专题01 集合14大重点题型（举一反三期中专项训练）高一数学上学期人教A版必修第一册

专题01 集合14大重点题型（期中专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 集合的概念 1．（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 2．（25-26高一上·福建莆田·期中）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数 C．关于方程的实数解 D．中国著名的数学家 3．（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海·期中）下列所给对象不能组成集合的是____________． （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某班16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生． 5．（25-26高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由． (1)我国现在的直辖市； (2)比较小的自然数的全体； (3)数轴上到坐标原点距离是2的点的全体； (4)比2小的质数． 题型2 判断元素与集合的关系 6．（25-26高一上·天津武清·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26高一上·天津·期中）下列表述中正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·贵州遵义·期中）下列关系：①；②；③；④；⑤，正确的个数为（       ） A．5 B．4 C．3 D．2 9．（25-26高一上·上海浦东新·期中）用“”和“”表示，1____________N. 10．（25-26高一上·北京·期中）已知集合具有性质对任意、，与至少一个属于. (1)直接写出集合与是否具有性质． (2)具有性质，当时，求集合； (3)记，求． 题型3 元素与集合关系中的参数问题 11．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 12．（25-26高一上·河南洛阳·期中）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 13．（25-26高一上·河北邯郸·期中）若，则（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 14．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则____________. 15．（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 题型4 集合中元素的个数问题 16．（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 17．（25-26高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 18．（25-26高一上·四川成都·期中）由单词“happy”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 19．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，若中只有一个元素，则的值构成的集合为____________． 20．（25-26高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 题型5 有限集合子集、真子集的确定 21．（25-26高一上·河南新乡·期中）已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A．32 B．31 C．16 D．15 22．（25-26高一上·河南·期中）设集合，，则B的非空子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 23．（25-26高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 24．（25-26高一上·山东德州·期中）已知集合，集合，若，记的所有取值构成的集合为，则集合的子集个数为_____________. 25．（25-26高一上·福建福州·期中）设集合，若，将中所有数的和记为的容量（若为空集，规定的容量为0）.若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集. (1)若，写出的所有奇子集； (2)求出的奇子集个数（用表示）； (3)求证：时，的所有奇子集的容量之和为. （参考公式：） 题型6 判断集合间的关系 26．（25-26高一上·北京大兴·期中）下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高一上·福建·期中）集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 29．（25-26高一上·上海闵行·期中）下列写法中，正确的有___________. ①；②；③；④. 30．（25-26高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等腰三角形}，是等边三角形}. 题型7 根据集合间的关系求参数 31．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知集合，，若，则实数的取值集合是（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·福建福州·期中）已知，若集合，则（    ） A． B．1 C． D．2 33．（25-26高一上·安徽六安·期中）已知集合，若，则实数的取值集合为____________. 34．（25-26高一上·河北衡水·期中）已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 35．（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 题型8 空集的性质及应用 36．（25-26高一上·山东济南·期中）下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 37．（25-26高一上·河北·期中）下列各结论中，正确的是（   ） A．是空集 B．空集没有子集 C． D．与不是相同的集合 38．（25-26高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 39．（25-26高一上·北京·期中）下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为____________. 40．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 题型9 交集、并集、补集运算 41．（25-26高一上·广西贺州·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 42．（25-26高一上·贵州遵义·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 43．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 44．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，则____________． 45．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知集合， (1)求； (2)若全集，求. 题型10 交、并、补集的混合运算 46．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 47．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·期中）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 48．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知全集，且，则 =____________. 49．（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 50．（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，，，，，为实数集. (1)求，； (2)求，. 题型11 集合的基本运算中的参数问题 51．（25-26高一上·天津和平·期中）设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 52．（25-26高一上·北京西城·期中）已知集合，，若，则实数的值可以为（   ） A． B．0 C． D．5 53．（25-26高一上·四川凉山·期中）已知集合且满足，则实数的取值范围为_____________. 54．（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 55．（25-26高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 题型12 Venn图表达集合的关系和运算 56．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 57．（25-26高一上·江苏苏州·期中）如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 58．（25-26高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 59．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为____________．    60．（25-26高一上·福建福州·期中） 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 题型13 容斥原理的应用 61．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 62．（25-26高一上·甘肃白银·期中）某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其中参加机器人社的有30人，参加编程社的有20人，参加航模社的有30人，同时机器人社和编程社的有10人，同时参加机器人社和航模社的有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参加的学生人数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 63．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 64．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年暑期档票房前三名.高一（1）班共有30名同学，有17人观看了《南京照相馆》，有11人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有5人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的有_________人. 65．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知集合为非空实数集，定义：，（注：和可相等，也可不相等）. (1)若集合，写出集合，； (2)若集合，，且，求的值； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 题型14 集合新定义 66．（25-26高一上·重庆·期中）定义集合运算．已知非空集合A和B，且，若，则满足题意的不同的B的个数为（   ） A．1 B．4 C．7 D．8 67．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（   ） ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若，都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，，总有. A．1 B．2 C．3 D．4 68．（25-26高一上·北京·期中）给定数集，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，则下列所有正确命题的序号是____________. ①集合是闭集合； ②正整数集不是闭集合； ③集合是闭集合； ④若集合、为闭集合，则为闭集合. 69．（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 70．（25-26高一上·北京房山·期中）设集合为正整数集的非空子集，对于任意，定义运算，若所有这些运算结果构成的集合记为，则称为集合的倍差集． (1)当时，写出集合的倍差集； (2)设集合，若其倍差集中恰好有两个元素，求的值； (3)若是由4个正整数构成的集合，求其倍差集中元素个数的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合14大重点题型（期中专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 集合的概念 1．（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 【答案】C 【解题思路】利用集合元素的确定性，逐项判断可判断每个选项的正误. 【解答过程】对于A，“成绩好”没有具体的标准，所以班级里成绩好的同学是不确定的， 故班级里成绩好的同学不能构成集合，故A不符合题意； 对于B，“漂亮的花朵”没有具体的标准，所以校园里漂亮的花朵是不确定的， 所以校园里漂亮的花朵不能构成集合，故B不符合题意； 对于C，小于5的正整数是确定的，故小于5的正整数能构成集合，故C符合题意； 对于D，“喜欢运动”没有明确的标准，所以喜欢运动的人是不确定的， 故喜欢运动的人不能构成集合，故D不符合题意。 故选：C. 2．（25-26高一上·福建莆田·期中）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数 C．关于方程的实数解 D．中国著名的数学家 【答案】D 【解题思路】根据集合的意义，逐项判断即可. 【解答过程】对于A，中国古代四大发明可以明确可知，故可以构成集合； 对于B，小于5的正整数明确可知，可以构成集合； 对于C，关于方程的实数解有明确的解，可以构成集合； 对于D，中国著名的数学家，对著名没有明确的标准，不可以构成集合. 故选：D. 3．（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【解答过程】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 4．（25-26高一上·上海·期中）下列所给对象不能组成集合的是____________． （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某班16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生． 【答案】（1）（3） 【解题思路】结合集合中元素的“确定性”、“互异性”逐一分析即可. 【解答过程】“难题”没有判断标准，无法判断一道题是否属于难题，不满足集合中元素的“确定性”，故（1）不能组成集合； 某班16岁以下的学生可以组成一个集合，16及16岁以上的学生则不在集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（2）可以组成集合； “大个子”没有判断标准，不知身高多少才能称为大个子，不满足集合中元素的“确定性”，故（3）不能组成集合； 某学校身高超过1.80米的学生可以组成一个集合，身高等于或低于1.80米的学生则不再集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（4）可以组成集合； 故答案为：（1）（3）. 5．（25-26高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由． (1)我国现在的直辖市； (2)比较小的自然数的全体； (3)数轴上到坐标原点距离是2的点的全体； (4)比2小的质数． 【答案】(1)能组成集合，为有限集 (2)不能组成集合，因为标准不明确 (3)能组成集合，为有限集，其中有2个元素 (4)能组成集合，为空集 【解题思路】（1）根据集合的定义判断； （2）根据集合的定义判断； （3）根据集合的定义判断； （4）根据集合的定义判断． 【解答过程】（1）我国现在的直辖市只有4个，能组成集合，是有限集； （2）“比较小的自然数”这个标准不明确，不能组成集合； （3）数轴上到坐标原点距离是2的点只有2和两个，能组成集合，是有限集； （4）没有比2小的质数，因此能组成集合，是空集． 题型2 判断元素与集合的关系 6．（25-26高一上·天津武清·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】利用常用数集的范围和元素与集合的关系即可判断. 【解答过程】因为，，，分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集； 是正整数，即，故①错误；是整数，即，故②错误； 是无理数，故③错误；是实数，故④正确；是有理数，故⑤正确. 故选：B. 7．（25-26高一上·天津·期中）下列表述中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据数集和点集的区别可判断A，根据空集的定义可判断B，根据自然数集和有理数集的定义可判断CD. 【解答过程】是点集，是数集，故A错误； 是含有元素0的集合，空集是不含任何元素的集合，故B错误； 0是自然数，所以，故C正确； 是有理数，故，故D错误. 故选：C. 8．（25-26高一上·贵州遵义·期中）下列关系：①；②；③；④；⑤，正确的个数为（       ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解题思路】根据数量集及元素与集合、集合与集合的关系逐个判断即可. 【解答过程】①是实数，是实数集，，正确； ②，是自然数，是自然数集，，错误； ③是无理数，是有理数集，，错误； ④是自然数，，正确； ⑤空集是任何集合的子集，，正确. 综上①④⑤正确，正确的个数为. 故选：C. 9．（25-26高一上·上海浦东新·期中）用“”和“”表示，1____________N. 【答案】 【解题思路】根据元素与集合之间的关系解题. 【解答过程】N为自然数集，则. 故答案为：. 10．（25-26高一上·北京·期中）已知集合具有性质对任意、，与至少一个属于. (1)直接写出集合与是否具有性质． (2)具有性质，当时，求集合； (3)记，求． 【答案】(1)集合具有性质，集合不具有性质 (2) (3) 【解题思路】（1）根据性质的定义判断即可得出结论； （2）根据可判断，根据得，而可得，即可求解； （3）根据结合条件可得可得，，，，，即可利用累加法得，进而可求解. 【解答过程】（1）集合中，因为，，所以，不具有性质， 集合中，因为，，， ，，，，所以具有性质. （2）因为，且具有性质， 由于，所以，则，所以， 又因为，所以，则， 由集合的互异性可知，，而，所以， 故集合. （3）因为具有性质， 所以，则，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，则， 而时， 所以，，，，， 所以， 即， 所以，故. 题型3 元素与集合关系中的参数问题 11．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【解题思路】根据元素与集合的关系及元素的互异性求解即可. 【解答过程】由题意，是集合的元素，则或，解得或. 根据集合元素的互异性检验：当 时，且，集合中出现重复元素，故舍去； 当 时，，，集合，符合题意. 综上，. 故选：D. 12．（25-26高一上·河南洛阳·期中）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 【答案】C 【解题思路】分和两种情况讨论，注意集合中元素的互异性. 【解答过程】因为，， 当时，则，此时，不符题意； 当时，解得或（舍去）， 若，则，符合题意， 综上所述，. 故选：C. 13．（25-26高一上·河北邯郸·期中）若，则（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】B 【解题思路】由集合中元素的互异性讨论求解即可. 【解答过程】已知， 若，则， 当时，，不符合题意，当时，，符合题意； 若，则，，不符合题意. 故选：B. 14．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则____________. 【答案】1 【解题思路】根据进行一一验证可得. 【解答过程】因，所以 当时，即，此时，元素重复，不符合题意； 当时，即或，由上可知不符合题意， 而时，，元素重复，不符合题意； 当，即或， 由上可知不符合题意，而时，，符合题意. 故答案为：1. 15．（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【解答过程】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 题型4 集合中元素的个数问题 16．（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用列举法求出集合即可. 【解答过程】集合，，则集合， 所以集合中的元素个数是7. 故选：C. 17．（25-26高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【解题思路】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值. 【解答过程】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素. 当时，方程是一元二次方程. 因为集合有且只有一个元素， 所以.解得. 综上，实数的值为或. 故选：C. 18．（25-26高一上·四川成都·期中）由单词“happy”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】根据集合的互异性可得出答案. 【解答过程】根据集合的互异性，， 所以集合中的元素个数为. 故选：B. 19．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，若中只有一个元素，则的值构成的集合为____________． 【答案】 【解题思路】根据题意分情况讨论即可求得结果，当时，满足题意；时，只需让判别式等于零即可. 【解答过程】当时，解得，满足题意； 当时，此时，解得， 所以的值构成的集合为， 故答案为：. 20．（25-26高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【解题思路】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【解答过程】（1）由于， 所以是的实数根， 故，故； （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或. 题型5 有限集合子集、真子集的确定 21．（25-26高一上·河南新乡·期中）已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】B 【解题思路】根据集合元素的约束条件先确定的所有可能的值，再依次代入不等式，确定的值，即得集合以及其真子集个数. 【解答过程】因为，所以，又，所以， 结合，可得： 当时，；当时，；当时，； 所以， 即中有5个元素，则集合的真子集个数为． 故选：B． 22．（25-26高一上·河南·期中）设集合，，则B的非空子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【解题思路】根据集合的含义得到集合的元素，然后求非空子集个数即可 【解答过程】要使，，则，故B中含有三个元素， 所以B的非空子集有，，，，，，共7个． 故选：C. 23．（25-26高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 【答案】B 【解题思路】根据子集概念分析即可求解. 【解答过程】， 集合的所有子集有：， ， 1，3，5，7分别在子集中各出现8次，. 故选：B． 24．（25-26高一上·山东德州·期中）已知集合，集合，若，记的所有取值构成的集合为，则集合的子集个数为_____________. 【答案】8 【解题思路】接着分别和求出B结合求集合C，进而可得其子集个数. 【解答过程】因为集合，集合，且， 当时，则，满足； 当时，则，可得或，解得或； 综上所述：，集合的子集个数为. 故答案为：8. 25．（25-26高一上·福建福州·期中）设集合，若，将中所有数的和记为的容量（若为空集，规定的容量为0）.若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集. (1)若，写出的所有奇子集； (2)求出的奇子集个数（用表示）； (3)求证：时，的所有奇子集的容量之和为. （参考公式：） 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）由奇子集定义可得答案； （2）对于给定的中元素1，将所有的奇子集划分为含1与不含1两类，可得奇子集与偶子集一一对应，据此可得答案； （3）将所有的奇子集对于其中某一元素分类，分为含的奇子集与不含的奇子集，类似于（2）中解析，可得在所有个奇子集中，每个元素均出现次，据此可得答案. 【解答过程】（1）奇子集为：； （2）对于给定的中元素1，将所有的奇子集划分为含1与不含1两类，所有含1的奇子集去掉1，则变为不含1的偶子集，所有不含1的奇子集加入1，则变为含1的偶子集. 对所有偶子集亦做同样分析，可得奇子集与偶子集一一对应，故其数量相等， 个元素的集合其子集数量为，故奇子集的数量为其一半，即. （3）证明：将所有的奇子集对于其中某一元素分类，分为含的奇子集与不含的奇子集. 若为奇数，含的奇子集去掉，则变为不含的偶子集； 不含的奇子集加入，则变为含的偶子集. 显然：含的奇子集与不含的偶子集个数相同，不含的奇子集与含的偶子集个数相同. 且由（2）知，任意整数集合的奇子集与偶子集个数一样. 将中去掉构成的集合，其偶子集为原中不含的偶子集， 其奇子集为原中不含的奇子集，二者个数相同.故在所有的奇子集中， 含与不含的个数相同. 若为偶数，同理可得相同结论. 故在所有个奇子集中，每个元素均出现次. 所以的所有奇子集的容量之和为所有元素之和乘以， 即，证毕. 题型6 判断集合间的关系 26．（25-26高一上·北京大兴·期中）下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空集的定义和元素与集合、集合与集合的关系判断即可. 【解答过程】因为中没有任何元素，故A错误； ，故B错误； 因为是任何集合的子集，故C正确； 由于，故D错误． 故选：C． 27．（25-26高一上·福建·期中）集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据集合包含关系的定义和集合相等的定义判断即可. 【解答过程】根据集合的概念可知集合表示所有被除余的数以及所构成的集合， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 所以， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 任取，则，，所以，， 又，，所以， 综上， 故选：A. 28．（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用相等集合的定义逐一判断可得. 【解答过程】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误； 对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确； 对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误； 对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误. 故选：B. 29．（25-26高一上·上海闵行·期中）下列写法中，正确的有___________. ①；②；③；④. 【答案】① 【解题思路】根据元素与集合，集合与集合关系可判断. 【解答过程】空集是任何非空集合的真子集，故①正确，②错误，，故③错误，空集是不含任何元素的集合，故④错误. 故答案为：①. 30．（25-26高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等腰三角形}，是等边三角形}. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】根据子集和真子集的定义，结合已知中给定集合，逐一分析，可得结论． 【解答过程】（1）中唯一元素， 又， 所以； （2）， 的元素都是的元素，而的元素不是的元素， 所以； （3）是等腰三角形}，是等边三角形}， 又∵为等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形； 所以. 题型7 根据集合间的关系求参数 31．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知集合，，若，则实数的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】化简集合，再对分为三种情况讨论得解. 【解答过程】因为，， 若，则有或或， 当时，则； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 故实数的取值集合是. 故选：A. 32．（25-26高一上·福建福州·期中）已知，若集合，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解题思路】根据集合相等的定义，以及集合中元素的互异性，求得的值，代入计算，即可求解. 【解答过程】由集合，可得，即，所以， 若，此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，解得或（舍去）， 综上可得，，， 所以 故选：C. 33．（25-26高一上·安徽六安·期中）已知集合，若，则实数的取值集合为____________. 【答案】 【解题思路】根据集合关系讨论的范围即可求解. 【解答过程】由题意得，， 当时，，满足； 当时，，则或，解得或. 综上，实数的取值集合为. 故答案为：. 34．（25-26高一上·河北衡水·期中）已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据判别式求解出结果； （2）分类讨论和，列出不等式组求解出的取值范围. 【解答过程】（1）因为有实根， 所以，解得， 所以. （2）因为， 当时，满足，此时，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上所述，的取值范围是或. 35．（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据两个集合相等得出一元二次方程有两个实数根代入联立方程组解出检验即可； （2）由，分与讨论分析即可. 【解答过程】（1）若，则和是方程的两个实数根， 所以， 解得，代入中得：， 解得：或，满足， 所以. （2）当时，，满足， 当且时，或， 当时，，                         当时，，                          故的取值构成的集合为. 题型8 空集的性质及应用 36．（25-26高一上·山东济南·期中）下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空集的性质和子集的概念得到答案. 【解答过程】由于是的一个子集，故，B正确，AD错误，C选项，空集不是的元素，故C错误. 故选：B. 37．（25-26高一上·河北·期中）下列各结论中，正确的是（   ） A．是空集 B．空集没有子集 C． D．与不是相同的集合 【答案】C 【解题思路】根据定义逐项判断即可. 【解答过程】A：是含有一个元素的数集，故错误； B：因为空集是任何集合的子集，故错误； C：因为是自然数集，所以，故正确； D：由元素具有无序性可知，与是相同的集合，故错误； 故选：C. 38．（25-26高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据的定义与性质结合元素与集合的关系逐项分析判断. 【解答过程】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. 39．（25-26高一上·北京·期中）下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为____________. 【答案】②④⑥ 【解题思路】根据空集的定义逐项判断即可. 【解答过程】①集合中含有一个元素，故不是空集； ②因为，，故是空集； ③集合中含有一个元素，故不是空集； ④是空集； ⑤集合中含有一个元素，故不是空集； ⑥因为方程没有实数解，故是空集； 故答案为：②④⑥. 40．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【解题思路】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【解答过程】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 题型9 交集、并集、补集运算 41．（25-26高一上·广西贺州·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据交集的定义求解即可. 【解答过程】因为集合，， 所以. 故选：C. 42．（25-26高一上·贵州遵义·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意结合集合的并集运算求解即可. 【解答过程】因为集合，， 所以 . 故选：A. 43．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合补集的定义即可得解. 【解答过程】， ， 故选：B. 44．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，则____________． 【答案】 【解题思路】令即可得到，再根据交集含义即可得到答案. 【解答过程】当时，，则. 故答案为：. 45．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知集合， (1)求； (2)若全集，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用交集的定义运算即可. （2）根据补集及并集的定义运算即可. 【解答过程】（1）因为，， 所以. （2）因为，所以， 所以. 题型10 交、并、补集的混合运算 46．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意结合集合的补集和交集运算求解即可. 【解答过程】因为，，则， 且，所以 . 故选：D. 47．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·期中）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据集合的交并补运算求解即得. 【解答过程】因，， 则，. 故选：C. 48．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知全集，且，则 =____________. 【答案】 【解题思路】根据题设画出Venn图即可求解. 【解答过程】由题意， 知全集， 又， 画出Venn图如下图所示， 即得. 故答案为：.    49．（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】根据集合的交并补的定义分别计算各小题即可. 【解答过程】（1）因为，， 所以. （2）因为，，所以或， 所以或. （3）因为，，所以或， 所以. 50．（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，，，，，为实数集. (1)求，； (2)求，. 【答案】(1)； (2)； 【解题思路】（1）根据题意，求得，结合集合交集、并集和补集的运算，即可求解； （2）根据题意，利用交集与补集的运算，即可求解. 【解答过程】（1）解：由集合， 因为，，可得， 则. （2）解：因为，可得， 又因为，所以. 题型11 集合的基本运算中的参数问题 51．（25-26高一上·天津和平·期中）设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分和两种情况进行讨论分析，可得实数m的取值范围. 【解答过程】当，即时，，此时，符合题意； 当，即时，， 由，得，或. 解得，或. 综上所述，实数m的取值范围为，或，或， 即. 故选：D. 52．（25-26高一上·北京西城·期中）已知集合，，若，则实数的值可以为（   ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【解题思路】解不等式化简集合A，根据可得，结合选项分析判断. 【解答过程】因为集合，， 若，则， 结合选项可知：ABD错误，C正确； 故选：C. 53．（25-26高一上·四川凉山·期中）已知集合且满足，则实数的取值范围为_____________. 【答案】 【解题思路】先求得时，实数的取值范围，再取补集即可. 【解答过程】当时， ， 若，则，即，此时满足； 若，则，即，此时若要使得， 则还需或，解得或， 注意到此时，从而此时满足题意的的范围为或； 综上时，实数的取值范围为. 所以时，实数的取值范围为. 故答案为： . 54．（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【解题思路】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求得. 【解答过程】（1），. 因为，所以，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则，此时. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 55．（25-26高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；或. (2) 【解题思路】（1）首先解二次不等式求得集合，然后将代入确定集合，最后根据集合的交、并、补运算法则进行求解即可； （2）首先根据集合间运算的结果可得，然后分和两种情况分类讨论求解参数取值范围即可 【解答过程】（1）由不等式，解得：或，因此可得：或， 将代入集合中可得：， 因此或； 又或，得：或. （2）选①由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选②由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选③由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述，. 题型12 Venn图表达集合的关系和运算 56．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据交集、并集、补集的概念求出. 【解答过程】，则， 又，则图中阴影部分表示的集合是. 故选：D. 57．（25-26高一上·江苏苏州·期中）如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意可得阴影部分为，再进行求解即可. 【解答过程】由图可得阴影部分可表示为. 故选：D. 58．（25-26高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解题思路】根据阴影部分对应的集合分别判断①②③④即可. 【解答过程】由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确； 因为，， 所以，故①正确； ，故④错误. 所以正确的有3个. 故选：C. 59．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为____________．    【答案】 【解题思路】利用Venn图得出阴影部分表示的集合为，再利用交集、补集的概念和运算规则求解． 【解答过程】由Venn图可知，图中阴影部分区域表示为， ，， 或， ， 或， 故答案为：． 60．（25-26高一上·福建福州·期中） 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由Venn图阴影部分可用集合表示，再由集合的交集与补集运算可得； （2）先将条件转化为，再按集合是否为空集分类讨论，结合包含关系求解参数的范围. 【解答过程】（1）图中阴影部分可用集合表示. 因为，或， 所以， 则图中阴影部分表示． （2）因为，或， 由，得， 所以当时，，解得，符合题意； 当时，或， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，的取值范围为． 题型13 容斥原理的应用 61．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【答案】A 【解题思路】根据选择三类项目的人数，得出选择两类项目和一类项目的人数，求和可得答案. 【解答过程】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人， 只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人， 只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图， 所以班级人数为：. 故选：A. 62．（25-26高一上·甘肃白银·期中）某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其中参加机器人社的有30人，参加编程社的有20人，参加航模社的有30人，同时机器人社和编程社的有10人，同时参加机器人社和航模社的有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参加的学生人数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【解题思路】根据容斥原理进行求解即可. 【解答过程】设参加机器人社、编程社、航模社的学生集合分别为，三个社团都参加的人数为， 则根据容斥原理可得 ， 所以，解得. 故选：A. 63．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解题思路】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合，关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合，利用韦恩图求解. 【解答过程】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合， 关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合， 由题可得，，，，，， 如图，可得 ， ，即得， 所以只关注了“紫东太初3.0”的人数为. 故选：C. 64．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年暑期档票房前三名.高一（1）班共有30名同学，有17人观看了《南京照相馆》，有11人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有5人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的有_________人. 【答案】7 【解题思路】用集合的观点，通过画出相应的图，根据已知人数关系列方程求解同时观看的人数，进而可求只观看了《长安的荔枝》的人数. 【解答过程】不妨将观看了《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 根据题意，画出相应的图，在相应的位置填上数字， 则，解得， 因此有4人同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》， 所以只观看了《长安的荔枝》的有人. 故答案为：. 65．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知集合为非空实数集，定义：，（注：和可相等，也可不相等）. (1)若集合，写出集合，； (2)若集合，，且，求的值； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)67. 【解题思路】（1）根据给定的定义，直接计算即得集合. （2）根据给定的定义求出集合，再利用集合相等求出. （3）设集合 ，求出对应的集合，再由建立不等式关系，求出对应的值即可. 【解答过程】（1）集合，则， ， 所以. （2）集合，，则集合中元素为： 显然，由，得，解得， 此时，所以. （3）设满足题意，其中， 则， 则，又，则， 由，由容斥原理，得， 中最小的元素为0，最大的元素为，， 因此，即，解得， 事实上当时满足题意， 理由如下：设，， 则，， 由，得，解得， 因此m的最小值为34，即当时，中元素最多，时满足题意， 所以的最大值是67. 题型14 集合新定义 66．（25-26高一上·重庆·期中）定义集合运算．已知非空集合A和B，且，若，则满足题意的不同的B的个数为（   ） A．1 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【解题思路】结合集合新定义，讨论中元素个数即可； 【解答过程】由题意， 又非空集合A和B，且，若， 当中有一个元素时： ，；，； 当中有两个元素时： ，；，；，；，； 当中有三个元素时： ，； 当中有四个元素时： ，； 当中有五个元素时，集合不存在， 所以满足条件的不同的B的个数为8个， 故选：D. 67．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（   ） ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若，都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，，总有. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用和谐集的定义，判断集合中必有元素0，从而可判断①，利用和谐集的定义，可证明②，利用举例可证明③④. 【解答过程】对于①，存在，满足有限集，也满足和谐集，故①正确； 对于②，当时， 对于， 总有 ， 所以且，即满足“和谐集”，故②正确； 对于③，若都是“和谐集”， 则当时，由可知，“和谐集”中必有元素0，即，故③正确； 对于④，存在“和谐集”，此时，故④错误； 故选：C. 68．（25-26高一上·北京·期中）给定数集，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，则下列所有正确命题的序号是____________. ①集合是闭集合； ②正整数集不是闭集合； ③集合是闭集合； ④若集合、为闭集合，则为闭集合. 【答案】②③ 【解题思路】对于①，令，，即可判断；对于②，两个正整数的差可能是负整数，即可判断；对于③，任取，，则，，，，结合新定义即可判断；对于④，令，，结合新定义即可判断. 【解答过程】对于①，因为，，但是， 所以不是闭集合，故①错误； 对于②，对于正整数集，因为,， 但是，所以正整数集不是闭集合，故②正确； 对于③，任取，，则，，，， 则，，， 所以，，， 所以是闭集合，故③正确； 对于④，由③可得是闭集合，是闭集合， 所以或，则有，， 但，则不是闭集合，故④错误. 故答案为：②③. 69．（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）根据Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素，结合集合描述法即可得结果； （2）分析可知，根据题意结合集合间的运算求解即可； （3）分析可知，且，结合题意即可得结果. 【解答过程】（1）由Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素， 所以. （2）由题意可知：， 因为，， 则，， 所以或. （3）因为，，可知， 则，且， 又因为，可得， 所以实数的取值集合为. 70．（25-26高一上·北京房山·期中）设集合为正整数集的非空子集，对于任意，定义运算，若所有这些运算结果构成的集合记为，则称为集合的倍差集． (1)当时，写出集合的倍差集； (2)设集合，若其倍差集中恰好有两个元素，求的值； (3)若是由4个正整数构成的集合，求其倍差集中元素个数的最小值． 【答案】(1)； (2)1或8； (3)4. 【解题思路】（1）根据倍差集的定义，列举所有满足条件的数对并计算结果，再利用集合中元素的互异性去重； （2）根据与2、4的大小关系分类讨论，计算所有可能的，通过“倍差集元素个数为2”建立方程，结合集合中元素的互异性筛选； （3）通过构造特殊集合使结果尽量重复，结合倍差集的定义证明最少元素个数. 【解答过程】（1）根据倍差集的定义，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 由集合中元素的互异性，可得. （2）已知，由集合中元素的互异性可知，且， 当时，的可能取值为1或3. 当时，，，，， 此时，满足倍差集中恰好有两个元素，故； 当时，，，，， 此时，不满足倍差集中恰好有两个元素，故； 当时，根据 ，得，，. 由于且，所以且，且， 因为倍差集中恰好有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若，解得，此时，满足倍差集中恰好有两个元素，故， 综上，若其倍差集中恰好有两个元素，则的值为1或8. （3）设，，. 根据，，则，，，，，. 不妨设，则，，，，，， 由集合中元素的互异性，可得，元素个数为4. 下证元素个数不少于4： 将，，，，，， 这6个值分别记为：，，，，，. 从而有：，即，，即. 因此，即，，已经是严格递增的三个数，它们已经占用了3个不同的值， 如果倍差集中只有3个元素，那么，，必须在中取值，且不能引入新的数. 先看： 若，则，即； 若，则，即，与假设矛盾； 若，则，即，显然矛盾. 因此，此时. 再看： 若，则，即，与矛盾； 若，则，即； 若，则，即，而，则，与矛盾； 因此，此时，即. 最后看， 将代入，可得， 若，则，即，与矛盾； 若，则，即，与矛盾； 若，则，即，而，则，与矛盾. 所以无论如何，都不能在中取值，即一定是不同于的第四个数. 因此倍差集中元素个数的最小值为4. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $