专题05 分式和分式方程（期中真题汇编，河北专用）八年级数学上学期

专题05 分式和分式方程 5大高频考点概览 考点01 从分数到分式 考点02 分式的基本性质 考点03 分式的乘法与除法 考点04 分式的加法与减法 考点05 分式方程 考点01 从分数到分式 1．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）使分式有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）嘉琪的一次课堂练习如图所示，他做对的题目有（） 判断题，对的打“√”，错的打“×” ①代数式、都是分式（×） ②当时，分式无意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．②③④ B．①②⑤ C．①② D．③④⑤ 3．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）已知时，分式无意义，则“”可以是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）若分式的值不存在，则需x的值为（   ） A．0 B．1 C．－1 D．2 考点02 分式的基本性质 1．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）如果把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的6倍 2．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）使分式的值为整数，则整数x可取的个数为(     ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）化简分式：______． 4．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）若x为正整数，则的结果为（    ） A．正整数 B．负整数 C．非正整数 D．非负整数 5．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）分式，，的最简公分母为____________． 6．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）若，则下列分式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）小张学习分式的基本性质时，将中的和都扩大2倍，得到的分式的值不变，请你推测，代表的代数式可以是（   ） A．5 B． C． D． 考点03 分式的乘法与除法 1．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（    ） 甲：可化为最简分式；：当时，． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 3．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）若已知分式，，化简后的结果为，则内的运算符号为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 考点04 分式的加法与减法 1．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思 【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，其基本思路是将异分母分式通过通分转化为同分母分式，再进行加减运算． 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 第五步． 【反思】在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： (1)以上化简过程中，第三步是进行分式的______，它的依据是__________________； (2)上述解题过程中，从第______步开始出现错误，写出正确的化简过程． 2．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）一项工程，甲独做需m小时完成，若与乙合作小时完成，则乙单独完成需要的时间是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）计算下列各题 (1)； (2)． 4．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝________； (3)应用：先化简，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？ 5．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）先化简，再求值：，其中． 6．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）已知，，，，（n为正整数，且），则计算的结果为_____． 考点05 分式方程 1．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）为贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯．某校第一批为各班用400元购进跳绳，接着又用450元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数是第一批跳绳数的倍，且第二批每根跳绳进价比第一批的进价少5元，求第二批跳绳每根的进价是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 2．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）解下列方程： (1) (2) 3．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）分式方程有增根，则的值为（　　） A．3 B．6 C．1或 D．0或6 4．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）某公司会计欲查询乙商品的进价（如下表），发现进货单已被墨水污染． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额 甲 7200 乙 3200 李师傅：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高． 王师傅：我记得甲商品比乙商品的数量多40件． 请你帮助他们补全补货单． 5．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）某校为了美化校园环境，开展植树活动，现有甲、乙两个植树小组，甲组每天植树棵，乙组比甲组每天多植树20棵． (1)若甲组植树1000棵与乙组植树1200棵所用的时间相同，求x的值； (2)现让甲组完成植树160棵的任务，乙组完成植树200棵的任务． ①直接用含x的式子分别表示甲组完成该任务、乙组完成该任务所需要的天数； ②嘉淇：“甲组完成任务所用的时间更少．”请你利用作差法，通过计算说明嘉淇的说法是否正确．（作差法：若，则；若，则；若，则．） 6．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）已知关于的分式方程有增根，则增根是______． 7．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）题目：当时，定义一种新运算： 例：，．若，则的值为（） A． B． C．或0 D．0 8．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）当的值为______时，解关于的分式方程会产生增根． 9．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）某科技公司研发的物流无人机参与抗洪救灾物资运输．已知无人机运送一批物资到受灾村庄，若比原计划搭载传统运输车的速度提高，可提前2小时到达．若两地相距150公里，设传统运输车原计划的行驶速度是x千米/小时，则可列方程为（   ）    A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）涵涵解方程过程如下： 解：去分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 解得：， 经检验是方程的增根，原方程无解． 你认为涵涵的解法是否正确？若不正确，请写出你的解答过程． 11．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）已知分式，解答下列问题： (1)先化简，并求当时，原代数式的值； (2)原代数式的值能等于吗？为什么？ 12．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）综合与实践 问题背景：某景区计划购置甲、乙两种型号的外骨骼机器人，销售信息和购买计划如下： 信息1：已知甲种外骨骼机器人的单价比乙种外骨骼机器人的单价多0.3万元，花150万元购进甲种外骨骼机器人的数量是花100万元购进乙种外骨骼机器人数量的1.2倍． 信息2：该景区计划购进甲、乙两种外骨骼机器人共80台，且经费预算不超过110万元． 问题解决： (1)求购买甲、乙两种外骨骼机器人的单价分别是多少万元； (2)该景区最多可以购进甲种外骨骼机器人多少台？ 13．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）关于的分式方程有增根，则的值为___________． 14．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）解下列方程： (1) (2) 15．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）“浓情端午，将爱传递”的实践活动策划方案： 实践背景 某学校计划在端午节期间采购彩纸和竹条制作龙舟模型送给幼儿园的小朋友． 信息 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后，整理信息如下： 每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍． 任务 嘉嘉设______■．依题意，得方程． 淇淇设彩纸每包元．依题意，得方程______▲． 信息 制作时，嘉琪发现自己一天可以制作个小龙舟或制作个大龙舟，并且制作个小龙舟的天数和制作个大龙舟的天数一样． 任务 求嘉琪每天可以制作小龙舟的个数． (1)①方案中“■”处的内容为______，“▲”处的内容为______． ②彩纸每包______元，竹条每捆______元． (2)完成任务中的问题． 16．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）若关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 17．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为千克，符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）数学课上，李老师在黑板上写了关于的分式方程，让同学们讨论该分式方程的解．同学说：当时，方程的解为负数；同学说：当时，方程的解为正数．关于两位同学的说法，正确的是（   ） A．同学都答对 B．同学都答错 C．只有同学答对 D．只有同学答对 19．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是___________． 20．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在制作新能源汽车的电池正极的材料中，锰是重要的元素之一．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，问甲、乙两队每天开采锰矿石各多少吨？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 分式和分式方程 考点01 从分数到分式 考点02 分式的基本性质 考点03 分式的乘法与除法 考点04 分式的加法与减法 考点05 分式方程 考点01 从分数到分式 1．B 2．B 3．C 4．B 考点02 分式的基本性质 1．A 2．C 3．【答案】 【分析】本题考查了分式的化简． 通过约去分子和分母的公因式进行化简即可． 【详解】解：原分式为， 分子和分母的公因式为， 约分后得． 故答案为：． 4．D 5．【答案】 【详解】解：，，最简公分母为6x2y2 故答案为：． 【点睛】本题考查最简公分母，掌握概念正确计算是解题关键． 6．C 7．D 考点03 分式的乘法与除法 1．D 2．C 3．B 4．B 5．B 考点04 分式的加法与减法 1．【答案】(1)通分；分式的基本性质 (2)四； 正确化简过程如下： 解：原式 ． 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算的步骤是解题的关键． （1）根据题中的步骤可知第三步是通分，再根据分式的基本性质即可得出答案； （2）根据异分母运算法则判断，然后按照先通分，再加减的运算法则即可得出答案． 【详解】（1）解：以上化简过程中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质； 故答案为：通分；分式的基本性质； （2）略 2．A 3．【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的加减运算、分式的混合运算等知识点，掌握分式的相关运算法则是解题的关键． （1）直接运用分式的加减运算法则求解即可； （2）直接运用分式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ＝ ＝ ＝． （2）解： ＝ ＝． 4．【答案】(1)①③④ (2) (3)， 【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，逐一进行判断即可； （2）根据新定义，进行计算即可； （3）除法变乘法，约分化简后，进行加减运算，再根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：；故①是和谐分式； 不能化成一个整式与一个分子为常数的分式；故②不是和谐分式； ；故③是和谐分式； ；故④是和谐分式； 故答案为：①③④ （2）； 故答案为：； （3）原式 ； ∵， ∴当时，分式的值为整数， ∴， ∵时，分式无意义， ∴当时，分式的值为整数． 5．【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的运算法则，先对原式进行化简，再代入求值．先对括号内的式子进行通分计算，再对除式的分子分母进行因式分解，将除法转化为乘法并约分，最后代入求值即可． 【详解】解： 当时，原式． 6．【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，找规律及周期问题，根据题意分别求出，，，的值，发现，说明该组数列是以周期3为循环，再根据题中得，说明该乘积有675个的乘积，将相乘得，此时原式为． 【详解】解：由题意知，前四项分别为，，，， ∴数列以周期3为循环， ∵周期为3，且， ∴该乘积可视为675组的乘积， ∴， ∴． 故答案为：． 考点05 分式方程 1．B 2．【答案】(1)； (2)无解． 【分析】（）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，代入到最简公分母检验即可； （）先对分式方程变形，再分母分式方程把转化为整式方程，求出整式方程的解，代入到最简公分母检验即可； 本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解方程并进行检验是解题的关键． 【详解】（1）解：方程两边同时乘以得， ， 解得， 把代入最简公分母得， ， ∴是原分式方程的解； （2）原方程可变为，， 方程两边同时乘以得， ， 解得， 把代入最简公分母得， ， ∴原分式方程无解． 3．B 4．【答案】甲商品的进价是60元/件，乙商品的进价是40元件；甲商品的进货数量为120件，乙商品的进货数量为80件 【分析】本题主要考查了分式方程的应用． 设乙商品的进价为元件，则甲商品的进价为元件，根据数量总价单价结合购进的甲商品比乙商品多40件，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出的值；即可得乙商品的进价，从而求得甲商品的进价；进而甲、乙商品的进货数量． 【详解】解：设乙商品的进价为元件，则甲商品的进价为元件， 根据题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解． ∴乙商品的进价是40元件， 甲商品的进价是(元/件)， 甲商品的进货数量：(件)， 乙商品的进货数量：(件)． 答：甲商品的进价是60元/件，乙商品的进价是40元件；甲商品的进货数量为120件，乙商品的进货数量为80件． 5．【答案】(1) (2)①，；②正确 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用、分式加减的实际应用、列代数式等知识点，读懂题意、根据题中的数量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． （1）甲组每天植树棵，则乙组每天植树棵，由题意得，再解分式方程并检验即可； （2）①依据题意直接列式即可；②利用作差法可得，再结合即可得出其符号，进而说明嘉淇的说法是否正确． 【详解】（1）解：甲组每天植树棵，则乙组每天植树棵， 根据题意列分式方程得： ． 整理得，，解得， 经检验，是原分式方程的解， 的值是． （2）解：①∵甲组每天植树棵，则乙组每天植树棵， ∴甲组完成160棵任务需要天，乙组完成200棵任务需要天． 故答案为：，． ② ， ∵， ， ，即：， ， ∴甲组完成任务所用的时间更少， ∴嘉淇的说法正确． 6．【答案】 【分析】考查了分式方程的增根．分式方程的增根是使分母为零的根．根据分式方程有增根，可得，求出的值即可． 【详解】解：∵关于的分式方程有增根， ∴， 解得：， ∴增根为． 故答案为： 7．D 8．【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求出相关字母的值．据此即可求出的值． 【详解】解：原方程去分母得， 该方程有增根， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 9．C 10．【答案】不正确， 正确的解答过程如下： ， 方程两边同时乘，得， 解得：， 检验：把代入，得， ∴分式方程的解为． 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的方法，方程两边同时乘，把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后再进行检验即可． 【详解】略 11．【答案】(1)， (2)原代数式的值不能等于， 理由：由（1）可知原式化简后的式子为， 令，解得， ∵时，原分式无意义， ∴原代数式的值不能等于． 【分析】本题考查了分式的化简求值，解分式方程．解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键． （1）根据分式的混合运算法则化简，然后代数求解即可； （2）令，求解检验即可判断． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）略 12．【答案】(1)购买甲单价为1.5万元，购买乙单价为1.2万元 (2)该景区最多可以购进甲种外骨骼机器人46台 【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，熟练掌握列分式方程和一元一次不等式解决实际问题的步骤是解题的关键． （1）设甲种外骨骼机器人单价为万元，根据甲、乙单价关系表示出乙的单价，再依据“花150万元购进甲的数量是花100万元购进乙的数量的1.2倍”列分式方程求解； （2）设购进甲种外骨骼机器人台，进而表示出乙的数量，根据经费预算不超过110万元列一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设购买甲种外骨骼机器人的单价为万元，则购买乙种外骨骼机器人的单价为万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：购买甲单价为1.5万元，购买乙单价为1.2万元． （2）解：设购进甲种外骨骼机器人台，则购进乙种外骨骼机器人台， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的最大整数解为46． 答：该景区最多可以购进甲种外骨骼机器人46台． 13．【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，注意增根问题可按如下步骤进行： 化分式方程为整式方程；让最简公分母为确定增根； 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．方程两边都乘， 得，由分式方程有增根，得到最简公分母，求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：方程两边都乘， 得：， ， 原方程有增根， 最简公分母， 解得， 当时，即， ． 故答案为： ． 14．【答案】(1)该方程无解 (2) 【分析】该题考查了解分式方程． （1）根据解分式方程的方法解答即可． （2）根据解分式方程的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 经检验， 使得， 则为增根， 故该方程无解． （2）解：， 去分母，得：， 解得：； 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为：． 15．【答案】(1)①买到的竹条捆数为，；②， (2)个 【分析】（）①根据题意解答即可；②利用淇淇的方法求出方程的解即可求解； （）根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：①方案中“■”处的内容是买到的竹条捆数为，“▲”处的内容为， 故答案为：买到的竹条捆数为，； ②设彩纸每包元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴彩纸每包元，竹条每捆元， 故答案为：，； （2）解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴嘉琪每天可以制作小龙舟个． 16．B 17．A 18．C 19．【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找出等量关系列出分式方程是解题的关键． 设通过路段时的速度是，则通过路段的速度是，由题意列出分式方程． 【详解】解：设通过路段时的速度是，则通过路段的速度是， 根据题意，得， ， 解得： ， 经检验： 是原方程的解且符合题意． 故答案为： ． 20．【答案】甲队每天开采锰矿石300吨，乙队每天开采锰矿石200吨 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙队每天开采锰矿石x吨，则甲队每天开采锰矿石吨，根据同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，列出分式方程，解分式方程即可． 【详解】解：设乙队每天开采锰矿石x吨，则甲队每天开采锰矿石吨， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲队每天开采锰矿石300吨，乙队每天开采锰矿石200吨． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 分式和分式方程 5大高频考点概览 考点01 从分数到分式 考点02 分式的基本性质 考点03 分式的乘法与除法 考点04 分式的加法与减法 考点05 分式方程 考点01 从分数到分式 1．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）使分式有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件. 分式有意义的条件是分母不为零，因此需确保分母. 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， 即， ∴. 故的取值范围是 . 故选：B. 2．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）嘉琪的一次课堂练习如图所示，他做对的题目有（） 判断题，对的打“√”，错的打“×” ①代数式、都是分式（×） ②当时，分式无意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．②③④ B．①②⑤ C．①② D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了分式的判断，分式有意义的条件，分式值为0的条件，分式的性质；逐一判断每个小题的正误，对比嘉琪的判断，找出他做对的题目． 【详解】解：①∵分母不含字母，不是分式，∴原题说法错误，嘉琪判断“×”正确． ②∵当时，分母，∴分式无意义，原题说法正确，嘉琪判断“√”正确． ③∵分式值为0需分子为0且分母不为0，分子得，但时分母为0，∴只有满足，原题说法错误，嘉琪判断“√”错误． ④∵分式变形需分子分母同乘除非零整式，此处加2不满足，如时两边不相等，∴原题说法错误，嘉琪判断“√”错误． ⑤∵分子与分母无公因式，∴是最简分式，原题说法正确，嘉琪判断“√”正确． 综上，嘉琪做对①、②、⑤． 故选：B． 3．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）已知时，分式无意义，则“□”可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式无意义的条件解答即可． 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴当时，分式的分母等于0， ∵当时，， ∴C选项符合． 故选：C． 【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键． 4．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）若分式的值不存在，则需x的值为（   ） A．0 B．1 C．－1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查的是分式无意义的条件，根据分式的值不存在即分式无意义可得，进一步求解即可. 【详解】解：∵分式的值不存在， ∴， 解得：. 故选：B 考点02 分式的基本性质 1．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）如果把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的6倍 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，正确计算是解题的关键． 将x和y分别扩大3倍后代入分式，化简后与原分式相同，故分式的值不变． 【详解】解：∵新分式为，与原分式相等， ∴分式的值不变． 故选：A． 2．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）使分式的值为整数，则整数x可取的个数为(     ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】把分式化简为，因分式的值是整数，即可转化为讨论的整数值有几个的问题．由此即可解答. 【详解】, 要使分式的值为整数， ∵分子3一定， ∴x-1=±3或±1， ∴整数x可取的取值为4，-2，0，2，共,4个， 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式的值是整数的条件，把原式化简为的形式是解决本题的关键． 3．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）化简分式：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简． 通过约去分子和分母的公因式进行化简即可． 【详解】解：原分式为， 分子和分母的公因式为， 约分后得． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）若x为正整数，则的结果为（    ） A．正整数 B．负整数 C．非正整数 D．非负整数 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘除运算与因式分解的应用，通过因式分解实现分式约分是解题关键． 简化表达式，利用平方差公式进行因式分解并约分，得到结果，再根据x为正整数判断其类型． 【详解】∵ ==， ∵ 为正整数， ∴ ≥ 0，且为非负整数， 故选：D． 5．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）分式，，的最简公分母为____________． 【答案】 【详解】解：，，最简公分母为6x2y2 故答案为：． 【点睛】本题考查最简公分母，掌握概念正确计算是解题关键． 6．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）若，则下列分式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质．根据分式的基本性质，观察各选项可得答案． 【详解】解：A．，分子分母同时减去2，不符合分式基本性质，例如，取，，左边为，右边为，不相等，故A错误； B．．分子分母同时加上，若，分式值改变．例如，取，，，左边为，右边为，不相等，故B错误． C．．分子分母同时除以2，根据分式的基本性质，分式值不变，故C正确． D．．分子分母需同时开平方才能得到，但分式化简不涉及开方操作，例如，取，，左边为，右边为，不相等，故D错误； 故选：C． 7．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）小张学习分式的基本性质时，将中的和都扩大2倍，得到的分式的值不变，请你推测，□代表的代数式可以是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，逐项计算进行判断求解即可． 【详解】解：中的和都扩大2倍，分子变为，扩大了4倍， A、分母若为，扩大2倍，分母变为，没有扩大4倍，分数值改变，不符合题意； B、分母若为，和都扩大2倍，分母变为，没有扩大4倍，分数值改变，不符合题意； C、分母若为，和都扩大2倍，分母变为，没有扩大4倍，分数值改变，不符合题意； D、分母若为，和都扩大2倍，分母变为，扩大4倍，分数值不变，符合题意； 故选：D． 考点03 分式的乘法与除法 1．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把分式的除法改成乘法，然后再进行求解即可． 【详解】解：原式． 故选D． 【点睛】本题主要考查分式的除法运算，熟练掌握分式的除法运算是解题的关键． 2．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（    ） 甲：可化为最简分式；：当时，． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的除法法则进行计算，求出时的函数值，进行判断即可． 【详解】解： ； 当时，，分式无意义， 故甲正确，乙不正确； 故选C． 3．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）若已知分式，□，化简后的结果为，则□内的运算符号为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握同分母分式的运算法则是解题关键． 由于两个分式同分母，考虑同分母分式的加减乘除运算，通过计算验证哪个运算符号能使结果为即可． 【详解】解：根据题意得，运算符号为□， 若□为“”，则； 若□为“”，则，符合； 若□为“”，则； 若□为“”，则． ∴□内的运算符号为“”． 故选B． 4．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除法，分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键 根据分式的乘除法、分式的加减法法则分别计算判断即可． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选B． 5．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘方运算，需应用分式乘方的法则：分子、分母分别乘方，并正确处理负号即可. 【详解】解： ， 故选：B． 考点04 分式的加法与减法 1．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思 【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，其基本思路是将异分母分式通过通分转化为同分母分式，再进行加减运算． 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 第五步． 【反思】在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： (1)以上化简过程中，第三步是进行分式的______，它的依据是__________________； (2)上述解题过程中，从第______步开始出现错误，写出正确的化简过程． 【答案】(1)通分；分式的基本性质 (2)四； 正确化简过程如下： 解：原式 ． 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算的步骤是解题的关键． （1）根据题中的步骤可知第三步是通分，再根据分式的基本性质即可得出答案； （2）根据异分母运算法则判断，然后按照先通分，再加减的运算法则即可得出答案． 【详解】（1）解：以上化简过程中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质； 故答案为：通分；分式的基本性质； （2）略 2．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）一项工程，甲独做需m小时完成，若与乙合作小时完成，则乙单独完成需要的时间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设工作总量为1，甲乙合作小时可以完成，那么甲乙合作的工效是，甲单独做需m小时完成，甲的工效为，则乙的工效为：，由时间等于工作量除以工效列式． 【详解】解：依题意设工作总量为1，则甲的工效为，甲乙合作的工效是， 所以乙的工效为：， 乙单独完成需要的时间为： 故选：A 【点睛】本题考查了列分式和分式的四则运算；解题的关键是掌握分式的运算法则． 3．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）计算下列各题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的加减运算、分式的混合运算等知识点，掌握分式的相关运算法则是解题的关键． （1）直接运用分式的加减运算法则求解即可； （2）直接运用分式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ＝ ＝ ＝． （2）解： ＝ ＝． 4．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝________； (3)应用：先化简，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？ 【答案】(1)①③④ (2) (3)， 【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，逐一进行判断即可； （2）根据新定义，进行计算即可； （3）除法变乘法，约分化简后，进行加减运算，再根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：；故①是和谐分式； 不能化成一个整式与一个分子为常数的分式；故②不是和谐分式； ；故③是和谐分式； ；故④是和谐分式； 故答案为：①③④ （2）； 故答案为：； （3）原式 ； ∵， ∴当时，分式的值为整数， ∴， ∵时，分式无意义， ∴当时，分式的值为整数． 5．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的运算法则，先对原式进行化简，再代入求值．先对括号内的式子进行通分计算，再对除式的分子分母进行因式分解，将除法转化为乘法并约分，最后代入求值即可． 【详解】解： 当时，原式． 6．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）已知，，，，（n为正整数，且），则计算的结果为_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，找规律及周期问题，根据题意分别求出，，，的值，发现，说明该组数列是以周期3为循环，再根据题中得，说明该乘积有675个的乘积，将相乘得，此时原式为． 【详解】解：由题意知，前四项分别为，，，， ∴数列以周期3为循环， ∵周期为3，且， ∴该乘积可视为675组的乘积， ∴， ∴． 故答案为：． 考点05 分式方程 1．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）为贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯．某校第一批为各班用400元购进跳绳，接着又用450元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数是第一批跳绳数的倍，且第二批每根跳绳进价比第一批的进价少5元，求第二批跳绳每根的进价是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用．设第二批跳绳每根的进价为x元，则第一批进价为元．根据第二批跳绳数是第一批的1.5倍，列出方程求解． 【详解】设第二批跳绳每根的进价为元，则第一批跳绳每根的进价为元． ∵第一批跳绳数量为根，第二批跳绳数量为根， 且第二批跳绳数是第一批的1.5倍， 根据题意得， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴第二批跳绳每根的进价是15元． 故选：B． 2．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)无解． 【分析】（）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，代入到最简公分母检验即可； （）先对分式方程变形，再分母分式方程把转化为整式方程，求出整式方程的解，代入到最简公分母检验即可； 本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解方程并进行检验是解题的关键． 【详解】（1）解：方程两边同时乘以得， ， 解得， 把代入最简公分母得， ， ∴是原分式方程的解； （2）原方程可变为，， 方程两边同时乘以得， ， 解得， 把代入最简公分母得， ， ∴原分式方程无解． 3．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）分式方程有增根，则的值为（　　） A．3 B．6 C．1或 D．0或6 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，求出，再求出增根，从而得到或，求出的值即可． 【详解】解：将原式去分母得：， ， ， ∵方程有增根， 或， 或， 或， 当时，方程无解， ， 故选：B． 4．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）某公司会计欲查询乙商品的进价（如下表），发现进货单已被墨水污染． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额 甲 7200 乙 3200 李师傅：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高． 王师傅：我记得甲商品比乙商品的数量多40件． 请你帮助他们补全补货单． 【答案】甲商品的进价是60元/件，乙商品的进价是40元件；甲商品的进货数量为120件，乙商品的进货数量为80件 【分析】本题主要考查了分式方程的应用． 设乙商品的进价为元件，则甲商品的进价为元件，根据数量总价单价结合购进的甲商品比乙商品多40件，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出的值；即可得乙商品的进价，从而求得甲商品的进价；进而甲、乙商品的进货数量． 【详解】解：设乙商品的进价为元件，则甲商品的进价为元件， 根据题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解． ∴乙商品的进价是40元件， 甲商品的进价是(元/件)， 甲商品的进货数量：(件)， 乙商品的进货数量：(件)． 答：甲商品的进价是60元/件，乙商品的进价是40元件；甲商品的进货数量为120件，乙商品的进货数量为80件． 5．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）某校为了美化校园环境，开展植树活动，现有甲、乙两个植树小组，甲组每天植树棵，乙组比甲组每天多植树20棵． (1)若甲组植树1000棵与乙组植树1200棵所用的时间相同，求x的值； (2)现让甲组完成植树160棵的任务，乙组完成植树200棵的任务． ①直接用含x的式子分别表示甲组完成该任务、乙组完成该任务所需要的天数； ②嘉淇：“甲组完成任务所用的时间更少．”请你利用作差法，通过计算说明嘉淇的说法是否正确．（作差法：若，则；若，则；若，则．） 【答案】(1) (2)①，；②正确 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用、分式加减的实际应用、列代数式等知识点，读懂题意、根据题中的数量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． （1）甲组每天植树棵，则乙组每天植树棵，由题意得，再解分式方程并检验即可； （2）①依据题意直接列式即可；②利用作差法可得，再结合即可得出其符号，进而说明嘉淇的说法是否正确． 【详解】（1）解：甲组每天植树棵，则乙组每天植树棵， 根据题意列分式方程得： ． 整理得，，解得， 经检验，是原分式方程的解， 的值是． （2）解：①∵甲组每天植树棵，则乙组每天植树棵， ∴甲组完成160棵任务需要天，乙组完成200棵任务需要天． 故答案为：，． ② ， ∵， ， ，即：， ， ∴甲组完成任务所用的时间更少， ∴嘉淇的说法正确． 6．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）已知关于的分式方程有增根，则增根是______． 【答案】 【分析】考查了分式方程的增根．分式方程的增根是使分母为零的根．根据分式方程有增根，可得，求出的值即可． 【详解】解：∵关于的分式方程有增根， ∴， 解得：， ∴增根为． 故答案为： 7．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）题目：当时，定义一种新运算： 例：，．若，则的值为（） A． B． C．或0 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，分式的加减运算，解分式方程；根据定义，分和两种情况计算和，代入方程求解，并验证是否满足大小关系． 【详解】，且， 分两种情况讨论： 当时， ，， ， 即， 解得， 但，与矛盾，无解． 当时， ，， ， 即， 解得， 且，满足条件． ， 故选：D． 8．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）当的值为______时，解关于的分式方程会产生增根． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求出相关字母的值．据此即可求出的值． 【详解】解：原方程去分母得， 该方程有增根， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）某科技公司研发的物流无人机参与抗洪救灾物资运输．已知无人机运送一批物资到受灾村庄，若比原计划搭载传统运输车的速度提高，可提前2小时到达．若两地相距150公里，设传统运输车原计划的行驶速度是x千米/小时，则可列方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设传统运输车原计划的行驶速度是x千米/小时，根据题意列出方程，即可得出答案． 【详解】解：设传统运输车原计划的行驶速度是x千米/小时， 由题意得，． 故选：C． 10．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）涵涵解方程过程如下： 解：去分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 解得：， 经检验是方程的增根，原方程无解． 你认为涵涵的解法是否正确？若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】不正确， 正确的解答过程如下： ， 方程两边同时乘，得， 解得：， 检验：把代入，得， ∴分式方程的解为． 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的方法，方程两边同时乘，把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后再进行检验即可． 【详解】略 11．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）已知分式，解答下列问题： (1)先化简，并求当时，原代数式的值； (2)原代数式的值能等于吗？为什么？ 【答案】(1)， (2)原代数式的值不能等于， 理由：由（1）可知原式化简后的式子为， 令，解得， ∵时，原分式无意义， ∴原代数式的值不能等于． 【分析】本题考查了分式的化简求值，解分式方程．解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键． （1）根据分式的混合运算法则化简，然后代数求解即可； （2）令，求解检验即可判断． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）略 12．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）综合与实践 问题背景：某景区计划购置甲、乙两种型号的外骨骼机器人，销售信息和购买计划如下： 信息1：已知甲种外骨骼机器人的单价比乙种外骨骼机器人的单价多0.3万元，花150万元购进甲种外骨骼机器人的数量是花100万元购进乙种外骨骼机器人数量的1.2倍． 信息2：该景区计划购进甲、乙两种外骨骼机器人共80台，且经费预算不超过110万元． 问题解决： (1)求购买甲、乙两种外骨骼机器人的单价分别是多少万元； (2)该景区最多可以购进甲种外骨骼机器人多少台？ 【答案】(1)购买甲单价为1.5万元，购买乙单价为1.2万元 (2)该景区最多可以购进甲种外骨骼机器人46台 【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，熟练掌握列分式方程和一元一次不等式解决实际问题的步骤是解题的关键． （1）设甲种外骨骼机器人单价为万元，根据甲、乙单价关系表示出乙的单价，再依据“花150万元购进甲的数量是花100万元购进乙的数量的1.2倍”列分式方程求解； （2）设购进甲种外骨骼机器人台，进而表示出乙的数量，根据经费预算不超过110万元列一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设购买甲种外骨骼机器人的单价为万元，则购买乙种外骨骼机器人的单价为万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：购买甲单价为1.5万元，购买乙单价为1.2万元． （2）解：设购进甲种外骨骼机器人台，则购进乙种外骨骼机器人台， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的最大整数解为46． 答：该景区最多可以购进甲种外骨骼机器人46台． 13．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）关于的分式方程有增根，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，注意增根问题可按如下步骤进行： 化分式方程为整式方程；让最简公分母为确定增根； 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．方程两边都乘， 得，由分式方程有增根，得到最简公分母，求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：方程两边都乘， 得：， ， 原方程有增根， 最简公分母， 解得， 当时，即， ． 故答案为： ． 14．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)该方程无解 (2) 【分析】该题考查了解分式方程． （1）根据解分式方程的方法解答即可． （2）根据解分式方程的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 经检验， 使得， 则为增根， 故该方程无解． （2）解：， 去分母，得：， 解得：； 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为：． 15．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）“浓情端午，将爱传递”的实践活动策划方案： 实践背景 某学校计划在端午节期间采购彩纸和竹条制作龙舟模型送给幼儿园的小朋友． 信息 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后，整理信息如下： 每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍． 任务 嘉嘉设______■．依题意，得方程． 淇淇设彩纸每包元．依题意，得方程______▲． 信息 制作时，嘉琪发现自己一天可以制作个小龙舟或制作个大龙舟，并且制作个小龙舟的天数和制作个大龙舟的天数一样． 任务 求嘉琪每天可以制作小龙舟的个数． (1)①方案中“■”处的内容为______，“▲”处的内容为______． ②彩纸每包______元，竹条每捆______元． (2)完成任务中的问题． 【答案】(1)①买到的竹条捆数为，；②， (2)个 【分析】（）①根据题意解答即可；②利用淇淇的方法求出方程的解即可求解； （）根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：①方案中“■”处的内容是买到的竹条捆数为，“▲”处的内容为， 故答案为：买到的竹条捆数为，； ②设彩纸每包元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴彩纸每包元，竹条每捆元， 故答案为：，； （2）解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴嘉琪每天可以制作小龙舟个． 16．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）若关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0． 分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， ∵方程的解为负数， ∴， ∴． ∵且， ∴且， ∴且． 故选B． 17．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为千克，符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设制作个榫需要的木材为千克，则每个卯需要的木材为千克，结合千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同，列出方程即可，解题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 【详解】解：设制作个榫需要的木材为千克，则每个卯需要的木材为千克， 由题意可得，， 故选：． 18．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）数学课上，李老师在黑板上写了关于的分式方程，让同学们讨论该分式方程的解．同学说：当时，方程的解为负数；同学说：当时，方程的解为正数．关于两位同学的说法，正确的是（   ） A．同学都答对 B．同学都答错 C．只有同学答对 D．只有同学答对 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，解题关键是掌握解分式方程的方法． 解分式方程，分析解的符号，判断两位同学的说法是否正确． 【详解】解：方程 ，解得： 当时，，方程的解为负数，同学说法正确； 当时，且时，方程的解为正数，同学说法错误， 故选：C． 19．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找出等量关系列出分式方程是解题的关键． 设通过路段时的速度是，则通过路段的速度是，由题意列出分式方程． 【详解】解：设通过路段时的速度是，则通过路段的速度是， 根据题意，得， ， 解得： ， 经检验： 是原方程的解且符合题意． 故答案为： ． 20．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在制作新能源汽车的电池正极的材料中，锰是重要的元素之一．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，问甲、乙两队每天开采锰矿石各多少吨？ 【答案】甲队每天开采锰矿石300吨，乙队每天开采锰矿石200吨 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙队每天开采锰矿石x吨，则甲队每天开采锰矿石吨，根据同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，列出分式方程，解分式方程即可． 【详解】解：设乙队每天开采锰矿石x吨，则甲队每天开采锰矿石吨， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲队每天开采锰矿石300吨，乙队每天开采锰矿石200吨． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $