第13章三角形中的边角关系、命题与证明 能力提升卷2026-2027学年沪科版八年级数学上册

第13章三角形中的边角关系、命题与证明能力提升卷 （2026-2027学年度新教材沪科八年级数学上册)（解析版） 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分.每小题都给出A、B、C、D四个选项,其中只有一个是正确的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1.若a，b，c是△ABC的三边，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．0 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到a-b-c<0，b-a-c＜0，再根据绝对值的性质进行化简计算． 【详解】根据三角形的三边关系，得 a-b-c<0，b-a-c <0 ∴原式= 故选B． 2.若三角形的内角比为，则最大的内角的外角的大小为（     ）． A． B． C． D． 【分析】设最小角为x,则另外两个角分别为x、,根据三角形的内角和为180°得到求解，再结合三角形外角的性质即可解答；掌握三角形内角和定理是解答本题的关键． 【详解】解：设最小角为x,则另外两个角分别为x、, 由题意可得：，解得：， 则最大的内角的外角． 故选C． 3.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（      ） A．或 B． C． D．或 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质，解二元一次方程组和三角形三边关系的综合运用，设等腰三角形的腰长、底边长分别为，，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具体是哪部分的长为，故应该列两个方程组求，解题的关键是分两种情况分析，求得解之后注意用三角形三边关系进行检验． 【详解】设等腰三角形的腰长、底边长分别为，， 由题意得或， 解得或， ∵， ∴不能构成三角形， 故等腰三角形的底边长为， 故选：． 4.一次数学活动中，小明对纸带沿AB折叠，量得，则的度数为（ ）    A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了翻折问题，同时也利用了三角形的内角和定理，解题的关键是利用折叠的性质解决问题． 首先根据平行线性质求出，再根据折叠性质求出三角形内角和定理即可得到． 【详解】∵， ， ∵纸带沿折叠， ， 故选：C． 5.如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先设的面积为，再根据底共线，高相等，面积的比等于底边的比，将其余各个三角形的面积表示出来，总面积为，解得的面积． 【详解】解：如图，连接、，设的面积为，    ， 的面积为，的面积为， 的面积为， , 的面积为，的面积为，的面积为， ， ，即的面积为2 故选：B 6．如图，已知P是△ABC内任一点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（    ） A．14 B．15 C．16 D．28 【分析】在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后根据不等式的性质即可得到正确的结论. 【详解】解：如图所示，在△ABP中，AP+ BP> AB， 同理: BP + PC > BC，AP+ PC > AC， 以上三式左右两边分别相加得到: 2(PA+ PB+ PC)> AB+ BC+ AC, 即PA+ PB+ PC>(AB+ BC+ AC)， ∴PA+ PB+ PC>×（12+10+6）=14， 即PA+ PB+ PC>14 故选A. 7.题目：“如图，在中，，将沿折叠得到，若与的边平行，求．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（　　）    A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【分析】与的边平行，画图有两种情况，和， 当时，， 当时，，结果有两个答案． 【详解】解：①如图，与的边平行    沿折叠得到， 又 ②如图，与的边平行，    沿折叠得到， 故选：B． 8.如图，，点在上，且，点到射线的距离为，点在射线上，．若的形状，大小是唯一确定的，则的取值范围是（    ）    A．或 B． C． D．或 【分析】根据的形状，大小是唯一确定的，结合三角形的三边关系进行分析即可． 【详解】解：过点作交于点，作点关于的对称点，如图：    ∵点到射线的距离为， ∴， ∵垂直平分， ∴， 当，即点在线段上（不含端点）或点在线段上（不含端点）， 不能唯一确定； 当时，即点与点重合， 可唯一确定为直角三角形； 当时，即点与点重合或点与点重合， ∵点与点重合时不能构成三角形，故能唯一确定； 当时，即点在点的右侧，故能唯一确定； 综上，若的形状，大小是唯一确定的，则的取值范围是或． 故选：A． 9.如图，已知分别平分，若，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 【分析】根据角平分线定义及三角形外角性质，数形结合表示出角度即可得到答案． 【详解】解：连接并延长，如图所示：    由三角形外角性质可知；； 分别平分， ；； ， ， ， 连接并延长，如图所示：    ， 故选：C． 10.如图，在锐角中，，BD，BE分别是的高和角平分线，点F在CA的延长线上，交BA，BD，BC于点T，G，H，下列结论： ①；②；③；④.其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【分析】根据三角形角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形外角的性质、直角三角形两锐角互余等知识，一一判定即可． 【详解】， ， ， ， ， ，故①正确； ∵BE平分， ，， ， ，故②正确； ， ， ， ， 由①得， ， ， ，故③正确； 为锐角， ， 又， ， ， ，故④错误， 故选：A． 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分) 11.如图，在中，，，点D在边上，将沿折叠，点B落在处，若，则 ．    【分析】依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到的度数，再根据三角形内角和定理，即可得出结论． 【详解】由折叠可得， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由折叠可得，， ∴中，． 故答案为：． 12.周长为，各边长互不相等且都是整数的三角形有 个． 【分析】不妨设三角形三边为a、b、c，且，由三角形三边关系定理及题设条件可确定c的取值范围，以此作为解题的突破口． 【详解】解：设三角形三边为a、b、c，且， ∵，, ∴即， ∴， 即， ∴， ∴， 又∵c为整数， ∴c为9，，． 则①当c为9时，有1个三角形，分别是：9，8，7； ②当c为时，有2个三角形，分别是：，9，5；，8，6； ③当c为时，有4个三角形，分别是：，，3；，9，4；，8，5；，7，6． ∴各边长互不相等且都是整数的三角形有7个． 13.如图，已知线段与直线的夹角，点在上，点是直线上的一个动点，将沿折叠，使点落在点处，当时，则 度．    【分析】分两种请况：当点N在射线上运动时；当点N在射线上运动时；然后分别进行计算，即可解答． 【详解】分两种请况： 当点N在射线上运动时，如图：    延长到D， ∵， ∴， 由折叠得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点N在射线上运动时，如图：    延长到E， 由折叠得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当时，则或， 故答案为：或． 14.若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①，，；    ②，，． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为，16，直接写出x的整数值为 ． 【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，为最长边、不为最长也不为最短边、为最短边进行讨论即可求解． 【详解】：（1）①， ∴能组成“不均衡三角形”； ②， ∴不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：①． （2）①当16为最长边，为最短边时， ， 解得：， ， 解得：， 故不合题意，舍去； ②当为最长边，为最短边时， 解得：， ∵， 解得：， ， 为整数， ， 经检验，当时，可构成三角形； ③当为最长边，16为最短边时， 解得：， ∵， 解得：， ， 为整数， 或或，都可以构成三角形； 综上所述，的整数值为或或或； 故答案为：或或或． 三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分) 15．如图，在中，点在上，且，，，求和的度数． 【分析】本题考查了三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理．根据三角形外角的性质，得到，再根据三角形内角和定理，得到，进而求得，即可求出和的度数． 【详解】解：是的外角， ， ， ， ， ，（4分） ， ， ， ，， ．（4分，计8分） 16．如图，直线、交于点O，，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质， （1）根据，分别平分和，得到，得到，结合已知得到，证明即可． （2）根据，得，根据，求得的度数，利用余角，补角定义计算即可． 【详解】（1）证明：∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．（4分） （2）解：∵，分别平分和，， ∴，，， 解得， ∴， ∴， ∴．（4分，计8分） 四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分) 17．如图，已知．    (1)若，，的长是偶数，请求出的值； (2)作分别交，的延长线于点，，若，，求的度数． 【分析】（1）根据题意，得，结合长是偶数，计算即可． （2）根据两直线平行，同旁内角互补，得到，再利用三角形内角和定理计算即可． 本题考查了三角形的三边关系定理，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握三边关系定理，平行线的性质定理是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， ∵的长是偶数， ∴的长是4或6．（4分） （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴．（4分，计8分） 18.已知，在四边形中，为、的角平分线交点，求证：．    【分析】本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角和定理及角平分线的定义．利用四边形内角和是可以求得．然后由角平分线的性质及邻补角的定义求得,由三角形内角和得，由以上两式可得证． 【详解】如图，∵， ∴．（3分） 又∵的角平分线与的外角平分线相交于点， ∴ ,（3分，计6分） ∵， ∴， ∴（2分，计8分） 五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分) 19.如图，，垂足为O，点P、Q分别在射线上运动（点P、Q都不与点O重合），是的平分线．若所在直线交的平分线于点E时，将沿折叠，使点E落在四边形内点的位置，猜测与之间的数量关系，并说明理由．    【分析】连接， 先求出，再由角平分线的定义求出，则，由折叠的性质可知，进而推出，即可得到答案． 【详解】解：，（2分） 理由如下： 如图所示，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，（4分，计6分） ∵分别平分，， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴．（4分，计10分） 20．在中，，点是边上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，（）．    (1)求的度数； (2)若中有两个角相等，求的值． 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可求得，结合题意即可求解； （2）根据三角形的外角性质可得，求得，根据折叠的性质可得，，求得，根据三角形内角和定理求得，分、、三种情况，列方程解答即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴，即， 又∵， 故，解得：．（4分） （2）∵，， 则， ∴， 根据折叠可得：，， ∴． ， ∴， ①当时，即，解得：， ②当时，即，解得，， ∵， ∴不合题意，故舍去， ③当，即，解得，， ∵， ∴不合题意舍去． 综上所述，.（6分，计10分） 六、(本大题共2小题,每小题12分,满分24分) 21.已知，过内一点A作交于点D，作交于点B． (1)如图1，求证：； (2)如图2，射线，射线分别平分和，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段上，连接，，，与交于点H，反向延长交于点P，如果，平分，，求的度数． 【分析】本题主要考查平行的性质、角平分线性质和三角形内角和定理知识， （1）根据两直线平行，内错角相等即可证明． （2）过点A作平分，利用角平分线性质和内错角相等，证明两直线平行即可． （3）由题意知，并设，有，，根据平行得，有，则，，过点P作，过点Q作，，，通过角度代换则有，即可求得答案． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴．（3分） （2）证明：过点A作平分，如图2所示： 则， ∵射线，射线分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即．（4分，计7分） （3）∵平分， ∴， 设， 则，． ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 过点P作，过点Q作，如图3所示： ∵， ∴，， ∴，，， ， ∴， ， ∴.（5分，计12分） 22.一副三角板如图1摆放，，，，点F在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点F以每秒的速度顺时针旋转（当点D落在射线上时停止旋转），设旋转时间为t秒．      (1)当______秒时，；当______秒时，； (2)在旋转过程中，与的交点记为P，如图2，若有两个内角相等，求t的值． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，熟知三角形内角和为180度，三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键． （1）由平行线的性质得到，由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，则由三角形外角的性质可得，据此可得答案；根据三角形内角和定理和对顶角相等得到，再求出的度数即可得到答案； （2）分，，，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图（1），当时，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵为的一个外角， ∴， ∴；    如图（2），当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3；21．（6分）    （2）解：①如图（3），当时， ∵， ∴， ∴；    ②如图（4），当时， ∵，， ∴， ∴；    ③如图（5），当时， ， ∴， 综上所述：当t为6或15或24时，有两个内角相等．（6分，计12分）    七、 (本题满分14分) 23.如果两个角的差等于，就称这两个角互为“兄弟角”，其中一个角叫做另一个角的“兄弟角”．例如，，，则和互为“兄弟角”，即是的“兄弟角”，也是的“兄弟角”．    (1)已知和互为“兄弟角”，，且和互补，求的度数． (2)在中，，是的角平分线． ①如图1，点在射线上，平分，与射线交于点，若与互为“兄弟角”，求的度数． ②如图2，若，射线平分且与射线交于点，若与互为“兄弟角”，则的度数为 (3)如图3，若于点，，相交于点，若与互为“兄弟角”，直接写出的度数． 【分析】（1）根据和互为“兄弟角”和和互补，列出关于和的方程组，解方程组即可； （2）①先根据已知条件求出，，再根据三角形内角和定理求出和的关系式，有已知与互为“兄弟角”可得另一个和的关系式，利用解方程组的方法解答即可，②根据，得，再如同①解方程组的方法解答即可； （3）根据，得，再根据角平分线的性质，及直角三角形的性质，得，再根据与互为“兄弟角”， 利用解方程组的方法解答即可． 【详解】（1）解： 和互为“兄弟角”， ，且和互补， ， ①②得：， ；（4分） （2）解：①，， ， 平分， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ①， 与互为“兄弟角”，且， ②， ①②得：， 把代入②得：； ②是的角平分线， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 与互为“兄弟角”， 或， 或， 的度数为：或；（5分，计9分） （3）， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 与互为“兄弟角”， 或， 或， 或．（5分，计14分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章三角形中的边角关系、命题与证明能力提升卷 （2026-2027学年度新教材沪科八年级数学上册)（解析版） 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分.每小题都给出A、B、C、D四个选项,其中只有一个是正确的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1.若a，b，c是△ABC的三边，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．0 2.若三角形的内角比为，则最大的内角的外角的大小为（     ）． A． B． C． D． 3.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（      ） A．或 B． C． D．或 4.一次数学活动中，小明对纸带沿AB折叠，量得，则的度数为（ ）    A． B． C． D． 5.如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，已知P是△ABC内任一点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（    ） A．14 B．15 C．16 D．28 7.题目：“如图，在中，，将沿折叠得到，若与的边平行，求．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（　　）    A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 8.如图，，点在上，且，点到射线的距离为，点在射线上，．若的形状，大小是唯一确定的，则的取值范围是（    ）    A．或 B． C． D．或 9.如图，已知分别平分，若，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 10.如图，在锐角中，，BD，BE分别是的高和角平分线，点F在CA的延长线上，交BA，BD，BC于点T，G，H，下列结论： ①；②；③；④.其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分) 11.如图，在中，，，点D在边上，将沿折叠，点B落在处，若，则 ．    12.周长为，各边长互不相等且都是整数的三角形有 个． 13.如图，已知线段与直线的夹角，点在上，点是直线上的一个动点，将沿折叠，使点落在点处，当时，则 度．    14.若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①，，；    ②，，． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为，16，直接写出x的整数值为 ． 三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分) 15．如图，在中，点在上，且，，，求和的度数． 16．如图，直线、交于点O，，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分) 17．如图，已知．    (1)若，，的长是偶数，请求出的值； (2)作分别交，的延长线于点，，若，，求的度数． 18.已知，在四边形中，为、的角平分线交点，求证：．    五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分) 19.如图，，垂足为O，点P、Q分别在射线上运动（点P、Q都不与点O重合），是的平分线．若所在直线交的平分线于点E时，将沿折叠，使点E落在四边形内点的位置，猜测与之间的数量关系，并说明理由．    20．在中，，点是边上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，（）．    (1)求的度数； (2)若中有两个角相等，求的值． 六、(本大题共2小题,每小题12分,满分24分) 21.已知，过内一点A作交于点D，作交于点B． (1)如图1，求证：； (2)如图2，射线，射线分别平分和，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段上，连接，，，与交于点H，反向延长交于点P，如果，平分，，求的度数． 22.一副三角板如图1摆放，，，，点F在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点F以每秒的速度顺时针旋转（当点D落在射线上时停止旋转），设旋转时间为t秒．      (1)当______秒时，；当______秒时，； (2)在旋转过程中，与的交点记为P，如图2，若有两个内角相等，求t的值． 七、 (本题满分14分) 23.如果两个角的差等于，就称这两个角互为“兄弟角”，其中一个角叫做另一个角的“兄弟角”．例如，，，则和互为“兄弟角”，即是的“兄弟角”，也是的“兄弟角”．    (1)已知和互为“兄弟角”，，且和互补，求的度数． (2)在中，，是的角平分线． ①如图1，点在射线上，平分，与射线交于点，若与互为“兄弟角”，求的度数． ②如图2，若，射线平分且与射线交于点，若与互为“兄弟角”，则的度数为 (3)如图3，若于点，，相交于点，若与互为“兄弟角”，直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $