专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中真题汇编）高一数学上学期人教A版

**基本信息** 高一上期中数学试题汇编，聚焦一元二次函数、方程和不等式三大高频考点，精选多地区期中真题，注重性质应用与实际问题结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|35题|不等式性质判断、基本不等式求最值、二次函数解集|含多选增强辨析，整合北京房山一模等多地真题| |填空题|15题|取值范围、最值计算|逆向思维设计，如已知解集求参数范围| |解答题|20题|不等式证明、实际应用|综合考查建模能力，如十字形地域造价优化问题|

专题02 一元二次函数、方程和不等式 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．ACD 2．C 3．C 4．B 5．BC 6．BC 7．ABC 8．BD 9．ACD 10．C 11．ABC 12．C 13．BC 14．C 15．BC 16．ACD 17．AD 18．AC 19．C 20．【答案】 【分析】 用待定系数法求出的表示形式，再根据和的取值范围求出的范围即可. 【详解】 设，即 ，解得 . 所以. 因为，. 所以，. 所以. 故答案为：. 21．【答案】 【分析】 直接举反例即可，答案不唯一. 【详解】 取，则，而， 所以可验证该命题为假命题. 故答案为：（答案不唯一） 考点02 基本不等式 1．D 2．C 3．A 4．B 5．B 6．ABD 7．ABD 8．B 9．AD 10．BC 11．C 12．ACD 13．ABD 14．D 15．BCD 16．【答案】① 6    ② 3 【分析】 将代数式变形为，再利用基本不等式可求最小值及对应的的值. 【详解】 . 因为，所以， 故，当且仅当 即 时，两个不等式等号同时成立， 所以所求最小值为6，此时. 故答案为：. 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由结合基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值； （2）由已知等式变形得出，将代数式和相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. (1) 小问详解： 因为，，所以，且，则， 又因为，所以， 当且仅当 时，即当 时，取最小值为. (2) 小问详解： 由，得. 所以， 因为，，所以，，则， 当且仅当 时，即当 时，等号成立，则， 故的最小值为. 18．【答案】（1）3；（2）证明：由（1）得，因为a，b，c为正数，所以①，当且仅当时取等号， 同理可得②，当且仅当时取等号， ③，当且仅当时取等号， ① +② +③得，当且仅当时取等号． 【分析】 （1）整体代入可得，由基本不等式可得； （2）由（1）得，再利用基本不等式直接可以得证. 【详解】 （1）正数x，y，且，所以， 又因为，，所以，当且仅当时取等号， ，故； （2）略 【点睛】 结论点睛：利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①，当且仅当时取等号；②，，当且仅当时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”． 19．【答案】2 【分析】将配凑成基本不等式形式，然后利用基本不等式，求出其最小值，得到答案. 【详解】因为， 所以 所以 . 当且仅当时，即时，等号成立. 所以答案为 【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，属于简单题. 20．【答案】①     ② 【分析】 利用基本不等式计算可得. 【详解】 ，，当且仅当，即时，取等号， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：，. 21．【答案】（1）因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； 可得，当且仅当时，等号成立； 又因为， 即， 可得， 所以，当且仅当时，等号成立； （2）若，则；若，则； （3）假设x，y，z中均小于0， 因为 ， 当且仅当时，等号成立， 这与相矛盾，假设不成立， 所以x，y，z中至少有一个不小于0. 【分析】 （1）根据题意结合基本不等式分析证明即可； （2）作差整理可得，结合题意分类讨论判断； （3）利用反证法，假设x，y，z中均小于0，整理可得，推出矛盾即可得结果. 【详解】 （1）略 （2）因为， 且，则，，可得， 若，则，即； 若，则，即； （3）略 22．【答案】（1）；     （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，.      【分析】 （1）设，得到，再由基本不等式即可求解； （2）（ⅰ）由几何关系，通过，得，进而可求得的周长； （ⅱ）设，在中，可得，再结合三角形面积公式及基本不等式即可求解. (1) 小问详解： 由题意，长方形（）的周长为，， 所以， 设，则， 所以， 由于，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值是. (2) 小问详解： （ⅰ）沿折叠使点到点位置，交于点， 所以，，，所以， 所以， 所以； （ⅱ）设，则， 由 可得 ，解得. 由（ⅰ）知，， 在中，有， 解得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积存在最大值为，此时. 23．【答案】 【分析】 依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】 因为，且， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 24．【答案】（1）     （2），S最小值      【分析】 （1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，并用表示，将花坛、地坪、草坪的造价相加，求得总造价，并求得的取值范围. （2）利用基本不等式求得的最小值，并求得此时对应的的值. (1) 小问详解： 设，因，则，即， 则 ； (2) 小问详解： ， 当且仅当，即时，此时S最小值为（元）. 25．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用基本不等式即可求解； （2）利用乘1法即可求解. 【详解】 （1）， 当且仅当即取等.所以原式最大值为. （2）原式 当且仅当时取等号.所以原式的最小值为. 26．【答案】（1）     （2）证明:因为、、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故.     （3）当时，取最小值      【分析】 （1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可证得所证不等式成立； （3）分析可得，利用（2）中的结论可得出，可求得的最小值，结合（2）中的结论可求得对应的的值. (1) 小问详解： 因为、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当 时，即当 时，等号成立， 所以，的最小值为. (2) 小问详解： 略； (3) 小问详解： 对于代数式，有 ，可得， 此时，，则， 所以，， 由（2）中的结论可得，可得， 当且仅当时，即当时，取最小值. 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．A 2．D 3．C 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．A 12．D 13．C 14．B 15．B 16．A 17．C 18．D 19．B 20．AC 21．【答案】①     ② 6 【分析】 根据给定条件，利用韦达定理列式计算得解. 【详解】 由是一元二次方程的两个根，得， 所以. 故答案为：；6 22．【答案】 【分析】 使用换元法结合不等式的性质求不等式的解集. 【详解】 令，则原不等式： 展开得： 化简得：， 即时分子正，分母负⇒整体负，时分子负，分母正⇒整体负， 即可得 或 ， 解得或； 故，代回： ，，整理得. 故答案为： 23．【答案】 【分析】 利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】 ，所以， 因为，所以，解得， 即不等式的解集为. 故答案为： 24．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知，是的真子集，根据集合的包含关系可得出实数的取值范围. (1) 小问详解： 当时，， 且， 则或，故或. (2) 小问详解： 因为是的充分不必要条件，则是的真子集，且，， 故，即实数的取值范围是. 25．【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）利用一元二次不等式的解法可得答案； （2）由可得，再利用基本不等式“1”的妙用可得答案. (1) 小问详解： 当时，不等式可化为， 即：，解得：， 即原不等式的解集为 (2) 小问详解： 由可知，即：. 因为， 所以， 当且仅当 ，即时等号成立， 即当时，取得最小值. 26．【答案】15 【分析】 设销售价格提高元，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】 设销售价格提高元，其中， 则，解得， 故销售价格最高为元. 故答案为：15 27．【答案】（1）     （2） 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解法直接求解即可； （2）不等式，即为，抓住与1的大小讨论求解. (1) 小问详解： 当时，，不等式，即， ，解得或， 所以不等式的解集为. (2) 小问详解： 不等式，即， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 28．【答案】 【分析】由韦达定理求出与，带入计算即可． 【详解】由一元二次不等式与一元二次等式的关系，知道的解为， 由韦达定理知，， 所以当且仅当取等号． 【点睛】本题考查韦达定理与基本不等式，属于基础题． 29．【答案】 【分析】 根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】 当，即时，不等式成立； 当时，由 . 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 30．【答案】（1）     （2） 当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为     （3）      【分析】 （1）应用方程组法计算得出解析式； （2）分，，得出解集即可； （3）根据解集只有一个整数计算求参数. (1) 小问详解： 以代替代入，① 得，② 由2×② ，得，③ 由③-① ，得，所以. (2) 小问详解： 由（1）得等价于. 当时，，所以该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为. 综上，当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为. (3) 小问详解： 当时，该不等式的解集为，符合题意； 当时，该不等式的解集为，则； 当时，该不等式的解集为，则. 综上，的取值范围是. 31．【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）利用一元二次不等式的解法求解即可； （2）求得一元二次函数的对称轴，分，和三种情况可求得函数在上的最小值的表达式. (1) 小问详解： 当时，不等式等价于， ，解得或， ∴不等式的解集为. (2) 小问详解： 开口向上，对称轴为， ① 当时，即时，， ② 当时，即时，， ③ 当时，即时，， 综上所述， . 32．【答案】3. 【分析】 由题可得为方程的根，结合根与系数关系可得，，代入化简，结合基本不等式即可求解. 【详解】 不等式可化为：，等价于 ， 因为关于的不等式的解集为， 则为方程的根，所以 ， 因为， 则， 所以， 因为，则，当且仅当时，即时去等号， 所以的最小值是 故答案为： 33．【答案】； 【分析】 由于的解集为,可得，列出不等式即可求解. 【详解】 由于的解集为,则，所以 ，解得：， 所以实数的取值范围为； 故答案为： 34．【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）由题可得1，是方程的两根，进而求出,再由分式不等式的解法求解即可； （2）讨论的范围，结合二次函数的单调性求解即可. (1) 小问详解： 因为不等式的解集为， 所以1，是方程的两根， 所以 ，解得 . 不等式即为，不等式可化为，等价于 解得，所以不等式的解集为. (2) 小问详解： 因为， 当时，在上单调递增，所以； 当时，所以； 当时，在上单调递减，所以， 所以 . 35．【答案】（1） ； （2）或； （3）函数在区间上的最大值为 . 【分析】 （1）设，则，求得，结合函数为偶函数，即可求解； （2）由（1）及二次函数图象与性质，得到或，即可求解； （3）由（1）可知，函数 ，结合二次函数的图象与性质，分、和三种情况讨论，即可求解. 【详解】 （1）设，则，可得， 又由为偶函数，所以， 所以当时，， 所以 . （2）由（1）及二次函数，可得的增区间为，，减区间是，， 又函数在区间上具有单调性，且， 所以或，即或， 解得或， 故实数a的取值范围是或． （3）由（1）可知，函数 ，由于， 当时，， 作出在上的草图，如图所示， 由图象可知，； 当时，，作出在上的草图，如图所示： 由图像可知，； 当时，，作出在上的草图，如图所示， 由图像可知，； 综上所述： 函数在区间上的最大值为 . 36．【答案】 【分析】 把关于的不等式在上有解的问题，利用分离参数求最值转化为，在上有解，再求，的最小值即可. 【详解】 要使不等式在上有解， 则，在上有解， 令，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故时，， 因此要使不等式在上有解， 则， 故答案为：. 37．【答案】（1），的值分别为，，或，.     （2）.      【分析】 （1）根据不等式的解集得出一元二次方程的根，从而求得值； （2）由判别式可得． (1) 小问详解： 由题意可知，，1是方程的两根， 所以，， 解得，或，. 故，的值分别为，，或，. (2) 小问详解： 当时，， 若在上恒成立，即的图象与轴至多有一个交点， 则， 即，解得， 故的取值范围是. 38．【答案】（1）     （2） 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为.      【分析】 （1）直接解不等式得到但. （2）变换，考虑，，三种情况，解不等式即可. (1) 小问详解： 当时，，由得，即， 所以，解得或， 故不等式的解集为. (2) 小问详解： 当时，，即， 当时，，，，无解； 当时，，的解为； 当时，，的解为. 综上所述： 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 39．【答案】（1）；     （2） .      【分析】 （1）设出二次函数的解析式，根据题意结合待定系数法求解即可； （2）根据已知可得且，结合二次函数的性质，应用分类讨论求在上的最小值，即可得. (1) 小问详解： 由二次函数满足，设其解析式为且， 又， ∴， ∴ ，解得，，则； (2) 小问详解： 由，则，可得， 所以，可得， 由， 当，即时，在上单调递减，则最小值， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则最小值， 当，即时，在上单调递增，则最小值， 综上， . 40．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）命题为真命题时，分和两种情况讨论，得到的取值范围，最后取并集即可. （2）先求出命题是真命题时，的取值范围，再取其补集得到为假命题时的取值范围，同时由（1）求得为假命题时的取值范围，最后取交集即可. (1) 小问详解： 由题意知对于命题，不等式恒成立， 当时，恒成立， 当时，则需 ，解得， 综上，，即实数的取值范围为. (2) 小问详解： 若是真命题，则 ，解得， 则若是假命题，实数的取值范围为或. 由（1）知，若为假命题，则的取值范围为或， 综上，若命题均为假命题，则实数的取值范围为或. 41．【答案】（1）最小值为     （2）     （3）      【分析】 （1）将代入函数，通过配方法将二次函数化为顶点式，直接得出最小值即可. （2）根据一元二次不等式解集的端点是对应方程的根，利用韦达定理列出关于的方程组，解出的值即可. （3）先对二次函数因式分解，得到，然后根据零点的大小分类讨论，并结合和，即可得出的取值范围. (1) 小问详解： 当时，函数， 则当时，函数取得最小值，最小值为. (2) 小问详解： 因为关于的不等式的解集为， 所以1和5是一元二次方程的两个根， 所以 ，解得. (3) 小问详解： 由，可得， ① 当，即时，， 要使，则或， 解得或，又，可得或； ② 当，即时，，满足； ③ 当，即时，， 要使，则或， 解得或，又，可得. 综上，实数的取值范围为. 42．【答案】（1），     （2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．      【分析】 （1）由题可得，b是方程的根，结合题意列式即可求解； （2）由题可得，分类讨论两根的大小关系，根据含参一元二次不等式的解法求解即可. (1) 小问详解： 由的解集为，则，b是方程的根，且．                  由，解得；又由，解得． 所以，． (2) 小问详解： 由二次函数，知，                  不等式整理得，即，                  当时，不等式等价于，                  当，即时，解得或；                  当，即时，解得；                  当，即时，解得或；                  当时，不等式等价于，解得，                  所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 43．【答案】（1）     （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为．      【分析】 （1）分析可知，恒成立，由可得出关于的不等式，解之即可； （2）将所求不等式变形为，对、的大小关系进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集. (1) 小问详解： 对，恒成立，即恒成立， 所以， 整理得，解得，所以实数的取值范围是. (2) 小问详解： ，即，即， 即，即， 当，即时，原不等式即为，解得； 当，即时，解原不等式得或； 当，即时，解原不等式得或． 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 44．【答案】（1）最大值为，最小值为；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）根据二次函数的性质直接求解即可； （2）直接解不等式即可得答案； （3）将问题转化为对任意实数恒成立，进而分类讨论求解即可. (1) 小问详解： 当时，函数， 因为，所以，由二次函数的性质知，当时，有最小值；当时，有最大值， 所以，当时，函数在上的最大值和最小值分别为和. (2) 小问详解： 当时，函数， 所以，不等式的解集即为的解集， 因为，解得或， 所以，当时，不等式的解集为. (3) 小问详解： 因为对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 所以，对任意实数恒成立， 当时，，解得，不满足题意； 当时，对任意实数恒成立等价于 ， 即： ，解得 综上，实数的取值范围为 45．【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）设出的解析式，根据已知条件求得，从而求得的解析式. （2）解法1，先判断的对称轴和开口方向，根据在区间上的最小值进行分类讨论，由此求得的值.解法2，根据的对称轴进行分类讨论，结合在区间上的最小值求得. (1) 小问详解： 设，由，得. 又，结合题设得， 因此 解得，，故. (2) 小问详解： 解法1：因为的图象是对称轴为、开口向上的抛物线， 所以在上的最小值仅能在、、取得. ① 若，可得，此时在单调递增，是最小值. ② 若由，可得或. 当时，在单调递增； 当时，在单调递减，均不符合最小值在对称轴处的情况，舍去. ③ 若由，可得，此时在单调递减，是最小值. 综上，或. 解法2：，对称轴为. 若，即，在单调递增，故，解得. 若，即，在单调递减， 在单调递增，此时由，解得或， 均不在范围内，舍去. 若，即，在单调递减，故，解得. 综上，或. 46．【答案】（1）     （2）答案见解析      【分析】 （1）直接解不等式即可； （2）分类讨论解不等式即可. (1) 小问详解： 若，则该不等式等价于 ， 解这个不等式组，可得其解集为. (2) 小问详解： 当且时，此不等式为，则该不等式等价于 . 若，则该不等式解集为, 若，则该不等式解集为, 综上所述：时，则该不等式解集为,时，则该不等式解集为. 47．【答案】（1），b=6     （2） 当时，； 当时，； 当时，； 当时，或.     （3）      【分析】 （1）根据不等式对应方程的解结合韦达定理即可求出实数的值；（2）把代入得到一个包含未知参量的一元二次不等式，分类讨论即可；（3）利用换元法结合基本不等式求最值即可. (1) 小问详解： 由不等式的解集为可得方程的两根为且， 由根与系数的关系可得：，. (2) 小问详解： 由得， 又因为，所以原不等式化为，即， 当时，原不等式化为或； 当时，原不等式化为 当时，不等式的解集为 当时，，由不等式得： 当时，，由不等式得： 综上所述，不等式的解集为： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，或. (3) 小问详解： 由得， ∵对恒成立， ∴ ， 化简得，且， 代入得：， 令，则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. 48．【答案】26 【分析】 设卡车从踩刹车到停住所滑行的距离为，卡车速度为，卡车总质量为，比例系数为，则.根据已知条件，先求出的值.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，设能在离障碍物以外处停车的速度为，则满足，由此可求得的范围，从而求得最大限制时速. 【详解】 设卡车从踩刹车到停住所滑行的距离为，卡车速度为，卡车总质量为，比例系数为，则， 当时，， ① . 当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，设能在离障碍物5m以外处停车的速度为， 则满足② ， 由① ② 得③ ， 对于，必有一正一负根，不妨设其两根为， 则不等式的解集为. 因为要求的最大限制时速为正数，且在上单调递增， 所以不妨取代入； 不妨取代入； 不妨取代入； 所以，所以最大限制时速应是. 故答案为：26. 49．【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（Ⅰ）由，取，进而可求解的值； （Ⅱ）由，令，，再由（1），即可求解函数的解析式； （Ⅲ）由题意可得，要使任意都有成立，转化为，分类讨论即可求解． 【详解】（1）因为 取 得 又∵   ∴ （2）因为 令 由（1）知 ∴ 即. （3）∵，    ∴在上单调递增， ∴ 要使任意，都有成立， 当 ，显然不成立. 当 ∴ 综上所述,实数的取值范围是 【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中根据题意合理赋值，以及把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）（多选）下列说法错误的是（     ） A. 若，则 B. 若， ，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】ACD 【分析】 举例说明判断A、C、D；作差比较大小判断B. 【详解】 对于A，取，得，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：ACD 2．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）某班有学生参加才艺比赛，每人参加一个比赛，参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的两倍多于参加书法比赛的人数，则参加这三项比赛的人数至少为（       ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【分析】 利用不等式的性质求出参加各项比赛的最少人数即可求出. 【详解】 设参加书法、唱歌、折纸比赛的人数分别为，，，且，，为正整数， 则由题意得，，，可得， 即，所以，，故参加这三项比赛的人数至少为． 故选：C. 3．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）已知、、，则下列不等式一定成立的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【分析】 利用特殊值法可判断AD选项；取，结合不等式的性质可判断B选项；利用不等式的基本性质可判断C选项. 【详解】 对于A选项，若，不妨取，，则，A错； 对于B选项，若且，则，B错； 对于C选项，若，则，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，若，不妨取，，则，D错. 故选：C. 4．（2026·北京房山·一模）已知，则下列不等式中一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 举例说明判断AD；利用不等式性质判断BC. 【详解】 对于A，取，得，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：B 5．（25-26学年高一上·山东济南·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【分析】 由不等式性质逐项分析判断即可. 【详解】 对于A：若，则当时，；时，；时，，A错误； 对于B：因为，所以，所以，所以， 即，不等式两侧同时乘以，得，即，B正确； 对于C：因为，所以，所以，C正确； 对于D：因为，所以，所以，即，D错误； 故选：BC. 6．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）（多选）下列命题为真命题的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【分析】 利用不等式的性质即可判断BC，举反例即可判断AD 【详解】 对于A,若，，则，故A错误； 对于B,若，则，即，故B正确； 对于C,若，两边同乘以得，两边同乘以得， 则，故C正确； 对于D,满足，则得不到，故D错误 故选：BC 7．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）（多选）对于实数，，下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【分析】 利用不等式的性质，分析、推理判断ABC；举例说明判断D作答. 【详解】 对于A，，两边同时除以，则，A正确； 对于B，，，则，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，因为，则，C正确； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：ABC 8．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）（多选）若a，b，c均为实数，则下列命题正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，且，则 【答案】BD 【分析】 利用不等式的性质和作差比较法即得B,D正确；利用取特殊值和举反例排除A,C. 【详解】 对于A，当时，，故A错误； 对于B，由，得，则， 即，故B正确； 对于C，若取则不成立，故C错误； 对于D，， 由， ，可得，即得，故D正确． 故选：BD. 9．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）（多选）设，则下列选项正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【分析】 AD选项，由不等式性质可得；B选项，举出反例；C选项，由幂函数单调性可得C正确. 【详解】 A选项，根据不等式性质可得，若，则，A正确； B选项，若，，则，B错误； C选项，在R上单调递增，若，则，C正确； D选项，若，则，则，不等式两边同除以得，D正确. 故选：ACD 10．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）已知a，b，c满足，则下列选项中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题设并结合不等式的性质判断各项的正误. 【详解】 对A：由，则，故，故A错误； 对B：若，则，故B错误； 对C：由，则，故C正确； 对D：若，则，故D错误. 故选：C 11．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）（多选）若，则下列命题正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】ABC 【分析】 对选项ABC，根据不等式的基本性质直接推导即可判断，对选项D，通过举反例即可判断. 【详解】 对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，故，C正确； 对于D，取，满足且，但，不满足，故D错误. 故选：ABC. 12．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）若，则下列不等式成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用作差法，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】 选项A：，因为， 所以， 所以，即，故A错误； 选项B：，因为， 所以，所以，即，故B错误； 选项C：，因为， 所以，所以，即，故C正确； 选项D：，因为， 所以，所以，即，故D错误. 故选：C 13．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）（多选）下列命题中正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BC 【分析】 通过特殊值、作差法及不等式的性质，逐一判断各选项命题的真假. 【详解】 选项A，当时，，故A错误； 选项B，，因，，则， 故，B正确； 选项C，由得，又，故，C正确； 选项D，由得，故，D错误. 故选：BC 14．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若，，，，则下列不等式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 已知条件结合不等式的性质，判断各选项结论是否正确. 【详解】 若，，，， 由，则，得，A选项错误； 由，有，则，B选项错误； 由，，有，C选项正确； 由，有，D选项错误. 故选：C. 15．（2026·辽宁丹东·调研）（多选）若，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 用不等式的大小比较法，作差法，函数单调性法，来进行比较判断即可． 【详解】 由可得， 根据“正数的倒数随数值增大而减小”，得，选项A错误. 由得，所以等价于，整理得. 因且，故，所以.选项B正确. 构造函数，则 可知在上单调递增， 因，故，即，选项C正确. 因，结合，代入得，选项D错误. 故选：BC 16．（25-26学年高一上·福建南平·期中）（多选）已知实数满足，则（     ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【分析】 根据题意，利用不等式的基本性质，结合选项，逐项分析、求解，即可得到答案. 【详解】 由实数满足，可得，所以， 又由，且，可得，所以， 所以的取值范围为的取值范围为，所以A正确，B错误； 由，因为， 所以，所以的取值范围为，所以C正确； 由，当时，可得， 当时，可得，所以的取值范围为，所以D正确． 故选：ACD. 17．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）（多选）若，，则（     ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】AD 【分析】 利用.不等式的性质依次判断选项即可 【详解】 由，，得，，所以，，故A正确，B不正确. 因为，，且，不能同时成立，所以的取值范围不是，故C不正确. 令，则 解得 因为，，所以，即的取值范围为，故D正确. 故选：AD 18．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）（多选）已知，则下列结论错误的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【分析】 对于AC，举反例说明即可；对于BD，直接根据不等式性质证明即可. 【详解】 对于A，取，则，故A错误； 对于B，若，则，所以若，则一定有，此时，故B正确； 对于C，取，则，故C错误； 对于D，若，则，故D正确. 故选：AC. 19．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）若且，则下列不等式成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 A：取分析即可；B：取分析即可；C：作差法分析；D：分析的情况即可. 【详解】 对于A：取，此时满足，但不满足，故错误； 对于B：取，此时，故错误； 对于C：因为， 由可知且不同时为，所以， 所以，所以，故正确； 对于D：当时，，故错误； 故选：C. 20．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知，，则的取值范围为　　　　　　. 【答案】 【分析】 用待定系数法求出的表示形式，再根据和的取值范围求出的范围即可. 【详解】 设，即 ，解得 . 所以. 因为，. 所以，. 所以. 故答案为：. 21．（2026·北京房山·一模）设是任意整数，且，能够说明“若，则”是假命题的一组的值依次为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 直接举反例即可，答案不唯一. 【详解】 取，则，而， 所以可验证该命题为假命题. 故答案为：（答案不唯一） 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）若，，，则的最小值为（       ） A. 8 B. 2 C.  D. 4 【答案】D 【分析】 利用基本不等式“1的代换”求出最小值. 【详解】 根据题意可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4． 故选：D 2．（25-26学年高一上·山东济南·期中）已知，且，则的最小值为（       ） A. 8 B.  C. 9 D.  【答案】C 【分析】 首先化简等式为，再利用“1”的妙用，变形为，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】 由可知，， 所以， 当，即时，等号成立， 联立 ，得， 所以当时，的最小值为. 故选：C 3．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）已知，，，则的最小值为（     ） A. 3 B. 4 C. 1 D. 2 【答案】A 【分析】 根据基本不等式中“1”的妙用即可求解. 【详解】 由题意， 当且仅当，结合，即时取得等号， 所以的最小值为3. 故选：A 4．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）若，，且，则的最小值为（     ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 16 【答案】B 【分析】 应用常数代换结合基本不等式计算求解. 【详解】 因为，所以， 则， 当且仅当时，取最小值9. 故选：B. 5．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知正数、满足，则的最小值等于（       ） A. 10 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 推导出，，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】 因为正数、满足，可得，则， 所以，，，可得，，所以，，， 所以，， 当且仅当 时，即当 时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 6．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）（多选）已知，，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 对于A：分析可知，运算求解即可；对于B：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可；对于CD：利用基本不等式直接运算求解即可. 【详解】 因为，，且， 对于选项A：因为，则，解得，故A正确； 对于选项B：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故B正确； 对于选项C：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 即，可得，所以，故C错误； 对于选项D：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故D正确； 故选：ABD. 7．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）（多选）已知是正数，且，则下列选项正确的是（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 【答案】ABD 【分析】 由条件变形选项中的式子，再利用基本不等式求最值，即可判断选项. 【详解】 A.，解得， 当且仅当且，即时，的最大值为，A正确； B.， 当且仅当时，的最小值为，B正确； C.， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为1，C错误； D.， 当且仅当，，即时等号成立， 故的最小值为，D正确. 故选：ABD． 8．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意列出方程，然后利用基本不等式求解可得结果. 【详解】 由题意得，，则， 因为，即 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：B. 9．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）（多选）已知，且，则下列说法正确的是（       ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 【答案】AD 【分析】 对于A，由基本不等式“1”的妙用方法即可计算得解；对于B，由题设结合基本不等式即可求解判断；对于C，转化为一元二次函数配方后求最小值即可判断；对于D，先由将变形为，再由基本不等式即可计算得解. 【详解】 对于A，因为且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，，故，当且仅当，即时等号成立，故B错误； 对于C，由得，则， 当时等号成立，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：AD. 10．（25-26学年高一上·四川成都·期中）（多选）下列命题为真命题的是（       ） A. 函数的最小值为2 B. 设正实数，满足，则有最小值为5 C. 函数的最大值为 D. 函数的最小值为2． 【答案】BC 【分析】 利用基本不等式一一分析选项即可. 【详解】 对于A，易知时，，故A错误； 对于B，正实数，满足， 则， 当且仅当时取得等号，故B正确； 对于C，易知， 当且仅当时取得等号，故C正确； 对于D，易知， 当且仅当，即时取得等号，显然没有取等情况，故D错误. 故选：BC 11．（25-26学年高一上·四川成都·期中）已知，且，则的最小值为（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【分析】 先化简得出，再应用基本不等式常值代换计算即可. 【详解】 因为，所以, 又因为， 当且仅当时取最小值9， 所以的最小值为5. 故选：C. 12．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）（多选）已知，，且，则（       ） A.  B. 的最大值为4 C. 的最小值为9 D. 的最大值为3 【答案】ACD 【分析】 对于A，由题设易得，进而求解判断即可；对于BCD，根据基本不等式及“1”的妙用求解判断即可. 【详解】 对于A，由，，且， 显然，则，即，故A正确； 对于B，由，，且， 则，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4，故B错误； 对于C，由，，且，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为9，故C正确； 对于D，由C知，， 则， 当且仅当，即时等号成立，此时，满足题意， 则的最大值为3，故D正确. 故选：ACD 13．（2026·辽宁丹东·调研）（多选）若非负实数，满足，则（     ） A. 有最大值为1 B. 有最小值为2 C. 有最小值为2 D. 有最小值为 【答案】ABD 【分析】 利用基本不等式计算可判断ABC；利用对勾函数的单调性可求得的最小值判断D. 【详解】 由基本不等式得，代入，得， 当且仅当时取等号，故有最大值为1，故A正确. 由，结合，得， 当且仅当时取等号，故有最小值为2，故B正确. ，由得， 当且仅当时取等号，故有最大值为2，故C错误. 由得，则. 因为非负实数且，故. 设，则，函数在单调递增， 故当，即时，取得最小值， 即有最小值为，故D正确. 故选：ABD. 14．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）已知，均为正数，且，设，，，则下列关系中不可能成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用基本不等式可得，再按，，分类讨论可判断ABD，对于C：利用完全平方式可得到，再令，可计算出，进而可判断C. 【详解】 已知，均为正数，且， 因为，即， 由基本不等式可知：，所以， 由于 ，考虑   相对于 2 的位置： 当时，选项A可能成立，选项D不成立； 当时，选项B可能成立，选项D不成立； 当时，则，， 若选项D成立，则成立，即，此时， 同时成立，即， 当 ，则 ，要求 ，即 ，但 ，矛盾； 当 ，则 ，要求 ，即 ， 由  得 ，与  矛盾； 故选项 D 在所有情况下均不可能成立. 对于C， 由，，得： ， 所以，令得，故此时 ，，， 故：，故选项C可能成立. 故选：D 15．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）（多选）已知正实数a，b满足，则下列选项正确的是（       ）. A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 根据已知条件有且、，再应用不等式的性质或基本不等式“1”的代换判断各项的正误. 【详解】 由，则，可得，B对， 所以，则，， 所以，当且仅当时取等号，A错， 由，则， 所以， 当且仅当，即时取等号，即，C对， 且， 当且仅当，即时取等号，即，D对. 故选：BCD 16．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知，则的最小值为　　　　　　　　　　，此时　　　　　　　　　　. 【答案】① 6    ② 3 【分析】 将代数式变形为，再利用基本不等式可求最小值及对应的的值. 【详解】 . 因为，所以， 故，当且仅当 即 时，两个不等式等号同时成立， 所以所求最小值为6，此时. 故答案为：. 17．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）已知正数、满足. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由结合基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值； （2）由已知等式变形得出，将代数式和相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. (1) 小问详解： 因为，，所以，且，则， 又因为，所以， 当且仅当 时，即当 时，取最小值为. (2) 小问详解： 由，得. 所以， 因为，，所以，，则， 当且仅当 时，即当 时，等号成立，则， 故的最小值为. 18．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知正数x，y满足，且的最小值为k． （1）求k． （2）若a，b，c为正数，且，证明：． 【答案】（1）3；（2）证明：由（1）得，因为a，b，c为正数，所以①，当且仅当时取等号， 同理可得②，当且仅当时取等号， ③，当且仅当时取等号， ① +② +③得，当且仅当时取等号． 【分析】 （1）整体代入可得，由基本不等式可得； （2）由（1）得，再利用基本不等式直接可以得证. 【详解】 （1）正数x，y，且，所以， 又因为，，所以，当且仅当时取等号， ，故； （2）略 【点睛】 结论点睛：利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①，当且仅当时取等号；②，，当且仅当时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”． 19．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）若，则的最小值为　　　　　　． 【答案】2 【分析】将配凑成基本不等式形式，然后利用基本不等式，求出其最小值，得到答案. 【详解】因为， 所以 所以 . 当且仅当时，即时，等号成立. 所以答案为 【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，属于简单题. 20．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）设 ，则当=　　　　　　　时，取得最小值，最小值为　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 利用基本不等式计算可得. 【详解】 ，，当且仅当，即时，取等号， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：，. 21．（25-26学年高一上·福建南平·期中）（1）已知，证明： ； （2）已知a，b均不为0，且，试比较与的大小； （3）已知，证明：若，，，则x，y，z中至少有一个不小于0. 【答案】（1）因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； 可得，当且仅当时，等号成立； 又因为， 即， 可得， 所以，当且仅当时，等号成立； （2）若，则；若，则； （3）假设x，y，z中均小于0， 因为 ， 当且仅当时，等号成立， 这与相矛盾，假设不成立， 所以x，y，z中至少有一个不小于0. 【分析】 （1）根据题意结合基本不等式分析证明即可； （2）作差整理可得，结合题意分类讨论判断； （3）利用反证法，假设x，y，z中均小于0，整理可得，推出矛盾即可得结果. 【详解】 （1）略 （2）因为， 且，则，，可得， 若，则，即； 若，则，即； （3）略 22．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）如图，长方形（）的周长为.                     图                                                         图 （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少？ （2）沿折叠使点到点位置，如图所示，交于点，请解决下面两个问题. （ⅰ）求的周长； （ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；     （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，.      【分析】 （1）设，得到，再由基本不等式即可求解； （2）（ⅰ）由几何关系，通过，得，进而可求得的周长； （ⅱ）设，在中，可得，再结合三角形面积公式及基本不等式即可求解. (1) 小问详解： 由题意，长方形（）的周长为，， 所以， 设，则， 所以， 由于，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值是. (2) 小问详解： （ⅰ）沿折叠使点到点位置，交于点， 所以，，，所以， 所以， 所以； （ⅱ）设，则， 由 可得 ，解得. 由（ⅰ）知，， 在中，有， 解得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积存在最大值为，此时. 23．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知，且，则的最小值是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】 因为，且， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 24．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，居民小区要建一座休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为3270元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺上花岗岩地坪，造价为300元；再在四个扇形（图中四个直角扇形，如扇形）上铺草坪，造价为160元.    （1）设总造价为S（单位：元），长为x（单位：m），试求出S关于x的函数关系式并求出定义域（这里）； （2）当x取何值时总造价S最小，并求出S最小值. 【答案】（1）     （2），S最小值      【分析】 （1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，并用表示，将花坛、地坪、草坪的造价相加，求得总造价，并求得的取值范围. （2）利用基本不等式求得的最小值，并求得此时对应的的值. (1) 小问详解： 设，因，则，即， 则 ； (2) 小问详解： ， 当且仅当，即时，此时S最小值为（元）. 25．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）（1）已知，求函数的最大值； （2）设，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用基本不等式即可求解； （2）利用乘1法即可求解. 【详解】 （1）， 当且仅当即取等.所以原式最大值为. （2）原式 当且仅当时取等号.所以原式的最小值为. 26．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）问题：已知、、均为正实数，且，求证：. 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知、、均为正实数，且，求的最小值； （2）已知、、、均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 【答案】（1）     （2）证明:因为、、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故.     （3）当时，取最小值      【分析】 （1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可证得所证不等式成立； （3）分析可得，利用（2）中的结论可得出，可求得的最小值，结合（2）中的结论可求得对应的的值. (1) 小问详解： 因为、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当 时，即当 时，等号成立， 所以，的最小值为. (2) 小问详解： 略； (3) 小问详解： 对于代数式，有 ，可得， 此时，，则， 所以，， 由（2）中的结论可得，可得， 当且仅当时，即当时，取最小值. 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·四川成都·期中）不等式的解集为，则实数的值是（       ） A. -1 B. 1 C. 3 D. -3 【答案】A 【分析】 由一元二次方程根与系数的关系求解. 【详解】 不等式的解集为， 则-1和2是方程的两根，有，解得. 故选：A 2．（2026·辽宁丹东·调研）已知，是方程的两个根，则（     ） A. 3 B.  C. 7 D.  【答案】D 【分析】 根据韦达定理求解出结果. 【详解】 因为，是方程的两个根， 所以，所以， 故选：D. 3．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）不等式的解集为（   ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 由题意转化为求方程的根即可求解. 【详解】 由题意有，方程有两个根，即和1， 则的解集为或， 即不等式的解集为或. 故选：C. 4．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）设，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 解不等式可得或，根据取值的范围大小即可知“”是“”的充分不必要条件. 【详解】 由不等式可得或； 易知是或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知命题p：，有，则（       ） A. p是真命题，p的否定：，使 B. p是真命题，p的否定：，使 C. p是假命题，p的否定：，使 D. p是假命题，p的否定：，使 【答案】D 【分析】 根据全称量词命题的否定及一元二次不等式恒成立的条件判断即可. 【详解】 因为恒成立，所以命题p是假命题； p的否定是：，使. 故选：D. 6．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 先解一元二次不等式得出等价条件，再结合必要不充分条件定义判断求解. 【详解】 ，解得， 可以推出“”，“”不能推出， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）若不等式的解集为，则对于函数有（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由一元二次不等式解集的特征得，结合二次函数的对称性判断. 【详解】 由不等式的解集为，则 ， 所以开口向上，对称轴为， . 故选：C. 8．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 当时，验证符合题意，当时，得 求解得到答案. 【详解】 当时，不等式变为恒成立，符合题意； 当时，由不等式的解集为R， 则 ，解得， 综上，的取值范围为. 故选：B. 9．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）已知一元二次方程的两个实根为和3，则（       ） A. 7 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据已知条件，利用根与系数的关系分别求出，进而计算． 【详解】 和3是一元二次方程的两个实根， ，解得 ， ． 故选：C． 10．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）对于实数，规定表示不小于的最小整数，例如：，，记，则（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 先求解一元二次不等式，再根据的定义求解. 【详解】 由，解得. 由定义可知，可取0，1，2，则2， 故或. 故选：D 11．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）设为实数，命题：不等式对一切实数都成立，则“”是“为真命题”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 不等式对一切实数都成立，按照和讨论求解， 当时， ，计算求出的范围，利用充分条件和必要条件的定义得到结论. 【详解】 不等式对一切实数都成立， 当时，不等式转化为，满足题意； 当时，不等式对一切实数都成立， ， ，， 综上可知，不等式对一切实数都成立，则； 则“”是“为真命题”的充分不必要条件. 故选：A. 12．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先由特称命题的否定转化得全称命题，再利用二次不等式恒成立问题的解法求解即可. 【详解】 因为“，”为假命题， 所以，为真命题， 所以，解得， 故的取值范围为， 故选：D． 13．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 根据一元二次不等式的解集求出参数、的值，再利用二次不等式的解法可得出所求不等式的解集. 【详解】 因为不等式的解集为，所以， 则方程的两根分别为、， 由韦达定理可得 ，解得 ， 所以，不等式即为，解得或， 因此，不等式的解集为或. 故选：C. 14．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 首先根据不等式的解集求出，然后根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】 因为不等式的解集为，所以，即，. 所以不等式即为 ， 所以不等式的解集为. 故选：B 15．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）若一元二次不等式的解集为，则最大值为（     ） A.  B.  C. 2 D. 4 【答案】B 【分析】 分析可得，利用韦达定理可得出、，再利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】 因为一元二次不等式的解集为， 所以、为关于的方程的两根且， 所以 ，则 ， 所以， 当且仅当时，即当时等号成立. 因此的最大值为. 故选：B. 16．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）命题，恒成立为真命题，则a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题设在上恒成立，得，结合对应二次函数的性质研究不等式恒成立求参数范围. 【详解】 由题意在上恒成立，显然， 令，其对称轴为，且， 当，即时，恒成立， 当，即时，只需，可得，所以， 综上，. 故选：A 17．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）若，且，则的最小值为（       ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】C 【分析】 根据基本不等式列不等式求解即可. 【详解】 因为，所以，即， 令，得， 解得（不符合题意舍去）或， 所以，当且仅当时等号成立，即的最小值为. 故选：C 18．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解. 【详解】 当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图像抛物线对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有 ，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 19．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）设函数.若当时，对于任意，，都有，则实数的最大值为（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】B 【分析】 结合二次函数的对称性可得且，运算得解. 【详解】 ，开口向上，对称轴为， 当时，对于任意，，都有， 则，故，得， 由对称性得， ，即， ，即实数的最大值为. 故选：B. 20．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）已知有限数集中的元素均为实数，且对任意，都有，则下列结论正确的是（       ） A. 中最大的元素不超过1 B. 中最小的元素可以小于 C. 若集合中只有一个元素，则或 D. 若集合中有两个元素，则 【答案】AC 【分析】 对于A，设为数集中最大的元素，可知也是数集的元素，由,解不等式即可判断； 对于B,设为数集中最小的元素，可知和都是数集的元素，则 ,解不等式即可判断； 对于C,设为数集中唯一的元素，可知也是数集的元素，则,解方程即可求解； 对于D,举出也满足条件即可判断. 【详解】 对于A，设为数集中最大的元素，根据数集的定义可知也是数集的元素， 则,解得：,所以数集中最大的元素不超过1，故A正确； 对于B,设为数集中最小的元素，根据数集的定义可知和都是数集的元素， 则 ,即 ,解得或， 所以数集中最小的元素不小于，故B不正确； 对于C,设为数集中唯一的元素，根据数集的定义可知也是数集的元素 ，则,解得：或,则或，故C正确； 对于D,设集合中有两个元素分别为,， 当时，，，由于，所以，解得或(舍去)，此时； 当，时，，，，所以集合中有两个元素，则也满足条件,故D不正确； 故选：AC 21．（2026·北京房山·一模）若是一元二次方程的两个根，则的值为　　　　　　　　　　　的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 6 【分析】 根据给定条件，利用韦达定理列式计算得解. 【详解】 由是一元二次方程的两个根，得， 所以. 故答案为：；6 22．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）不等式的解集为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 使用换元法结合不等式的性质求不等式的解集. 【详解】 令，则原不等式： 展开得： 化简得：， 即时分子正，分母负⇒整体负，时分子负，分母正⇒整体负， 即可得 或 ， 解得或； 故，代回： ，，整理得. 故答案为： 23．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）不等式的解集是　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】 ，所以， 因为，所以，解得， 即不等式的解集为. 故答案为： 24．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知全集，集合，集合. （1）当时，求； （2）设命题，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知，是的真子集，根据集合的包含关系可得出实数的取值范围. (1) 小问详解： 当时，， 且， 则或，故或. (2) 小问详解： 因为是的充分不必要条件，则是的真子集，且，， 故，即实数的取值范围是. 25．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，有，求的最小值，并求取最小值时的值. 【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）利用一元二次不等式的解法可得答案； （2）由可得，再利用基本不等式“1”的妙用可得答案. (1) 小问详解： 当时，不等式可化为， 即：，解得：， 即原不等式的解集为 (2) 小问详解： 由可知，即：. 因为， 所以， 当且仅当 ，即时等号成立， 即当时，取得最小值. 26．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）某商店购进一批玩具，若按每个10元的价格销售，每天能售出30个，且售价每高1元，日销售量则减少2个.为了使这批玩具每天的销售总收入不低于300元，销售价格最高是　　　　　. 【答案】15 【分析】 设销售价格提高元，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】 设销售价格提高元，其中， 则，解得， 故销售价格最高为元. 故答案为：15 27．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）已知二次函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）解关于的不等式． 【答案】（1）     （2） 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）根据一元二次不等式的解法直接求解即可； （2）不等式，即为，抓住与1的大小讨论求解. (1) 小问详解： 当时，，不等式，即， ，解得或， 所以不等式的解集为. (2) 小问详解： 不等式，即， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 28．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知关于的不等式的解集为，则的最小值是　　　　　　． 【答案】 【分析】由韦达定理求出与，带入计算即可． 【详解】由一元二次不等式与一元二次等式的关系，知道的解为， 由韦达定理知，， 所以当且仅当取等号． 【点睛】本题考查韦达定理与基本不等式，属于基础题． 29．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）不等式的解集为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】 当，即时，不等式成立； 当时，由 . 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 30．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知函数满足. （1）求的解析式； （2）求关于的不等式的解集； （3）若关于的不等式的解集中只有一个整数，求的取值范围. 【答案】（1）     （2） 当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为     （3）      【分析】 （1）应用方程组法计算得出解析式； （2）分，，得出解集即可； （3）根据解集只有一个整数计算求参数. (1) 小问详解： 以代替代入，① 得，② 由2×② ，得，③ 由③-① ，得，所以. (2) 小问详解： 由（1）得等价于. 当时，，所以该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为. 综上，当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为. (3) 小问详解： 当时，该不等式的解集为，符合题意； 当时，该不等式的解集为，则； 当时，该不等式的解集为，则. 综上，的取值范围是. 31．（25-26学年高一上·山东济南·期中）已知函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）设函数在上的最小值为，求的表达式. 【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）利用一元二次不等式的解法求解即可； （2）求得一元二次函数的对称轴，分，和三种情况可求得函数在上的最小值的表达式. (1) 小问详解： 当时，不等式等价于， ，解得或， ∴不等式的解集为. (2) 小问详解： 开口向上，对称轴为， ① 当时，即时，， ② 当时，即时，， ③ 当时，即时，， 综上所述， . 32．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）若关于的不等式的解集为，其中，则的最小值是　　　　　. 【答案】3. 【分析】 由题可得为方程的根，结合根与系数关系可得，，代入化简，结合基本不等式即可求解. 【详解】 不等式可化为：，等价于 ， 因为关于的不等式的解集为， 则为方程的根，所以 ， 因为， 则， 所以， 因为，则，当且仅当时，即时去等号， 所以的最小值是 故答案为： 33．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）若对任意的，都有，则实数的取值范围为　　　　　. 【答案】； 【分析】 由于的解集为,可得，列出不等式即可求解. 【详解】 由于的解集为,则，所以 ，解得：， 所以实数的取值范围为； 故答案为： 34．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）已知函数，. （1）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； （2）记函数在上的最小值为，求的表达式. 【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）由题可得1，是方程的两根，进而求出,再由分式不等式的解法求解即可； （2）讨论的范围，结合二次函数的单调性求解即可. (1) 小问详解： 因为不等式的解集为， 所以1，是方程的两根， 所以 ，解得 . 不等式即为，不等式可化为，等价于 解得，所以不等式的解集为. (2) 小问详解： 因为， 当时，在上单调递增，所以； 当时，所以； 当时，在上单调递减，所以， 所以 . 35．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知函数是偶函数．当时，． （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调，求实数的取值范围； （3）设，求在区间上的最大值，其中． 【答案】（1） ； （2）或； （3）函数在区间上的最大值为 . 【分析】 （1）设，则，求得，结合函数为偶函数，即可求解； （2）由（1）及二次函数图象与性质，得到或，即可求解； （3）由（1）可知，函数 ，结合二次函数的图象与性质，分、和三种情况讨论，即可求解. 【详解】 （1）设，则，可得， 又由为偶函数，所以， 所以当时，， 所以 . （2）由（1）及二次函数，可得的增区间为，，减区间是，， 又函数在区间上具有单调性，且， 所以或，即或， 解得或， 故实数a的取值范围是或． （3）由（1）可知，函数 ，由于， 当时，， 作出在上的草图，如图所示， 由图象可知，； 当时，，作出在上的草图，如图所示： 由图像可知，； 当时，，作出在上的草图，如图所示， 由图像可知，； 综上所述： 函数在区间上的最大值为 . 36．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 把关于的不等式在上有解的问题，利用分离参数求最值转化为，在上有解，再求，的最小值即可. 【详解】 要使不等式在上有解， 则，在上有解， 令，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故时，， 因此要使不等式在上有解， 则， 故答案为：. 37．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），的值分别为，，或，.     （2）.      【分析】 （1）根据不等式的解集得出一元二次方程的根，从而求得值； （2）由判别式可得． (1) 小问详解： 由题意可知，，1是方程的两根， 所以，， 解得，或，. 故，的值分别为，，或，. (2) 小问详解： 当时，， 若在上恒成立，即的图象与轴至多有一个交点， 则， 即，解得， 故的取值范围是. 38．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，求关于的不等式的解集. 【答案】（1）     （2） 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为.      【分析】 （1）直接解不等式得到但. （2）变换，考虑，，三种情况，解不等式即可. (1) 小问详解： 当时，，由得，即， 所以，解得或， 故不等式的解集为. (2) 小问详解： 当时，，即， 当时，，，，无解； 当时，，的解为； 当时，，的解为. 综上所述： 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 39．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）已知二次函数满足，且 （1）求函数的解析式； （2）已知不等式在上恒成立，求函数在区间上的最小值. 【答案】（1）；     （2） .      【分析】 （1）设出二次函数的解析式，根据题意结合待定系数法求解即可； （2）根据已知可得且，结合二次函数的性质，应用分类讨论求在上的最小值，即可得. (1) 小问详解： 由二次函数满足，设其解析式为且， 又， ∴， ∴ ，解得，，则； (2) 小问详解： 由，则，可得， 所以，可得， 由， 当，即时，在上单调递减，则最小值， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则最小值， 当，即时，在上单调递增，则最小值， 综上， . 40．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知命题，不等式恒成立，命题：关于的方程有两个不相等的正实数根. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题均为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）命题为真命题时，分和两种情况讨论，得到的取值范围，最后取并集即可. （2）先求出命题是真命题时，的取值范围，再取其补集得到为假命题时的取值范围，同时由（1）求得为假命题时的取值范围，最后取交集即可. (1) 小问详解： 由题意知对于命题，不等式恒成立， 当时，恒成立， 当时，则需 ，解得， 综上，，即实数的取值范围为. (2) 小问详解： 若是真命题，则 ，解得， 则若是假命题，实数的取值范围为或. 由（1）知，若为假命题，则的取值范围为或， 综上，若命题均为假命题，则实数的取值范围为或. 41．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （3）设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小值为     （2）     （3）      【分析】 （1）将代入函数，通过配方法将二次函数化为顶点式，直接得出最小值即可. （2）根据一元二次不等式解集的端点是对应方程的根，利用韦达定理列出关于的方程组，解出的值即可. （3）先对二次函数因式分解，得到，然后根据零点的大小分类讨论，并结合和，即可得出的取值范围. (1) 小问详解： 当时，函数， 则当时，函数取得最小值，最小值为. (2) 小问详解： 因为关于的不等式的解集为， 所以1和5是一元二次方程的两个根， 所以 ，解得. (3) 小问详解： 由，可得， ① 当，即时，， 要使，则或， 解得或，又，可得或； ② 当，即时，，满足； ③ 当，即时，， 要使，则或， 解得或，又，可得. 综上，实数的取值范围为. 42．（25-26学年高一上·四川成都·期中）已知二次函数． （1）若的解集为，分别求a，b的值； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1），     （2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．      【分析】 （1）由题可得，b是方程的根，结合题意列式即可求解； （2）由题可得，分类讨论两根的大小关系，根据含参一元二次不等式的解法求解即可. (1) 小问详解： 由的解集为，则，b是方程的根，且．                  由，解得；又由，解得． 所以，． (2) 小问详解： 由二次函数，知，                  不等式整理得，即，                  当时，不等式等价于，                  当，即时，解得或；                  当，即时，解得；                  当，即时，解得或；                  当时，不等式等价于，解得，                  所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 43．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数． （1）若对，恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式：． 【答案】（1）     （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为．      【分析】 （1）分析可知，恒成立，由可得出关于的不等式，解之即可； （2）将所求不等式变形为，对、的大小关系进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集. (1) 小问详解： 对，恒成立，即恒成立， 所以， 整理得，解得，所以实数的取值范围是. (2) 小问详解： ，即，即， 即，即， 当，即时，原不等式即为，解得； 当，即时，解原不等式得或； 当，即时，解原不等式得或． 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 44．（2026·北京房山·一模）已知函数． （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）当时，求不等式的解集； （3）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）最大值为，最小值为；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）根据二次函数的性质直接求解即可； （2）直接解不等式即可得答案； （3）将问题转化为对任意实数恒成立，进而分类讨论求解即可. (1) 小问详解： 当时，函数， 因为，所以，由二次函数的性质知，当时，有最小值；当时，有最大值， 所以，当时，函数在上的最大值和最小值分别为和. (2) 小问详解： 当时，函数， 所以，不等式的解集即为的解集， 因为，解得或， 所以，当时，不等式的解集为. (3) 小问详解： 因为对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 所以，对任意实数恒成立， 当时，，解得，不满足题意； 当时，对任意实数恒成立等价于 ， 即： ，解得 综上，实数的取值范围为 45．（2026·辽宁丹东·调研）已知二次函数满足，且图象经过点. （1）求的解析式； （2）若函数在上最小值为，求实数的值. 【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）设出的解析式，根据已知条件求得，从而求得的解析式. （2）解法1，先判断的对称轴和开口方向，根据在区间上的最小值进行分类讨论，由此求得的值.解法2，根据的对称轴进行分类讨论，结合在区间上的最小值求得. (1) 小问详解： 设，由，得. 又，结合题设得， 因此 解得，，故. (2) 小问详解： 解法1：因为的图象是对称轴为、开口向上的抛物线， 所以在上的最小值仅能在、、取得. ① 若，可得，此时在单调递增，是最小值. ② 若由，可得或. 当时，在单调递增； 当时，在单调递减，均不符合最小值在对称轴处的情况，舍去. ③ 若由，可得，此时在单调递减，是最小值. 综上，或. 解法2：，对称轴为. 若，即，在单调递增，故，解得. 若，即，在单调递减， 在单调递增，此时由，解得或， 均不在范围内，舍去. 若，即，在单调递减，故，解得. 综上，或. 46．（2026·辽宁丹东·调研）已知不等式. （1）若，解这个关于的不等式； （2）若且，解这个关于的不等式. 【答案】（1）     （2）答案见解析      【分析】 （1）直接解不等式即可； （2）分类讨论解不等式即可. (1) 小问详解： 若，则该不等式等价于 ， 解这个不等式组，可得其解集为. (2) 小问详解： 当且时，此不等式为，则该不等式等价于 . 若，则该不等式解集为, 若，则该不等式解集为, 综上所述：时，则该不等式解集为,时，则该不等式解集为. 47．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）设函数. （1）当时，不等式的解集为，求实数的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对恒成立，求的最大值. 【答案】（1），b=6     （2） 当时，； 当时，； 当时，； 当时，或.     （3）      【分析】 （1）根据不等式对应方程的解结合韦达定理即可求出实数的值；（2）把代入得到一个包含未知参量的一元二次不等式，分类讨论即可；（3）利用换元法结合基本不等式求最值即可. (1) 小问详解： 由不等式的解集为可得方程的两根为且， 由根与系数的关系可得：，. (2) 小问详解： 由得， 又因为，所以原不等式化为，即， 当时，原不等式化为或； 当时，原不等式化为 当时，不等式的解集为 当时，，由不等式得： 当时，，由不等式得： 综上所述，不等式的解集为： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，或. (3) 小问详解： 由得， ∵对恒成立， ∴ ， 化简得，且， 代入得：， 令，则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. 48．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知汽车从踩刹车到停住所滑行的距离s（单位：）与速度v（单位：）的平方及汽车总质量成正比.设某辆卡车不装货物以的速度行驶时，从踩刹车到停住滑行了.如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面处有障碍物，这时为了能在离障碍物以外处停车，最大限制时速应是　　　　　　　　　　（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过） 【答案】26 【分析】 设卡车从踩刹车到停住所滑行的距离为，卡车速度为，卡车总质量为，比例系数为，则.根据已知条件，先求出的值.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，设能在离障碍物以外处停车的速度为，则满足，由此可求得的范围，从而求得最大限制时速. 【详解】 设卡车从踩刹车到停住所滑行的距离为，卡车速度为，卡车总质量为，比例系数为，则， 当时，， ① . 当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，设能在离障碍物5m以外处停车的速度为， 则满足② ， 由① ② 得③ ， 对于，必有一正一负根，不妨设其两根为， 则不等式的解集为. 因为要求的最大限制时速为正数，且在上单调递增， 所以不妨取代入； 不妨取代入； 不妨取代入； 所以，所以最大限制时速应是. 故答案为：26. 49．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）函数对一切实数，均有成立，且 ． （1）求的值； （2）求函数的解析式； （3）对任意的，，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（Ⅰ）由，取，进而可求解的值； （Ⅱ）由，令，，再由（1），即可求解函数的解析式； （Ⅲ）由题意可得，要使任意都有成立，转化为，分类讨论即可求解． 【详解】（1）因为 取 得 又∵   ∴ （2）因为 令 由（1）知 ∴ 即. （3）∵，    ∴在上单调递增， ∴ 要使任意，都有成立， 当 ，显然不成立. 当 ∴ 综上所述,实数的取值范围是 【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中根据题意合理赋值，以及把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）（多选）下列说法错误的是（     ） A. 若，则 B. 若， ，则 C. 若，，则 D. 若，则 2．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）某班有学生参加才艺比赛，每人参加一个比赛，参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的两倍多于参加书法比赛的人数，则参加这三项比赛的人数至少为（       ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 15 3．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）已知、、，则下列不等式一定成立的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4．（2026·北京房山·一模）已知，则下列不等式中一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·山东济南·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）（多选）下列命题为真命题的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）（多选）对于实数，，下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）（多选）若a，b，c均为实数，则下列命题正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，且，则 9．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）（多选）设，则下列选项正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）已知a，b，c满足，则下列选项中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）（多选）若，则下列命题正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 12．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）若，则下列不等式成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）（多选）下列命题中正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 14．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若，，，，则下列不等式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（2026·辽宁丹东·调研）（多选）若，，则（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·福建南平·期中）（多选）已知实数满足，则（     ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 17．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）（多选）若，，则（     ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 18．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）（多选）已知，则下列结论错误的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 19．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）若且，则下列不等式成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知，，则的取值范围为　　　　　　. 21．（2026·北京房山·一模）设是任意整数，且，能够说明“若，则”是假命题的一组的值依次为　　　　　　　　　　　． 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）若，，，则的最小值为（       ） A. 8 B. 2 C.  D. 4 2．（25-26学年高一上·山东济南·期中）已知，且，则的最小值为（       ） A. 8 B.  C. 9 D.  3．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）已知，，，则的最小值为（     ） A. 3 B. 4 C. 1 D. 2 4．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）若，，且，则的最小值为（     ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 16 5．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知正数、满足，则的最小值等于（       ） A. 10 B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）（多选）已知，，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）（多选）已知是正数，且，则下列选项正确的是（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 8．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）（多选）已知，且，则下列说法正确的是（       ） A. 的最小值为9 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 10．（25-26学年高一上·四川成都·期中）（多选）下列命题为真命题的是（       ） A. 函数的最小值为2 B. 设正实数，满足，则有最小值为5 C. 函数的最大值为 D. 函数的最小值为2． 11．（25-26学年高一上·四川成都·期中）已知，且，则的最小值为（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）（多选）已知，，且，则（       ） A.  B. 的最大值为4 C. 的最小值为9 D. 的最大值为3 13．（2026·辽宁丹东·调研）（多选）若非负实数，满足，则（     ） A. 有最大值为1 B. 有最小值为2 C. 有最小值为2 D. 有最小值为 14．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）已知，均为正数，且，设，，，则下列关系中不可能成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）（多选）已知正实数a，b满足，则下列选项正确的是（       ）. A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知，则的最小值为　　　　　　　　　　，此时　　　　　　　　　　. 17．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）已知正数、满足. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 18．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知正数x，y满足，且的最小值为k． （1）求k． （2）若a，b，c为正数，且，证明：． 19．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）若，则的最小值为　　　　　　． 20．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）设 ，则当=　　　　　　　时，取得最小值，最小值为　　　　　　　． 21．（25-26学年高一上·福建南平·期中）（1）已知，证明： ； （2）已知a，b均不为0，且，试比较与的大小； （3）已知，证明：若，，，则x，y，z中至少有一个不小于0. 22．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）如图，长方形（）的周长为.                     图                                                         图 （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少？ （2）沿折叠使点到点位置，如图所示，交于点，请解决下面两个问题. （ⅰ）求的周长； （ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由. 23．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知，且，则的最小值是　　　　　　　　　　. 24．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，居民小区要建一座休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为3270元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺上花岗岩地坪，造价为300元；再在四个扇形（图中四个直角扇形，如扇形）上铺草坪，造价为160元.    （1）设总造价为S（单位：元），长为x（单位：m），试求出S关于x的函数关系式并求出定义域（这里）； （2）当x取何值时总造价S最小，并求出S最小值. 25．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）（1）已知，求函数的最大值； （2）设，求的最小值. 26．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）问题：已知、、均为正实数，且，求证：. 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知、、均为正实数，且，求的最小值； （2）已知、、、均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·四川成都·期中）不等式的解集为，则实数的值是（       ） A. -1 B. 1 C. 3 D. -3 2．（2026·辽宁丹东·调研）已知，是方程的两个根，则（     ） A. 3 B.  C. 7 D.  3．（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）不等式的解集为（   ） A.  B.  C. 或 D. 或 4．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）设，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知命题p：，有，则（       ） A. p是真命题，p的否定：，使 B. p是真命题，p的否定：，使 C. p是假命题，p的否定：，使 D. p是假命题，p的否定：，使 6．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）若不等式的解集为，则对于函数有（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）已知一元二次方程的两个实根为和3，则（       ） A. 7 B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）对于实数，规定表示不小于的最小整数，例如：，，记，则（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 11．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）设为实数，命题：不等式对一切实数都成立，则“”是“为真命题”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 14．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）若一元二次不等式的解集为，则最大值为（     ） A.  B.  C. 2 D. 4 16．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）命题，恒成立为真命题，则a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）若，且，则的最小值为（       ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 18．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）设函数.若当时，对于任意，，都有，则实数的最大值为（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 20．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）已知有限数集中的元素均为实数，且对任意，都有，则下列结论正确的是（       ） A. 中最大的元素不超过1 B. 中最小的元素可以小于 C. 若集合中只有一个元素，则或 D. 若集合中有两个元素，则 21．（2026·北京房山·一模）若是一元二次方程的两个根，则的值为　　　　　　　　　　　的值为　　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）不等式的解集为　　　　　　　　　　. 23．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）不等式的解集是　　　　　　. 24．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知全集，集合，集合. （1）当时，求； （2）设命题，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 25．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，有，求的最小值，并求取最小值时的值. 26．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）某商店购进一批玩具，若按每个10元的价格销售，每天能售出30个，且售价每高1元，日销售量则减少2个.为了使这批玩具每天的销售总收入不低于300元，销售价格最高是　　　　　. 27．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）已知二次函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）解关于的不等式． 28．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知关于的不等式的解集为，则的最小值是　　　　　　． 29．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）不等式的解集为　　　　　　　　　　. 30．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）已知函数满足. （1）求的解析式； （2）求关于的不等式的解集； （3）若关于的不等式的解集中只有一个整数，求的取值范围. 31．（25-26学年高一上·山东济南·期中）已知函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）设函数在上的最小值为，求的表达式. 32．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）若关于的不等式的解集为，其中，则的最小值是　　　　　. 33．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）若对任意的，都有，则实数的取值范围为　　　　　. 34．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）已知函数，. （1）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； （2）记函数在上的最小值为，求的表达式. 35．（25-26学年高一上·云南普洱·期中）已知函数是偶函数．当时，． （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调，求实数的取值范围； （3）设，求在区间上的最大值，其中． 36．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 37．（25-26学年高一上·云南昆明·期中）已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 38．（25-26学年高一上·天津期中学·期中）已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，求关于的不等式的解集. 39．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）已知二次函数满足，且 （1）求函数的解析式； （2）已知不等式在上恒成立，求函数在区间上的最小值. 40．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知命题，不等式恒成立，命题：关于的方程有两个不相等的正实数根. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题均为假命题，求实数的取值范围. 41．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （3）设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 42．（25-26学年高一上·四川成都·期中）已知二次函数． （1）若的解集为，分别求a，b的值； （2）解关于x的不等式． 43．（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数． （1）若对，恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式：． 44．（2026·北京房山·一模）已知函数． （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）当时，求不等式的解集； （3）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 45．（2026·辽宁丹东·调研）已知二次函数满足，且图象经过点. （1）求的解析式； （2）若函数在上最小值为，求实数的值. 46．（2026·辽宁丹东·调研）已知不等式. （1）若，解这个关于的不等式； （2）若且，解这个关于的不等式. 47．（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）设函数. （1）当时，不等式的解集为，求实数的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对恒成立，求的最大值. 48．（25-26学年高一上·河南南阳·期中）已知汽车从踩刹车到停住所滑行的距离s（单位：）与速度v（单位：）的平方及汽车总质量成正比.设某辆卡车不装货物以的速度行驶时，从踩刹车到停住滑行了.如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面处有障碍物，这时为了能在离障碍物以外处停车，最大限制时速应是　　　　　　　　　　（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过） 49．（25-26学年高一上·浙江嘉兴·期中）函数对一切实数，均有成立，且 ． （1）求的值； （2）求函数的解析式； （3）对任意的，，都有成立，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $