周周练09 3.4-3.5相似三角形的性质与位似（数学新教材北师大版九年级上册）

**基本信息** 聚焦相似三角形性质与位似，融合无人机测高、《九章算术》古题及晒衣架稳固性检测等真实情境，通过基础辨析、动态几何及跨学科应用（如凸透镜成像）梯度设计，检测抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|相似与位似图形辨析（第1题）、影长计算（第2题）|以衣夹示意图（第4题）考相似性质，结合生活工具| |填空题|6/18|位似周长比（第11题）、《九章算术》邑方问题（第12题）|两次垂直日照测树高（第13题），考数学眼光观察现实| |解答题|8/64|位似作图（第17题）、滹沱河宽度测量（第20题）|灯柱测量多方案设计（第23题），培养推理与应用意识|

2026-2027学年九年级上学期数学周周测09 3.4-3.5相似三角形的性质与位似 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形与位似图形的定义，关键在于明确位似图形是特殊的相似图形，需额外满足“对应顶点的连线交于同一点，且对应边互相平行或共线”的条件． 【详解】解：根据相似图形与位似图形的定义：相似图形指形状相同的图形；位似图形是特殊的相似图形，需同时满足“对应顶点的连线交于同一点”和“对应边互相平行或共线”． 选项A、B、C的图形均为位似图形(同时是相似图形)； 选项D的图形是相似图形，但对应顶点连线未交于同一点，不是位似图形． 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长是（    ） A． B．12 C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得，，，，则，由相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：B． 3．如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形中的性质，相似三角形的对应边成比例．先根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：B． 4．如图，衣夹简化的示意图中夹臂可分别绕点M，N旋转，此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），．当夹子完全张开时（即A，B两点重合），能夹衣物的最大厚度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握两边对应成比例，其夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．根据题意，可得，，，由此可得，根据相似三角形的性质，对应边成比例得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵． ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5．如图，为的边延长线上的一点，且，的面积为4，则的面积为（     ） A．30 B．27 C．14 D．32 【答案】A 【分析】只需证明和，利用相似三角形的性质求得和，进而可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．无人机送快递是一种创新的配送方式，这种方式快速、灵活，能轻松到达偏远山区、海岛等交通不便地区，既扩大了快递服务范围，也能避开地面交通拥堵．某天，身高（）的小王站在阳光下等待无人机送货过来，此时他的影长（）为，无人机的影长（）为．请问此时无人机高度（）是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据同一时刻物高与影长成比例解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵，，， ∴, 解得， 故选：D． 7．如图，在中，分别为边上的点，且满足．根据上述信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论： 嘉嘉说：连接，则． 淇淇说：． 对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（     ） A．两人都正确 B．两人都错误 C．嘉嘉正确，淇淇错误 D．嘉嘉错误，淇淇正确 【答案】D 【分析】本题考查了三角形相似和平行线的判定方法，解题的关键是能够根据对应边成比例的条件判断出三角形相似，并确定对应角．由及可得，从而得到，无法得出． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 无法推出． 从而嘉嘉错误，淇淇正确． 故选： ． 8．“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图1），由于使用时安放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图2所示的位置，令（单位：m），（单位：m），若，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意，四边形是矩形，可得，，，再根据，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， 故选：A ． 9．如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由与都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到，，且四个锐角为，利用等式的性质得到，故结论①正确；由，，若，则或与重合，当时和无交点，这和为上任意一动点相矛盾，故结论②不一定正确；由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到，故结论③正确；利用相似三角形对应角相等得，结合得到，利用内错角相等两直线平行得到，故结论④正确；先依托面积为定值，将梯形面积最值转化为面积最值，结合确定的高固定，得最长时面积最大，再借助相似三角形对应边比例将最长转化为最长，由题意得当、重合时最长，即可求出最大值，最后代入梯形面积公式算出最大面积，故结论⑤正确． 【详解】解：∵、都是等腰直角三角形， ∴，， ， ①∵， ∴， 即，故①正确； ②∵， ∴， 若，则或与重合， 当时和无交点，这和为上任意一动点相矛盾，故②不完全正确； ③∵，， ∴，故③正确； ④∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵为等腰直角三角形且， ∴的面积为定值， ∵， ∴当的面积最大时，梯形的面积最大， 如图，过点作于点，则为等腰直角斜边上的中线， ∴， ∵， ∴中边上的高为定值（即为）， 当的面积最大时最长， ∵， ∴， ∴当最长时，也最长， ∵为线段上任意一动点， ∴当、重合时最长， 此时，则， ， 即四边形的面积最大值为，故⑤正确； 综上，正确的结论是． 10．如图，厘米，是一条射线，．一动点从点以1厘米/秒的速度向点运动，另一动点从点以2厘米/秒的速度沿射线方向运动．它们同时出发，当点到达点时点也停止运动，设运动时间为秒，下列结论错误的是（    ） A． B．经过2秒或4秒或秒时，的面积为8平方厘米 C．当与相似时，或 D．当为等腰三角形时，或 【答案】D 【分析】根据动点从点以2厘米/秒的速度沿射线方向运动，知，判定A正确；当在上，在上，，解方程可判断B正确；当在线段上时，，可得，当在线段上时，，解方程可判断C正确；当时，，当时，，解方程可判断D错误． 【详解】解：动点从点以2厘米/秒的速度沿射线方向运动， ，故A正确，不符合题意； 当在上，， 整理得，， 解得：， ，在范围内， ， 在上，， 解得：， ，在范围内， ； 经过2秒或4秒或秒时，的面积为8平方厘米，故B正确，不符合题意； 当在线段上时，如图： ， ，即， 解得， 经检验，是原分式方程的解； 当在线段上时，如图： ， ，即， 解得或（不在线段上，舍去）， 经检验，是原分式方程的解； 当与相似时，或，故C正确，不符合题意； 在中，由勾股定理得：， ， ， 当时，， 解得：，（舍去）； 当时，， 解得（舍去）； 当为等腰三角形时，或，故D错误，符合题意． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 【答案】6 【分析】根据位似图形的性质得到，且相似比为，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为O， ∴，且相似比为， ∴的周长与的周长之比为， ∵的周长为4， ∴的周长为6． 12．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，、分别是正方形边和的中点，正方形的边长为步，出东门继续往东走步有一树木点，问出南门继续往南走多少步恰好能看到位于点处的树木即点在直线上？则根据以上信息，算出的长是 ______ 步 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：由题意可知，步，步，步， ∴， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 13．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为；若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，准确理解题意作图是解题的关键． 根据题意作图，由角度关系证出，即，将两种情况下的影长代入计算即可． 【详解】解：依据题意，如图，其中，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故树的高度为， 故答案为：． 14．如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 【答案】/ 【分析】根据平移的性质可知，，，进而可证得，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论． 【详解】解：等边三角形沿边上的高线平移到， 且与边相交于、点， ，， ，， ， ， ， ， 的阴影部分面积记为，， ， 解得． 15．在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后成的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于C点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，则小蜡烛的像的长是______． 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，利用相似三角形的性质，将物理中的成像规律转化为数学中的几何比例关系解答即可． 【详解】解：由题意得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：2． 16．如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 【答案】3或 【分析】设运动时间为x秒，分为和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设运动时间为x秒， 根据题意：，，则， 当时，， ，解得； 当时，， ，解得， 综上，以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为3或． 三、解答题：本题共8小题,第17~18题6分，第19~20题每题7分，第21~22题8分，第23~24题10分，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，在点的上方画出，使与位似，且位似比为（，的对应点分别是，）； (2)以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出（，，的对应点分别是，，）； (3)在（2）的条件下，则扫过的面积是________． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求： (2) 解：如图所示，即为所求： (3) 【分析】（1）根据位似的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）根据勾股定理求出，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ∴扫过的面积． 18．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 19．如图，在中，点D在边上，，与，分别相交于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，G为的中点，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】此题重点考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，由，，所以，则，所以，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”得到结论； （2）由，G为的中点，得，而，由相似三角形的性质得，求出长即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 20．滹沱河是石家庄的“母亲河”，滋养着冀中平原．嘉嘉为测量滹沱河某段的宽度，采用如下方法：如图，该段河道两岸平行，他在对岸选定目标点，在靠近自己的河岸取点和，并在，的延长线上分别取点，，使，经测量米，米，点到的距离为350米，于点． (1)求的值； (2)求滹沱河该段的宽度． 【答案】(1)2 (2)700米 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定； （1）由可得，进而可得，最后求出； （2）过点E作，可得，得到，即可求解. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴. （2）解：过点E作垂足为，如图所示： 由题意得：米， ∵，，， ∴， ∴， ∴米. 21．图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，并保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上找到点、，连接，使，且相似比为； (2)在图②中，在边上找一点，连接，使． 【答案】(1) 如图，点、即为所求； (2) 如图，即为所求． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键： （1）找到的中点，连接，则为的中位线，得到，，进而得到，且相似比为； （2）取格点正上方一个格点处，格点正下方2个格点处，连接这两个格点，交于点，可得相似三角形，得到，进而得到，连接，根据同高三角形的面积比等于底边比，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 22．如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． (1)如图1，若四边形是正方形，求的长； (2)如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】根据相似三角形的对应边上的高的比＝相似比，构建方程即可解决问题； 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，是边上的高， ，， ， ，即， ； （2）解：∵四边形是矩形， ，， ∴， ， 设则，                                     即，解得， ，． 23．一数学兴趣小组为了测量灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在点F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计） 方案二：如图2，利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得． 方案三：如图3，利用三角板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离． 三种方案中，方案________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度． 【答案】二、三， 选方案一，灯柱高12米 根据题意可得，， ， ， ． 根据题意可得，， ∴， ， ， ， 解得， 米． 即灯柱高12米． 【分析】由相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行；方案三中缺少边长的条件，故方案三不可行；选方案一，根据光的反射角相等，以及，进而证明，同理可得，根据方案一的数据计算即可． 【详解】略 24．如图，在中，，，点P、D分别是边上的点，且． (1)求证：： (2)当，求的值． (3)若点K在边上且，点P以每秒1个单位从点B向终点C运动；请直接写出点K在内部的时间． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， 又， ， ； (2) (3)或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由题意可得，，可证； （2）由，可得，代入数值即可求出的长； （3）由，可得，点K在内部时，的临界值是，代入数值求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴； （3）解：点K在内部时，的临界值是，设运动时间为t， ∵， ∴． ∵，，， ∴， 解得或， ∵点P以每秒1个单位从点B向终点C运动， ∴当或时，点K在内部． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测09 3.4-3.5相似三角形的性质与位似 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长是（    ） A． B．12 C．8 D． 3．如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 4．如图，衣夹简化的示意图中夹臂可分别绕点M，N旋转，此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），．当夹子完全张开时（即A，B两点重合），能夹衣物的最大厚度是（   ） A． B． C． D． 5．如图，为的边延长线上的一点，且，的面积为4，则的面积为（     ） A．30 B．27 C．14 D．32 6．无人机送快递是一种创新的配送方式，这种方式快速、灵活，能轻松到达偏远山区、海岛等交通不便地区，既扩大了快递服务范围，也能避开地面交通拥堵．某天，身高（）的小王站在阳光下等待无人机送货过来，此时他的影长（）为，无人机的影长（）为．请问此时无人机高度（）是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，分别为边上的点，且满足．根据上述信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论： 嘉嘉说：连接，则． 淇淇说：． 对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（     ） A．两人都正确 B．两人都错误 C．嘉嘉正确，淇淇错误 D．嘉嘉错误，淇淇正确 8．“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图1），由于使用时安放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图2所示的位置，令（单位：m），（单位：m），若，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 9．如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 10．如图，厘米，是一条射线，．一动点从点以1厘米/秒的速度向点运动，另一动点从点以2厘米/秒的速度沿射线方向运动．它们同时出发，当点到达点时点也停止运动，设运动时间为秒，下列结论错误的是（    ） A． B．经过2秒或4秒或秒时，的面积为8平方厘米 C．当与相似时，或 D．当为等腰三角形时，或 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 12．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，、分别是正方形边和的中点，正方形的边长为步，出东门继续往东走步有一树木点，问出南门继续往南走多少步恰好能看到位于点处的树木即点在直线上？则根据以上信息，算出的长是 ______ 步 13．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为；若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____． 14．如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 15．在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后成的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于C点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，则小蜡烛的像的长是______． 16．如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，在点的上方画出，使与位似，且位似比为（，的对应点分别是，）； (2)以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出（，，的对应点分别是，，）； (3)在（2）的条件下，则扫过的面积是________． 18．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测09 3.4-3.5相似三角形的性质与位似 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形与位似图形的定义，关键在于明确位似图形是特殊的相似图形，需额外满足“对应顶点的连线交于同一点，且对应边互相平行或共线”的条件． 【详解】解：根据相似图形与位似图形的定义：相似图形指形状相同的图形；位似图形是特殊的相似图形，需同时满足“对应顶点的连线交于同一点”和“对应边互相平行或共线”． 选项A、B、C的图形均为位似图形(同时是相似图形)； 选项D的图形是相似图形，但对应顶点连线未交于同一点，不是位似图形． 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长是（    ） A． B．12 C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得，，，，则，由相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：B． 3．如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形中的性质，相似三角形的对应边成比例．先根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：B． 4．如图，衣夹简化的示意图中夹臂可分别绕点M，N旋转，此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），．当夹子完全张开时（即A，B两点重合），能夹衣物的最大厚度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握两边对应成比例，其夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．根据题意，可得，，，由此可得，根据相似三角形的性质，对应边成比例得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵． ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5．如图，为的边延长线上的一点，且，的面积为4，则的面积为（     ） A．30 B．27 C．14 D．32 【答案】A 【分析】只需证明和，利用相似三角形的性质求得和，进而可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．无人机送快递是一种创新的配送方式，这种方式快速、灵活，能轻松到达偏远山区、海岛等交通不便地区，既扩大了快递服务范围，也能避开地面交通拥堵．某天，身高（）的小王站在阳光下等待无人机送货过来，此时他的影长（）为，无人机的影长（）为．请问此时无人机高度（）是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据同一时刻物高与影长成比例解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵，，， ∴, 解得， 故选：D． 7．如图，在中，分别为边上的点，且满足．根据上述信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论： 嘉嘉说：连接，则． 淇淇说：． 对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（     ） A．两人都正确 B．两人都错误 C．嘉嘉正确，淇淇错误 D．嘉嘉错误，淇淇正确 【答案】D 【分析】本题考查了三角形相似和平行线的判定方法，解题的关键是能够根据对应边成比例的条件判断出三角形相似，并确定对应角．由及可得，从而得到，无法得出． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 无法推出． 从而嘉嘉错误，淇淇正确． 故选： ． 8．“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图1），由于使用时安放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图2所示的位置，令（单位：m），（单位：m），若，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意，四边形是矩形，可得，，，再根据，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， 故选：A ． 9．如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由与都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到，，且四个锐角为，利用等式的性质得到，故结论①正确；由，，若，则或与重合，当时和无交点，这和为上任意一动点相矛盾，故结论②不一定正确；由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到，故结论③正确；利用相似三角形对应角相等得，结合得到，利用内错角相等两直线平行得到，故结论④正确；先依托面积为定值，将梯形面积最值转化为面积最值，结合确定的高固定，得最长时面积最大，再借助相似三角形对应边比例将最长转化为最长，由题意得当、重合时最长，即可求出最大值，最后代入梯形面积公式算出最大面积，故结论⑤正确． 【详解】解：∵、都是等腰直角三角形， ∴，， ， ①∵， ∴， 即，故①正确； ②∵， ∴， 若，则或与重合， 当时和无交点，这和为上任意一动点相矛盾，故②不完全正确； ③∵，， ∴，故③正确； ④∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵为等腰直角三角形且， ∴的面积为定值， ∵， ∴当的面积最大时，梯形的面积最大， 如图，过点作于点，则为等腰直角斜边上的中线， ∴， ∵， ∴中边上的高为定值（即为）， 当的面积最大时最长， ∵， ∴， ∴当最长时，也最长， ∵为线段上任意一动点， ∴当、重合时最长， 此时，则， ， 即四边形的面积最大值为，故⑤正确； 综上，正确的结论是． 10．如图，厘米，是一条射线，．一动点从点以1厘米/秒的速度向点运动，另一动点从点以2厘米/秒的速度沿射线方向运动．它们同时出发，当点到达点时点也停止运动，设运动时间为秒，下列结论错误的是（    ） A． B．经过2秒或4秒或秒时，的面积为8平方厘米 C．当与相似时，或 D．当为等腰三角形时，或 【答案】D 【分析】根据动点从点以2厘米/秒的速度沿射线方向运动，知，判定A正确；当在上，在上，，解方程可判断B正确；当在线段上时，，可得，当在线段上时，，解方程可判断C正确；当时，，当时，，解方程可判断D错误． 【详解】解：动点从点以2厘米/秒的速度沿射线方向运动， ，故A正确，不符合题意； 当在上，， 整理得，， 解得：， ，在范围内， ， 在上，， 解得：， ，在范围内， ； 经过2秒或4秒或秒时，的面积为8平方厘米，故B正确，不符合题意； 当在线段上时，如图： ， ，即， 解得， 经检验，是原分式方程的解； 当在线段上时，如图： ， ，即， 解得或（不在线段上，舍去）， 经检验，是原分式方程的解； 当与相似时，或，故C正确，不符合题意； 在中，由勾股定理得：， ， ， 当时，， 解得：，（舍去）； 当时，， 解得（舍去）； 当为等腰三角形时，或，故D错误，符合题意． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 【答案】6 【分析】根据位似图形的性质得到，且相似比为，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为O， ∴，且相似比为， ∴的周长与的周长之比为， ∵的周长为4， ∴的周长为6． 12．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，、分别是正方形边和的中点，正方形的边长为步，出东门继续往东走步有一树木点，问出南门继续往南走多少步恰好能看到位于点处的树木即点在直线上？则根据以上信息，算出的长是 ______ 步 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：由题意可知，步，步，步， ∴， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 13．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为；若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，准确理解题意作图是解题的关键． 根据题意作图，由角度关系证出，即，将两种情况下的影长代入计算即可． 【详解】解：依据题意，如图，其中，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故树的高度为， 故答案为：． 14．如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 【答案】/ 【分析】根据平移的性质可知，，，进而可证得，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论． 【详解】解：等边三角形沿边上的高线平移到， 且与边相交于、点， ，， ，， ， ， ， ， 的阴影部分面积记为，， ， 解得． 15．在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后成的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于C点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，则小蜡烛的像的长是______． 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，利用相似三角形的性质，将物理中的成像规律转化为数学中的几何比例关系解答即可． 【详解】解：由题意得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：2． 16．如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 【答案】3或 【分析】设运动时间为x秒，分为和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设运动时间为x秒， 根据题意：，，则， 当时，， ，解得； 当时，， ，解得， 综上，以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为3或． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，在点的上方画出，使与位似，且位似比为（，的对应点分别是，）； (2)以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出（，，的对应点分别是，，）； (3)在（2）的条件下，则扫过的面积是________． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求： (2) 解：如图所示，即为所求： (3) 【分析】（1）根据位似的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）根据勾股定理求出，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ∴扫过的面积． 18．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测09 3.4-3.5相似三角形的性质与位似 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长是（    ） A． B．12 C．8 D． 3．如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 4．如图，衣夹简化的示意图中夹臂可分别绕点M，N旋转，此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），．当夹子完全张开时（即A，B两点重合），能夹衣物的最大厚度是（   ） A． B． C． D． 5．如图，为的边延长线上的一点，且，的面积为4，则的面积为（     ） A．30 B．27 C．14 D．32 6．无人机送快递是一种创新的配送方式，这种方式快速、灵活，能轻松到达偏远山区、海岛等交通不便地区，既扩大了快递服务范围，也能避开地面交通拥堵．某天，身高（）的小王站在阳光下等待无人机送货过来，此时他的影长（）为，无人机的影长（）为．请问此时无人机高度（）是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，分别为边上的点，且满足．根据上述信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论： 嘉嘉说：连接，则． 淇淇说：． 对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（     ） A．两人都正确 B．两人都错误 C．嘉嘉正确，淇淇错误 D．嘉嘉错误，淇淇正确 8．“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图1），由于使用时安放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图2所示的位置，令（单位：m），（单位：m），若，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 9．如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 10．如图，厘米，是一条射线，．一动点从点以1厘米/秒的速度向点运动，另一动点从点以2厘米/秒的速度沿射线方向运动．它们同时出发，当点到达点时点也停止运动，设运动时间为秒，下列结论错误的是（    ） A． B．经过2秒或4秒或秒时，的面积为8平方厘米 C．当与相似时，或 D．当为等腰三角形时，或 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 12．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，、分别是正方形边和的中点，正方形的边长为步，出东门继续往东走步有一树木点，问出南门继续往南走多少步恰好能看到位于点处的树木即点在直线上？则根据以上信息，算出的长是 ______ 步 13．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为；若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____． 14．如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 15．在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后成的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于C点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，则小蜡烛的像的长是______． 16．如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 三、解答题：本题共8小题,第17~18题6分，第19~20题每题7分，第21~22题8分，第23~24题10分，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，在点的上方画出，使与位似，且位似比为（，的对应点分别是，）； (2)以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出（，，的对应点分别是，，）； (3)在（2）的条件下，则扫过的面积是________． 18．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 19．如图，在中，点D在边上，，与，分别相交于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，G为的中点，求的长． 20．滹沱河是石家庄的“母亲河”，滋养着冀中平原．嘉嘉为测量滹沱河某段的宽度，采用如下方法：如图，该段河道两岸平行，他在对岸选定目标点，在靠近自己的河岸取点和，并在，的延长线上分别取点，，使，经测量米，米，点到的距离为350米，于点． (1)求的值； (2)求滹沱河该段的宽度． 21．图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，并保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上找到点、，连接，使，且相似比为； (2)在图②中，在边上找一点，连接，使． 22．如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． (1)如图1，若四边形是正方形，求的长； (2)如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 23．一数学兴趣小组为了测量灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在点F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计） 方案二：如图2，利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得． 方案三：如图3，利用三角板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离． 三种方案中，方案________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度． 24．如图，在中，，，点P、D分别是边上的点，且． (1)求证：： (2)当，求的值． (3)若点K在边上且，点P以每秒1个单位从点B向终点C运动；请直接写出点K在内部的时间． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $