专题06 实数与二次根式（期中真题汇编，河北专用）八年级数学上学期

专题06 实数与二次根式 6大高频考点概览 考点01 平方根 考点02 立方根 考点03 实数及其简单运算 考点04 二次根式及其性质 考点05 二次根式的乘法与除法 考点06 二次根式的加法与减法 考点01 平方根 1．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？可参考二次根式乘法法则，参考数据：， 2．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（   ） A．5 B．10 C．12 D．13 3．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）若正比例函数，则的值为______． 5．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）计算：______． 6．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）一个正方形的面积是11，估计它的边长大小在（    ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 7．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）4的平方根为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 9．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）下列说法不正确的是（　　） A．的立方根是 B． C．的平方根是 D．0没有算术平方根 10．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）求值： (1)已知某正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为2，求，的值． (2)已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，x是的小数部分，求的值及的算术平方根． 11．（25-26八年级上·河北张家口高新技术产业开发区·期中）根据如图所示的计算程序，若笑笑输入的的值为4，则输出的值为______． 12．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）如下为小亮的答卷，他的得分应是（    ） 姓名：小亮  得分： 填空 （每题 20 分，共 100 分） ①的平方根是； ②的绝对值是 ； ③； ④； ⑤的相反数是 2． A．100 分 B．80 分 C．60 分 D．40 分 13．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为______；的五次方根为______； (3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； (4)求的值：． 考点02 立方根 1．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）的立方根是___________． 3．（25-26八年级上·河北保定·期中）下列说法正确的是(　　) A．－64的立方根是4 B．9的平方根是±3 C．4的算术平方根是16 D．0.1的立方根是0.001 4．（25-26八年级上·河北保定·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）若实数a，b满足，则的立方根为（    ） A．2 B． C． D．8 6．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）的立方根是　　 A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）某正数的两个不相等的平方根分别是和，则a的立方根为______． 8．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）求下列各式中的值 (1) (2) 9．（25-26八年级上·河北张家口高新技术产业开发区·期中）的立方根与81的平方根的和是（    ） A．7 B． C．7或11 D．7或 考点03 实数及其简单运算 1．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）在实数（两个5之间依次增加一个0）中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)若，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 3．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）定义运算“@”的运算法则为：，则______． 4．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）计算： (1)； (2) 5．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）数轴上A，B两点表示的数分别是2和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m. （1）求m的值； （2）求的值. 7．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）下列整数中，与最接近的整数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）下列各数中，是无理数的是（　　） A．3.1415 B． C． D． 9．（25-26八年级上·河北保定·期中）下列一组数：，，，3.14，（相邻两个1之间依次增加1个0）．其中无理数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（25-26八年级上·河北保定·期中）比较大小：________．（填“>”、“<”或“=”） 11．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）请你写出一个小于﹣1的无理数__________． 12．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），作，则点所表示的数为________． 13．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）（1）计算：； （2）比较大小：和． 14．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）下列各组数中互为相反数的是() A．与 B．与 C．与 D．与 15．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）如图，在数轴上手掌处表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）如图，点是硬币圆周上一点，点与数所对应的点重合．假设硬币的直径为个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是______． 17．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）对于正数x，规定，如：，则的值为___________． 18．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）在…（相邻两个1之间2的个数逐次加1），中，无理数的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 19．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级上·河北张家口桥西区·期中）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 21．（25-26八年级上·河北张家口高新技术产业开发区·期中）若关于，的方程组与有相同的解． (1)求的值． (2)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．例如，求的值． 22．（25-26八年级上·河北张家口高新技术产业开发区·期中）比较大小：______． 23．（25-26八年级上·河北张家口高新技术产业开发区·期中）在实数，，3.14，，，，，，0.10100100…（每两个1之间0的个数逐次增加一个）中，无理数的个数为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 24．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）将一把损坏的直尺按如图方式放置在单位长度为1的数轴上，直尺上“”和“” 刻度线分别对应数轴上的和0，那么数轴上x的值可以是（    ） A． B． C．2 D． 25．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）如图，这是秦始皇陵中的一个兵马俑，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，其中______．（填“”“”或“”） 考点04 二次根式及其性质 1．（25-26八年级上·河北保定·期中）观察下列各式： ；；，… 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题 (1)猜想______=______； (2)归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：________________； (3)应用：计算． 2．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）若有意义，则的值可以是（   ） A． B．0 C．4 D．7 考点05 二次根式的乘法与除法 1．（25-26八年级上·河北张家口桥西区·期中）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北张家口高新技术产业开发区·期中）下列各式是最简二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 考点06 二次根式的加法与减法 1．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 3．（25-26八年级上·河北保定·期中）计算： (1)； (2)． 4．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”．完成下列问题：    如图，在中，，，． (1)求的面积； (2)利用尺规作出的高，并求的长． 5．（25-26八年级上·河北张家口桥西区·期中）计算：． 6．（25-26八年级上·河北张家口桥西区·期中）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积．若，，，则S的值为______． 7．（25-26八年级上·河北张家口桥西区·期中）如图（单位：cm），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，设最大正方形纸片和最小正方形纸片的边长分别为a，b． (1)直接写出a，b； (2)求． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 实数与二次根式 考点01 平方根 考点02 立方根 考点03 实数及其简单运算 考点04 二次根式及其性质 考点05 二次根式的乘法与除法 考点06 二次根式的加法与减法 考点01 平方根 1．【答案】(1)这块长方形空地的周长为160米 (2)宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行 【分析】本题考查了长方形和正方形的面积、周长计算，以及利用比例关系建立方程求解的能力，解题的关键是根据长宽比例设未知数，结合面积公式列方程求出边长，再通过边长关系计算走道宽度，判断车辆能否通行． （1）设长方形空地的长为米，则宽为米，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y米，则长为米，正方形花坛1的边长为米，根据总面积为1200平方米列式，利用平方根的性质求出y，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． 【详解】（1）解：设长方形空地的长为米，则宽为米， 由题意得：，即， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为米，则长为米，正方形花坛1的边长为米， 由题意得：，， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为米，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行． 2．C 3．A 4．【答案】 【分析】根据正比例函数的定义，函数形式应为（），即自变量指数为且系数不为，据此列方程求解即可． 【详解】解：由正比例函数的定义，得和， 解得和， ∴， 故答案为：． 5．【答案】2 【分析】本题主要考查二次根式的化简．先计算被开方数，再求算术平方根， 【详解】解：． 故答案为：2． 6．C 7．B 8．【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根及算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据立方根及算术平方根的定义得出，，解方程即可； （2）直接代入，求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， 解得，； （2）解：∵，， ∴， 的平方根为． 9．D 10．【答案】(1)， (2)；2 【分析】本题考查的知识点是平方根、算术平方根、立方根、估算无理数的大小，学会用“夹逼法”求无理数的整数部分和小数部分是解题的关键． （1）根据平方根的定义，一个正数的两个不同平方根互为相反数可求得，在根据立方根的定义求解即可． （2）根据平方根和立方根的定义，再根据“夹逼法”求无理数的整数部分和小数部分，代入数值即可求解，最后再求其算术平方根即可． 【详解】（1）解：某正数的平方根分别是和， ， 解得：， 的立方根为， ， 解得：． （2）解：的平方根是，的立方根是， ， ，， 是的整数部分，， ， 是的小数部分， ， ， 4的算术平方根为， 即的算术平方根为． 11．【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，先判断输入的满足的条件，再代入对应的公式计算的值． 【详解】解：∵ ， ∴ 代入得， 故答案为：． 12．D 13．【答案】(1)若，则叫的五次方根 (2) (3)，为任意实数 (4)或 【分析】（1）根据题意，进行作答即可； （2）进行开方运算即可； （3）根据定义，进行计算即可； （4）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根； （2）解：； 故答案为：； （3）解：∵是一个数的四次方， ∴， ∴； ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的五次方， ∴为任意实数． 故答案为：，为任意实数； （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． 考点02 立方根 1．B 2．【答案】 【分析】此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根为， 故答案为：． 3．B 4．C 5．A 6．A 7．【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，求一个数的立方根，列一元一次方程解决问题，解题的关键是熟练掌握平方根的定义． 根据平方根的定义列出，然后求解，再求立方根即可． 【详解】解：根据平方根的性质得， 解得， ∴a的立方根为：， 故答案为：． 8．【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的应用，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根定义． （1）先移项，然后根据平方根定义，求出x的值即可； （2）根据立方根定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 开平方得：； （2）解：， 开立方得：， 移项，合并同类项得：． 9．D 考点03 实数及其简单运算 1．B 2．【答案】(1)4， (2) (3)1 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）先估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的性质估算的大小，求出整数部分x和小数部分y，从而求出的值，再求出它的相反数即可； （3）先估算和的大小，再根据不等式的性质估算和的大小，分别求出小数部分和，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分， 故答案为：4，； （2）解：∵，即， ∴，， ∴的整数部分是10，小数部分是：， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数为：； （3）解：∵，即， ∴，，即， ∴，即， ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∴． 3．【答案】7 【分析】此题考查了实数的新定义运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据定义的运算法则，逐步计算先求，再求其结果与5的运算． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故答案为：7． 4．【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根与立方根，化简绝对值，再计算加减即可； （2）先计算算术平方根与立方根，化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 5．B 6．【答案】（1）；（2）3 【分析】（1）根据题意可知点B所表示的数为点A表示的数加上2，据此可求出m的值； （2）首先把m的值代入待求式中，利用有理数的加减进行运算，再结合绝对值的性质去掉绝对值符号，再进行计算，即可解答. 【详解】（1）由题意可得. （2） . 【点睛】此题考查实数与数轴，解题关键在于求出m的值. 7．A 8．D 9．C 10．【答案】 【分析】本题主要考查了用作差法比较实数的大小；，可判断，即可求解；能根据“若，则．”进行比较大小是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， ； 故答案：． 11．【答案】-1.010010001......(答案不唯一） 【详解】根据无理数的定义，指无限不循环小数，答案不唯一. 12．【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点表示的数为，且点在点的右侧，即可求出点所表示的数． 【详解】解：正方形的面积为， ． ， ． 点表示的数为，且点在点的右侧， 点所表示的数为． 故答案为：． 13．【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是实数的运算，实数的大小比较． （1）先计算算术平方根，立方根，再合并即可． （2）先计算和的平方，再进一步比较大小即可． 【详解】解：（1） ． （2），， ， ． 14．C 15．B 16．【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，以及数轴上两点之间的距离，解题关键是求出硬币的周长．根据题意得到硬币的周长，再结合数轴上两点之间的距离求解，即可解题． 【详解】解：硬币的直径为个单位长度， 硬币的周长为， 点为， 点对应的实数是， 故答案为：． 17．【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，将拆分为，然后利用裂项相消法求和即可，将拆分为是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 18．B 19．B 20．C 21．【答案】(1) (2)18 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法以及二阶行列式的运算，熟练掌握方程组同解问题的处理方法和二阶行列式的运算法则是解题的关键． （1）先求出两个方程组的公共解，再将公共解代入含、的方程，求出、的值，进而计算． （2）根据二阶行列式的运算法则，将、、、的值代入计算． 【详解】（1）解：∵关于，的方程组与有相同的解． ∴， 解该方程组得， ∴，， 解得：， ∴． （2）解：将，，，代入， ∴． 22．【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，无理数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先估算出，，即可得出答案． 【详解】解：, ， ，即， ， 故答案为：． 23．C 24．D 25．【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的大小，进一步判断的大小，从而得出比较结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点04 二次根式及其性质 1．【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据等式的规律填空即可求解； （2）根据前几个式子的规律，写出第个式子即可求解． （3）根据（2）的规律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：，． （2）解：， 故答案为：． （3）解： 【点睛】本题考查了二次根式的化简，找到规律是解题的关键． 2．D 考点05 二次根式的乘法与除法 1．A 2．D 考点06 二次根式的加法与减法 1．D 2．【答案】(1) (2) (3)12 (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算加法即可； （2）先根据完全平方公式展开和计算除法，再进行加减运算即可； （3）利用乘法运算律计算，然后化简，再计算加减法即可； （4）先根据完全平方公式展开，再计算乘法，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3．【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据完全平方公式和平方差公式，结合二次根式混合运算法则，进行求解即可； （2）根据二次根式混合运算法则，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）把，，代入公式进行计算即可； （2）由的面积，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴的面积； （2）解：的高如图所示，    ∵的面积， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是二次根式的应用，化为最简二次根式，熟练的代入计算是解本题的关键． 5．【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、立方根的计算以及绝对值的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质、立方根的定义以及绝对值的化简规则． 先计算，再计算并化简整个式子． 【详解】解：原式． 6．【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算以及秦九韶公式的应用，解题的关键是正确代入公式并逐步进行有理数运算和根式化简． 将代入、中计算其值，再代入公式化简求出面积． 【详解】解：由于，，： ，，： 所以，，， ， ， ， ， 故答案为． 7．【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次根式的运算以及平方差公式的应用，解题的关键是根据正方形的边长关系求出、的值，并灵活运用平方差公式进行计算． （1）先根据中间正方形的面积求出其边长，再结合图形边长关系求出、； （2）利用平方差公式计算． 【详解】（1）解：因为中间正方形纸片的面积为， 所以中间正方形的边长为， 由图可知，最大正方形的边长， 最小正方形的边长； （2）解：根据平方差公式， 将代入，可得， 所以． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 实数与二次根式 6大高频考点概览 考点01 平方根 考点02 立方根 考点03 实数及其简单运算 考点04 二次根式及其性质 考点05 二次根式的乘法与除法 考点06 二次根式的加法与减法 考点01 平方根 1．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？可参考二次根式乘法法则，参考数据：， 【答案】(1)这块长方形空地的周长为160米 (2)宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行 【分析】本题考查了长方形和正方形的面积、周长计算，以及利用比例关系建立方程求解的能力，解题的关键是根据长宽比例设未知数，结合面积公式列方程求出边长，再通过边长关系计算走道宽度，判断车辆能否通行． （1）设长方形空地的长为米，则宽为米，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y米，则长为米，正方形花坛1的边长为米，根据总面积为1200平方米列式，利用平方根的性质求出y，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． 【详解】（1）解：设长方形空地的长为米，则宽为米， 由题意得：，即， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为米，则长为米，正方形花坛1的边长为米， 由题意得：，， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为米，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行． 2．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（   ） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，求算术平方根． 根据平方根和立方根的定义，先求出x和y的值，再计算的值，最后求其算术平方根． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴； ∵的立方根是3， ∴， 代入，得， 即， ∴； ∴， ∵144的算术平方根是12， ∴的算术平方根为12． 故选：C． 3．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根. 直接计算 的算术平方根即可. 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是. 故选：A. 4．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）若正比例函数，则的值为______． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义，函数形式应为（），即自变量指数为且系数不为，据此列方程求解即可． 【详解】解：由正比例函数的定义，得和， 解得和， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）计算：______． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次根式的化简．先计算被开方数，再求算术平方根， 【详解】解：． 故答案为：2． 6．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）一个正方形的面积是11，估计它的边长大小在（    ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根取值范围的估算，掌握算术平方根取值范围的估算方法是解题的关键． 根据正方形的面积公式，边长是面积的平方根，即．再通过比较邻近的完全平方数，估算的范围即可解答． 【详解】解：∵正方形的面积是11， ∴边长为． ∵，且， ∴，即， ∴边长在3和4之间． 故选C． 7．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）4的平方根为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是求解非负数的平方根，根据平方根的定义，一个数的平方根是使得其平方等于该数的值．对于4，有，因此4的平方根为． 【详解】解：∵ ， ∴ 4的平方根是． 故选：B． 8．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根及算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据立方根及算术平方根的定义得出，，解方程即可； （2）直接代入，求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， 解得，； （2）解：∵，， ∴， 的平方根为． 9．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）下列说法不正确的是（　　） A．的立方根是 B． C．的平方根是 D．0没有算术平方根 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根，掌握相关定义是解题关键．根据立方根、平方根、算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、的立方根是，原说法正确，不符合题意； B、，原说法正确，不符合题意； C、，的平方根是，原说法正确，不符合题意； D、0有算术平方根，原说法不正确，符合题意； 故选：D． 10．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）求值： (1)已知某正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为2，求，的值． (2)已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，x是的小数部分，求的值及的算术平方根． 【答案】(1)， (2)；2 【分析】本题考查的知识点是平方根、算术平方根、立方根、估算无理数的大小，学会用“夹逼法”求无理数的整数部分和小数部分是解题的关键． （1）根据平方根的定义，一个正数的两个不同平方根互为相反数可求得，在根据立方根的定义求解即可． （2）根据平方根和立方根的定义，再根据“夹逼法”求无理数的整数部分和小数部分，代入数值即可求解，最后再求其算术平方根即可． 【详解】（1）解：某正数的平方根分别是和， ， 解得：， 的立方根为， ， 解得：． （2）解：的平方根是，的立方根是， ， ，， 是的整数部分，， ， 是的小数部分， ， ， 4的算术平方根为， 即的算术平方根为． 11．（25-26八年级上·河北张家口高新技术产业开发区·期中）根据如图所示的计算程序，若笑笑输入的的值为4，则输出的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，先判断输入的满足的条件，再代入对应的公式计算的值． 【详解】解：∵ ， ∴ 代入得， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）如下为小亮的答卷，他的得分应是（    ） 姓名：小亮  得分： 填空 （每题 20 分，共 100 分） ①的平方根是； ②的绝对值是 ； ③； ④； ⑤的相反数是 2． A．100 分 B．80 分 C．60 分 D．40 分 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根，相反数，绝对值的定义，掌握相关定义是解题的关键．根据算术平方根及平方根的定义，立方根的定义，相反数，绝对值的定义分别计算各题，进而可求解 【详解】解：①的平方根是，故错误； ②的绝对值是 ，故正确； ③故正确； ④，故错误． ⑤的相反数是，故错误． （分）， ∴小亮的得分为40分， 故选：D． 13．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为______；的五次方根为______； (3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； (4)求的值：． 【答案】(1)若，则叫的五次方根 (2) (3)，为任意实数 (4)或 【分析】（1）根据题意，进行作答即可； （2）进行开方运算即可； （3）根据定义，进行计算即可； （4）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根； （2）解：； 故答案为：； （3）解：∵是一个数的四次方， ∴， ∴； ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的五次方， ∴为任意实数． 故答案为：，为任意实数； （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． 考点02 立方根 1．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查立方根的应用，利用立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：B． 2．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）的立方根是___________． 【答案】 【分析】此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根为， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·河北保定·期中）下列说法正确的是(　　) A．－64的立方根是4 B．9的平方根是±3 C．4的算术平方根是16 D．0.1的立方根是0.001 【答案】B 【分析】依据立方根、平方根和算术平方根的性质求解即可． 【详解】A.−64的立方根是−4，故A错误； B.9的平方根是±3，故B正确； C.4的算术平方根是2，故C错误； D.0.1是0.001的立方根，故D错误. 故选B. 【点睛】考查平方根，算术平方根以及立方根，掌握它们的概念是解题的关键. 4．（25-26八年级上·河北保定·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的估算进行大小比较． 【详解】解：∵， 又∵， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查求一个数的算术平方根，求一个数的立方根及无理数的估算，理解相关概念是解题关键． 5．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）若实数a，b满足，则的立方根为（    ） A．2 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质和立方根的计算，注意正数的立方根是正数． 根据非负数的性质，平方根和平方项均非负，和为零则每个部分为零，从而求出 a 和 b 的值，再计算 并求其立方根． 【详解】解：∵， ，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵8的立方根为2， ∴的立方根为2． 故选：A． 6．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）的立方根是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据立方根的定义进行解答即可． 【详解】解：， 的立方根是． 故选A． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟记定义是解题的关键． 7．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）某正数的两个不相等的平方根分别是和，则a的立方根为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，求一个数的立方根，列一元一次方程解决问题，解题的关键是熟练掌握平方根的定义． 根据平方根的定义列出，然后求解，再求立方根即可． 【详解】解：根据平方根的性质得， 解得， ∴a的立方根为：， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）求下列各式中的值 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的应用，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根定义． （1）先移项，然后根据平方根定义，求出x的值即可； （2）根据立方根定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 开平方得：； （2）解：， 开立方得：， 移项，合并同类项得：． 9．（25-26八年级上·河北张家口高新技术产业开发区·期中）的立方根与81的平方根的和是（    ） A．7 B． C．7或11 D．7或 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、平方根，先求出的立方根与81的平方根，再计算加法即可得解，熟练掌握立方根和平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：的立方根为，81的平方根为， ∴的立方根与81的平方根的和是或， 故选：D． 考点03 实数及其简单运算 1．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）在实数（两个5之间依次增加一个0）中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，算术平方根，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数是否为无理数． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； （两个5之间依次增加一个0）的规律不循环，属于无限不循环小数，故为无理数． 综上，无理数有2个， 故选：B． 2．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)若，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】(1)4， (2) (3)1 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）先估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的性质估算的大小，求出整数部分x和小数部分y，从而求出的值，再求出它的相反数即可； （3）先估算和的大小，再根据不等式的性质估算和的大小，分别求出小数部分和，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分， 故答案为：4，； （2）解：∵，即， ∴，， ∴的整数部分是10，小数部分是：， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数为：； （3）解：∵，即， ∴，，即， ∴，即， ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∴． 3．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）定义运算“@”的运算法则为：，则______． 【答案】7 【分析】此题考查了实数的新定义运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据定义的运算法则，逐步计算先求，再求其结果与5的运算． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故答案为：7． 4．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根与立方根，化简绝对值，再计算加减即可； （2）先计算算术平方根与立方根，化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 5．（25-26八年级上·河北石家庄栾城区·期中）数轴上A，B两点表示的数分别是2和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离公式，数轴上对称点表示的数的关系，实数的运算，正确掌握数轴上对称点表示的数的计算方法是解题的关键．先计算的长，再根据对称的性质得到，即可求得点C表示的数． 【详解】解：∵数轴上A，B两点表示的数分别是2和， ∴， ∵点B关于点A的对称点为点C， ∴， ∴点C表示的数是， 故选：B． 6．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m. （1）求m的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）3 【分析】（1）根据题意可知点B所表示的数为点A表示的数加上2，据此可求出m的值； （2）首先把m的值代入待求式中，利用有理数的加减进行运算，再结合绝对值的性质去掉绝对值符号，再进行计算，即可解答. 【详解】（1）由题意可得. （2） . 【点睛】此题考查实数与数轴，解题关键在于求出m的值. 7．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）下列整数中，与最接近的整数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；通过计算的范围，确定最接近的整数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴更接近3； 故选A． 8．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）下列各数中，是无理数的是（　　） A．3.1415 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数进行判断，是有理数 【详解】解：是有理数，是无理数，是分数是有理数，3.1415是小数是有理数， 故选：． 【点睛】本题考查无理数的定义；能够准确辨识无理数是解题的关键． 9．（25-26八年级上·河北保定·期中）下列一组数：，，，3.14，（相邻两个1之间依次增加1个0）．其中无理数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】无理数包括无限不循环小数，如π和特定无限不循环小数，熟记定义即可准确判断． 根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数是否为无理数． 【详解】解：∵是整数，属于有理数； ∵是分数，属于有理数； ∵中π是无理数，除以有理数2后仍为无理数； ∵ 3.14是有限小数，属于有理数； ∵是无限不循环小数，属于无理数． ∴ 无理数有和，共2个． 故选：C． 10．（25-26八年级上·河北保定·期中）比较大小：________．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题主要考查了用作差法比较实数的大小；，可判断，即可求解；能根据“若，则．”进行比较大小是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， ； 故答案：． 11．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）请你写出一个小于﹣1的无理数__________． 【答案】-1.010010001......(答案不唯一） 【详解】根据无理数的定义，指无限不循环小数，答案不唯一. 12．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），作，则点所表示的数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点表示的数为，且点在点的右侧，即可求出点所表示的数． 【详解】解：正方形的面积为， ． ， ． 点表示的数为，且点在点的右侧， 点所表示的数为． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）（1）计算：； （2）比较大小：和． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是实数的运算，实数的大小比较． （1）先计算算术平方根，立方根，再合并即可． （2）先计算和的平方，再进一步比较大小即可． 【详解】解：（1） ． （2），， ， ． 14．（25-26八年级上·河北石家庄长安·期中）下列各组数中互为相反数的是() A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了求立方根与算术平方根，相反数，实数的性质；通过计算每组数的值，判断其和是否为零，只有选项C中的两个数互为相反数． 【详解】解：A：∵=，∴与相等，不互为相反数． B：∵，∴，∴与相等，不互为相反数． C：∵=，∵=．∴与互为相反数， D：∵，∴不互为相反数． 故选：C． 15．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）如图，在数轴上手掌处表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴的对应关系以及无理数的估算，解题的关键是估算出各选项中无理数的取值范围，并结合数轴判断． 先估算出每个选项中数的大致范围，再根据数轴上手掌遮挡点的位置判断该点表示的数的范围，最后对比得出答案． 【详解】解：根据题意得：在数轴上手掌处表示的数大于和小于， ∵， ∴，故C，D选项不符合题意； ∴，故A选项不符合题意；B选项符合题意； 故选：B． 16．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）如图，点是硬币圆周上一点，点与数所对应的点重合．假设硬币的直径为个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是______． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，以及数轴上两点之间的距离，解题关键是求出硬币的周长．根据题意得到硬币的周长，再结合数轴上两点之间的距离求解，即可解题． 【详解】解：硬币的直径为个单位长度， 硬币的周长为， 点为， 点对应的实数是， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）对于正数x，规定，如：，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，将拆分为，然后利用裂项相消法求和即可，将拆分为是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 18．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）在…（相邻两个1之间2的个数逐次加1），中，无理数的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数． 根据无理数的定义作答即可． 【详解】在…（相邻两个1之间2的个数逐次加1），中，无理数有…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）共4个， 故选：B 19．（25-26八年级上·河北邯郸永年区·期中）比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较．熟练掌握无理数大小的估算，实数的大小比较法则，是解题的关键． 根据无理数的估算方法以及被开方数的大小逐项进行分析即可得． 【详解】A．∵， ∴，A正确，故该选项不符合题意； B．∵， ∴， ∴，即，B不正确，故该选项符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∴，C正确，故该选项不符合题意； D．∵， ∴， 即，D正确，故该选项不符合题意． 故选：B． 20．（25-26八年级上·河北张家口桥西区·期中）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数和实数的比较大小，先比较大小，然后找出比大的无理数解答即可． 【详解】解：， ∵是无理数， 故答案为：C． 21．（25-26八年级上·河北张家口高新技术产业开发区·期中）若关于，的方程组与有相同的解． (1)求的值． (2)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．例如，求的值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法以及二阶行列式的运算，熟练掌握方程组同解问题的处理方法和二阶行列式的运算法则是解题的关键． （1）先求出两个方程组的公共解，再将公共解代入含、的方程，求出、的值，进而计算． （2）根据二阶行列式的运算法则，将、、、的值代入计算． 【详解】（1）解：∵关于，的方程组与有相同的解． ∴， 解该方程组得， ∴，， 解得：， ∴． （2）解：将，，，代入， ∴． 22．（25-26八年级上·河北张家口高新技术产业开发区·期中）比较大小：______． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，无理数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先估算出，，即可得出答案． 【详解】解：, ， ，即， ， 故答案为：． 23．（25-26八年级上·河北张家口高新技术产业开发区·期中）在实数，，3.14，，，，，，0.10100100…（每两个1之间0的个数逐次增加一个）中，无理数的个数为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查无理数． 根据无理数的定义，找出题中所有的无理数，即可得无理数的个数． 【详解】解：是有理数，是有理数，3.14，是分数，属于有理数， 无理数有：，，，，0.10100100…（每两个1之间0的个数逐次增加一个）， ∴无理数的个数为． 故选：C． 24．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）将一把损坏的直尺按如图方式放置在单位长度为1的数轴上，直尺上“”和“” 刻度线分别对应数轴上的和0，那么数轴上x的值可以是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算．根据数轴上x的值在刻度尺的和之间，得出数轴上x的值的取值范围，即可求解． 【详解】解：数轴上x的值在刻度尺的和之间， 由题意可得，数轴上x的值的取值范围是， ∵，，， 故数轴上x的值最有可能是． 故选：D． 25．（25-26八年级上·河北张家口宣化区·期中）如图，这是秦始皇陵中的一个兵马俑，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，其中______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的大小，进一步判断的大小，从而得出比较结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点04 二次根式及其性质 1．（25-26八年级上·河北保定·期中）观察下列各式： ；；，… 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题 (1)猜想______=______； (2)归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：________________； (3)应用：计算． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据等式的规律填空即可求解； （2）根据前几个式子的规律，写出第个式子即可求解． （3）根据（2）的规律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：，． （2）解：， 故答案为：． （3）解： 【点睛】本题考查了二次根式的化简，找到规律是解题的关键． 2．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）若有意义，则的值可以是（   ） A． B．0 C．4 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识点，根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出的范围，判断即可，熟记二次根式的被开方数是非负数是解决此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则的值可以是7， 故选：． 考点05 二次根式的乘法与除法 1．（25-26八年级上·河北张家口桥西区·期中）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误； B．，运算正确； C．，运算正确； D．，运算正确； 故选：A． 2．（25-26八年级上·河北张家口高新技术产业开发区·期中）下列各式是最简二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，选项不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 故选：． 考点06 二次根式的加法与减法 1．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根的概念、0次幂运算法则、二次根式加法法则、立方根的概念逐一进行求解即可. 【详解】A. ，故A选项错误； B. ，故B选项错误； C. 与不是同类二次根式，不能合并，故C选项错误； D. ，正确， 故选D. 【点睛】本题考查了算术平方根、立方根、0指数幂、二次根式的加法运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键. 2．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)12 (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算加法即可； （2）先根据完全平方公式展开和计算除法，再进行加减运算即可； （3）利用乘法运算律计算，然后化简，再计算加减法即可； （4）先根据完全平方公式展开，再计算乘法，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3．（25-26八年级上·河北保定·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据完全平方公式和平方差公式，结合二次根式混合运算法则，进行求解即可； （2）根据二次根式混合运算法则，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（25-26八年级上·河北唐山遵化·期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”．完成下列问题：    如图，在中，，，． (1)求的面积； (2)利用尺规作出的高，并求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）把，，代入公式进行计算即可； （2）由的面积，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴的面积； （2）解：的高如图所示，    ∵的面积， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是二次根式的应用，化为最简二次根式，熟练的代入计算是解本题的关键． 5．（25-26八年级上·河北张家口桥西区·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、立方根的计算以及绝对值的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质、立方根的定义以及绝对值的化简规则． 先计算，再计算并化简整个式子． 【详解】解：原式． 6．（25-26八年级上·河北张家口桥西区·期中）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积．若，，，则S的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算以及秦九韶公式的应用，解题的关键是正确代入公式并逐步进行有理数运算和根式化简． 将代入、中计算其值，再代入公式化简求出面积． 【详解】解：由于，，： ，，： 所以，，， ， ， ， ， 故答案为． 7．（25-26八年级上·河北张家口桥西区·期中）如图（单位：cm），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，设最大正方形纸片和最小正方形纸片的边长分别为a，b． (1)直接写出a，b； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次根式的运算以及平方差公式的应用，解题的关键是根据正方形的边长关系求出、的值，并灵活运用平方差公式进行计算． （1）先根据中间正方形的面积求出其边长，再结合图形边长关系求出、； （2）利用平方差公式计算． 【详解】（1）解：因为中间正方形纸片的面积为， 所以中间正方形的边长为， 由图可知，最大正方形的边长， 最小正方形的边长； （2）解：根据平方差公式， 将代入，可得， 所以． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $