专题06 相似三角形中K字型与十字架模型（专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 以K字型（三垂直、一线三等角）和十字架模型为核心，通过模型解读-典例精析-综合应用构建系统化训练，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三垂直模型|3道综合题|∠B=∠D=∠ACE=90°得△ABC∽△CDE，中点时三三角形相似|从直角特殊情况切入，构建K字型基础模型| |一线三等角模型|3道综合题|∠B=∠ACE=∠D得△ABC∽△CDE，中点时三三角形相似|一般化K字型，拓展非直角情境下的相似判定| |十字架模型|3道综合题|矩形中垂直线段比=矩形两边比，平移构造相似|结合矩形性质，深化模型在特殊图形中的应用|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06相似三角形中K字型与十字架模型 内容概览 目常考题型精准突破 题型1三垂直模型（重） 题型2一线三等角模型（高频） 题型3十字架模型（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1三垂直模型 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角 相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而 得到两个三角形相似， “三垂直”模型：如图1，∠B=∠D=∠ACE=90°，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE,若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. B D 图1 1. (2026内蒙古锡林郭勒模拟预测)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AE⊥DE,点 E为BC的中点. D B (I)求证：△ABEAECD: (2)求证：AE2=AB·AD: (3)若AB=1,CD=4,求线段AD. 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2025:广东深圳模拟预测)(1)如图1，在△ABC中，∠A=90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90 得到线段BD,作DE L AB交AB的延长线于点E,求证：AB=DE; (2)如图2，连接CD并延长交AB的延长线于点F,若AB=2,AC=6,求BF的长. C D B A B 图1 图2 3.(25-26九年级下江西宜春·阶段练习)如图，在矩形ABCD中，E为边DC上的一点，把△ADE沿AE 翻折，使点D恰好落在边BC上的点F处，且AD=6. A D B F C (I)求证：△ABF∽△FCE (2)若F为BC的中点，求AE的长. ◆题型2一线三等角模型 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角 相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而 得到两个三角形相似， “一线三等角”模型：如图2，∠B=∠ACE=∠D,则△ABC∽△CDE 特别地，连接AE,若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. C 图2 4.(25-26八年级下吉林长春期末)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠A=∠D,E是AD的中点， CD=,DE.求证：△ABEn△DEC 2 2/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26九年级上四川巴中期中)如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且 ∠ADB+∠EDC=120° B D (I)求证：△ABDADCE: (2)若BD=4,CE=3,求AB的长度， 6.(2025·吉林延边模拟预测)【尝试探究】在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE,过点E作 EF⊥DE交BC于点F. C(F) D E 图① ·图② 图③ (I)如图①，若点F与点C重合，AD=AE,求证：△AED≌△BFE. (2)如图②，若AB=12,AD=7,E为AB的中点，求BF的长 【拓展应用】如图③，在△ABC中，∠ACB=90,AC=BC,AB=4.E为AB边上一点（点E不与点A,B重 合)，连接CE,过点E作∠CEF=45°交BC于点F.当△CEF为等腰三角形时，BE的长为 ◆题型3十字架模型 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩 形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关 系。 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE BC 如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC,则ACAB D D E B EF BC 如图2，在矩形ABCD中，若B、F分别是AB、CD上的点，且EFLAC,则ACAB D E B G B EF BC 如图3，在矩形ABCD中，若尽、R、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且ETLN,则MmAB】 D D H A E A 7.(26-27九年级上全国期末)综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进 行探究，下面是他们的探究过程， H B B F D B 图1 图2 图3 (1)【数学思考】 如图1，在矩形ABCD中，AD=5,AB=3,E,F分别是AB,AD上的两点，连接DE,CF, DE DE⊥CF于点G,则CF 4/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)【深入探究】 如图2，在矩形ABCD中，EF⊥GH,EF分别交AD,BC于点E,F,HG分别交AB,CD于点H, HG BC G·求证：EF=AB: (3)【拓展延伸】 如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=9O°，点D在边BC上，连接AD,过点C作CE⊥AD于点E,且CE的 延长线交AB于点F.若AC=BF=6,BC=8,请求出CD的长. 8.(2026:贵州黔西南·模拟预测)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做 了如下探究： 【观察与猜想】 A F 图1 图2 图3 DE ()如图L,在正方形ABCD中，点B,P分别是AB'AD上的两点，连接DE'CF,DE⊥CF,则CF 的值为 (②)如图2，在矩形ABCD中，AD=7,CD=4,点E是AD上的一点，连接CE,BD,且CE⊥BD,则 CE BD的值为 【类比探究】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB上一点，连接DE,过点C作DE的垂线交ED 的延长线于点G,交AD的延长线于点F,求证：DE·AB=CF·AD 9.(25-26八年级下山东烟台·期末)【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究， 图1 图2 图3 图4 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF (四如图L,在正方形ABCD中，AF⊥DE:AF交DE于点G,则DE 一（填比值）： 【探究证明】 (2)如图2，在矩形ABCD中，EF⊥GH,EF分别交AD、BC于点E、F,GH分别交AB、DC于点G、 EF AB H,求证：GHAD 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作AM∥EF交BC于点M,过点B作BN∥HG交CD于点N 乙方案：过点E作EM⊥BC交BC于点M,过点G作GN⊥CD交CD于点N 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明. 【结论应用】 3)如图3，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合.若AB=3,BC=4,求折痕EF的长： 【拓展运用】 (④如图4，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10,BC=CD=5,点E、F分别在线段AB、BC DE 上，且AF⊥DE'求AF的值. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.(25-26八年级下山东淄博期末)如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上， EF⊥EC,则aCEF的面积为() B A.5 B.6 C.8 D.10 2.(25-26九年级下山东淄博期中)如图，将等边三角形ABC折叠，使得点C落在边AB上的D处，折 CE 痕为EF,点E,F分别在AC和BC上.若AC=6,AD=2,则CF为() 6/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A.5 D. 3.(25-26八年级下江苏苏州期末)如图，在矩形ABCD中，过点A作AE⊥BD,垂足为F,交BC于 点E,CE=3BE,下列结论： ①△BEF∽△DBA:②3BF=DF: ③EFCD=I2V5:④S四边形CDFE SAABF=92, 其中正确的结论有（) A D h B E C A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题 4.(25-26九年级下·陕西西安期中)四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD<BC,点E在边AB上， CE=2DE=8,DE⊥CE.当AD+BC最大时，四边形ABCD面积为. D 5.(25-26九年级下·山西朔州期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90,AB=BC=4,AE是BC边上的中 线，过点B作AE的垂线BD,垂足为H,交AC于点D,则AD的长为 D H 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(追梦中考模拟演练卷（二）)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,点E,F分别在边 AC,BC上，连接EF,把△CEF沿着EF折叠，点C的对应点D落在AB边上.若△BDF是以BF为腰的 等腰三角形，则CF= D 三、解答题 7.(2026四川南充三模)【初步感知】如图①，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE,过 点E作EF⊥DE交BC于点F.易证：△AED∽△BFE,(不需要证明) 【尝试探究】如图②，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE交BC于点F. 图① 图② 图③ (I)求证：△AED∽△BFE: (2)若AB=10,AD=6,E为AB的中点，求BF的长 【拓展应用】 (3)如图③，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AB=12.E为AB边上一点（点E不与点A、B重 合)，连接CE,过点E作∠CEF=45°交BC于点F.当aCEF为等腰三角形时，请直接写出BE的长. 8.(25-26八年级下·山东烟台期末)探究不同情境，回答下面问题： 图1 图2 图3 (1I)【观察与猜想】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，连接DE与CF交于点O, 若∠EOC=90°，则DE和CF的数量关系是_； (2)【观察与猜想】如图2，在矩形ABCD中，AD:CD=3:2,点E、F分别在边AB、AD上，连接DE 与CF交于点O,若∠EOC=90°，请猜想DE和CF的数量关系并进行证明： 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)【类比探究】如图3，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，连接DE与CF交于点 DE AD O:当∠EOC=∠A时，求证：CF=AB 小颖同学通过对比图2，发现图3中△ADE和△DCF并不相似，经过思考，提出了如下问题：能否构造以 DE DE和CF为对应边的相似三角形来转化CF呢？请你根据小颖的思考完成证明，也可以用其他思路完成证 明. 9.(2026四川巴中中考真题)四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，∠AEF=90° D B E 图1 图2 图3 (1)【教材重现提出问题】 如图1，AB=BC,G、E分别是AB、BC的中点，EF交矩形外角的平分线于点F,求证： △AGE≌△ECF: (2)【模型建构应用意识】 如图2，AB=BC=4,EF交矩形外角的平分线于点F,延长CF交AD的延长线于点H,求V2BE+HF 的值： (3)【拓展推广·实践能力】 CF 如图3，AB=mBC·AE=mEF（m为常数)，求BE的值（用含m的代数式表示）， 10.(2026:新疆喀什·一模)根据所学知识，解答以下问题 F D D G 图① 图② 图③ (I)如图①，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，F是边AD上一点，连接DE,CF,若DE⊥CF,判 断DE与CF的数量关系，并说明理由； 9/10 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图②，在(1)的条件下，若四边形ABCD为矩形，且AB=a,AD=b,则(1)中的结论是否依然 成立？若成立，试说明理由；若不成立，探究DE与CF的数量关系： (3)如图③，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E是边AB的中点，F,G分别是边AD,BC上的动点， 且DE⊥FG,连接EF,DG,求EF+DG的最小值. 10/10函学科网·上好课 www.zxxk.com 专题06相似三角形中K字型与 内容概览 目常考题型精准突破 题型1三垂直模型（重） 题型2一线三等角模型（高频） 题型3十字架模型（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1三垂直模型 1. 【答案】(I)证明：，AE⊥DE, .∠AED=90°， ∴.∠AEB+∠CED=180°-90°=90°， .∠ABC=90°， .∠BAE+∠AEB=90°， .∠BAE=∠CED 又，∠ABC=∠BCD, .△ABEP△ECD； (2)证明：△ABEn△ECD, AB AE ∴ECED' ,点E为BC的中点， .BE=EC. .AB BE ·AEED' 又，∠ABC=∠AED=90°， .△ABEAAED, 1/22 上好每一堂课 十字架模型 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB AE AEAD' .AE2=AB·AD: 3)5 【详解】(1)略： (2)略： (3)解：由(1)可得△ABE∽△ECD, AB BE ∴.ECCD ,点E为BC的中点， BE=EC」 AB=1,CD=4, 1 BE BE4’ BE=EC=2(负值不符合题意，舍去)， ..AE=AB2+BE2=5,DE=EC2+CD2=25, .AD=√AE2+DE2=5. 2. 【答案】(1)见解析(2)10 【详解】(1)证明：，线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD, .∠CBD=90°，BC=BD」 C C D D h b E A B E ∴.∠BCA=∠DBE=90°-∠ABC, ∠A=∠E=90° 在△ABC和△EDB中， 「∠A=∠E=90° ∠BCA=∠DBE, BC=BD 2122 函学科网·上好课 WWW.zx .△ABC≌△EDB(AAS), .AB=DE: (2)解：由(1)可知：△ABC≌aEDB(AAS), .BE=AC,DE=AB, AB=2,AC=6, DE=2,BE=6, .AE=AB+BE=8, ∠DEB+∠A=180°， .DE∥AC .△DEF∽△CAF, DE EF AC AF' 2 EF 即6EF+8: ∴.EF=4, .'BF=BE+EF=10 3 【答案】(1)见解析 (2)AE=4V5 【详解】(I)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.∠B=∠C=∠D=90°， ·把△ADE沿AE翻折，点D落在边BC上的点F处， ∴.∠AFE=∠D=90°. :∠BAF+∠AFB=90°，∠CFE+∠AFB=90°， ∴.∠BAF=∠CFE, .△ABF∽AFCE (2)解：F为BC的中点，BC=AD=6, .BF-FC-BC-3, AF AD=6. .AB=VAF2-BF2=V62-32=3V5, .'△ABF∽△FCE. xk.com 22 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com .4F-4B_35-5, FE FC 3 ..AF=3FE=6. .FE=2W3」 六在Rta4EF中，AE=VAF2+FE2=V6+(25}=45, 即AE=4V3. ◆题型2一线三等角棋型 4. 【答案】见解析 【详解】证明：，E是AD的中点， 6D, AB=AD, AE-1AB 2 CD-IDE. 2 CD AE 1 ·DEAB2, .∠A=∠D, ∴△ABE∽△DEC 5. 【答案】(I)证明：，△ABC为等边三角形， .∠B=∠C=60°」 .∠BAD+∠ADB=180-∠B=120°， :∠ADB+∠EDC=120°， .∠BAD=∠EDC ∴.△ABDADCE: (2)16 【详解】(1)略： 4122 上好每一堂课 学科网·上好课 www.zxxk.com (2)解：△ABC为等边三角形， .AB=BC 由(I)可得△ABD∽aDCE, BD AB CE CD' AB=BC=BD+CD=4+CD. 44+CD 3=cD .CD=12, ∴.AB=BC=4+CD=16 6. 【答案】(1)证明见解析：(2)BF=36 :(3)22或2 【详解】解：【尝试探究】(I),四边形ABCD是矩形，EF .∠A=∠DEF=∠B=90°，AD=BC=BF, AD=AE, .AE=BF: ·∠ADE+∠AED=∠BEF+∠AED=90° ∴.∠ADE=∠BEF, ∴.△AED≌aBFE(AAS): (2),四边形ABCD是矩形，EF⊥DE ∴∠A=∠DEF=∠B=90°， :∠ADE+∠AED=∠BEF+∠AED=90°， ∴.∠ADE=∠BEF, .△AED∽ABFE, AD AE ·BEBF, .AB=12,E为AB的中点， AE-BE-AB=6 76 ·6BF' 5/22 上好每一堂课 ⊥DE 函学科网·上好课 www.zxxk.com :BF=36 7: 【拓展应用】∠ACB=90°，AC=BC,AB=4, ∴.∠CAB=∠CBA=45°，AB=VAC2+BC2=V2AC=V2BC=4, .AC=BC=22, .∠CEF=45°， .∠ACE+∠CEA=∠BEF+∠CEA=180°-∠CEF=135°， .∠ACE=∠BEF, .△ACE∽△BEF, AC CE BE EF ,△CEF为等腰三角形且∠ECF≠90°， ∴.∠CFE≠180°-90°-45°=45°， .CE≠CF, 当C=Br则能=1， .BE=AC=22: 当FC=FE,则∠ECF=∠CEF=45°， .∠CFE=90°， ∴.CE=VEF2+CF2=V2EF, ,4C_CE=2, :BE EF ..BE=AC 2 综上所述，BE的长为2W2或2. ◆题型3十字架模型 1. 5 【答案】()3 (2)证明：过点E作EP⊥BC于点P,过点H作H№⊥CD于点O,且交EF 6122 上好每一堂课 于点0. 学科网·上好课 wwW.2 E D G B F P ,四边形ABCD是矩形， AD⊥CD,AD∥BC, ∴.AD∥HQ∥BC,HQ=AD 同理，EP∥CD,EP=CD .∠HOF=∠EFP, .EF⊥GH」 .∠QHG+∠HOF=90°、 .∠OFP+∠FEP=90°， ∴.∠QHG=∠FEP '∠HQG=∠EPF=90° △HQG∽△EPF, .GH_Ho BC FE EP AB· 7 3)4 【详解】(1)解：四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠FDC=90°， ,DE⊥CF于点G, .∠CGD=90°. :∠ADE=90°-∠CDG,∠DCF=90°-∠CDG, .∠ADE=∠DCF, .△ADEn△DCF, DE AD CF DC' ,在矩形ABCD中，AD=5,AB=CD=3, DE 5 CF3 (2)略 xxk.com /22 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com (3)解：过点A作AG∥CB,延长CF交AG于点G. 图2 在Rt△ABC中，∠ACB=90,AC=6,BC=8, .AB=AC2+BC2 =10, :BF=6, .AF AB-BF =4, AG∥CB, ∴.△AFG∽△BFC,∠GAC=180°-∠ACB=90°， AG AF 4 2 BC BF 63 46-9 CE⊥AD .∠AEC=90°， ∴.∠CAD+∠ACE=90° 又∠CAD+∠ADC=90°， .∠ACE=∠ADC, .△ACG∽△CDA, AC_AG CDCA· :CD=4C2_3627 AG16= 4. 3 8. 【答案】(1)1 4 (②)7 (3)证明：过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H, 8122 上好每一堂课 学科网·上好课 ,CG⊥EG. .∠G=∠H=∠A=∠B=90°， ∴四边形ABCH为矩形 .AB=CH,∠FCH+∠CFH=∠DFG+ .∠CFH=∠DFG .∠FCH=∠FDG=∠ADE, .△DEA∽△CFH, DE AD ·CFCH' DE AD ·CFAB 即DE·AB=CF,AD 【详解】(1)解：：正方形ABCD, .∠A=∠ADC=90°.AD=CD. .∠AED+∠ADE=90°， ,DE⊥CF .∠DFC+∠ADE=90°】 .∠AED=∠DFC, .△AED≌△DFC(AAS), .DE=CF, DE CF =1 (2)解：设DB与CE交于点G, ,四边形ABCD是矩形， www zxxk.com ∠FDG=90°， 9/22 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠A=∠EDC=90°，即∠ADB+∠CDG=90°， CE⊥BD, .LDGC=90°， .∠CDG+∠ECD=90°， .∠ECD=∠ADB .△DEC∽△ABD. CE DC 4 ∴BDAD7 (3)略； 9. 【答案】(1)1 (2)证明：甲方案：如图2，过点A作AM∥EF交BC于点M,过点B作BN∥HG交CD于点N: A E D H N 四边形 是矩形， G M F 图2 ABCD .AD∥BC,AB∥CD,∠ABC=∠BCD=9O°，AD=BC, ∴.四边形AEFM、HGBN均为平行四边形，∠BAM+∠AMB=90° ∴.BN=GH,AM=EF, EF⊥GH, AM⊥BN, ∴.∠NBC+∠AMB=90°， .∠BAM=∠NBC 又：∠ABM=∠BCN=90°， △BAMn△CBN, AB AM BCBN· EF AB GH AD 乙方案：如图2，过点E作EM⊥BC交BC于点M,过点G作GN L CD交CD于点N,EM交GH于点 10/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 0, A E D H O 四边形 是矩形， G B 图2 ABCD ∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AD=BC,ABIICD .四边形AEMB、GBCN均为矩形， ∴.AB=EM,GN=BC=AD, EF⊥GH,EM⊥GN, ∴.∠MEF+∠EOH=90°，∠GOM+∠HGN=90°， ∠EOH=∠GOM, .∠MEF=∠HGN, 又∠EMF=∠GNH=90°， ∴△EFM∽aGHN, EFEM GH GN' EF AB ·GHAD1 5 (③)折痕EF的长为4 DE 4 ④AF的值为 【详解】(1)解：四边形ABCD是正方形， AD=AB,∠DAE=∠ABF=90°， 又AF⊥DE, .∠AED+∠ADE=90°=∠AED+∠BAF, .∠ADE=∠BAF, 在△ADE和△BAF中， ∠ADE=∠BAF AD=AB ∠DAE=∠ABF 11/22 上好每一堂课 西学科网·上好课 www.zxxk.com ∴.△ADE≌△BAF(ASA), .DE AF, 、AF =1； DE (2)略 (3)解：由矩形的性质可得AD=BC=4,∠A=90°， 由勾股定理得BD=VAB2+AD2=V32+42=5, EF AB 由(2)可知，BDAD: EF 3 54’ EF=15 4 15 即折痕EF的长为4： (4)解：如图4，过点D作MN'⊥BC,交BC的延长线于M', 过点F作FH'⊥AW'于点H',过点E作EG⊥MN'于点G, A H E B FC M 图4 :∠ABC=90°AN⊥MN'MN'⊥BC ∴四边形ABMN'是矩形， .∠N'=∠M'=90,AW'=BM,MN'=AB=10, .AD=AB,BC=CD,AC=AC, ∴.△ACD≌△ACB(SSS). ∠ADC=∠ABC=90°， .∠ADN'+∠CDM'=90°. .∠ADN'+∠N'AD=90° .∠N'AD=∠CDM', 12/22 上好每一堂课 过点A作AN'⊥MN'于点N',连接AC, 可学科网·上好课 又∠N'=∠M'=90°， .△ADN'∽aDCM'. CD CM'DM'5 1 ÷ADDN=AW02 .AN'=2DM',DN'=2CM', .DC2 CM2+DM2 .52=CM2+10-2CM2, .CM'=5(不合题意舍去)或CM'= .BM'=BC+CM'=5+3=8=AN', 同(2)知，∠AFH'=∠DEG， 又'∠AHF=∠EGD=90°， ..DEG'AAFH', DE EG' AFFH' .EG'=AN'=8,FH'=AB=10, .DE_84 AF105 DE .4 即AF的值为5· 一、单选题 1.A 2.B 3.C 二、填空题 4.32 5.8v28v2 3 3 www.zxxk.com 上好每一堂课 3, 综合攻坚·知能拔高 13/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 4V10-8 6.2或 3 三、解答题 7. 【答案】(1)见解析 2②BF=2 6 (3)BE的长为6V2或6 【详解】(1)证明：：DE⊥EF, .∠DEF=90°， ∠BEF+∠AED=90°， ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠B=90°， .∠ADE+∠AED=90°. ∴.∠ADE=∠BEF, ∴.△AED∽△BFE. (2)E为AB中点， ∴.AE=BE=5 由(1)知△AED∽△BFE, AD AE ·BEBF· 65 即5BF· BF=25 6 (3)分三种情况： ①当CE=CF时，则∠CEF=∠CFE=45°，∠ECF=90°， 则点E与点A重合，点F与点B重合，不符合题意： ②当CE-Br时，则∠EFC=∠BCF-180,45”-675, 2 ∠EFC为△BEF的外角， .∠EFC=∠B+∠BEF, ∠ACB=90°，AC=BC, 14/22 上好每一堂课 函学科网·上好课 ∴.∠A=∠B=45° ∴∠ACE=90°-∠ECF=90°-67.5°=22.5° .∠BEF=∠EFC-∠B=67.5°-45°=22.5°， ∴∠ACE=∠BEF, 在△AEC和△BFE中， 「∠A=∠B ∠ACE=∠BEF(AAS) CE=EF .△AEC≌△BFE, .BE=AC, ∠ACB=90°，AC=BC,AB=12, AC- ×12=6V2, 2 2 .BE=62; ③当CF=EF时，则∠CEF=∠ECF=45° ∴∠CFE=90° 在△BEC中，∠B=∠BCE=45°， .∠BEC=90° .CE⊥AB, 又：AC=BC, 点E为AB中点， :.BE=1AB-6 2 综上所述，BE的长为6W2或6. 8. 【答案】(I)DE=CF (2)DE:CF=3:2,证明如下：如图， D B ,矩形ABCD www.zxxk.com 15/22 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com ∴.∠A=∠ADC=90°， ,∠C0E=90°， ∴.∠AED+∠ADE=∠DOC+∠ADE=90°， .∠AED=∠DFC」 ∴.RtAADE∽RtADCF, AD DE DC-CF' .AD:CD=3:2, .DE:CF=3:2 (3)证明方法不唯一，例如： 方法1：以点C为圆心，CD为半径画弧交AD于点G, D 则CG=CD=AB, ∴.∠CGD=∠CDG 由平行四边形ABCD得∠A+∠CDG=180°， .∠CGF+∠CGD=180°， .∠CGF=∠A,∠COE=∠A=∠DOF,∠ODF=∠ADE, .∠CFG=∠AED .△ADEAGCF, DE AD ·CFAB 方法2：如图， F B .∠EOC=∠A,∠DOF=∠EOC, .∠DOF=∠A. .∠ODF=∠ADE, 16122 上好每一堂课 函学科网·上好课 .△ODF∽△ADE, DF_OD :.DE AD' DE DF AD-OD' ,平行四边形ABCD, .CDI‖AB,AB=CD, .∠A+∠ADC=180°， .∠E0C+∠COD=180°， .∠ADC=∠COD. .·∠DCF=∠OCD」 ∴.△DCFAOCD. DF CF ∴ODCD' DE DF ADOD' DE CF AD CD' ..AB=CD. DE CF ·ADAB' DE AD ·CFAB 【详解】(1)解：：正方形ABCD, .AD=DC,∠FDC=∠A=90°， D .∠ADE+∠AED=90°， .∠EOC=90°， .∠DOF=90° .∠ADE+∠DFC=90°， www.zxxk.com 17/22 上好每一堂课 函学科网·上好课 .∠DFC=∠AED. 在△ADE和△DCF中， ∠AED=∠DFC ∠A=∠CDF=90° AD=DC .△ADE≌aDCF(AAS). .DE =CF (2)略 (3)略 9. 【答案】(1)证明：如图， E M ,四边形ABCD是矩形， .∠B=∠BCD=90°=∠DCM. .∠AEB+∠EAG=90° ,AB=BC,G、E分别是AB、BC的中点， .'AG=BG=BE=EC, .∠BGE=45° .∠AGE=180°-∠BGE=135°， ∠AEF=90°， .∠AEB+∠FEC=90°， .∠EAG=∠FEC, :CF平分∠DCM, A∠DCF-DCM=4, .∠ECF=90°+∠DCF=135°=∠AGE, .△AGE≌aECF(ASA) (2)4V2 ww.zxxk.com 18/22 上好每一堂课 可学科网·上好课 CF m2+1 (3) BE m 【详解】(1)略 (2)解：在AB上截取一点P,使得BP D B E C W :四边形ABCD是矩形， .∠B=∠BCD=∠ADC=90°=∠DCN= .∠AEB+∠EAP=90°. ∠AEF=90°， .∠AEB+∠FEC=90°， .∠EAP=∠FEC. AB=BC,BP=BE, .AP=EC. ∠B=90°，BP=BE, .∠BPE=45°，PE=V2BE, ∴.∠APE=180°-∠BPE=135°， .CF平分∠DCN, :∠DCF=∠DCN=45, 2 ∴.∠ECF=90°+∠DCF=135°=∠APE. .△APE≌aECF(ASA). .'PE CF=2BE, .∠CDH=90°，∠DCH=45°， ∴.△DCH是等腰直角三角形， ..CH=2CD=42, CH=CF+FH=2BE+HF, ..2BE+HF=42: www.zxxk.com 上好每一堂课 =BE,如图所示： CDH,AB=CD=4, 19/22 函学科网·上好课 (3)解：连接AC,AF,如图所示： A D .F B E C AB=mBC,AE mEF AB AE BC EF =m. AB BC “AEEF, .∠ABC=∠AEF=90° .△ABCr△AEF, AB AC AE=AF,∠BAC=LEAF' AB AE ·AC=AF,LBAC-∠EAC=LEAF .∠BAE=∠CAF, .△ABE∽△ACF, AB BE AC-CF AB=mBC,∠B=90°， .AC=AB2+BC2=m2+1BC, BE mBC m CF√m2+1BCm2+1' CF m2+1 'BE m 10. 【答案】(I)DE=CF,理由见解析 DE b (2)不成立，CFa )5穷 4 www.zxxk.com ∠EAC' 20/22 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(I)解：DE=CF,理由如下： 在正方形ABCD中，AD=CD,∠A=∠ADC=90°， .DE⊥CF, .∠DCF+∠EDC=90°， 又，∠ADE+∠EDC=90° .∠DCF=∠ADE 在△ADE和△DCF中， ∠A=∠FDC AD=DC ∠ADE=∠DCF .△ADE≌△DCF(ASA), .DE =CF DE b (2)不成立， CFa,理由如下： 在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，DE⊥CF, ∴.∠DCF+∠EDC=90°， 又：∠ADE+∠EDC=90°， .∠DCF=∠ADE. ∴，△ADE∽△DCF, DE ADAD b ·CF DC AB a (3)如图，过点E作EH∥FG,过点G作GH∥EF,交点为H,过点G作GK⊥AD于点K,连接DH, 个 H ∴四边形EFGH是平行四边形， .EF=GH .EF+DG=GH+DG, .GH+DG≥DH .当D,G,H三点共线时，GH+DG的值最小，最小值为DH的长. 21/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com E是AB的中点，AB=6, .'AE =BE=3, AD=BC=8, ,在Rt△ADE中，由勾股定理得DE=√AE2+AD2=√3， :DE⊥FG,易得∠FGK=∠ADE, .△FGKAEDA, FG GK DC 3 ·ED DA AD4' FG-DE-373 4 =EH .EH∥FG,DE⊥FG, .DE⊥EH, 在Rt△DEH中，由勾股定理得DH=VDE2+EH_5V3 4 V73 六EF+DG的最小值为 41 22/22 上好每一堂课 专题06 相似三角形中K字型与十字架模型 常考题型·精准突破 题型1 三垂直模型（重） 题型2 一线三等角模型（高频） 题型3 十字架模型（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1三垂直模型 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． “三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 1．（2026·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）如图，在四边形中，，，点为的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求线段． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）两个角分别对应相等的两个三角形相似； （2）两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； （3）利用相似三角形的性质并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：由（1）可得， ∴， ∵点E为的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴，， ∴． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）（1）如图1，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E，求证：； （2）如图2，连接并延长交的延长线于点F，若，求的长． 【答案】（1）见解析（2）10 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，可推导出，继而证明，即可解答； （2）先证明，再推导出，可得到，则，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵， 在△ABC和△EDB中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ， ， ， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 3．（25-26九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在矩形中，为边上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，且． (1)求证：． (2)若为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由矩形的性质得，由翻折得，推导出，则； （2）由为的中点，，得，由，勾股定理求得，进而根据相似三角形的性质求得，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 把沿翻折，点落在边上的点处， ， ，， ， ． （2）解：为的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ∴在中，， 即 ◆题型2 一线三等角模型 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． “一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 4．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，E 是的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，由题意可得，再结合即可得证，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：∵E 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26九年级上·四川巴中·期中）如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，再证明出，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由（1）可得，再由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵为等边三角形， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（2025·吉林延边·模拟预测）【尝试探究】在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． （1）如图①，若点与点重合，，求证：． （2）如图②，若为的中点，求的长． 【拓展应用】如图③，在中，为边上一点（点不与点A，B重合），连接，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为______________． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或2 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定等等，掌握相似三角形的性质与判定定理是解题关键． 【尝试探究】（1）根据矩形的性质和垂线的定义可得，，则可证明，，据此根据全等三角形的判定定理可证明结论； （2）同（1）可证明，，则可证明，据此利用相似三角形的性质列出比例式求解即可； 【拓展应用】由勾股定理可得，证明，得到，由为等腰三角形且，可分两种情况讨论：和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：【尝试探究】（1）∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，E为的中点， ∴， ∴， ∴； 【拓展应用】∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形且， ∴， ∴， 当，则， ∴； 当，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或2． ◆题型3 十字架模型 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则. 如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则. 如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则. 7．（26-27九年级上·全国·期末）综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． (1)【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； (2)【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； (3)【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 【答案】(1) (2)证明：过点作于点，过点作于点，且交于点． ∵四边形是矩形， ， ． 同理，， ， ∵， ∴， ∵， ． ， ， ． (3) 【分析】（1）通过证明，由相似比即可求解； （2）构造出两个相似三角形，利用相似比及矩形对边相等的性质证明； （3）作平行线构造相似三角形，结合勾股定理解出线段长度，再由相似比即可求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴； （2）略 （3）解：过点作，延长交于点． 在中，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴ 又， ， ， ， ． 8．（2026·贵州黔西南·模拟预测）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 (1)如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为______． (2)如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为______． 【类比探究】 (3)如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：． 【答案】(1)1 (2) (3)证明：过点C作交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 即． 【分析】（1）首先根据正方形的性质得到．，然后证明出，得到，即可得到； （2）设与交于点G，根据矩形的性质得到，即，进而得到，然后证明出，即可得到； （3）过点C作交的延长线于点H，得出四边形为矩形，证明出，得到，然后即可得出． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴．， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）略； 9．（25-26八年级下·山东烟台·期末）【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． (1)如图1，在正方形中，，交于点G，则______（填比值）； 【探究证明】 (2)如图2，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作交于点M，过点B作交于点 乙方案：过点E作交于点M，过点G作交于点 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明． 【结论应用】 (3)如图3，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合．若，，求折痕的长； 【拓展运用】 (4)如图4，在四边形中，，，，点E、F分别在线段上，且，求的值． 【答案】(1)1 (2)证明：甲方案：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N； 四边形是矩形， ，，， 四边形均为平行四边形，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ； 乙方案：如图2，过点E作交于点M，过点G作交于点N，交于点O， 四边形是矩形， ，，， 四边形均为矩形， ， ， ，， ，， ， ， 又， ， ， ∴． (3)折痕的长为 (4)的值为 【分析】（1）证明，则，即可得到答案； （2）甲方案：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N；证明， ，，再证明，根据相似三角形的性质进行解答即可；乙方案：如图2，过点E作交于点M，过点G作交于点N，交于点O，证明，，再证明，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）由矩形的性质可得，，由勾股定理得，由（2）可知，，即可得到答案； （4）过点D作，交的延长线于，过点A作交EF于点，连接AC，过点F作于点，过点E作于点，证明，则，证明，最后证明 ，利用相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）略 （3）解：由矩形的性质可得，， 由勾股定理得， 由（2）可知，， ， ， 即折痕的长为； （4）解：如图4，过点D作，交的延长线于，过点A作于点，连接，过点F作于点，过点E作于点， ， ，， 四边形是矩形， ∴， ，，， ， ， ∴， ∵ ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ， ， （不合题意舍去）或 ， ， 同（2）知， ， 又， ∴ ， ， ， ， ， 即的值为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 2．（25-26九年级下·山东淄博·期中）如图，将等边三角形折叠，使得点落在边上的处，折痕为，点分别在和上．若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等边三角形和折叠的性质得到边、角关系，设，，则，，，，通过证明，结合对应边成比例求解． 【详解】解：为等边三角形， ，． ， ． 由折叠性质：，，． 设，，则，，，． ，， ． 又， ． ，即． ∴，， ∴，， ∴， 解得，即． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】设，则，利用相似三角形得出线段比例关系，结合勾股定理和面积公式逐一判断结论. 【详解】解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ，即，故②错误； ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ，解得， ， ， 在中，， ，故③正确； 在中，， ， ，， ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论有①③，共2个. 二、填空题 4．（25-26九年级下·陕西西安·期中）四边形中，，，点在边上，，．当最大时，四边形面积为________． 【答案】32 【分析】先证明，得到，设，，则，，延长到点P，使得，连接，过D作的延长线于点K，由三角形的面积公式和垂线段最短得到，故当K与E重合时，取等号，此时取得最大值，即取得最大值，最大值为，利用勾股定理求得，进而求出a，最后由梯形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， 延长到点P，使得，连接， 则， 过D作的延长线于点K， 则， ∴，当K与E重合时，取等号，此时取得最大值，即取得最大值，最大值为， 由勾股定理得，解得， 由得，则， ∵， ∴， ∴． 即当最大时，四边形面积为32． 5．（25-26九年级下·山西朔州·期中）如图，在Rt中，是边上的中线，过点作的垂线，垂足为，交于点，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】过点C作交的延长线于F，证明，得，再证明，列比例式求解． 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 6．（追梦中考模拟演练卷（二））如图，在中，，，，点E，F分别在边，上，连接，把沿着折叠，点C的对应点D落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则_______________． 【答案】2或 【分析】由折叠可得，分和两种情况即可求解． 【详解】解：由折叠可得， 当时，则； 当时， 在中，，，， ∴， 如图，延长至G，使得， ∵， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得； 综上所述，或． 三、解答题 7．（2026·四川南充·三模）【初步感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连接，过点作交于点．易证：．（不需要证明） 【尝试探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，为的中点，求的长． 【拓展应用】 (3)如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连接，过点作交于点．当为等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的长为或6 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及分情况讨论． （1）利用矩形的性质和垂直的定义，平角的定义，通过同角（等角）的余角相等证明即可； （2）利用问题（1）的解题思路先证明，再通过相似三角形对应边成比例列方程求解即可； （3）首先考虑到为等腰三角形时的三种情况：，，，然后利用几何性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． （2）为中点， ． 由（1）知， ． 即， ． （3）分三种情况： ①当时，则，， 则点与点重合，点与点重合，不符合题意； ②当时，则， 为的外角， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， ； ③当时，则， ， 在中，， ， ， 又， 点为中点， ． 综上所述，的长为或6． 8．（25-26八年级下·山东烟台·期末）探究不同情境，回答下面问题： (1)【观察与猜想】如图，在正方形中，点、分别在边、上，连接与交于点，若，则和的数量关系是 ； (2)【观察与猜想】如图，在矩形中，，点、分别在边、上，连接与交于点，若，请猜想和的数量关系并进行证明； (3)【类比探究】如图，在平行四边形中，点、分别在边、上，连接与交于点，当时，求证：． 小颖同学通过对比图，发现图中和并不相似，经过思考，提出了如下问题：能否构造以和为对应边的相似三角形来转化呢？请你根据小颖的思考完成证明，也可以用其他思路完成证明． 【答案】(1) (2)，证明如下：如图， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． (3)证明方法不唯一，例如： 方法1：以点为圆心，为半径画弧交于点， 则， ∴， 由平行四边形得， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 方法2：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据三角形全等对应边相等即可． （2）根据三角形相似对应边成比例求解即可． （3）根据三角形相似对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2）略 （3）略 9．（2026·四川巴中·中考真题）四边形是矩形，点在边上，． (1)【教材重现·提出问题】 如图1，，、分别是、的中点，交矩形外角的平分线于点．求证：； (2)【模型建构·应用意识】 如图2，，交矩形外角的平分线于点，延长交的延长线于点，求的值； (3)【拓展推广·实践能力】 如图3，，（为常数），求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)证明：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，、分别是、的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）由题意易得，，然后可得，，进而问题可求证； （2）在上截取一点，使得，由题意易得，，然后可得，则有，进而根据等腰直角三角形的性质进行求解即可； （3）连接，由题意易得，则有，然后可得，，进而证明进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在上截取一点，使得，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 10．（2026·新疆喀什·一模）根据所学知识，解答以下问题 (1)如图①，在正方形中，E是边上一点，F是边上一点，连接，，若，判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）的条件下，若四边形为矩形，且，，则（1）中的结论是否依然成立？若成立，试说明理由；若不成立，探究与的数量关系； (3)如图③，在矩形中，，，E是边的中点，F，G分别是边，上的动点，且，连接，，求的最小值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不成立， (3) 【分析】（1）根据正方形性质得到边相等、角为直角，由 推导角相等，证明与全等，得到与的数量关系． （2）根据矩形性质得到角为直角，由 推导角相等，证明与相似，结合矩形边长、得到与的比值． （3）过点E作，过点G作，交点为H，过点G作于点K，连接，可得四边形是平行四边形，可得 ，所以最小值为的长．利用勾股定理求出的长，结合 证明相关三角形相似，得到与的数量关系；最后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 在正方形中，，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 在和中， ∴（）， ∴． （2）不成立，，理由如下： 在矩形中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点E作，过点G作，交点为H，过点G作于点K，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ， ∴当D，G，H三点共线时， 的值最小，最小值为的长． ∵E是的中点，， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∵，易得 ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴的最小值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $