专题4.3 二次函数的图象与性质（二）（7大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级上册

专题4.3 二次函数的图象与性质（二） 教学目标 1. 会用配方法熟练将二次函数一般式y=ax²+bx+c化为顶点式y=a(x-h)²+k。 2. 掌握顶点坐标、对称轴的推导公式，能快速判断图象特征与函数增减性。 3. 能运用函数性质解决最值相关问题，深化数形结合与化归思想。 教学重难点 1.重点 （1） 熟练掌握一般式化为顶点式的配方法步骤，牢记顶点坐标与对称轴公式。 （2）精准运用二次函数性质，分析图象特征、判断增减性并求解函数最值。 2.难点 （1）理解配方法转化函数形式的本质，灵活处理系数运算避免出错。 （2）结合对称轴与自变量取值范围，精准分析复杂情境下的函数最值。 知识点01 y=ax²+bx+c的图象与性质 二次函数 y=ax²+bx+c （ a≠0 ）图象与性质 函数 （） （） 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. 【即学即练】1．（2026九年级上·全国·专题练习）已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点A，B，C代入抛物线解析式，求出，，，即可比较． 【详解】解：∵点，，都在抛物线上， ∴， ， ， ∴． 2．（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【答案】 ①②④ 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数（a，c是常数，）． (1)求该函数图象的对称轴； (2)当时，随的增大而减小，求的范围； (3)已知点，都在二次函数的图象上，若，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线； (2)的取值范围是； (3)的取值范围是或 【分析】（1）根据对称轴公式即可求解； （2）根据二次函数的性质即可求解； （3）根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线； （2）解：∵， ∴二次函数图象开口向上， ∵对称轴为直线， ∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，即时递减， 题目要求时，y随x增大而减小， ∴的取值范围是； （3）解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，与y轴的交点为， ∴关于对称轴的对称点为， 点，都在二次函数的图象上，且， 当在左侧时， ∵在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∴； 当在右侧时， ∵关于对称轴的对称点为，在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴； 综上可知，或． 题型01 二次函数 y=ax²+bx+c 的最值 【典例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】利用平方的非负性推导函数的最大值． 【详解】解：， ， 当时，取得最大值． 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知点是抛物线的顶点，则b的值可能为（   ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】先对抛物线解析式配方，得到顶点纵坐标关于的表达式，再根据求出的取值范围，最后结合选项判断即可． 【详解】解： ， ∴顶点纵坐标， 当时，；当时，， ∵是开口向上的二次函数，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， ∴， 结合选项，只有符合范围． 6．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）当时，函数有最大值______． 【答案】4 【分析】对二次函数配方得到对称轴和顶点坐标，判断顶点横坐标在给定自变量区间内，开口向下的二次函数在顶点处取得最大值． 【详解】解：先对函数配方得 ∵ 二次项系数 ∴ 二次函数图象开口向下，函数在顶点处取得最大值 ∵ 顶点横坐标为， 满足，即顶点横坐标在给定自变量范围内， ∴ 函数的最大值为． 7．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为______． 【答案】或 【分析】二次函数开口方向不确定，分和两种情况讨论，根据对称轴位置确定区间内最小值的位置，列方程求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线，且在区间内， 分两种情况讨论：当时，抛物线开口向上， ∴在对称轴处取得最小值， ∵最小值为， ∴将，代入函数得，解得； 当时，抛物线开口向下， ∴顶点处取得最大值，最小值出现在区间端点，需计算两个端点的函数值， 当时，，当时，， ∵， ∴，即最小值为， 由题意得， 解得； 综上，的值为或． 题型02 一次函数、二次函数图象综合判断 【典例1】（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a的符号确定抛物线开口方向及直线增减性，根据b的符号确定直线与y轴交点位置，结合进行判断． 【详解】解：A、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、四象限知且，则，与已知矛盾； B、由抛物线开口向上知，由直线过第一、三、四象限知且，则，与已知矛盾； C、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、三象限知，a的符号矛盾； D、由抛物线开口向下知 ，由直线过第二、三、四象限知且 ，则，符合题意． 9．（2026九年级上·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定一次函数与二次函数图象无交点，且二次函数过原点，即可判断B，D选项，进而根据图形中给出的一次函数图象确定、的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论即可解决问题． 【详解】解：联立， 消去得， ∴，即一次函数与二次函数图象无交点，故B不正确； 令， 解得：，， ∴二次函数与x轴的交点坐标为和，故D不正确，不符合题意； A．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过一、三、四象限，则，即，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； C．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过二、三、四象限，则，即，故该选项正确，符合题意． 10．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故符合题意； B、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右下降，则，故不符合题意； C、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故不符合题意； D、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右下降，则，但与轴交于正半轴，故不符合题意． 11．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 题型03 根据二次函数的图象判断式子符号 【典例1】（2026·山东济宁·二模）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象开口方向、对称轴、特殊点坐标与系数关系是解答的关键，根据二次函数的图象与性质，结合对称轴、特殊点的函数值及最值性质逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，， 即，故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③． 【变式1】（25-26九年级下·山东烟台·期中）二次函数的图象如图所示，下列结论：；；；若，则．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点位置确定、、的符号及相互关系，再结合特殊点的函数值及不等式性质逐一判断． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴， ， ，故正确； 对称轴，， ， ，故正确； ，，， ，， 当时，，且， ，即， ， 即，故正确； 对称轴， ， ， ， ， ，故错误． 综上所述，正确的结论只有，共个． 【变式2】（25-26九年级上·山东泰安·期末）如图是二次函数图像的一部分，对称轴为且经过点，有下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则，上述说法正确的是____（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数中、、的符号判断、对称轴性质是解题的关键．由抛物线开口方向、对称轴、与轴交点判断、、的符号，分析①；根据对称轴公式推导与的关系，分析②；利用抛物线过点判断的值，分析③；根据对称轴判断点和到对称轴的距离，分析④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴为， ∴． ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴． ∵，，， ∴，故①正确． ∵， ∴，故②正确． ∵抛物线经过点， ∴当时，，故③错误． ∵对称轴为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 【变式3】（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤；正确的结论有_____．（填序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据开口方向，对称轴和抛物线与轴的交点判断①，特殊点判断②，对称轴判断③，最值判断④，根据，得到的关系式判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ∴， ∴，，故①③错误； ∵抛物线过点， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值，为， ∴当时，， ∴；故④正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故⑤错误； 故答案为：②④． 题型04 待定系数法求二次函数解析式 【典例1】（2026·江苏扬州·一模）已知抛物线顶点坐标为，且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线开口和形状确定二次项系数，再将顶点坐标代入顶点式，即可得出解析式． 【详解】解：设抛物线为， 抛物线与的开口方向、形状大小完全相同， ， 将代入可得． 【变式1】（25-26九年级下·河南驻马店·期中）若二次函数的图像过点，则a的值为______． 【答案】2 【分析】将点代入二次函数解析式得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：将点代入二次函数得：，解得：． 【变式2】（2026·河南·一模）已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点，则该二次函数的解析式为_____． 【答案】 【分析】利用待定系数法将，，代入求解即可． 【详解】解：将，，代入得， 解得 ∴该二次函数的解析式为． 【变式3】（2026九年级下·山东聊城·专题练习）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点坐标，再由待定系数法求解函数解析式； （2）先求出抛物线与轴交点的横坐标，再由图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点与点B关于直线对称， ∴点B的坐标为， 代入，得：， 解得， ∴二次函数的表达式为 （2）解：由， 解得：， ∵ ∴ 题型05 已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例1】（2026·河北张家口·三模）抛物线：经过点，，，，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线对称性计算对称轴，分析即可． 【详解】解：∵抛物线：经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点，到对称轴的距离相等， ∴， ∴， 其他选项的值都不确定． 故选B． 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数的图象过点，若点也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解题关键．由，和点，得出二次函数图象开口向上，对称轴为直线，即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象过点， 二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 距离对称轴越远的点，函数值越大， 点在该二次函数图象上，且点离对称轴最远，点离对称轴最近， ， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级下·全国·单元复习）抛物线与轴的交点是，那么这条抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，以及如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式来求解，也可以用公式求解，即抛物线与轴的交点是，，则抛物线的对称轴为直线． 因为点与的纵坐标都为，所以可判定这两点是一对对称点，把两点的横坐标代入公式求解即可． 【详解】解：抛物线与轴的交点为，， 两交点关于抛物线的对称轴对称， 则此抛物线的对称轴是直线． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）二次函数图象上部分点的坐标满足下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 3 … 则________． 【答案】0 【分析】本题考查二次函数图象的对称性，根据表格中的数据，利用对称性求出对称轴，再根据对称性求出的值即可． 【详解】解：由表格可知，和的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴和的函数值相同， ∴； 故答案为：0． 题型06 根据二次函数的对称性求函数值 【典例1】（25-26九年级上·湖北恩施·阶段检测）用描点法画二次函数（a≠0）的图象时，列出了下面的表格： x … 0 1 2 … y … m 0 4 … 从表中信息可得m值为（    ） A．0 B．－1 C．－2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的对称性，解题的关键是利用二次函数图象的对称性质确定对称轴，进而求解的值． 先根据表格中值相同的点确定二次函数的对称轴，再根据对称轴的对称性找到与对称的点，从而求出的值． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴对称轴为直线， ∵点与点关于对称轴对称，且时， ∴时，即． 故选：A． 【变式1】（26-27九年级·浙江·暑假作业）如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，则的值为（   ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的对称性，代数式求值，先求出点关于对称轴的对称点，代入抛物线解析式即可求解． 【详解】解：对称轴是直线， 点关于对称轴的对称点为，即， 将代入，得：， 故选：A． 【变式2】（26-27九年级·浙江·暑假作业）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______． 【答案】/ 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，对应的函数值越大， 分别计算三点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 【变式3】设二次函数（a，b，c是常数，），如表列出了x，y的部分对应值． x … 1 2 3 … y … m 0 n … 则方程的解是 ___________． 【答案】或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的对称性进行解答即可． 【详解】解：从表格数据看，和的函数值相同， 则抛物线的对称轴为：， 当时，， 根据抛物线对称性，另外一个使的x值为：， 故答案为：或． 题型07 利用二次函数对称性求最短路径 【典例1】（26-27九年级·浙江·暑假作业）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，， ∵，令， 即， 解得：， ∴, 令，解得， ∴， ∵点是对称轴上的一个动点， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级下·河北·单元复习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质，熟练掌握三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得，，连接，，当P、B、C三点共线时，取得最小值，然后求得直线的解析式为，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：当时，则有， ∴， 由可知：对称轴为直线，当时，则有， 解得：， ∴， 连接，，如图所示： 由轴对称可知：，所以， ∴当P、B、C三点共线时，取得最小值， 设直线的解析式为，则有， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，则有， ∴，即， ∵， ∴； 故选A． 【变式2】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 【答案】 【分析】连接，由点M在对称轴上，根据对称性可得，根据两点间线段最短可得，确定当点M在上时，最小，利用待定系数法求出的解析式，再求抛物线对称轴与的交点M的坐标即可． 【详解】解：连接， ∵点M在对称轴上， ∴， ∴， ∴当点M在上时，的最小值，此时的周长最小， ∵点， 设解析式为，把点A、C的坐标代入得：， 解得， ∴解析式为， 当时， 则点． 【变式3】（2026·辽宁·一模）如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理及二次函数的最值问题，掌握配方法求最值是解题的关键． 设，则，根据勾股定理得，结合配方法求最值即可求解． 【详解】设，则， 由题知，， ， ， 时，取得最小值． 故答案为：． 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分类讨论，当时，当时，结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解． 【详解】解：当时，则， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 二次函数的图像开口向上； 当时，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限， 二次函数图象开口向下； 综上所述，D选项符合题意． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数 的图像如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵图像开口向上 ∴ （A 正确）； ∵对称轴在右侧， ∴， ∴ （B 错）； ∵与 轴交于正半轴 ∴ （C 错）； ∵ 时， ， ∴（D 错）． 3．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）若，在抛物线上，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，结合抛物线对称轴列方程求解m． 【详解】解：∵点，的纵坐标相同，且在抛物线上， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，化简得， 解得． 4．（25-26九年级下·山西运城·期末）二次函数的自变量x与函数y部分对应值如下表． … 0 3 5 … … 7 0 7 … 下列说法错误的是（   ） A．对称轴为直线 B．时，y随x的增大而增大 C．顶点坐标为 D．此函数有最小值 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，可先利用表格中对称的点求出二次函数的对称轴，再结合二次函数的开口方向与性质，逐一判断各选项的正误，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵当时，；当时， ∴这两个点关于对称轴对称 ∴对称轴为直线，故选项A正确； ∵由表格数据可知，二次函数开口向上（离对称轴越远，函数值越大）， ∴当时，随的增大而增大，且函数有最小值，故选项B、D正确； ∵顶点在对称轴上，而点的横坐标为， ∴顶点坐标不是，故选项C错误； 故选：C． 5．（25-26八年级下·江苏南通·期末）二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数y的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， 纵坐标相等的两个点在二次函数上关于对称轴对称， 二次函数的对称轴为直线， 关于直线的对称点为， 由表格得时，， 当时，． 二、填空题 6．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）抛物线的最大值是_____． 【答案】 【分析】根据二次项系数，得到抛物线开口向下，并有最大值，根据抛物线顶点坐标公式得到顶点坐标的纵坐标值即为所求． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， 最大值为． 7．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数的值是__________． 【答案】 【分析】利用二次函数的对称性，先根据表格中值相等的点求出对称轴，再得到对应对称点的函数值即可得到结果． 【详解】解：由表格可得，当时，，当时，， ∵二次函数上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵关于直线的对称点为， 由表格可知时，， ∴当时，． 8．（25-26九年级上·山东滨州·期末）已知二次函数(）的图象如图所示，有下列个结论： ①；②；③；④；⑤，的实数．其中正确结论的序号为______． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据抛物线开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为直线，即可得出的符号，即可判断①，根据时，，即可判断②，根据时，即可判断③，根据时，，即可判断④，根据抛物线开口向下，时，的值最大，即可判断⑤． 【详解】解：①由图象可知：，， ， ，故①正确； ②当时，，故，故②正确； ③由对称知，当时，函数值大于，即，故③错误； ④由对称知，当时，函数值小于，，且， 即，代入得，得，故④正确； ⑤当时，的值最大．此时，， 而当时， ， 所以， 故，即，故⑤错误． 故①②④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题 9．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知二次函数． (1)若点在该函数图象上，求此函数图象的对称轴； (2)在（1）的基础上，若，当时，求二次函数的最大值； (3)若该函数在时，y随x增大而减小；在时，y随增大而增大，请求出b的取值范围． 【答案】(1) (2)12 (3) 【分析】本题考查二次函数的性质（对称轴、最值、增减性），解题的关键是掌握二次函数对称轴公式及开口方向对增减性的影响． （1）利用二次函数过的两点，结合对称轴公式求对称轴； （2）代入参数得到函数解析式，根据开口方向和区间距离对称轴的远近求最值； （3）根据增减性确定对称轴的范围，进而求解的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴当时，， 即二次函数过点， 又点在该函数图象上， ∴此函数图象的对称轴为直线； （2）解：由（1）可知对称轴为直线， ， 又， ， ， ∴该二次函数开口向上， 又， ∴当时，，二次函数有最大值为， ∴当时，二次函数有最大值为12； （3）解：∵二次函数， ∴此函数图象的对称轴为直线， ， ∴抛物线开口向上， ∵在时，y随x的增大而减小， ， 解得， ∵在时，y随x的增大而增大， ， 解得， ． 10．（24-25九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)若对于，有，求的值： (2)若对于，都不存在，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据二次函数的性质求得对称轴即可； （2）根据不存在不存在，分当，时，两种情况根据二次函数的性质列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴，关于对称轴对称， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， 当时，即 ∴， ∵对于，都不存在，抛物线对称轴为直线， ∴或， 解得或． ∴或 当时，，解得： 综上所述，或或 11．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，求抛物线的最大值和最小值． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)当时，抛物线的最大值为，最小值为 【分析】（1）抛物线的平移法则：左加右减，上加下减； （2）由二次函数的性质可得在上，随着的增大而减小，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴在上，随着的增大而减小， 当时，取得最大值，为， 当时，取得最小值，为； 故当时，抛物线的最大值为，最小值为． 12．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)直接写出点的坐标； (2)在图1中，用无刻度直尺作出点的对应点． (3)在图2中，用无刻度直尺在对称轴上作出点，使的值最小．求点的坐标和的最小值． 【答案】(1)； (2) 如图所示，连接交对称轴于点，连接交二次函数抛物线于点，点即为所求； (3) 如图所示，连接交对称轴于点，点即为所求，连接， ，的最小值为 【分析】本题考查二次函数的图象及性质、待定系数法及两点间线段最短的原理，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）根据二次函数的对称性，即可求解； （2）连接交对称轴于点，连接交二次函数抛物线于点，点即为所求； （3）根据二次函数的对称性，在对称轴上的点，易得，即当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长．连接交对称轴于点，点即为所求，连接．先求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标． 【详解】（1）解：点关于对称轴的对称点为点，对称轴是直线， 点为； （2）略 （3）解：当时，， 点为， 点为， ， 点关于对称轴的对称点为点， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长， 设直线的解析式为， 将点、点代入得， 解得， 直线的解析式为， 点在抛物线的对称轴上， ， 则点，的最小值为． 一、单选题 1．（26-27九年级·上海·暑假作业）当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将代入，得 2．（2026·广东·二模）已知二次函数的图象如图所示，图象与轴交点的横坐标从左到右依次为，，如果时，＜，则当时，函数值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据二次函数解析式求出对称轴为直线，并计算出当时．根据抛物线的对称性可知当时．结合图象可知，当时，的取值范围在和之间，从而确定的取值范围．进而得出的取值范围，最后利用二次函数的增减性判断的值与的大小关系． 【详解】解：二次函数解析式为 对称轴为直线 当时， 抛物线关于直线对称 当时， 由图象可知，当时，图象在轴下方，对应的值在和之间 图象与轴交点为，且开口向上 当时， 抛物线开口向上，对称轴为直线 当时，随的增大而减小 当时的函数值大于当时的函数值，即． 3．（2026·四川成都·模拟预测）如图，二次函数（）的图象与轴交于点，对称轴为直线，下列结论中错误的是（     ） A． B．当时，随的增大而增大 C．二次函数图形与轴的另一个交点的横坐标为 D． 【答案】D 【分析】根据开口向上，可得，根据对称轴计算公式可得，根据抛物线与y轴的交点位置可得，据此可判断A，B；根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，则当时，，据此可判断C，D． 【详解】解：函数图象开口方向向上，与轴交于负半轴， ，， 对称轴为直线， ∴，当时，y随x的增大而增大；故B正确， ∴， ∴，故A正确， 二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， 即二次函数图形与x轴的另一个交点的横坐标为，故C正确， ∴由函数图象可知，当时，， ∴，故D错误． 4．（2026·宁夏固原·三模）已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数开口及顶点判断，的正负，根据反比例函数图象所在象限判断的正负，结合一次函数图象性质即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于正半轴， ∴ ∵反比例函数图象在第二，四象限， ∴， 一次函数过一、二、四象限． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知关于x的二次函数，当时，该二次函数有最大值．若该函数图象经过两点，且，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据函数在取最大值判断开口方向，再比较两点到对称轴的距离，开口向下的二次函数，点离对称轴越远函数值越小，据此比较和的大小． 【详解】解：二次函数为 对称轴为 时二次函数有最大值 抛物线开口向下，即对于开口向下的二次函数，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小 到对称轴的距离为，到对称轴的距离为 ，即点到对称轴的距离更远 二、填空题 6．（24-25九年级上·云南昭通·阶段检测）已知二次函数图象经过点和，那么该二次函数图象的对称轴是直线________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的对称性，根据函数值相同的两个点关于对称轴对称，进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线； 故答案为：． 7．（26-27九年级·浙江·暑假作业）抛物线经过点，则________． 【答案】/ 【分析】将已知点的坐标代入抛物线解析式，通过整理变形即可求出所求代数式的值． 【详解】解：把点代入得： ， 整理得， 移项得， 等式两边同时除以，得． 8．（2026·广东珠海·三模）二次函数的最小值为，当时，随增大而增大，请写出一个满足条件的二次函数解析式_________（请写顶点式）． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，确定顶点式中各参数的取值范围，再选取符合条件的参数得到解析式． 【详解】解： 有最小值， 因此对于，可得，顶点纵坐标； 当 时 随增大而增大，开口向上的二次函数，对称轴右侧随增大而增大， 因此对称轴； 取，，得二次函数解析式为（答案不唯一）． 9．（2026·上海·模拟预测）若抛物线的顶点在直线上，且位于第二象限，则的值为__________． 【答案】 【分析】 先求出抛物线的顶点坐标，将顶点坐标代入直线方程得到关于的一元二次方程，求解后根据第二象限点的坐标特征筛选出符合条件的的值即可； 【详解】解：， 顶点坐标为， 抛物线顶点在直线上， ， 整理得， 则， ， 解得：，， 顶点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于， 当时，顶点横坐标为，不符合要求，舍去； 当时，顶点横坐标为，纵坐标为，符合要求； 故的值为． 10．（2023九年级·山东枣庄·专题练习）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；（5）（为常数）．其中正确的结论有______个 【答案】 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴交点的位置、对称轴，可知、、，可得：；由函数图象可知当时，，所以可得：；由抛物线经过点，因为抛物线的对称轴是，可知，可得：，所以；根据二次函数的对称性可知点关于的对称点为，根据二次函数的性质可知；根据抛物线的对称轴为直线，可得：，所以成立． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 二次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴， 对称轴为直线， ， ， ， 故（1）正确； 由二次函数的图象可知，当时，， ， ， 故（2）错误； ， ， 图象过点， ， ， ， 故（3）正确； 点关于的对称点为，， ， 故（4）错误； 抛物线的对称轴为直线， 二次函数的最大值为， 当时， 可得：， ， 故（5）正确； 综上所述，正确的结论有个． 三、解答题 11．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，点B的坐标为，若点在抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)通过配方，求此抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求抛物线的对称轴与顶点坐标，求出解析式是关键． （1）把点及点坐标代入，解方程组即可； （2）配方后化为顶点式，则可求得抛物线的对称轴与顶点坐标． 【详解】（1）解：由题意，把点及点坐标代入， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：配方得：， 故抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 12．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知二次函数． (1)求出函数顶点坐标； (2)当时，随的增大而_____________（填“增大”或“减小”）； (3)当时，的取值范围为_____________． 【答案】(1) (2)增大 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）将一般式化为顶点式，即可得出结果； （2）根据二次函数的增减性进行判断即可； （3）根据二次函数的增减性求出函数值的范围即可． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； （3）解：由（2）可知，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，值最大，为；当时，函数有最小值为， ∴． 13．（2026·安徽合肥·二模）抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为1． (1)求n的值． (2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点． （i）若仅存在一个实数s，使得，求当时，p的值； （ii）若，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）的值为或；（ii） 【分析】（1）分别求出抛物线与抛物线的顶点坐标，建立关于n的方程求解即可； （2）（i）由（1）得，根据题意得到，即，由仅存在一个实数，使得，则关于的一元二次方程，有两个相等的实数根，求出，进而根据，即可得出的值； （ii）根据题意求出，由，得到，求出，根据二次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为1， ∴，即； （2）解：（i）由（1）知， ∴抛物线， ∵为抛物线上一点， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵仅存在一个实数，使得， ∴关于的一元二次方程，有两个相等的根， ∴，即， 解得：， ∵在上， ∴， 代入， 整理得： 解得：或 当时，； 当时，或． 综上，的值为或． （ii）∵，即，代入得 整理因式分解得： ， ， 故，即． 代入得：． ∴，代入 ∴ ∴当时，最小值为​． 14．（2026·云南昆明·二模）已知抛物线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，记． (1)求的值； (2)若点在该抛物线上，当时，函数的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】(1)2 (2)或 【分析】（1）抛物线对称轴，代入，对称轴可得，； （2）由（1）得抛物线解析式为，代入得，故，，分三种情况讨论：①，②，③，分别分析各个情况的最大值最小值，代入条件求t的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，对称轴是直线，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， ∵点在该抛物线上，， ∴， ∴，即，，， ∴， ∴， ∴， ， 该抛物线的顶点坐标为， 分三种情况讨论： ①当，即时， 当时，函数值最大：， 当时，函数值最小：， ∵函数的最大值与最小值之差为，即， ∴，解得：，符合； ②当，即时， 函数最小值为顶点纵坐标， ， 最大值最大能在或时取得， 当时，，当时，， 最大值减最小值最大只能为，不可能等于6， 故t不可能取到； ③当时， 当时，函数值最大， 当，函数值最小， ∴，解得：，符合； 综上所述：或． 15．（2026·河南平顶山·三模）定义：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． (1)对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是___________（填写正确结论的序号）． 该兴趣小组继续对二次函数进行探究，并设计了以下问题，请你解答． (2)若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． (3)在（2）的条件下，当时，对应函数的最大值与最小值的差为5，请求出b，c的值． 【答案】(1)②③ (2) (3)b，c的值分别为，或， 【分析】（1）根据新定义逐一进行判断即可； （2）一般式化为顶点式，求出顶点坐标，根据新定义即可得出对应的关系式； （3）分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：①当时，，故不是“不动点函数”； ②把点代入，得，解得， ∴是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③对于任意一个的值，点都在直线上，故是“不动点函数”，且有无数个不动点． 综上：正确的是②③； （2）解：∵， ∴顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴，即． （3）解：由（2），得． ∴函数图象为开口向上的抛物线，顶点坐标为． 分以下三种情况讨论： ①当时，由二次函数的性质，可知当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，；当时，y有最大值，． ∴，解得． ∵， ∴符合题意． 将代入，得． ∴，． ②当时，由二次函数的性质，可知当时，y随x的增大而减小． ∴当时，y有最大值，；当时，y有最小值，． ∴，解得， ∵， ∴符合题意， 将代入，得， ∴，． ③当时，函数在时取最小值，． Ⅰ．当时，函数在时取最大值，． ∴，即，解得． ∵， ∴不符合题意． Ⅱ．当时，函数在时取最大值，， ∴，即，解得． ∵， ∴不符合题意， 综上所述，b，c的值分别为，或，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题4.3 二次函数的图象与性质（二) 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01二次函数的性质 2知识清单 题型o1二次函数y=ax2+bx+c的最值 题型02一次函数、二次函数图象综合判断 二次函数的图象与性 题型03根据二次函数的图象判断式子符号 质（二） 题型04待定系数法求二次函数解析式 3题型精讲 题型05已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型06根据二次函数的对称性求函数值 题型07利用二次函数的对称性求最短路径 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.会用配方法熟练将二次函数一般式y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(&-h)+k。 教学目标 2.掌握项点坐标、对称轴的推导公式，能快速判断图象特征与函数增减性。 3.能运用函数性质解决最值相关问题，深化数形结合与化归思想。 1.重点 (1) 熟练掌握一般式化为顶点式的配方法步骤，牢记顶点坐标与对称轴公式。 (2)精准运用二次函数性质，分析图象特征、判断增减性并求解函数最值。 教学重难点 2.难点 (1)理解配方法转化函数形式的本质，灵活处理系数运算避免出错。 (2)结合对称轴与自变量取值范围，精准分析复杂情境下的函数最值。 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识清单 知识点01y=ax2+bx+c的图象与性质 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)图象与性质 函数 y=ax-+bx+c (a>0) y=ax-+bx+c (a<0) 图象的开口方向 向上 向下 b b 对称轴 直线易 x=- 直线2a b 4ac-b2 b 4ac-b2 顶点坐标 2a'4a 2a'4a 二次函数的增减性 函数 y=ax-+bx+c (a>0) y=ax-+bx+c (a<0) U x<- x<- 6 当 2a时，y随x的增大而增大： 增减性 当2a时，y随x的增大而诚小： b 当 2a时，y随x的增大而增达： x> 当 2a时，y随x的增大而诚小： 二次函数的最值 函数 y=ax-+bx+c (a>0) y=ax2+bx+c (a<0) b 4ac-b2 4ac-D X=- x=- 当 当 2a时，y有最大值4a 最值 2a时，y有最小值4a 无最大值： 无最小值 【即学即练】1，(2026九年级上全国专题练习)己知点A(-2,),B(1),C(3,乃)都在抛物线 y=x2-2x+1上，则，，乃的大小关系是() A.<2< B.H<<2 C.y2<y<y3 D.y2<< 2.(2026甘肃兰州中考真题)已知二次函数y=-x2+6x+1,下列结论正确的是 (填序 号) 2/15 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①函数图象与y轴的交点坐标是(0，)： ②函数图象的对称轴是直线x=3: ③当x>3时，y随x的增大而增大； ④当x=3时，函数的最大值是10. 3.(26-27九年级上浙江杭州开学考试)已知二次函数y=2-4ar+c(a,c是常数，a>0). (1)求该函数图象的对称轴： (2)当x≤m时，y随x的增大而减小，求m的范围： (3)已知点P(n,),(-3,2)都在二次函数y=a2-4a+c的图象上，若c<y<2,求n的取值范围. 题型精讲 题型01 二次函数y=ax2+bx+c的最值 【典例1】(26-27九年级上全国课后作业)二次函数y=-(x+'的最大值是() A.-2 B.-1 C.1 D.0 5.(2026陕西咸阳模拟预测)己知点(a,b)是抛物线y=mr-2mx+m+2m+1(0<m<)的顶点，则b的 值可能为() A.2 B.1 c.4 D.3 6.(26-27九年级上浙江温州开学考试)当-2≤x≤3时，函数y=-x2-2x+3有最大值 7.(26-27九年级上浙江温州开学考试)二次函数y=a(x-3-a,当-2≤x≤5时，y的最小值为6， 则a的值为. 题型02一次函数、二次函数图象综合判断 【典例1】(26-27九年级上河南开封阶段检测)以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示 y=ar2(a≠0)和y=ax+b(ab>0)的图象的是() 9.(2026九年级上·全国·专题练习)在同一平面直角坐标系中，二次函数y=2+bx与一次函数 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=br-a的图象可能是() 10.(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试)抛物线y=与直线y=x-2在同一个平面直角坐标系 中的图象可能是() 11.(25-26八年级下·重庆渝中期末)在同一坐标系内，二次函数y=a+5x+b的图象与一次函数 y=ax+b可能是() 题型03根据二次函数的图象判断式子符号 【典例1】(2026山东济宁·二模)已知二次函数y=ar+br+C(a≠0)的图象如图所示，下列结论：① 4/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2a+b=0:②a-b+c<0:③4a+2b+c>0:④am'+bm>a+b(m≠1)，其中正确的是() ix= A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 【变式1】(25-26九年级下山东烟台期中)二次函数y=ar'+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论： .6 ①abc<0;②2a+b<0: ③3+<2例：④若1<m<n<1,则m+m<石.其中正确的结论有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【变式2】(25-26九年级上山东泰安期末)如图是二次函数y=ar+br+c(a≠0)图像的一部分，对称 轴为x=2且经过点(2,0)，有下列说法：①abc<0:②a+b=0:③4a+2b+c<0:④若(0，片)，(02)是 抛物线上的两点，则=2，上述说法正确的是一（填序号）· 【变式3】(25.26九年级下全国单元复习》如图，二次西数y=心+r+c口≠0)的图象经过点0， 对称轴为直线x=1,下列结论：①abc<0:②a-2b+4c=0;③2a+b>0;④a+b≤m(am+b)(其中 m≠1)；⑤b-C>0;正确的结论有一.（填序号） 5/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA 题型04待定系数法求二次函数解析式 【典例1】(2026江苏扬州：一模)己知抛物线片顶点坐标为(-1,2)，且与少=x的开口方向、形状大小 完全相同，则抛物线的解析式为() A.y=(x-1)+2B.y=(x+1+2C.y=-(x+1)2+2D.y=-(x-1)+2 【变式1】(25-26九年级下河南驻马店期中)若二次函数y=a2的图像过点（山，2），则a的值为 【变式2】(2026河南·一模)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y 轴交于点C(0,3),则该二次函数的解析式为一 【变式3】(2026九年级下山东聊城专题练习)如图，二次函数y=x+bx+C的图象与x轴交于A,B两 点，与y轴交于点C,且关于直线x=1对称，点A的坐标为(-1,0) (1)求二次函数的表达式。 (2)当y<0时，写出x的取值范围. 题型05已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例1】(2026河北张家口三模)抛物线L:y=axr2+br+C(a≠0)经过点(1，-)，(0，-)，(1，)， (2,-),则下列选项中，值不变的是（) 6/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.t-k B C.k-2t D.tk 【变式1】(2025九年级上全国专题练习)已知二次函数y=ax+br+c(a>0)的图象过点 A(,”),B(3,),若点C(山，片)，D(0,),E(6,乃)也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是() A.<2<B.y2<y< C.<y<2 D.y<<2 【变式2】(25-26九年级下全国单元复习)抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是(-1,0)，(3,0)，那么这 条抛物线的对称轴是直线一。 【变式3】(25-26九年级上·河南安阳阶段检测)二次函数y=ax+br+c(a≠0)图象上部分点的坐标满 足下表： 0 8 0 则m= 题型06 根据二次函数的对称性求函数值 【典例1】(25-26九年级上湖北恩施阶段检测)用描点法画二次函数y=ar2+br+c(0)的图象时， 列出了下面的表格： -2 -1 0 -2 从表中信息可得值为() A.0 B.-1 C.-2 D.1 【变式1】(26-27九年级浙江暑假作业)如图，抛物线y=am2+br+c(a>0)的对称轴是直线x=1,且 经过点P3,0),则a-b+c的值为() 2 1 P -10 123x A.0 B.-1 C.2 D.3 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(26-27九年级浙江暑假作业)若A(-4,,B(-3,),C(1,)为二次函数y=(x+2+C的 图象上的三点，则少，，的大小关系是 【变式3】设二次函数y=ar+br+c(a,b,c是常数，a≠0)，如表列出了x,y的部分对应值. -5 -3 -2.79 -2.79 则方程ax2+br+c=n的解是 题型07利用二次函数对称性求最短路径 【典例1】(26-27九年级浙江暑假作业)如图，抛物线yx-2x-3与y轴交于点A,与x轴的负半轴 交于点B,点M是对称轴上的一个动点，连接AM,BM,则AM+BM的最小值为() A.2 B.V10 C.25 D.32 【变式1】(25-26九年级下·河北单元复习)如图，抛物线y=- x+x+4与x轴交于A,B两点， 4 抛物线上一点，其横坐标为3，C为抛物线对称轴上一动点，连接4C,PC,当PC+AC取得最小值时， tan∠BAC的值为（) A OE A. 3 B.3 D. √2 3 c 4 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(2026湖南长沙模拟预测)如图，抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A(-3,0)、B两点，与y轴 交于C(O,3)点，M点在抛物线的对称轴x=-1上，当△MBC周长最小时，点M的坐标为. 【变式3】(2026辽宁·一模)如图.点A(3,0)中，点B是x轴上一动点，以点B为旋转中心，将线段B0 逆时针旋转90°，得到线段BC,连接AC,则线段AC的最小值为一. 强化训练 基础自测 、 单选题 1.(26-27九年级上全国课后作业)函数y=ax和y=-r+a(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可 能为() 2.(2026九年级上全国专题练习)已知二次函数y=a2+bx+C的图像如图所示，则下列结论正确的 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是() 1 o 1/ 2 A.a>0 B.b>0 C.c<0 D.a+b+c>0 3.(26-27九年级上吉林长春阶段检测)若A(m-4,m),B(3m,m)在抛物线y=2(x-1)+3上，则m的值 为() A.1 B.1.5 C.-0.5 D.0.5 4.(25-26九年级下山西运城期末)二次函数y=+br+C(a≠0)的自变量x与函数y部分对应值如下 表 -3 -2 0 7 0 -8 -5 7 下列说法错误的是() A.对称轴为直线x=1 B.x>1时，y随x的增大而增大 C.顶点坐标为(0，-8) D.此函数有最小值 5. (25-26八年级下·江苏南通期末)二次函数y=a2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值如表： x的值 0 2 y的值 -22 2 5 当x=3时， 函数y的值是() A.2 B.5 C.-7 D.-22 二、填空题 6.(25-26九年级上广东东莞阶段检测)抛物线y=-x+6x-7的最大值是 7.(26-27九年级上黑龙江大庆开学考试)二次函数y=+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值如 表： x的值 -2 1 0 9 y的值 -22 -7 2 5 2 10/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当x=3时，函数y的值是 8.(25-26九年级上山东滨州期末)已知二次函数y=2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个 结论： ①abc<0:②b>a+c;③4a+2b+c<0:④2c<3b:⑤a+b<m(am+b),(m≠1的实数).其中正确结 论的序号为 X= 三、解答题 9.(25-26九年级上山东临沂期中)已知二次函数y=x2+bx+c. (1)若点P(-2,c在该函数图象上，求此函数图象的对称轴： (2)在(1)的基础上，若c=-3,当-5≤x≤1时，求二次函数的最大值： (3)若该函数在x≤1时，y随x增大而减小；在x≥3时，y随增大而增大，请求出b的取值范围 10.(24-25九年级下北京开学考试)在平面直角坐标系xOy中，M(x,),N(x,2)是抛物线 y=a(x-+k(a>0)上任意两点 (1)若对于x=0,1=1,有=y2,求x2的值： (2)若对于0<x<1,1+1<x2<1+2,都不存在=，求t的取值范围. 11.(26-27九年级上·浙江杭州阶段检测)已知抛物线Cy=(x-1)-3,现将该函数图象向右平移2个单 位，向上平移5个单位得到抛物线C2. (1)求抛物线C2的解析式. (2)当-2≤x≤3时，求抛物线C2的最大值和最小值 12.(25-26九年级上湖北武汉阶段检测)如图，抛物线y=m2+br+3(a≠0)与x轴交于A,B两点，与 y轴交于点C.已知点A的坐标是(-1,0)，抛物线的对称轴是直线x=1. 11/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 图1 图2 (1)直接写出点B的坐标： (2)在图1中，用无刻度直尺作出C点的对应点D (3)在图2中，用无刻度直尺在对称轴上作出点P,使PA+PC的值最小.求点P的坐标和PA+PC的最小值 能力提升 一、单选题 1.(26-27九年级上海暑假作业)当x=0.5时，y=8x2-4x+1的函数值为() A.0 B.1 C.2 D.3 2.(2026广东二模)已知二次函数y=ar2-2ax+2(a>0)的图象如图所示，图象与x轴交点的横坐标从 左到右依次为，x2,如果x=m时，y<0,则当x=m-2时，函数值() A.y=2 B.y<2 C.y>2 D.0<y<2 3.(2026四川成都模拟预测)如图，二次函数y=a2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3,0),对 称轴为直线x=1,下列结论中错误的是() 12/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x= A.abc>0 B.当x>1时，y随x的增大而增大 C.二次函数图形与x轴的另一个交点的横坐标为-1 D.4a-2b+c<0 k 4.(2026宁夏固原三模)已知二次函数y=a2+c（ac≠0)与反比例函数y=:(k≠0)在同一平面 直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数y=-a的大致图象是() 5. (2026陕西西安：模拟预测)己知关于x的二次函数y=2a2-4ax+3,当x=1时，该二次函数有最大 值.若该函数图象经过两点4，)，B(3-1,),且0<1<2，则下列关系正确的是（) A.y>y2 B.y<2 C.y=y2 D.为≥y2 二、填空题 6.(2425九年级上云南昭通阶段检测)己知二次函数图象经过点(3,2)和(1,2)，那么该二次函数图象 的对称轴是直线 7.(26-27九年级浙江暑假作业)抛物线y=a2+bx+2经过点（-2,3)，则2a-b= 8.(2026广东珠海三模)二次函数y=ax2+bx+C(a≠0)的最小值为-3，当x>1时，y随x增大而增大， 请写出一个满足条件的二次函数解析式 (请写项点式)· 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 9.(2026上海模拟预测)若抛物线y=x2-6mx+6m+5m+3的顶点在直线y=x+2上，且位于第二象限， 则m的值为 l0.(2023九年级山东枣庄·专题练习)二次函数y=ar+br+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点 （-l,0),对称轴为直线x=2,下列结论：(1)abc<0;(2)4a+c>2b;(3)3b-2c>0;(4)若点 《-2,0小点-以、点C月在该函数图象上，则<5<：(5)a+2b≥mm+)(m为 常数)·其中正确的结论有一个 三、解答题 11.(2425九年级上湖北省直辖县级单位·期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar2+br+3与x 轴相交于A,B两点，点B的坐标为(3,0)，若点C(2,3)在抛物线上. VA (1)求该抛物线的解析式： (2)通过配方，求此抛物线的对称轴和顶点坐标。 12.(25-26九年级下·全国课后作业)己知二次函数y=x2-4x+2. (1)求出函数顶点坐标： (2)当x>2时，y随x的增大而 (填“增大”或“减小”)： (3)当1≤x≤4时，y的取值范围为. 13.(2026安徽合肥·二模)抛物线=x2+mx+n的顶点纵坐标与抛物线2=-x-mx的顶点纵坐标之和为 1. 14/15 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求n的值. (2②)已知A(s,)为抛物线y=x2+mx+n上一点，B(p,9）为抛物线为=-X2-mx上一点. (i)若仅存在一个实数5，使得S+t=0,求当卫+q=0时，p的值； (i)若p=s+2,且t+9=1,求p+9的最小值. 14.(2026云南昆明二模)已知抛物线y=x+bx+5,当x<1时，y随x的增大而减小，当x>-1时， y随x的增大而增大，记月=m-2m m3 (1)求b的值： (2)若点M(m,3m+7)(m≠0)在该抛物线上，当t≤x≤t+2时，函数的最大值与最小值之差为6H,求t的值. 15.(2026河南平顶山三模)定义：对于一个函数，如果存在自变量，=m时，其对应的函数值%=m, 那么我们称该函数为“不动点函数”，点(m,m)为该函数图象上的一个不动点.例如：在函数y=x中， 当x=1时，y=1,则我们称函数y=x为“不动点函数”，点(，)为该函数图象上的一个不动点.某数学 兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究. ()对一次函数y=:+b(:≠0)进行探究后，得出下列结论： ①y=x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点： ②y=-3x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点： ③少=x是“不动点函数”，且有无数个不动点 以上结论中，你认为正确的是 (填写正确结论的序号). 该兴趣小组继续对二次函数进行探究，并设计了以下问题，请你解答. (②)若抛物线y=x-2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b,c满足的关系式. (3)在(2)的条件下，当0≤x≤2时，对应函数的最大值与最小值的差为5，请求出b,c的值. 15/15