专题01 相似三角形重要模型之A字型与8字型（几何模型讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

该初中数学讲义以相似三角形A字型与8字型为核心，通过模型分类框架梳理正A、斜A、正8、反8等7类基础模型，结合性质归纳表格呈现相似比、面积比等关键知识点，构建“模型生成-性质应用-综合拓展”的递进知识脉络。 讲义亮点在于“模型构造-动态应用”的分层设计，如通过“过等分点作平行线证线段比”培养推理意识，结合动点问题（如双动点速度与相似判定）发展几何直观。典例涵盖基础证明、综合计算和创新作图，基础生可掌握模型应用，尖子生能突破复杂综合题，助力教师实施精准分层教学。

专题01 相似三角形重要模型之A字型与8字型（几何模型讲义） 相似三角形是初中几何核心重难点，而A型（金字塔模型）与8字型（沙漏模型） 是所有相似综合题的基础模型，绝大多数线段比值、动点、几何证明、面积计算题目，都可以拆解为这两类图形。 两个模型拥有统一的核心生成条件：平行线构造相似三角形。 A型拥有公共顶角，8字型依靠一组对顶角；依靠平行线带来两组相等的同位角/内错角，满足两角对应相等，直接证明三角形相似。 很多题目原图不会直接画出平行线，需要我们主动作辅助线构造A型、8字型，实现线段比例的转化，这也是中考最常考查的能力。 在动点问题、几何求值、存在性题型中，A型与8字型经常叠加出现，结合方程思想，建立线段之间的等量关系，求解长度、运动时间、线段比值。 同时牢记重要推论：相似三角形对应边成比例，面积比等于相似比的平方。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 4 模型1. “A”字型相似模型 4 模型2. 斜交“A”字型相似模型 11 模型3. “8”字型相似模型 16 模型4. 反“8”字型相似模型 28 模型5. 母子型 31 模型6. 构造“A”字型、“8”字型求比值 40 模型7. 动点问题 47 模型运用 51 我国古代劳动人民很早就开始利用相似直角三角形的性质进行测量。据 《周髀算经》和 《九章算术》记载，古人使用矩尺、表等工具，通过构造相似三角形来测量物体的高度和距离，这为后世几何模型的发展提供了实践经验。 这两种模型最基础的形态（正A型、正8字型）都依赖于平行线。其核心原理是“平行线分线段成比例定理”，这一理论在古希腊欧几里得的 《几何原本》第6卷中已有系统论述。 为了应对复杂的几何题目，教育者将这两种基础模型进行了拓展，形成了如今初中数学中常见的模型体系。 A字型及其变式 - 正A字型：由一条平行于三角形底边的直线截得，利用同位角相等证明相似。 - 斜A字型（反A型）：截线不平行于底边，但满足一组非公共角相等，利用公共角和等角证明相似。 8字型及其变式 - 正8字型：由两条平行线被两条相交直线所截得，利用内错角相等证明相似。 - 斜8字型（蝴蝶型）：没有平行线，但存在两组对应角相等（通常包含一对对顶角），从而证明相似。 1．相似三角形的对应角相等 如图，与相似，则有． 2．相似三角形的对应边成比例 如图，与相似，则有（为相似比）． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，与相似，是中边上的中线，是中边上的中线，则有（为相似比）． 图1 如图2，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）． 图2 如图3，与相似，是中的角平分线，是中的角平分线，则有（为相似比）． 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，与相似，则有（为相似比）．应用比例的等比性质有． 图4 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图5，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）．进而可得． 图5 模型1.“”字型相似模型 【模型提炼】 如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． 【模型运用】 【典例1】如图，已知点D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，∠BAC＝∠AED． （1）求证：AB•AD＝BC•AE； （2）在边AC取一点F，如果，，求证：∠AFE＝∠D． 【分析】（1）利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （2）利用（1）中的结论和已知条件得到，利用相似三角形的判定与性质得到∠AFE＝∠C，再利用（1）中的结论和相似三角形的性质解答即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠B． ∵∠BAC＝∠AED， ∴△ADE∽△BCA， ∴， ∴AB•AD＝BC•AE； （2）∵，， ∴， ∵∠EAF＝∠BAC， ∴△AEF∽△ABC， ∴∠AFE＝∠C． 由（1）知：△ADE∽△BCA， ∴∠ADE＝∠C， ∴∠AFE＝∠D． 【典例2】（2026•雨花台区模拟）如图，在▱ABCD中，在AD延长线上取一点P，连接BP交CD于点E，且． （1）求的值． （2）若△BCE的面积为9，求△ABP的面积． 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明△PDE∽△BCE，由此即可求解； （2）根据题意得到，证明△DEP∽△ABP，由相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC， ∴∠P＝∠CBE， 又∵∠PED＝∠BEC， ∴△PDE∽△BCE， ∴； （2）∵， ∴， ∵S△BCE＝9， ∴S△PDE＝1， ∵， ∴， ∴， 同理可证△DEP∽△ABP， ∴， ∴S△ABP＝16，即△ABP的面积为16． 【典例3】（2026•曲周县模拟）【基础巩固】 （1）如图①，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点M，求证：DM＝EM． 【尝试应用】 （2）图②，在（1）的条件下，连接CD，CM．若CM⊥DE，CD＝9，AE＝6，求的值； 【拓展提高】 （3）如图③，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EM∥BD交AD于点M，EF⊥EM交BC于点F．若∠EMF＝40°，FM平分∠EFC，FM＝2，求BF的长． 【分析】（1）由DE∥BC可得△AMD∽△AFB，△AFC∽△AME，根据对应边成比例得出，结合BF＝CF，可得DM＝EM； （2）由CM垂直平分DE，可得CE＝CD＝9，由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，根据对应边成比例可得的值； （3）延长ME交AB于点N，连接NF，过点N作NP⊥BC 于点P，由四边形ABCD为平行四边形，可得OB＝OD，∠ABC＝∠ADC＝45°，仿照（2）中求解过程可得FM＝FN＝2，求出∠NFB＝30°，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理解Rt△NPF即可． 【解答】（1）证明：在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF， ∴△AMD∽△AFB，△AFC∽△AME， ∴， ∴， ∴DM＝EM； （2）解：∵DM＝EM，CM⊥DE，CD＝9，AE＝6， ∴CE＝CD＝9， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴； （3）解：四边形ABCD为平行四边形，如图③，延长ME交AB于点N，连接NF，过点N作NP⊥BC于点P， ∴OB＝OD，∠ABC＝∠ADC＝45°， ∵EM∥BD， 由（1）同理可证ME＝NE， ∵EF⊥EM， ∴FM＝FN＝2， 在Rt△MEF中，∠EMF＝40°， ∴∠EFM＝50°， ∵FM平分∠EFC， ∴∠MFE＝∠MFC＝50°， ∵FN＝FM，FE⊥EM， ∴∠EFM＝∠NFE＝50°， ∴∠NFB＝30°， ∴， 在直角三角形NFP中，由勾股定理得：， ∵∠ABC＝45°， ∴BP＝PN＝1， ∴． 【典例4】（2025秋•虹口区校级月考）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图． 【阅读理解】 任务：如图1，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，仅用一把无刻度的直尺作DE、BC的中点． 操作：如图2，联结BE、CD交于点P，联结AP交DE于点M，延长AP交BC于点N，则M、N分别为DE、BC的中点． 理由：由DE∥BC可得△ADM∽△ABN及△AEM∽△ACN，所以，．所以．同理，由△DMP∽△CNP及△EMP∽△BNP，可得．所以．所以，则BN＝CN，DM＝EM，即M、N分别为DE、BC的中点． 【实践操作】 请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． 如图3，l1∥l2，点E、F在直线l2上． ①作线段EF的中点； ②在①中作图的基础上，在直线l2上位于点F的右侧作一点P，使得PF＝EF； 【探索发现】 如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、⋯k倍（k为正整数）的线段．如图4，l1∥l2，已知点P1、P2在l1上，利用上述方法作出了P2P3＝P3P4＝P1P2，点E、F在直线l2上，请在图4中作出线段EF的三等分点． 【分析】【实践操作】①根据[阅读理解]部分的作法：在l1上方任取一点A，得到△AEF，AE交l1于点B，AF交l1于点C，连接CE，BF交于点O，作射线AO交l1，l2分别于N，M，点M即为所求点； ②作射线FN交AE于点G，作射线GC交l2于点P，点P即为所求，利用相似三角形的判定和性质即可证明； 【探索发现】连接并延长EP1，FP4交于点A，连接并延长AP3、AP2交直线l2于点M、N，即为所求；再由相似三角形的判定和性质即可证明． 【解答】解：【实践操作】①如图，点M即为所求作的点； ②如图，作射线FN交AE于点G，作射线GC交l2于点P，点P即为所求； 由①得：点N为BC的中点， ∴BN＝CN， ∵l1//l2， ∴△GBN∽△GEF，△GCN∽△GPF， ∴，， ∴， ∴EF＝PF； 【探索发现】连接并延长EP1、FP4交于点A，连接并延长AP3、AP2交直线l2于点M、N，即为所求； 证明：∵l1//l2， ∴△AP1P2∽△AEN，△AP3P2∽△AMN，△AP4P3∽△AFM， ，，， ∴， ∵P2P3＝P3P4＝P1P2， ∴EN＝MN＝FM， ∴N、M为线段EF的三等分点． 模型2. 斜交“”字型相似模型 1：如图：⇔⇔； 2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 【模型运用】 【典例1】（2026春•钢城区期末）如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED＝∠C． （1）求证：△AED∽△ACB； （2）若AB＝9，AD＝6，AC＝7，求AE的长． 【分析】（1）根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠C， 又∵∠A为公共角， ∴△AED∽△ACB； （2）解：由（1）知△AED∽△ACB， ∴， ∵AB＝9，AD＝6，AC＝7， ∴， ∴AE． 【典例2】（2026春•钢城区期末）如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED＝∠C． （1）求证：△AED∽△ACB； （2）若AB＝9，AD＝6，AC＝7，求AE的长． 【分析】（1）根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠C， 又∵∠A为公共角， ∴△AED∽△ACB； （2）解：由（1）知△AED∽△ACB， ∴， ∵AB＝9，AD＝6，AC＝7， ∴， ∴AE． 【典例3】（2026春•姑苏区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是边BC的中点，连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE． （1）求证：△DBE∽△DAB； （2）若，CE＝2，求AC的长． 【分析】（1）利用相似三角形的判定定理即可得证； （2）利用相似三角形的判定与性质即可解答． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AD， ∴∠BED＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BED＝∠ABC＝90°， 又∵∠BDE＝∠ADB， ∴△DBE∽△DAB； （2）解：由（1）得△DBE∽△DAB， ∴， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵△DCE和△DAC同高， ∴， 设DE＝k，则DA＝5k， ∴AE＝DA﹣DE＝4k， ∵△DBE∽△DAB， ∴， ∴DB2＝DE•DA＝k•5k＝5k2， ∴， ∴， 在△CDE和△ADC中， ∵，， ∴， 又∵∠CDE＝∠ADC， ∴△CDE∽△ADC， ∴， ∵CE＝2， ∴， ∴． 【典例4】（2026•曲周县模拟）【基础巩固】 （1）如图①，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点M，求证：DM＝EM． 【尝试应用】 （2）图②，在（1）的条件下，连接CD，CM．若CM⊥DE，CD＝9，AE＝6，求的值； 【拓展提高】 （3）如图③，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EM∥BD交AD于点M，EF⊥EM交BC于点F．若∠EMF＝40°，FM平分∠EFC，FM＝2，求BF的长． 【分析】（1）由DE∥BC可得△AMD∽△AFB，△AFC∽△AME，根据对应边成比例得出，结合BF＝CF，可得DM＝EM； （2）由CM垂直平分DE，可得CE＝CD＝9，由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，根据对应边成比例可得的值； （3）延长ME交AB于点N，连接NF，过点N作NP⊥BC 于点P，由四边形ABCD为平行四边形，可得OB＝OD，∠ABC＝∠ADC＝45°，仿照（2）中求解过程可得FM＝FN＝2，求出∠NFB＝30°，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理解Rt△NPF即可． 【解答】（1）证明：在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF， ∴△AMD∽△AFB，△AFC∽△AME， ∴， ∴， ∴DM＝EM； （2）解：∵DM＝EM，CM⊥DE，CD＝9，AE＝6， ∴CE＝CD＝9， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴； （3）解：四边形ABCD为平行四边形，如图③，延长ME交AB于点N，连接NF，过点N作NP⊥BC于点P， ∴OB＝OD，∠ABC＝∠ADC＝45°， ∵EM∥BD， 由（1）同理可证ME＝NE， ∵EF⊥EM， ∴FM＝FN＝2， 在Rt△MEF中，∠EMF＝40°， ∴∠EFM＝50°， ∵FM平分∠EFC， ∴∠MFE＝∠MFC＝50°， ∵FN＝FM，FE⊥EM， ∴∠EFM＝∠NFE＝50°， ∴∠NFB＝30°， ∴， 在直角三角形NFP中，由勾股定理得：， ∵∠ABC＝45°， ∴BP＝PN＝1， ∴． 模型3. “”字型相似模型 【模型提炼】 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． 【模型运用】 【典例1】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，E为BC上一点，AE，DC的延长线交于点F，∠DAE＝∠BEA． （1）求证：∠BAF＝∠F； （2）若，直接写出△CEF和△DAF的周长之比． 【分析】（1）利用平行线的判定与性质解答即可； （2）利用（1）的结论和平行四边形的判定与性质得到AD＝BC，利用相似三角形的判定与性质得到，利用比例的性质得到，再利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BEA， ∴AD∥BC， ∴∠D＝∠BCF． ∵∠B＝∠D， ∴∠B＝∠BCF． ∴AB∥DF． ∴∠BAF＝∠F； （2）解：由（1）知：AD∥BC，AB∥DF， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC． ∵AB∥DF， ∴△FCE∽△ABE， ∴， ∴， ∴． ∵AD∥BC， ∴△FCE∽△FDA， ∴△CEF和△DAF的周长之比． 【典例2】（2026•德州）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是CA延长线上一点，AD＜AC，过点D作DF⊥BC于点F交AB于点E． （1）求证：AD＝AE； （2）若，BC＝8，求线段BF的长； （3）若∠BAC＝45°，EF＝BC，请直接写出的值． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，再用等角的余角相等判断出∠D＝∠BEF，进而得出∠D＝∠AED，即可得出结论； （2）过点A作AG∥BC交DF于G，设AD＝m，进而得出AE＝m，AC＝4AD＝4m，即CD＝5m，BE＝3m，再判断出△ADG∽△CDF，得出，进而得出CF＝5AG，同理得出BF＝3m，再用BC＝BF+CF＝8，建立方程求出AG，即可得出答案； （3）过点A作AG∥BC交DF于G，设AD＝a，AC＝b，同（2）的方法得出AB＝AC＝b，CD＝a+b，BE＝b﹣a，CF，BF，进而得出EF＝BC＝BF+CF，再求出∠ABC＝67.5°，∠BEF＝22.5°，在FE上取一点H，使FH＝BF，根据勾股定理求出BHBF，在判断出EH＝BH，进而得出EF＝（1）BF，由此建立等式，即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DF⊥BC， ∴∠DFC＝∠BFE＝90°， ∴∠D+∠C＝90°，∠B+∠BEF＝90°， ∴∠D＝∠BEF， ∵∠AED＝∠BEF， ∴∠D＝∠AED， ∴AD＝AE； （2）解：如图1，过点A作AG∥BC交DF于G，设AD＝m， 由（1）知，AD＝AE， ∴AE＝m， ∵ADAC， ∴AC＝4AD＝4m， ∴AB＝AC＝4m， ∴CD＝AD+AC＝5m，BE＝AB﹣AE＝3m， ∴△ADG∽△CDF， ∴， ∴CF5AG， ∵AG∥BC， ∴△AEG∽△BEF， ∴， ∴BF3AG， ∵BC＝BF+CF＝8， ∴3AG+5AG＝8， ∴AG＝1， ∴BF＝3； （3）解：如图2，过点A作AG∥BC交DF于G， 设AD＝a，AC＝b， ∴AB＝AC＝b， ∴CD＝AD+AC＝a+b，BE＝AB﹣AE＝b﹣a， 同（2）的方法得，CF， ∵AG∥BC， ∴△AEG∽△BEF， ∴， ∴BF， ∴BC＝BF+CF， ∵EF＝BC， ∴EF， 在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°， ∴∠ABC＝∠C（180°﹣∠BAC）＝67.5°， ∵DF⊥BC， ∴∠BFE＝90°， ∴∠BEF＝90°﹣∠ABC＝22.5°， 在FE上取一点H，使FH＝BF， ∴∠HBF＝∠BHF＝45°， ∴BHBF， ∵∠ABC＝67.5°，∠BEF＝22.5°， ∴∠EBH＝∠ABC﹣∠HBF＝22.5°＝∠BEH， ∴EH＝BH， ∴EF＝EH+FHBF+BF＝（1）BF， ∵BF，EF， ∴（1）•， ∴3﹣2． 【典例3】（2026春•二道区期末）【教材呈现】如图是华师大版八年级下册数学教材99页的部分内容． 例8 如图17.2.19，在△ABC中，点D、E分别是边AB和AC的中点，求证：DE∥BC，． 分析 如图17.2.20，过点C作CF∥AB，且与DE的延长线交于点F．由平行线性质和已知条件，可以证明△ADE≌△CFE，从而推出四边形BCFD是平行四边形，可得DE∥BC，． 以下是小明写的部分证明过程： 证明：如图①，过点C作CF∥AB，且与DE的延长线交于点F． ∵CF∥AB， ∴∠F＝∠ADE． ∵点D、E分别是边AB和AC的中点， ∴AD＝BD，AE＝CE． 证明过程缺失 请你帮助小明补全上述证明过程． 【知识应用】如图②，一根人字梯撑开后，两侧梯腿接地端间距为80cm，梯子中间横向连结杆恰好是两梯腿中点连线，则这根连结杆AB的长度为　40　 cm； 【拓展提升】如图③，在四边形ABCD中，对角线AC＝BD＝12，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长为　24　 ． 【分析】【教材呈现】先判断出△ADE≌△CFE（AAS），得出AD＝CF，DE＝EF，进而判断出四边形BCFD为平行四边形，即可得出结论； 【知识应用】直接利用【教材呈现】的结论DEBC求解，即可得出答案； 【拓展提升】直接利用【教材呈现】的结论DEBC，求出四边长，最后用周长公式即可得出答案． 【解答】解：【教材呈现】证明过程补全如下： 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）， ∴AD＝CF，DE＝EF， ∵AD＝BD， ∴BD＝CF， ∵BD∥CF， ∴四边形BCFD为平行四边形， ∴DF∥BC，DF＝BC， ∵， ∴DE∥BC，； 【知识应用】如图②，连接KL， 由题意得，KL＝80cm，点A，B是OK，OL的中点， ∴ABKL80＝40（cm）， 故答案为：40； 【拓展提升】E、F分别是边AB、BC的中点，AC＝12， ∴EFAC12＝6， 同理：HG＝6，EH＝6，FG＝6， ∴四边形EFGH的周长为6+6+6+6＝24， 故答案为：24． 【典例4】【问题初探】 数学课上，老师提出如下问题： 如图①，AD是△ABC的中线，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N，求证：CN＝2AN． 经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路： 甲同学的思路：如图②，过点D作DK∥AC，交BM于点K，利用全等将AN与CN的数量关系转化为DK与CN之间的关系； 乙同学的思路：如图③，过点A作BC的平行线交BM的延长线于点K，利用相似将AN与CN的数量关系转化为AK与BC之间的关系． （1）请你选择一名同学的思路，写出证明过程； （2）【类比分析】 老师发现两名同学都利用了转化思想．为了帮助同学更好地利用转化思想解决问题提出： 如图④，在△ABC中，AD是BC边上的中线，N，K是AC的三等分点，BN交AD于M，BK交AD于P，求MP：PD的值． 请你写出解答过程； （3）【学以致用】 在△DEC中，ED＝EC．在直线CD上取点B，使BC＝2CD，连接BE，在线段BE上取点A，连接AC，直线AC交直线DE于F，当AB＝AC时，求AF：FC的值． 请你写出解答过程． 【分析】（1）利用甲同学的证明思路，过D作DK∥AC交BN于K，利用三角形的中位线的判定与性质解答即可； （2）连接DK，利用三角形的中位线定理和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：①连接AD，过点E作EK⊥CD于点K，过点C作CH⊥CD，交BE的延长线于点G，交DE的延长线于点H，利用等腰三角形的性质和题干中的方法，结合A型图或“8”字型的特征，利用三角形的中位线定理和相似三角形的判定与性质解答即可；②过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EH⊥CD于点H，延长EH交CF于点M，过点D作DN⊥CD，交CF于点N，利用类比①中的方法解答即可． 【解答】（1）证明：利用甲同学的证明思路． 过D作DK∥AC交BN于K，如图， ∵DK∥AC， ∴， ∵M是AD的中点， ∴AM＝DM， ∴DK＝AN， ∵D是BC的中点，DK∥AC， ∴DK为△BNC的中位线， ∴DKCN， ∴ANCN． ∴CN＝2AN； （2）解：连接DK，如图， ∵N，K是AC的三等分点， ∴AN＝NK＝KC． ∵BD＝DC， ∴DK为△CBN的中位线， ∴DK∥BN，DKBN， 设DK＝2a，则BN＝4a． ∵DK∥BN，AN＝NK， ∴MNDK＝a， ∴BM＝BN﹣MN＝3a． ∵DK∥BN， ∴； （3）①连接AD，过点E作EK⊥CD于点K，过点C作CH⊥CD，交BE的延长线于点G，交DE的延长线于点H，如图， ∵AB＝AC，BD＝DC， ∴AD⊥BC． ∵EK⊥CD， ∴AD∥EK． ∴． ∵ED＝EC，EK⊥CD， ∴DK＝KCCD． ∵BC＝2CD， ∴BD＝DC． ∴BD＝2DK＝2KC， ∴． ∴． ∵EK⊥CD，CH⊥CD， ∴EK∥CH， ∵DK＝KC， ∴EK为△DCH的中位线， ∴DE＝EH， ∵AD⊥BC，CH⊥CD， ∴AD∥GH， ∴△ADE∽△GHE， ∴， ∴AD＝GH． ∵AD为△BCG的中位线， ∴ADCG， ∴CG＝2AD＝2GH， ∴CH＝3AD． ∵AD∥CH， ∴△AFD∽△CFH， ∴； ②过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EH⊥CD于点H，延长EH交CF于点M，过点D作DN⊥CD，交CF于点N，如图， ∵AB＝AC，AG⊥BC， ∴BG＝GC， ∵BC＝2CD， ∴BG＝GC＝CD． ∵ED＝EC，EH⊥CD， ∴CH＝HDCD， 设CH＝HD＝k，则BG＝GC＝CD＝2k， ∴． ∵AG⊥BC，EH⊥CD， ∴AG∥EH， ∴． ∵AG⊥BC，DN⊥CD， ∴AG∥DN， ∴△AGC∽△NDC， ∴， ∴AG＝DN，AC＝CN． ∴． ∵EH⊥CD，DN⊥CD， ∴MH∥DN， ∵CH＝HD， ∴MH为△CDN的中位线， ∴DN＝2MH，CM＝MNCN． ∴，AC＝2CM＝2MN． ∵EM∥DN， ∴， ∴FNFM， ∴MN＝2FN． 设FN＝m，则MN＝2m， ∴CF＝CM+MN+FN＝5m，AC＝CN＝4m， ∴AF＝AC+CF＝9m， ∴AF：FC＝9m：5m＝9：5． 综上，AF：FC的值为或． 模型4. 反“”字型相似模型 【模型提炼】 如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 【模型运用】 【典例1】如图，D，E分别是△ABC的边CA、BA的延长线上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似．你添加的条件是　∠ADE＝∠ABC或AD：AC＝AE：AB等（答案不唯一）　 ． 【分析】此题是开放题，这两个三角形中，已知的条件是∠DAE＝∠BAC，可根据相似三角形的不同判定方法，来添加不同的条件． 【解答】解：△DAE和△BAC中，∠DAE＝∠BAC； 若△ADE∽△ABC，可添加的条件是： ∠ADE＝∠ABC；（AA） 或∠AED＝∠ABC；（AA） 或AD：AC＝AE：AB等．（SAS）（答案不唯一） 【典例2】（2026春•朝阳区校级期末）【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点E、点D分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，连结ED，若∠B＝∠C，则△ADE与△ABC相似吗？ （1）请解答上述习题． 【问题探究】 （2）同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图①，连结BD、CE，求∠CBD与∠CED的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出△ABD与△ACE相似，从而得到∠ADB＝∠AEC，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对△ABD与△ACE相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：△ABC∽△　△ADE ， 证明过程缺失 ∴△ABD∽△ACE． ∴∠ADB＝∠AEC（相似三角形的对应角相等）． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出∠CBD与∠CED的数量关系为　∠CBD+∠CED＝180°；　 ． 【拓展提升】（3）如图②，在△ABD和△ACE中，∠DAB＝∠EAC，EA＝CA，DA＝BA，延长EC交BD于点F，连结DE、AF．当∠AED＝90°且时，∠AFD＝　90　 °，　　 ． 【分析】（1）利用两角对应相等即可证明△ADE∽△ABC； （2）①利用两边对应成比例且夹角相等证明△ABD∽△ACE，推出∠ADB＝∠AEC； ②利用三角形内角和定理即可得到∠CBD+∠CED＝180°；（3）证明△DAB∽△EAC，推出，∠ADB＝∠AEC，利用（2）的结论即可得到∠AFD＝90°；再利用等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：（1）△ADE与△ABC相似，理由如下： ∵∠E＝∠C，∠EAD＝∠CAB， ∴△ADE∽△ABC； （2）①∵△ABC∽△ADE， ∴∠AED＝∠ACB，，即， ∵∠DAB＝∠EAC， ∴△ABD∽△ACE， ∴∠ADB＝∠AEC； 故答案为：△ADE ②∵∠AED＝∠ACB，∠ADB＝∠AEC， ∴∠CED＝∠AEC+∠AED＝∠ADB+∠ACB＝180°﹣∠CBD， ∴∠CBD+∠CED＝180°； 故答案为：∠CBD+∠CED＝180°； （3）在△ABD和△ACE中，∠DAB＝∠EAC，EA＝CA，DA＝BA，， ∴， ∵∠DAB＝∠EAC， ∴△DAB∽△EAC， ∴，∠ADB＝∠AEC， 在四边形AEDF中，∠ADF＝∠AEF， 由（2）得∠EAF+∠EDF＝180°， ∴∠AED+∠AFD＝180°， ∵∠AED＝90°， ∴∠AFD＝90°， ∵DA＝BA，AF⊥BD， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：90，． 模型5. 母子型 【模型提炼与证明】 1.图①内角分线型，结论：；图②外角分线型，结论： 2.图③斜射影定理型，结论：， 3.图④射影定理型，结论：（1）， （2）， （3） 图① 图② 图③ 图④ 【模型运用】 【典例1】（2026春•南关区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，求证：△ACD∽△ABC． 【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． 【解答】证明：∵CD是AB边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC． 【典例2】（2025•武汉模拟）（1）【观察发现】如图1，在△ABC中，点D在BC边上，若∠BAD＝∠C，则AB2＝BD•BC，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD延长线上一点，且∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB＝5，点E，F分别在边AD，CD上，∠ABC＝2∠EBF，延长AD，BF相交于点G，若BE＝4，DG＝6，求FG的长． 【分析】（1）证明△ABD∽△CBA，得到，得出AB2＝BD•BC； （2）由平行四边形的性质得出∠BFE＝∠C，∠FBE＝∠CBF，证明△BFE∽△BCF，得出，求出BC，进而求出AD； （3）连接BD，证明△DFG∽△CFB，得出，即，即可求出答案． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA， ∴△ABD∽△CBA， ∴， ∴AB2＝BD•BC； （2）解：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， 又∵∠BFE＝∠A， ∴∠BFE＝∠C， 又∵∠FBE＝∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BC， ∴AD； （3）解：连接BD， ∵四边形ABCD为菱形， ∴∠ABD＝∠CBD，AD＝AB＝BC＝5，AD∥BC， ∵∠ABC＝2∠EBF， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠EBF， ∴∠EBF﹣∠DBF＝∠CBD﹣∠DBF，即∠DBE＝∠CBF， ∵AD∥BC， ∴∠CBF＝∠G， ∴∠DBE＝∠G， ∵∠DEB＝∠BEG， ∴△BED∽△GEB， ∴， ∵DG＝6， ∴EG＝DE+6， ∴， 解得：DE＝2，负值舍去， ∴EG＝2+6＝8， ∴AE＝AD﹣DE＝3， ∵AE2+BE2＝32+42＝52＝AB2， ∴△ABE为直角三角形，∠AEB＝90°， ∴∠BEG＝180°﹣90°＝90°， ∴在Rt△BEG中根据勾股定理得：BG4， ∴BF＝BG﹣FG＝4FG， ∵AD∥BC， ∴△DFG∽△CFB， ∴， 即， 解得：FG． 【典例3】（2026•通许县一模）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． 【拓展探究】如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D． （1）兴趣小组的同学得出AC2＝AD•AB．理由如下： ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠B＝①　∠ACD ． ∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴②　　 ， ∴AC2＝AD•AB． 请完成填空； （2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE＝∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由． （3）【学以致用】如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝1，，平面内一点D，满足AD＝AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB＝∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时．请直接写出线段CE的长． 【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可； （2）证明△ACF∽△AEC，得出，证明△AFD∽△ABE，得出∠ADF＝∠AEB＝90°，即可得出答案； （3）证明△CEB∽△CBD，得出，求出CD•CE＝CB2＝6，以点A为圆心，1为半径作⊙A，则C，D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0＝3，交⊙A于D0，连接E0E，证明△ECE0∽△D0CD，得出∠CDD0＝∠CE0E＝90°，说明点E在过点E0且与CE0垂直的直线上运动，过点B作BE′⊥E0E，垂足为E′，连接CE′，根据垂线段最短，得出当点E在点E′处时，BE最小，根据勾股定理求出结果即可． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠B＝∠ACD， ∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴， ∴AC2＝AD•AB， 故答案为：①∠ACD；②； （2）△AEB是直角三角形；理由如下： ∵∠CAE＝∠FAC，∠ACE＝∠AFC， ∴△ACF∽△AEC， ∴， ∴AC2＝AF•AE， 由（1）得AC2＝AD•AB， ∴AF•AE＝AD•AB， ∴， ∵∠FAD＝∠BAE， ∴△AFD∽△ABE， ∴∠AEB＝∠ADF＝90°， ∴△AEB是直角三角形； （3）∵∠ECB＝∠BCD，∠CEB＝∠CBD， ∴△CEB∽△CBD， ∴， ∴， ∵AD＝AC， 如图，以点A为圆心，1为半径作⊙A，则C，D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0＝3，交⊙A于D0，连接E0E， 则CD0＝2， ∵CD0为⊙A的直径， ∴∠CDD0＝90°， ∴CD0•CE0＝6＝CD•CE， ∴， ∵∠ECE0＝∠D0CD， ∴△ECE0∽△D0CD， ∴∠CE0E＝∠CDD0＝90°， ∴点E在过点E0且与CE0垂直的直线上运动， 过点B作BE′⊥E0E，垂足为E′，连接CE′， ∵垂线段最短， ∴当点E在点E′处时，BE最小， 即BE的最小值为BE′的长， ∵∠CE0E′＝∠E0CB＝∠BE′E0＝90°， ∴四边形CE0E′B是矩形， ∴BE′＝CE0＝3， 在Rt△CE0E′中，． 【典例4】（2026•济源模拟）【定义】 如果从某一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，该对角线可称为“垂中对角线”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在▱ABCD中，BF⊥AC于点E，交AD于点F，若F为AD的中点，则▱ABCD是垂中平行四边形，E是垂中点． 【应用】 （1）①菱形　不可能　 （填“可能”或“不可能”）是“垂中平行四边形”． ②如图1，▱ABCD是“垂中平行四边形”，其中AC是“垂中对角线”，则的值为　　 ． （2）如图2，在矩形ABCD中，，AD＞AB．若该矩形是“垂中平行四边形”，且AC是其“垂中对角线”，求AB的长． （3）如图3，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CE＝2AE＝4，BE＝3．若BC是某个“垂中平行四边形”的边，点E为该“垂中平行四边形”的垂中点，点A在垂中平行四边形的边上，请直接写出这个“垂中平行四边形”的周长． 【分析】（1）①由菱形对角线的性质，就可以判定； ②过点D，作DH∥BF，四边形BFDH是平行四边形，易证点H也是BC中点，由平行线分线段成比例，可知AE＝EG＝GC，所以； （2）过点B作BE⊥AC，垂足为F，交AD于点E，四边形ABCD是矩形，也是“垂中平行四边形”，证明Rt△ABE∽Rt△BCA，根据边长成比例，求出AB； （3）分三种情况，运用平行四边形性质，相似三角形，判定“垂中平行四边形”，再结合平行四边形的性质，勾股定理，求出四边形的周长． 【解答】解：（1）①不可能．因为如果从某一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”， 而菱形的对角线互相垂直，点F与D点重合，不是AD中点，所以菱形不是“垂中平行四边形”； 故答案为：不可能； ②过点D，作DH∥BF，交AC于点G，交BC于点H，如下图， ∵四边形ABCD是“垂中平行四边形”， ∴，FD∥BH，AD＝BC， ∴四边形BFDH是平行四边形， ∴，即点H也是BC中点， ∴AE＝EG＝CG， 即． 故答案为：； （2）过点B作BE⊥AC，垂足为F，交AD于点E，如图 ∵矩形ABCD是“垂中平行四边形”， ∴，， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAE＝∠ABC＝90°， ∵BE⊥AC，垂足为F， ∴∠BAC+∠ABE＝90°，∠BAC+∠BCA＝90°， ∴∠ABE＝∠BCA， ∵∠ABC＝∠EAB＝90°， ∴Rt△ABE∽Rt△BCA， ∴， ∴， ∴． （3）∵CE＝2AE＝4， ∴AE＝2， 构成“垂中平行四边形”，分三种情况 ①过点A作AD1∥BC，过点C作CD2∥AB，AD1与CD2相交于点D，延长BC交AD于点F，如下图 ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴，即， ∴点F是AD中点， ∵BE⊥AC， ∴四边形ABCD是“垂中平行四边形”， 由勾股定理可得，， ， ∴； ②过点C作CD1∥AB，与BE的延长线交于点D，过点D作DF1∥BC，交BA的延长线于点F，如下图 ∵四边形BCDF是平行四边形， ∴AB∥CD，BF＝CD，BC＝FD， ∴，即，点A是BF中点， ∵BE⊥AC， ∴四边形BCDF是“垂中平行四边形” 由①知， ∴； ③过点A作AD1∥BC，交BE的延长线于点D，连接CD，过点B作BF1∥CD，交DA的延长线于点F，四边形BCDF是平行四边形，如下图 ∴BF＝CD，BC＝FD， ∵AD∥BC， ∴，即，， 点A是DF的中点， ∵BE⊥AC，BD是对角线， ∴四边形BCDF是“垂中平行四边形”， 由勾股定理可得，， 由①知BC＝5， ∴． 模型6. 构造“A”型、“8”字型求比值 【模型提炼与证明】 1. 解题四步 （1）目标：找到需要求比值的两条线段； （2）观察图形，过关键点作平行线，构造A型或者8字型； （3）写出相似三角形，列出线段比例； （4）通过比例等量代换，推导出所求比值。 2. 两类常见构造方法 方法1：过等分点/交点作平行线，构造A型， 适用：三角形内部有线段交点，求线段之比， 套路：过顶点或分点作底边平行线，形成多层A型，传递比例。 方法2：延长线段，构造8字型（沙漏）， 适用：线段相交，缺少平行线；延长边，作平行线产生8字相似。 【模型运用】 【典例1】如图，D，E分别是△ABC的边BC，AB上的点，AD，CE相交于点F，AEEB，BDBC，求CF：EF的值． 【分析】过点E作EM∥BC，交AD于点M，则△AEM∽△ABD，利用相似三角形的性质，可得出，结合BDBC，可得出，由EM∥BC，可得出△EMF∽△CDF，再利用相似三角形的性质，即可得出12． 【解答】解：过点E作EM∥BC，交AD于点M，如图所示． ∵EM∥BC， ∴△AEM∽△ABD， ∴． ∵BDBC， ∴BDCD， ∴． ∵EM∥BC， ∴△EMF∽△CDF， ∴12， ∴CF：EF的值为12． 【典例2】如图在△ABC中，BF交AD于E，若AE：ED＝2：3，BD：DC＝3：2，求AF：FC． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【解答】解：过点D作DH∥BF交AC于H， 则，， ∴AF：FC＝2：5． 【典例3】△ABC中，D为BC上的一点，，E是AD上一点，，求，的值． 【分析】作DG∥AC交BF于G，如图，根据平行线分线段成比例定理，由DG∥CF得，FCDG，GFBF，由DG∥AF，于是得到，AFDG，EFEG，即可得到结论． 【解答】解：作DG∥AC交BF于G，如图， ∵， ∴， ∵DG∥CF， ∴， ∴FCDG，GFBF， ∵DG∥AF， ∴， ∴AFDG，EFEG， ∴AF：FC，14：1． 【典例4】（2025秋•峰峰矿区期中）在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，AD与BE交于点F． （1）如图1，点D是BC中点，点F是AD中点，DG∥BE交AC于点G，求证：； （2）如图2，若BD：DC＝1：4，AF：FD＝3：2，求AE：EC的值． 【分析】（1）利用平行线截线段成比例定理和中点的性质得出AE＝CG＝EG，即可得解； （2）过点D作DH∥BE，利用平行线截线段成比例定理和已知得出CH＝4HE，，代入AE：EC计算即可得解． 【解答】（1）证明：∵DG∥BE，点D是BC中点， ∴CD＝BD， ∴， ∴CG＝EG， ∵点F是AD中点，DG∥BE， ∴AF＝DF， ∴， ∴AE＝EG， ∴AE＝CG＝EG， ∴； （2）解：过点D作DH∥BE交AC于点H， ∵BD：DC＝1：4，DH∥BE， ∴， ∴CH＝4HE， ∵AF：FD＝3：2，DH∥BE， ∴， ∴， ∵， ∴AE：EC的值为． 【典例5】在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的点，连接AD、BE交于点F，设AE＝m，CE＝n． （1）如图1，若AD为BC边上的中线，BE平分AD，则　　 ； （2）如图2，若△ABC为等边三角形，且BD＝CE，BE平分AD，求的值； （3）如图3，若，，求的值． 【分析】（1）如图1中，作DM∥BE交AC于M．由BD＝DC，DM∥BE，推出EM＝MC，由AF＝FD，FE∥DM，推出AE＝EM，由此即可解决问题． （2）如图2中，过点A作AM∥BC交BE的延长线于M．设AF＝DF＝a，AE＝CD＝b．想办法用a表示AE、EC即可解决问题． （3）如图3中，作DM∥BE交AC于M．由，DM∥BE，推出，设CM＝k，EM＝3k，则EC＝4k，由，推出AEk，由EF∥DM，得，由此即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，作DM∥BE交AC于M． ∵BD＝DC，DM∥BE， ∴EM＝MC， ∵AF＝FD，FE∥DM， ∴AE＝EM， ∴． 故答案为． （2）如图2中，过点A作AM∥BC交BE的延长线于M．设AF＝DF＝a，AE＝CD＝b． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠C＝60°， 在△EBC和△DAB中， ， ∴△EBC≌△DAB， ∴∠EBC＝∠DAB，∵∠BDF＝∠ADB， ∴△BDF∽△ADB， ∴BD2＝DF•DA＝a•2a， ∴BD＝CEa， ∵AM∥BC， ∴， 在△AFM和△DFB中， ， ∴△AFM≌△DFB， ∴AM＝BDa， ∴， ∴b2ab﹣2a2＝0， 解得b（负根已经舍弃）． ∴． （3）如图3中，作DM∥BE交AC于M． ∵，DM∥BE， ∴，设CM＝k，EM＝3k，则EC＝4k， ∵， ∴AEk， ∵EF∥DM， ∴． 模型7. 动点问题 【模型提炼与证明】 1. 读懂动点速度、起点、运动范围； 2. 设时间t，写出线段代数式； 3. 根据平行得到A型相似； 4. 列出相似比例式； 5. 解方程，检验t符合取值范围； 6. 作答。 【模型运用】 【典例1】（2022秋•射洪市期中）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为1cm/s；动点Q同时从点B开始沿BC边运动，速度为3cm/s的速度．当P、Q运动 　s或s 时，△ABC与△QBP相似． 【分析】先用t表示出AP＝t，BQ＝3t，BP＝6﹣t，再利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似得到当时，△BPC∽△BAC或当时，△BPC∽△BCA，然后利用比例线段得到关于t的方程，再解方程求出t即可． 【解答】解：如图，AP＝t，BQ＝3t，BP＝6﹣t， ∵∠PBC＝∠ABC， ∴当时，△BPC∽△BAC，即，解得t， 当时，△BPC∽△BCA，即，解得t， 即当ts或s时，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相似． 故答案为：s或s． 【典例2】（2025•江西校级三模）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿着边AB向点B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边BC向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动t（s）． （1）当移动几秒时，△BPQ的面积为32cm2； （2）设四边形APQC的面积为S（cm2），当移动几秒时，四边形APQC的面积为108cm2？ （3）当移动几秒时，△BPQ与△ABC相似？ 【分析】（1）由题意知，BP＝（12﹣2t）cm，BQ＝4tcm，再代入三角形面积公式，解方程即可； （2）根据S＝S△ABC﹣S△BPQ可得方程，进而得出答案； （3）分两种情形：△BPQ∽△BAC或△PBQ∽△CBA，分别根据对应边成比例解决问题． 【解答】解：（1）由题意知，BP＝（12﹣2t）cm，BQ＝4tcm， ∴△BPQ的面积为BP•BQ（12﹣2t）•4t＝32， 解得t＝2或4， ∴当移动2秒或4秒时，△BPQ的面积为32cm2； （2）由题意知，， 解得：t＝3． ∴当移动3秒时，四边形APQC的面积为108cm2． （3）分两种情况： 当△BPQ∽△BAC时， ∴， ∴， 解得t＝3． 当△PBQ∽△CBA时， ∴， ∴， 解得t＝1.2， 综上：当运动3s或1.2s时，△BPQ与△ABC相似 【典例3】（2026春•淄川区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动（0≤t≤5）．设运动时间为t秒，求： （1）用含t的代数式表示CQ＝　2t ，CP＝　20﹣4t ； （2）当t为多少时，PQ的长度等于4？ （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？ 【分析】（1）利用距离＝速度×时间分别求得线段AP，CQ的长度即可得到结论； （2）在Rt△CPQ中，利用勾股定理列出方程即可求解； （3）分两种情况：①△CPQ∽△CBA和②△CPQ∽△CAB，利用相似三角形对应边成比例列出方程即可求解． 【解答】解：（1）∵动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，点P的速度是4cm/s， ∴AP＝4tcm， ∴CP＝AC﹣AP＝（20﹣4t）cm． ∵动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，点Q的速度是2cm/s， ∴CQ＝2tcm． 故答案为：2t；20﹣4t； （2）在Rt△CPQ中， ∵CP2+CQ2＝PQ2， ∴． 整理得：t2﹣8t+12＝0． 解得：t＝2或6． ∵0≤t≤5， ∴t＝2． ∴当t为2时，PQ的长度等于4． （3）①当△CPQ∽△CBA时， ∵△CPQ∽△CBA， ∵． ∴． 解得：t． ②当△CPQ∽△CAB时， ∵△CPQ∽△CAB， ∴． ∴． 解得：t＝3． 综上，当t为3或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似． 【典例4】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△QBP与△ABC相似，求t的值； （2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值； （3）直接写出t为何值时，△BPQ是等腰三角形． 【分析】（1）由勾股定理可求AB的长，分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解； （2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5tcm，PM＝3tcm，MC＝（8﹣4t）cm，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可． （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm， ∴AB10（cm）， ∵△BPQ与△ABC相似，且∠B＝∠B， ∴或， 当时， ∴， ∴t＝1， 当， ∴， ∴t； ∴t＝1或时，△QBP与△ABC相似； （2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：则PB＝5tcm， ∵AC⊥BC ∴△PMB∽△ACB， ∴， ∴BM＝4tcm，PM＝3tcm，且BQ＝（8﹣4t）cm，BC＝8cm， ∴MC＝（8﹣4t）cm，CQ＝4tcm， ∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°， ∴∠NAC＝∠PCM， ∵∠ACQ＝∠PMC， ∴△ACQ∽△CMP， ∴， ∴， ∴t． （3）①当PB＝PQ时，如图1，过P作PE⊥BQ， 则BEBQ＝BQ＝（4﹣2t）cm，PB＝5tcm， 由（2）可知PE＝3tcm， ∴BE4tcm， ∴4t＝4﹣2t， ∴t， ②当PB＝BQ时，即5t＝8﹣4t， 解得：t， ③当BQ＝PQ时，如图，过Q作QG⊥AB于G， 则BGPBt，BQ＝8﹣4t， ∵△BGQ∽△ACB， ∴， ∴， 解得：t． 综上所述：当t或或时，△BPQ是等腰三角形． 1．（2025•花溪区校级一模）如图，AB∥DE，AE与BD相交于点C，若AB＝2，，则CE：AC等于（　　） A．1：1 B．1：2 C． D． 【分析】利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【解答】解：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠E，∠B＝∠D， ∴△CDE∽△CBA， ∴． ∵AB＝2，， ∴CE：AC：2． 故选：C． 2．已知点E是平行四边形ABCD边AD上一点，CE、BA延长线交于点F，下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用平行线的性质和相似三角形的性质逐项判断即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠D， 由AE∥BC，得，故A选项错误，不符合题意； 由CD∥AF，得△CDE∽△FAE， ∴，故B选项正确，不符合题意； 由△CDE∽△FAE，得， 由AE∥BC，得△AEF∽△BCF， ∴， 而，故C选项错误，符合题意； ∵CD∥BF， ∴∠BFC＝∠DCE， 又∵∠B＝∠D， ∴△DCE∽△BFC， ∴，故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 3．如图，同学们在物理课上做“小孔成像”实验．若物距OB＝10cm，像距OB′＝15cm，蜡烛火焰倒立像A′B′＝6cm，则火焰AB的高度是（　　） A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm 【分析】根据题意可得：OB⊥AB，OB′⊥A′B′，从而可得∠ABO＝∠A′B′O＝90°，然后证明8字模型相似△AOB∽△A′OB′，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：OB⊥AB，OB′⊥A′B′， ∴∠ABO＝∠A′B′O＝90°， ∵∠AOB＝∠A′OB′， ∴△AOB∽△A′OB′， ∴， ∴， 解得：AB＝4， ∴火焰AB的高度是4cm， 故选：B． 4．（2025秋•桐柏县期中）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，AE：BE＝1：2，BD与CE相交于点F，则DF：BF的值是（　　） A．1 B． C． D． 【分析】利用平行四边形的性质，可得出AB∥CD且AB＝CD，结合AE：BE＝1：2，可得出DC：BE＝3：2，由AB∥CD，可得出△CDF∽△EBF，再利用相似三角形的性质，即可求出DF：BF的值． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，且AB＝CD． ∵AE：BE＝1：2， ∴DC：BE＝（1+2）：2＝3：2． ∵AB∥CD， ∴△CDF∽△EBF， ∴DF：BF＝DC：BE＝3：2． 故选：D． 5．如图，在▱ABCD中，点G是CD上的三等分点，连接AG并延长交BD于点F，交BC的延长线于点E，若FG＝2，则AE＝（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 【分析】易得DG，CG＝2DG，由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，进而得DG，△ABF∽△GDF，△ADG∽△ECG，再结合相似三角形的性质依次算出AF，AG，EG即可得解． 【解答】解：∵点G是CD上的三等分点， ∴DG，CG＝2DG， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC， ∴DG，△ABF∽△GDF，△ADG∽△ECG， 由△ABF∽△GDF，得，即3， ∴AF＝6，AG＝8， 由△ADG∽△ECG，得，， ∴EG＝16， ∴AE＝AG+EG＝8+16＝24． 故选：D． 6．（2025•陕西校级模拟）如图，在△ABC中，D，M是边AB的三等分点，N，E是边AC的三等分点．连接ND并延长与CB的延长线相交于点P．若DE＝4，则线段CP的长为（　　） A．5 B．7 C．6 D．8 【分析】利用已知条件得到，再利用相似三角形的判定与性质得到DE∥BC，最后利用三角形的中位线定理解答即可得出结论． 【解答】解：∵D，M是边AB的三等分点，N，E是边AC的三等分点， ∴， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴∠ADE＝∠ABC， ∴DE∥BC． ∵NE＝EC， ∴DE为△NPC的中位线， ∴PC＝2DE＝2×4＝8． 故选：D． 7．（2026•凉州区一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，AD＝3BD，△ABC的面积为32，则△ADE的面积为 　18　 ． 【分析】由题意易得，△ADE∽△ABC，于是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【解答】解：∵AD＝3BD， ∴AB＝4BD，即， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴，即， ∴S△ADE＝18． 故答案为：18． 8．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，，则AF的长为 　　 ． 【分析】根据题意和矩形的性质可得AB＝CD＝4，AB∥CD，∠ADC＝∠DAB＝90°，AE＝2，根据勾股定理求得AD＝3，AC＝5，易证△AEF∽△CDF，则，，以此即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝4， ∴AB＝CD＝4，AB∥CD，∠ADC＝∠DAB＝90°， ∵E是边AB的中点， ∴AE＝BEAB＝2， 在Rt△DAE中，，AE＝2， ∴3， 在Rt△ADC中，AD＝3，CD＝4， ∴5， ∵AB∥CD， ∴∠EAF＝∠DCF，∠AEF＝∠CDF， ∴△AEF∽△CDF， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（2026•漳州模拟）如图，△ABC中，点D在边AC上，满足∠ABD＝∠C，AB＝4，AD＝2．求CD的长． 【分析】先证明△ABD∽△ACB，由相似三角形的性质得出，求出AC，然后根据线段的和差关系即可得出CD． 【解答】解：在△ABD与△ACB中， ， ∴△ABD∽△ACB， ∴， ∵AB＝4，AD＝2， ∴， ∴AC＝8， ∴CD＝AC﹣AD＝8﹣2＝6． 10．（2026•余杭区二模）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽AB．如图，从B处沿与AB垂直的直线方向走45m到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走20m到达D处，再右转90°走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得DE＝32m． （1）求证：△ABC∽△EDC． （2）求河宽AB的长． 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠DCE， ∴△ABC∽△EDC． （2）解：∵△ACB∽△DCE， ∴， ∵BC＝45m，DC＝20m，DE＝32m， ∴， ∴AB＝72m． 答：河宽AB为72m． 11．（2026春•姑苏区校级期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若∠A＝40°，∠B＝65°，∠AED＝75°． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）已知AD：BD＝2：3，AE＝5，求AC的长． 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明△ADE∽△ABC； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【解答】（1）证明：∵∠A＝40°，∠B＝65°， ∴∠C＝180°﹣40°﹣65°＝75°， ∴∠C＝∠AED， 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC； （2）解：∵AD：BD＝2：3， ∴， ∵△ADE∽△ABC， ∴， 即， 解得： 12．已知▱ABCD，E为CD延长线上一点，BE与AC交于点G，与AD交于F点，若BG＝3，FG＝2，求EF的长． 【分析】由平行四边形的性质可得AF∥BC，AB∥CE，AD＝BC，再证△AFG∽△CBG可得，即；然后证△AFB∽△DFE可得，最后代入相关数据计算即可； 【解答】解：∵▱ABCD， ∴AF∥BC，AB∥CE，AD＝BC， ∵AF∥BC， ∴△AFG∽△CBG， ∴， ∵AD＝BC， ∴，即：， ∵AB∥CE， ∴△AFB∽△DFE， ∴， ∴，即， 解得：EF＝2.5． 13．（2026•广州校级模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上且AE•AB＝AD•AC，连接DE，BD． （1）求证：△ADE∽△ABC． （2）若点E为AB中点，AD：AE＝6：5，若AB＝20，求CD的长． 【分析】（1）根据两组对应边城比例及夹角相等即可得证； （2）由AD：AE＝6：5得出AD＝12，再利用相似三角形的对应边城比例即可解答． 【解答】（1）证明：∵AE•AB＝AD•AC， ∴， 又∵∠DAE＝∠CAB， ∴△ADE∽△ABC； （2）解：∵点E为AB中点， ∴AEAB＝10， ∵AD：AE＝6：5， ∴AD＝12， ∵△ADE∽△ABC， ∴， ∴， ∴AC， ∴CD＝AC﹣AD12． 14．（2026春•周村区期末）如图，△ABC中，D为AB边上一点，且∠DCB＝∠A． （1）求证：△CBD∽△ABC； （2）若AD＝5，DB＝4，求BC的长． 【分析】（1）根据两角分别相等的两个三角形相似即可证明； （2）先根据相似三角形性质即可求出BC的长． 【解答】（1）证明：∵△ABC中，D为AB边上一点，∠DCB＝∠A，∠CBD＝∠ABC， ∴△CBD∽△ABC． （2）解：∵△CBD∽△ABC，AD＝5，DB＝4， ∴， ∴， 解得：BC＝6（负值已舍去）． 15．（2026春•环翠区期末）如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，且∠1＝∠2． （1）求证：BE2＝EF•EA； （2）若BE＝4，EF＝2，求CE的长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明△BFE∽△ABE，利用相似三角形的性质即可得证． （2）利用平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质即可解答． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵∠1＝∠2， 即∠BAE＝∠ADB， ∴∠BAE＝∠FBE， 在△BFE和△ABE中， ∵∠FBE＝∠BAE，∠BEF＝∠AEB， ∴△BFE∽△ABE， ∴， ∴BE2＝EF•EA； （2）解：由（1）得BE2＝EF•EA， ∵BE＝4，EF＝2， ∴42＝2•EA， ∴EA＝8， ∴AF＝AE﹣EF＝8﹣2＝6， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴△AFD∽△EFB， ∴， ∴DF＝3BF， ∴BD＝BF+DF＝4BF， ∴， ∵△EFB∽△AFD， ∴， ∵BE＝4， ∴AD＝3×4＝12， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝12， ∴CE＝BC﹣BE＝12﹣4＝8． 16．（2026•遵义模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，连接对角线AC，直线MN垂直平分AC，分别交AD，BC于点E，F，垂足为G． （1）直接写出一对相似三角形； （2）求线段EF的长． 【分析】（1）利用两角对应相等的两个三角形相似解答即可； （2）先根据勾股定理求出AC的长，进而求出AG的长，再证明△AGE∽△ADC，即可求出EG长，再进一步即可得到答案． 【解答】（1）证明：∵矩形纸片ABCD， ∴AD∥BC，∠B＝∠D＝90°， ∴∠AEG＝∠CFG， ∵∠AGE＝∠CGF， ∴△AGE∽△CGF； ∵∠EAG＝∠CAD，∠AGE＝∠D＝90°， ∴△AGE∽△ADC， 同理可得：△CGF∽△CBA；△ABC∽△CDA；△CGF∽△ADC；△AGE∽△CBA； （2）解：∵矩形纸片ABCD， ∴AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，AB＝CD， ∵AB＝6，BC＝8， ∴， ∵直线MN垂直平分AC， ∴， ∴∠AGE＝∠D， 又∵∠GAE＝∠DAC， ∴△AGE∽△ADC， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知△AGE∽△CGF， ∴， ∴， ∴． 17．（2026春•台江区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC． （1）用无刻度直尺和圆规作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：在∠ACB的内部作射线CM交AB于点D，使△ACD∽△ABC； （2）在（1）的条件下，若AB＝9，AC＝6，求AD的长． 【分析】（1）在AC的左侧作∠ACM＝∠ABC，交AB于点D，则射线CM即为所求． （2）由相似三角形的性质可得，即，则可得AD的长． 【解答】解：（1）如图，在AC的左侧作∠ACM＝∠ABC，交AB于点D， 则射线CM即为所求． （2）∵△ACD∽△ABC， ∴， 即， ∴AD＝4． 18．（2025秋•桥东区期末）如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE＝1.5，AC＝2，且． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）若△ABC的面积为8，求△ADE的面积． 【分析】（1）运用夹角相等，两边对应成比例的判定定理进行证明即可； （2）根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此进行计算即可． 【解答】（1）证明：∵AE＝1.5，AC＝2， ∴， ∵， ∴， ∵∠BAC＝∠DAE， ∴△ADE∽△ABC； （2）解：∵△ADE∽△ABC， ∴， ∴． 19．（2026春•烟台期末）如图在△ABC中，AD是角平分线，求证：． 【分析】过点C作CE∥AB交AD延长线于E，得到△ABD∽△ECD，从而得出，再运用角平分线的性质得出AC＝CE，即可得证． 【解答】证明：过点C作CE∥AB交AD延长线于E， ∴△ABD∽△ECD， ∴， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠1＝∠2， ∵CE∥AB， ∴∠1＝∠E， ∴∠2＝∠E， ∴AC＝CE， ∴． 20．（2026•名山区模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连接OE交BC于点F．已知AB＝4，BC＝6，CE＝2，求CF的长． 【分析】延长EO交BA于点Q，如图，根据平行四边形的性质得到OA＝OC，AB∥CD，则根据平行线的性质得到∠Q＝∠E，再证明△AOQ≌△COE得到AQ＝CE＝2，接着证明△CEF∽△BQF得到，然后根据比例的性质可求出CF． 【解答】解：延长EO交BA于点Q，如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，AB∥CD， ∴∠Q＝∠E， 在△AOQ和△COE中， ， ∴△AOQ≌△COE（AAS）， ∴AQ＝CE＝2， ∴BQ＝AB+AQ＝4+2＝6， ∵CE∥BQ， ∴△CEF∽△BQF， ∴， ∴， ∴CFBC6． 21．（2026春•福山区期末）如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，连接AD，过点A作AE∥BC，连接BE分别交AD，AC于点F，G，AF2＝FG•EF． （1）求证：∠DAC＝∠CBE； （2）若AB＝AC＝5，BC＝6，点D为BC的中点，求BG的长． 【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等证得△AFG∽△EFA，得出∠FAG＝∠FEA，再根据两直线平行，内错角相等得出∠FEA＝∠CBE，即可得证； （2）根据等腰三角形三线合一得出BD＝CD＝3，AD⊥BC，从而求出AD的长，再利用两角分别相等的两个三角形相似证得△GBC∽△DAC，得出，从而求解． 【解答】（1）证明：∵AF2＝FG•EF， ∴， ∵∠AFE是公共角， ∴△AFG∽△EFA， ∴∠FAG＝∠FEA， ∵AE∥BC， ∴∠FEA＝∠CBE， ∴∠FAG＝∠CBE，即∠DAC＝∠CBE； （2）解：当点D为BC的中点，如图， ∵BC＝6，点D为BC的中点， ∴BD＝CD3， ∵AB＝AC，点D为BC的中点， ∴AD⊥BC， 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD2+BD2＝AB2， ∴AD2+32＝52， ∴AD＝4， 由（1）知∠DAC＝∠CBE， 又∵∠C为公共角， ∴△GBC∽△DAC， ∴， ∴， ∴BG． 22．（2026•江都区校级二模）如图，在菱形ABCD中，G为边CB延长线上一点，连接DG分别交AC和AB于E和F两点． （1）求证：∠ADE＝∠ABE； （2）已知EF＝1，FG＝2，求BE的长． 【分析】（1）根据菱形的性质，可得AD＝AB，∠DAC＝∠BAC，根据全等三角形的判定和性质，可得△ADE≌△ABE，即可得到∠ADE＝∠ABE； （2）根据菱形的性质，可得AD∥BC，推出∠ADE＝∠DGC，等量代换，根据相似三角形的判定和性质，则△GBE∽△BEF，则BE2＝GE×EF，即可． 【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC， 在△ADE和△ABE中， ∴， ∴△ADE≌△ABE（SAS）， ∴∠ADE＝∠ABE； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DGC， ∵∠ADE＝∠ABE， ∴∠DGC＝∠ABE， ∵∠GEB＝∠GEB， ∴△GBE∽△BFE， ∴， ∴BE2＝GE×EF， ∵EF＝1，FG＝2， ∴GE＝GF+FE＝3， ∴． 23．（2025•朝阳区校级模拟）如图，在边长为4cm的等边△ABC中，点D从点B开始以每秒2cm的速度沿射线BA方向运动，连结CD，点E在线段CD上（不与端点重合），将射线BE绕点B逆时针旋转60°得到的射线与射线CA交于点F，设点D的运动时间为t秒． （1）如图①，当点D在边AB上时，若BE平分∠ABC，则∠BFC＝　30　 °． （2）如图②，当点D在边BA延长线上时，过点D作DH∥BC交BE于点H，若点E为CD中点， ①求证：△BDH≌△FAB； ②当AF＝6cm时，求t的值． （3）若点E是CD的三等分点，当△ABF的面积等于，直接写出t的值． 【分析】（1）运用等边三角形性质、角平分线定义、旋转变换性质及直角三角形性质即可求得答案； （2）①利用ASA可证得△DEH≌△CEB，再利用AAS即可证得△BDH≌△FAB； ②根据题意建立方程求解即可得出答案； （3）分两种情况：当CECD时，当DECD时，分别求得t的值即可． 【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE∠ABC＝30°， ∵射线BE绕点B逆时针旋转60°得到的射线与射线CA交于点F， ∴∠EBF＝60°， ∴∠CBF＝∠CBE+∠EBF＝90°， ∴∠BFC＝90°﹣∠ACB＝30°， 故答案为：30． （2）①证明：∵DH∥BC， ∴∠EDH＝∠ECB，∠BDH+∠ABC＝180°， ∵点E为CD中点， ∴DE＝CE， 又∵∠DEH＝∠CEB， ∴△DEH≌△CEB（ASA）， ∴DH＝BC， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， ∴DH＝AB，∠BAF＝180°﹣∠BAC＝120°， ∵∠BDH＝180°﹣∠ABC＝120°， ∴∠BDH＝∠BAF， ∵射线BE绕点B逆时针旋转60°得到的射线与射线CA交于点F， ∴∠EBF＝60°，即∠ABF+∠DBH＝60°， 又∵∠ABF+∠AFB＝∠BAC＝60°， ∴∠DBH＝∠AFB， ∴△BDH≌△FAB（AAS）； ②由①知△BDH≌△FAB， ∴BD＝AF＝6cm， 由题意得BD＝2tcm， ∴2t＝6， 解得t＝3， ∴t的值为3． （3）∵点E是CD的三等分点， ∴CECD或DECD， 当CECD时，如图，过点F作FG⊥BD于G，过点D作DK∥BC交BE的延长线于K， 则， ∵△ABF的面积等于4， ∴AB•FG＝4， ∵AB＝4， ∴FG＝2， ∵∠FAG＝∠BAC＝60°， ∴sin60°， ∴AF4， ∴AF＝AB， ∴∠ABF＝∠AFB， ∵∠ABF+∠AFB＝∠BAC＝60°， ∴∠ABF＝∠AFB＝30°， ∴∠DBE＝∠EBF﹣∠ABF＝30°， ∴∠EBC＝60°﹣30°＝30°， ∴∠DBE＝∠EBC， ∵DK∥BC， ∴∠EBC＝∠K， ∴∠K＝∠DBE， ∴DK＝BD， ∵DK∥BC， ∴△BEC∽△KED， ∴， ∴， ∴BD＝2BC＝8， ∵BD＝2t， ∴2t＝8， 解得t＝4； 当DECD，即时，如图，过点D作DK∥BC交BE的延长线于K， 则∠EBC＝∠DKB， 又∵∠DBE＝∠EBC＝30°， ∴∠DKB＝∠DBE， ∴DK＝BD， ∵DK∥BC， ∴△BEC∽△KED， ∴， ∴DKBC＝2， ∴BD＝2，即2t＝2， 解得：t＝1； 综上所述，t的值为4或1． 24．（2026•颍上县模拟）点E在菱形ABCD的CD边上，BE与AC相交于F． （1）如图1，若BF＝CF，求∠AFB+∠D的度数； （2）如图2，延长BE至G，使得FG＝BF，连接DG，求证：DG∥AC； （3）如图3，连接AE，若∠AEB＝2∠CBE，求证：AE•CE＝BE•DE． 【分析】（1）根据菱形的性质得到∠D+∠DCB＝180°，∠BCF＝∠FCE，证明∠FBC＝∠FCB＝∠FCE，再由三角形外角定理得到∠AFB＝∠BFC+∠FCE＝∠BCD，即可得到答案； （2）连接BD，交AC于点O，证明OF是△BGD的中位线，即可得到结论； （3）延长AD，BE交于点M，证明，过点E作EN∥AD，根据平行线的性质得到∠DAE＝∠M，证明AE＝EM，即可得到结论． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠D+∠DCB＝180°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BCF＝∠FCE， ∵BF＝CF， ∴∠FBC＝∠FCB， ∴∠FBC＝∠FCB＝∠FCE， ∵∠AFB＝∠FBC+∠FCB ∴∠AFB＝∠BFC+∠FCE＝∠BCD ∴∠AFB+∠D＝180°； （2）证明：连接BD，交AC于点O，如图2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OD＝OB， ∵BF＝GF， ∴OF是△BGD的中位线， ∴DG∥OF， ∴DG∥AC； （3）证明：延长AD，BE交于点M，如图3， ∵AM∥BC， ∴∠M＝∠EBC， ∵∠DEM＝∠CEB， ∴△DEM∽△CEB， ∴， 过点E作EN∥AD， ∴EN∥AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEN，∠NEB＝∠EBC， ∵∠AEB＝∠AEN+∠NEB＝2∠EBC， ∴∠DAE＝∠EBC， ∴∠DAE＝∠M， ∴AE＝EM， ∴， ∴AE•CE＝BE•DE． 25．（2026•庆云县校级三模）【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝3，BE＝2．求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，．AE＝1，DF＝3，求菱形ABCD的边长． 【分析】（1）判断出△ADC∽△ACB，即可得出结论； （2）先判断出∠BFE＝∠C，进而得出△BFE∽△BCF，即可得出BF2＝BE•BC，即可求出答案； （3）分别延长EF，DC相交于点H，先得出AB∥DC，，进而判断出四边形AEHC为平行四边形，得出AC＝EH，CH＝AE＝1，∠EAC＝∠H，再判断出△EDF∽△EHD，得出DE2＝EF•EH，即可求出答案． 【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2＝AD•AB； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， ∵∠BFE＝∠A， ∴∠BFE＝∠C， ∵∠FBE＝∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2＝BE•BC， ∵BF＝3，BE＝2， ∴32＝2BC ∴BC， ∴AD， 即AD的长为； （3）解：如图，分别延长EF，DC相交于点H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥DC，， ∵AC∥EF， ∴四边形AEHC为平行四边形， ∴AC＝EH，CH＝AE＝1，∠EAC＝∠H， ∵， ∵， ∴∠EDF＝∠BAC， ∴∠EDF＝∠H， ∵∠DEF＝∠HED， ∴△EDF∽△EHD， ∴， ∴DE2＝EF•EH， ∵EH＝AC＝2EF， ∴DE2＝2EF2， ∴， ∵， ∴DHDF＝3， ∴DC＝DH﹣CH＝31， ∴菱形ABCD的边长为． 26．（2026•安徽模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D为BC边的中点，点E在AB边上，连接DE，过点D作DF⊥DE，交AC于点F． （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）如图2，连接EF，交AD于点O，求证：AO•OD＝EO•OF； （3）如图3，连接BF，若∠ABF＝2∠FDC，求BF的长． 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一、直角三角形的性质并结合ASA即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得DE＝DF，易得△DEF是等腰直角三角形可得∠DEO＝45°，进而得到∠DEO＝∠FAO，再结合∠AOF＝∠EOD得到△AOF∽△EOD，再利用相似三角形的性质即可证明结论； （3）如图，延长BA至G，使AG＝AE，连接EF，FG，由垂直平分线的性质以及（1）（2）的相关结论可得△GFE∽△GBF，进而得到GF2＝GB•GE，利用勾股定理可得GF2＝AG2+AF2，即AG2+AF2＝GB•GE；设CF＝AE＝AG＝m，则AF＝4﹣m，BG＝4+m，利用勾股定理列方程可得m＝1，即AE＝1、AF＝3，最后利用勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D为BC边的中点， ∴∠DAE＝∠DAC＝∠C＝45°，， ∵AD⊥BC， ∴∠ADF+∠FDC＝90°， 又∵DE⊥DF， ∴∠ADF+∠EDA＝90°， ∴∠EDA＝∠FDC， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（ASA）； （2）证明：由（1）知△ADE≌△CDF， ∴DE＝DF， 又∵DF⊥DE， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∴∠DEO＝45°， 又∵∠DAC＝45°， ∴∠DEO＝∠FAO， 又∵∠AOF＝∠EOD， ∴△AOF∽△EOD， ∴， ∴AO•OD＝EO•OF； （3）解：如图3，延长BA至G，使AG＝AE，连接EF，FG， 由题意可知：AF垂直平分EG， ∴EF＝FG， ∴∠AFG＝∠AFE． 由（1）知△ADE≌△CDF， ∴∠ADE＝∠CDF，CF＝AE， 由（2）知△AOF∽△EOD， ∴∠AFE＝∠ADE． ∵∠ABF＝2∠FDC， ∴∠ABF＝2∠ADE＝2∠AFE＝∠EFG， 又∵∠EGF＝∠FGB， ∴△GFE∽△GBF， ∴， ∴GF2＝GB•GE， 在Rt△AGF中，由勾股定理得：GF2＝AG2+AF2， ∴AG2+AF2＝GB•GE． 设CF＝AE＝AG＝m，则AF＝4﹣m，BG＝4+m， ∴m2+（4﹣m）2＝2m（4+m）， 解得：m＝1， ∴AE＝1，AF＝3， 在直角三角形ABF中，由勾股定理得：． 27．如图，在△ABC中，AB＝AC，中线AE与高线CD相交于点P，连接DE． （1）求证：PA•PE＝PC•PD； （2）过点E作EF⊥AC于点F，求的值； （3）若∠BAC＝45°，求证：． 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AE⊥BC，进而可知∠ADP＝∠AEC＝90°，结合∠APD＝∠CPE，可证得△APD∽△CPE，得，即可证得结论； （2）由等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB，，由垂直定义可得∠EFC＝∠CDB＝90°，进而可证得△CEF∽△BCD，即可得； （3）作DG⊥DE，交AE于G，则∠EDG＝90°，由等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB＝67.5°，，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝BE＝CE，可得∠BDE＝∠B＝67.5°，则∠DBE＝45°，可得DG＝DE＝CE，易得则Rt△EDG为等腰直角三角形，可知，∠DGE＝45°，进而可得∠ADG＝∠DAG＝22.5°，可知DG＝AG，由AE＝AG+GE即可证得结论． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AE是BC边上的中线， ∴AE⊥BC， 又∵CD⊥AB， ∴∠ADP＝∠AEC＝90°， 又∵∠APD＝∠CPE， ∴△APD∽△CPE， ∴， ∴PA•PE＝PC•PD； （2）解：∵AB＝AC，AE是BC边上的中线，如图1， ∴∠B＝∠ACB，，即：， ∵EF⊥AC，CD⊥AB， ∴∠EFC＝∠CDB＝90°， ∴△CEF∽△BCD， ∴； （3）证明：作DG⊥DE，交AE于G，则∠EDG＝90°，如图2， ∵∠BAC＝45°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝67.5°， 又∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°，∠ACD＝∠BAC＝45°， ∵AB＝AC，AE是BC边上的中线， ∴，∠AEB＝90°， ∵CD⊥AB，E为BC中点， ∴DE＝BE＝CE， ∴∠BDE＝∠B＝67.5°，则∠DBE＝45°， ∴∠DEG＝45°， 又∵∠EDG＝90°， ∴∠DGE＝45°， ∴DG＝DE＝CE，则Rt△EDG为等腰直角三角形， ∴， ∵∠DGE＝45°，∠DAG＝22.5°， ∴∠ADG＝∠DGE﹣∠DAG＝22.5°， ∴∠ADG＝∠DAG， ∴DG＝AG， ∴AG＝CE， ∴． 28．（2026春•丹徒区期末）在∠AOB中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB，垂足为点D，过点D作DE⊥OA，垂足为点E，直线DE，OC交于点F，过点C作CG⊥DE，垂足为点G． 【观察猜想】 如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG，OE，OD的数量关系：OD＝CG+OE ； 【类比探究】 如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明； 【拓展应用】 当0°＜∠AOB＜180°，且∠AOB≠90°时，若EG＝2EF，请直接写出的值． 【分析】（1）如图，过点C作CP⊥OA于点P，由角平分线的性质定理可得CP＝CD，再证明Rt△POC≌Rt△DOC（HL）可得OP＝OD，然后说明四边形CPEG是矩形可得PE＝CG，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点C作CQ⊥OA于点Q，由角平分线的性质定理可得CQ＝CD，再证明Rt△QOC≌Rt△DOC可得OQ＝OD，然后说明四边形CQEG是矩形可得QE＝CG，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）分0°＜∠AOB＜90°和90°＜∠AOB＜180°分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可． 【解答】解：（1）如图，过点C作CP⊥OA于点P， ∵OC 平分∠AOB，CD⊥OB，CP⊥OA， ∴CP＝CD， 在Rt△POC和Rt△DOC中， ∵OC＝OC，CP＝CD， ∴Rt△POC≌Rt△DOC（HL）， ∴OP＝OD， ∵DE⊥OA，CG⊥DE，CP⊥OA， ∴∠CPE＝∠PEG＝∠CGE＝90°， ∴四边形CPEG是矩形， ∴PE＝CG， ∴OD＝OP＝PE+OE＝CG+OE， 故答案为：OD＝CG+OE； （2）补全图形如图2所示，（1）中结论不成立，OD＝CG﹣OE，证明如下： 如图，过点C作CQ⊥OA于点Q， ∵OC 平分∠AOB，CD⊥OB，CQ⊥OA， ∴CQ＝CD， 在Rt△QOC和Rt△DOC 中， ∵OC＝OC，CQ＝CD， ∴Rt△QOC≌Rt△DOC（HL）， ∴OQ＝OD， ∵DE⊥OA，CG⊥DE，CQ⊥OA， ∴∠CQE＝∠QEG＝∠CGE＝90°， ∴四边形CQEG是矩形， ∴QE＝CG， ∴OD＝OQ＝QE﹣OE＝CG﹣OE； （3）①如图：当0°＜∠AOB＜90°时， ∵CG⊥DE，DE⊥OA， ∴CG∥OE， ∴△OEF∽△CGF， ∴， ∵EG＝2EF， ∴FG＝EG﹣EF＝EF， ∴1， ∴CG＝OE， 由（1）知OD＝CG+OE＝OE+OE＝2OE， ∴DEOE， ∵∠DCG+∠CDG＝90°，∠ODE+∠CDG＝90°， ∴∠DCG＝∠ODE， ∴△CDG∽△DOE， ∴， ∴ODCD， 根据勾股定理得，OC2CD， ∴； ②如图：当90°＜∠AOB＜180°时， ∵CG⊥DE，DE⊥OA， ∴CG∥OE， ∴△OEF∽△CGF， ∵EG＝2EF， ∴FG＝EG+EF＝2EF+EF＝3EF， ∴3， ∴CG＝3OE， 由（2）知，OD＝CG﹣OE＝3OE﹣OE＝2OE， ∴DEOE， ∵∠DCG+∠CDG＝90°，∠ODE+∠CDG＝90°， ∴∠DCG＝∠ODE， ∴△CDG∽△DOE，∴， ∴ODCD， 根据勾股定理得，OCCD， ∴， 即：的值为或． 29．（1）如图1，已知△ABC中，D是BC的中点，E是AC上一点，，连接AD与BE相交于点F，求的值． 小英、小明和小聪各自经过独立思考，分别得到一种添加辅助线的方法从而解决了问题，小明的解法是： 解：过点C作CH∥BE交AD的延长线于点H（如图1﹣1）． ∵CH∥BE，D是BC的中点， ∴． ∵CH∥FE，， ∴． ∴•． 小英添加的辅助线是：过点D作DG∥BE交AC于点G（如图1﹣2）；小聪添加的辅助线是：过点A作AM∥BE交CB的延长线于点M（如图1﹣3）；请你在小英和小聪辅助线的添法中选择一种完成解答． （2）①如图2﹣1，△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC上一点，，连接AD与BE相交于点F，则　　 （用含a、b的式子表示）． ②如图2﹣2，△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，，，连接AD与BE相交于点F，求的值（用含a、b、m、n的式子表示）． （3）如图3，△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，，，连接AD与BE相交于点F，已知△ABC的面积为45，求△ABF和四边形CDFE的面积． 【分析】（1）小英的方法只要证明求出AE：EG的值即可解决问题．小聪是方法，只要求出BM：BD的值即可． （2）①如图2﹣1中，作DG∥BE交AC于G．想办法求出AE：EG的值即可解决问题．②方法类似①． （3）如图3中，作DG∥BE交AC于G．首先证明AF：DF＝2：1，再分别求出△ABD、△BCE、△ABF、△BDF的面积即可． 【解答】（1）解：小英添加的辅助线是：过点D作DG∥BE交AC于点G（如图1﹣2）， ∵DG∥BE，BD＝CD， ∴1， ∴EG＝CG， ∵EF∥DG， ∴， ∵，EG＝GC， ∴， ∴． 小聪添加的辅助线是：过点A作AM∥BE交CB的延长线于点M（如图1﹣3）； ∵AM∥EB， ∴， ∵BD＝DC， ∴， ∵BF∥AM， ∴． （2）解：①如图2﹣1中，作DG∥BE交AC于G． ∵DG∥BE，BD＝CD， ∴1， ∴EG＝CG， ∵EF∥DG， ∴， ∵，EG＝GC， ∴， ∴． 故答案为． ②如图2﹣2中，作DG∥BE交AC于G． ∵DG∥BE，BD＝CD， ∴， ∵EF∥DG， ∴， ∵，设AE＝a，EC＝b，EG＝mk，CG＝nk， 则b＝mk+nk，k ∴EG， ∴ ∴． （3）解：如图3中，作DG∥BE交AC于G． ∵DG∥BE， ∴2， ∴2EG＝CG， ∵EF∥DG， ∴， ∵，GC＝2EG， ∴， ∴， ∵S△ABC＝45，BD：DC＝1：2， ∴S△ABD45＝15， ∵AF：DF＝2：1， ∴S△ABFS△ABD15＝10， ∴S△BDF＝5， ∵AE：EC＝2：3， ∴S△BEC•S△ABC45＝27， ∴S四边形EFDC＝S△ECB﹣S△BDF＝27﹣5＝22． 25 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似三角形重要模型之A字型与8字型（几何模型讲义） 相似三角形是初中几何核心重难点，而A型（金字塔模型）与8字型（沙漏模型） 是所有相似综合题的基础模型，绝大多数线段比值、动点、几何证明、面积计算题目，都可以拆解为这两类图形。 两个模型拥有统一的核心生成条件：平行线构造相似三角形。 A型拥有公共顶角，8字型依靠一组对顶角；依靠平行线带来两组相等的同位角/内错角，满足两角对应相等，直接证明三角形相似。 很多题目原图不会直接画出平行线，需要我们主动作辅助线构造A型、8字型，实现线段比例的转化，这也是中考最常考查的能力。 在动点问题、几何求值、存在性题型中，A型与8字型经常叠加出现，结合方程思想，建立线段之间的等量关系，求解长度、运动时间、线段比值。 同时牢记重要推论：相似三角形对应边成比例，面积比等于相似比的平方。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 4 模型1. “A”字型相似模型 4 模型2. 斜交“A”字型相似模型 11 模型3. “8”字型相似模型 16 模型4. 反“8”字型相似模型 28 模型5. 母子型 31 模型6. 构造“A”字型、“8”字型求比值 40 模型7. 动点问题 47 模型运用 51 我国古代劳动人民很早就开始利用相似直角三角形的性质进行测量。据 《周髀算经》和 《九章算术》记载，古人使用矩尺、表等工具，通过构造相似三角形来测量物体的高度和距离，这为后世几何模型的发展提供了实践经验。 这两种模型最基础的形态（正A型、正8字型）都依赖于平行线。其核心原理是“平行线分线段成比例定理”，这一理论在古希腊欧几里得的 《几何原本》第6卷中已有系统论述。 为了应对复杂的几何题目，教育者将这两种基础模型进行了拓展，形成了如今初中数学中常见的模型体系。 A字型及其变式 - 正A字型：由一条平行于三角形底边的直线截得，利用同位角相等证明相似。 - 斜A字型（反A型）：截线不平行于底边，但满足一组非公共角相等，利用公共角和等角证明相似。 8字型及其变式 - 正8字型：由两条平行线被两条相交直线所截得，利用内错角相等证明相似。 - 斜8字型（蝴蝶型）：没有平行线，但存在两组对应角相等（通常包含一对对顶角），从而证明相似。 1．相似三角形的对应角相等 如图，与相似，则有． 2．相似三角形的对应边成比例 如图，与相似，则有（为相似比）． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，与相似，是中边上的中线，是中边上的中线，则有（为相似比）． 图1 如图2，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）． 图2 如图3，与相似，是中的角平分线，是中的角平分线，则有（为相似比）． 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，与相似，则有（为相似比）．应用比例的等比性质有． 图4 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图5，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）．进而可得． 图5 模型1.“”字型相似模型 【模型提炼】 如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． 【模型运用】 【典例1】如图，已知点D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，∠BAC＝∠AED． （1）求证：AB•AD＝BC•AE； （2）在边AC取一点F，如果，，求证：∠AFE＝∠D． 【典例2】（2026•雨花台区模拟）如图，在▱ABCD中，在AD延长线上取一点P，连接BP交CD于点E，且． （1）求的值． （2）若△BCE的面积为9，求△ABP的面积． 【典例3】（2026•曲周县模拟）【基础巩固】 （1）如图①，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点M，求证：DM＝EM． 【尝试应用】 （2）图②，在（1）的条件下，连接CD，CM．若CM⊥DE，CD＝9，AE＝6，求的值； 【拓展提高】 （3）如图③，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EM∥BD交AD于点M，EF⊥EM交BC于点F．若∠EMF＝40°，FM平分∠EFC，FM＝2，求BF的长． 【典例4】（2025秋•虹口区校级月考）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图． 【阅读理解】 任务：如图1，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，仅用一把无刻度的直尺作DE、BC的中点． 操作：如图2，联结BE、CD交于点P，联结AP交DE于点M，延长AP交BC于点N，则M、N分别为DE、BC的中点． 理由：由DE∥BC可得△ADM∽△ABN及△AEM∽△ACN，所以，．所以．同理，由△DMP∽△CNP及△EMP∽△BNP，可得．所以．所以，则BN＝CN，DM＝EM，即M、N分别为DE、BC的中点． 【实践操作】 请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． 如图3，l1∥l2，点E、F在直线l2上． ①作线段EF的中点； ②在①中作图的基础上，在直线l2上位于点F的右侧作一点P，使得PF＝EF； 【探索发现】 如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、⋯k倍（k为正整数）的线段．如图4，l1∥l2，已知点P1、P2在l1上，利用上述方法作出了P2P3＝P3P4＝P1P2，点E、F在直线l2上，请在图4中作出线段EF的三等分点． 模型2. 斜交“”字型相似模型 1：如图：⇔⇔； 2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 【模型运用】 【典例1】（2026春•钢城区期末）如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED＝∠C． （1）求证：△AED∽△ACB； （2）若AB＝9，AD＝6，AC＝7，求AE的长． 【典例2】（2026春•钢城区期末）如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED＝∠C． （1）求证：△AED∽△ACB； （2）若AB＝9，AD＝6，AC＝7，求AE的长． 【典例3】（2026春•姑苏区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是边BC的中点，连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE． （1）求证：△DBE∽△DAB； （2）若，CE＝2，求AC的长． 【典例4】（2026•曲周县模拟）【基础巩固】 （1）如图①，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点M，求证：DM＝EM． 【尝试应用】 （2）图②，在（1）的条件下，连接CD，CM．若CM⊥DE，CD＝9，AE＝6，求的值； 【拓展提高】 （3） 如图③，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EM∥BD交AD于点M，EF⊥EM交BC于点F．若∠EMF＝40°，FM平分∠EFC，FM＝2，求BF的长． 模型3. “”字型相似模型 【模型提炼】 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． 【模型运用】 【典例1】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，E为BC上一点，AE，DC的延长线交于点F，∠DAE＝∠BEA． （1）求证：∠BAF＝∠F； （2）若，直接写出△CEF和△DAF的周长之比． 【典例2】（2026•德州）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是CA延长线上一点，AD＜AC，过点D作DF⊥BC于点F交AB于点E． （1）求证：AD＝AE； （2）若，BC＝8，求线段BF的长； （3）若∠BAC＝45°，EF＝BC，请直接写出的值． 【典例3】（2026春•二道区期末）【教材呈现】如图是华师大版八年级下册数学教材99页的部分内容． 例8 如图17.2.19，在△ABC中，点D、E分别是边AB和AC的中点，求证：DE∥BC，． 分析 如图17.2.20，过点C作CF∥AB，且与DE的延长线交于点F．由平行线性质和已知条件，可以证明△ADE≌△CFE，从而推出四边形BCFD是平行四边形，可得DE∥BC，． 以下是小明写的部分证明过程： 证明：如图①，过点C作CF∥AB，且与DE的延长线交于点F． ∵CF∥AB， ∴∠F＝∠ADE． ∵点D、E分别是边AB和AC的中点， ∴AD＝BD，AE＝CE． 证明过程缺失 请你帮助小明补全上述证明过程． 【知识应用】如图②，一根人字梯撑开后，两侧梯腿接地端间距为80cm，梯子中间横向连结杆恰好是两梯腿中点连线，则这根连结杆AB的长度为　 　 cm； 【拓展提升】如图③，在四边形ABCD中，对角线AC＝BD＝12，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长为　 　 ． 【典例4】【问题初探】 数学课上，老师提出如下问题： 如图①，AD是△ABC的中线，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N，求证：CN＝2AN． 经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路： 甲同学的思路：如图②，过点D作DK∥AC，交BM于点K，利用全等将AN与CN的数量关系转化为DK与CN之间的关系； 乙同学的思路：如图③，过点A作BC的平行线交BM的延长线于点K，利用相似将AN与CN的数量关系转化为AK与BC之间的关系． （1）请你选择一名同学的思路，写出证明过程； （2）【类比分析】 老师发现两名同学都利用了转化思想．为了帮助同学更好地利用转化思想解决问题提出： 如图④，在△ABC中，AD是BC边上的中线，N，K是AC的三等分点，BN交AD于M，BK交AD于P，求MP：PD的值． 请你写出解答过程； （3）【学以致用】 在△DEC中，ED＝EC．在直线CD上取点B，使BC＝2CD，连接BE，在线段BE上取点A，连接AC，直线AC交直线DE于F，当AB＝AC时，求AF：FC的值． 请你写出解答过程． 模型4. 反“”字型相似模型 【模型提炼】 如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 【模型运用】 【典例1】如图，D，E分别是△ABC的边CA、BA的延长线上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似．你添加的条件是　 　． 【典例2】（2026春•朝阳区校级期末）【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点E、点D分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，连结ED，若∠B＝∠C，则△ADE与△ABC相似吗？ （1）请解答上述习题． 【问题探究】 （2）同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图①，连结BD、CE，求∠CBD与∠CED的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出△ABD与△ACE相似，从而得到∠ADB＝∠AEC，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对△ABD与△ACE相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：△ABC∽△　 　 ， 证明过程缺失 ∴△ABD∽△ACE． ∴∠ADB＝∠AEC（相似三角形的对应角相等）． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出∠CBD与∠CED的数量关系为　 　 ． 【拓展提升】（3）如图②，在△ABD和△ACE中，∠DAB＝∠EAC，EA＝CA，DA＝BA，延长EC交BD于点F，连结DE、AF．当∠AED＝90°且时，∠AFD＝　 　 °，　 　． 模型5. 母子型 【模型提炼与证明】 1.图①内角分线型，结论：；图②外角分线型，结论： 2.图③斜射影定理型，结论：， 3.图④射影定理型，结论：（1）， （2）， （3） 图① 图② 图③ 图④ 【模型运用】 【典例1】（2026春•南关区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，求证：△ACD∽△ABC． 【典例2】（2025•武汉模拟）（1）【观察发现】如图1，在△ABC中，点D在BC边上，若∠BAD＝∠C，则AB2＝BD•BC，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD延长线上一点，且∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB＝5，点E，F分别在边AD，CD上，∠ABC＝2∠EBF，延长AD，BF相交于点G，若BE＝4，DG＝6，求FG的长． 【典例3】（2026•通许县一模）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． 【拓展探究】如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D． （1）兴趣小组的同学得出AC2＝AD•AB．理由如下： ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠B＝① ． ∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴② ， ∴AC2＝AD•AB． 请完成填空； （2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE＝∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由． （3）【学以致用】如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝1，，平面内一点D，满足AD＝AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB＝∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时．请直接写出线段CE的长． 【典例4】（2026•济源模拟）【定义】 如果从某一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，该对角线可称为“垂中对角线”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在▱ABCD中，BF⊥AC于点E，交AD于点F，若F为AD的中点，则▱ABCD是垂中平行四边形，E是垂中点． 【应用】 （1）①菱形 （填“可能”或“不可能”）是“垂中平行四边形”． ②如图1，▱ABCD是“垂中平行四边形”，其中AC是“垂中对角线”，则的值为 ． （2）如图2，在矩形ABCD中，，AD＞AB．若该矩形是“垂中平行四边形”，且AC是其“垂中对角线”，求AB的长． （3）如图3，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CE＝2AE＝4，BE＝3．若BC是某个“垂中平行四边形”的边，点E为该“垂中平行四边形”的垂中点，点A在垂中平行四边形的边上，请直接写出这个“垂中平行四边形”的周长． 模型6. 构造“A”型、“8”字型求比值 【模型提炼与证明】 1. 解题四步 （1）目标：找到需要求比值的两条线段； （2）观察图形，过关键点作平行线，构造A型或者8字型； （3）写出相似三角形，列出线段比例； （4）通过比例等量代换，推导出所求比值。 2. 两类常见构造方法 方法1：过等分点/交点作平行线，构造A型， 适用：三角形内部有线段交点，求线段之比， 套路：过顶点或分点作底边平行线，形成多层A型，传递比例。 方法2：延长线段，构造8字型（沙漏）， 适用：线段相交，缺少平行线；延长边，作平行线产生8字相似。 【模型运用】 【典例1】如图，D，E分别是△ABC的边BC，AB上的点，AD，CE相交于点F，AEEB，BDBC，求CF：EF的值． 【典例2】如图在△ABC中，BF交AD于E，若AE：ED＝2：3，BD：DC＝3：2，求AF：FC． 【典例3】△ABC中，D为BC上的一点，，E是AD上一点，，求，的值． 【典例4】（2025秋•峰峰矿区期中）在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，AD与BE交于点F． （1）如图1，点D是BC中点，点F是AD中点，DG∥BE交AC于点G，求证：； （2）如图2，若BD：DC＝1：4，AF：FD＝3：2，求AE：EC的值． 【典例5】在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的点，连接AD、BE交于点F，设AE＝m，CE＝n． （1）如图1，若AD为BC边上的中线，BE平分AD，则　　 ； （2）如图2，若△ABC为等边三角形，且BD＝CE，BE平分AD，求的值； （3）如图3，若，，求的值． 模型7. 动点问题 【模型提炼与证明】 1. 读懂动点速度、起点、运动范围； 2. 设时间t，写出线段代数式； 3. 根据平行得到A型相似； 4. 列出相似比例式； 5. 解方程，检验t符合取值范围； 6. 作答。 【模型运用】 【典例1】（2022秋•射洪市期中）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为1cm/s；动点Q同时从点B开始沿BC边运动，速度为3cm/s的速度．当P、Q运动 时，△ABC与△QBP相似． 【典例2】（2025•江西校级三模）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿着边AB向点B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边BC向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动t（s）． （1）当移动几秒时，△BPQ的面积为32cm2； （2）设四边形APQC的面积为S（cm2），当移动几秒时，四边形APQC的面积为108cm2？ （3）当移动几秒时，△BPQ与△ABC相似？ 【典例3】（2026春•淄川区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动（0≤t≤5）．设运动时间为t秒，求： （1）用含t的代数式表示CQ＝ ，CP＝ ； （2）当t为多少时，PQ的长度等于4？ （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？ 【典例4】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△QBP与△ABC相似，求t的值； （2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值； （3）直接写出t为何值时，△BPQ是等腰三角形． 1．（2025•花溪区校级一模）如图，AB∥DE，AE与BD相交于点C，若AB＝2，，则CE：AC等于（　　） A．1：1 B．1：2 C． D． 2．已知点E是平行四边形ABCD边AD上一点，CE、BA延长线交于点F，下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，同学们在物理课上做“小孔成像”实验．若物距OB＝10cm，像距OB′＝15cm，蜡烛火焰倒立像A′B′＝6cm，则火焰AB的高度是（　　） A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm 4．（2025秋•桐柏县期中）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，AE：BE＝1：2，BD与CE相交于点F，则DF：BF的值是（　　） A．1 B． C． D． 5．如图，在▱ABCD中，点G是CD上的三等分点，连接AG并延长交BD于点F，交BC的延长线于点E，若FG＝2，则AE＝（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 6．（2025•陕西校级模拟）如图，在△ABC中，D，M是边AB的三等分点，N，E是边AC的三等分点．连接ND并延长与CB的延长线相交于点P．若DE＝4，则线段CP的长为（　　） A．5 B．7 C．6 D．8 7．（2026•凉州区一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，AD＝3BD，△ABC的面积为32，则△ADE的面积为 ． 8．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，，则AF的长为 ． 9．（2026•漳州模拟）如图，△ABC中，点D在边AC上，满足∠ABD＝∠C，AB＝4，AD＝2．求CD的长． 10．（2026•余杭区二模）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽AB．如图，从B处沿与AB垂直的直线方向走45m到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走20m到达D处，再右转90°走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得DE＝32m． （1）求证：△ABC∽△EDC． （2）求河宽AB的长． 11．（2026春•姑苏区校级期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若∠A＝40°，∠B＝65°，∠AED＝75°． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）已知AD：BD＝2：3，AE＝5，求AC的长． 12．已知▱ABCD，E为CD延长线上一点，BE与AC交于点G，与AD交于F点，若BG＝3，FG＝2，求EF的长． 13．（2026•广州校级模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上且AE•AB＝AD•AC，连接DE，BD． （1）求证：△ADE∽△ABC． （2）若点E为AB中点，AD：AE＝6：5，若AB＝20，求CD的长． 14．（2026春•周村区期末）如图，△ABC中，D为AB边上一点，且∠DCB＝∠A． （1）求证：△CBD∽△ABC； （2）若AD＝5，DB＝4，求BC的长． 15．（2026春•环翠区期末）如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，且∠1＝∠2． （1）求证：BE2＝EF•EA； （2）若BE＝4，EF＝2，求CE的长． 16．（2026•遵义模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，连接对角线AC，直线MN垂直平分AC，分别交AD，BC于点E，F，垂足为G． （1）直接写出一对相似三角形； （2）求线段EF的长． 17．（2026春•台江区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC． （1）用无刻度直尺和圆规作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：在∠ACB的内部作射线CM交AB于点D，使△ACD∽△ABC； （2）在（1）的条件下，若AB＝9，AC＝6，求AD的长． 18．（2025秋•桥东区期末）如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE＝1.5，AC＝2，且． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）若△ABC的面积为8，求△ADE的面积． 19．（2026春•烟台期末）如图在△ABC中，AD是角平分线，求证：． 20．（2026•名山区模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连接OE交BC于点F．已知AB＝4，BC＝6，CE＝2，求CF的长． 21．（2026春•福山区期末）如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，连接AD，过点A作AE∥BC，连接BE分别交AD，AC于点F，G，AF2＝FG•EF． （1）求证：∠DAC＝∠CBE； （2）若AB＝AC＝5，BC＝6，点D为BC的中点，求BG的长． 22．（2026•江都区校级二模）如图，在菱形ABCD中，G为边CB延长线上一点，连接DG分别交AC和AB于E和F两点． （1）求证：∠ADE＝∠ABE； （2）已知EF＝1，FG＝2，求BE的长． 23．（2025•朝阳区校级模拟）如图，在边长为4cm的等边△ABC中，点D从点B开始以每秒2cm的速度沿射线BA方向运动，连结CD，点E在线段CD上（不与端点重合），将射线BE绕点B逆时针旋转60°得到的射线与射线CA交于点F，设点D的运动时间为t秒． （1）如图①，当点D在边AB上时，若BE平分∠ABC，则∠BFC＝ °． （2）如图②，当点D在边BA延长线上时，过点D作DH∥BC交BE于点H，若点E为CD中点， ①求证：△BDH≌△FAB； ②当AF＝6cm时，求t的值． （3）若点E是CD的三等分点，当△ABF的面积等于，直接写出t的值． 24．（2026•颍上县模拟）点E在菱形ABCD的CD边上，BE与AC相交于F． （1）如图1，若BF＝CF，求∠AFB+∠D的度数； （2）如图2，延长BE至G，使得FG＝BF，连接DG，求证：DG∥AC； （3）如图3，连接AE，若∠AEB＝2∠CBE，求证：AE•CE＝BE•DE． 25．（2026•庆云县校级三模）【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝3，BE＝2．求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，．AE＝1，DF＝3，求菱形ABCD的边长． 26．（2026•安徽模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D为BC边的中点，点E在AB边上，连接DE，过点D作DF⊥DE，交AC于点F． （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）如图2，连接EF，交AD于点O，求证：AO•OD＝EO•OF； （3）如图3，连接BF，若∠ABF＝2∠FDC，求BF的长． 27．如图，在△ABC中，AB＝AC，中线AE与高线CD相交于点P，连接DE． （1）求证：PA•PE＝PC•PD； （2）过点E作EF⊥AC于点F，求的值； （3）若∠BAC＝45°，求证：． 28．（2026春•丹徒区期末）在∠AOB中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB，垂足为点D，过点D作DE⊥OA，垂足为点E，直线DE，OC交于点F，过点C作CG⊥DE，垂足为点G． 【观察猜想】 如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG，OE，OD的数量关系： ； 【类比探究】 如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明； 【拓展应用】 当0°＜∠AOB＜180°，且∠AOB≠90°时，若EG＝2EF，请直接写出的值． 29．（1）如图1，已知△ABC中，D是BC的中点，E是AC上一点，，连接AD与BE相交于点F，求的值． 小英、小明和小聪各自经过独立思考，分别得到一种添加辅助线的方法从而解决了问题，小明的解法是： 解：过点C作CH∥BE交AD的延长线于点H（如图1﹣1）． ∵CH∥BE，D是BC的中点， ∴． ∵CH∥FE，， ∴． ∴•． 小英添加的辅助线是：过点D作DG∥BE交AC于点G（如图1﹣2）；小聪添加的辅助线是：过点A作AM∥BE交CB的延长线于点M（如图1﹣3）；请你在小英和小聪辅助线的添法中选择一种完成解答． （2）①如图2﹣1，△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC上一点，，连接AD与BE相交于点F，则　　 （用含a、b的式子表示）． ②如图2﹣2，△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，，，连接AD与BE相交于点F，求的值（用含a、b、m、n的式子表示）． （3）如图3，△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，，，连接AD与BE相交于点F，已知△ABC的面积为45，求△ABF和四边形CDFE的面积． 25 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $