专题07 特殊三角形（期中真题汇编，河北专用）八年级数学上学期

专题07 特殊三角形 4大高频考点概览 考点01 等腰三角形 考点02 等边三角形 考点03 勾股定理及其应用 考点04 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 等腰三角形 1．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，在中，点在边上，连接，是边上的高，延长交于点，且，设． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的度数； (3)判断α与β之间的数量关系，并说明理由．（若点B在线段的垂直平分线上，请直接写出β的度数） 【答案】(1)解：为等腰三角形． 理由如下： ， ， 为等腰三角形； (2) (3)解：． 理由如下：， ， ， ， 即； 当点在线段的垂直平分线上，则， ， 在中，， ， ， ， ， 即点在线段的垂直平分线上，此时的度数为． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，从而可判断为等腰三角形； （2）先利用互余得到，所以，再求出，，然后根据求出即可求解； （3）先由得到，再根据三角形内角和定理得到；当点在线段的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质得到，所以，利用三角形内角和定理得到，则可得到，然后利用与得关系可计算出此时的度数． 【详解】（1）略； （2）解：是边上的高， ， ， ， ． ∵， ∴． ， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）略． 2．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；②由，得到，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案．         此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵在和中， ∵， ， ∴，本选项正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ， ∴，本选项正确； ③∵， ， ∴， ∴，本选项正确； ④∵， ，故此选项正确， 故选：D． 3．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）已知是等腰直角三角形，，点A在x轴的负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1，若点A的坐标是，点B的坐标是，过点C作轴于点H，则线段______，点C的坐标为______； (2)如图2，过点C作轴于点D，请猜想线段之间的等量关系并写出证明过程； (3)如图3，若x轴恰好平分，与x轴交于点E，过点C作轴于点F，请直接写出与之间的等量关系． 【答案】(1)；； (2) 或，理由如下： 当点在轴下方时，如图， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 当点在轴上方时，如图， 同（1）原理可得， ，， ， ； 综上，或； (3) 【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，解本题的关键是构造全等三角形． （1）先求出，，再判断出，，进而得出，即可得出结论； （2）同（1）的方法，进行分类讨论，即可得出结论； （3）先判断出，再判断出，进而判断出，得出，最后判断出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 故答案为：；； （2）略 （3）解：如图，延长，相交于点， ， 轴， ， ， ， 在和中， ， ， ， 轴平分，轴， ， ， ， ， ． 4．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，在中，，，是的角平分线，则下列结论不正确的是（   ） A． B．点在线段的垂直平分线上 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定等，由直角三角形的性质可得，即得，即得到，，得到，进而可得，即可判定①；再根据线段垂直平分线的判定即可判定②；由直角三角形的性质可判定③；由可判定④，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴，， ∴， ∴，故选项正确； ∵， ∴点在线段的垂直平分线上，故选项正确； ∵，， ∴，故选项正确； ∵， ∴，故选项不正确； 故选：． 5．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）数学兴趣小组探究“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”这个定理． (1)请你补全这个定理的逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么______． (2)兴趣小组通过添加辅助线证明上述定理，请你帮助完成． 已知：在中，，．求证：． 证明：如图，在边上取一点，使得，连接， ，， ， 是______三角形， ______，且______， ， ， ______， ，即． (3)兴趣小组继续探索：该定理的逆命题也是真命题．下面是证明的过程，请你补充完整． 已知：在中，，．求证：． 证明：如图，延长到点，使得，连接， 【答案】(1)这条直角边所对的角是 (2)等边，，， (3) 证明：如图，延长到点，使得，连接， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【分析】（）根据互逆命题的定义解答即可求解； （）先证明是等边三角形，得到，，即得，即得到，进而得到，即可求证； （）证明是等边三角形，得到，进而即可求证； 本题考查了互逆命题，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：这个定理的逆命题是：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是， 故答案为：这条直角边所对的角是； （2）证明：如图，在边上取一点，使得，连接， ，， ， 是等边三角形， ，且， ， ， ， ，即， 故答案为：等边，，，； （3）略 6．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，在等边三角形ABC中，BC=2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形各内角为60°的性质，可以求得∠ADF=∠CFE=30°，即可求得AD=2AF、CF=2CE，根据BE=BC-CE即可求的BE的长． 【详解】∵D是AB的中点， ∴， ∵等边三角形ABC中∠A=∠C=60°， 且DF⊥AC， ∴∠ADF=180°-90°-60°=30°， 在Rt△ADF中，， ∴， 同理，在Rt△FEC中，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，30°角在直角三角形中运用，本题中根据“30°角所对直角边等于斜边的一半”求解是解题的关键． 7．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质．先根据等边对等角求出，再由三角形外角性质求得，最后由三角形外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，即， 故选：A． 8．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头A航行，下面是关于码头A、灯塔B及渔船的位置信息： 信息一：码头A在灯塔B北偏西方向8海里处； 信息二：8∶00时，渔船航行至灯塔B北偏东方向的处； 信息三：8∶30时，渔船航行至灯塔B北偏东方向的处． (1)请根据以上信息，求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离； (2)8∶30时，渔船在处接到天气预报，大约1小时后在码头A附近海域将有大风天气，若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在大风到来前到达码头A．（参考数据：） 【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为海里 (2)渔船不能在大风到来前到达码头A， （海里），（海里／小时） 渔船到达码头A的时间大约为小时， ∵， 渔船不能在大风到来前到达码头A． 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，实数的运算，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，解得到海里，可求出的长，，，则可求出的长，进而求出的长，证明是等腰直角三角形即可得到答案； （2）求出的长，计算出到达码头A的时间即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，垂足为， ． 在中，，海里， 海里，， 依题意，海里，，， ∴， ∴， 在中，（海里）， ∴海里， ∵， ∴是等腰直角三角形， 海里， 渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为海里． （2）略 9．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，在三角形钢架中，，，点在边上，是连接点与中点的支架，且，，垂足为．测得，则的长为______ ． 【答案】2 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，根据等腰三角形的性质得出，再由各角之间的关系确定，利用含30度角的直角三角形的性质得出，，再由垂直平分线的性质确定，继续利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 又， ， 在中，， 在中，， 根据题意得：垂直平分， ∴， ， ， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 10．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，为维修一块与地面垂直的广告牌，维修工人设置了两架梯子，经测量得到以下数据：，，，，，，三点在同一条直线上，则的长度为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质及等腰直角三角形，熟练掌握含30度直角三角形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 根据含30度直角三角形的性质及等腰直角三角形的性质可进进行求解． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 11．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）若等腰三角形一个内角的度数为，则它的顶角度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理．需要分两种情况讨论：当为顶角时，顶角为；当为底角时，顶角通过三角形内角和计算得出即可． 【详解】解：当为等腰三角形的顶角时，顶角度数为； 当为等腰三角形的底角时，两个底角均为， 则顶角度数为． 故答案为：或． 12．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）下列命题错误的是(    ) A．三角形的角平分线是线段 B．两个全等三角形对应边上的高相等 C．有两个内角分别为与的三角形是等腰三角形 D．若两个三角形全等，则它们一定关于某条直线成轴对称 【答案】D 【分析】本题考查判断命题的真假，根据三角形的角平分线的定义，全等三角形的性质，等腰三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的角平分线是线段，是真命题，不符合题意； B、两个全等三角形对应边上的高相等，是真命题，不符合题意； C、有两个内角分别为与的三角形，则另一个角的度数为，则该三角形是等腰三角形，是真命题，不符合题意； D、两个三角形全等，它们不一定关于某条直线成轴对称，有可能是通过旋转，平移得到的，原命题是假命题，符合题意； 故选D． 13．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图，在中，，，点在边上（点与，不重合），作，与边相交于点．若是等腰三角形，则度数为_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，分情况讨论：①；②；③以的等腰三角形不存在；由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 则， ①如图，，即是等腰三角形， ∵， ∴， ∴； ②如图，，即是等腰三角形， ∴， ∴； ③∵D不与B、C重合，， ∴以的等腰三角形不存在； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 14．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图，， 平分 ，过 作， 交 于点 ，若点 在 上，且满足 ，则 的度数为（    ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义求得，再求得，如图，分两种情况求解即可． 【详解】解：如图，， ∵， 平分 ， ∴， ∵， ∴, ∴， 根据角的对称性知， ∴； 当点位于点处时，∵， ∴， 综上， 的度数为或， 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的定义和角的对称性质、平行线的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的对称性时解答的关键． 15．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图，在等腰三角形中，是的高线，边的垂直平分线分别交于点，连接． (1)若，求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据三线合一得到垂直平分，则，再由是边的垂直平分线得到，即可得到； （2）根据三线合一得到，而，再由等边对等角即可求解． 【详解】（1）解：∵，是的高线， ∴， ∴垂直平分， ∴ ∵是边的垂直平分线 ∴， ∴； （2）解：∵是的高线， ∴ ∵， ∴． 16．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（   ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．勾股定理的逆定理 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】解：， 是等腰三角形， 是的中点， ， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一” 故选：D． 17．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的顶角，根据等腰三角形的定义分为顶角和底角两种情况计算即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：当的角为顶角时，顶角的度数为； 当的角为底角时，顶角的度数为； ∴顶角的度数是或， 故答案为：或． 18．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，在中，为边上一点，给出如下关系：①平分；②于点；③为的中点．甲：如果①②同时成立，可证明③成立；乙：如果②③同时成立，可证明①成立；丙：如果①③同时成立，可证明②成立．正确的说法是（    ） A．乙正确，甲、丙错误 B．甲正确，乙、丙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．甲、乙、丙都正确 【答案】D 【分析】利用三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质解答即可，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的中点， 故甲的说法正确； ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 故乙的说法正确； 如图，过点C作，交的延长线于点E， 则， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故丙说法正确． 故选D． 19．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图1，某温室屋顶结构外框为等腰，，底角，立柱．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点在的延长线上），立柱，如图2所示，若，则斜梁增加部分的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的定义，由含30度角的直角三角形的性质求出，即可得解． 【详解】解：，， ， ∵， ， 斜梁增加部分的长为． 故选：C 20．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图，在等腰中，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，若，则的度数是__________．    【答案】50 【分析】由等腰三角形的性质可得，垂直平分,由角平分线的定义和垂直平分线的性质可得，由翻折可得垂直平分线段，然后求出即可． 【详解】解：如图，连接，    设， 等腰中，， ， 是的平分线， ，的延长线垂直平分, 又是的中垂线， ， ， 由折叠可知：垂直平分线段， ， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一、中垂线的性质、折叠的性质、三角形内角和，角平分线等知识点；解题的关键是能正确作出辅助线，利用性质正确计算． 21．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）下面是多媒体上展示的一道题目，请你将解题过程补充完整． 如图，在中，，，D为边的中点，于点，，求的长． 解：如图连接， ∵，D为边的中点， 平分，（依据：__________） 又， __________°，__________° 于点E，， ，（直角三角形的两个锐角__________） 在中，，_________， 同理在中，__________，则__________． 【答案】 如图，连接， ∵，D为边的中点， 平分，（依据：三线合一） 又， ，， 于点E， ， ，（直角三角形的两个锐角互余） 在中，， ， 同理在中，，则． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质等知识．根据已知的过程与等腰三角形的性质以及含的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：略． 22．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助“三等分角仪”能三等分任一角，如图，它由两根有槽的棒，组成，两根棒在处相连并可绕转动，端点固定，、可在槽中滑动，．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形以及三角形外角的性质，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，求出的度数，从而求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选C． 23．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）（多选）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BC=12厘米．过点C作直线，动点P从点C开始沿射线CB方向以2厘米/秒的速度运动，动点Q也同时从点C出发在直线上以1厘米/秒的速度向上或向下运动．连接AP、AQ，设运动时间为t秒． （1）请写出CP、CQ的长度（用含t的代数式表示）：CP= 厘米，CQ= 厘米； （2）当点P在边BC上时，若△ABP的面积为24厘米，求t的值； （3）当为多少时，△ABP与△ACQ全等？ 【答案】（1），；（2）t=2；（3）当t值为4或12时，△ABP与△ACQ全等 【分析】（1）由路程=速度×时间，可得CP、CQ的长度； （2）过点A作AD⊥BC于D，由等腰直角三角形的性质可得AD=BD=CD=6cm，由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况讨论，由全等三角形判定可得BP=CQ，即可求解． 【详解】（1）由题意可得：CP=2tcm，CQ=tcm， 故答案为：2t，t； （2）如图，过点A作AD⊥BC于D， ∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=12cm，AD⊥BC， ∴AD=BD=CD=6cm， ∵△ABP的面积为24cm2， ∴， ∴BP=8， ∴12-2t=8， ∴t=2； （3）如图2，当点Q向上运动时， ∵AB=AC，∠ACQ=∠ABP=45°， ∴点P在线段CB上， ∴当BP=CQ时，△ABP≌△ACQ， ∴12-2t=t， ∴t=4； 如图3，当点Q向下运动时， ∵AB=AC，∠ACQ=∠ABP=135°， ∴点P在线段CB的延长线上， ∴当BP=CQ时，△ABP≌△ACQ， ∴2t-12=t， ∴t=12； 综上所述：当t=4或12时，△ABP与△ACQ全等． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 24．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）如图，在中，，，依据尺规作图的痕迹，作直线，交于点F，则的度数为______． 【答案】##10度 【分析】本题考查了等边对等角，作垂线，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合作图痕迹，得出，因为，故，因为，所以，然后把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：观察作图痕迹，得出， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， 则， 故答案为：． 25．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）如图，一棵树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（   ） A．3米 B．6米 C．9米 D．12米 【答案】C 【分析】本题主要考查了含度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度． 【详解】解：如图，根据题意米， ∵，， ∴米， ∴（米）． 故选． 26．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）如图，是等腰直角三角形．，过点A作交于点D，点P在线段的延长线上，连接交于点E，过点D作的垂线交直线于点F，交直线于点G．    (1)求证：； (2)写出线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴ ∴，， 即， ∵过点D作的垂线交直线于点F，交直线于点G． 即， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴； (2) 解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵过点D作的垂线交直线于点F，交直线于点G． ∴ 即， ∴ ∴． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用是等腰直角三角形，，得出，由题意得，因为，故，结合对顶角相等，得，即可证明； （2）由（1）得，故，，因为即，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 27．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图1和图2，在中，，D是直线上的动点，连接，过点A 作，且（始终在的右侧），连接． (1)如图1，当点 D在边上时，求证：； (2)如图2，． ①当的长度最小时，的度数为 ； ②小军通过观察发现，点D 在线段的延长线上时，总有．请你判断小军的发现是否正确，并说明理由； ③当点D 在直线上运动时，连接．若，请直接写出的面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴； (2)①； ②小军的发现正确；理由： ∵， ， ∵， ，即． 在和中， ， ∴， ， ∴，∴， ∴小军的发现正确； ③2或32 【分析】（1）证明，即可解答； （2）①证明为等腰直角三角形，可得，根据题意可得当最小时，最小，当，时，取得最小值，此时点D与点K重合，即可解答；②证明，可得，即可解答；③分两种情况，结合全等三角形的判定和性质，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，过点A作于点K， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当最小时，最小， 当，时，取得最小值，此时点D与点K重合， ∴当的长度最小时，的度数为； 故答案为： ②略 ③如图，当点D在边上时， ∵， ∴， ∵， ， ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点D在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ， ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积的面积为2或8． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键． 28．（25-26八年级上·河北邢台·期中）现有四条线段：，，，它们首尾顺次相接组成如图所示的图形，连接．当是等腰三角形时，的长为（    ） A．3或5 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据是等腰三角形，分三种情况讨论，即、的两种情况，然后根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，从而确定的值即可． 【详解】解：根据题意得，是等腰三角形，，，则分三种情况讨论， ①当时， 根据三角形三边关系，在中，，满足任意两边之和大于第三边，在中，，也满足任意两边之和大于第三边，则能构成三角形，此时； ②当时， 根据三角形三边关系，在中，，不满足任意两边之和大于第三边，则不能构成三角形，因此这种情况舍去； 综上所述，当是等腰三角形时，的长为． 故选：B． 考点02 等边三角形 1．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）根据下列所给的条件，判断△ABC的形状． (1)在中，； (2)已知a，b，c是的三边长，且a，b，c满足． 【答案】(1)直角三角形 (2)等边三角形 【分析】（1）利用三角形内角和得到，然后把代入求出，从而可判断三角形的形状； （2）利用已知条件得到，然后根据等边三角形的定义求解． 本题考查了三角形内角和定理，记住三角形内角和定理，也考查了等边三角形的定义． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：∵， 即，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 2．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）在中，下列结论错误的是（    ） A．如果，那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，，那么是等边三角形 D．如果，那么是等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理及特殊三角形的判定．利用内角和为及比例关系、等腰三角形和等边三角形的判定逐一分析各选项，判断其正确性即可． 【详解】解：A、，则：， ∴， ∴， ∴是直角三角形；结论正确，不符合题意； B、，则：， ∴是直角三角形；结论正确，不符合题意； C、，，则是等边三角形；结论正确，不符合题意； D、，则，故是等腰三角形，无法得到是等边三角形，结论错误，符合题意； 故选D． 3．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，连接，使，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：是等边三角形，是的中点， ，，，， ． 又∵， ． 又， ． 在和中，， ， ， ， ； (2)8 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等基础知识． （1）证明，求得，据此可证明； （2）证明为等边三角形，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，，， ． 为等边三角形， ， 又， 4．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，已知，以为坐标原点，射线ON为轴建立平面直角坐标系，点，，，…在轴上，点，，，…在射线OM上，，，，…均为等边三角形．若，则点的横坐标为（    ） A．8 B．16 C．24 D．48 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形，等边三角形的性质，过点作轴于点C，根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得，然后利用等腰三角形的性质可得的长，即可得点的横坐标，同样的方法分别求出点的横坐标，最后归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点C， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即点的横坐标为， 同理可得：点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 故选：D． 5．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，在中，，是的平分线，，交于点． (1)图中一定是等腰三角形的有______个； (2)若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)3 (2) 证明：， ， 又平分，， ， ． 由三角形的内角等于，得， ， ，， ， 是等边三角形． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用平行线的性质得出内错角相等和同位角相等，利用角平分线的性质得出相等的角，然后根据等腰三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据角平分线的性质求出的度数，然后根据等边对等角以及平行线的性质求出相关角的度数，根据三角内角相等的三角形是等边三角形进行判断即可． 【详解】（1）解：一共有3个，证明如下： ①∵， ∴为等腰三角形； ②∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 故答案为：3； （2）略 6．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，已知，，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)若． ①的度数为______； ②若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴, ∵， ∴为等边三角形； (2)①150度；②2 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）由得，结合可判断为等边三角形； （2）①证明得，运用周角可求出结论； ②证明，可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：①∵为等边三角形， ∴， 又，， ∴ ∴， 又，， ∴ ②， ． 由（1）知，， ， 又， ， ． 7．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，，垂足为点F．      (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1) 解：已知：如图2，； 求证：． 证明：， ， ， ， ． 故答案为：． (2)的周长为48． 【分析】本题考查的是等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可知，再证明，即可得出结论； （2）由可得出，故可得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵为等边三角形，是中线， ∴， ∴的周长． 8．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图，是的平分线．若点，分别在射线，上，且为等边三角形，则满足上述条件的的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的性质、等边三角形的判定．如图，过点P作于G，于H．根据角平分线的性质，可判断是等边三角形．然后再进行分类讨论． 【详解】解：如图，过点P作于G，于H，     ∵平分， ∴，． ∴． ∴此时，是等边三角形． 当G向方向移动，H向方向移动，且． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是等边三角形． ∴当G向方向移动，H向方向移动， ∴是等边三角形． 同理，当G向方向移动，H向方向移动， ∴是等边三角形． 综上：满足条件的有无数个． 故选：D． 9．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图，在等边中，点，分别在边和边上（均不与端点重合），且． (1)判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)求证：是等腰三角形； (3)若是锐角三角形，直接写出度数的取值范围． 【答案】(1) =，理由如下： ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）证明即可； （2）由，得到，等边三角形，得到，则，继而由等角对等边证明即可； （3）找出两个临界位置，当时，可得，则，再由互余求解，当点重合时，如图，此时，即可求解范围． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当时，如图， ∵由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点重合时，如图，此时， ∴是锐角三角形时，． 10．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）在中，，在的外部作等边三角形，E为的中点，连接并延长交于点F，连接．    (1)如图1，若，求的度数； (2)①在图2上，利用尺规作图作的角平分线交于点M； ②在①的条件下，交于点N，连接，若，求证：． 【答案】(1) (2) ①补全图形，如图2所示，    ②证明：连接， ∵平分， 设， ∵， ∴. ∵是等边三角形，E为的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）分别求出， 根据计算即可； （2）①根据要求画出图形即可； ②设，由推出，可得，，证明，推出，，，在中，根据，构建方程求出a，再证明，即可解决问题； 【详解】（1）解：如图    ∵是等边三角形， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. （2）解：①略； ②略． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的定义，垂直平分线的性质，三角形内角和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型. 11．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）下列条件不能判断是等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 根据等边三角形的定义、判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意； B、得到，那么只能得到是等腰三角形，故不能判断为等边三角形，符合题意； C、由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意； D、，则三边相等，故可以判断为等边三角形，不符合题意； 故选：B． 考点03 勾股定理及其应用 1．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为_________________ 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中，， ∴； 故答案为： 2．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）如图，正方形A、B、C的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形A，B的边长分别为3和5，则正方形C的面积为(　　) A．16 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出DE，再根据正方形的面积公式求出即可． 【详解】如图所示： ∵正方形A、B的边长分别为3和5， ∴DF=5，EF=3， ∴DE==4， ∴正方形C的面积为42=16. 故选：A． 【点睛】考查了勾股定理，解题关键是利用直角三角形之间的三边关系求得正方形C的边长为4． 3．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）如图，架在消防车上的云梯AB长为10m，∠ADB=90°,AD=2BD，云梯底部离地面的距离BC为2m，则云梯的顶端离地面的距离AE为(    )    A．(2+2)m B．(4+2)m C．(5+2)m D．7m 【答案】B 【分析】先根据勾股定理列式求出BD，则AD可求，AE也可求. 【详解】解：由勾股定理得：AD2+BD2=AB2，4BD2+BD2=100，BD=2，则AD=2BD=4， AE=AD+DE=4+2 . 故答案为B 【点睛】本题考查了勾股定理，灵活应用勾股定理求线段长是解题的关键. 4．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）小王与小林进行遥控赛车游戏，小王的赛车从点出发，以的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于时，遥控信号会产生相互干扰，，． (1)出发时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)出发几秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰？ 【答案】(1)出发时，遥控信号不会产生相互干扰 (2)出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可得，，再根据勾股定理即可求解． （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，出发时，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴出发时，遥控信号不会产生相互干扰． （2）解：设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰， 根据题意得，， 解得：，（舍去）， ∴出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰． 5．（25-26八年级上·河北保定·期中）运动展风采，筑梦向未来．为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为，宽均为，1，2，3号台的高度分别是，，．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点A处沿表面爬到1号颁奖台的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意将长方体展成平面图，根据两点之间线段最短，由勾股定理即可求得蚂蚁爬行的最短路程． 【详解】解：将长方体部分展成平面图得： 由题意，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查展开图求最短路径的问题，运用勾股定理求两点之间的距离是解题的关键． 6．（25-26八年级上·河北保定·期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股数，根据勾股数的定义判断即可求解，掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不是勾股数，该选项不合题意； 、∵不是正整数， ∴不是勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴不是勾股数，该选项不合题意； 、∵，且是正整数， ∴是勾股数，该选项符合题意； 故选：． 7．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，于B，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于P，则点P表示的数是______ 【答案】## 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，实数与数轴，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据A点表示，可得点P表示的实数． 【详解】解：由数轴可得长为，而长为1， ∴， ∵A点表示， ∴点P表示的实数是：， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·河北保定·期中）到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力．如图所示可以用来验证勾股定理的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【详解】解：图1：延长，交于点F，如图所示： ， ， ∴， 即，故图1符合题意； 图2：补成一个边长为的大正方形，如图所示： 则大正方形的面积为：， 将大正方形看作边长为c的小正方形和四个直角三角形的面积之和，则大正方形的面积为：， ∴， ∴， ∴，故图2符合题意； 图3：，， ∴， 整理得，故图3满足题意； 图4无法证明直角三角三边关系，故图4不符合题意； 综上分析可知：以用来验证勾股定理的有3个． 故选：C． 9．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度． 【答案】钟摆的长度 【分析】本题主要考查了利勾股定理的应用，正确构造直角三角形利用勾股定理列方程是解题的关键． 先说明，设，则，再根据勾股定理可知列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知：，， ∴， 设，则， ∵， ∴，即，解得：． 答：钟摆的长度． 10．（25-26八年级上·河北张家口桥西区·期中）如图，在的网格中，小正方形的边长为1，梯形的顶点都在格点上． (1)若，，请在图中画出合适的直角坐标系，并写出、的坐标； (2)直接写出梯形的面积． 【答案】(1)解：坐标系如图所示 、 (2) 【分析】本题考查了图形与坐标，勾股定理与网格问题，二次根式的混合运算； （1）根据，，建立平面直角坐标系，进而写出、的坐标； （2）根据坐标系上点的坐标，分别求得的长，进而根据梯形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴、； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴梯形的面积为． 11．（25-26八年级上·河北张家口桥西区·期中）数学课上，同学们利用准备好的两个边长为1的小正方形按照图示的方法进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接），得到了一个大的正方形，设大正方形的边长为a，则a是一个（    ） A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解决本题的关键． 求出小正方形的对角线的长即可得到解答． 【详解】解：根据题意得，小正方形的对角线的长为， ∴大正方形的边长为， 故选D． 12．（25-26八年级上·河北张家口高新技术产业开发区·期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接，以点A为圆心，以半径作弧，交x轴于点C，则点C的横坐标为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，数轴上表示无理数， 先求出，再根据勾股定理求出，可得，然后求出，则答案可得. 【详解】解：∵， ∴. ∵， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴C的横坐标为1． 故选：B． 考点04 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．12，13，14 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用，判断时需先确定最大边，再计算两小边的平方和是否与之相等，熟练掌握勾股定理的逆定理的应用是问题求解的关键． 根据勾股定理的逆定理，依次计算，即可得到三条边长分别为5，12，13时，可构成直角三角形． 【详解】解：对于选项A：2，3，4，最大边为4， ∵，，， ∴不能构成直角三角形． 对于选项B：3，4，6，最大边为6， ∵，，， ∴不能构成直角三角形． 对于选项C：5，12，13，最大边为13， ∵，，， ∴能构成直角三角形． 对于选项D：12，13，14，最大边为14， ∵，，， ∴不能构成直角三角形． 故选：C． 2．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）在△ABC中，三边长分别为8、15、17，那么△ABC的面积为__. 【答案】60 【分析】首先根据数量关系利用勾股定理逆定理确定三角形是直角三角形，再求面积即可． 【详解】∵ ∴△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积是：   故答案为60. 【点睛】考查勾股定理的逆定理以及三角形的面积公式，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键. 3．（25-26八年级上·河北保定·期中）在中，对边是，哪个条件不能判断是直角三角形（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故是直角三角形，不符合题意； B、∵， ∴，故是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴，故不是直角三角形，符合题意； D、，故是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形． (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、． (3)如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数． 【答案】(1) 如图，正方形即为所求， (2) 如图，即为所求， (3) 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理、正方形的判定，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键． （1）根据勾股定理得到，根据网格的特点得到,作图即可得到所求正方形； （2）根据网格特点得到,根据勾股定理得到，顺次连接即可得到所求三角形； （3）利用勾股定理及其逆定理证明是等腰直角三角形，，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 【点睛】 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 特殊三角形 4大高频考点概览 考点01 等腰三角形 考点02 等边三角形 考点03 勾股定理及其应用 考点04 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 等腰三角形 1．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，在中，点在边上，连接，是边上的高，延长交于点，且，设． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的度数； (3)判断α与β之间的数量关系，并说明理由．（若点B在线段的垂直平分线上，请直接写出β的度数） 2．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）已知是等腰直角三角形，，点A在x轴的负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1，若点A的坐标是，点B的坐标是，过点C作轴于点H，则线段______，点C的坐标为______； (2)如图2，过点C作轴于点D，请猜想线段之间的等量关系并写出证明过程； (3)如图3，若x轴恰好平分，与x轴交于点E，过点C作轴于点F，请直接写出与之间的等量关系． 4．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，在中，，，是的角平分线，则下列结论不正确的是（   ） A． B．点在线段的垂直平分线上 C． D． 5．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）数学兴趣小组探究“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”这个定理． (1)请你补全这个定理的逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么______． (2)兴趣小组通过添加辅助线证明上述定理，请你帮助完成． 已知：在中，，．求证：． 证明：如图，在边上取一点，使得，连接， ，， ， 是______三角形， ______，且______， ， ， ______， ，即． (3)兴趣小组继续探索：该定理的逆命题也是真命题．下面是证明的过程，请你补充完整． 已知：在中，，．求证：． 证明：如图，延长到点，使得，连接， 6．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，在等边三角形ABC中，BC=2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　） A．1 B． C． D． 7．（25-26八年级上·河北廊坊霸州·期中）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头A航行，下面是关于码头A、灯塔B及渔船的位置信息： 信息一：码头A在灯塔B北偏西方向8海里处； 信息二：8∶00时，渔船航行至灯塔B北偏东方向的处； 信息三：8∶30时，渔船航行至灯塔B北偏东方向的处． (1)请根据以上信息，求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离； (2)8∶30时，渔船在处接到天气预报，大约1小时后在码头A附近海域将有大风天气，若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在大风到来前到达码头A．（参考数据：） 9．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，在三角形钢架中，，，点在边上，是连接点与中点的支架，且，，垂足为．测得，则的长为______ ． 10．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，为维修一块与地面垂直的广告牌，维修工人设置了两架梯子，经测量得到以下数据：，，，，，，三点在同一条直线上，则的长度为______． 11．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）若等腰三角形一个内角的度数为，则它的顶角度数为______． 12．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）下列命题错误的是(    ) A．三角形的角平分线是线段 B．两个全等三角形对应边上的高相等 C．有两个内角分别为与的三角形是等腰三角形 D．若两个三角形全等，则它们一定关于某条直线成轴对称 13．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图，在中，，，点在边上（点与，不重合），作，与边相交于点．若是等腰三角形，则度数为_____． 14．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图，， 平分 ，过 作， 交 于点 ，若点 在 上，且满足 ，则 的度数为（    ） A． B． C． 或 D． 或 15．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图，在等腰三角形中，是的高线，边的垂直平分线分别交于点，连接． (1)若，求的长度； (2)求的度数． 16．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（   ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．勾股定理的逆定理 D．等腰三角形的“三线合一” 17．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是______． 18．（25-26八年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，在中，为边上一点，给出如下关系：①平分；②于点；③为的中点．甲：如果①②同时成立，可证明③成立；乙：如果②③同时成立，可证明①成立；丙：如果①③同时成立，可证明②成立．正确的说法是（    ） A．乙正确，甲、丙错误 B．甲正确，乙、丙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．甲、乙、丙都正确 19．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图1，某温室屋顶结构外框为等腰，，底角，立柱．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点在的延长线上），立柱，如图2所示，若，则斜梁增加部分的长为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图，在等腰中，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，若，则的度数是__________．    21．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）下面是多媒体上展示的一道题目，请你将解题过程补充完整． 如图，在中，，，D为边的中点，于点，，求的长． 解：如图连接， ∵，D为边的中点， 平分，（依据：__________） 又， __________°，__________° 于点E，， ，（直角三角形的两个锐角__________） 在中，，_________， 同理在中，__________，则__________． 22．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助“三等分角仪”能三等分任一角，如图，它由两根有槽的棒，组成，两根棒在处相连并可绕转动，端点固定，、可在槽中滑动，．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·河北唐山丰润区·期中）（多选）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BC=12厘米．过点C作直线，动点P从点C开始沿射线CB方向以2厘米/秒的速度运动，动点Q也同时从点C出发在直线上以1厘米/秒的速度向上或向下运动．连接AP、AQ，设运动时间为t秒． （1）请写出CP、CQ的长度（用含t的代数式表示）：CP= 厘米，CQ= 厘米； （2）当点P在边BC上时，若△ABP的面积为24厘米，求t的值； （3）当为多少时，△ABP与△ACQ全等？ 24．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）如图，在中，，，依据尺规作图的痕迹，作直线，交于点F，则的度数为______． 25．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）如图，一棵树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（   ） A．3米 B．6米 C．9米 D．12米 26．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）如图，是等腰直角三角形．，过点A作交于点D，点P在线段的延长线上，连接交于点E，过点D作的垂线交直线于点F，交直线于点G．    (1)求证：； (2)写出线段与的数量关系，并说明理由． 27．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图1和图2，在中，，D是直线上的动点，连接，过点A 作，且（始终在的右侧），连接． (1)如图1，当点 D在边上时，求证：； (2)如图2，． ①当的长度最小时，的度数为 ； ②小军通过观察发现，点D 在线段的延长线上时，总有．请你判断小军的发现是否正确，并说明理由； ③当点D 在直线上运动时，连接．若，请直接写出的面积． 28．（25-26八年级上·河北邢台·期中）现有四条线段：，，，它们首尾顺次相接组成如图所示的图形，连接．当是等腰三角形时，的长为（    ） A．3或5 B．3 C．4 D．5 考点02 等边三角形 1．（25-26八年级上·河北廊坊广阳区·期中）根据下列所给的条件，判断△ABC的形状． (1)在中，； (2)已知a，b，c是的三边长，且a，b，c满足． 2．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）在中，下列结论错误的是（    ） A．如果，那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，，那么是等边三角形 D．如果，那么是等边三角形 3．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，连接，使，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 4．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，已知，以为坐标原点，射线ON为轴建立平面直角坐标系，点，，，…在轴上，点，，，…在射线OM上，，，，…均为等边三角形．若，则点的横坐标为（    ） A．8 B．16 C．24 D．48 5．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，在中，，是的平分线，，交于点． (1)图中一定是等腰三角形的有______个； (2)若，求证：是等边三角形． 6．（25-26八年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，已知，，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)若． ①的度数为______； ②若，，求的长． 7．（25-26八年级上·河北保定定州·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，，垂足为点F．      (1)求证：； (2)若，求的周长． 8．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图，是的平分线．若点，分别在射线，上，且为等边三角形，则满足上述条件的的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 9．（25-26八年级上·河北石家庄藁城区·期中）如图，在等边中，点，分别在边和边上（均不与端点重合），且． (1)判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)求证：是等腰三角形； (3)若是锐角三角形，直接写出度数的取值范围． 10．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）在中，，在的外部作等边三角形，E为的中点，连接并延长交于点F，连接．    (1)如图1，若，求的度数； (2)①在图2上，利用尺规作图作的角平分线交于点M； ②在①的条件下，交于点N，连接，若，求证：． 11．（25-26八年级上·河北邢台任泽区·期中）下列条件不能判断是等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 考点03 勾股定理及其应用 1．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为_________________ 2．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）如图，正方形A、B、C的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形A，B的边长分别为3和5，则正方形C的面积为(　　) A．16 B．12 C．15 D．18 3．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）如图，架在消防车上的云梯AB长为10m，∠ADB=90°,AD=2BD，云梯底部离地面的距离BC为2m，则云梯的顶端离地面的距离AE为(    )    A．(2+2)m B．(4+2)m C．(5+2)m D．7m 4．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）小王与小林进行遥控赛车游戏，小王的赛车从点出发，以的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于时，遥控信号会产生相互干扰，，． (1)出发时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)出发几秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰？ 5．（25-26八年级上·河北保定·期中）运动展风采，筑梦向未来．为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为，宽均为，1，2，3号台的高度分别是，，．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点A处沿表面爬到1号颁奖台的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·河北保定·期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，于B，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于P，则点P表示的数是______ 8．（25-26八年级上·河北保定·期中）到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力．如图所示可以用来验证勾股定理的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度． 10．（25-26八年级上·河北张家口桥西区·期中）如图，在的网格中，小正方形的边长为1，梯形的顶点都在格点上． (1)若，，请在图中画出合适的直角坐标系，并写出、的坐标； (2)直接写出梯形的面积． 11．（25-26八年级上·河北张家口桥西区·期中）数学课上，同学们利用准备好的两个边长为1的小正方形按照图示的方法进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接），得到了一个大的正方形，设大正方形的边长为a，则a是一个（    ） A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数 12．（25-26八年级上·河北张家口高新技术产业开发区·期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接，以点A为圆心，以半径作弧，交x轴于点C，则点C的横坐标为（   ） A．3 B． C． D． 考点04 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．12，13，14 2．（25-26八年级上·河北邯郸肥乡区·期中）在△ABC中，三边长分别为8、15、17，那么△ABC的面积为__. 3．（25-26八年级上·河北保定·期中）在中，对边是，哪个条件不能判断是直角三角形（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形． (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、． (3)如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 特殊三角形 考点01 等腰三角形 考点02 等边三角形 考点03 勾股定理及其应用 考点04 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 等腰三角形 1．【答案】(1)解：为等腰三角形． 理由如下： ， ， 为等腰三角形； (2) (3)解：． 理由如下：， ， ， ， 即； 当点在线段的垂直平分线上，则， ， 在中，， ， ， ， ， 即点在线段的垂直平分线上，此时的度数为． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，从而可判断为等腰三角形； （2）先利用互余得到，所以，再求出，，然后根据求出即可求解； （3）先由得到，再根据三角形内角和定理得到；当点在线段的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质得到，所以，利用三角形内角和定理得到，则可得到，然后利用与得关系可计算出此时的度数． 【详解】（1）略； （2）解：是边上的高， ， ， ， ． ∵， ∴． ， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）略． 2．D 3．【答案】(1)；； (2) 或，理由如下： 当点在轴下方时，如图， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 当点在轴上方时，如图， 同（1）原理可得， ，， ， ； 综上，或； (3) 【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，解本题的关键是构造全等三角形． （1）先求出，，再判断出，，进而得出，即可得出结论； （2）同（1）的方法，进行分类讨论，即可得出结论； （3）先判断出，再判断出，进而判断出，得出，最后判断出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 故答案为：；； （2）略 （3）解：如图，延长，相交于点， ， 轴， ， ， ， 在和中， ， ， ， 轴平分，轴， ， ， ， ， ． 4．D 5．【答案】(1)这条直角边所对的角是 (2)等边，，， (3) 证明：如图，延长到点，使得，连接， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【分析】（）根据互逆命题的定义解答即可求解； （）先证明是等边三角形，得到，，即得，即得到，进而得到，即可求证； （）证明是等边三角形，得到，进而即可求证； 本题考查了互逆命题，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：这个定理的逆命题是：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是， 故答案为：这条直角边所对的角是； （2）证明：如图，在边上取一点，使得，连接， ，， ， 是等边三角形， ，且， ， ， ， ，即， 故答案为：等边，，，； （3）略 6．C 7．A 8．【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为海里 (2)渔船不能在大风到来前到达码头A， （海里），（海里／小时） 渔船到达码头A的时间大约为小时， ∵， 渔船不能在大风到来前到达码头A． 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，实数的运算，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，解得到海里，可求出的长，，，则可求出的长，进而求出的长，证明是等腰直角三角形即可得到答案； （2）求出的长，计算出到达码头A的时间即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，垂足为， ． 在中，，海里， 海里，， 依题意，海里，，， ∴， ∴， 在中，（海里）， ∴海里， ∵， ∴是等腰直角三角形， 海里， 渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为海里． （2）略 9．【答案】2 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，根据等腰三角形的性质得出，再由各角之间的关系确定，利用含30度角的直角三角形的性质得出，，再由垂直平分线的性质确定，继续利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 又， ， 在中，， 在中，， 根据题意得：垂直平分， ∴， ， ， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 10．【答案】2 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质及等腰直角三角形，熟练掌握含30度直角三角形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 根据含30度直角三角形的性质及等腰直角三角形的性质可进进行求解． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 11．【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理．需要分两种情况讨论：当为顶角时，顶角为；当为底角时，顶角通过三角形内角和计算得出即可． 【详解】解：当为等腰三角形的顶角时，顶角度数为； 当为等腰三角形的底角时，两个底角均为， 则顶角度数为． 故答案为：或． 12．D 13．【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，分情况讨论：①；②；③以的等腰三角形不存在；由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 则， ①如图，，即是等腰三角形， ∵， ∴， ∴； ②如图，，即是等腰三角形， ∴， ∴； ③∵D不与B、C重合，， ∴以的等腰三角形不存在； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 14．C 15．【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据三线合一得到垂直平分，则，再由是边的垂直平分线得到，即可得到； （2）根据三线合一得到，而，再由等边对等角即可求解． 【详解】（1）解：∵，是的高线， ∴， ∴垂直平分， ∴ ∵是边的垂直平分线 ∴， ∴； （2）解：∵是的高线， ∴ ∵， ∴． 16．D 17．【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的顶角，根据等腰三角形的定义分为顶角和底角两种情况计算即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：当的角为顶角时，顶角的度数为； 当的角为底角时，顶角的度数为； ∴顶角的度数是或， 故答案为：或． 18．D 19．C 20．【答案】50 【分析】由等腰三角形的性质可得，垂直平分,由角平分线的定义和垂直平分线的性质可得，由翻折可得垂直平分线段，然后求出即可． 【详解】解：如图，连接，    设， 等腰中，， ， 是的平分线， ，的延长线垂直平分, 又是的中垂线， ， ， 由折叠可知：垂直平分线段， ， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一、中垂线的性质、折叠的性质、三角形内角和，角平分线等知识点；解题的关键是能正确作出辅助线，利用性质正确计算． 21．【答案】 如图，连接， ∵，D为边的中点， 平分，（依据：三线合一） 又， ，， 于点E， ， ，（直角三角形的两个锐角互余） 在中，， ， 同理在中，，则． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质等知识．根据已知的过程与等腰三角形的性质以及含的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：略． 22．C 23．【答案】（1），；（2）t=2；（3）当t值为4或12时，△ABP与△ACQ全等 【分析】（1）由路程=速度×时间，可得CP、CQ的长度； （2）过点A作AD⊥BC于D，由等腰直角三角形的性质可得AD=BD=CD=6cm，由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况讨论，由全等三角形判定可得BP=CQ，即可求解． 【详解】（1）由题意可得：CP=2tcm，CQ=tcm， 故答案为：2t，t； （2）如图，过点A作AD⊥BC于D， ∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=12cm，AD⊥BC， ∴AD=BD=CD=6cm， ∵△ABP的面积为24cm2， ∴， ∴BP=8， ∴12-2t=8， ∴t=2； （3）如图2，当点Q向上运动时， ∵AB=AC，∠ACQ=∠ABP=45°， ∴点P在线段CB上， ∴当BP=CQ时，△ABP≌△ACQ， ∴12-2t=t， ∴t=4； 如图3，当点Q向下运动时， ∵AB=AC，∠ACQ=∠ABP=135°， ∴点P在线段CB的延长线上， ∴当BP=CQ时，△ABP≌△ACQ， ∴2t-12=t， ∴t=12； 综上所述：当t=4或12时，△ABP与△ACQ全等． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 24．【答案】# 度 【分析】本题考查了等边对等角，作垂线，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合作图痕迹，得出，因为，故，因为，所以，然后把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：观察作图痕迹，得出， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， 则， 故答案为：． 25．C 26．【答案】(1) 证明：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴ ∴，， 即， ∵过点D作的垂线交直线于点F，交直线于点G． 即， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴； (2) 解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵过点D作的垂线交直线于点F，交直线于点G． ∴ 即， ∴ ∴． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用是等腰直角三角形，，得出，由题意得，因为，故，结合对顶角相等，得，即可证明； （2）由（1）得，故，，因为即，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 27．【答案】(1) 证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴； (2)①； ②小军的发现正确；理由： ∵， ， ∵， ，即． 在和中， ， ∴， ， ∴，∴， ∴小军的发现正确； ③2或32 【分析】（1）证明，即可解答； （2）①证明为等腰直角三角形，可得，根据题意可得当最小时，最小，当，时，取得最小值，此时点D与点K重合，即可解答；②证明，可得，即可解答；③分两种情况，结合全等三角形的判定和性质，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，过点A作于点K， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当最小时，最小， 当，时，取得最小值，此时点D与点K重合， ∴当的长度最小时，的度数为； 故答案为： ②略 ③如图，当点D在边上时， ∵， ∴， ∵， ， ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点D在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ， ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积的面积为2或8． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键． 28．B 考点02 等边三角形 1．【答案】(1)直角三角形 (2)等边三角形 【分析】（1）利用三角形内角和得到，然后把代入求出，从而可判断三角形的形状； （2）利用已知条件得到，然后根据等边三角形的定义求解． 本题考查了三角形内角和定理，记住三角形内角和定理，也考查了等边三角形的定义． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：∵， 即，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 2．D 3．【答案】(1) 证明：是等边三角形，是的中点， ，，，， ． 又∵， ． 又， ． 在和中，， ， ， ， ； (2)8 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等基础知识． （1）证明，求得，据此可证明； （2）证明为等边三角形，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，，， ． 为等边三角形， ， 又， 4．D 5．【答案】(1)3 (2) 证明：， ， 又平分，， ， ． 由三角形的内角等于，得， ， ，， ， 是等边三角形． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用平行线的性质得出内错角相等和同位角相等，利用角平分线的性质得出相等的角，然后根据等腰三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据角平分线的性质求出的度数，然后根据等边对等角以及平行线的性质求出相关角的度数，根据三角内角相等的三角形是等边三角形进行判断即可． 【详解】（1）解：一共有3个，证明如下： ①∵， ∴为等腰三角形； ②∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 故答案为：3； （2）略 6．【答案】(1) 证明：∵， ∴, ∵， ∴为等边三角形； (2)①150度；②2 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）由得，结合可判断为等边三角形； （2）①证明得，运用周角可求出结论； ②证明，可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：①∵为等边三角形， ∴， 又，， ∴ ∴， 又，， ∴ ②， ． 由（1）知，， ， 又， ， ． 7．【答案】(1) 解：已知：如图2，； 求证：． 证明：， ， ， ， ． 故答案为：． (2)的周长为48． 【分析】本题考查的是等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可知，再证明，即可得出结论； （2）由可得出，故可得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵为等边三角形，是中线， ∴， ∴的周长． 8．D 9．【答案】(1) =，理由如下： ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）证明即可； （2）由，得到，等边三角形，得到，则，继而由等角对等边证明即可； （3）找出两个临界位置，当时，可得，则，再由互余求解，当点重合时，如图，此时，即可求解范围． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当时，如图， ∵由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点重合时，如图，此时， ∴是锐角三角形时，． 10．【答案】(1) (2) ①补全图形，如图2所示，    ②证明：连接， ∵平分， 设， ∵， ∴. ∵是等边三角形，E为的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）分别求出， 根据计算即可； （2）①根据要求画出图形即可； ②设，由推出，可得，，证明，推出，，，在中，根据，构建方程求出a，再证明，即可解决问题； 【详解】（1）解：如图    ∵是等边三角形， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. （2）解：①略； ②略． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的定义，垂直平分线的性质，三角形内角和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型. 11．B 考点03 勾股定理及其应用 1．【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中，， ∴； 故答案为： 2．A 3．B 4．【答案】(1)出发时，遥控信号不会产生相互干扰 (2)出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可得，，再根据勾股定理即可求解． （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，出发时，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴出发时，遥控信号不会产生相互干扰． （2）解：设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰， 根据题意得，， 解得：，（舍去）， ∴出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰． 5．C 6．D 7．【答案】## 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，实数与数轴，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据A点表示，可得点P表示的实数． 【详解】解：由数轴可得长为，而长为1， ∴， ∵A点表示， ∴点P表示的实数是：， 故答案为：． 8．C 9．【答案】钟摆的长度 【分析】本题主要考查了利勾股定理的应用，正确构造直角三角形利用勾股定理列方程是解题的关键． 先说明，设，则，再根据勾股定理可知列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知：，， ∴， 设，则， ∵， ∴，即，解得：． 答：钟摆的长度． 10．【答案】(1)解：坐标系如图所示 、 (2) 【分析】本题考查了图形与坐标，勾股定理与网格问题，二次根式的混合运算； （1）根据，，建立平面直角坐标系，进而写出、的坐标； （2）根据坐标系上点的坐标，分别求得的长，进而根据梯形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴、； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴梯形的面积为． 11．D 12．B 考点04 勾股定理的逆定理及其应用 1．C 2．【答案】60 【分析】首先根据数量关系利用勾股定理逆定理确定三角形是直角三角形，再求面积即可． 【详解】∵ ∴△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积是：   故答案为60. 【点睛】考查勾股定理的逆定理以及三角形的面积公式，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键. 3．C 4．【答案】(1) 如图，正方形即为所求， (2) 如图，即为所求， (3) 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理、正方形的判定，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键． （1）根据勾股定理得到，根据网格的特点得到,作图即可得到所求正方形； （2）根据网格特点得到,根据勾股定理得到，顺次连接即可得到所求三角形； （3）利用勾股定理及其逆定理证明是等腰直角三角形，，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 【点睛】 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $