专题4.2 二次函数的图象与性质（一）（9大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级上册

专题4.2 二次函数的图象与性质（一） 教学目标 1. 会画二次函数y=ax^2+bx+c的图象，掌握其顶点坐标、对称轴等特征。2. 能结合图象分析a、b、c对图象的影响，理解增减性、最值等性质。3. 体会数形结合思想，获得用图象研究函数的经验，提升直观想象能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握二次函数y=ax^2+bx+c的图象特征，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等核心要素。 （2）理解并运用二次函数的性质，如增减性、最值，解决简单问题。 2.难点 （1） 理解二次函数图象的对称性，以及对称轴位置与a、b的“左同右异”关系 （2）灵活运用配方法或公式法求顶点坐标，并将其与最值、增减性等性质关联应用。 知识点01 二次函数的图象 1.二次函数（）的图象是一条抛物线，它关于轴对称，顶点是坐标原点.当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点. 2. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，0） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 3. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，k） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 4. 二次函数（）的图象是一条抛物线，它de 对称轴是直线，顶点坐标是 ，当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点. 【即学即练】1．（26-27九年级上·全国·期中）二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于二次函数顶点式为，所以可以根据的取值直接确定顶点坐标． 【详解】解：在二次函数顶点式中，顶点坐标为， 在函数中，对应，，顶点坐标为． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）已知点都在抛物线 上，则 的大小关系为___________． 【答案】 【分析】分别将、、代入函数表达式计算，再比较函数值大小即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故 3．（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． (1)用配方法将其化为 的形式； (2)指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)当 时，求函数的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)开口向上，对称轴， 顶点坐标 (3)最大值，最小值 【详解】（1） ； （2），所以开口向上，对称轴， 顶点坐标， （3）开口向上，对称轴，， 当时，最小值为； 当时，最大值为8； 综上，当 时，函数最大值 ，最小值． 知识点02 二次函数的图象与系数的关系 二次函数（）的系数与图象的关系 （1）的符号由抛物线的开口方向决定： ，； （2）的符号由抛物线的对称轴的位置及的符号共同决定：对称轴在轴左侧同号，对称轴在轴右侧异号； （3）的符号由抛物线与轴的交点的位置决定：与轴正半轴相交，与轴负半轴相交 【即学即练】4．（上册 第五章 追梦基础训练卷（一））二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴， ，结论①正确； ②∵抛物线对称轴为直线， ， ． ∵抛物线经过点， ， ，即，结论②正确； ③∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，结论③错误． 综上，正确的有①②，共2个， 故选C． 5．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，已知二次函数（a，b，c是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的有________．（请填写所有正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． ①根据二次函数的图象和性质确定各参数的取值范围即可； ②根据对称轴进行求解即可； ③根据对称轴得出点与关于对称轴对称，根据函数图象进行求解即可； ④根据顶点坐标进行求解即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴位于轴的左侧， ∴同号， ∴； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴； ∴， 故①正确； ②图象关于直线对称， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵图象关于直线对称， ∴点与关于对称轴对称， 当时，， 故③错误； ④当时，值最大， 当时，， ∴， ∴， 故④正确； 综上，正确选项为①②④， 故答案为：①②④． 6．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图为二次函数（）的图象．有下列四个结论：①若，分别是抛物线上的两个点，则；②；③；④．其中正确的个数是_______． 【答案】4个 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数的增减性、二次函数的最值以及特殊点的函数值应用，熟练掌握二次函数图象与系数的关系及利用图象分析函数性质的方法是解题的关键． 先根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判断、、的符号及相关关系，再逐一分析四个结论：抛物线的对称性和增减性判断与的大小；根据、、的符号判断的符号；利用函数最大值的性质推导不等式；结合特殊点的函数值和、的关系判断的符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴为直线，即， ∴． ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴． ①∵抛物线对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为． ∵当时，随的增大而减小，且， ∴，故①正确． ②∵，，， ∴，故②正确． ③∵当时，函数取得最大值， ∴， ∴，即，故③正确． ④∵当时，，且，即， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：． 题型01 二次函数y=ax²的图象和性质 【典例1】（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；越大，图象的开口越小． 【详解】解：函数的图象开口向上，函数和的图象开口向下，且函数的开口更大， ，，，， ． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点都在抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， . 【变式2】（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，抛物线在对称轴右侧部分下降，说明抛物线开口向下，据此可得的取值范围． 【详解】解：抛物线在对称轴的右侧部分下降， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图： 因为直线与两条抛物线的交点从上到下依次为，， 所以． 题型02 二次函数的y=ax²+k的图象和性质 【典例1】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 【变式1】（26-27九年级上·内蒙古·单元测试）抛物线与抛物线相比较，其不同点是（     ） A．对称轴不同 B．开口方向不同 C．顶点坐标不同 D．形状不同 【答案】C 【分析】根据二次函数与的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、抛物线与抛物线的对称轴都是y轴，两者相同，故本选项不合题意； B、抛物线与抛物线的开口方向都向上，两者相同，故本选项不合题意； C、抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标是，两者不同，故本选项符合题意； D、抛物线可以由抛物线平移得到，故两者形状相同，故本选项不合题意． 【变式2】（2026九年级上·全国·专题练习）抛物线 的开口方向为___________，对称轴为___________，顶点坐标为___________． 【答案】 向上 轴(直线) 【分析】给定抛物线解析式为，属于型二次函数，利用二次函数的基本性质即可求解. 【详解】解：∵ 二次函数中，二次项系数， ∴ 抛物线开口方向向上；对称轴为直线，即轴； 将代入解析式，得， 因此顶点坐标为. 【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系是______（用“”连接）． 【答案】 【分析】二次函数开口向下，对称轴为直线，开口向下时，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，计算三点到对称轴的距离即可比较大小． 【详解】解： 二次函数中，二次项系数， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 且开口向下时，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， 计算各点横坐标到对称轴的距离： 点的距离为， 点的距离为， 点的距离为， ， ． 题型03 二次函数y=a（x-h）²的图象和性质 【典例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】利用平方的非负性推导函数的最大值． 【详解】解：， ， 当时，取得最大值． 【变式2】（2026九年级上·全国·专题练习）抛物线 的开口方向为___________，对称轴为___________，顶点坐标为___________． 【答案】 向下 直线 【分析】本题给出抛物线顶点式，可根据二次项系数判断开口方向，直接得到对称轴和顶点坐标． 【详解】解：将抛物线解析式整理为标准顶点式，其中，，， ∵ ， ∴ 抛物线开口方向向下， ∵ 顶点式的对称轴为直线， ∴ 抛物线对称轴为直线， ∵ 顶点式的顶点坐标为， ∴ 抛物线顶点坐标为． 【变式3】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，函数值y的最小值为1，则h的值为__________． 【答案】 或 【分析】二次函数开口向上，顶点为，根据对称轴与给定自变量的范围的位置关系分类讨论，列方程求解即可． 【详解】解：二次函数开口向上，顶点坐标为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，分三种情况讨论： ① 若，此时在的范围内，随增大而增大，最小值在处取得，可得，解得或， ， ； ②若，此时在的范围内，随增大而减小，最小值在处取得，可得，解得或， ， ； ③若，此时顶点的横坐标在的范围内，函数最小值为， 不满足最小值为的条件，舍去； 综上，的值为或． 题型04 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 【典例1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：二次函数的顶点坐标为. 将变形为. ∴顶点坐标为. 【变式1】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列描述错误的是（     ） A．该抛物线开口向上 B．当时，y有最小值2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】该二次函数为顶点式，可直接获取开口方向、顶点坐标与对称轴，据此判断选项． 【详解】解：二次函数解析式为，． ∴ 抛物线开口向上， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， A正确． ∴ 当时，有最小值，B正确． ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而减小，C正确． ∴ 当时，随的增大而增大，D错误． 【变式2】（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）当___________时，二次函数有最小值． 【答案】 【分析】根据二次函数的图象及性质即可解答． 【详解】解：二次函数的图象开口线上，顶点坐标为， ∴当时，二次函数有最小值． 【变式3】（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 【答案】/ 【分析】将点，两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应的函数值，即可比较大小． 【详解】解：∵点，都在二次函数的图象上， ∴，， ∵， ∴． 题型05 二次函数图象的平移 【典例1】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）将抛物线向右平移2个单位，得到新抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，得． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线可以看作是由抛物线按下列何种变换得到的（     ） A．向上平移5个单位长度 B．向下平移5个单位长度 C．向左平移5个单位长度 D．向右平移5个单位长度 【答案】A 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∴将抛物线向上平移5个单位长度可得到抛物线． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】根据二次函数图像平移规则“左加右减，上加下减”，按平移顺序依次计算即可得到结果． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度， 得到的抛物线的解析式为． 【变式3】（2026·江苏无锡·二模）如果将抛物线向上平移m（）个单位后经过原点，那么m的值是________． 【答案】3 【分析】先根据抛物线平移规律得到平移后的抛物线解析式，再将原点坐标代入解析式，求解得到的值． 【详解】解：根据抛物线平移的“上加下减”规律，可得平移后抛物线的解析式为 平移后的抛物线经过原点， ， 解得，． 题型06 把y=ax²+bx+c化成顶点式 【典例1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）二次函数的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【详解】解： . ∴ 该二次函数的对称轴是直线. 【变式1】（2026·四川成都·模拟预测）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法正确的是（     ） A． B．当时，随的增大而增大 C． D．当时，抛物线的顶点坐标为 【答案】D 【分析】由二次函数对称轴公式即可判断A选项，由二次函数的性质即可判断B选项，由图象可得当时，，即可判断C选项，当时，，结合二次函数的性质即可判断D选项． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，故A选项错误； ∵二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故B选项错误； 由图象可得当时，， ∴，故C选项错误； 当时，，此时抛物线的顶点坐标为，故D选项正确． 【变式2】（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合判断两点横坐标的位置，即可比较与的大小． 【详解】解：对函数解析式配方得， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级下·安徽六安·期末）通过配方，写出函数的顶点式，并写出其开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】顶点式为，开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【分析】利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，再根据顶点式的坐标特点求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标即可． 【详解】解： ， ∴顶点式为， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 题型07 画y=ax²+bx+c的图象 【典例1】（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）已知二次函数． (1)在下图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)二次函数的图象如图所示： (2) 【分析】（1）利用描点法画出图象即可； （2）先求出该二次函数的顶点坐标，再根据图象求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：列表如下， 描点、画图如下：略 （2）解：∵， ∴顶点坐标为， ∴由图象可知，当时，的取值范围为． 【变式1】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）已知二次函数． (1)在直角坐标系中画出该函数图象； (2)请结合图象，直接写出此函数3个相关的正确结论． 【答案】(1) 函数图象如图所示： (2)①抛物线的对称轴为直线；②抛物线与轴的交点坐标为；③抛物线与轴有两个交点；④当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．（答案不唯一，言之有理即可） 【分析】本题考查画二次函数的图象，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是关键． （1）先列表求出点的坐标，再使用描点法画函数图象即可； （2）根据二次函数的图象与性质写出结论即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2】（25-26九年级上·广东广州·期末）已知二次函数． (1)补全表格，并画出二次函数的图象； x … … y … … (2)观察该图象，直接回答以下问题： ①当y随x的增大而减小时，写出x的取值范围； ②当时，写出x的取值范围． 【答案】(1) 补全表格： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 画出二次函数的图象： (2)①② 【分析】本题考查了画二次函数的图象性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合，列表，描点连接，即可作答． （2）①运用数形结合思想得当y随x的增大而减小时，，即可作答． ②运用数形结合思想得当时，，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，则； ∴当时，则； ∴当时，则； ∴当时，则； ∴当时，则； 补全表格和图象略； （2）解：①结合（1）的二次函数的图象，得当y随x的增大而减小时，； ②结合（1）的二次函数的图象，得当时，． 【变式3】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知二次函数． (1)完成下表，并在方格纸中画该函数的图象； … 0 1 2 3 … … … (2)根据图象，完成下列填空： ①当时，随的增大而_______； ②当时，的取值范围是______． 【答案】(1)0；-3；-4；-3；0 如图， (2)①增大；②． 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）分别将的值代入函数解析式求出值，再描点，连线作出图象； （2）观察图象，当时，y随x的增大而增大，当时，函数图象在轴下方，即可得x的取值范围． 【详解】（1）解：分别将，0，1，2，3代入得，，，，0， 表格如下： … 0 1 2 3 … … 0 0 … （2）解：观察图象，当时，y随x的增大而增大，当时，函数图象在轴下方，即． 故答案为：①增大；②． 题型08 y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）若一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点坐标为， ∴，即， ∴抛物线的对称轴为直线. 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 【答案】B 【分析】将表格中二次函数x，y的对应值代入函数解析式，求出a，b，c的值，解出二次函数解析式，再将其改写为顶点式，求出该二次函数的开口方向，对称轴，最值，以及函数的增减性 ． 【详解】∵函数图象经过，，， 将其代入函数解析式，得，解得， ∴二次函数解析式为． ∵， ∴函数图象的开口向上； 且该二次函数对称轴为：直线， y有最小值为，无最大值； ∴当时，y随x的增大而增大． ， ∴当时，y随x的增大而增大． 【变式2】（26-27九年级上·福建福州·开学考试）若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，利用开口向下的二次函数点离对称轴越远函数值越小的性质，通过比较两点到对称轴的距离比较大小． 【详解】解：二次函数中，，，根据对称轴公式得对称轴为， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小， ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为，， ∴ ． 【变式3】（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，对称轴为直线．图象上有点，，，则，，的大小关系是______．（请用“”符号连接） 【答案】 【分析】根据图象判断抛物线开口向上，结合对称轴，利用二次函数图象上点到对称轴的距离越远函数值越大这一性质进行比较即可． 【详解】解：如图，抛物线的开口向上， ， ． 题型09 二次函数与各项系数符号 【典例1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象如图，其中，的值可能是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】观察抛物线开口方向、对称轴位置及与轴交点位置. 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， 综上，，. 【变式1】（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．（为实数） 【答案】D 【分析】二次函数图象开口向上，，与y轴交于负半轴，，对称轴在y轴左侧，，可以判断A选项是否正确；根据对称轴，可以判断B选项是否正确；根据二次函数图象的对称性和当时，可以判断C选项是否正确；根据时y有最小值，可以判断D选项是否正确． 【详解】解：由图象可知，，， ∵对称轴在轴左边， ∴， ∴， ，故A选项不符合题意； ， ， ，故B选项不符合题意； 当时，，根据二次函数图象的对称性可知，当时，， ，故C选项不符合题意； 当时，函数有最小值， （m为实数），D选项符合题意． 【点睛】二次函数图象开口向上，，有最小值，对称轴在x的负半轴，b和a同号． 【变式2】（2026·江苏徐州·二模）如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④：上述结论正确的有________（填序号）． 【答案】③④ 【分析】对于①，由图可知，，，，则；对于②，结合图可知，当时，，则；对于③，利用对称轴公式进行计算即可；对于④，由和可得，则． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线过点和， ∴对称轴为直线，故③正确， ∴，即， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∴，故①错误， 由图可知，当时，， ∴，故②错误， ∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故④正确， 综上，正确的结论为③④． 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①，②，③，④，⑤（）（）中正确的是__________． 【答案】①②③④ 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系，利用，时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即异号， ． 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，故①正确； ②当时，图象在轴下方， ， ，故②正确； ③对称轴为直线， ，即，由②知， ， ， ，故③正确； ④对称轴为直线， 与关于对称轴对称， 当时，， 当时，，故④正确； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值， ， ， ，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是①②③④． 一、单选题 1．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）二次函数 图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据顶点式得到顶点坐标，再根据坐标符号判断顶点所在象限即可． 【详解】解：可写为， 该二次函数图象的顶点坐标为， 顶点横坐标，纵坐标， 顶点在第二象限． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的函数值比较，可直接将点的横坐标代入函数解析式，得到和的表达式，再根据的条件比较大小． 【详解】解：将代入得：， 将代入得， ， ， 即． 3．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 4．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则，得到平移后解析式的特征，即可判断正确选项． 【详解】解：原函数为，设向右平移个单位，再向下平移个单位， 平移规则为右减自变量，下减常数项， 平移后解析式为，满足，． 选项A：，得，，符合向右平移再向下平移的要求，正确； 选项B：常数项为，不符合要求，错误； 选项C：平方项底数为，，属于向左平移，不符合要求，错误； 选项D：平方项底数为，，未进行向右平移，不符合要求，错误． 二、填空题 6．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）二次函数的最小值是____________． 【答案】1 【分析】直接根据顶点式即可得出答案． 【详解】解：二次函数， ，开口向上，顶点为， 故函数的最小值为． 7．（2026·江苏·二模）二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______． 【答案】（答案不唯一，任意负数均可） 【分析】根据顶点式得到对称轴，结合给定的增减性判断的取值范围，即可写出符合条件的的值． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 二次函数图象开口向下， ， （答案不唯一）． 8．（2026·吉林长春·模拟预测）已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据点在抛物线上得到与的表达式，对和作差，结合已知条件和判断差的符号，即可比较和的大小． 【详解】解：∵，是抛物线上的两点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 9．（2026·浙江·模拟预测）同一平面直角坐标系中，抛物线与关于原点成中心对称，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为，根据抛物线与关于原点成中心对称，在抛物线上，得， 从而或，求解即可． 【详解】解：设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为， 那么在抛物线上， 代入可得， 整理得， ∴或， ∴． 10．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上方抛物线上的两个点，C，D是x轴上的两个点．若四边形是边长为4的正方形，则c的值为_______ 【答案】8 【分析】根据二次函数的对称性及正方形的性质求出点A的坐标，代入计算即可． 【详解】解：如图， ∵A，B是x轴上方抛物线上的两个点，抛物线的对称轴为直线， ∴A，B关于y轴对称， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， 即， 将代入得：， 解得：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)点在此抛物线上 (2)，见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质． （1）判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入抛物线解析式，看得到的纵坐标是否与该点的纵坐标相等； （2）比较函数值的大小，可根据抛物线的开口方向和点离对称轴的远近进行判断，即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入抛物线解析式中， 当时，， 点在此抛物线上； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，抛物线上离对称轴越远的点函数值越大， ∴’． 12．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 【答案】(1)开口向上 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）先将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，根据的正负判断函数图像的开口方向； （2）将点的坐标代入已确定的二次函数解析式，计算求出的值. 【详解】（1）解：将点代入中 得 即 解得 因为 所以这个函数图像的开口向上 （2）解：由（1）可知二次函数解析式为 将点代入中 得 解得. 13．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知函数是关于的二次函数. (1)求满足条件的值； (2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小； (3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大. 【答案】(1)或 (2)当时，抛物线有最低点，当时，随的增大而减小 (3)当时，抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大 【详解】（1）解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得：或， ∴满足条件的值为． （2）解：当时，函数为，开口向上，此时抛物线有最低点，当时，随的增大而减小． （3）解：当时，函数为，开口向下，此时抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大． 14．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】（1）根据列表，描点，连线的步骤画出图象； （2）根据二次函数的图象及性质即可解答； （3）求出当和时的函数值，结合函数图象即可解答． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … 描点，连线 （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：当时，， 当时，， ∴由图象可得时，． 一、单选题 1．（2026·江苏南京·三模）若二次函数(为常数)的图像与轴有两个不同的交点，则该函数图像的顶点在(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先根据二次函数顶点式确定顶点坐标，再利用判别式求出的取值范围，最后根据坐标符号判断顶点所在象限． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式， ∴函数顶点坐标为． ∵二次函数图像与轴有两个不同交点，将解析式展开得， ∴判别式， 解得． ∵， ∴，顶点横坐标为正，纵坐标为负， ∴顶点坐标在第四象限． 2．（2026·广东·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点式的性质，逐项分析，即可求解． 【详解】解：对于抛物线，顶点坐标为，对称轴为直线； ∵， ∴抛物线的开口向上， 对A选项：令，则，即抛物线与轴交点为，故A选项说法错误，不符合题意； 对B选项：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意； 对C选项：当时，有最小值；故C选项说法正确，符合题意； 对D选项：抛物线的顶点坐标为，故D选项说法错误，不符合题意． 3．（2026·河南周口·二模）已知二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，．下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据已知的两组，的对应值代入二次函数解析式，消去参数，整理得到关于的表达式，再将各选项的代入即可判断的正负，得到正确结论． 【详解】解：∵二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，， ∴， 两式消去可得：， 解得：， A、若，，故A错误； B、若，，B错误； C、若，，C正确； D、若，，D错误． 4．（2026·江苏泰州·二模）下列函数中，其图像不经过第二象限，且与x轴有且只有一个公共点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需结合函数性质，根据两个要求逐一筛选：①图像不经过第二象限；②与轴有且只有一个公共点，即可得到答案． 【详解】解：选项A．：∵该一次函数与轴只有一个交点，满足条件②；当时，，存在的点，图像经过第二象限，不满足条件①，排除A； 选项B．：∵该二次函数是顶点式，顶点为，顶点在轴上，因此与轴有且只有一个公共点，满足条件②；又∵对任意，，可得，因此图像不经过第二象限，满足条件①，符合要求； 选项C．：∵顶点为，与轴只有一个交点，满足条件②；当时，，存在的点，图像经过第二象限，不满足条件①，排除C； 选项D．：∵反比例函数的图像与轴没有交点，不满足条件②，排除D． 5．（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质与图象的轴对称变换，得出两条关于轴对称的抛物线开口大小方向一致，顶点关于轴对称，先求出的顶点坐标，再得到对称顶点，对应得到和的值，即可计算出结果 【详解】解：抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线， 二者开口大小方向一致，顶点坐标关于轴对称， 对配方得 ， 的顶点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为，即的顶点坐标为， 又的顶点式为，其顶点坐标为， ，， 二、填空题 6．（2026·甘肃武威·一模）二次函数的顶点坐标是 ____． 【答案】 【分析】根据二次函数顶点式的性质，直接可得顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式为， ∴顶点坐标为． 7．（2026·宁夏吴忠·三模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________． 【答案】 【分析】先根据顶点式得到原抛物线的顶点坐标，再根据点平移的规律计算得到平移后的顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线是顶点式，可得原抛物线的顶点坐标为， 将顶点向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度， 平移后的顶点横坐标为，纵坐标为， 因此平移后的抛物线的顶点坐标为． 8．（2026·甘肃武威·一模）已知点与在函数的图像上，则、的大小关系为______． 【答案】 【分析】根据函数解析式得出抛物线的对称轴以及开口方向，然后根据两点距对称轴的距离判断大小即可． 【详解】解：根据解析式可知抛物线对称轴为，开口向下， ∴两点离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴． 9．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______． 【答案】2 【分析】由题意易得点C、B关于y轴对称，点，进而根据正方形的性质可得点，然后代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∴C、B关于y轴对称， ∵四边形是正方形， ∴，与相互平分， 令时，则有， ∴点， ∴， ∴点， 把点C代入得：，解得：或， ∵， ∴． 10．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 【答案】/0.5 【分析】求出抛物线的顶点坐标及与y轴的交点坐标，再根据列式求解． 【详解】解：的顶点坐标为， 将代入，得：， 结合图象可得，， 是等腰直角三角形，， ， ， 解得． 三、解答题 11．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)开口方向： ； (2)对称轴： ； (3)顶点坐标： ． 【答案】(1)向上 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点式性质解答即可﹒ （1）根据，即可得到抛物线开口向上； （2）由抛物线顶点式即可得到对称轴为直线； （3）由抛物线顶点式即可得到顶点坐标为﹒ 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线开口向上﹒ 故答案为：向上； （2）解：由抛物线解析式可得到抛物线对称轴为直线﹒ 故答案为：； （3）解：由抛物线解析式可得到抛物线顶点坐标为﹒ 故答案为： 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中画出的图象． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作二次函数的图像，作图的基本步骤，列表、描点、再用平滑的曲线连接是解题的关键． 根据题意，列表、描点、再用平滑的曲线连接即可． 【详解】解：列表 0 1 2 3 1 1 描点，再用平滑的曲线连接如图： 13．（2026九年级下·全国·专题练习）二次函数的顶点为． … 0 1 2 3 … … 0 4 3 0 … (1)补全表格，在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (2)抛物线的顶点的坐标是___________； (3)当___________时，随的增大而减小； (4)当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了二次函数的图像绘制、顶点坐标求解、增减性判断及函数值对应自变量范围的确定，解题的关键是掌握二次函数的表达式变形（配方法）、图像性质（开口方向、对称轴）及数形结合思想的应用． （1）补全表格需将代入函数表达式求值；画图需先确定顶点、与坐标轴交点等关键点，再用平滑曲线连接． （2）求顶点坐标可通过配方法将函数化为顶点式，即可得解． （3）先判断抛物线开口方向（由的符号确定），再确定对称轴，根据开口方向判断增减性区间． （4）先求出和对应的自变量的值，再结合函数图像确定满足的取值范围． 【详解】（1）解：补全表格：将代入，得，故表格中对应的值为3；   … 0 1 2 3 … … 0 3 4 3 0 … 画图步骤：先确定关键点（顶点、与轴交点和、与轴交点及），再用平滑的抛物线将这些点依次连接，即得函数图像． （2）解：用配方法变形函数表达式：   ，   二次函数顶点式的顶点为，故顶点的坐标为， 故答案为：． （3）解：由可知，抛物线开口向下；   由顶点式可知对称轴为直线，开口向下时，对称轴右侧随的增大而减小，即， 故答案为：． （4）解：当时，，解得，；   当时，，化简得，解得，；   结合抛物线图像（开口向下，顶点），可知当时，的取值范围是 或， 故答案为：或． 14．（25-26九年级下·全国·单元测试）如图，点、、、在函数的图像上，且点、和点、分别关于轴对称，点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求点的纵坐标和点的横坐标，并写出点、的坐标 (2)在原图中，利用对称性，直接找特殊点，画出二次函数的图像． 【答案】(1)点的纵坐标为，点的横坐标为，， (2)图见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的性质是解决本题的关键． （1）根据点在函数的图像上，可得点的坐标，再根据点的纵坐标为和点、分别关于轴对称即可得解； （2）根据二次函数的对称性进行画图即可． 【详解】（1）解：点在函数的图像上， 当时，， ， 点的纵坐标为， 点、关于轴对称， , 点在函数的图像上，点、关于轴对称， 当时，， 解得， 、， 点的横坐标为； （2）解：∵和关于x轴对称， ∴画图如下所示 15．（25-26九年级下·全国·课堂例题）如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)当 时， 的取值范围为_____． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】此题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键． （1）将点代入求出的值，再将点代入求解即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）观察图象，利用数形结合法求解即可； 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，； 故答案为：；； （2）解：∵，， 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得， 解得，， ∴直线的解析式为：； （3）解：对于抛物线， ∵， ∴当时，有最小值为0， ∵，， ∴当时，y的取值范围为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 二次函数的图象与性质（一） 教学目标 1. 会画二次函数y=ax^2+bx+c的图象，掌握其顶点坐标、对称轴等特征。2. 能结合图象分析a、b、c对图象的影响，理解增减性、最值等性质。3. 体会数形结合思想，获得用图象研究函数的经验，提升直观想象能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握二次函数y=ax^2+bx+c的图象特征，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等核心要素。 （2）理解并运用二次函数的性质，如增减性、最值，解决简单问题。 2.难点 （1） 理解二次函数图象的对称性，以及对称轴位置与a、b的“左同右异”关系 （2）灵活运用配方法或公式法求顶点坐标，并将其与最值、增减性等性质关联应用。 知识点01 二次函数的图象 1.二次函数（）的图象是一条抛物线，它关于轴对称，顶点是坐标原点.当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点. 2. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，0） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 3. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，k） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 4. 二次函数（）的图象是一条抛物线，它de 对称轴是直线，顶点坐标是 ，当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点. 【即学即练】1．（26-27九年级上·全国·期中）二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）已知点都在抛物线 上，则 的大小关系为___________． 3．（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． (1)用配方法将其化为 的形式； (2)指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)当 时，求函数的最大值和最小值． 知识点02 二次函数的图象与系数的关系 二次函数（）的系数与图象的关系 （1）的符号由抛物线的开口方向决定： ，； （2）的符号由抛物线的对称轴的位置及的符号共同决定：对称轴在轴左侧同号，对称轴在轴右侧异号； （3）的符号由抛物线与轴的交点的位置决定：与轴正半轴相交，与轴负半轴相交 【即学即练】4．（上册 第五章 追梦基础训练卷（一））二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，已知二次函数（a，b，c是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的有________．（请填写所有正确的序号） 6．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图为二次函数（）的图象．有下列四个结论：①若，分别是抛物线上的两个点，则；②；③；④．其中正确的个数是_______． 题型01 二次函数y=ax²的图象和性质 【典例1】（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点都在抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【变式3】（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 题型02 二次函数的y=ax²+k的图象和性质 【典例1】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·内蒙古·单元测试）抛物线与抛物线相比较，其不同点是（     ） A．对称轴不同 B．开口方向不同 C．顶点坐标不同 D．形状不同 【变式2】（2026九年级上·全国·专题练习）抛物线 的开口方向为___________，对称轴为___________，顶点坐标为___________． 【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系是______（用“”连接）． 题型03 二次函数y=a（x-h）²的图象和性质 【典例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 【变式2】（2026九年级上·全国·专题练习）抛物线 的开口方向为___________，对称轴为___________，顶点坐标为___________． 【变式3】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，函数值y的最小值为1，则h的值为__________． 题型04 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 【典例1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列描述错误的是（     ） A．该抛物线开口向上 B．当时，y有最小值2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【变式2】（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）当___________时，二次函数有最小值． 【变式3】（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 题型05 二次函数图象的平移 【典例1】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）将抛物线向右平移2个单位，得到新抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线可以看作是由抛物线按下列何种变换得到的（     ） A．向上平移5个单位长度 B．向下平移5个单位长度 C．向左平移5个单位长度 D．向右平移5个单位长度 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 【变式3】（2026·江苏无锡·二模）如果将抛物线向上平移m（）个单位后经过原点，那么m的值是________． 题型06 把y=ax²+bx+c化成顶点式 【典例1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）二次函数的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式1】（2026·四川成都·模拟预测）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法正确的是（     ） A． B．当时，随的增大而增大 C． D．当时，抛物线的顶点坐标为 【变式2】（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【变式3】（25-26八年级下·安徽六安·期末）通过配方，写出函数的顶点式，并写出其开口方向、对称轴和顶点坐标． 题型07 画y=ax²+bx+c的图象 【典例1】（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）已知二次函数． (1)在下图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)直接写出当时，的取值范围． 【变式1】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）已知二次函数． (1)在直角坐标系中画出该函数图象； (2)请结合图象，直接写出此函数3个相关的正确结论． 【变式2】（25-26九年级上·广东广州·期末）已知二次函数． (1)补全表格，并画出二次函数的图象； x … … y … … (2)观察该图象，直接回答以下问题： ①当y随x的增大而减小时，写出x的取值范围； ②当时，写出x的取值范围． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 【变式3】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知二次函数． (1)完成下表，并在方格纸中画该函数的图象； … 0 1 2 3 … … … (2)根据图象，完成下列填空： ①当时，随的增大而_______； ②当时，的取值范围是______． … 0 1 2 3 … … 0 0 … 题型08 y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）若一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 【变式2】（26-27九年级上·福建福州·开学考试）若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 【变式3】（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，对称轴为直线．图象上有点，，，则，，的大小关系是______．（请用“”符号连接） 题型09 二次函数与各项系数符号 【典例1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象如图，其中，的值可能是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．（为实数） 【变式2】（2026·江苏徐州·二模）如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④：上述结论正确的有________（填序号）． 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①，②，③，④，⑤（）（）中正确的是__________． 一、单选题 1．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）二次函数 图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26八年级下·重庆·期中）若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 3．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 4．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）二次函数的最小值是____________． 7．（2026·江苏·二模）二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______． 8．（2026·吉林长春·模拟预测）已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 9．（2026·浙江·模拟预测）同一平面直角坐标系中，抛物线与关于原点成中心对称，则代数式的值为______． 10．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上方抛物线上的两个点，C，D是x轴上的两个点．若四边形是边长为4的正方形，则c的值为_______ 三、解答题 11．（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 12．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 13．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知函数是关于的二次函数. (1)求满足条件的值； (2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小； (3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大. 14．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … 一、单选题 1．（2026·江苏南京·三模）若二次函数(为常数)的图像与轴有两个不同的交点，则该函数图像的顶点在(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2026·广东·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 3．（2026·河南周口·二模）已知二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，．下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2026·江苏泰州·二模）下列函数中，其图像不经过第二象限，且与x轴有且只有一个公共点的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 二、填空题 6．（2026·甘肃武威·一模）二次函数的顶点坐标是 ____． 7．（2026·宁夏吴忠·三模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________． 8．（2026·甘肃武威·一模）已知点与在函数的图像上，则、的大小关系为______． 9．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______． 10．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 三、解答题 11．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)开口方向： ； (2)对称轴： ； (3)顶点坐标： ． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中画出的图象． 0 1 2 3 1 1 13．（2026九年级下·全国·专题练习）二次函数的顶点为． … 0 1 2 3 … … 0 4 3 0 … (1)补全表格，在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (2)抛物线的顶点的坐标是___________； (3)当___________时，随的增大而减小； (4)当时，的取值范围是___________． … 0 1 2 3 … … 0 3 4 3 0 … 14．（25-26九年级下·全国·单元测试）如图，点、、、在函数的图像上，且点、和点、分别关于轴对称，点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求点的纵坐标和点的横坐标，并写出点、的坐标 (2)在原图中，利用对称性，直接找特殊点，画出二次函数的图像． 15．（25-26九年级下·全国·课堂例题）如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)当 时， 的取值范围为_____． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $