第六讲 相似三角形模型 专题复习讲义 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

第六讲 相似三角形模型 题型一：相似基本模型(A字型) 【基本模型】 ①如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC,则△ADE一△ABC, AD AE DE AB AC BC. ②模型拓展1：斜交A字型条件：∠C=∠ADE,图2结论：△ADE~△ACB: D 反A字型（不平行） AD AC CD ③模型拓展2：如图，∠ACD=∠B台△ADC∽△ACB台ACAB BC 例1.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，△ADE∽△ABC,且△ADE与 △ABC的相似比为2：3.已知AE=4,求AC的长. 变式练习 1.如图D,E分别是△ABC的AB,AC边上的点，△ABC一△ADE.已知AD:DB=1:2, BC=18cm,求DE的长. ⊙ 2.如图，已知：D,E分别是△ABC的AB,AC边上的点，且△ABC一△ADE,AD:DB= 13,DE=2,求BC的长. 3.如图，D,E分别是△ABC的AB,AC边上的点，△ABC∽aADE,已知 AD:DB=1:2,BC=9Cm,求DE的长. E D B 例2.己知：D、E是△ABC的边AB、AC上的点，AB=7.4,AD=3,AC=6,AE=3.7,求 证：△ABC一△AED. A D 变式练习 1.如图，D,E分别为AB,AC边上两点，且AD=5,BD=3,AE=4,CE=6.求证： △ADEP△ACB E D B 2.己知：DE是△ABC的边AB、AC上的点，AB=8,AD=3,AC=6,AE=4,求 证：∠AED=∠B 题型二：相似基本模型(X字型) 【基本模型】 AB OA OB ①如图1，AB∥CD→△AOB∽△COD CD OC OD: AB OA OB ②如图2，∠A=∠D台△AOB∽△DOC台CDOD OC 4 B 图1 图2 AB JA JB ③模型拓展：如图，∠A=∠C台△AB∽△CJD台CD JC JD. 反8字型（不平行） 例1，如图，AB∥DC,A0=2,BD=7,OB=2.5. A B D ()求OC的长. (2)求△AOB与△DOC的面积比. 例2.如图，已知AD和BC相交于点E,AC∥BD,点F在CD上， AC=6,BD=9,CF:DF=2:3 5 B (1)求EF的长： (2)如果 ACmD=25 Sacr的值 变式练习 AE 1 1.如图，ABIICD,AD与BC交于点E,DE2,连接AC. A (1)若AB=5,求CD: (2)若△ABE的面积为，求△ACD的面积.（用含的代数式表示） 6 OD 2 2.如图，AB与CD相交于点O,AC∥BD,OC3,OB=4,SAouC=36.求： (1)OA的长. (2)△OBD的面积. 3.如图，已知ACIIBD,AB和CD相交于点E,AC=6,BD=4,F是BC上一点， SABEF SAEEC =2:3 A E B (1)求EF的长； (2)如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积. 4.如图，已知AB/∥CD,AD、BC交于点E. E D AE (1)写出所有比值等于BE的两条线段之比. (2)若AE=3,DE=6,BC=12,求CE的长. 题型三：相似基本模型（母子型） 【基本模型】 AE AD DE 如图为斜“A字型基本图形.当∠AED=∠B时，△ABC∽△AED,则有AB AC BC AE·AC=AD·AB, D 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型. AC AD CD 当∠ACD=∠B时，△ABC∽△ACD,则有AB AC BC 小 例1.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,AD=BD (1)求证：△ABCABDC (2)若∠C=90°，BC=2,求AB的长. 变式练习 1.如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD=4.5,BD=3.5,AC=6.△ABC的角平分线 AE交CD于点F B E (1)求证：△ACD∽△ABC: (2)若AF=4,求AE的长度. 9 2.如图，在△ABC中，PC平分∠ACB,PB=PC. (1)求证：△APC~△ACB, (2)若AP=2,PC=5,求AC的长. 3.如图：在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,AD=BD D B (1)求证：△ABC∽aBDC. (2)若BC=3,CD=2,求BD的长. 10 题型四：相似基本模型（双垂直型） 【方法点拨】直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即 △ACD∽△ABC∽△CBD D B AD AC 例1.如图，在Rt△1BC中，∠ACB=90,点D在AB上，且AC=AB (1)求证△ACD一△ABC: (2)若AD=3,BD=2,求CD的长. 3 例2.如图，在△ABC中∠BAC=90,AB=AE,DB=DC,求证： D (1)△BFE∽△CAB. BE 2 2)若CE3,AB=5,求AF的长. 变式练习 AD CD 1.如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且CDBD· (1)求证：△ACD~△CBD; (2)求∠ACB的大小. 12 2.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D, B (1)求证：AC2=ABAD, (2)如果BD=5,AC=6,求AD的长. 3.综合探究 【教材回顾】 (1)如图(1)，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.求证：CD2=ADBD 【尝试应用】 (2)如图(2)，CD是△ABC的高.以CD为边在右侧作菱形CDEF,点E恰好落在BC 上，且∠CDE=2∠ACD,猜想DE与AD,BD之间的数量关系，并说明理由. 【拓展提高】 13 (3)如图(3)，在Rt△ABC中，∠ACB=90,AC=BC,点D为AB上一点，EF⊥CD于 FH 4 AD 点H,点B,F分别在BC,AC上，且HEg,求BD的值. A D B E 图(1) 图(2) 图(3) 题型五：相似基本模型（手拉手型） 【方法点拨】基础模型： 旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形. 例1.如图，AB=3,AC=2,BC=4,AE=3,AD=45,DE=6,∠BAD=20°，则 ∠CAE的度数为(） B E 14 A.10° B.20° C.40° D.无法确 定 例2.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C,F,G三点在一直线上，连接 AF并延长交边CD于点M, E B (1)求证：△FCOAMCA: (2)求证：△ACF∽aABE: (3)若DM=1,CM=2,求正方形AEFG的对角线AF的长. 变式练习 1.如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正 方形AEFG,线段EB和GD相交于点H. 15 D EH A B (1)求证：EB=GD: (2)判断EB与GD的位置关系，并说明理由： 害B=3,4G=5,求B的长 2.【模型引入】 我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观 察新问题的时候很迅速地联想，从而借助己有经验，迅速解决问题. 6 LT 9围 S围 W O 0 P 5 a 幅 E图 c 太 0 日 女 0 0 N ⊙ ☒ 王 0 a d A 园 T园 日 @ M E G SM 的 A C 图7 图8 【模型探究】 如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE,过点E作EFLAE,交直线CB 于点F (1)如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明： (2)如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC,BE和BF的数量关系. 【模型应用】 (3)如图3，正方形ABCD中，AB=4,E为CD上一动点，连接AE交BD于F,过F作 FHLAE于F,过H作HG⊥BD于G.则下列结论：①AF=FH;②∠HAE=45°；③BD= 2FG;④△CEH的周长为8.正确的结论有 个. (4)如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE,过点E作EFLAE,交线 18 段BC于点F,交线段AC于点M,连接AF交线段BD于点H.给出下列四个结论，①AE =EF:②V2DE=CF:③SAEM=SMCr;④BE=DE+V2BF;正确的结论有 个. 【模型变式】 (5)如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D(0,2),点E是线段 OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B),作NLDM,垂足为M, 交∠CBE的平分线与点N,求证：MD=N (6)如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F,连接M,则∠FMN和∠MB 之间有怎样的数量关系？请给出证明 【拓展延伸】 19 (7)已知∠MON=90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点， 且满足OB>OA.点C在线段OA的延长线上，且AC=OB.如图7，在线段BO上截取 BE,使BE=OA,连接CE.若∠OBA+LOCE=f,当点B在射线OM上运动时，B的大小 是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由， (8)如图8，正方形ABCD中，AD=6,点E是对角线AC上一点，连接DE,过点E作 EF⊥ED,交AB于点F,连接DF,交AC于点G,将△EFG沿EF翻折，得到△EFM,连 接DM,交EF于点N,若点F是AB边的中点，则△EDM的面积是， 3.如图1，E是正方形ABCD的边CD上点，连结AE,以AE为边作正方形AEFG,点 M是AF的中点，连结DM. 20 D E M M G G B B B 图1 图2 图3 (1)如图2，连接GB,求证：△ADE≌△ABG. (2)如图3，连接CM,请写出CM、AE的数量关系并说明理由： (3)若正方形ABCD、AEFG的边长分别为4、5，求DM的长. 4.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=C,点P为线段CA延长线上一动点，连接PB,将线 段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为Q,得到线段PD,连接DB,DC. 21 P B 图1 图2 (1)如图1，当a=60°时， ①求证：PA=DC; ②求∠DCP的度数： (2)如图2，当a=120°时，试判断PA和DC的数量关系，并说明理由： 当“=120，BPC<90时，若MB=6,BP=3T,求点D到CP的距离. 5.已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD =AF,AE.CE=DEEF. 22 (1)求证：△ADE一△ACD: (2)如果AEBD=EFAF,求证：AB=AC. 题型六：相似基本模型（一线三等角型） 【方法点拨】基础模型： 23 D图1 D图2 D图3 如图l,∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD(一线三等角) 如图2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE(一线三等角) 如图3，特别地，当D时BC中点时：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF,FD 平分∠EFC. 例1.如图，等边△ABC中，边长为6，点D是BC边上的动点，点E、F分别在边AB、AC 上，且始终满足∠EDF=60°. D (1)求证：△BDE∽△CFD. (2)当BD=1.5,FC=1时，求BE的长. 例2.如图，在等边三角形ABC中，点P是边BC上一动点(P点不与端点重合)，作 ∠DPE=6O°，PE交边AC于点E.PD交边AB于点D. 24 (1)求证：△BPD∽aCEP: (2)若AB=6,BD=2,CP:BP=1:5,求CE的长. E B 变式练习 1,如图1，△ABC为等边三角形，AB=20,点D为BC边上的动点（点D不与点B,C重 合)，且∠ADE=∠B,交AC边于点E. 图1 图2 (1)求证：△ABDADCE: (2)如图2，当D运动到BC的中点时，求线段CE的值； 2.如图，在△ABC中，AB=AC=5,点P为BC边上一动点（不与点B,C重合），过点 P作射线PM交AC于点M,∠APM=∠B,BC=8. 25 M B C (1)求证：△ABP∽△PCM: (2)当BP=2时，求CM的值. 3.如图1，在△ABC中，AB=AC=5、BC=8,点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不 与C,B重合)，且保持∠APO=∠ABC. 26 图1 图2 (1)若P在线段CB上，求证：△ABP∽aPCQ: (2)设BP=x、CQ=y,求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围： (3)如图2，正方形ABCD的边长为5，点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与C、B重 合)，且保持∠AP9=90°，当CQ=1时，直接写出BP的长. 4.如图，在△ABC中，AB=AC=12,BC=14,点D、E分别在边BCAC上（点D不 27 与端点B、C重合)，并且满足∠ADE=∠B. D (1)求证：△ABDP△DCE, (2)设BD=x,CE=y,请求出当x取何值时，y取最大值？y的最大值是多少？ 5.如图，在A8C中，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），BC-4N5 28 ∠B=LADE=∠C=30° (1)求证：△ABD一△DCE: (2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式并写出自变量×的取值范围： (3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长. A E 备用图 例3.己知矩形ABCD,CD=2,AD=3,P是AD上的一个动点，且和A、D不重合， 29 过P作PE⊥CP,交边AB于点E,设PD=x,AE=y,求y与x的函数解析式，并写出 x的取值范围. 4 D 例4.如图，在矩形ABCD中，AB=m(m是大于0的常数)，BC=8,E为线段BC上的动 点（不与B、C重合），连接DE,作EFLDE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BFy. (1)求y关于x的函数关系式： (2)若=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ (3)若y=12 要使△DEF为等腰三角形，的值应为多少？ N B E C 30 变式练习 1.已知，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点 (点P异于C、D两点).连接PM,过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E(如图)， 设CP=x,DE=y. (1)写出y与×之间的函数关系式▲： (2)若点E与点A重合，则x的值为▲； (3)是否存在点P,使得点D关于直线PE的对称点D'落在边AB上？若存在，求x的值： 若不存在，请说明理由. D C C M M E E B B 备用图 31 2.如图，在矩形ABCD中，AB=m,BC=4,点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点 (点P异于C,D两点)，连接PM,过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E(如图)· 设CP=X,DE=y. (1)求y与x之间的函数关系式： (2)若点P在线段DC上运动时，点E总在线段AD上，求m的取值范围： (3)当m=8时，是否存在点P,使得点D关于直线PE的对称点F落在边AB上？若存在， 求×的值；若不存在，请说明理由. D E 32 3.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=9,P是线段AD边上的任意一点（不含端点 A、D),连接PC,过点P作PE⊥PC交AB于E. P A 0 B (1)若DP=2,则AE= (2)当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围： (3)在线段AD上是否存在不同于P的点Q,使得QC⊥E？若存在，求线段AP与AQ之间 的数量关系；若不存在，请说明理由. 33 题型七：三角形内接矩形 【基本模型)】 由之前的基本模型(A型或AX型)推导出来的。 G G M GF AH 结论：AH⊥GF,△AGF∽△ABC, BC AM 例1.【主题】如何裁剪木板使面积最大。 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解 代数式的最值. 素材2：求解代数式-x2+2x+3的最大值. 解：原式-(-2x++4=(x-+4.(x-≥0，(x-≤0， :-(x-1旷+4≤4：2+2x+3的最大值为4. 【问题解决】 如图，有一块直角三角形木板ABC的面积为13.5m2,一条直角边AB长为4.5m,现王师傅 要沿着边AC截一个矩形台面DEFG,D,G分别在边AB,BC上，BH⊥EF,分别与 DG,EF交于点M,H,求该矩形台面面积的最大值. B M 34 变式练习 1.阅读理解题，阅读材料，解决问题： 配方法是一种重要的数学方法，我们已经学习了用配方法解一元二次方程，并在此基础上 得出了一元二次方程的求根公式.其实配方法还有很多重要的应用，例如我们可以用配方 法求函数的最值以及取得最值的条件，见下面的例子： 例：求函数y=-t-3x+2 的最大值以及取得最大值的条件。 解=-3+2=(+3+？》2=-气 +到0，+0，+，y贤 的质大位为好，比时+号0，=是 17 3 2 仿照上面的方法，请你解决下面的问题： G BED F C 2)已知函数'=-2x2-8x+1 当心=一时，函数有最大值为一： (2)如图，在△ABC中，BC=20,高AD=16,内接矩形EFGH的顶点E、F在BC上，G、 H分别在AC、AB上，设HG=x,矩形EFGH的面积为y,求： ①y关于x的函数关系式： ②矩形EFGH的面积的最大值， 35 2.现有一块直角三角形的材料，AB=80cm,BC=60cm,用它截下一个矩形，如图是截 法示意图，求这种截法下矩形的最大面积是多少？ C E D F B 3.【阅读材料】 配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用来求“最值”问题. 例如：求代数式-2m2+6m的最值， -2m2+6m=-2(m2-3m）=-2m-3m+44) 99 解：因为 3 9 所以当m=2时，代数式-2m2+6m取得最大值2· 36 (1)【材料理解】 x=时，代数式3x+2-4的最一《“大”或“小”)值为 (2)【类比应用】 试判断关于“的一-元二次方程-(k-2x-2k=0 实数根的情况是_.（填选项） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.有实数根 (3)【迁移应用】 如图，有一块锐角三角形余料ABC,它的边BC=12厘米，高AD=8厘米.现要用它裁出 一个矩形工件POMN,使矩形的一边在BC上，其余的两个顶点分别在AB、AC上.设 PN=x POMN ,试用含的代数式表示矩形工件 的面积，并运用“配方法”求的最大 值. A M 4.如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8,BC=6,现要在△ABC内建造一个 矩形水池DEFG,如图的设计方案是使DE在AB上. (1)求△ABC中AB边上的高h; (2)设DG=x,当x取何值时，水池DEFG的面积最大？ 37 (3)实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最 大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的 最大矩形水池能避开大树。 题型八：相似三角形中的动点问题 例1.如图，Rt△ABC,∠C=90°，AC=10cm,BC=8cm.点P从点C出发，以2cm/s的 速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cms的速度沿BC向点C匀速运动， 当一个点到达终点时，另一个点随之停止. P B (1)求经过几秒后，△PCQ的面积等于16cm? (2)经过几秒，△PCQ与△ABC相似？ 38 变式练习 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm,BC=15cm,现有动点P从点A出发，沿 AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度 是4cm/s,点Q的速度是2cms,它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止 运动.设运动时间为秒， B (1)求t为多少秒时，△CP2的面积为为24cm (2)当1为多少时，以点C,P旦为顶点的三角形与△ABC相似. 39 2.如图，Rt△ABC,∠C=90°，AC=10cm,BC=8cm.点P从点C出发，以2cm/s的 速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以lcm/s的速度沿BC向点C匀速运动， 设点P、⑨运动时间为t,当一个点到达终点时，另一个点随之停止 AN P (1)求经过几秒后，△PC的面积等于16cm2？ (2)经过几秒，△PCO与△ABC相似？ (3)①是否存在t,使得△PC卫的面积等于20cm？若存在，请求出t的值，若不存在，请 说明理由；②设四边形APB的面积为S,请直接写出S的最大值或最小值。 40 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm,BC=8cm,点P从点C出发，以 2cm/s的速度沿着CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以lcm/s的速度沿着BC向 点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止.经过()s后，△PC与 △ABC相似. A P 40 40.25 4016 A 13 B.13或7 C.13或7 D. 为或 41 、 第六讲 相似三角形模型 题型一：相似基本模型（A字型） 【基本模型】 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 例1．如图，点D、E分别在的边、上，，且与的相似比为．已知，求的长． 【分析】先根据以及给定的相似比写出对应边的比值，再代入已知线段长解方程求出． 【详解】解：，相似比为， ． ， ， 解得． 变式练习 1．如图D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，△ABC∽△ADE．已知AD：DB=1：2，BC=18cm，求DE的长． 【分析】先根据AD：DB=1：2得出AD：AB=1：3的值，再根据相似三角形对应边成比例即可得出DE的长． 【详解】∵AD：DB=1：2， ∴AD：AB=1：3， ∵△ABC∽△ADE， ∴， ∴DE=6cm． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边的比等于相似比是解答此题的关键． 2．如图，已知：D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，且△ABC∽△ADE，AD∶DB＝1∶3，DE＝2，求BC的长． 【分析】先根据AD∶DB＝1∶3,变形得到AD∶AB 的值,再根据相似三角形对应边成比例求解即可. 【详解】∵AD∶DB＝1∶3， ∴AD∶AB＝1∶4， ∵△ABC∽△ADE， ∴AD∶AB＝DE∶BC， ∵DE＝2， ∴BC＝8. 【点睛】本题利用相似三角形对应边成比例求解,关键在于变形得到AD∶AB 的值. 3．如图，D，E 分别是 的 ，边上的点，，已知 ，，求的长． 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质可得，由，可得，即，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 例2．已知：D、E是△ABC的边AB、AC上的点， AB＝7.4，AD＝3，AC＝6，AE＝3.7，求证：△ABC∽△AED． 证明：在△ABC和△AED 中， ∵，， ∴， 又∵∠A=∠A， ∴△ABC∽△AED. 【分析】根据相似三角形的判定定理：两边成比例，夹角相等，即可证明相似. 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两边成比例，夹角相等，证明三角形相似. 变式练习 1．如图，D，E分别为边上两点，且，，，．求证：．    证明：，，，， ，， ，， ， 又， ． 【分析】根据两边对应成比例，且夹角即可证明相似． 【详解】略． 【点睛】本题考查了三角形相似的证明，掌握相似三角形判定方法是解题关键． 2．已知：是的边、上的点，，，，，求证：． 证明：在和中， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由已知可得，进而由求证，即可得出结论，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 题型二：相似基本模型（X字型） 【基本模型】 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 例1．如图，，，，． (1)求的长． (2)求与的面积比． (1)3.6；(2) 【分析】先证出两三角形相似，再利用相似三角形的性质即可解得结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ， ， ． （2）解：， ． 例2．如图，已知和相交于点，点在上，． (1)求的长； (2)如果，求的值． (1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可判定，从而得比例式，再由，利用两组边成比例夹角相等判定，由此再得比例式，即可求得的长； （2）由可知相似三角形的面积比等于相似比的平方，列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 又， ∴， ， ； （2）解：∵， ∴， ∵， ． 变式练习 1．如图，，与交于点E，，连接． (1)若，求； (2)若的面积为m，求的面积．（用含m的代数式表示） (1)10； (2)． 【分析】此题重点考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，证明，得成比例线段，进而可以求得； （2）由，得，，则，，即可求得． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， 的长为10． （2），的面积为m， ， ，， ， ， ， 的面积是． 2．如图，与相交于点，，，，．求： (1)的长． (2)的面积． (1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形周长和面积的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据平行判定角相等则可判定三角形相似，根据相似比即可求得的长； （2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可以得到三角形的面积比，进而可求得三角形面积． 【详解】（1）解：， ，， ， ． ， ， ． （2）解：由（1）得， ． ， ， ． 3．如图，已知，和相交于点，，，是上一点，． （1）求的长； （2）如果的面积为4，求的面积． （1）    ；（2）． 【分析】（1）由推出，得△ACE∽△BDE，推得，可证△CEF∽△CDB，由性质得∠CEF=∠D，证得EF∥DB，由AC∥EF，推出即可； （2）由（1）得AC∥EF，可证△BEF∽△BAC，由性质得，把S△BEF代入计算即可． 【详解】（1）∵，设三角形BC边上的高为h， ∴， ∴， ∵， ∴∠A=∠EBD,∠ACE=∠EDB， ∴△ACE∽△BDE， ∴， ∴， ∴， ∵∠ECF=∠DCB， ∴△CEF∽△CDB， ∴∠CEF=∠D， ∴EF∥DB， ∴AC∥EF∥DB， ∴， ∵AC=6， ∴； （2）由（1）得AC∥EF，AC=6，EF=2.4 ， ∴△BEF∽△BAC， ∴， ∵的面积为4， ∴． 【点睛】本题考查面积比，平行线的性质与判定，相似三角形的判定与性质，掌握同高面积比等于底的比，平行线的性质与判定，相似三角形的判定与性质，会用它们解决问题是关键． 4．如图，已知AB//CD，AD、BC 交于点E． （1）写出所有比值等于的两条线段之比． （2）若AE=3，DE=6，BC=12，求CE的长． （1），；（2）． 【分析】（1）证明△ABE∽△DCE列式即可求解； （2）根据△ABE∽△DCE可得，代入相关数值求解即可． 【详解】解：（1）∵AB//CD， ∴∠A=∠D，∠B=∠C ∴△ABE∽△DCE ∴， ∴ 所以，等于的两条线段之比，； （2）∵△ABE∽△DCE ∴ ∵AE=3，DE=6，BC=12， ∴ 解得，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确地识别图形是解答的关键． 题型三：相似基本模型（母子型） 【基本模型】 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 例1．如图，在中，平分交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． (1)， ， 平分交于点， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）由等边对等角得到，然后结合角平分线得到，然后结合即可得到； （2）首先由三角形内角和定理求出，然后利用含30度角直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）解：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 变式练习 1．如图，在中，点D在边上，，．的角平分线交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长度． (1) 证明：∵， ， ， 即 ， 又， ． (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键： （1）根据两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，进行证明即可； （2）证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由(1)可知，， ， 又∵的角平分线交于点， ∴， ∴ ， ∴ ， 又∵， ∴ ． 2．如图，在中，平分，． （1）求证：； （2）若，，求的长． （1）见解析；（2）的长为 【分析】（1）利用角平分线及等腰三角形性质，可得出，同时两个三角形有一个公共角，即可得出两个三角形相似； （2）利用（1）中相似三角形的对应边成比例，将已知边代入即可求出答案． 【详解】（1）∵平分，， ∴，， ∴． 又∵， ∴； （2）由（1）可知：，且，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，理解掌握判定定理及性质是解答本题关键 3．如图：在中，平分交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． (1) 证明：平分交于点D， ， ， ， ， ， ． (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明即可． （2）由相似三角形的性质得，求出，则，而，则可得． 【详解】（1）略 （2）解：由（1），， ． ，， ． ． ， ． 的长是． 题型四：相似基本模型（双垂直型） 【方法点拨】直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD. 例1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． （1）∵，， ∴； （2） 【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出 （2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键． 例2．如图，在中，，．求证： (1)； (2)若，，求的长． ．(1) 证明：， ， ， ， ； (2)的长为3 【分析】（1）根据等边对等角，以及两组对应角相等的三角形相似，即可得证； （2）根据，推出，再根据，利用对应边对应成比例，求出，进而求出． 【详解】（1）略 （2）解：， 设， ，， ， ， ， ， 的长为3． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 变式练习 1．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且． （1）求证：△ACD∽△CBD； （2）求∠ACB的大小． （1）证明见试题解析；（2）90°． 【详解】试题分析：（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD； （2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°． 试题解析：（1）∵CD是边AB上的高， ∴∠ADC=∠CDB=90°， ∵． ∴△ACD∽△CBD； （2）∵△ACD∽△CBD， ∴∠A=∠BCD， 在△ACD中，∠ADC=90°， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴∠BCD+∠ACD=90°， 即∠ACB=90°．        考点：相似三角形的判定与性质． 2．如图，中，，于点． (1)求证：； (2)如果，，求的长． (1)见解析； (2)． 【分析】（1）根据题意易证，从而证明，然后利用相似三角形的性质可得到结论； （2），由结合已知得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：， ； （2） 由（1）可知 ， 整理得： 解得：或（不合题意，舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 3．综合探究 【教材回顾】 （1）如图（1），在中，，垂足为D．求证：． 【尝试应用】 （2）如图（2），是的高．以为边在右侧作菱形，点E恰好落在上，且，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 （3）如图（3），在中，点D为上一点，于点H，点E，F分别在上，且，求的值． （1）证明：∵， ∴． 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴， 即． （2）． 理由：如图（1），连接与相交于点G． ∵四边形为菱形， ∴ 又 ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴， 同理（1）可得 ∴ （3） 【分析】（1）先得出，再进行角的等量代换得证明，故，即可作答． （2）先连接与相交于点G．再结合四边形为菱形，得与同理（1）可得因为，则，即可作答． （3）先运用（1）中的结论，表示出的长，进而求得的值．再过点D作于点P，求出的值，然后运用平行线分线段成比例求出的值，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）． ∴可设，则． ∵， ∴同理（1）可得 ∴ ∴ 如图（2），过点D作于点P，则， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又， ∵ 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形的性质，菱形的性质，平行线分线段成比例，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型五：相似基本模型（手拉手型） 【方法点拨】基础模型： 旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形. 例1．如图，，，，，，，，则的度数为(    ) A． B． C． D．无法确定 【分析】利用三边成比例可判定△ABC∽△ADE，再利用相似三角形的性质即得答案. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠CAE=∠BAD=. 故选B. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，难度不大，属于基础题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键. 例2．如图，四边形和四边形都是正方形，三点在一直线上，连接并延长交边于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求正方形的对角线的长． (1) 证明：四边形是正方形，四边形是正方形， ， ， ， ， ； (2) 证明：四边形是正方形， ，， ， 同理可得， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）由正方形性质得到相关角度，结合对顶角相等，等量代换，再由两个三角形相似的判定定理即可得证； （2）由正方形性质及等腰直角三角形性质得到边的关系以及角度关系，再由两个三角形相似的判定定理即可得证； （3）根据勾股定理、相似三角形的性质列式求解即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，， ， ， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查正方形性质、对顶角相等、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理及三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键 变式练习 1．如图，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点H．    (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，，求的长． (1) 证明：∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 解：，理由如下： 如图，设与的交点为P，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）结合正方形的性质，证明，即可作答； （2）设与的交点为P，根据，可得，结合对顶角相等以及三角形内角和定理即可作答； （3）连接，与交于点O，根据正方形的性质可得，，结合勾股定理即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，连接，与交于点O，    ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握正方形的性质是解答本题的关键． 2．【模型引入】 我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题． 【模型探究】 如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交直线CB于点F． （1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明； （2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系． 【模型应用】 （3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH⊥AE于F，过H作HG⊥BD于G．则下列结论：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为8．正确的结论有 个． （4）如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交线段BC于点F，交线段AC于点M，连接AF交线段BD于点H．给出下列四个结论，①AE＝EF；②DE＝CF；③S△AEM＝S△MCF；④BE＝DE+BF；正确的结论有 个． 【模型变式】 （5） 如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线与点N，求证：MD＝MN （6） 如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F，连接FM，则∠FMN和∠NMB之间有怎样的数量关系？请给出证明． 【拓展延伸】 （7）已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．如图7，在线段BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若∠OBA+∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由． （8）如图8，正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EDM的面积是　 　． （1）， 证明：若点F在线段BC上，,理由如下， 过点作，交于，交于, 四边形是正方形， ， 又 四边形是矩形， ， 是等腰直角三角形 在与中， （2）；（3）4；（4）3； （5）如图5，在上取，连接， 平分 ， 与中 （6）如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F，连接FM，，理由如下， 延长至点，使得，连接，过点作于点， ， 在与中， （7）的大小不变，，理由如下， 过点作，且，连接交于点，连接，如图， ， 又 四边形是平行四边形 即 （8） 【分析】（1）过点作，交于，交于,证明是等腰直角三角形，进而证明，即可证明； （2）过分别向作垂线，垂足分别为，证明四边形是正方形，证明，过作于,过作的延长线于点，设正方形的边长为，在中，求得，进而求得，证明，进而可得，由，可得 （3）①由（1）直接判断①；根据是等腰直角三角形，即可判断②；过作于,证明可得，进而判断；③过点作于点，延长至，使，证明，进而可得△CEH的周长为，即可判断④； （4）①由（1）直接判断①；过作,交分别为点，证明是等腰直角三角形，证明，进而可得，即可判断②；过作交于点,于，可得，由②可知，进而证明，可判断④，由于点的位置不确定，无法判断和的关系，即可判断③； （5）在上取，连接，证明即可； （6）延长至点，使得，连接，过点作于点，证明，可得，进而证明，由，根据角度的等量换算可得，，进而可得； （7）过点作，且，连接交于点，连接，证明，可得，进而可得，进而证明四边形是平行四边形，根据平行线的性质，三角形的外角的性质可得，即 （8）过作，交于，交于，连接，证明，设则，，证明是等腰直角三角形，证明，在中，勾股定理求得，进而可得，过点作于点，证明，进而求得，进而求得，在中，勾股定理求得，进而求得，根据翻折的性质求得，根据四边形即可求得． 【详解】（1）略 （2）若点F在线段CB的延长线上，，理由如下， 过分别向作垂线，垂足分别为， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ，， 四边形是正方形 , 在与中 过作于,过作的延长线于点，如图， 四边形是正方形， ， 设正方形的边长为， 在中，， ， 在和中 ， 即 即 （3）如图 由（1）可得，故①正确， 是等腰直角三角形， 故②正确， 过作于, 又 故③正确， 如图，过点作于点，延长至，使， ， 即 △CEH的周长为 正方形的边长为4 △CEH的周长为． 故④正确， 综上所述，故正确的结论有①②③④，共计4个 故答案为：4 （4）如图4， 由（1）可得,故①正确； 如图，过作,交分别为点 四边形是正方形 四边形是矩形 同理，四边形是矩形， ， 是等腰直角三角形 ， 四边形是矩形 在与中， 故②正确 如图，过作交于点,于 则四边形是矩形， 由②可知 ，，， ， ， ， 故④正确； 由于点的位置不确定，无法判断和的关系，故③不正确， 综上所述正确的结论由①②④，共计3个； 故答案为：3， （5）略 （6）略 （7）略 （8）如图，过作，交于，交于，连接， 四边形是正方形， , 是等腰直角三角形， 设则， ， 是等腰直角三角形 ,是的中点 在中， 过点作于点，如图， ， 在中， 将△EFG沿EF翻折，得到△EFM， ， 四边形 故答案为： 【点睛】本题考查了四边形综合题，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，正方形的性质，添加辅助线，构造全等是解题的关键． 3．如图1，是正方形的边上点，连结，以为边作正方形，点是的中点，连结． (1)如图2，连接，求证：． (2)如图3，连接，请写出、的数量关系并说明理由； (3)若正方形、的边长分别为4、5，求的长． ．(1) 证明：在正方形中，， 在正方形中，， ， 在和中， ， ； (2) 解：，理由如下： ， ， ， 三点共线， 四边形是正方形， 连接， 点是的中点， 线段经过点M，且， 在中， ； (3) 【分析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键， （1）根据正方形性质得出，及，即可证明结论； （2）连接，在中，，根据，求出结论； （3）延长到点P，使，连接，先证明，从而证明是等腰直角三角形，即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意知，， ， 延长到点P，使，连接， ， 是中点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 4．在中，，，点为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接，． (1)如图1，当时， ①求证：； ②求的度数； (2)如图2，当时，试判断和的数量关系，并说明理由； (3)当，时，若，，求点到的距离． (1) ①证明：∵将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，， ∴， ∵，，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴，即， ∵，， ∴（）， ∴． ② (2) ．理由如下： 如图，过点 作于 ∵，，， ∴，， ∴，， 同理：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）①根据旋转的性质可得，根据可得，是等边三角形，利用得出即可得结论；②根据全等三角形及等边三角形的性质可得，根据邻补角的定义及角的和差关系即可得答案； （2）过点作于，根据等腰三角形的性质求出，利用的三角函数得出，进而得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可得出； （3）过点D作DM⊥PC于M，过点B作BN⊥CP交CP的延长线于N，利用的三角函数及勾股定理可求出的长，利用（2）的结论可得的长，利用三角形内角和定理得出，利用含角的直角三角形的性质求出的长即可得答案． 【详解】（1）①略 ②∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． （2）（2）略 （3）解：∵， ∴是锐角三角形， 过点作于，过点作于N． 在中，∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故点到的距离为． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形及含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关的性质及判定定理并熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 5．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD＝AF，AE•CE＝DE•EF． （1）求证：△ADE∽△ACD； （2）如果AE•BD＝EF•AF，求证：AB＝AC． （1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）由AE•CE＝DE•EF，推出△AEF∽△DEC，可得∠F＝∠C，再证明∠ADF＝∠C，即可解决问题； （2）欲证明AB＝AC，利用相似三角形的性质证明∠B＝∠C即可. 【详解】（1）∵AD＝AF， ∴∠ADF＝∠F， ∵AE•CE＝DE•EF， ∴， 又∵∠AEF＝∠DEC， ∴△AEF∽△DEC， ∴∠F＝∠C， ∴∠ADF＝∠C， 又∵∠DAE＝∠CAD， ∴△ADE∽△ACD． （2）∵AE•BD＝EF•AF， ∴， ∵AD＝AF， ∴， ∵∠AEF＝∠EAD+∠ADE，∠ADB＝∠EAD+∠C， ∴∠AEF＝∠ADB， ∴△AEF∽△ADB， ∴∠F＝∠B， ∴∠C＝∠B， ∴AB＝AC． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 题型六：相似基本模型（一线三等角型） 【方法点拨】基础模型： 如图1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一线三等角） 如图2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一线三等角） 如图3，特别地，当D时BC中点时：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，FD平分∠EFC. 例1．如图，等边中，边长为6，点D是BC边上的动点，点E、F分别在边AB、AC上，且始终满足∠EDF＝60°． (1)求证：； (2)当BD＝1.5，FC＝1时，求BE的长． (1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质证明∠BED=∠CDF，进而可得结论； （2）由（1）△BDE∽△CFD，可得，代入值即可求出BE的长． 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∵∠EDF=60°． ∴∠BDE+∠CDF=∠BED+∠BDE=120°， ∴∠BED=∠CDF， ∴△BDE∽△CFD； （2）解：∵△BDE∽△CFD； ∴， ∵等边中，边长为6，BD＝1.5，FC＝1 ∴ ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，证明△BDE∽△CFD是解题的关键． 例2．如图， 在等边三角形中， 点P是边上一动点(P点不与端点重合) ， 作， 交边 于点 E． 交边 于点 D． (1)求证：； (2)若，， 求 的长． (1) 证明：∵等边三角形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）根据、可得，即可求证； （2）根据即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：∵等边三角形，， ∴． ∵ ∴ 、等边三角形的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 变式练习 1．如图1，为等边三角形，，点D为边上的动点（点D不与点B，C重合），且，交边于点E． (1)求证：； (2)如图2，当D运动到的中点时，求线段的值； (1) 证明：三角形是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ； (2)5 【分析】（1）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到，再利用两角相等的三角形相似求解． （2）由题意易得，，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：是等边三角形，点是中点， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定、等边三角形的性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定 2．如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），过点P作射线交于点M，，． (1)求证：； (2)当时，求的值． (1) 证明：， ． ， ， ． (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，等边对等角等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由得到，由进一步得，即可证明； （2）先求出．由得到，代入数值即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：，， ． ， ， ， ． 3．如图1，在中，、，点P、Q分别在射线、上(点P不与C，B重合)，且保持．               图1                   图2 (1)若P在线段上，求证：； (2)设、，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)如图2，正方形的边长为5，点P、Q分别在直线、上(点P不与C、B重合)，且保持，当时，直接写出的长． (1) 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ (2)点P在线段上：（）；点P在线段延长线上：（） (3)点P在线段上：或；点P在线段延长线上：；点P在线段延长线上： 【分析】（1）根据已知条件，可得到，再利用三角形外角的性质可得到，然后根据条件可得，从而得到； （2）要求y与x之间的函数关系式，函数的定义域，因为在线段上，或在的延长线上，根据实际情况证明和相似，再利用比例关系式得出； （3）要求线段的长，先证明，可得出比例式，再利用图形间的“和差”关系求解． 【详解】（1）略 （2）解：①若点P在线段上(点P不与C，B重合)，由（1）的结论可得： ， ∵，， ∴， 又∵，， ∴，即， 故所求的函数关系式为：（）； ②若点P在线段的延长线上(点P不与C，B重合)，如图： ∵，， 又∵， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，即， 这时所求的函数关系式为：（）； 综上所述：点P在线段上：（）；点P在线段的延长线上：（） （3）如图①，当点P在线段BC上， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：或， 如图②，当点P在线段的延长线上，则点Q在线段的延长线上， 同理可得：， ∴，即， 解得：或（舍去）， 如图③，当点P在线段的延长线上，则点Q在线段的延长线上， 同理可得：， ∴，即， 解得：或（舍去）， 综上所述：点P在线段上：或；点P在线段延长线上：；点P在线段延长线上：． 【点睛】本题结合三角形，正方形的性质考查二次函数的综合应用，根据相似三角形的性质，利用图形间的“和差”关系求解．分情况说明是解答本题的关键． 4．如图，在中，，，点分别在边上（点不与端点重合），并且满足． (1)求证：； (2)设，，请求出当取何值时，取最大值？的最大值是多少？ ．(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； (2)；． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （）由，则有，又，，故有，然后通过两角相等的三角形相似即可求证； （）先求出，由（）知，则，然后代入得，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由（）知，， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为． 5．如图，在ABC中，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），BC=4，∠B=∠ADE=∠C=30°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围； （3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长． （1）见解析；（2）；（3）或 【分析】（1）先判断出∠ADC＝∠EDC，即可得出结论； （2）先求出AB＝4，借助（1）的△ABD∽△DCE，得出比例式，代入化简即可得出结论； （3）分三种情况：利用等腰三角形的性质，建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）∵∠B=∠ADE，∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC， ∴∠ADC=∠EDC， ∵∠B=∠C， ∴△ABD∽△DCE； （2）如图1，过点A作AF⊥BC于F， ∴BF=BC=2， ∵∠B=∠C=30°， ∴AB=AC==4， ∵△ABD∽△DCE， ∴， ∴， ∴y=x2﹣x+4（0＜x＜4）； （3）①当AD=DE时，如图2， 由（1）知，△ABD∽△DCE， ∴=1， ∴AB=CD， ∴4=4﹣x， ∴x=4﹣4， 代入y=x2﹣x+4中， 解得，y=8﹣4， 即：AE=8﹣4； ②当AE=ED时，如图3，∠EAD=∠EDA=30°， ∴∠AED=120°， ∴∠DEC=60°，∠EDC=90°， ∴ED=EC， ∴y=（4﹣y）， ∴y=， 即：AE=； ③当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°， 此时点D与点B重合，不符合题意，此种情况不存在， 即：AE的长为（8﹣4）和 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键 例3．已知矩形，，，是上的一个动点，且和、不重合，过作，交边于点，设，，求与的函数解析式，并写出的取值范围． 【分析】只要证明△AEP∽△DPC，得到，即可求出，结合题意可得x的取值范围． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝2，∠A＝∠D＝∠EPC＝90°， ∴∠AEP＋∠APE＝90°，∠APE＋∠DPC＝90°， ∴∠AEP＝∠DPC， ∴△AEP∽△DPC， ∴， ∴， ∴ ∵P和、不重合， ∴x的取值范围为0＜x＜3， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是求出△AEP∽△DPC，属于中考常考题型. 例4．如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y． （1）求y关于x的函数关系式； （2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ （3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？    （1），（2）当=4时，的值最大，最大值是2，（3）6或2 【分析】（1）利用互余关系找角相等，证明△BEF∽△CDE，根据对应边的比相等求函数关系式，进而得出x的取值范围； （2）把m的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值； （3）根据∠DEF=90°，只有当DE=EF时，△DEF为等腰三角形，把条件代入即可． 【详解】⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=Rt∠， ∴在Rt△BFE中， ∠1+∠BFE=90°， 又∵EF⊥DE , ∴∠1+∠2=90°， ∴∠2=∠BFE， ∴Rt△BFE∽Rt△CED ∴ 即 ∴      ⑵当=8时， ，化成顶点式: ， ∴当=4时，的值最大，最大值是2. ⑶由，及得的方程: ，得， ， ∵△DEF中∠FED是直角， ∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED， 此时， Rt△BFE≌Rt△CED， ∴当EC=2时，=CD=BE=6; 当EC=6时，=CD=BE=2. 即的值应为6或2时， △DEF是等腰三角形. 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的解法等知识，利用相似三角形的判定得出△BEF∽△CDE是解题关键． 变式练习 1．已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C、D两点）．连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图）．设CP=x，DE=y． （1）写出y与x之间的函数关系式 ▲ ； （2）若点E与点A重合，则x的值为 ▲ ； （3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由． （1）y=－x2＋4x（2）或（3）存在，当时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上 【详解】解：（1）y=－x2＋4x． （2）或． （3）存在． 过点P作PH⊥AB于点H． 则 ∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上， ∴P D′=PD=4－x，E D′="ED=" y=－x2＋4x，EA=AD－ED= x2－4x＋2，∠P D′E=∠D=900． 在Rt△D′P H中，PH=2， D′P =DP=4－x，D′H=． ∵∠ E D′A=1800－900－∠P D′H=900－∠P D′H=∠D′P H，∠P D′E=∠P HD′ =900， ∴△E D′A∽△D′P H．∴，即， 即，两边平方并整理得，2x2－4x＋1=0．解得． ∵当时，y=， ∴此时，点E已在边DA延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根）． ∵当时，y=， ∴此时，点E在边AD上，符合题意． ∴当时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上． （1）∵CM=1，CP=x，DE=y，DP=4－x，且△MCP∽△PDE， ∴，即．∴y=－x2＋4x． （2）当点E与点A重合时，y=2，即2=－x2＋4x，x2－4x＋2=0． 解得． （3） 过点P作PH⊥AB于点H，则由点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，可得△E D′A与△D′P H相似，由对应边成比例得得关于x的方程即可求解．注意检验． 2．如图，在矩形ABCD中，AB=m，BC=4，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C，D两点）．连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图）． 设CP=x，DE=y． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点P在线段DC上运动时，点E总在线段AD上，求m的取值范围； （3）当m=8时，是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点F落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由． (1)、y=﹣x2+mx；(2)、m≥4；(3)、x=2﹣ 【详解】试题分析：(1)、由△CPM∽△DEP得=由此即可解决问题．(2)、y=﹣x2+mx，根据函数的最大值是4，列出不等式即可解决问题．(3)、存在，过P作PH垂直于AB，由对称的性质得到：PD′=PD=8﹣x，ED′=ED=y=﹣x2+4x，EA=AD﹣ED=x2﹣4x+4，∠PD′E=∠D=90°，在Rt△D′PH中，PH=4，D′P=DP=8﹣x，根据勾股定理表示出D′H，再由△ED′A∽△D′PH，由相似得比例，将各自表示出的式子代入，可列出关于x的方程，求出方程的解即可得到满足题意的x的值． 试题解析：(1)、∵PE⊥PM，∴∠EPM=90°，     ∴∠DPE+∠CPM=90°，   又矩形ABCD，∴∠D=90°， ∴∠DPE+∠DEP=90°， ∴∠CPM=∠DEP，又∠C=∠D=90°， ∴△CPM∽△DEP， ∴=， 又CP=x，DE=y，AB=DC=m，∴DP=m﹣x， 又M为BC中点，BC=4，∴CM=2， ∴=，∴y=﹣x2+mx． (2)、由题意：﹣x2+mx≤4， ∴≤4， ∴m2≥32， ∵m＞0 ∴m≥4． (3)、存在，过P作PH⊥AB于点H， ∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上， ∴PD′=PD=8﹣x，ED′=ED=y=﹣x2+4x，EA=AD﹣ED=x2﹣4x+4，∠PD′E=∠D=90°， 在Rt△D′PH中，PH=4，D′P=DP=8﹣x， 根据勾股定理得：D′H=， ∵∠ED′A=180°﹣90°﹣∠PD′H=90°﹣∠PD′H=∠D′PH，∠PD′E=∠PHD′=90°， ∴△ED′A∽△D′PH， ∴， 整理得：x2﹣4x+2=0， 解得：x=2±． 当x=2+时，y=5+2＞4， 此时，点E在边DA的延长线上，D关于直线PE的对称点不可能落在边AB上，所以舍去． 当x=2﹣时，y=5﹣2＜4，此时，点E在边AD上，符合题意． 所以当x=2﹣时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上． 考点：四边形综合题． 3．如图，在矩形中， ，，P是线段边上的任意一点（不含端点A、D），连接，过点P作交于E． (1)若，则__________； (2)当点P在上运动时，对应的点E也随之在上运动，求的取值范围； (3)在线段上是否存在不同于P的点Q，使得？若存在，求线段与之间的数量关系；若不存在，请说明理由． (1) (2) (3)存在这样的点Q满足条件，此时 【分析】（1）可证即可求解； （2）设，，由可得二次函数，根据此函数求最值即可求解； （3）假设存在这样的点Q，可证出，即可求解． 【详解】（1） 解：四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 故答案：． （2）解：由（1）得：， ， 设，， ， ， 整理得：， ， 当时，， ， 此时的最小值为， 又E在上运动， ， ． （3）解：如图，假设存在这样的点Q， 由（1）可得：， 同理可得：， ， ， 整理得：， 不同于点， ， 即：不是的中点， ， ∴当P不是的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，二次函数的应用，掌握相关的性质和定理，并以此得到二次函数，用函数思想来解决问题是解题的关键． 题型七：三角形内接矩形 【基本模型】 由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。 结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC， 例1．【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式．∵，∴， ∴∴的最大值为4． 【问题解决】 如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 【分析】根据直角三角形的面积，求出，再根据勾股定理求出，进而结合等积变换求出，根据矩形性质得，，，即可得，，再根据，即可证明，，根据相似性质得，，设，则，进而得，，即可求出，设矩形的面积为，再根据矩形面积公式即可得，配方后根据偶次方的非负性即可得矩形台面面积的最大值． 【详解】解：如图， ∵直角三角形木板的面积为，一条直角边长为， ∴,即：，解得：， ∴， ∵， ∴，即：，解得：， 在矩形中有：，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∴，， ∴， 设矩形的面积为，则： ，   ∵， ∴， ∴当时，， ∴矩形台面面积的最大值为． 变式练习 1．阅读理解题，阅读材料，解决问题： 配方法是一种重要的数学方法，我们已经学习了用配方法解一元二次方程，并在此基础上得出了一元二次方程的求根公式．其实配方法还有很多重要的应用，例如我们可以用配方法求函数的最值以及取得最值的条件，见下面的例子： 例：求函数的最大值以及取得最大值的条件． 解： ∵，∴，∴，即 ∴y的最大值为，此时，． 仿照上面的方法，请你解决下面的问题： (1)已知函数，当______时，函数有最大值为______； (2)如图，在中，，高，内接矩形的顶点、在上，、分别在、上，设，矩形的面积为，求： ①关于 的函数关系式； ②矩形的面积的最大值． (1)； (2)①；② 【分析】（1）根据所给的例题，应用配方法即可求的最大值； （2）①证明，根据相似三角形的相比等于高的比，可得，分别求出，,即可求矩形的面积的函数表达式； ②根据所给的例题，应用配方法即可求的最大值； 【详解】（1）解： , 即， ∴y的最大值为，此时 ，． 故答案为：； ； （2）解：①∵四边形是矩形, ∴, ∴, , 设交于， 四边形为矩形 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ②由①可知：， ， 即， ∴y的最大值为，此时 ，． ∴矩形的面积的最大值为． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键． 2．现有一块直角三角形的材料，cm，cm，用它截下一个矩形，如图是截法示意图，求这种截法下矩形的最大面积是多少？ 1200cm2 【分析】由题意，先证明△AEF∽△ACB，然后设，则，求出EF的长度，再根据面积公式即可得到答案． 【详解】解：∵四边形BFED是矩形， ∴EF∥CB， ∴， ∵， ∴△AEF∽△ACB， ∴， ∵cm，cm， 设，则， ∴， ∴， ∴（）， ∴当时，S有最大值； ∴这种截法下矩形的最大面积是1200 cm2． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确得到，从而进行解题． 3．【阅读材料】 配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用来求“最值”问题． 例如：求代数式的最值． 解：因为 所以当时，代数式取得最大值． (1)【材料理解】 _____时，代数式的最____（“大”或“小”）值为______． (2)【类比应用】 试判断关于的一元二次方程实数根的情况是 ．（填选项） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．有实数根 (3)【迁移应用】 如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上．设，试用含的代数式表示矩形工件的面积，并运用“配方法”求的最大值． (1)，大， (2) (3)，平方厘米 【分析】（1）由完全平方数的非负性及不等式的性质即可得出答案； （2）先计算出，然后根据判别式即可判断出一元二次方程根的情况； （3）设厘米，厘米，由矩形的性质可得，进而可证得，于是可得，即，据此即可求出与之间的函数关系式为，于是可得矩形的面积，据此即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， 时，代数式的最大值为， 故答案为：，大，； （2）解： ， 关于的一元二次方程有实数根， 故答案为：； （3）解：设厘米，厘米， 四边形为矩形， ，即， ， ， 即：， 与之间的函数关系式为， 矩形的面积 ， 当的长度是厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为平方厘米． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，整式的混合运算，完全平方公式，根据判别式判断一元二次方程根的情况，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等式的性质，等式的性质，列代数式，配方法的应用等知识点，熟练掌握配方法的应用是解题的关键． 4．如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上． （1）求△ABC中AB边上的高h； （2）设DG=x，当x取何值时，水池DEFG的面积最大？ （3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树． 【分析】（1）由三角形ABC的面积可求出AB边上的高； （2）由相似三角形对应高的比等于相似比，可用含x的代数式表示GF，得到水池的面积y关于x的二次函数，由二次函数的性质，可求面积最大时x的值； （3）根据相似形可算出BE小于1.85，大树在最大水池的边上，为了避开大树，可以取三角形ABC三边中点和点C为顶点构成一个矩形，这个矩形面积也达到最大． 【详解】解：如图，（1）过点C作CI⊥AB，交GF于H，在△ABC中用勾股定理得：AB=10， ∵S△ABC=AC•BC=AB•CI， ∴×6×8=×10×CI， ∴CI=4.8； ∴△ABC中AB边上的高h=4.8； （2）∵水池是矩形， ∴GF∥AB， ∴△CGF∽△CAB， ∵CH，CI分别是△CGF和△CAB对应边上的高， ∴，即， ∴GF=10-， ∵10-＞0， ∴0＜x＜， 设水池的面积为y，则 y=x（10-）=-x2+10x， 当x==2.4时，水池的面积最大； （3）理由：∵FE⊥AB，CI⊥AB， ∴FE∥CI， ∴△BFE∽△BCI， ∴FE：CI=BE：BI， 又∵FE=2.4，CI=4.8， 在Rt△BCI中用勾股定理可得BI=3.6， ∴BE===1.8， ∵BE=1.8＜1.85， ∴这棵大树在最大水池的边上． 【点睛】根据题意寻找关系式，准确列出二次函数，由函数的性质，计算出面积最大时GD的值． 题型八：相似三角形中的动点问题 例1．如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． (1)求经过几秒后，△PCQ的面积等于？ (2)经过几秒，△PCQ与△ABC相似？ (1)经过4秒后，的面积等于 (2)经过秒或秒，与相似． 【分析】（1）设经过秒后，的面积等于，用t表示、、的长，再根据三角形的面积列式计算即可； （2）分两种情况分别计算，①设经过秒后，得，②设经过秒后，得，代入用x表示的线段计算即可． 【详解】（1）解：设经过秒后，的面积的面积等于，则，，， ， 整理得， 解得：， ， 经过4秒后，的面积等于． （2）解：①设经过秒后， ， ， 解得； ②设经过秒后， ， ， 解得； 经过秒或秒，与相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、一元二次方程应用、三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解法及相似三角形的判定方法，分情况讨论也是解题关键． 变式练习 1．在中，，，，现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段也向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．    (1)求为多少秒时，的面积为为 (2)当为多少时，以点为顶点的三角形与相似. (1)当为或秒时，的面积为为. (2)或时，以点、、为顶点的三角形与相似 【分析】（1）根据路程速度时间可知，，，再根据三角形的面积公式列方程即可解答； （2）根据根据路程速度时间可知，，，再根据相似三角形的性质列方程即可解答． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒， ∵点P的速度是，点Q的速度是， ∴，， ∵， ∴， ∴的面积为， 即， 解得： ，, ∴当为或秒时，的面积为为； （2）解：设运动时间为秒， ∵点的速度是，点的速度是， ∴，， ∵， ∴， ①当时， ∴， 即， 解得； ②当时， ∴， 即， 解得． ∴或时，以点、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，路程速度时间，相似三角形的性质，一元二次方程与几何图形，一元一次方程与几何图形，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 2．如图，，，，．点P从点C出发，以的速度沿向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，设点P、Q运动时间为t，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． (1)求经过几秒后，的面积等于？ (2)经过几秒，与相似？ (3)①是否存在t，使得的面积等于？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；②设四边形的面积为S，请直接写出S的最大值或最小值． (1)秒 (2)秒，或秒 (3)①不存在，理由见解析；②的最小值是 【分析】（1）根据的面积等于，建立方程求解，即可得出答案 （2）分和，得出比例式，建立方程求解，即可得出结果 （3）①假设存在t，利用的面积等于，建立方程，判断方程得方程无实数根，即可得出结论；②先得出，即可求出答案 【详解】（1）解：由题意知，，， ∵，， ∴，， ∵的面积等于， ∴ ∴，即 ∴ 即经过秒后，的面积等于 （2）∵， ∴①当时， ∴， 解得：； ②当时， ∴， 解得：； 由①②可得：当经过秒或秒与相似 （3）①不存在，理由: 假设存在t，使得的面积等于， ∴ ∴， ∴， 而， ∴此方程无实数根， ∴不存在t，使得的面积等于 ②设四边形的面积为 ∴ ∴当时，S有最小值，最小值为 【点睛】此题是相似三角形形综合题，主要考查了直角三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，二次函数的应用，用方程的思想解决问题是解本题的关键 3．如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（    ）s后，与相似． A． B．或 C．或 D．或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．设经过秒后两三角形相似，分两种情况分别计算，①若，得，②若，得，代入用表示的线段计算即可． 【详解】解：设经过秒后与相似， ∵， 若， 则需， ， 解得； ， 则需， ， 解得， 经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $