．（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图所示，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出时y的值可得点C的坐标，求出时x的值可得点A和点B的坐标； （2）根据（1）所求求出的面积，则可得到的面积，根据三角形的面积公式求出点M的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，则， 当时，则，解得，则； （2）解：由（1）得， ∴ ， ∴ ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴ ，即， ∴，即， 在中，当时，，此时方程无解，不符合题意； 在中，当时，，解得， ∴点的坐标为或． 13．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为，面积为． (1)求关于的函数表达式． (2)矩形场地的总面积为，求出的值． (3)当为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1) (2)的值为12 (3)当时，矩形场地的总面积最大，最大面积为64 【分析】（1）先表示出矩形的宽，再根据矩形的面积公式列式化简即可； （2）把代入表达式，得到一元二次方程，解方程，注意舍去不合题意的解； （3）把表达式先配方，写成顶点式，根据二次函数的性质，解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，垂直于墙的篱笆共有4段，总长为，所以矩形的宽为， 则S关于x的函数表达式为：； （2）当时，， 解这个方程得：， ， 不合题意，舍去， 的值为12； （3）由（1）得， 配方得：， 因为，抛物线开口向下， 所以当时，S有最大值，最大值为64． 14．（26-27九年级上·广东·阶段检测）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据可知当投掷的距离为时，铅球落地，即时，，然后将点代入二次函数解析式即可求出的值． （2）根据函数图象，分三种情况求解，即对称轴在4的右侧；对称轴在2的左侧；对称轴在2和4之间，然后结合二次函数的图象和性质分别求出最大值和最小值，结合已知条件列出方程求解并进行取舍即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知，当投掷的距离为时，铅球落地，即时，， 将点代入，得：， 解得． （2）解：， ∴抛物线的对称轴直线为， 分三种情况：①当对称轴时，即， 当时，y随着x的增大而增大， 即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得， ②当对称轴时，即，在时，y随着x的增大而减小， 此时即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得，（舍去） ③当时，即， 当时离对称轴直线较时离对称轴直线远时， 则当时，， 即当时，， 根据题意可知：， 解得(舍去)或． 当时离对称轴直线较时离对称轴直线近时， 则当时， 当时，， 根据题意可知：， 解得（舍）或（舍）． 综上：或． 15．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为2，的坐标为 (3)存在． 设点， 如图，过点作于点，连接，则， ， ， ∴， ∴ ． ∵，，， ∴， ． 由的面积，得， 即 化简，得， 解得（不符合题意，舍去）， ． 设点与点关于原点对称，则， ． 综上所述，点的坐标为或． 【分析】（1）根据对称轴，利用待定系数法即可求解； （2）根据对称轴得出点坐标，由点、的坐标得直线的解析式为，设点，则点，进而求解； （3）根据三角形的面积，可得关于的方程，然后解方程，可得答案 【详解】（1）解：点的坐标为 ． 抛物线过点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）抛物线对称轴为直线，点的坐标为， 点的坐标为． ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为． 设点， 则点， ． ， 当时，线段的值最大，最大值为2，此时点的坐标为； （3）略． 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，用12米长的木条做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的高（木条粗细忽略不计）为（     ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】C 【分析】设长为米，由图可得，横档的长为米，表示出透光面积并结合二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设长为米， 由图可得，横档的长为米， ∴透光面积为 ， ， 当时，取得最大值，最大值为． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上．设正方形的面积是S，的长是x，则下列说法正确的是（   ） A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值 C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理得到，根据全等三角形的性质得到，利用勾股定理，在中，，所以，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：四边形为正方形，四边形也是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， 面积，， ， 当时，S有最小值. 3．（2026·广东广州·二模）已知抛物线与轴交于，两点，且．若点在该抛物线上，则下列判断正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时，该抛物线的顶点到达最高处 D．该抛物线与没有交点 【答案】A 【分析】根据抛物线开口方向，结合与x轴交点性质、顶点坐标特征、联立方程判断交点个数，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵抛物线 的二次项系数 ∴抛物线开口向下，且与轴交于，，， 对选项A：点在抛物线上，当时，，A正确； 对选项B：当时，可得或，B错误； 对选项C：将抛物线配方得 ，顶点纵坐标为， ∵，当时顶点纵坐标最小，该抛物线的顶点没有到达最高处，C错误； 对选项D：联立与， 消去整理得 ， 该方程判别式 ，总有实数根， ∴抛物线与直线总有交点，D错误． 4．（2026·山东济南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图像上一动点，连接，．则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点P的坐标为，利用两点间距离公式可得，再代入中整理成顶点式，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵，是轴上的两点， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的最小值为36，即选项B符合题意． 5．（24-25九年级下·湖南湘潭·自主招生）如图，在等边中，，点从出发，沿路线以每秒1个单位的速度运动，同时点从出发，沿路线以相同速度运动，当P、Q两点相遇同时停止运动．设两点运动时间为秒的面积为，则下列图象能表示与之间的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分时，当时，分别求得的面积，即可判断函数图象． 【详解】解：依题意，时，点在上，点在上，， 连接、，过点作，垂足为， ∵在等边中，， ∴，， ∴ ∵，， ∴， 函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，， ∵，点，点相遇时运动时间为秒， ∴当时，点、在上，如图所示， ∴， ∴， 当时，图象为直线的一部分， 综上只有选项D的图象符合题意． 二、填空题 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后到滑行停下来，滑行的时间是______，飞机滑行的距离是______． 【答案】 【分析】飞机滑行到停止时滑行距离达到最大，对二次函数配方求顶点，即可得到停止时的滑行时间和总滑行距离． 【详解】解：将函数解析式整理配方，， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∴当时，取得最大值，此时飞机停止滑行， 即飞机着陆后停下来滑行的时间是，滑行的总距离是． 7．（2026·甘肃平凉·二模）如图1，玛曲黄河大桥位于甘肃玛曲县城南，北连玛曲县城，南通阿万仓乡，是甘肃省黄河上游的第一座桥梁，因此有“黄河第一桥”之称．如图2是它的部分示意图，可近似地用抛物线的一部分表示，若当水面宽度为时，水面到拱顶的高度为，当水位在此基础上继续上涨时，水面的宽度为______m（结果保留根号）． 【答案】 【详解】根据图示建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为顶点式，利用已知条件求出点的坐标并代入解析式求出的值，确定函数解析式，再根据水位上涨后的高度求出对应的值，再列式求出水面宽度，即可作答． 【点睛】解：设抛物线的解析式为. 由题意可知，抛物线顶点为原点，对称轴为轴， ∵，，且点在第四象限， 根据抛物线的对称性，点的横坐标为，纵坐标为， 即； 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当水位上涨时，水面到拱顶的距离变为． 此时水面上点的纵坐标为， 把代入，得， 解得，， ∴水面的宽度：． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米． 【答案】 【分析】抛物线对称轴为轴，由，水平距离为8米，可得点横坐标，代入解析式即可求出点纵坐标，即所求距离． 【详解】解：抛物线关于轴对称，，在抛物线上同一高度且水平距离为米， 点的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 警示灯离水面的距离为米． 9．（2026·甘肃嘉峪关·二模）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国运动员的精彩表现让人叹为观止，已知运动员从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，y与x的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为________m时，竖直高度达到最大值． 【答案】8 【分析】根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，利用顶点横坐标公式求解即可． 【详解】解：函数关系式为， ，， ∴对称轴 ， 抛物线开口向下，有最大值 当时，竖直高度达到最大值 当她与跳台边缘的水平距离为时，竖直高度达到最大值． 10．（2026·辽宁本溪·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，若点在第二象限的抛物线上，则的面积为_____． 【答案】 【分析】先求出，对称轴为直线，从而可得点和点关于对称轴对称，轴，求出，即可得出，最后由三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：在中，当时，，即， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵点在第二象限的抛物线上，， ∴点和点关于对称轴对称，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 三、解答题 11．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1)该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为． (2)该品牌头盔的实际售价应定为每个410元时，月销售利润最大． 【分析】（1）设平均月增长率为未知数，根据4月销量与6月销量的数量关系列一元二次方程求解． （2）以售价为自变量，月销售利润为因变量，结合销量与售价的变化关系构建二次函数，利用二次函数的性质求最大值对应的售价． 【详解】（1）解：设该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，根据题意， 得， 整理得， 解得，， ∵月增长率为正数， ∴不符合题意，舍去． 答：该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价为每个元，月销售利润为元．单个头盔的利润为元． ∵售价每上涨2元，月销售量减少1个，当售价为400元时月销量为60个， ∴月销售量为个， ， 解不等式组得， 根据题意，得． ∵， ∴抛物线开口向下，当时，取得最大值．将，代入，得， ∵， ∴该售价符合实际销售的取值范围． 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个410元时，月销售利润最大． 12．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）为弘扬桐城派文化，让更多游客了解六尺巷，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款定制“一纸书来只为墙”的主题团扇的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件，经调查发现，售价每降价元，每天可以多售出件．设该款主题团扇售价为元． (1)每天售出的数量是________件． (2)文旅公司每天售卖该款主题团扇的利润为元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元 【分析】（1）根据原来每天售出的件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）根据“销售利润=每件的利润×销售数量”即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：售价从元降到元，降价金额为元， ∵每降价元多售件， ∴多售出的数量为件， ∴每天售出的数量为：（件）； （2）解：根据题意得： ， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取得最大值，最大值为， 答：当售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元． 13．（2026·江苏淮安·中考真题）“运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． (1)建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． (2)当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 【答案】(1)建立平面直角坐标系如图： 抛物线表达式为 (2)拱顶到水面的距离为 【分析】（1）以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，再由待定系数法求解即可； （2）当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为，将代入，求出水面距离的高度，即可求解拱顶到水面的距离． 【详解】（1）解：以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，如图： 由题意得，， 则， 设抛物线表达式为， 代入，可得 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为， 将代入，可得， ∴此时拱顶到水面的距离为 答：拱顶到水面的距离为． 14．（26-27九年级上·北京·期中）乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式． 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 20 35 40 35 20 (1)根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，请你判断小聪第二次发球时，乒乓球是否落在球桌内： （填“是”，“否”）． 【答案】(1)40， (2)是 【分析】（1）依据题意，由抛物线经过点和，故抛物线的对称轴为直线，由表可知当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度即为最大值，则可设抛物线为，然后代入，求出a，进而可以得解； （2）根据第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，令，求得水平距离；然后令，求得第二次的水平距离，两次比较即可得结论． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度为最大值，最大值为40； ∴设抛物线为， ∵抛物线经过， ∴ 解得， ∴函数关系式为； （2）解：由题意得，令 解得，（舍去）， 由题意得，令 解得，（舍去）， ∵， ∴小聪第二次发球时，乒乓球是落在球桌内． 15．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）如图是一个东西走向、轮廓可看成抛物线的山坡，以水平地面为x轴，西侧的坡底O为原点建立平面直角坐标系，一个单位长度代表长，山坡外轮廓（曲线）所在抛物线的解析式为，无人机从坡底O的西侧点B处起飞，降落到点C，飞行轨迹所在抛物线的解析式为，已知无人机在与点O水平距离处，达到最大高度． (1)_______，_______； (2)求无人机起飞点B与坡底O的水平距离； (3)由于山坡上有障碍物，当无人机与山坡的竖直距离始终大于9米时，才能保证飞行安全．请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)解：安全，理由如下： 抛物线与抛物线的距离为， 令，则其对称轴为， 当时，， ， 无人机与山坡的竖直距离始终大于9米， 无人机此次飞行安全． 【分析】（1）根据抛物线顶点式中代表顶点坐标，结合题目给出的最大高度位置读出即可； （2）把代入无人机飞行轨迹抛物线，解一元二次方程得到与x轴两个交点，取x小于0的点即为起飞点B，计算该点到原点O的水平距离即可； （3）用无人机抛物线函数减去山坡抛物线函数，得到竖直距离的二次函数，分析这个开口向上的二次函数的最小值，判断最小值是否大于9，以此判断飞行是否安全． 【详解】（1）解：无人机在与点O水平距离处，达到最大高度， ，； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， 令得， 化简得， 两边同时开平方得， 解得或， ， 无人机起飞点B与坡底O的水平距离为； （3）略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题4.5二次函数的应用 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01二次函数的应用 2.知识清单 题型01图形问题 题型02图形运动问题 题型03拱桥问题 二次函数的应用 题型04销售问题 3.题型精讲 题型05投球问题 题型06喷水问题 题型07增长率问题 题型08线段、周长、面积问题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1. 能分析实际情境中的数量关系，建立合适的二次函数模型。 教学目标 2. 会运用二次函数的性质（顶点、最值）解决利润、面积、运动等实际问题。 3. 体会数学建模思想，提升将实际问题转化为数学问题的能力与应用意识。 1.重点 (1)掌握从实际问题中抽象数量关系、构建二次函数模型的方法。 教学重难点 (2)熟练运用二次函数的顶点特征求实际问题中的最大（小）值。 2.难点 (1)难以精准提炼实际问题中的变量关系，建立符合题意的二次函数表达式。 1/22 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求解时易忽略自变量的实际取值范围，导致结果不符合现实情境。 知识清单 知识点01二次函数的应用 二次函数的应用知识总结 1.核心应用场景： -最值问题：解决利润最大、产量最优、用料最省、高度/距离最值等 实际建模：根据实际情境（如抛体运动、增长率、几何图形面积）建立二次函数关系式，转化为数学问 题求解。 2.解题步骤： -审题：明确变量关系，确定自变量取值范围（需符合实际意义）。 -建模：设合适的函数解析式（顶点式、一般式、交点式按需选择）。 -求解：代入已知条件求参数，利用顶点或单调性求目标值。 -检验：验证结果是否符合实际情境，舍去不合理解。 3.关键技巧与思想： -解析式选择：最值问题优先用顶点式y=a(x-h)^2+k,已知交点用交点式y=a(x-x1)(x-x2)。 -数形结合：通过函数图像分析自变量取值范围与最值的合理性。 实际约束：忽略不符合实际的解（如负数、超出定义域的数值）。 【即学即练】1.(26-27九年级上·北京西城阶段检测)水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高 度h(米)与时间t(秒)之间的函数关系式为h=41-.当水火箭达到最高点时，其运动时间为() 1 A.8秒 ®秒 C.2秒 D.4秒 2.(26-27九年级上天津南开·开学考试)如图，用长为45m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是 21m),围成中间有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB是x(单位：m),面积是s(单位：m), 21m A B (1)写出S与x的函数关系式 x的取值范围为 2/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如果要围成面积为162m的花圃，则AB的长为 米 3.(25-26九年级上陕西安康阶段检测)现在，租赁汽车已成为外出旅行时的一种重要的交通方式.某 租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元.当每辆车的日租金为500元时，可全部 租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆.设该租赁公司每日租出x辆，其日收益为 y元 (1)求y与x之间的函数关系式： (2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ (3)试说明该租赁公司的日收益能否为4500元？ 题型精讲 题型01 图形问题 【典例1】(26-27九年级上湖北期中)用一条40Cm的绳子围成一个矩形，矩形的面积可以是() A.101cm2 B.110cm2 C.98cm2 D.120cm2 【变式1】(26-27九年级上·浙江温州开学考试)如图，正方形ABCD的边长为2，点E,F分别在边 BC,CD上，DF=2BE,设BE=x,五边形ABEFD的面积=y,则y关于x的函数表达式为() D B E A.y=-x2+3x+2(0<x<1) B.y=-x2+3x+21<x<2) C.y=x2-3x-2(0<x<1) D.y=x2-3x-2(1<x<2) 【变式2】(25-26九年级上山东枣庄期末)如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm, 高AD=8Omm,把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个矩 形的最大面积是mm」 3/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G DHO 【变式3】(26-27九年级上浙江温州开学考试)已知一铝合金门窗截面如图所示，它的上、下部都是一 个矩形，横档(GH)垂直底边(BC)且长为0.6m,制作所需材料的总长为9m,设BE=xm,透光面积为 Sm2」 E H B (1)求S关于x的函数表达式及x的取值范围： (2)当x=12,1.4时，对应的透光面积分别为S,S,比较S,2的大小，并说明理由： (3)求S的最大值. 题型02 图形运动问题 【典例1】(2026江苏连云港中考真题)如图，四边形ABCD中，AB‖CD,AB=10,DC=4, AD=BC=5.点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C→B的路径向终点B运动，同 时点Q从点A出发，以同样速度沿边AB向终点B运动.设△APO的面积为S,运动时间为t(s),则S关 于t的函数图象大致为() D D B 4/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S D 【变式1】(2026江苏南京模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=4,点D是 BC的中点，点卫、Q分别是AC、BD上的动点，且AP=D卫，则P吧的最小值为 A B D 【变式2】(2026浙江衢州一模)如图1，四边形ABCD中，AB‖CD,AC平分∠DAB,AC=BC, AB+AD=a(a为常数)且AB>AD.记AD长为x,AC的值为y,y关于x的函数图象如图2所示，最 高点E的纵坐标为16，当y=12时，四边形ABCD的面积为. E 16 图1 图2 【变式3】(2026吉林·模拟预测)如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,且AC=6cm, BD=8cm,动点P,Q分别从点B,D同时出发，P运动速度为5cm/s,点P沿B→C→D运动，到点 D停止，点2沿D→O→B运动，运动速度为4cm/s,到B停止，连接AP,Ag,P№.设△AP9的面积 为y(cm)(这里规定：线段是面积0的几何图形)，点P的运动时间为x(s). C (备用图) (1)填空：AB= cm,菱形ABCD高为 cm; (2)求与x之间的函数解析式. 5/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03 拱桥问题 【典例1】(2425九年级上·江西九江·期中)某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所 示的抛物线型拱门入口.要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A,B,C,D)四 个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD,抛物线最高点的五角星（点E)到BC的距离为 0.6m,BC=2m,AD=4m,如图2所示，则点C到AD的距离为（) 亚典 图1 图2 A.1.5m B.1.8m C.2m D.2.4m y/m B /m由题意可得点的坐标为 ,点的坐标为 ，则点的坐标为 D (1,0) B （-1,0) E (0,0.6) 故设抛物线的解析式为y=a(x+1(x-1), 将点E的坐标代入上式，得a(0+1)×(0-1)=0.6, 解得：a=0.6 ∴.抛物线的解析式为y=-0.6(x+1)(x-1) 点D的横坐标为2， 点D的纵坐标为0.6×(2+1)×(2-1)=-1.8， ∴.点C到AD的距离为l.8m 【变式1】(2026天津和平·二模)赛龙舟是中国端午节的习俗之一.某地计划进行一场划龙舟比赛，图 ①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分.如图所 示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度m与到点O的水平距离xm近似满足函数关系 y=0.01x2+0.6x.据调查，龙舟最高处距离水面2m,为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直 距离至少3m.有下列结论： ①水面宽度0A=60m: ②拱桥的最大高度是9m; ③若每条龙舟赛道宽度为9m,最多可设计龙舟赛道4条. 6/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y/m 一拱桥 3 2m 0龙舟 A x/m 水面 图① 图② 其中，正确结论的个数有() A.0 B.1 C.2 D.3 【变式2】2026甘肃平凉二模)如图1，玛曲黄河大桥位于甘肃玛曲县城南，北连玛曲县城，南通阿万仓 乡，是甘肃省黄河上游的第一座桥梁，因此有“黄河第一桥”之称.如图2是它的部分示意图，可近似地 用抛物线的一部分表示，若当水面宽度AB为l0m时，水面到拱顶的高度C0为4m,当水位在此基础上继 续上涨lm时，水面的宽度为 m(结果保留根号). 图1 图2 【变式3】(2026新疆乌鲁木齐·三模)某抛物线型拱桥示意图如图1所示.水面宽AB与桥长CD均为24 米，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5米，以桥拱顶点O为原点，桥面所在直线为 x轴建立平面直角坐标系.如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱CG、OH、D1,过相邻支柱顶 端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为2米. H D 图1 图2 (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式： (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图2），求出可以在竖直方向安 装的灯带中最短的灯带长度. 7/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04 销售问题 【典例1】(2026河南周口·二模)第十九届杭州亚运会的吉祥物“琮琮”、“宸宸”、“莲莲”深受大 家喜爱.某商场购进一批吉祥物玩偶，进价为每个40元，按每个50元出售，每周可卖出200个，经调查 发现，售价每上涨1元，每周少卖10个.若设每个涨价x元，每周总利润为y元，则y与x的函数关系式 为() A,y=(50+x)(200-10x) B.y=(10-x)(200-10x) C.y=(50+x-40)(200-10x) D.y=(x-40)(200-10x) 【变式1】(25-26九年级上：江苏宿迁·期末)某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千 克的价格销售，每天可售出450千克.当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克.若使日销售 利润最大，则销售价格应定为()元千克. A.42 B.40 C.38 D.35 【变式2】(2026福建福州·模拟预测)己知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值.商 家先将该物品涨价8元，月利润增多：又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利 润最大.记涨价元时，利润最大，则的取值范围是 【变式3】(2026辽宁沈阳·三模)某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可 售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件.设每件商品的售价为x元(x≥25且x为整数)， 每天的销售量为'件 (1)求y与x的函数关系式： (2)设每天的销售利润为w元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 题型05 投球问题 【典例1】(2026甘肃定西三模)如图，在体育测试中，小亮同学掷实心球时，实心球沿抛物线 y=(x-3)+2.5运行，其中x是实心球离初始位置的水平距离，y是实心球离地面的高度.若实心球抛出 时离地面的高度OA为l.6m,则实心球掷出的水平距离为() B 8/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.6 C.7 D.8 【变式1】(2026新疆模拟预测)一位足球运动员将足球沿与地面成一定角度踢出，足球飞行的路线可 以近似看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：)与足球被踢出后经过的 时间t(单位：$)之间的关系式为h=-+9(0≤1≤9）.有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为21m; ②足球被踢出4s和5s时，足球距离地面的高度是一样的； ③足球被踢出9s时落地.其中正确的有() A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 【变式2】(2026湖北省直辖县级单位二模)如图①是一款固定在地面0处的高度可调的羽毛球发球机， 如图②，A是其弹射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出.在不计空气阻力的情况下，球的 运动路径呈抛物线状，B是羽毛球落地点，·以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建 立平面直角坐标系.已知OA=1.25m,OB=5m,羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为 y=-0.25x2+bx+c,羽毛球在飞行过程中距离地面OB的最大高度 m y/m 4 弹射出口A 0 落地点Bx/m 图① 图② 【变式3】(2026陕西西安模拟预测)为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了篮球队，如图， 篮球运动员投篮时，篮球的运动路线可近似看作抛物线的一部分.己知篮球从距地面2米的点A处投出， 并落在水平地面上的点M处，其运动路线的最高点P距地面3.8米，最高点P与篮球出手点A的水平距离 为3米.以地面所在直线OM为x轴，过点A且与OM垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系. B 0 MN (1)求点P所在抛物线的函数表达式： (2)已知篮球运动路线的形状保持不变（即抛物线的形状不变），若将篮球从点A正上方1米的点B处投出， 落地点为N,点N在x轴的正半轴上，求点B与落地点N的水平距离ON的长. 9/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型06， 喷水问题 【典例1】(2026陕西中考真题)某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那 么射出的水流可以看成抛物线的一部分.按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的 水流的高度y(cm)与水平距离x(cm)的关系可以表示为y=-0.1x2+6x,则这条鱼此次射出的水流的最大高 度是() A.9cm B.30cm C.90cm D.360cm 【变式1】(2026河南驻马店·二模)如图为喷泉某一截面的水流可看作关于'轴对称的两条抛物线，右 侧东流的坚直高度m)与施水管的水平距高：(m侧之间满足=++ >0),则AB的长为() B A.2m B.4m C.6m D.8m 【变式2】(2026：甘肃天水中考真题)如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆 虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）·图2是一次捕食中一 条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度y(©m)与水平距离 m近似满足函数关系。+4（≥0.若这只昆虫在点P2050),则这次射士的水流 击中昆 虫.（填“能”或“不能”） 10122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y/cm x/cm 图1 图2 【变式3】(2026内蒙古通辽三模)某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA,从A点向四周喷水，喷 出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以O为原点，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，点A在y 轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 -二(x-5)2+6 y(m) 0 D(m) (1)求雕塑OA的高： (2)求落水点C、D之间的距离： (3)若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF,OE=8m,EF=3m,EF⊥OD.问：顶部F是否会碰到水柱？ 请通过计算说明. 题型07增长率问题 【典例1】(25-26九年级上·福建南平·阶段检测)某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵 魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录.如果每次降价的百分率都是x,则两次降价后 的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是() A.y=300(1-x) B.y=300(1-x)月 C.y=3001+x) D.y=300(1-x2) 【变式1】(25-26九年级上山东青岛·周测)某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为y万元， 设每月的平均增长率为x,则y与x之间的函数表达式为 【变式2】(2425九年级上·安徽阜阳·阶段检测)由于制药技术的提高，某种疫苗的成本下降了很多，因 此医院对该疫苗进行了两次降价，设平均降价率为x,已知该疫苗的原价为462元，降价后的价格为y元， 11/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则y与x之间的函数关系式为 【变式3】(2025九年级上·全国专题练习)某公司的生产利润原来是a(a>0)万元，经过连续两年的增长 达到了y万元，如果每年增长率都是x,写出利润y与增长的百分率x之间的函数解析式，它是什么函数？ 题型08线段、周长、面积问题 【典例1】(25-26九年级下陕西西安期中)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数 y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且经过点A(1,m),B(3,m),则△AOB的面积为() A.1 B.2 C.4 D.8 【变式1】(25-26九年级上湖北咸宁阶段检测)如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与 y轴交于点C,顶点为D,抛物线的对称轴上有一点P,使CP+AP的和最小，则点P坐标为 D 【变式2】(2026辽宁本溪·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+2ax+3与x轴相交于点 A,B,与y轴交于点C,若点D(m,3)在第二象限的抛物线上，则△4CD的面积为一 D 式3】(2026：黑龙江模拟预测)如图，已知直线y=一。x+4交轴正半轴于点C,交v轴正母 点g’抛物线y=r2+10x +C经过B'C两点，交x轴负半轴于点4 3 12122 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C (1)求抛物线的解析式： (2)E是直线BC上方抛物线上的一动点，当四边形BOCE面积最大时，请直接写出点E的坐标. 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(26-27九年级上全国单元复习)水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h(米)与时间t (秒)之间的函数关系式为h=41-.当水火箭达到最高点时，其运动时间为() A.1秒 B.2秒 C.3秒 D.4秒 2.(26-27九年级上·全国课后作业)中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧 和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现.某工艺品店出售某种手工团 扇，若每个获利x元，一天可售出（⑧-）个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y(元)最大，则x的 值为() A.4 B.5 C.6 D.8 3.(25-26九年级上陕西安康·阶段检测)如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O竖直安装一根水管， 在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m处达到最高，高度 为5m,水柱落地处离池中心距离为6m,则水管的长度OA是() 2 6 15 5 m 2 B.5m D. 13122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26九年级下辽宁大连期末)如图，抛物线y=m+2m+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A, B两点，A点在B点的左侧，若点E在x轴上，点P在抛物线上，且以A,C,E,P为顶点的四边形是 平行四边形，则符合条件的点P有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(2026黑龙江齐齐哈尔中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,动点P从点 B出发沿边BA向终点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿边AC→CB向终点B匀速运动，两动点运 动到各自终点停止运动.若P,Q两点每秒运动的路程相同，点Q运动的路程为x(x>0),△BP的面积 为'，则下列图象能反映y与x之间函数关系的是() 24 24 19.2 19.2 16 16 B D 84 o84 81014安 81014 二、填空题 6.(26-27九年级上浙江绍兴开学考试)一种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间(S)的关系式是 h=-+8+2.若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s 7.(2026广东佛山模拟预测)某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每 件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， 现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润W最大为 元 8.(26-27九年级上全国课后作业)大自然中有一种神奇的鱼一一射水鱼，它能以极快的速度从口中射 出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形.如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标 14122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 系，设水柱距水面的高度为dm,与射水鱼的水平距离为xdm,y与x的函数表达式为y=a(x-2)}+k, 水柱的最大高度为6dm 16 一只昆虫位于点A3,3处， 水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发， 需要水平向右游动 dm的距离才能击中昆虫。 9.(26-27九年级上辽宁鞍山开学考试)如图，片与2关于y轴对称，且=(x+(x<0),一条平行 于x轴的直线与y和共有四个交点，从左到右依次记为A、B、C、D,当AB=BC=CD时，则AD= 10.(26-27九年级上·全国课后作业)如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边AD紧靠 围墙，且AD的长不能超过28m,其余三边AB,BC,CD用60m长的铁质栅栏围成.有下列结论： ①AB的长可以为l5m: ②当农场ABCD的面积为200m时，满足条件的AB的长只有一个值： ③农场ABCD面积的最大值为450m2 其中，正确的是 (只需填序号)· 围墙 L/L1/1L/L////1/L//∠L B 三、解答题 11.(26-27九年级上·辽宁铁岭~阶段检测)某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4 月份销售150个，6月份销售216个 (1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率： 15122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础 上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为每个 多少元？ 12.(26-27九年级上浙江衢州阶段检测)如图所示，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C, B (1)求A、B、C三点的坐标. (2)在抛物线上是否存在一点M,使得△ABM的面积是△ACB面积的2倍.若存在，请求出M点的坐标；否 则，请说明理由 13.(26-27九年级上浙江杭州开学考试)如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分 利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为l8m)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成 三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为32m,设矩形场地的长为m,面积 为Sm2 18m xm (1)求S关于x的函数表达式. (2)矩形场地的总面积为60m,求出x的值. (3)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ 14.(26-27九年级上：广东·阶段检测)投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分.如图，某 人掷铅球时，铅球距地面的高度y(m)与距投掷点的水平距离x(m)之间的函数表达式为 4 y=ax2+-x+2(a<0) 5 16122 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆y/m x/m (I)当投掷的距离为8m时，求a的值； (2)当2≤x≤4时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为0.4m,求a的值. 15.(2026九年级上全国专题练习)如图，抛物线y=2+br+C与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C, 抛物线的对称轴是直线x= 2,已知点B(1,0,C(0,-2): B F (1)求抛物线的解析式： (2)E是线段AC上的一个动点，过点E作ED⊥x轴，延长DE交抛物线于点F,求线段EF的最大值及此 时点E的坐标； (3)在y轴上是否存在一点P,使得∠OAP+∠OAC=60°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由. 能力提升 一、单选题 1.(26-27九年级上·全国课后作业)如图，用12米长的木条做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的 光线最多，选择窗子的高AB(木条粗细忽略不计)为() B A.1米 B.2米 C.3米 D.4米 17122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(26-27九年级上全国·课后作业)如图，已知正方形ABCD的边长是1，正方形EFGH的顶点分别在 AB,BC,CD,AD上.设正方形EFGH的面积是S,AE的长是x,则下列说法正确的是() G B A,当x=2时，S有最小值2 B.当x=2时，S有最大值2 C.S随x的增大而减小 D.S随x的增大而增大 3.(2026广东广州二模)已知抛物线y=-x2+2+1与x轴交于(x,0),(x,0)两点，且x<为.若点 A(m,m在该抛物线上，则下列判断正确的是（） A.当n>0时，<m<x2 B.当n<0时，m< C.当k=0时，该抛物线的顶点到达最高处 D.该抛物线与y=-x+1没有交点 4.(2026山东济南中考真题)如图，在平面直角坐标系x0y中，A(3,0),B(9,0)是x轴上的两点，P是 函数y3 x图像上一动点，连接AP'BP则AP+BP的最小值为（） 10A B A.30 B.36 C.42 D.63 5.(2425九年级下湖南湘潭·自主招生)如图，在等边△ABC中，AB=4,点P从A出发，沿A-B-C 路线以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从A出发，沿A-C-B路线以相同速度运动，当P、Q两点相 遇同时停止运动.设两点运动时间为1秒(>O),△AP吧的面积为S,则下列图象能表示S与1之间的函数关系 的是() 18122 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 B S S 4/3 43 A 23 B. 23 O 4 名8秒) 2468秒) S S 4W3 43 23 D.23 O°2468秒) 02468秒) 二、填空题 6.(26-27九年级上·全国课后作业)飞机着陆后滑行的距离w(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s )的函数解析式是w=60t- ,飞机若陆后到滑行停下来，滑行的时间是 3 一s,飞机滑行的距离是 m. 7.(2026甘肃平凉二模)如图1，玛曲黄河大桥位于甘肃玛曲县城南，北连玛曲县城，南通阿万仓乡， 是甘肃省黄河上游的第一座桥梁，因此有“黄河第一桥”之称.如图2是它的部分示意图，可近似地用抛 物线的一部分表示，若当水面宽度AB为10m时，水面到拱顶的高度C0为4m,当水位在此基础上继续上 涨lm时，水面的宽度为m(结果保留根号). 图1 图2 8.(26-27九年级上·全国课后作业)廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示.已 知抛物线的函数表达式为y=一 。x2+10,为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为g米的 40 19122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C,D两处安装警示灯，则警示灯D离水面AB的距离为一米. 9.(2026:甘肃嘉峪关·二模)在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国运动员的精彩表现让人叹为观 止，已知运动员从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为m,与跳 台底部所在水平面的竖直高度为m,y与x的函数关系式为y= x2+x+2(0≤x≤20.5)，当她与跳台边 1 缘的水平距离为 _m时，竖直高度达到最大值 4/m 跳台 205m 10.(2026辽宁本溪二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=+2r+3与x轴相交于点A,B, 与y轴交于点C,若点D(m,3)在第二象限的抛物线上，则△ACD的面积为一 A B 三、解答题 11.(26-27九年级上辽宁铁岭阶段检测)某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4 月份销售150个，6月份销售216个. (1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础 上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为每个 多少元？ 12.(25-26九年级上·安徽合肥期中)为弘扬桐城派文化，让更多游客了解六尺巷，某文旅公司推出多款 文创产品.已知某款定制“一纸书来只为墙”的主题团扇的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以 20122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 售出60件，经调查发现，售价每降价0.5元，每天可以多售出5件，设该款主题团扇售价为x元. (1)每天售出的数量是 件。 (2)文旅公司每天售卖该款主题团扇的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 13.(2026江苏淮安中考真题)“运河三千里，醉美是淮安.”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的 人行景观桥，桥身呈对称分布.如图，桥拱ACB可以看成抛物线形，跨径AB为30m,拱高CD为6m. C (1)建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式， (2)当桥拱ACB下的水面宽为28m时，求此时拱顶C到水面的距离. 14.(26-27九年级上·北京·期中)乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明 打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小 聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y(单位：Cm)与水平距 离x(单位：cm)近似满足函数关系式y=a(x-h)+k(a<o) 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/cm 0 40 80 120 160 竖直高度y/cm 20 35 40 35 20 401 20H O 20406080100120140160180200x -20 ()根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 y=a(x-h)'+k(a<0): (②)小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y 21122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (单位：cm)与水平距离x(单位：cm)近似满足函数关系式y=0.005(x-70)+36,请你判断小聪第 二次发球时，乒乓球是否落在球桌内：一（填“是”，“否”）· 15.(25-26九年级下·河北衡水·阶段检测)如图是一个东西走向、轮廓可看成抛物线的山坡，以水平地面 为x轴，西侧的坡底O为原点建立平面直角坐标系，一个单位长度代表lm长，山坡外轮廓（曲线OA)所 9 了在抛物线L的解析武为y40P+4不，无人机从坡底O的西侧点B处起飞，降落到点℃，飞行轨迹所在 抛物线L,的解斩式为y=（✉-+k,已知无人机在与点0水平距离45和处，达到最大高度05如 →东 BO AC (1)h= k= (②)求无人机起飞点B与坡底O的水平距离； (3)由于山坡上有障碍物，当无人机与山坡的竖直距离始终大于9米时，才能保证飞行安全.请判断无人机 此次飞行是否安全，并说明理由 22122