第06讲 双曲线及其性质（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以双曲线定义为起点，通过12类题型系统覆盖从基础量运算到跨曲线融合的全维度考点，注重数学思维的逻辑递进与实际应用的数学语言表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础演练|52题|聚焦定义应用、标准方程、渐近线等12类基础题型|从定义到方程，再到几何性质（焦点、离心率等），形成概念-运算-应用的逻辑链| |重难创新|12题|结合新情境（四叶草曲线、光学性质）、多曲线融合与综合大题|在基础上拓展至动态最值、轨迹推导及实际建模，深化知识迁移能力| |真题实战|7题|覆盖高考高频考点（离心率、渐近线、焦点三角形）|通过真题验证基础与重难知识的应用，强化应试解题逻辑|

第06讲 双曲线及其性质 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 双曲线的定义及应用 2 题型02 双曲线的标准方程 2 题型03 方程表示双曲线的充要条件 3 题型04 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴 3 题型05 双曲线的渐近线 4 题型06 双曲线的离心率 5 题型07 焦点三角形问题 5 题型08 两线段的和与差的最值问题 6 题型09 双曲线的轨迹方程 7 题型10 双曲线与圆、椭圆的融合 7 题型11 双曲线中的最值与范围问题 8 题型12 双曲线的实际应用 9 重难·创新演练 11 真题·实战演练 13 模拟·基础演练 考查重点：双曲线定义应用、双曲线标准方程求解、方程表示双曲线的充要条件辨析、实轴虚轴焦距等基本量运算、渐近线相关计算、离心率求值与范围求解、焦点三角形边角与面积运算、双曲线上线段和差最值、动点轨迹方程推导、双曲线与椭圆圆综合运算、双曲线几何最值范围、双曲线光学性质与实际应用。 题型01 双曲线的定义及应用 1.已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 2.已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3.（2026·福建福州·模拟）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，，点P在C的右支上，且的周长为，则（   ） A． B． C． D． 4.（2026·湖南益阳·模拟）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为上一点，的两条渐近线方程为，若，则（   ） A．1 B．13 C．1或13 D．2或14 题型02 双曲线的标准方程 5.若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（    ） A．25 B．16 C．5 D．4 6．一条渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 7．已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 9.（2026·河南·一模）已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 题型03 方程表示双曲线的充要条件 10.设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟）“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2026·安徽蚌埠·阶段检测）已知曲线，则“”是“曲线C的焦点在x轴上”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型04 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴 13．双曲线的一个焦点为，则（    ） A． B． C．3 D． 14．已知双曲线的一条渐近线的方程为，则双曲线C的焦距为（   ） A．3 B．6 C．4 D．8 15.已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（   ） A．1 B．2 C． D． 16．（2025·吉林·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上且满足轴，若，则双曲线的实轴长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 17.若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于 ． 题型05 双曲线的渐近线 18.双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 19.（2026·山东枣庄·模拟）双曲线的左顶点为，右焦点为，点在上，且，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 20．（2026·河北石家庄·模拟）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P在C的右支上，且，若的中点在C的第一、三象限内的渐近线上，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 21.（2026·江苏南京·模拟预测）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，右顶点为A，过点A作斜率为的直线l，点M在直线l上，若∠MF1F2＝120°，△MF1F2为等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 22.（2026·河南新乡·模拟预测）设为原点，，为双曲线C：（，）的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 23．双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离为 . 题型06 双曲线的离心率 24．已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线离心率是（    ） A． B．1 C． D．2 25．设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为原点），则C的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 26．（2026·江苏·一模）已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，连接交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 27．（2026·河北邯郸·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其右支上有一点，满足的垂直平分线与右支交于点，且直线过右焦点，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28.（2026·广东湛江·模拟）已知双曲线的离心率为，则 ． 29．（2026·黑龙江大庆·阶段检测）已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 题型07 焦点三角形问题 30．（2026·湖南邵阳·模拟）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（   ） A． B． C． D． 31．（2026·江西模拟）过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 32．（多选）（2026·河北衡水·阶段检测已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 33.（多选）（2026·河北沧州·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一动点，过点作直线交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．的离心率为 B．的最小值为2 C．若，则的面积为6 D．若，则的倾斜角为或 34.（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知点是双曲线的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（   ） A．点的横坐标为 B．的周长为 C．小于 D．的内切圆半径为 题型08 两线段的和与差的最值问题 35．（2026·山东济南·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 36.（2026·河北保定·三模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 37.（多选）（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为，，双曲线C上的点B满足且BF与x轴垂直．直线的斜率是直线的斜率的3倍，点，点Q在C的左支上，则（   ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．的最小值为 D．的最小值为 38.双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 39.（2026·湖北长沙·阶段检测）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 . 题型09 双曲线的轨迹方程 40．已知点，，动点满足，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是（   ） A． B． C． D． 41．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 42．动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 题型10双曲线与圆、椭圆的融合 43．（2026·四川南充·模拟）已知椭圆：和双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点，线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 44．（2026·黑龙江哈尔滨·阶段检测）离心率为的椭圆和离心率为的双曲线的交点构成四边形，的渐近线与的交点构成四边形，若四边形与四边形全等，则（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 45.（2026·湖南永州·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的渐近线上一点（在轴上方），直线与圆相切，且与的左、右两支分别交于两点，若，则（   ） A．以为直径的圆与圆相切 B．的离心率 C．线段的中点在直线上 D．的面积为 题型11 双曲线中的最值与范围问题 46．（2026·江西新余·模拟预测）双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47. （2026·云南昆明·模拟预测）如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是：（     ）. A． B． C． D． 48.已知点、依次为双曲线的左、右焦点，且，，． (1)若，以为法向量的直线经过，求到l的距离； (2)若双曲线上存在点，使得，求实数b的取值范围． 题型12 双曲线的实际应用 49．（2026·河北沧州·模拟）在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（    ） A． B． C． D． 50．（2026·湖北武汉·阶段检测）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则下列曲线中与双曲线C有共同渐近线的是（    ） A． B． C． D． 51．（2026·新疆·二模）圆锥曲线具有丰富的光学性质，如双曲线的一个光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可知，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知，是双曲线C：的左、右焦点，过双曲线C右支上一点（）作直线l交x轴于点，过点作，垂足为H，则（    ） A．1 B． C． D．2 52．（2026·江苏·一模）（多选）双曲线具有丰富的光学性质．例如，从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，已知等轴双曲线经过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射后的光线为，双曲线在点处的切线交轴于点，则下列结论正确的是（   ） A．双曲线的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则的面积为 重难·创新演练 设题创新: 结合文真实新情境命题，双曲线与椭圆圆向量几何图形多维度融合，借助截面截圆柱、四叶草曲线新颖背景，焦点三角形多约束推导离心率，切线与光学性质拓展，多选综合辨析几何结论，实际工程经济成本优化的双曲线建模，直线与双曲线相交存在性、中点垂直条件综合大题。 1．（2026·陕西榆林·模拟）已知双曲线的右焦点为，其一条渐近线过点，则的实轴长为（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（2026·云南昆明·模拟）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（  ） A． B． C． D． 3．【新考法】（2026·江苏连云港·模拟预测）椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，为与的交点，则的面积为（    ） A． B． C．2 D．1 4．（2026·江苏南通·一模）用一个与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．【新思维】（2026·山西朔州·模拟）已知双曲线的实轴和虚轴的长度相等，的左、右顶点分别为，，为上位于第一象限内的一点，设，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．【新情境】（2026·天津·二模）如图，阴影部分的边界为四叶草曲线，该曲线由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线围成，且这四条抛物线的焦点共圆（圆心为坐标原点）．记轴上的两个焦点为，在第一象限端点为，若点在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 7．【新角度】（多选）（2026·河南开封·二模）已知双曲线：的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则（   ） A．的离心率为2 B．的渐近线方程为 C． D．若，则 8．【新融合】（多选）（2026·四川泸州·模拟）过双曲线左焦点的直线与圆相切于点，与的一个交点为，则（   ） A．与一定有两个交点 B．点在的一条渐近线上 C．若，则的离心率为 D．若，则 9．（2026·四川泸州·三模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则__________． 10．【新请将】（2026·上海·模拟预测）如图所示，地在地的正东方向，相距，地在地的北偏东方向，相距，河流沿岸曲线上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从到、两地修建公路费用都是10万元/，从到地修建公路的费用是20万元/．选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低为__________万元．（精确到0.01） 11．【新思维】（2026·湖南长沙·一模）已知双曲线 过点，且焦距为 (1)求双曲线的方程； (2)过定点的直线与双曲线交于两点，若，求直线的方程. 12．【新思维】（2026·湖北孝感·模拟）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值； (3)已知的左顶点和右焦点，直线与直线相交于点．试问是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 真题·实战演练 高频考点：双曲线定义应用、渐近线方程求解、离心率计算、焦点三角形面积与边角计算、利用定义求距离最值、双曲线与椭圆共焦点综合计算。 1．（2026·北京·高考真题）已知双曲线：的渐近线方程为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．9 2．（2026·天津·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 3．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 5．（2026·全国一卷·高考真题）双曲线的离心率为__________． 6．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ________． 7．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点． (1)求点到双曲线渐近线的距离； (2)若，求； (3)记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 双曲线及其性质 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 双曲线的定义及应用 2 题型02 双曲线的标准方程 3 题型03 方程表示双曲线的充要条件 6 题型04 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴 7 题型05 双曲线的渐近线 8 题型06 双曲线的离心率 12 题型07 焦点三角形问题 15 题型08 两线段的和与差的最值问题 20 题型09 双曲线的轨迹方程 22 题型10 双曲线与圆、椭圆的融合 24 题型11 双曲线中的最值与范围问题 28 题型12 双曲线的实际应用 31 重难·创新演练 35 真题·实战演练 45 模拟·基础演练 考查重点：双曲线定义应用、双曲线标准方程求解、方程表示双曲线的充要条件辨析、实轴虚轴焦距等基本量运算、渐近线相关计算、离心率求值与范围求解、焦点三角形边角与面积运算、双曲线上线段和差最值、动点轨迹方程推导、双曲线与椭圆圆综合运算、双曲线几何最值范围、双曲线光学性质与实际应用。 题型01 双曲线的定义及应用 1.已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 【答案】A 【分析】根据双曲线定义可求得，再根据或或即可得解. 【详解】根据双曲线定义可得，又，所以或， 又，，而或，所以. 故选：A. 2.已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，即可求解方程. 【详解】因为， 所以点是以点为焦点的双曲线的右支，所以，，， 所以点的轨迹方程是，. 故选：C 3.（2026·福建福州·模拟）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，，点P在C的右支上，且的周长为，则（   ） A． B． C． D． 【分析】借助双曲线定义计算即可得. 【解答过程】由双曲线定义可知：， 则三角形的周长为，故. 故选：D. 4.（2026·湖南益阳·模拟）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为上一点，的两条渐近线方程为，若，则（   ） A．1 B．13 C．1或13 D．2或14 【答案】B 【分析】根据已知条件求出的值，再利用双曲线的定义可得. 【详解】因为双曲线的两条渐近线方程为，所以，， 根据双曲线定义，， 解得或1，又，所以. 故选：B. 题型02 双曲线的标准方程 5.若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（    ） A．25 B．16 C．5 D．4 【答案】C 【分析】通过双曲线求出焦点，根据椭圆中的关系，得到的值. 【详解】双曲线焦点为，所以，所以， 故选：C. 6．一条渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意双曲线的方程为，将点代入计算可得. 【详解】由题意设双曲线的方程为， 将点代入双曲线方程得， 所以双曲线的方程为，即. 故选：A. 7．已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案. 【详解】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以，所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且，所以，则点的轨迹方程为.    故选：B 8．已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解. 【详解】由题意设双曲线方程为，由题意可知， 由于，，故，解得， 故，故双曲线方程为， 故选：D 9.（2026·河南·一模）已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设动点坐标，利用点到直线距离公式表示垂线段长度，结合两直线夹角与三角形面积公式建立方程，化简后得到轨迹方程. 【详解】不妨设， 设动点，直线与的一般式为、， 由点到直线的距离公式，得，. 直线与的夹角为，由， 得与两直线夹角互补，故. 由，即， 化简得，即. 当时，整理为； 当时，整理为. 因此动点的轨迹方程为或. 题型03 方程表示双曲线的充要条件 10.设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线，，解得. 11.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟）“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】曲线C：（）为双曲线，则，解得或， m可能取的值，无法推出一定成立，故充分性不成立； 若成立，则，，方程表示焦点在x轴上的双曲线， 可推出“曲线C为双曲线”成立，故必要性成立， 综上，“曲线C：（）为双曲线”是“”的必要不充分条件. 12．（2026·安徽蚌埠·阶段检测）已知曲线，则“”是“曲线C的焦点在x轴上”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆；当曲线C表示焦点在x轴上的双曲线时. 【详解】若，则曲线表示焦点在x轴上的椭圆，故充分性成立； 若曲线C的焦点在x轴上，也有可能是，此时曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，故必要性不成立， 故选：A 题型04 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴 13．双曲线的一个焦点为，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】由双曲线中的平方关系即可得出答案. 【详解】由题意得，所以． 故选：A. 14．已知双曲线的一条渐近线的方程为，则双曲线C的焦距为（   ） A．3 B．6 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由渐近线的方程可求，进而可求解； 【详解】由渐近线的方程为易得：，得， 所以，从而 故选：B 15.已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线中的关系式，结合，即可求解. 【详解】由题意得：，，， 联立可解得：，即实轴长为 故选：C. 16．（2025·吉林·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上且满足轴，若，则双曲线的实轴长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】利用给定条件求出，再设出双曲线方程，求解基本量，得到实轴长即可. 【详解】因为轴，且，双曲线的右焦点为，所以，设双曲线方程为，且，将代入双曲线方程，得到，联立解得(负根舍去)，则双曲线的实轴长为，故B正确. 故选：B 17.若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于 ． 【答案】 【分析】首先写出双曲线标准方程的形式，再求虚轴长. 【详解】显然，将化为，若该方程表示双曲线，则， 且双曲线的标准方程为，即，虚轴长. 故答案为：. 题型05 双曲线的渐近线 18.双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线标准方程，可知渐近线方程为，再结合条件及间的关系，即可求解. 【详解】由题知，得到， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：B. 19.（2026·山东枣庄·模拟）双曲线的左顶点为，右焦点为，点在上，且，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合双曲线方程求出的坐标，由列方程找出的关系，即可得渐近线方程. 【详解】由题知，，又，则的横坐标为，根据对称性不妨设在轴上方， 由，解得，则，于是，故， 即，，化简可得，于是，即， 故渐近线方程为：. 故选：B 20．（2026·河北石家庄·模拟）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P在C的右支上，且，若的中点在C的第一、三象限内的渐近线上，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的中点为M，设，结合双曲线定义与正弦定理计算可得，再利用余弦定理可列出与、、有关齐次等式，即可得其渐近线方程. 【详解】设的中点为M，又O是的中点，则，则， 设，则， 在中，由正弦定理得， 则，得， 在中，由余弦定理得， 则，即， 结合，整理得， 所以C的渐近线方程为. 21.（2026·江苏南京·模拟预测）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，右顶点为A，过点A作斜率为的直线l，点M在直线l上，若∠MF1F2＝120°，△MF1F2为等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先写出直线的方程，然后根据平面几何知识求出点，最后把点的坐标代入直线的方程，进而求得的关系即可求解. 【详解】双曲线左焦点，右焦点，右顶点，， 直线的方程为， 因为为等腰三角形， 为钝角， 因此等腰三角形中只能是， 直线的倾斜角为，斜率为， 设，，， 即，在直线上，代入直线方程， 整理得 . . 所以双曲线的渐近线方程为. 22.（2026·河南新乡·模拟预测）设为原点，，为双曲线C：（，）的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及双曲线定义列式求解. 【详解】令双曲线C：的半焦距为，由点在上且满足，， 得，则， 即，消元解得， 由双曲线定义得，则， 即，整理得，即，解得， 所以该双曲线的渐近线方程为，即. 23．双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离为 . 【答案】2 【分析】先根据双曲线方程得到右焦点的坐标及一条渐近线的方程，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由双曲线的方程可知其右焦点为，其中一条渐近线方程为，即， 故右焦点到这条渐近线的距离为. 故答案为：2. 题型06 双曲线的离心率 24．已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线离心率是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】结合题意建立方程，求解离心率即可. 【详解】因为过点且倾斜角为的直线与双曲线的一条渐近线平行， 所以，化简得，解得，故C正确. 故选：C 25．设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为原点），则C的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的渐近线的性质，结合双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】如图所示： 由得，所以， 故选：A 26．（2026·江苏·一模）已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，连接交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质得到，利用相似三角形的性质得到，再结合余弦定理得到，进而得到，最后构建齐次方程求解离心率即可. 【详解】如图，连接，因为为椭圆的上顶点，所以， 因为，所以，故， 解得，设，，则， ，由余弦定理有， 即，解得， 因为，所以， 化简得，即， 整理得，解得，故B正确. 故选：B． 27．（2026·河北邯郸·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其右支上有一点，满足的垂直平分线与右支交于点，且直线过右焦点，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义与垂直平分线性质，确定核心线段关系，联立方程求点横坐标，利用直线与双曲线右支交于两点，建立离心率不等式，确定最终范围. 【详解】设，不妨设，, 设，则，得，解得, 的垂直平分线与右支交于点且直线过点，等价于直线与双曲线右支交于另一点， 则，即，进一步推导：，得， 代入，解得，又，所以. 28.（2026·广东湛江·模拟）已知双曲线的离心率为，则 ． 【答案】3 【分析】利用双曲线方程中的关系结合离心率，列式计算即可求得的值. 【详解】由双曲线，得，所以 双曲线C的离心率为， 所以，解得 故答案为：. 29．（2026·黑龙江大庆·阶段检测）已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据已知条件结合圆的弦长公式求得，利用建立不等式即可求得双曲线的离心率范围. 【详解】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点， 则到渐近线的距离，， 由，得，即，解得，即，于是，而，所以双曲线的离心率的取值范围是． 故答案为： 题型07 焦点三角形问题 30．（2026·湖南邵阳·模拟）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用双曲线定义得出，，再应用余弦定理计算求解即可. 【详解】因为，，由双曲线的定义可知，得， 又因为，在中，，所以. 故选：B． 31．（2026·江西模拟）过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线的左焦点为，连接、，根据双曲线的对称性得到，设，，结合双曲线的定义及余弦定理求出，再由面积公式计算可得. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，，又， 由双曲线的定义可得， 在中由余弦定理可得，， 即，解得， 所以. 故选：D 32．（多选）（2026·河北衡水·阶段检测已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 【答案】BCD 【分析】利用三角形的面积公式可判断A选项；利用椭圆的定义可判断B选项；设，利用三角形的面积公式、余弦定理、同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程，解出的值，可判断C选项；利用等面积法可判断D选项. 【详解】对于A选项，在椭圆中，，，， ，则、， 设点，，，故选项A错误； 对于B选项，由椭圆的定义可知， 的周长为，故选项B正确； 对于C选项，设，，可得， 由余弦定理可得 ， 所以， 所以，解得，故选项C正确， 对于D选项，设的内切圆半径为， 则， ，故选项D正确. 故选：BCD. 33.（多选）（2026·河北沧州·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一动点，过点作直线交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．的离心率为 B．的最小值为2 C．若，则的面积为6 D．若，则的倾斜角为或 【答案】AB 【分析】根据双曲线方程即可求解离心率判断A；根据双曲线的定义及二次函数即可判断B；根据余弦定理及三角形面积公式即可判断C；根据弦长公式即可判断D． 【详解】由题可知，，，所以， 所以双曲线的离心率为，所以A选项正确； 由双曲线定义可知，不妨设，则， 所以因为，所以B选项正确； 对于C，由余弦定理得，故， 所以，所以C选项不正确； 对于D,设，，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立的方程得， 则，，所以， 解得或，若的倾斜角为或，则,所以D选项不正确． 34.（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知点是双曲线的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（   ） A．点的横坐标为 B．的周长为 C．小于 D．的内切圆半径为 【答案】ABCD 【分析】A.设出的坐标，通过的面积求出的纵坐标，再代入双曲线方程求出的横坐标； B.由两点距离公式求解距离，再得出的周长；C.由余弦定理求出的范围，作出判断；D.由面积，求出内切圆的半径. 【详解】由双曲线得，，，焦点 ，，焦距 . A.设 ，由面积公式： , 即，得 ，将 代入双曲线方程： ，得， 因 在右支，，故 ，所以A正确； B. 由，. 所以的周长是 ，所以B正确； C. 由余弦定理：, 因余弦函数在 单调递减，故 ，所以C正确； D. 设的内切圆半径为，则， 所以，所以D正确. 题型08 两线段的和与差的最值问题 35．（2026·山东济南·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】设双曲线的左焦点为，根据双曲线的定义，将转化为，即可求其最小值. 【详解】设双曲线的左焦点为，则，所以，. 则由题意可得，，即. 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立. 即的最小值为. 36.（2026·河北保定·三模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用双曲线的定义及三角形的性质，即可求解. 【详解】由双曲线，得，，即， 则， 当且仅当三点共线时，即时取等号，所以的最大值为. 37.（多选）（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为，，双曲线C上的点B满足且BF与x轴垂直．直线的斜率是直线的斜率的3倍，点，点Q在C的左支上，则（   ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，结合斜率坐标公式列式求出双曲线方程，再借助双曲线定义逐项求解判断. 【详解】令双曲线的半焦距为，则， 由点B在双曲线C上，且轴，，不妨设，则，， 则，解得，于是，双曲线的方程为， 而点，则，解得，双曲线C的方程为， A正确； 双曲线C的渐近线方程为，B正确； ，设双曲线的左焦点为，由双曲线的定义得， 即，因此， 当且仅当是线段与双曲线的左支交点时取等号，C正确； 设点，，则， ，当且仅当时取等号，D错误. 38.双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】利用双曲线的定义将进行转化，再结合三角形三边关系求的最小值； 【详解】设双曲线的右焦点为.对于双曲线，可得，则. 因为点在双曲线的右支上，所以，即.则. 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得，当且仅当，，三点共线时取等号.已知，，根据两点间距离公式，可得. 所以，即的最小值为. 故答案为： 39.（2026·湖北长沙·阶段检测）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用双曲线定义，将转化为，结合圆的性质求解即可. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，. 由题知，实轴长，由双曲线定义知，， 则， 当P，D，三点共线时，取得最小值，且最小值为. 故答案为： 题型09 双曲线的轨迹方程 40．已知点，，动点满足，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求出点的轨迹方程，求出点的坐标即可得解. 【详解】设，由，得点的轨迹是以为焦点， 实轴长为2的双曲线右支，方程为，当时，， 所以点到坐标原点的距离是. 故选：A 41．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆上恰有三个点到直线的距离为，得到圆心到直线的距离恰好为，求得，设，得到，代入方程，即可得到点的轨迹方程. 【详解】由圆，可得标准方程为， 所以圆心，半径为， 若圆上恰有三个点到直线的距离为， 则满足圆心到直线的距离恰好为，即，即， 设，则， 代入，可得， 整理得，即点的轨迹方程为. 故选：A. 42．动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心P的轨迹方程. 【详解】圆N：的圆心为，半径为，且 设动圆的半径为，则，即. 即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为， 虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上， 故动圆圆心P的轨迹方程是 故选：A 题型10 双曲线与圆、椭圆的融合 43．（2026·四川南充·模拟）已知椭圆：和双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点，线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由两曲线有公共焦点得，接着由线段的垂直平分线求得，再结合椭圆和双曲线定义以及勾股定理依次求得和即可由渐近线定义得解. 【详解】设，则由题：， 又的离心率为，所以，即，，即， 令线段的垂直平分线与线段的交点为M，则M是线段的中点， 又O是的中点，则，所以， 又，所以， 所以，则，即， 所以的渐近线方程为. 故选：B. 44．（2026·黑龙江哈尔滨·阶段检测）离心率为的椭圆和离心率为的双曲线的交点构成四边形，的渐近线与的交点构成四边形，若四边形与四边形全等，则（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题及图可得，联立椭圆双曲线方程，以及椭圆与双曲线渐近线方程，用表示，据此可得答案. 【详解】由图，因四边形与四边形全等，则. 将椭圆方程与双曲线方程联立：， 则， 则； 注意到双曲线渐近线方程为：，将椭圆方程与渐近线方程联立： ， 则. 因，则， 即. 所以 故选：C. 45.（2026·湖南永州·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的渐近线上一点（在轴上方），直线与圆相切，且与的左、右两支分别交于两点，若，则（   ） A．以为直径的圆与圆相切 B．的离心率 C．线段的中点在直线上 D．的面积为 【答案】ABD 【分析】设的中点为，则，即可判断A；设直线与圆的切点为，直线为双曲线的另一条渐近线，根据双曲线的对称性可得，结合离心率的概念计算即可判断B；根据点差法计算可得，求出直线的斜率即可判断C；设，则，根据双曲线的定义可得，结合计算即可判断D. 【详解】设的中点为，则， 以为直径的圆与圆的圆心距为两圆的半径之和， 故以为直径的圆与圆相切，故A正确； 因为点是双曲线的渐近线上的一点，， 所以，设直线与圆的切点为， 则，故直线的斜率为， 即直线为双曲线的另一条渐近线，由双曲线的对称性知， ，即， 所以双曲线的离心率为，故B正确； 设的中点为，设， 则，直线的斜率为， 且，两式相减得， 整理得，即， 又因为直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以的中点在直线上，故C错误； D：设，因为， 所以，由双曲线的定义得， ， 因为，代入得，化简整理得， 即，即， 解得，又， 所以的面积为，故D正确. 故选：ABD 题型11 双曲线中的最值与范围问题 46．（2026·江西新余·模拟预测）双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线的方程，设出直线并与双曲线方程联立，求出的纵坐标比值即可得解. 【详解】在双曲线中，，渐近线方程为， 由对称性，不妨令点在第一象限，设直线的方程为，， 由消去得，设，， 则，令，联立消去得， 整理得，而，即，解得， 因此，所以的取值范围是. 故选：B      47. （2026·云南昆明·模拟预测）如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是：（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，进而可得.可求得，进而求得的范围即可. 【详解】设， ，， .在△与△中：， 即：， ， 当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，， 当与轴重合时，取最小，此时， 经上述分析得：，. 故选：C. 48.已知点、依次为双曲线的左、右焦点，且，，． (1)若，以为法向量的直线经过，求到l的距离； (2)若双曲线上存在点，使得，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，，根据的关系求出，根据向量的共线定理设出直线方程，再代入点，求出直线方程，根据点到直线的距离公式计算距离； （2）设出点，根据数量积公式得，再根据点在双曲线上得，联立求解以后根据代入不等式求范围即可. 【详解】（1）依题意，，， 则双曲线，，， 因为直线的法向量为，所以直线的斜率， 设直线，将代入解得：， 此时，到的距离为； （2）设双曲线上的点满足， 则，， 所以，即. 又，∴，即， ∵，且，∴， 又因为，∴实数的取值范围是． 题型12 双曲线的实际应用 49．（2026·河北沧州·模拟）在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，，不妨设双曲线的标准方程为，，结合双曲线的定义和勾股定理求出m，即可求解. 【详解】因为，所以，得， 不妨设双曲线的标准方程为，设，则． 所以，解得或（舍去）． 所以． 故选：D． 50．（2026·湖北武汉·阶段检测）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则下列曲线中与双曲线C有共同渐近线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件求出双曲线C的渐近线方程，再逐一分析各个选项判断作答. 【详解】依题意，双曲线C：过点， 则有，解得，因此，双曲线C的渐近线方程为， 对于A，双曲线的渐近线方程为，A正确； 对于B，双曲线的渐近线方程为，B不正确； 对于C，双曲线的渐近线方程为，C不正确； 对于D，双曲线的渐近线方程为，D不正确. 故选：A 51．（2026·新疆·二模）圆锥曲线具有丰富的光学性质，如双曲线的一个光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可知，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知，是双曲线C：的左、右焦点，过双曲线C右支上一点（）作直线l交x轴于点，过点作，垂足为H，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，并与双曲线方程联立可得直线与双曲线相切，再结合双曲线定义求解. 【详解】由双曲线C：，得， 延长交于点，依题意，，即， 直线的斜率，方程为， 由消去并整理得，则， 直线与双曲线相切，由双曲线的光学性质可知，平分，即， 所以. 52．（2026·江苏·一模）（多选）双曲线具有丰富的光学性质．例如，从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，已知等轴双曲线经过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射后的光线为，双曲线在点处的切线交轴于点，则下列结论正确的是（   ） A．双曲线的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则的面积为 【答案】BCD 【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解. 【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，A错误； 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以，B正确； 对于C，记， 所以， 又，得到，又， 所以，又， 由，得，C正确； 对于D，因为，， 由，得， 所以，D正确. 故选：BCD. 重难·创新演练 设题创新: 结合文真实新情境命题，双曲线与椭圆圆向量几何图形多维度融合，借助截面截圆柱、四叶草曲线新颖背景，焦点三角形多约束推导离心率，切线与光学性质拓展，多选综合辨析几何结论，实际工程经济成本优化的双曲线建模，直线与双曲线相交存在性、中点垂直条件综合大题。 1．（2026·陕西榆林·模拟）已知双曲线的右焦点为，其一条渐近线过点，则的实轴长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】依题意可得，结合渐近线方程求出，，即可得解. 【详解】由右焦点为得，所以， 又因为的一条渐近线过点，所以，所以， 所以的实轴长. 2．（2026·云南昆明·模拟）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，则. 3．【新考法】（2026·江苏连云港·模拟预测）椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，为与的交点，则的面积为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】先由椭圆与双曲线共焦点得到与的关系，再联立两曲线方程求出交点纵坐标，结合焦距计算三角形面积. 【详解】 由题意知，双曲线的焦点在轴，且与椭圆共焦点，因此椭圆的焦点也在轴， 对椭圆，半焦距满足；对双曲线，半焦距满足，故，即， 联立两曲线方程，两式相加得，解得， 将代入椭圆方程，整理得，代入得， 因为的底为，高为，因此面积， 由，得，即， 所以，所以，的面积为. 4．（2026·江苏南通·一模）用一个与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形分析椭圆的长半轴和短半轴与圆柱底面圆半径的关系，求出得到离心率. 【详解】设圆柱的底面半径为，则底面圆的直径为， 椭圆的短半轴平行于截面与底面交线的方向，长度等于底面圆的半径，即， 长半轴垂直于截面与底面交线的方向，由二面角的几何关系可得， 所以，所以该椭圆的离心率， 故选：D. 5．【新思维】（2026·山西朔州·模拟）已知双曲线的实轴和虚轴的长度相等，的左、右顶点分别为，，为上位于第一象限内的一点，设，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出双曲线方程，再利用斜率公式及和角的正切求出点的纵坐标即可. 【详解】由双曲线的实轴和虚轴的长度相等，得，， 则，设，则，， ，由，得， 因此，则，又， 所以. 6．【新情境】（2026·天津·二模）如图，阴影部分的边界为四叶草曲线，该曲线由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线围成，且这四条抛物线的焦点共圆（圆心为坐标原点）．记轴上的两个焦点为，在第一象限端点为，若点在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，通过联立方程组求出点的坐标，求出，，根据双曲线的定义得到，，则利用离心率的公式求出，代入数值得解. 【详解】设， 因为在第一象限端点为，所以点为抛物线和的交点， 将两边平方得到，将代入得到， 解得，将代入解得，则， 则，， 因为点在以为焦点的双曲线上，， ，则离心率为，故选项B正确. 7．【新角度】（多选）（2026·河南开封·二模）已知双曲线：的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则（   ） A．的离心率为2 B．的渐近线方程为 C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据圆与双曲线渐近线相切得到，结合离心率公式及可判断选项A、B；根据，求出，进而求出，判断选项C；根据，得到，，，进而得到点，坐标，求出直线方程，结合垂径定理及点到直线的距离可判断选项D. 【详解】双曲线：的渐近线方程为，即.圆：的圆心为，半径为.由题意得，圆心到渐近线的距离，即，所以. 对于A：，故A正确. 对于B：，所以渐近线方程为，故B正确. 对于C：，，因为，所以点的横坐标为， 代入双曲线方程，解得.取，则，， 所以，故C错误. 对于D：若，则，，，，. 直线方程为，即.圆心到直线的距离，由垂径定理可得，，故D正确. 8．【新融合】（多选）（2026·四川泸州·模拟）过双曲线左焦点的直线与圆相切于点，与的一个交点为，则（   ） A．与一定有两个交点 B．点在的一条渐近线上 C．若，则的离心率为 D．若，则 【答案】BCD 【分析】对于B：分析可知，，进而分析斜率即可；对于A：举反例说明即可；对于C：结合双曲线定义可得，，结合勾股定理运算求解；对于D：根据题意可得，，即可得面积. 【详解】对于选项B：由题意可知：，，，可得，则直线的斜率，可知直线即为双曲线的其中一条渐近线，所以点在的一条渐近线上，故B正确；对于选项A：若，则直线的斜率，且渐近线的斜率为， 可知直线与双曲线的一条渐近线平行，此时与有且仅有1个交点，故A错误； 对于选项C：设双曲线的另一个焦点为， 若，可知点为的中点，且为的中点，则，，可得，由勾股定理可得：，即，可得，所以双曲线的离心率为，故C正确；对于选项D：若，则，， 所以，故D正确.故选：BCD. 9．（2026·四川泸州·三模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则__________． 【答案】/2.25 【分析】利用双曲线的渐近线求解. 【详解】∵方程表示双曲线，∴，解得.由题意知，，，，所以，即，整理得，解得. 10．【新请将】（2026·上海·模拟预测）如图所示，地在地的正东方向，相距，地在地的北偏东方向，相距，河流沿岸曲线上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从到、两地修建公路费用都是10万元/，从到地修建公路的费用是20万元/．选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低为__________万元．（精确到0.01） 【答案】85.83 【分析】由题意根据双曲线定义确定轨迹，再由双曲线定义结合图象求解即可. 【详解】以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，如图所示， ，由双曲线定义可得，轨迹为双曲线的右支，故，， 故轨迹方程为：， 故由题意修建的三条公路总费用， 由图形可知，当，，三点共线，即在点处时，最小值， 由题意，所以，所以. 11．【新思维】（2026·湖南长沙·一模）已知双曲线 过点，且焦距为 (1)求双曲线的方程； (2)过定点的直线与双曲线交于两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由点，求得，再结合即可求解； （2）当直线斜率不存在时，直接代入验证，当直线斜率存在时，设中点为，由，结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）双曲线过点，代入点坐标得，解得， 由焦距​得，即，故，因此双曲线的方程为： ； （2） 分两种情况讨论： 直线斜率不存在时，此时直线方程为，代入双曲线得， 即，计算得，满足条件， 故是符合要求的直线， 直线斜率存在时，设直线：， 联立双曲线，整理得： ， 直线与双曲线交于两点，故 （即），且判别式恒成立， 设 ，中点为，由韦达定理得： ， 因此，，由，得在的垂直平分线上， 故，即 ，代入坐标化简得： ， 即，整理得，满足条件， 综上，直线的方程为：或. 12．【新思维】（2026·湖北孝感·模拟）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值； (3)已知的左顶点和右焦点，直线与直线相交于点．试问是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在 【分析】（1）由渐近线倾斜角得到，再把点代入，建立方程求解； （2）设出点M的坐标为，，利用点到直线距离公式得到点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值； （3）先考虑时，再考虑，当M在x轴上方时，设出点的坐标，表达出，结合正切二倍角公式得到，故，当M在x轴下方时，同理可得结论. 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得， 又由点在双曲线上，有，代入，有，可得，， 故双曲线的标准方程为； （2）设点的坐标为，则，即．双曲线的两条渐近线，的方程分别为，，则点到两条渐近线的距离分别为，， 则．所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值． （3）存在． ①当时，，又是的中点， 所以，所以，此时． ②当时． ⅰ）当在轴上方时，由，，可得，所以直线的方程为，把代入得．所以，则． 由二倍角公式可得．因为直线的斜率及，所以，则． 因为，，所以． ⅱ）当在轴下方时，同理可得．故存在，使得． 真题·实战演练 高频考点：双曲线定义应用、渐近线方程求解、离心率计算、焦点三角形面积与边角计算、利用定义求距离最值、双曲线与椭圆共焦点综合计算。 1．（2026·北京·高考真题）已知双曲线：的渐近线方程为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】根据渐近线方程结合已知双曲线方程列式计算求解. 【详解】因为双曲线为，则渐近线为，又因为渐近线为，且，所以. 2．（2026·天津·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：过点作垂直轴，垂足为，根据几何关系用表示出点坐标，代入双曲线方程构造齐次式，然后可得离心率. 解法二：设右焦点为，连接，根据双曲线的定义和性质可得，，结合余弦定理运算求解. 【详解】解法一：如图，过点作垂直于轴，垂足为， 因为，所以，所以， 又，所以， 根据双曲线对称性，不妨设点在第二象限，则， 将点坐标代入双曲线方程得：， 整理得， 将代入上式，整理得， 两边同时除以，整理得，解得. 解法二：如图， 设右焦点为，连接， 由题意可知：，，在三角形中，， 在三角形中，， 即，整理可得，可得， 所以. 3．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率． 【详解】由得，，所以， 即，所以， 故选：B． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率. 【详解】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 5．（2026·全国一卷·高考真题）双曲线的离心率为__________． 【答案】 【分析】先将给定双曲线方程化为标准形式，确定、，再利用双曲线中的关系求出，最后根据离心率定义计算结果. 【详解】将双曲线化为标准方程，得，则， 因此，则离心率为. 6．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ________． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解. 【详解】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 7．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点． (1)求点到双曲线渐近线的距离； (2)若，求； (3)记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在实数符合题意，此时的取值范围为 【分析】（1）根据双曲线方程求，即可得渐近线方程以及点到直线的距离； （2）解法一：根据余弦定理可得，结合定义可得，，即可得面积；解法二：设，根据数量积可得，即可得面积；解法三：根据极化恒等式和中线长性质可得，，结合面积公式运算求解； （3）根据题意结合双曲线性质可得直线斜率取值范围，设直线方程结合弦长公式可得，，进而分析取值范围即可得解. 【详解】（1）由题意可知：，， 则，，渐近线方程为，即， 所以点到双曲线渐近线的距离为. （2）解法一：因为， 由余弦定理可得， 整理得：， 因点是双曲线上一点，则，可得， 代入可得，，则， 所以的面积为； 解法二：设，则，即， 可得，， 因为，即，解得， 所以的面积为； 解法三：因为，即， 由中线长定理可知：， 因为，可得， 代入可得，，可得， 解得，则，， 所以的面积为. （3）不妨取，，则直线的斜率， 依题意，设直线：，则，设直线：，则，，， 联立方程，消去x可得， 则，， 可得， 可知函数在内单调递增，则， 且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故， 因，所以； 同理可得： 可知在内单调递减，则， 且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故； 由题意可知：，可得，解得， 所以存在实数符合题意，此时的取值范围为. 1 / 50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $