专题8.5 双曲线方程（11重难点题型+高分技法+高考真题）专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以高考真题为载体，构建"定义-方程-性质-综合应用"四维训练体系，通过11类重难点题型系统培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义应用|8题|集合表示法/轨迹判定准则|从双曲线定义出发，结合圆与动点轨迹构建几何模型| |标准方程|6题|待定系数法/定义法|通过渐近线、焦距等条件逆向推导方程参数| |几何性质|28题|离心率四步法/渐近线转化策略|建立a,b,c关系网络，强化形数结合思想| |直线与双曲线|20题|弦长公式/中点弦点差法|渗透设而不求思想，培养复杂问题分解能力| |综合问题|16题|定点定值探究模式|融合圆、椭圆知识，提升数学建模素养|

专题8-5 双曲线方程 1．（2026·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则（     ） A． B．3 C．6 D．9 2．（2026·天津·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 3．（2026·全国二卷·高考真题）设双曲线：（，）经过点和点，则C的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 5．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 6．（2025·全国二卷·高考真题）（多选题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 7．（2026·全国一卷·高考真题）双曲线的离心率为__________． 8．（2025·上海·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长至B使得．若的面积为，则a的值为__________． 9．（2024·上海·高考真题）三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______. 10．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 11．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 12．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 重难点题型1 双曲线的定义及其应用 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 1．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 2．（2026·北京房山·二模）已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京海淀·二模）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·上海静安·二模）若满足，且的复数z有两个，分别设为、，则______． 6．已知平面上的点满足，则__________. 7．在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为________. 8．已知圆，动圆过点，且圆与圆外切，则动圆的圆心的轨迹方程是___________. 重难点题型2 双曲线的标准方程 求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径： （1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数，，，即利用待定系数法求方程． （2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程． 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南长沙·三模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）若双曲线过点且与双曲线有相同的渐近线，则的焦距为___________． 6．（2025·安徽·三模）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且的两顶点之间的距离为4．则的方程为__________． 重难点题型3 双曲线的几何性质-渐近线问题 掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，由渐近线方程可得出，的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件．另外，焦点到渐近线的距离为虚半轴长． 1．（2026·湖北武汉·三模）设双曲线：的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与的实轴切于点，且，则的渐近线方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 2．（2026·河南新乡·模拟预测）设为原点，，为双曲线C：（，）的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·广东汕头·模拟预测）过双曲线：（）的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若点关于点的对称点恰好落在双曲线上，则双曲线的渐近线的方程为（ ） A． B． C． D． 4．（2024·湖北·模拟预测）已知正方形PQRS的边长为，两个不同的点A，B都在直线QS的同侧（但A，B与P在直线QS的异侧），A，B关于直线PR对称，若，则面积的取值范围是__________． 5．（2026·四川泸州·三模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则__________． 6．（2026·山东济宁·三模）已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为______． 7．若圆与圆的公共弦所在直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为_____. 重难点题型4 双曲线的几何性质-离心率问题 求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围．具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法． 1．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知圆与双曲线（，）的渐近线相切，则双曲线的离心率（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河南郑州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 3．（2026·四川眉山·模拟预测）如图双曲线（，）的左右焦点分别为，，直线过交双曲线的渐近线于，两点，若，，则双曲线的离心率（     ） A．2 B． C． D． 4．（2026·山东潍坊·三模）已知双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，且，的内切圆半径为，则双曲线的离心率为________． 5．（2026·安徽安庆·模拟预测）已知双曲线：（，），圆为以实轴为直径的圆，试验发现将圆竖直上移个单位或水平右移个单位后均与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为________. 6．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，直线与双曲线的右支交于点且，的中点记为，且，则双曲线的离心率为_____． 重难点题型5 双曲线的几何性质-最值（范围）问题 处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双曲线有两条渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混． 1．（2026·江西赣州·二模）已知双曲线与椭圆的焦点重合，其离心率是椭圆离心率的8倍，设，分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．3 2．（2026·广东·模拟预测）记双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 3．设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（    ）． A． B． C．6 D．12 4．已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是______. 5．（2025·江西鹰潭·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值12时，面积的最大值为______． 6．已知双曲线的左焦点，右焦点，离心率.若点P为双曲线C右支上一点，则__________. 重难点题型6 直线与双曲线的位置问题-弦长问题 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 1．已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过且斜率大于的直线与的右支交于，两点，若，求的一般方程. 2．（2026·山东青岛·模拟预测）已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率等于2，右焦点到其渐近线的距离等于． (1)求双曲线的方程； (2)经过点的直线与双曲线C交于、两点，以为直径的圆记作．求证：恒过某个定点，并求出此定点的坐标； 3．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）已知双曲线，将双曲线E的横、纵坐标分别缩短为原来的倍得到曲线C，直线l与曲线E相切于点P，交于曲线C于点A，B． (1)求曲线C的方程； (2)若点P的坐标是，求的面积； (3)求证：切点P是线段AB的中点，并求的面积 4．（2025·河北·模拟预测）已知双曲线C：与双曲线的渐近线相同，且经过点，C的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，以AB为直径的圆与直线交于M，N两点． (1)求C的方程； (2)若，求满足条件的直线l有几条？ 重难点题型7 直线与双曲线的位置问题-中点弦问题 1．（2026·广东湛江·二模）已知双曲线的离心率为，且经过点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于、两点，求线段的中点的轨迹方程. 2．（25-26高二上·河南郑州·期末）设动点与定点的距离和到直线的距离的比是． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的直线与动点的轨迹相交于两点，且恰好是线段的中点，求直线的方程． 3．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为． (1)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程； (2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求实数的值． 4．（2024·安徽池州·二模）已知双曲线的右焦点，离心率为，过F的直线交于点两点，过与垂直的直线交于两点. (1)当直线的倾斜角为时，求由四点围成的四边形的面积； (2)直线分别交于点，若为的中点，证明：为的中点. 重难点题型8 双曲线与圆、椭圆的综合问题 1．（2026·河北雄安·三模）已知椭圆的左、右顶点，和左、右焦点，分别是双曲线的左、右焦点和左、右顶点，是两曲线在第一象限的公共点，椭圆和双曲线的离心率分别为，，，和分别为直线和的斜率，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·上海杨浦·模拟预测）若椭圆和双曲线有相同的焦点，离心率分别为，点是这两条曲线的一个交点，且两两互不相等，则（    ） 命题①：从集合 的子集中随机抽取一个，若该子集的元素值均可知，则可求得的值的概率为 命题②：若 ，则 A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 3．（2026·安徽合肥·二模）（多选题）已知：，为上的任意一点，点，线段的垂直平分线与直线相交于点，点的轨迹与轴交于，两点，则（   ） A．点的轨迹方程为 B．当点不在轴上时，直线与的斜率之积为 C．当时， D．过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为 4．（2026·湖南永州·二模）（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的渐近线上一点（在轴上方），直线与圆相切，且与的左、右两支分别交于两点，若，则（   ） A．以为直径的圆与圆相切 B．的离心率 C．线段的中点在直线上 D．的面积为 5．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知双曲线：（， ）的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，若，的斜率之积为，，的斜率之积为，且的面积为，则________． 6．（2026·辽宁·模拟预测）已知椭圆：（）与双曲线：的离心率之积为1，若点在上，则的长轴长的取值范围是______． 重难点题型9 定点问题 1．（2026·山东济南·模拟预测）已知点，，点是直线外的一个动点，直线，的斜率之积为3，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知直线交于，两点，关于轴的对称点为，若直线和的斜率之商为，证明： 以下问题： （ⅰ）直线过定点； （ⅱ）为钝角三角形． 2．（2026·湖北武汉·三模）已知圆和定点，动点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点，设曲线为点的轨迹． (1)求曲线的方程； (2)设，斜率为的直线与曲线交于，两点，直线，分别与曲线交于，两点； （ⅰ）若直线，的斜率之和为0，证明：直线过定点； （ⅱ）若，证明：直线过定点． 3．（2026·广东中山·三模）双曲线的一个顶点在直线上，且其离心率为． （附：双曲线以点为切点的切线方程为） (1)求双曲线的标准方程； (2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点在直线上，且过点恰好可作双曲线的两条切线，设这两条切线的切点分别为和． （i）设点的横坐标为，求的取值范围； （ii）设直线和直线分别与直线交于点和点，证明：直线和直线交点在定直线上． 4．（2026·山东烟台·模拟预测）已知焦点在轴的等轴双曲线的焦距为4． (1)求的标准方程； (2)设在的左支上任意一点处的切线为，右焦点关于的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点坐标： (3)设（2）中求得的定点为，求面积的最大值． 重难点题型10 定值问题 1．（2026·河北·模拟预测）已知双曲线：（，）的焦距为，其中的一条渐近线与直线垂直． (1)求的方程； (2)记的右顶点为，横坐标为4的点在上，射线上的点满足，求点的坐标； (3)直线：与交于，两点，为坐标原点．是否存在常数，使恒为定值？若存在，求出常数；若不存在，请说明理由． 2．（2026·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，双曲线：的一条渐近线的倾斜角为，焦距为. (1)求的方程； (2)设点为的左顶点，直线：与轴交于点，过且斜率不为0的直线与交于，两点，直线，分别与交于，两点 （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）是否存在使得，，，四点在同一个圆上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 3．（2026·广东深圳·模拟预测）已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方. (1)求双曲线的方程； (2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为. 证明：①为定值； ②. 4．（2026·宁夏银川·三模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交右支于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：存在轴上的一点，使得为定值. 重难点题型11 开放性与探索性问题 1．（2026·河北邯郸·一模）已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． (3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 2．（2026·山东烟台·一模）已知双曲线经过点，且离心率为2． (1)求的方程； (2)过的右焦点且斜率不为0的直线与交于两点，设分别为的左、右顶点，且直线的斜率分别为，判断：是否为定值？若是，求出该定值；否则，说明理由． 3．（2026·河北沧州·一模）已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)直线与相交于，两点． （i）是坐标原点，若的面积为，求的值； （ii）设的左焦点为，则是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数2． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的动直线与曲线交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8-5 双曲线方程 1．（2026·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则（     ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【难度】0.79 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据渐近线方程结合已知双曲线方程列式计算求解. 【详解】因为双曲线为，则渐近线为， 又因为渐近线为，且，所以. 2．（2026·天津·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】解法一：过点作垂直轴，垂足为，根据几何关系用表示出点坐标，代入双曲线方程构造齐次式，然后可得离心率. 解法二：设右焦点为，连接，根据双曲线的定义和性质可得，，结合余弦定理运算求解. 【详解】解法一：如图，过点作垂直于轴，垂足为， 因为，所以，所以， 又，所以， 根据双曲线对称性，不妨设点在第二象限，则， 将点坐标代入双曲线方程得：， 整理得， 将代入上式，整理得， 两边同时除以，整理得，解得. 解法二：如图， 设右焦点为，连接， 由题意可知：，， 在三角形中，， 在三角形中，， 即， 整理可得，可得， 所以. 3．（2026·全国二卷·高考真题）设双曲线：（，）经过点和点，则C的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.8 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】把点和代入双曲线方程求出，再求出渐近线方程即可. 【详解】把点和，代入双曲线方程可得 ， 所以双曲线方程为， 故该双曲线渐近线方程为. 4．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 5．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，， 于是，则， 即. 故选：D 6．（2025·全国二卷·高考真题）（多选题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线的对称性、已知数量积求模 【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误. 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，则为直角三角形，且，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为， 故D正确， 故选：ACD. 7．（2026·全国一卷·高考真题）双曲线的离心率为__________． 【答案】 【难度】0.88 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先将给定双曲线方程化为标准形式，确定、，再利用双曲线中的关系求出，最后根据离心率定义计算结果. 【详解】将双曲线化为标准方程，得，则， 因此，则离心率为. 8．（2025·上海·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长至B使得．若的面积为，则a的值为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的焦点坐标、直线的点斜式方程及辨析 【分析】由题意作图，根据三角形面积公式以及直线方程，结合双曲线的标准方程，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则，解得，且， 则，， 设，则，解得， 由题意可得直线的斜率，则方程为， 将代入上式，则，解得， 由题意可得， 易知. 故答案为：. 9．（2024·上海·高考真题）三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______. 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义， 则. 故答案为：3 10．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 11．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线中的参数及范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、已知两点求斜率 【分析】（1）求出，直接利用公式即可求解； （2）根据中点坐标公式求出点，将点坐标代入双曲线方程求出，再利用斜率公式即可求出答案； （3）设直线方程为，联立求出，由题意得且，再根据求出，结合且可求出答案. 【详解】（1）对于双曲线，，， ， 所以双曲线离心率. （2）因为点是的中点，所以点， 代入双曲线方程，得， 解得， 又点在双曲线的右支上，所以，即， 所以， 所以直线的斜率为. （3）当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为时，设直线方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，， 因为，， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即， 代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，的取值范围为. 12．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 【答案】(1)； (2)当时，； (3)的最大值为. 【难度】0.4 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据韦达定理求参数、求平面两点间的距离、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据离心率的概念求出，再求出即可； （2）如图，易知为钝角，则，根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解； （3）设，：，联立双曲线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示建立关于的方程，得，结合即可求解. 【详解】（1）由双曲线的方程知，， 因为离心率为2，所以，得. （2）当时，双曲线，且. 因为点在第一象限，所以为钝角. 又为等腰三角形，所以. 设点，且，则 得，所以. （3）由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称. 设，则. 由直线不与轴垂直，可设直线的方程为. 联立直线与双曲线的方程得 消去，得， 且，即，得. ， 由，得， 所以，即， 整理得， 所以， 整理得，所以. 又，所以，解得， 所以，又， 故的取值范围是，故的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、数量积、数乘）或运算律或数量积的几何意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行等）转化为代数关系. 重难点题型1 双曲线的定义及其应用 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 1．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【难度】0.45 【知识点】双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据双曲线的性质得到焦点的坐标和双曲线上的点到两个焦点的距离之差，结合三角形边的性质从而求解. 【详解】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，， 所以. 2．（2026·北京房山·二模）已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】双曲线中x、y的取值范围、利用双曲线定义求方程 【详解】因为，所以点轨迹是以、为焦点的双曲线的右支， 由题意得：且，即得，， 所以双曲线为，其中， 设直线的方程为，联立，消去得， 因，则，即得，则，解得：. 3．（2025·北京海淀·二模）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】利用双曲线定义求方程 【分析】由双曲线的定义即可得出答案. 【详解】∵，动点满足， ∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为， 故选：D. 4．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、利用双曲线定义求方程 【分析】利用两圆外切的判定方法列出方程，推出，即得动圆圆心的轨迹和轨迹方程. 【详解】设动圆的半径为，因动圆同时与圆及圆相外切， 则，， 则， 故动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线的左支. 又因，解得，故其轨迹方程为. 故选：D. 5．（2026·上海静安·二模）若满足，且的复数z有两个，分别设为、，则______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用双曲线定义求方程、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，根据复数的几何意义分析可得，，联立方程运算求解即可. 【详解】设，，，， 因为，则，可知点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆， 可得； 且，则，可知点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 则，，，可得， 联立方程，解得， 且，则，可得，， 所以. 6．已知平面上的点满足，则__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求方程、数量积的坐标表示、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】根据双曲线和圆的定义，求出所在曲线的方程，联立方程组，求出的横坐标，再利用向量数量积的坐标公式即可求解. 【详解】以中点为原点，为轴正方向，建立平面直角坐标系， 则， 因为，， 所以点､分别在以，为焦点的双曲线的右支和左支上，且，， 所以，， 所以双曲线方程为； 因为，所以点在以为圆心，半径为的圆上， 即点在圆上， 因为，所以点在以为圆心，半径为的圆上， 即点在圆上， 联立，因为，可求， 联立，因为，可求， 因为，， 故. 故答案为：.    7．在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为________. 【答案】. 【难度】0.85 【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求方程 【分析】根据圆的性质，结合线段垂直平分线的性质、双曲线的定义进行求解即可. 【详解】因为在线段的垂直平分线上，所以，所以， 由双曲线的定义知点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线，则，，得，所以曲线的方程为， 故答案为： 8．已知圆，动圆过点，且圆与圆外切，则动圆的圆心的轨迹方程是___________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、利用双曲线定义求方程 【分析】根据两圆外切条件，得到M点满足的等量关系，再结合双曲线的定义，即可进行求解. 【详解】设圆M的圆心为，由题意可得圆C的圆心为，半径， 因为动圆过点，且圆与圆外切， 则，即点的轨迹为双曲线的右支， 由双曲线的性质可知该双曲线的实轴长，焦距，则， 故该双曲线的方程是，即动圆M的圆心M的轨迹方程是. 故答案为. 重难点题型2 双曲线的标准方程 求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径： （1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数，，，即利用待定系数法求方程． （2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程． 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【详解】已知双曲线的一条渐近线斜率为2， 则，即. 因为双曲线焦距为，所以. 又，所以， 解得，. 故双曲线方程为. 2．（2026·湖南长沙·三模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【详解】已知渐近线为，即， 可设双曲线方程为：， 把点代入方程得：， 该双曲线的方程为． 3．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】求双曲线的轨迹方程 【分析】设动点坐标，利用点到直线距离公式表示垂线段长度，结合两直线夹角与三角形面积公式建立方程，化简后得到轨迹方程. 【详解】不妨设， 设动点，直线与的一般式为、， 由点到直线的距离公式，得，. 直线与的夹角为，由， 得与两直线夹角互补，故. 由， 即， 化简得，即. 当时，整理为； 当时，整理为. 因此动点的轨迹方程为或. 4．（2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】求双曲线的轨迹方程、求平面轨迹方程 【分析】利用两点的距离公式与点到直线的距离公式列出方程化简求解即可. 【详解】设动点的坐标为， 则点到定点的距离为， 点到定直线的距离为, 由题意得， 化简得：，即. 5．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）若双曲线过点且与双曲线有相同的渐近线，则的焦距为___________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程 【详解】设，将代入可得， 则，焦距为． 6．（2025·安徽·三模）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且的两顶点之间的距离为4．则的方程为__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据双曲线的几何性质，可求得，，可得双曲线方程. 【详解】由题可得，故，因为的一条渐近线方程为， 所以，即，故的方程为． 故答案为：． 重难点题型3 双曲线的几何性质-渐近线问题 掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，由渐近线方程可得出，的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件．另外，焦点到渐近线的距离为虚半轴长． 1．（2026·湖北武汉·三模）设双曲线：的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与的实轴切于点，且，则的渐近线方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【难度】0.43 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】首先求出线段的长度，再利用已知相切关系得到是等腰直角三角形，借助三线合一即可求出答案. 【详解】 因为双曲线的右焦点，渐近线方程是, 令渐近线的方程是, 所以到渐近线的距离, 因为,所以是的中点，又因为内切圆与三角形相切，所以, 又因为,所以是等腰直角三角形，所以, 同理，渐近线的方程是时,, 所以则的渐近线方程是. 2．（2026·河南新乡·模拟预测）设为原点，，为双曲线C：（，）的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】双曲线定义的理解、数量积的运算律、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及双曲线定义列式求解. 【详解】令双曲线C：的半焦距为，由点在上且满足，， 得，则， 即，消元解得， 由双曲线定义得，则， 即，整理得，即，解得， 所以该双曲线的渐近线方程为，即. 3．（2026·广东汕头·模拟预测）过双曲线：（）的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若点关于点的对称点恰好落在双曲线上，则双曲线的渐近线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.62 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求点关于直线的对称点 【分析】首先将直线和其中一条渐近线方程联立，求出点的坐标，再根据中点坐标公式求出对称点的坐标，最后由于对称点恰好落在双曲线上，将的坐标代入双曲线的方程即可求解. 【详解】如图所示，令双曲线的右焦点为，， 由对称性，不妨设过右焦点作渐近线的垂线，垂足为， 则直线的方程为，由，解得， 即点，由为线段的中点，得， 由点在双曲线上，得，即， 解得，因此，即， 所以双曲线的渐近线为，A正确. 4．（2024·湖北·模拟预测）已知正方形PQRS的边长为，两个不同的点A，B都在直线QS的同侧（但A，B与P在直线QS的异侧），A，B关于直线PR对称，若，则面积的取值范围是__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的轨迹方程、双曲线中的参数及范围 【分析】建立平面直角坐标系，由求出点的轨迹，由轨迹特征求点的直线的距离的取值范围，可求面积的取值范围. 【详解】以PR为x轴，QS为y轴建系，则，， 设，，且，，所以，， 因为，所以， 即A位于双曲线的右支上，渐近线方程为或， 设点A到直线PS的距离为h，又直线与直线PS的距离为，点到直线PS的距离为， 则，又， 所以面积的取值范围是． 故答案为： 5．（2026·四川泸州·三模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则__________． 【答案】/2.25 【难度】0.75 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】利用双曲线的渐近线求解. 【详解】∵方程表示双曲线， ∴，解得. 由题意知，，，， 所以，即，整理得，解得. 6．（2026·山东济宁·三模）已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据已知渐近线方程推导的比值，再代入双曲线离心率公式计算即可. 【详解】双曲线为焦点在轴上的双曲线，其渐近线的标准形式为. 将题干给出的渐近线方程整理变形，可得，因此可得. 根据双曲线参数关系（为半焦距），离心率定义为， 代入参数关系得： ，将代入上式计算： . 7．若圆与圆的公共弦所在直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为_____. 【答案】 【难度】0.74 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线、相交圆的公共弦方程 【分析】由两圆的方程相减整理即得两圆的公共弦方程，依题意可得，再由双曲线的离心率定义求解即得. 【详解】由圆与圆， 两方程相减，得， 即得恰为双曲线的一条渐近线，则有， 故的离心率为. 重难点题型4 双曲线的几何性质-离心率问题 求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围．具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法． 1．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知圆与双曲线（，）的渐近线相切，则双曲线的离心率（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知点到直线距离求参数、由标准方程确定圆心和半径、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由双曲线方程得其一条渐近线的方程，由圆得圆心、半径，利用直线与圆相切列方程即可得． 【详解】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，， 由圆，得，则圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，则，可得. 2．（2026·河南郑州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.59 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用正弦定理把用表示，然后利用余弦定理求得关系，从而求得离心率． 【详解】设的半焦距为，过点且与其渐近线垂直的直线与渐近线交于点H，， 渐近线的斜率的绝对值为，所以， 因为又，所以，故解得，， 则．在中，由正弦定理，得，解得，故， 由余弦定理，得，整理得，所以的离心率． 3．（2026·四川眉山·模拟预测）如图双曲线（，）的左右焦点分别为，，直线过交双曲线的渐近线于，两点，若，，则双曲线的离心率（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.42 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】设方程为，联立渐近线方程求出点坐标，利用求出，再化简点坐标，利用求出，即可得解. 【详解】由题意，直线的斜率存在，设方程为， 双曲线渐近线方程为， 由， 所以，故， 同理可得， 因为，所以， 所以，即，所以， 所以，， 所以， ， 所以， 化简可得，所以. 4．（2026·山东潍坊·三模）已知双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，且，的内切圆半径为，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据双曲线的定义，直角三角形内切圆半径公式，勾股定理以及双曲线离心率的计算公式，联立方程求出离心率. 【详解】双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，； ， 的内切圆半径为， ，. ，. ，即； ，即，解得或； 由，得. 5．（2026·安徽安庆·模拟预测）已知双曲线：（，），圆为以实轴为直径的圆，试验发现将圆竖直上移个单位或水平右移个单位后均与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为________. 【答案】/ 【难度】0.51 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】先求出圆，竖直上移个单位或水平右移个单位后的圆的方程，然后结合双曲线的渐近线得到，进而求得离心率. 【详解】依题意，圆的方程为，将其竖直上移个单位或水平右移个单位后， 分别得到圆. 因圆均与双曲线的渐近线相切，不妨取渐近线. 则，即，解得. 所以双曲线的离心率. 6．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，直线与双曲线的右支交于点且，的中点记为，且，则双曲线的离心率为_____． 【答案】/ 【难度】0.55 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先根据题意求出，然后利用双曲线的定义得到，利用直角三角形和面积公式列出关于的两个方程，求解出，进而求出离心率. 【详解】双曲线的左右焦点分别为，， 直线与双曲线的右支交于点且，的中点为，且 ， 的中点记为，的中点记为， 则，， ，则，，即，整理得①. 又，即，整理得②. 联立，解得或（舍）. 则双曲线的离心率为. 重难点题型5 双曲线的几何性质-最值（范围）问题 处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双曲线有两条渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混． 1．（2026·江西赣州·二模）已知双曲线与椭圆的焦点重合，其离心率是椭圆离心率的8倍，设，分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【难度】0.67 【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】先由椭圆方程求出其焦点坐标及离心率，再根据双曲线的性质，以及与椭圆的关系求出，根据双曲线的定义可得，将其代入，结合对勾函数单调性即可求解.. 【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为， 所以双曲线的焦半距为2， 由题意可知双曲线离心率为， 所以可知双曲线，解得. 因为为双曲线右支上任意一点， 所以，即， 又因为， 所以， 令， 得，由对勾函数单调性可知其中单调递增， 当时，取到最小值，即， 所以的最小值为． 2．（2026·广东·模拟预测）记双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】首先判断出点在右支的右侧，根据双曲线定义以及三点共线可求出的最小值. 【详解】记的左焦点为，显然， 而，于是点在右支的右侧，如下图：    则. 当且仅当三点共线时，等号成立. 故选：B. 3．设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（    ）． A． B． C．6 D．12 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】设，根据双曲线的定义，将题意转化为双曲线与圆有公共点，再联立双曲线与圆的方程，根据二次方程有解结合判别式求解即可. 【详解】设， 则点P的轨迹为以A，B为焦点，为实轴长的双曲线的上支， ∴点P的轨迹方程为，依题意，双曲线与圆有公共点， 将圆的方程代入双曲线方程得， 即， 判别式，解得， 当时，，且， ∴等号能成立．∴． 故选：B 4．已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是______. 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【详解】由圆可化为，则，半径为1， 设是的下焦点，则，由双曲线定义可得，如图：    所以，又， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故答案为：6 5．（2025·江西鹰潭·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值12时，面积的最大值为______． 【答案】18 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】先利用双曲线的定义判断出当且仅当三点共线时取得最小值为，得出，再利用基本不等式求出，最后将的面积表示为即可. 【详解】由题意得，故，如图所示，    则，当且仅当三点共线时等号成立，而到渐近线的距离， 所以的最小值为，所以，即，当，时，等号成立， 又，故， 所以， 即面积的最大值为18． 故答案为：18. 6．已知双曲线的左焦点，右焦点，离心率.若点P为双曲线C右支上一点，则__________. 【答案】8 【难度】0.94 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】根据已知可得a，然后由定义可得. 【详解】由题意 又因为点P为双曲线C右支上一点 所以 故答案为：8 重难点题型6 直线与双曲线的位置问题-弦长问题 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 1．已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过且斜率大于的直线与的右支交于，两点，若，求的一般方程. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.85 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）将点坐标代入方程，又轴，得，联立即可. （2）由题可设设直线的方程为，，根据题意，故 ，联立方程直线与曲线方程，消去后用韦达定理，可得，，将其带入弦长公式可解，故而得到直线的方程. 【详解】（1）因为点在上，所以， 又为的右焦点，轴，则，故， 所以，因此的方程为. （2）设直线的方程为，， 因为斜率大于的直线与的右支交于两点， 所以，即，故，联立方程， 消去得，则，， 所以， 解得，即，故直线的方程为. 2．（2026·山东青岛·模拟预测）已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率等于2，右焦点到其渐近线的距离等于． (1)求双曲线的方程； (2)经过点的直线与双曲线C交于、两点，以为直径的圆记作．求证：恒过某个定点，并求出此定点的坐标； 【答案】(1) (2)由（1）得，当过点的直线斜率不为0时，设为， 联立与得， 整理可得， 由直线与双曲线交于、两点，得，解得， 设，，则，， 所以， 则， 又 ， 故以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以 方程为， 由对称性可知， 过的定点应在轴上，故在 中，令， 得，解得或， 故 与轴交点为，， 当直线斜率为0时，直线为，此时，的坐标分别为， 则 方程为， 经过点， 综上， 恒过某个定点，此定点的坐标为； 【难度】0.55 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中存在定点满足某条件问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据离心率和焦点到渐近线距离可得a，c的关系和b值，结合，求出，即可得双曲线方程； （2）当斜率不为0时，设为，联立，根据韦达定理及弦长公式，求出 方程，由对称性可知， 过的定点应在轴上，故令得或，当直线斜率为0时，直线为，此时 方程为，分析可得 所过定点； 【详解】（1）设双曲线方程为，设右焦点坐标为，则渐近线方程为 ， 故到 的距离为， 又离心率等于2，故，又，解得 ，． 故双曲线方程为； （2）略 3．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）已知双曲线，将双曲线E的横、纵坐标分别缩短为原来的倍得到曲线C，直线l与曲线E相切于点P，交于曲线C于点A，B． (1)求曲线C的方程； (2)若点P的坐标是，求的面积； (3)求证：切点P是线段AB的中点，并求的面积 【答案】(1) (2) (3)当直线的斜率存在时，由（2）可得， 设点的坐标为，则， 联立，可得， 由已知，且方程的判别式， 所以，所以或， 设，，则，， 所以，， 所以点P是线段AB的中点， 所以， 点到直线的距离，又， 所以的面积. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为或， 当直线的方程为时，不妨设在轴上方， 则，，所以切点P是线段AB的中点，的面积， 当直线的方程为时，不妨设在轴上方， 则，，所以切点P是线段AB的中点，的面积， 所以切点P是线段AB的中点，的面积. 【难度】0.65 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）设为曲线上任意一点，为点在曲线上的对应点，则，结合点在曲线上，可得结论； （2）设直线的方程为，联立直线与曲线的方程，由条件可求，再联立直线与曲线的方程，求的坐标，由此可得结论； （3）由（2）可得，并求出的坐标，再联立直线与曲线的方程，求的坐标，由此证明结论，再求和点到直线的距离，由此可得结论； 【详解】（1）设为曲线上任意一点，为点在曲线上的对应点， 则，且， 所以，即， 所以曲线C的方程为； （2）由条件直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，可得， 由已知， 且方程的判别式， 所以， 因为直线过点，所以， 所以，， 所以直线的方程为，令，可得， 联立，可得，即， 设，，不妨设， 则，，，， 所以的面积， （3）略 4．（2025·河北·模拟预测）已知双曲线C：与双曲线的渐近线相同，且经过点，C的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，以AB为直径的圆与直线交于M，N两点． (1)求C的方程； (2)若，求满足条件的直线l有几条？ 【答案】(1) (2)3 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、求共渐近线的双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据双曲线的渐近线可得，点代入双曲线方程求出即可得解； （2）分直线斜率存在，不存在两种情况讨论，求出以为直径的圆，将代入圆的方程，求出弦长，建立方程求解即可. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为， 所以，即， 点代入，即，解得， 所以， 故双曲线的方程为. （2）由题意， 当直线l斜率存在时，设直线l的方程为， 联立，可得 设， 则， 所以中点即圆心坐标为，即， 则，圆的半径为， 以AB为直径的圆的方程为， 将代入圆的方程可得， 解得，所以， 又，所以，解得，即， 即满足条件的直线有2条，分别为； 当直线l斜率不存在时，由代入双曲线方程可得, 所以圆的方程为，将代入圆的方程可得， 所以，符合题意. 综上，存在3条满足条件的直线，分别为. 重难点题型7 直线与双曲线的位置问题-中点弦问题 1．（2026·广东湛江·二模）已知双曲线的离心率为，且经过点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于、两点，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、由韦达定理或斜率求弦中点 【分析】（1）根据题意得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）解法一：设点、、，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线相交可得出关于的不等式组，求出的取值范围，利用韦达定理求出点的坐标，再消去可得出点的轨迹方程，根据与的关系求出的取值范围，即可得出答案； 解法二：设点、、，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线相交可得出关于的不等式组，求出的取值范围，再利用点差法求出点的坐标，再消去可得出点的轨迹方程，根据与的关系求出的取值范围，即可得出答案. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，由离心率，得， 又，所以，即. 将点代入方程，得，即，所以，. 故双曲线的标准方程为. （2）解法一：设点、、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意， 故直线的斜率存在， 设直线的方程为，即. 联立方程，代入消去，整理得. 则， 即，且，所以. 于是，中点的横坐标，则. 又点在直线上，所以，即. 因为，且， 当时，，可得，则， 当时，，可得，则， 故线段的中点的轨迹方程为或. 解法二：设点、、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意， 故直线的斜率存在， 设直线的方程为，即. 联立方程代入消去，整理得. 则即，且， 由、两点在双曲线上得，作差得，① 当时，易知； 当时，①式可化为，即. 故（由题意可得且）， 可得， 因为，所以. 当时，也在直线上. 又，可得，且， 当时，，可得，则， 当时，，可得，则， 综上，线段的中点的轨迹方程为或. 2．（25-26高二上·河南郑州·期末）设动点与定点的距离和到直线的距离的比是． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的直线与动点的轨迹相交于两点，且恰好是线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率、求平面轨迹方程 【分析】（1）根据题意列出方程，化简即可得解； （2）利用“点差法”求出直线的斜率即可得解. 【详解】（1）设动点，由题意可得 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程是 （2）设， 因为在动点的轨迹上，所以，， 两式相减得， 即 因为是线段的中点，所以， 所以，即直线的斜率， 所以直线的方程为，即 3．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为． (1)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程； (2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求实数的值． 【答案】(1)，； (2). 【难度】0.65 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率、普通方程与极坐标方程的互化、参数方程化为普通方程 【分析】（1）消去参数化参数方程为普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式求出的直角坐标方程. （2）把直线的方程与曲线的普通方程联立，借助韦达定理求出值并验证即得. 【详解】（1）由，得，消去参数，得， 把代入，得， 所以曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为. （2）由消去y并整理得，， 由曲线截直线所得线段的中点坐标为，得，解得， 当时，方程为，其中，即曲线与直线交于两点， 所以实数的值为. 4．（2024·安徽池州·二模）已知双曲线的右焦点，离心率为，过F的直线交于点两点，过与垂直的直线交于两点. (1)当直线的倾斜角为时，求由四点围成的四边形的面积； (2)直线分别交于点，若为的中点，证明：为的中点. 【答案】(1)6 (2)方法一：由题意可知的斜率存在且不为0，设的方程分别为由互相垂直可得① 联立得② 联立， 整理得 是的中点③ 由②③得，即④ 同理联立得⑤ 由①④⑤得 ⑥ 联立， 得 取中点，所以⑦ 由⑥⑦得与重合，即是中点. 方法二：由题意可知的斜率存在且不为0，设的方程分别为 由互相垂直可得 设的坐标分别为 联立， 得，又 是的中点 整理可得的中点 又直线恒过定点， ， 同理 三点共线 所以的中点在上，又上的点在上 所以与重合，即是中点 方法三：由题意可知的斜率存在且不为0，设的方程分别为 由互相垂直可得① 联立得，所以② 设的坐标分别为，代入得 两式相减得， 变形为，即③ 由②③得，即④ 同理联立得， 所以⑤ 由①④⑤得， 所以⑥ 取中点，同理可证⑦ 由⑥⑦得. 结合均在直线上，所以与重合，即是中点. 【难度】0.65 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程、由韦达定理或斜率求弦中点 【分析】（1）先求得双曲线的标准方程，再求得的长，进而求得由四点围成的四边形的面积； （2）利用设而不求的方法结合同一法即可证得为的中点. 【详解】（1）由题意知， 所以的方程为 直线的倾斜角为，过点直线的方程为 设，联立， 得 与互相垂直的倾斜角为由对称性可知 （2）略 重难点题型8 双曲线与圆、椭圆的综合问题 1．（2026·河北雄安·三模）已知椭圆的左、右顶点，和左、右焦点，分别是双曲线的左、右焦点和左、右顶点，是两曲线在第一象限的公共点，椭圆和双曲线的离心率分别为，，，和分别为直线和的斜率，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】双曲线定义的理解、椭圆定义及辨析 【分析】结合椭圆与双曲线定义，利用离心率可用表示出、、，即可表示出点坐标，再利用斜率公式计算即可得解. 【详解】由题意可得、，、，   ，， 则，整理得， 由，故，故， 则，，解得， 设，则有、， 即、，解得，， 则. 2．（2026·上海杨浦·模拟预测）若椭圆和双曲线有相同的焦点，离心率分别为，点是这两条曲线的一个交点，且两两互不相等，则（    ） 命题①：从集合 的子集中随机抽取一个，若该子集的元素值均可知，则可求得的值的概率为 命题②：若 ，则 A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】B 【难度】0.38 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、判断命题的真假 【分析】根据椭圆与双曲线的定义计算与，，，之间的关系，根据古典概型可判断①错误，根据题目已知条件代入特殊值可判断②错误. 【详解】根据椭圆和双曲线的定义，可设椭圆的长半轴为，短半轴为，双曲线的实半轴为，虚半轴为，两者的半焦距均为； 有，，，，， 即，即. 对于①，根据定义，在椭圆中，有， 在双曲线中有，分别平方并相减， 可得，即； 记计算为事件， 集合共有个子集，其中能计算的子集包括集合， 全部四个有三个元素的子集，集合和集合，共个， 根据古典概型公式，，可知①错误； 对于②，由，可取，，，，此时，，，计算可得，，满足，，可知②错误. 3．（2026·安徽合肥·二模）（多选题）已知：，为上的任意一点，点，线段的垂直平分线与直线相交于点，点的轨迹与轴交于，两点，则（   ） A．点的轨迹方程为 B．当点不在轴上时，直线与的斜率之积为 C．当时， D．过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的轨迹方程、求双曲线中的最值问题、双曲线中的定值问题 【分析】对A：借助垂直平分线性质可得，再利用可得，即可由双曲线定义得到点的轨迹方程；对B：设，可得，再表示出并计算即可得；对C：借助三角形内角和及诱导公式可得，再借助B中所得结合斜率与倾斜角的关系，利用两角和的余弦公式与同角三角函数基本关系计算即可得；对D：取点关于对称点，可得的轨迹方程，则可得中点的轨迹方程，再利用三角换元法及辅助角公式计算即可得解. 【详解】又：，则，半径， 由为线段的垂直平分线，故， 又为上的任意一点，故， 由，则， 则或，则， 故点的轨迹为以、为焦点，的双曲线， 由、，故，则， 即点的轨迹方程为，故A正确； 对B：设在左侧，由点的轨迹方程为，故、， 设，则有，故， 则，故B错误； 对C：由，故， 则， 即， 由B知，又， ， 故， 即， 则， 即，故C正确； 对D：取点关于对称点，则， 故点的轨迹方程为， 由在上且，则为中点，则有，， 故，，即有， 化简得，故可设，，， 则，其中， 即的最大值为，故D正确. 4．（2026·湖南永州·二模）（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的渐近线上一点（在轴上方），直线与圆相切，且与的左、右两支分别交于两点，若，则（   ） A．以为直径的圆与圆相切 B．的离心率 C．线段的中点在直线上 D．的面积为 【答案】ABD 【难度】0.15 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设的中点为，则，即可判断A；设直线与圆的切点为，直线为双曲线的另一条渐近线，根据双曲线的对称性可得，结合离心率的概念计算即可判断B；根据点差法计算可得，求出直线的斜率即可判断C；设，则，根据双曲线的定义可得，结合计算即可判断D. 【详解】设的中点为，则， 以为直径的圆与圆的圆心距为两圆的半径之和， 故以为直径的圆与圆相切，故A正确； 因为点是双曲线的渐近线上的一点，， 所以，设直线与圆的切点为， 则，故直线的斜率为， 即直线为双曲线的另一条渐近线，由双曲线的对称性知， ，即， 所以双曲线的离心率为，故B正确； 设的中点为，设， 则，直线的斜率为， 且，两式相减得， 整理得，即， 又因为直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以的中点在直线上，故C错误； D：设，因为， 所以，由双曲线的定义得， ， 因为，代入得，化简整理得， 即，即， 解得，又， 所以的面积为，故D正确. 故选：ABD 5．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知双曲线：（， ）的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，若，的斜率之积为，，的斜率之积为，且的面积为，则________． 【答案】 【难度】0.37 【知识点】三角形面积公式及其应用、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设,利用斜率公式由，推得，由得到，由，求得，由三角形的面积公式列出方程，求解即得的值. 【详解】，可得，， 设,则，解得， 因，则， 由，可得， 又因， 可得， 即， 即，即， 依题意，， 代入，得到， 解得，又，故. 6．（2026·辽宁·模拟预测）已知椭圆：（）与双曲线：的离心率之积为1，若点在上，则的长轴长的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的长轴、短轴 【分析】先根据椭圆和双曲线的离心率的定义，及题意得到椭圆离心率的范围，再将点代入椭圆的方程上，结合及椭圆的离心率即可求解． 【详解】记，则C的离心率为， D的离心率为， 由，则， 又点在C上，得， 即，即， 所以， 因为，则， 所以，解得， 故C的长轴长的取值范围为． 重难点题型9 定点问题 1．（2026·山东济南·模拟预测）已知点，，点是直线外的一个动点，直线，的斜率之积为3，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知直线交于，两点，关于轴的对称点为，若直线和的斜率之商为，证明： 以下问题： （ⅰ）直线过定点； （ⅱ）为钝角三角形． 【答案】(1)，； (2)（ⅰ）设，，，显然的斜率不为零，否则有，，直线，此时， 而直线和的斜率之商为2，故矛盾，故设直线， 由，得， 依题意，，且， 所以，且，，，，， 因为直线和的斜率之商为2，所以， 因为点在上，所以，即， 所以，即， 即，化简可得，解得：， 此时恒成立，所以，过定点； （ⅱ）由（ⅰ）知，，，，当，即时， ， 所以点均在的右支，如图， 此时， 所以是钝角，是钝角三角形； 当时，即或，， 所以分别在的两支，不妨设在的右支，则，如图， 设，则， 所以，因为过点，所以, 所以是钝角，是钝角三角形.综上可知，是钝角三角形. 【难度】0.32 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、求双曲线的轨迹方程、根据韦达定理求参数、双曲线中的定值问题 【分析】（1）先设动点坐标，，再根据条件转化为坐标关系式，求曲线方程； （2）（ⅰ）设直线方程并联立，代入双曲线方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理化简目标代数式后，可得定点；（ⅱ）利用向量的数量积可判断三角形的形状. 【详解】（1）设，， 由题意可知，，整理为，， 所以双曲线的方程为，； （2）（ⅰ）略 （ⅱ）略 2．（2026·湖北武汉·三模）已知圆和定点，动点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点，设曲线为点的轨迹． (1)求曲线的方程； (2)设，斜率为的直线与曲线交于，两点，直线，分别与曲线交于，两点； （ⅰ）若直线，的斜率之和为0，证明：直线过定点； （ⅱ）若，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【难度】0.26 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数、利用双曲线定义求方程 【分析】（1）根据垂直平分线性质得，结合Q在直线PE上，分Q在线段延长线和线段上两种情况，推导为定值，对照双曲线定义确定曲线类型，再计算参数得轨迹方程； （2）（ⅰ）设直线方程，与曲线Γ的方程联立，得韦达定理关系；根据直线，的斜率之和为0，列出方程求得直线中参数，确定定点，证明结论；（ⅱ）设直线的方程，与曲线Γ联立，利用韦达定理可求出A点坐标，同理求B点坐标；结合直线斜率为2的条件，得到坐标满足的方程，即可得直线的方程，从而证明结论. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 线段的垂直平分线与直线交于点，故， 当线段的垂直平分线与射线相交时，， 当线段的垂直平分线与射线相交时，， 所以， 故点的轨迹是以为焦点的双曲线，设其方程为， 则，则， 故点的轨迹的方程为； （2）（i）设直线， 联立，得， 则，， ， 所以 ，解得， 故直线l的方程为，即直线过定点； （ii）设，则直线的方程为，其中， 联立，可得， 则，将以及代入可得： ， 则，所以，则， 同理， 设直线，代入点A的坐标得， 整理得，同理可得， 所以可知直线的方程为，即， 令，解得， 即直线过定点. 3．（2026·广东中山·三模）双曲线的一个顶点在直线上，且其离心率为． （附：双曲线以点为切点的切线方程为） (1)求双曲线的标准方程； (2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点在直线上，且过点恰好可作双曲线的两条切线，设这两条切线的切点分别为和． （i）设点的横坐标为，求的取值范围； （ii）设直线和直线分别与直线交于点和点，证明：直线和直线交点在定直线上． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）设． 直线和方程分别为和． 联立得点． 又点在直线上，代入整理得：．① 在直线方程中，令，则，得点． 故直线方程为：． 设直线与直线交点为，联立两直线方程：． 解得：． 设直线与直线交点为， 同理可得：． 由①式，计算的分子之差有 计算的分母之差有 则可得和表达式的分子分母分别相等． 故两点重合，所以直线与的交点在定直线上． 【难度】0.32 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的动点在定直线上问题 【分析】（1）先令直线方程中求出直线与轴交点得实半轴，再由已知离心率算出半焦距，最后利用双曲线的关系求出，进而写出双曲线的标准方程. （2）（i）先检验切线斜率不存在时特殊点的情况，均不符合两条切线的题意，再设斜率均存在的切线方程，与双曲线联立后利用相切判别式为零化简，得到关于斜率的一元二次方程，依据有两个相异斜率的条件，结合二次项系数不为零、判别式大于零及排除渐近线对应取值，最终求出的取值范围. （ii）先写出双曲线在、处的切线方程，联立求出切点弦交点坐标，再由在定直线上得到坐标关系式，接着求出点坐标并写出直线方程，联立定直线求得交点的横坐标，同理写出直线与定直线交点的横坐标，借助已得关系式分别化简、横坐标的分子与分母，证得二者分别相等，从而推出、重合，证明两直线交点恒在定直线上. 【详解】（1）直线方程中，令，则， 则直线与轴交于，所以,离心率， 所以，故． 所以双曲线的标准方程为． （2）（i）经检验，当一条切线斜率不存在时， 若，显然另一条切线方程斜率存在，设切线方程为， 联立双曲线方程得， 则， 解得，而双曲线渐近线方程为，则此时不符合题意， 当时，此时只有一条切线，显然不合题意， 则两条切线斜率均存在，设切线斜率为，切线方程为， 与双曲线方程联立得：， 令 整理得：，由于，所以且． 上式整理得：． 由题意，有两个相异实根，所以， 且． 整理得：，解得：． 综上所述，的取值范围是． （ii）略 4．（2026·山东烟台·模拟预测）已知焦点在轴的等轴双曲线的焦距为4． (1)求的标准方程； (2)设在的左支上任意一点处的切线为，右焦点关于的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点坐标： (3)设（2）中求得的定点为，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)定点，证明过程如下： 设点，则双曲线C在点P处的切线方程为， 已知双曲线右焦点，设点，则线段的中点在切线上，且， 所以有，即， 又因为中点在切线上，所以，化简得， 因为在双曲线C上，所以，代入式化简得， 因为，所以，则，所以点； 则直线斜率， 根据点点斜式方程可得直线的方程为, 则直线过定点. (3) 【难度】0.37 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、求双曲线中的最值问题、求双曲线的切线方程、等轴双曲线 【分析】（1）根据双曲线性质代入计算即可； （2）由垂直+中点在切线求Q坐标，整理PQ方程，令不含参部分为0，得到; （3）MF定长为4，面积转化为，代入Q坐标换元，二次函数顶点取最大值. 【详解】（1）设等轴双曲线C的标准方程为，因为双曲线焦距为4，所以，则， 在双曲线中有，又因为等 轴双曲线中，所以代入得， 所以双曲线C标准方程为. （2）略 （3）由题，，设点，则， 由（2）可知，，则，因为， 令，因为，所以，代入得 ， 则当时，面积最大值为    重难点题型10 定值问题 1．（2026·河北·模拟预测）已知双曲线：（，）的焦距为，其中的一条渐近线与直线垂直． (1)求的方程； (2)记的右顶点为，横坐标为4的点在上，射线上的点满足，求点的坐标； (3)直线：与交于，两点，为坐标原点．是否存在常数，使恒为定值？若存在，求出常数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不存在常数，使恒为定值.理由如下： 如图： 将直线代入，整理得：. 由可得， 设，，则，， 则. 则 . 要使为定值，不随的改变而改变，须使， 该方程在实数范围内无解，故不存在常数，使为定值. 【难度】0.65 【知识点】向量模的坐标表示、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据a、b、c求双曲线的标准方程、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据焦距确定，确定渐近线斜率可得的关系，再结合可求的值，进而得到双曲线的方程. （2）先确定，点坐标，利用向量方法，结合即可确定点坐标. （3）将直线方程与双曲线方程联立，消去，可得关于的一元二次方程，利用韦达定理得到，，再表示出，根据为定值，探索的存在情况. 【详解】（1）直线的斜率为，双曲线的一条渐近线与直线垂直， 所以这条渐近线的斜率为. 依题意，可得解得. 所以双曲线的标准方程为：. （2）由题意，对于，当时，，即或. ① 当时，，则， 设，，由， 即，解得，所以，则 ② 当时，同法可得. 所以点坐标为或. （3）略 2．（2026·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，双曲线：的一条渐近线的倾斜角为，焦距为. (1)求的方程； (2)设点为的左顶点，直线：与轴交于点，过且斜率不为0的直线与交于，两点，直线，分别与交于，两点 （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）是否存在使得，，，四点在同一个圆上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）由题意得，，设，，直线的斜率显然存在， 设所在直线方程为， 与联立，可得， 可得，，， 则， 设，，由，，三点共线得，所以， 则，同理可得， 所以，为定值. （ii）存在， 【难度】0.32 【知识点】双曲线中存在定点满足某条件问题、根据双曲线的渐近线求标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）由题设求出，即可得解； （2）（ⅰ）设所在直线方程为，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理、平面向量的数量积的坐标表示求解即可； （ⅱ）分析可得，进而得到，可得，结合（ⅰ）可得，进而建立方程求解即可. 【详解】（1）由题意得：，所以， 又因为焦距，所以， 由，可得， 所以的方程为. （2）（ⅰ）略 （ⅱ）如图，由，，，四点在同一个圆上可知，， 因为，所以， 故，所以，即，则， 由（ⅰ）知，，故， 所以，解得或（舍去）， 所以存在，使得，，，四点在同一个圆上.    3．（2026·广东深圳·模拟预测）已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方. (1)求双曲线的方程； (2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为. 证明：①为定值； ②. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【难度】0.23 【知识点】双曲线中的定值问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据题设直接求出，即可求出结果； （2）①根据条件得到直线的方程为，设，则，利用两点间的距离公式及，即可证明结果；②根据条件得到，从而得到，再利用几何关系，即可证明结果. 【详解】（1）设双曲线的方程为， 由及，可得，所以， 因为双曲线的离心率为2，所以，解得， 所以双曲线的方程为. （2）①由题可得， 因为，所以直线的方程为， 设，则， 所以， ， 所以，为定值. ②因为，由①得， 因为，所以， 又都是锐角，所以， 所以，所以. 4．（2026·宁夏银川·三模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交右支于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：存在轴上的一点，使得为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.53 【知识点】双曲线中的定值问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）求出双曲线的基本量后可得双曲线的方程； （2）设，，联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理化，根据该值为定值可求的坐标； 【详解】（1）解：因为实轴长为，故， 而点到双曲线C的渐近线的距离为1，故， 故双曲线的方程为：. （2）证明：设为半焦距，则，故， 因为与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设，， 由可得即， 故且， 所以，又. 设，则，， 故 为定值当且仅当，故， 故存在轴上的一点，使得为定值且定值为. 重难点题型11 开放性与探索性问题 1．（2026·河北邯郸·一模）已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． (3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)是，直线 【难度】0.55 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、利用双曲线定义求方程、双曲线中的动点在定直线上问题 【分析】（1）根据已知及双曲线的定义写出的方程； （2）根据已知三角形面积及在双曲线上求出的坐标，结合重心的坐标性质确定点的坐标； （3）设的方程为，联立双曲线并应用韦达定理得，，写出直线与的方程，联立求出的轨迹，即可得. 【详解】（1）由题可知，，则． 又三点不共线，所以点的轨迹是以为焦点，4为实轴长的双曲线（不包含顶点）， 故的方程为； （2）设．因为的面积为24， 所以，得． 由，得． 因为是的重心， 所以或或或； （3）由题可知的斜率存在，可设的方程为． 由，得， 则，得，则，． 直线的方程为，直线的方程为， 则． 由，，得， 则，得， 故点在定直线上. 2．（2026·山东烟台·一模）已知双曲线经过点，且离心率为2． (1)求的方程； (2)过的右焦点且斜率不为0的直线与交于两点，设分别为的左、右顶点，且直线的斜率分别为，判断：是否为定值？若是，求出该定值；否则，说明理由． 【答案】(1) (2)是定值， 【难度】0.64 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据题设列出关于的方程组，求解即得； （2）设的方程为，与双曲线方程联立，写出韦达定理，分别求出直线的斜率，并化简，利用消元思想与韦达定理即可推出结论. 【详解】（1）由题意，可得， 解得. 所以的方程为. （2）由（1）知，的右焦点为，设的方程为， 与方程联立，得. 因为与有两个交点，所以且，解得． 设，则，则有 因，则， 所以，因， 代入可得，，即为定值. 3．（2026·河北沧州·一模）已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)直线与相交于，两点． （i）是坐标原点，若的面积为，求的值； （ii）设的左焦点为，则是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）为定值，为. 【难度】0.65 【知识点】已知点到直线距离求参数、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的定值问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据题意有，结合双曲线的参数关系及点线距离公式列方程求参数值，即可得方程； （2）（i）设，联立直线与双曲线，并应用韦达定理及三角形面积公式列方程求参数值；（ii）应用弦长公式得到关于参数的表达式，化简即可得结论. 【详解】（1）设焦距为，则，所以，即， 其渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离为，即， 所以，所以的方程为； （2）（i）设，联立，化简得， ，则， 所以，解得， 所以的值为．    （ii）由（i）知． 所以， 即为定值. 4．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数2． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的动直线与曲线交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)动点的轨迹为双曲线． (2)存在点满足题意. 【难度】0.65 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、求双曲线的轨迹方程、根据韦达定理求参数、求平面轨迹方程 【分析】（1）根据题意，结合距离公式，化简计算，即可得答案. （2）由题意，根据面积公式，分析可得，即，设出直线方程，与抛物线联立，根据韦达定理，可得，表达式，根据直线方程，代入，化简整理，即可得答案. 【详解】（1）由已知得：，所以， 化简可得：，即动点的轨迹为双曲线. （2）因为， 所以，即， 所以． 显然过点的动直线不与x轴重合，故设直线方程为， ，，， 联立，可得， 首先有，且， 由韦达定理得，， 因为，所以， 即，整理得， 所以，化简得， 当时，方程恒成立， 当时，解得， 故在轴上存在点，使得． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $