专题14 二次函数与几何综合重难点题型汇编（十二大题型）-2025-2026学年九年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

专题14二次函数与几何综合重难点题型汇编 【题型01 ：二次函数与角综合】................................................1 【题型02 ：二次函数与线段最值】..............................................4 【题型03：二次函数与面积综合】...............................................6 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】...................................10 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】.........................................14 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】.........................................16 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】...................................18 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】...................................21 【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】..............................26 【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】..................................28 【题型11：二次函数与相似三角形存在性问题】..................................30 【题型12：二次函数与胡不归问题】...........................................32 【题型01 ：二次函数与角相等】 1．抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是抛物线上一动点，若，求满足条件的点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点C且与直线另一交点为点K，M 为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点M的坐标． 2．如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于，两点在的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出新抛物线表达式及所有符合条件的点的坐标． 3．如图①，抛物线与轴交于和点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的面积是面积的时，求点的坐标； (3)如图②，点是在直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 4．如图，抛物线顶点到轴的距离为1．与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)设是抛物线第一象限上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，当线段最长时，求点点坐标． (3)在（2）的条件下，连接，抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上一点，连接，求面积的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，连接，点在直线下方的抛物线上，连接．使与互为余角，求点的坐标． 【题型02 ：二次函数与线段最值】 6．如图，已知抛物线过点，，，顶点为． (1)该抛物线的解析式是________； (2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． (3)设点，当的值最小时，求的值． 7．某兴趣小组做小球弹射实验，轴表示水平地面，表示斜坡，．从点处以一定方向和速度弹出小球，小球的飞行路线可用抛物线刻画，其中为小球弹出后飞行的水平距离，为小球弹出后距离水平地面的高度．斜面可用直线刻画．实验测得：，，；小球飞行过程中经过、和三个点． (1)求抛物线的表达式； (2)求小球在斜面上的落点的横坐标； (3)当时，小球在飞行过程中与斜面间的竖直距离的最大值为多少？ 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点，与y轴交于点E． (1)求抛物线的函数解析式和顶点P的坐标； (2)连接，求的面积； (3)若M是线段上一动点，N是线段上一动点，且，请直接写出的最小值． 9．已知抛物线L：与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第一象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若，求的值； (3)将抛物线L的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线．点P是抛物线上一动点，的最小值为4，求a的取值范围． 【题型03：二次函数与面积综合】 10．已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线交于点P，求P点的坐标； (3)在第一象限内的抛物线上有一点Q，当的面积最大时，求点Q的坐标． 11．已知：直线与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求面积的最大值； 12．如图1，抛物线与坐标轴交于O，B两点，直线与抛物线交于A，B两点，已知点B的坐标为． (1)求抛物线和一次函数的表达式． (2)如图2，P为抛物线上位于上方的一点，过点P作x轴的垂线交于点C，求的最大值． 13．如图，抛物线（b、c为常数）与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为抛物线的顶点，求的面积； (3)若点P为直线下方抛物线上的一点，是否存在点P使的面积为最大？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图①，已知二次函数与轴相交于、两点，与轴相交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图②，连结、． ①在对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标和此时的周长；若不存在，请说明理由； ②点为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标和此时面积的最大值；若不存在，请说明理由． 15．如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在一点Q，使与的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 16．已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的情况下，将抛物线向右平移个单位长度，得到抛物线为抛物线对称轴上一点，为抛物线上一点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标． 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，过作轴，交直线于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标； (3)抛物线上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，，，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D在x轴的下方，当的面积是时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，M是x轴上一点，N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 19．【问题背景】 如图，一次函数分别交轴、轴于、两点，抛物线过、两点． 【知识技能】 （1）求点、的坐标及抛物线的解析式； 【构建联系】 （2）作垂直轴的直线，在第一象限交直线于，交这个抛物线于． ①求线段的最大值； ②当t取何值时，的面积为． 【深入探究】 （3）在（2）②的情况下，以、、、为顶点作平行四边形，请直接写出第四个顶点的坐标． 20．抛物线的图像经过，，与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求、、点的坐标； (3)为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点坐标． 21．如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)点是线段上方抛物线上的一动点，过作轴的平行线，交线段于点． ①当四边形为平行四边形时，求点的坐标； ②当时，在点运动过程中，抛物线上是否始终存在点，使得，请说明理由． 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 22．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，点在平面上，以点，，，为顶点作菱形，请直接写出符合题意的点的坐标． 23．如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C， (1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是直线下方的抛物线上一动点（不点B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点D，设点P的横坐标为m； ①用含m的代数式表示线段的长． ②连接、，求的面积最大时点P的坐标； (3)设抛物线的对称轴与交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点 (1)求抛物线的解析式； (2)过点作交抛物线于点，点为直线上一动点，连接，，，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位，为平移后抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 25．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 26．如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 27．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 28．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求直线和抛物线的表达式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标． 29．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 30．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交x轴于点D．已知线段， 直线经过B，C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？如果存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 31．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标． 32．如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求的值； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 33．如图，已知抛物线与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，顶点为． (1)求出抛物线的表达式； (2)若的角平分线与在第一象限的抛物线交于点，求点的横坐标； (3)若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点．使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 34．如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (4)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 35．如图，抛物线经过，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，连接、，交轴于点，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，且位于轴上方，连接、，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标． 36．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F． ①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值； ②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标． 37．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知，点P是抛物线H上的一个动点． (1)求抛物线H的表达式； (2)如图，点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点，是否存在点M，使得以点A，M，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 38．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A、，抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 39．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； (2)当的周长最小时，求抛物线对应的函数关系式； (3)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 40．如图，抛物线经过，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，连接、，交轴于点，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，且位于轴上方，连接、，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标． 41．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F． ①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值； ②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标． 42．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知，点P是抛物线H上的一个动点． (1)求抛物线H的表达式； (2)如图，点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点，是否存在点M，使得以点A，M，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 43．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A、，抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 44．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； (2)当的周长最小时，求抛物线对应的函数关系式； (3)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】 45．二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点M作轴交直线于点N，交抛物线于点D，连接，设运动的时间为t秒． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上存在一点P，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标． 46．如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 47．如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接，，． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)如图1，当点F的坐标为，过点P作x轴的垂线，交线段于点D，求线段长度的最大值； (3)如图2，是否存在点F，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 48．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 49．如图，二次函数与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求函数表达式及顶点坐标； (2)连接，点P为线段上方抛物线上一点，过点P作轴于点Q，交于点H，当时，求点P的坐标； (3)是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】 50．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l． （1）求该抛物线的表达式； （2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标． 51．如图，抛物线与x轴交于点，点B，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)如图1，点M是抛物线上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，连接，若，求m的值； (3)如图2，将抛物线平移后得到顶点为B的抛物线．点P为抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点R．当以点P，Q，R为顶点的三角形与全等时，请直接写出点P的坐标． 52．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，其顶点为D，对称轴为直线，对称轴与x轴交于点E． (1)求抛物线的解析式． (2)M是该抛物线上在第三象限内的一点，过点M作轴于点N，P是x轴上一点，要使以M，N，P为顶点的三角形与全等，求满足条件的点M，P的坐标． 【题型11：二次函数与相似三角形存在性问题】 53．如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)已知点是抛物线的顶点，点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点E作轴于点，交抛物线于点． ①求四边形的面积； ②求的边上的高的最大值； ③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 54．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且横坐标为1，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴交于点，点为抛物线的顶点，点的坐标为． (1)求线段的长； (2)点为线段上方抛物线上的任意一点，当的面积最大时，求此时点坐标，并求出最大面积； (3)在（2）的情况下，过点作的垂线交于点，点在轴上一点，求的最小值． 55．如图，已知抛物线经过点和，顶点为，与y轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)若点G是线段上方抛物线上一个动点，求面积的最大值，并求出此时点G的坐标； (3)若抛物线对称轴上有点E，使得取得最小值，连接并延长交第二象限抛物线为点M，求的长度． 56．如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【题型12：二次函数与胡不归问题】 57．如图，抛物线（a，b为常数，）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，D为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点E． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)是否存在以C，D，E为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 58．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点P是第一象限抛物线上一点，设P点的横坐标为m．过点P作轴，交于点D，过点D作轴，垂足为E，连接，当和相似时，求点P的坐标； 59．如图，已知抛物线与轴交于，的两点，与轴交于点，为顶点，点是轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点，与交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点的坐标； (2)是否存在点，使得以点，、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14二次函数与几何综合重难点题型汇编 【题型01 ：二次函数与角综合】................................................1 【题型02 ：二次函数与线段最值】.............................................17 【题型03：二次函数与面积综合】...............................................25 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】...................................36 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】.........................................53 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】.........................................63 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】...................................77 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】...................................92 【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】.............................111 【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】..................................124 【题型11：二次函数与相似三角形存在性问题】..................................130 【题型12：二次函数与胡不归问题】...........................................141 【题型01 ：二次函数与角相等】 1．抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是抛物线上一动点，若，求满足条件的点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点C且与直线另一交点为点K，M 为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，计算可得，求出直线的解析式为，作轴交于，设，则，求出，表示出，结合，可得，计算即可得解； （3）求出直线的解析式为，由（2）可得，直线的解析式为，令将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线，求出新抛物线，联立，求得，分两种情况：当点位于直线的下方时，此时；当点在直线的上方时，作点关于直线的对称点，连接交新抛物线于；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，，即， ∴， ∵点，点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴交于， ， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理可得：或 解可得：或，对应的的坐标为或， 解可得无实数根， ∴点的坐标为或 ，点P是抛物线上一动点，若， （3）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 由（2）可得，直线的解析式为， ∵将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线， ∴令将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线， ∵抛物线的解析式为， ∴， ∵新抛物线经过点C， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴新抛物线， 联立， 解得：或， ∴， ∵M 为新抛物线上的一动点，且， ∴当点位于直线的下方时，如图， ， 此时， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时； 如图，当点在直线的上方时，作点关于直线的对称点，连接交新抛物线于， ， 由轴对称的性质可得：，，的中点在直线上， ∴， 设，则， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（不符合题意，舍去）或， 此时； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，二次函数综合—面积问题，二次函数综合—角度问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 2．如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于，两点在的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出新抛物线表达式及所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）将点向右平移2个单位得到点，连接交轴于点，过点作，连接，则此时最小，即可求解； （3），则，则直线的表达式为：，即可求解；当点在上方时，同理可解． 【详解】（1）解：在中，令，则， ， ， ， ， 即点， 由题意得， 解得， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点、、的坐标分别为：、、，则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 当时，取得最大值，则点、，则， 将点向右平移2个单位得到点，连接交轴于点，过点作，连接， 则四边形为平行四边形，则， 则此时为最小； （3）解：将该抛物线沿射线方向平移，当向左平移个单位时，则向下平移了个单位， 则新抛物线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则新抛物线的表达式为：， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 当点在下方时， ，则， 则直线和表达式中的值相同， 而过点， 则直线的表达式为：， 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 即点； 当点在上方时， 同理可得，点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 即点； 综上，点的坐标为：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，解直角三角形，平行四边形的存在性问题，二次函数与线段最值，线段和最小值问题，熟练掌握以上知识点结合转化思想综合运用是解题关键． 3．如图①，抛物线与轴交于和点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的面积是面积的时，求点的坐标； (3)如图②，点是在直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求解的面积是，设直线解析式为，可得直线解析式为，设，则，求解，可得，再进一步即可求出结果； （3）设直线交轴于，证明，求得D的坐标，同理得直线解析式为，联立方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】（1）解：把，代入中得， ， ， 抛物线解析式为； （2）解：在中， 当时， ， 如图，连接， ，，， ∴， ∵的面积是面积的， ∴的面积是， 设直线解析式为， ， 直线解析式为， 设，则， ． ∴， 解得：， 此时； （3）解：如图，设直线交轴于， ，，， ， ， ， 同理可得：直线解析式为． 联立， 解得或（不符合题意舍去）， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，全等三角形的性质和判定等知识，熟练掌握二次函数的相关知识是解答本题的关键． 4．如图，抛物线顶点到轴的距离为1．与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)设是抛物线第一象限上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，当线段最长时，求点点坐标． (3)在（2）的条件下，连接，抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式，一次函数的平移，一次函数与二次函数综合，二次函数的性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题． （1）由题意可得，抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点，可得，用待定系数法即可求解； （2）求出直线的解析式，设点D坐标为，则点，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解． （3）先求得直线的解析式，进而根据平行线的性质，得出的解析式，联立抛物线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线顶点到轴的距离为1．则对称轴是直线，与x轴交于点A，， ∴， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式； （2）∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 设点D坐标为，则点， ∴ ∴当时，最长，此时 （3）解：设直线的解析式为，代入，得 解得： ∴直线的解析式为 如图所示，当时，， 设直线的解析式为，代入得，， ∴ 联立 解得：或 ∴ 设关于的对称点为， ∴，的中点在：上， ∴， 解得：或（舍去） ∴ 设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴ 联立 解得：（舍去）或（舍去） 综上所述，抛物线上是否存在点，使得． 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上一点，连接，求面积的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，连接，点在直线下方的抛物线上，连接．使与互为余角，求点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点的坐标 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，互余的定义，勾股定理是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，设，则，根据三角形的面积公式表示出面积，根据二次函数的性质求得的面积的最大值，以及的值，即可求解； （3）由题意可得，设直线与轴交于点，过点作交于点，则，设则，则 ， ，， ，在中，解得，可求点的坐标，进而根据直线与抛物线的交点即为点，联立直线与抛物线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得， ； （2）当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 过点作轴交于点， 设，则， 是直线上方抛物线上一点， 面积， 当时，的面积有最大值，此时； （3），， ， 设直线与轴交于点，过点作交于点， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ， ， 设直线的解析式为， 代入，得， 解答， 直线的解析式为， 当时，解得或， 当时，， ． 【题型02 ：二次函数与线段最值】 6．如图，已知抛物线过点，，，顶点为． (1)该抛物线的解析式是________； (2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． (3)设点，当的值最小时，求的值． 【答案】(1)； (2)当 时， 有最大值为 ； (3)． 【分析】（1）利用抛物线经过的三个点的坐标，代入抛物线的一般式，通过解方程组求出抛物线的解析式． （2）先求出直线 的解析式，然后设出抛物线上动点 的坐标，用 点坐标表示出 的面积，再根据二次函数的性质求出面积的最大值． （3）利用对称点的性质，找到点 关于直线 的对称点 ，连接 ，与直线 的交点即为使得 最小的点 ，进而求出 的值． 【详解】（1）解：将 ，， 代入 得： 将 代入前两个方程得： 化简得： 用 减去 得： 将 代入 得： ∴抛物线解析式为 （2）解：设直线 的解析式为 ，将 ， 代入得： 解得 ∴直线 的解析式为 设 ，过 作 轴交 于 则 ∴ ∵ ∴当 时， 有最大值为 ； （3）解：抛物线 ，顶点 点 关于直线 的对称点 ， 设直线 的解析式为 ，将 ， 代入得： 解得 ∴直线 的解析式为 当 时， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，包括求抛物线解析式、求三角形面积最大值以及利用对称求最短路径，熟练掌握二次函数的性质、一次函数的解析式求解以及对称点的性质是解题的关键． 7．某兴趣小组做小球弹射实验，轴表示水平地面，表示斜坡，．从点处以一定方向和速度弹出小球，小球的飞行路线可用抛物线刻画，其中为小球弹出后飞行的水平距离，为小球弹出后距离水平地面的高度．斜面可用直线刻画．实验测得：，，；小球飞行过程中经过、和三个点． (1)求抛物线的表达式； (2)求小球在斜面上的落点的横坐标； (3)当时，小球在飞行过程中与斜面间的竖直距离的最大值为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数的实际应用、二次函数的最值等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）待定系数法求出抛物线解析式即可得解； （2）先求出斜面的解析式，再根据小球在斜面上的落点可以看作是斜面和抛物线的交点，联立方程组求解即可； （3）设的坐标为，则，表示出的长度，再利用二次函数最值求解即可． 【详解】（1）解：将、代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解： ，，， ，， 将、两点坐标代入得： ， 解得：， 斜面的解析式为， 小球在斜面上的落点可以看作是斜面和抛物线的交点， 令， 解得：（负值舍去）， 小球在斜面上的落点的横坐标为； （3）解：设的坐标为，则， ， ， 当时，有最大值，此时， 答：小球在飞行过程中与斜面间的竖直距离的最大值为． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点，与y轴交于点E． (1)求抛物线的函数解析式和顶点P的坐标； (2)连接，求的面积； (3)若M是线段上一动点，N是线段上一动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】(1)，顶点； (2)的面积； (3)的最小值为． 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法，函数与几何的综合，函数与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）先求得直线的表达式，得到点，再求得点，根据三角形面积公式即可求解； （3）过点E作轴且使，证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 则顶点； （2）解：设直线的表达式为：， 由点A、D的坐标得，， 解得， ∴直线的表达式为：，则点， 令，即， 解得或， ∴点， ∴，， ∴的面积； （3）解：过点E作轴且使， 则， ∵， 则， 则， 则， 故当O、N、H共线时，最小， 则， 的最小值为． 9．已知抛物线L：与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第一象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若，求的值； (3)将抛物线L的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线．点P是抛物线上一动点，的最小值为4，求a的取值范围． 【答案】(1)4 (2)2 (3) 【分析】（1）在中，当时，，解得：，，求得点A、B的坐标，即可求得答案； （2）当时，利用待定系数法可得直线的解析式为，连接，过点D作轴于点E，由，可得，可得直线的解析式为，联立方程求得，再运用正切函数定义即可求得答案； （3）由平移得新抛物线：，再由的最小值为4，且，可知：点在线段上，即抛物线的对称轴左侧与x轴的交点为P，即求得的取值范围． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 解得：，， ∴，， ∴； （2）当时，， ∴顶点， 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图1，连接，过点D作轴于点E， ∵， ∴， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：（舍去），， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）∵将抛物线L的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线， ∴， 令，得， 解得：， ∵的最小值为4，且， ∴点在线段上，即抛物线在对称轴左侧部分与轴的交点为在线段上， ∴， ∴． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、两点之间的距离、一次函数的性质、求正切值、二次函数的平移、线段和的最小值问题，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的应用． 【题型03：二次函数与面积综合】 10．已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线交于点P，求P点的坐标； (3)在第一象限内的抛物线上有一点Q，当的面积最大时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数与面积的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）将A、C的坐标代入函数解析式，解方程组求出b、c的值即可得到函数的解析式； （2）先求得二次函数的对称轴，令求出B点坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再在直线解析式中令即可求得点P坐标； （3）设，的面积为S，连接，则，用含m的代数式表示S，然后利用二次函数的最值即可求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：把点代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为， 在中，当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． （3）解：∵，， ∴， 设，的面积为S，连接， 则， ， ， ∴当时S最大，此时， ∴． 11．已知：直线与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求面积的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的结合，一次函数和二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握一次函数和二次函数的图象和性质． （1）利用一次函数的解析式求出点坐标，再利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）联立解析式求出点坐标，然后假设，则，过点作轴，交直线于点，则，列出二次函数的解析式，利用二次函数的图象和性质进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，，即， 将，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：联立得， 解得， 当时，，即， 如图，假设，则，过点作轴，交直线于点，则， ∴， ∵， ∴该抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， 此时，顶点横坐标为，符合题意， ∴当时，， ∴面积的最大值为． 12．如图1，抛物线与坐标轴交于O，B两点，直线与抛物线交于A，B两点，已知点B的坐标为． (1)求抛物线和一次函数的表达式． (2)如图2，P为抛物线上位于上方的一点，过点P作x轴的垂线交于点C，求的最大值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的交点问题，二次函数的图象和性质，正确求出函数表达式是关键． （1）把分别代入抛物线和一次函数解析式，求出，，即可得到答案； （2）设点的坐标为，则，得到，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：， ∴二次函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）设点的坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． 13．如图，抛物线（b、c为常数）与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为抛物线的顶点，求的面积； (3)若点P为直线下方抛物线上的一点，是否存在点P使的面积为最大？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在， 【分析】本题考查了待定系数法、二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． （1）把、两点坐标代入抛物线解析式，可求得、的值，可求得抛物线解析式； （2）由抛物线解析式可求得、的坐标，可求得直线解析式，设对称轴交直线于点，则可求得点坐标，可求得的长，则可求得的面积； （3）设，则，，根据列出关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线、为常数）与轴相交于点、， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：， ，且， 设直线解析式为，则有， 解得， 直线解析式为， 设对称轴交于点，则， ， ； （3）解：设，则， ∴， ， ∴当时，的面积最大，此时点P的坐标为． 14．如图①，已知二次函数与轴相交于、两点，与轴相交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图②，连结、． ①在对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标和此时的周长；若不存在，请说明理由； ②点为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标和此时面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①存在一个点，使的周长最小，，的周长最小值为；②存在，此时面积的最大值为． 【分析】（1）运用待定系数法计算即可． （2）①运用待定系数法计算即可直线为，判定、是对称点，计算当时的函数值即可确定坐标，进而确定最小周长． ②设，过点作交直线于点，则，根据面积法构造二次函数，根据二次函数的最值计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴相交于、两点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：①存在，点．理由如下： 中，当时，， ∴， 设直线为， 把，代入得， ， 解得，， ∴直线为； ∵抛物线与轴交于、两点，， ∴、关于二次函数对称轴对称， ∴，，， ∴的周长为， 根据两点之间线段最短得，当在直线上时，最短，即的周长最小， ∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴点， ∴的周长最小值为； ③存在，设，过点作交直线于点，则， ∵，， ∴， 故当时，取得最大值，且为， 当时，， ∴． ∴存在，此时面积的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，构造二次函数计算三角形的最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键． 5．如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在一点Q，使与的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， G点坐标为或或或 (3)存在，△QMB与△PMB的面积相等时，Q点坐标为， 或或 【分析】（1）把三点坐标代入函数式，列式求得，，的值，即求出解析式； （2）求得抛物线顶点和点的坐标，分两种情况根据三角形相似列比例式可得点的坐标； （3）根据三角形面积相等即同底等高即可，故分别求出与过点P与直线BC平行的直线解析式和过点N与直线BC平行的直线解析式，再分别与抛物线的解析式联立方程，解方程组即可求得点． 【详解】（1）解：把、、三点代入抛物线解析式得：， 解得：， 所以抛物线的解析式为； （2）解：存在， 由， 则顶点，对称轴为直线， ∴， ∵、， ∴，， 分两种情况讨论： ①当时， ∴，即， ∴， ∴或， ②当时， ∴，即， ∴， ∴或， 综上，点的坐标为或或或； （3）解：存在， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴设过点与直线平行的直线为：， 将点代入，得， 解得，， ∴过点与直线平行的直线解析式为：， 联立，解得：，， ∵， ∴， 设过点与直线平行的直线为：， 同理将点代入，得出过点N与直线平行的直线为：， 联立，解得：，， ∴的坐标为或， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数解析式的顶点式，三角形相似的性质以及一次函数图象与二次函数图象的交点问题，本题较难．利用分类讨论的思想是解答本题的关键． 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 16．已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的情况下，将抛物线向右平移个单位长度，得到抛物线为抛物线对称轴上一点，为抛物线上一点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出B、C坐标，进而求出直线的表达式为，再求出对称轴，进而求出点D的坐标，则根据求出，设点的坐标为，则点的坐标为，再由，，列出关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求出平移后的抛物线解析式，进而得到平移后的对称轴，再分①当为的对角线时，②当为的边，且为对角线时，③当为的边，且为对角线时，三种情况分别平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入中，得 ，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，， 解得， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为． 设直线的表达式为， 将代入，得， 解得， 直线的表达式为， 抛物线表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， 点的坐标为， 如图，过点作轴交于点． 设点的坐标为，则点的坐标为， ，， ， ， 当时，取最大值， 当时，， 四边形面积的最大值为，此时点的坐标为； （3）解：抛物线的表达式为， 抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 点的横坐标为3， 设， 由（2）得，， 分以下三种情况讨论： ①当为的对角线时， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ， 解得， ， ； ②当为的边，且为对角线时， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ， 解得， ， ； ③当为的边，且为对角线时， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ， 解得 ， ． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，过作轴，交直线于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标； (3)抛物线上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1或3或或 (3)， 【分析】（1）根据待定系数法，将点、点代入抛物线解析式，解关于、的一元一次方程，即可求得抛物线的解析式； （2）通过点、求出直线的解析式，设点、的坐标，结合轴，以、、、为顶点的四边形是平行四边形得，解一元二次方程即可． （3）过点作于点，过点作轴，过点作于点，过点作于点．设点，当在右侧时，证明，得、，故可推出，解二元一次方程组可得，即，结合点推出直线的解析式为，联立解一元二次方程即可得；当在左侧时，同理可得． 【详解】（1）解：将点、代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：设点， 抛物线与轴交于点， ． 设直线的解析式为， 将点、代入，得：， 解得：，， 直线的解析式为． 设， ， 轴， ， 当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ， 解得或或或． （3）解：抛物线上存在点，使，理由如下： 过点作于点，过点作轴，过点作于点，过点作于点． 设点． ①当在右侧时，如图： ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， 解得：， ， 由，可得直线的解析式为， 联立， 解得：（此时点，点重合，舍去）或， ． ②当在左侧时，如图： 同理可得：， 解得：， ，直线的解析式为， 联立，解得：（此时点，点重合，舍去）或， ． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合应用，主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，一线三垂直模型判定三角形全等和全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解一元二次方程，解二元一次方程组等，用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度且利用待定系数法求函数的解析式是解题关键． 18．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，，，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D在x轴的下方，当的面积是时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，M是x轴上一点，N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）先求得，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据题意求得，，，再根据的面积是以及三角形面积公式可得，然后代入抛物线解析式求得的值即可解答． （3）根据平行四边形的性质得到，然后根据平行四边形的性质以及抛物线的对称轴、点D坐标求解即可． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， 将代入得： ，解得：． ∴抛物线的函数表达式为：． （2）解：由（1）可得抛物线， ∴对称轴， ∴直线l的解析式为， ∵动点D在直线l右侧的抛物线上，且点D在x轴的下方， ，， ∵， ∴， ∵的面积是， ， ，即， ∴，解得：或， ∵， ∴点的坐标为． （3）解：存在， ①如图：由（1）可得抛物线的对称轴l：，由（2）知， 当时，四边形即为平行四边形， 此时点与点O重合，即，四边形即为平行四边形， ∵是抛物线上一动点， ∴点和点D关于对称轴l对称，即； ∴当时，四边形即为平行四边形． ②如图：当， 当时，四边形为平行四边形， 如图：过点做轴，过点D做轴，由题意可得， ∴点和点D关于原点O对称， ∴点的纵坐标为， 将代入，得，解得：． ∴当、，四边形、为平行四边形． 综上，当或或时，以为顶点，为一边的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式、二次函数与几何综合、平行四边形的判定、解一元二次方程，正确添加辅助线以及应用数形结合的数学思想成为解题的关键． 19．【问题背景】 如图，一次函数分别交轴、轴于、两点，抛物线过、两点． 【知识技能】 （1）求点、的坐标及抛物线的解析式； 【构建联系】 （2）作垂直轴的直线，在第一象限交直线于，交这个抛物线于． ①求线段的最大值； ②当t取何值时，的面积为． 【深入探究】 （3）在（2）②的情况下，以、、、为顶点作平行四边形，请直接写出第四个顶点的坐标． 【答案】（1）；（2）①当时，有最大值②；（）点坐标为，或 【分析】本题考查了二次函数、锐角三角函数、平行四边形，解题的关键是求出函数的解析式，利用数形结合的思想求解． （1）首先求得、点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式． （2）①求得线段的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段的最大值； ②根据三角形的面积公式建立方程，解方程，即可求解． （3）明确点的可能位置有三种情形，其中、在轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；点在第一象限，是直线和的交点，利用直线解析式求得交点坐标． 【详解】解：（1） 分别交轴、轴于、两点， 当时，；当时，， 、点的坐标为：，，代入得， 解得： 抛物线解析式为：． （2）①如图1， 设交轴于点，则，． ， ． 又点在抛物线上，且， ． ． 当时，有最大值． ②如图所示，连接 的面积为． 解得： （3）由（2）可知， 则，． 如图2， 以、、、为顶点作平行四边形，点的可能位置有三种情形． ①当在轴上时，设的坐标为， 由，得，解得，， 从而为或． ②当不在轴上时，由图可知为与的交点， 设直线的解析式为，代入， ， 解得：； 直线的解析式为 设直线的解析式为，代入， ， 解得：； 的解析式为． 由两方程联立 解得 为． 综上所述，所求的点坐标为，或． 20．抛物线的图像经过，，与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求、、点的坐标； (3)为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点坐标． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标以及二次函数与特殊四边形综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）将，，代入即可求解； （2）分别令，令，即可求解； （3）分类讨论为对角线时：为对角线时：为对角线时：三种情况即可求解； 【详解】（1）解：依题意得：， 解得． ∴； （2）解：由知，令，得； 令，即， 解得． ∴ （3）解：如图：设点 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 综上所述： 21．如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)点是线段上方抛物线上的一动点，过作轴的平行线，交线段于点． ①当四边形为平行四边形时，求点的坐标； ②当时，在点运动过程中，抛物线上是否始终存在点，使得，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①；②当时，点在运动过程中，抛物线上始终存在点，使得，理由见解析 【分析】（1）对于抛物线，首先令，可得，即可确定点坐标，再令时，可得，求解即可获得答案； （2）①首先利用待定系数法解得直线的解析式，再确定，结合题意可设，，易得，根据平行四边形的性质可得，易得，求解即可确定点坐标； ②解法一：作点关于直线的对称点，设直线的解析式为，结合点的坐标确定直线的解析式为，联立并整理，根据一元二次方程的根的判别式，即可证明结论； 解法二：作点关于直线的对称点，易得当时可有，整理可得，结合，即可证明结论． 【详解】（1）解：在中， 当时，， ∴点， 当时，， 解得：， ∴点，； （2）解：①由（1）知，， 设直线的解析式为， 将点，代入上式，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵过作轴的平行线，交线段于点，如下图， 可设，则， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得，， 当，得， ∴； ②解法一：作点关于直线的对称点，如下图， 设直线的解析式为， ∵， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立， 整理得，， 则， ， 解方程得， ∵， ∴， ∴当时，点在运动过程中，抛物线上始终存在点，使得． 解法二：作点关于直线的对称点， 在中， 当时，， 则， ∵， ∴， ∴点在抛物线内， ∴当时，点在运动过程中，抛物线上始终存在点，使得． 【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴交点、二次函数综合应用、平行四边形的性质、一元二次方程的判别式等知识，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题． 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 22．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，点在平面上，以点，，，为顶点作菱形，请直接写出符合题意的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【分析】（1）先求得，，三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质分别进行分类讨论，即以为对角线或以为边这两个情况，进而求得点的坐标，根据菱形性质，进一步求得点坐标． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， ， ， 对称轴为直线， ， 设抛物线的表达式：， ， ， 抛物线的表达式为：； （2）解：如图1， 作于，交于， ，， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ； （3）解：∵点在抛物线对称轴上， ∴设， ∵以点，，，为顶点作菱形， ∴当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ， 即：， ， ， ， ，， ，， ． ∴当以，，，为顶点的四边形是以为边的菱形， ，且 即：， ， ， ，或 ∵当，即四边形是菱形， ∴，， ，； 此时； ∵当，即四边形是菱形， ∴，， ，； 此时； ∴当以，，，为顶点的四边形是以为边的菱形， ，且 即：， ， ， ，或 ∵当，即四边形是菱形， ∴，， ，； 此时； ∵当，即四边形是菱形， ∴，， ，； 此时； 综上：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的面积综合，待定系数法解二次函数的解析式，二次函数的图象性质，勾股定理，三角形的面积，菱形性质等知识，解题的关键是熟练掌握知识点． 23．如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C， (1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是直线下方的抛物线上一动点（不点B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点D，设点P的横坐标为m； ①用含m的代数式表示线段的长． ②连接、，求的面积最大时点P的坐标； (3)设抛物线的对称轴与交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)存在，点M的坐标为或或． 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，菱形的性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）利用待定系数法，将点和点代入抛物线解析式，求出、的值，即可求解； （2）①先确定直线解析式，根据过点P作y轴的平行线交直线于点D，可用含m的式子表示出P和D的坐标，即可求解； ②用含m的代数式表示出的面积，得到S关于m的二次函数，即可求解； （3）先求出抛物线的对称轴，进而得到点的坐标，过点作轴于点， 得到，，根据菱形的性质，分两种情况讨论：①当为菱形的对角线时，；②当为菱形的边时，，即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点， ，解得， 抛物线解析式为； （2）解：如图： ①在抛物线中，令，则，即， 设直线的解析式为，将将点、代入得： ，解得：， 直线的解析式为：， 设，则， 故用含m的代数式表示线段的长为； ②， 点是直线下方的抛物线上一动点， ， 当时，S有最大值，此时， ， 故的面积最大时点P的坐标为； （3）解：存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， ， 过点作轴于点，则，， ， ， 以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形， ①当为菱形的对角线时，此时点与点重合，， ； ②当为菱形的边时，此时， ，， 故使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形，点M的坐标为或或． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点 (1)求抛物线的解析式； (2)过点作交抛物线于点，点为直线上一动点，连接，，，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位，为平移后抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)四边形的面积最大为32， (3)存在，或 【分析】（1）直接利用两点式写出函数解析式即可； （2）过点P作x轴的垂线，交直线于点H，根据平行线间的距离相等，得到的面积等于的面积，进而得到四边形面积等于的面积加上的面积，得到当的面积最大时，四边形面积最大，转化为二次函数求最值即可； （3）求出平移后的解析式，分为菱形的边和为菱形的对角线，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 把代入，得：，解得：， ∴直线的解析式为． 如图，过点P作x轴的垂线，交直线于点H， 设点P的坐标为 ，则 ，其中． ， ∴， ∵ ∴和的边上的高相等， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形的面积最大为32，此时． （3）解：∵， ∴抛物线向右平移一个单位，得到新的抛物线的解析式为：； ∴新的抛物线的对称轴为直线， 设， ∵， ∴，， 当为菱形的边时：分两种情况： ①四边形为菱形， ∵点先向左平移4个单位，再向上平移8个单位得到点， ∴点先向左平移4个单位，再向上平移8个单位得到点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②四边形为菱形， ∵点先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到点， ∴点先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当为对角线时：此时为另一对角线，则垂直平分， ∵的中点为， 又的横坐标为2， ∴不存在点，能构成菱形． 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及交点式求函数解析式，二次函数与面积问题，二次函数的平移，二次函数与特殊四边形的问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题． ． 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 25．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)点坐标为或． 【分析】（1）利用二次函数的顶点式运算求解即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，分别表达出，，的坐标，再利用三角形面积公式列式运算即可； （3）设点关于直线的对称点为，利用折叠和等腰三角形的性质求得．设，求得，，，从而得出，求得n的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：∵拋物线的顶点的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 由（1）知抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，代入和可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴与交于点， ∴把代入可得：， ∴， ∴， 过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，如图所示： 设点G的坐标为，则，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：由（2）知，，又， ∴， 设点关于直线的对称点为，如图所示， 则，， ∵， ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴， 由抛物线的对称性可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是以B、E、M、N为顶点的矩形的对角线， ∴， 设， ∵，，， ∴， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的图形性质，二次函数点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，三角形面积，等腰三角形的判定及性质，矩形的性质等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关键． 26．如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或，当点的坐标为时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可 （2）设，分三种情况讨论：①以为对角线时，由，求出m的值，再由中点坐标公式，求得，则平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；②以为对角线时，点P在x轴上，则，从而求得，则平移的方向为向左平移1个单位长度；③以为对角线时，矩形不存在 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，点的平移性质是解题的关键 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，． 将，代入， 得解得 抛物线的表达式为， ， 顶点的坐标为； （2）存在． 如图，设． ①以为对角线． 此时，，， ， 即，解得． ，为矩形的对角线，由中点坐标公式，得， 平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度． ②以为对角线． ，点在轴上， ，则， 平移的方向为向左平移1个单位长度． ③以为对角线时，矩形不存在． 综上所述，点的坐标为或，当点的坐标为时， 原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； 当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 27．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记于y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，结合平移的性质可得：；如图，当在的左边，同理可得：，结合平移的性质可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记于轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 28．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求直线和抛物线的表达式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标． 【答案】(1)直线解析式为；抛物线表达式为 (2)线段的最大值为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，则可求得点C的坐标与抛物线的对称轴，从而求得点D的坐标，再用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）设交y轴于点E，则为等腰直角三角形；过F作轴交于点N，则为等腰直角三角形，；设，则，根据题意建立二次函数，利用二次函数性质求解； （3）分两种情况：当点P在的右边时，设直线交y轴于点R，易得，求出直线的解析式，得点R的坐标；设，由四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求得点P的坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标；当点P在的左边时，同理求得点P的坐标，结合平移的性质可求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：把A、B两点坐标分别代入中，得：， 解得：， ∴； 上式中令，得，即； ∵抛物线的对称轴为直线，C、D关于对称轴对称， ∴; 设直线解析式为，把A、D两点坐标代入得：， 解得：， ∴直线解析式为； （2）解：如图，设交y轴于点E， 当时，，则， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 过F作轴交于点N，则， ∴为等腰直角三角形， ∴； 设，则， ∴， 由于二次项系数为负，则当时，有最大值， ∴； 即的最大值为； （3）解：如图，当点P在的右边时，设直线交y轴于点R， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 即； 设直线的解析式，则有，解得， ∴直线的解析式， 上式中令，则，即； 设， ∵四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得：，即； ∵， ∴由平移得； 如图，当点P在的左边时， 同理：由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 由平移得：； 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解题的关键． 29．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）先根据一次函数解析式求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先根据二次函数的性质求得顶点为，设，然后分、和三种情况，分别画出图形并运用矩形的对角线相等且相互平分列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵B、C分别是直线与x轴，y轴的交点， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， ∵B、C在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴顶点， 设， ①如图：当时， 则，解得：， ∴； ②如图：当时， 则，解得：， ∴． 所以或． 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 30．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交x轴于点D．已知线段， 直线经过B，C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？如果存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，，， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，两点间距离公式，等腰三角形的定义等知识点． （1）先根据一次函数求出点坐标，再由求出坐标，然后由待定系数法求解即可； （2）先求出对称轴为直线，则，然后设，表示出，，，再分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：对于，当， ∴， 将代入，则， ∴， 当，， 解得：， ∴， ∵， ∴， 将代入，则 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：存在，由可得对称轴为直线，则 ∴设， 则，，， ①时，， 解得：或（舍）， ∴； ②时，， 解得：， ∴； ③当时，， 解得：， ∴或， 综上：当是等腰三角形，，，，． 31．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)；面积最大值为 (3)点M的坐标为，， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质的综合应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的图象和性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）如图，过点P作轴交于点E，先用含m的解析式表示出，再利用二次函数的性质即可得解； （3）分①当时，②当时，两种种情况讨论，即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入得， 由①②得，，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令得， ∴，， ∴， 令得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解方程得， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交于点E， 设P点坐标为，则，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴此时P点坐标为； （3）解：∵对称轴与x轴交于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，、 ①当时， 如图所示有，， ②当时，过点C作， ∵，， ∴， ∴， 综上所述：点M的坐标为，，． 32．如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求的值； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)9 (2)存在，或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）求出、的坐标，将点、的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解； （2）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）直线，令，则，令，则， 故点、的坐标分别为、， 将点、的坐标分别代入抛物线表达式得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 则点坐标为，顶点的坐标为， ∴； （2）设， 当时，如图， 则点纵坐标与中点的纵坐标相同， ， ， 解得：， 故此时点坐标为； ②当时，如图， ， ， 故此时点的坐标为或； ③当时，如图， , , 解得：， 故此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或； 33．如图，已知抛物线与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，顶点为． (1)求出抛物线的表达式； (2)若的角平分线与在第一象限的抛物线交于点，求点的横坐标； (3)若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点．使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)点的横坐标为 (3)点坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，勾股定理，等腰三角形的定义，分类讨论是解本题的关键． （1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）作的角平分线交轴于点，交抛物线于点，过点作于点，得到，先求出点的坐标，推出，进而得到，设，则，由勾股定理可得，结合，可求出，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，最后联立直线的解析式和抛物线的解析式即可求解； （3）求解抛物线的对称轴为直线，设，求解，可得，，，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入抛物线可得： ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）如图，作的角平分线交轴于点，交抛物线于点，过点作于点， ， 令，则， 解得：，， ， ， ， ， 又 ， ， 设，则， ， 又 ， ， 解得：， ， 设直线的解析式为，将，代入可得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立：， 解得：， 点在第一象限， ， 即点的横坐标为； （3）解：抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 设， ，，， 如图， 当时， ， 解得：， 或； 当时， 即， 解得：， 或， 综上：点坐标为或或或． 34．如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (4)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， (4)的坐标为：或或或 【分析】（1）把点，点的坐标带入，再根据对称轴，解出，，，即可； （2）设直线与对称轴的交点为点，设直线的解析式为：，把点，点的坐标代入，求出解析式，再根据点在上，求出点的坐标；根据直线垂直平分，则，；根据等量代换，三角形三边的关系，则，当点在直线上，则有最小值，根据，是定值，即可； （3）根据题意，则点，过点作轴交于点，则点，求出的值，根据四边形面积为：，且，当时，有最大值；再根据，即当时，四边形面积有最大值，最后根据点在，即可； （4）根据等腰三角形的性质，分类讨论：当点与点关于轴对称，则，求出点的坐标；延长交直线于点，此时，三点共线，不存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形；当，求出点的坐标；当时，求出点的坐标，即可． 【详解】（1）∵抛物线经过点，两点， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）设直线与对称轴的交点为点， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：； ∴点， ∵直线垂直平分， ∴， ∴，， 当点与点重合时，，此时有最小值， ∴，此时的值最小， ∵，是定值 ∴当点时，有最小值， 故答案为：． （3）过点作轴交于点， 设点的横坐标为， ∴，， ∴， ∵四边形的面积，， ∴， ∴， 当时，有最大值，， ∵， ∴当时，四边形面积有最大值为：， ∴点． （4）存在，理由如下： ∵点，对称轴， ∴点， ∴， 设点， 设直线与轴交于点， ∴点与点关于轴对称， ∴， ∴是等腰三角形， ∴点； 延长交直线于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，三点共线， ∴不存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形； 当， ∴， 解得：， ∴点或； 当时， ∴， 解得：； 综上所述，当点的坐标为：或或或时，存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，两点间线段最短，等腰三角形的性质，待定系数法求解析式，学会运用数形结合，分类讨论的方法． 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 35．如图，抛物线经过，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，连接、，交轴于点，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，且位于轴上方，连接、，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数、二次函数与直角三角形综合，解决问题的关键是熟练掌握二次函数性质、用待定系数法确定二次函数的解析式、运用勾股定理解直角三角形． （1）根据，，得到，，对，令，则，得到，则，根据轴，得得到，把，代入，求得，的值，即可求得到抛物线解析式； （2）抛物线解析式并配方为，得到抛物线的对称轴是直线，设，写出，，,根据是以为直角边的直角三角形，分两种情况：当时，；当时，，分别列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 在中，令，则， ∴，则， ∵轴， ∴； 把点，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）∵抛物线的表达式为， ∴抛物线的对称轴是直线， 设，， 则，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴（不合题意，舍去）， ∴． 综上所述，点的坐标为 36．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F． ①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值； ②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标． 【答案】(1) (2)①；②或或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①先求出的解析式，设，将三角形的面积转化为二次函数求最值，即可； ②分点为直角顶点，点为直角顶点，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点、代入解析式，得： ，解得：； ∴； （2）①∵， ∴当时，， ∴， 设的解析式为，把代入，得：， ∴， 设点，则：， ∴， ∴， ∴当时，面积的最大值为； ②∵， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴ 设点，则：， ∴， 当点为直角顶点时，则：， ∴， 解得：（舍去），或； ∴或 当点为直角顶点时：， ∴， 解得：（舍），（舍），或； ∴或； 综上：或或或． 37．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知，点P是抛物线H上的一个动点． (1)求抛物线H的表达式； (2)如图，点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点，是否存在点M，使得以点A，M，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在点，，， 【分析】（1）根据题意设抛物线，根据点A的坐标，待定系数法求二次函数解析式即可； （2）设，，，则， ，则分类讨论，即，，，根据勾股定理建立方程，解方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线， 将代入得：，解得： ∴抛物线H的表达式为； （2）解：令，得， 解得：或， 令，则， ∴，， ∵点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点， ∴设， ∴，， 如图示： ①当时，则 ∴， 解得：， ∴，， ②当时，， ∴ 解得： ，即 ③当时，， 即 解得，即， 综上所述：在抛物线的对称轴上存在点，，，，使以A、M、C为顶点的三角形为直角三角形． 【点睛】本题考查了二次函数与直角三角形的存在性问题，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 38．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A、，抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或或或 【分析】（1）将点C的坐标代入得，，故点，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）分是斜边、是斜边、是斜边三种情况，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：将点C的坐标代入得，， 故点； 将点B、C的坐标代入抛物线的表达式得， 解得， 故抛物线得表达式为； （2）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 设点， 而点B、C的坐标分别为、， 则，， 同理， 当是斜边时，则 解得； 当是斜边时，同理可得， 当是斜边时，的中点坐标为，， 则， 解得， 故点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，勾股定理的运用等，其中对于问题（2），要注意分类求解，避免遗漏． 39．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； (2)当的周长最小时，求抛物线对应的函数关系式； (3)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)抛物线的函数关系式为：或． 【分析】本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及勾股定理解答． （1）根据抛物线：求出点，的坐标，由抛物线与是“共根抛物线”，可设出抛物线的解析式，最后把点代入即可求解； （2）连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小，先求出直线的解析式，从而求出点的坐标，据此即可求解； （3）设点的坐标为，求得，，，分点在轴上方和点在轴下方，利用勾股定理列式，求得点的坐标，据此即可求解． 【详解】（1）解：在抛物线：中，令，则， 解得：或， 即点，点， 根据题意，设抛物线的函数关系式为：， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （2）解：连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小． 令，则， ∴， 设直线的解析式为，将点代入得，， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （3）解：假设存在，设点的坐标为， ∵，， ∴，，， 当点在轴上方时， 由题意得，即， 解得， 即点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； 当点在轴下方时， 由题意得，即， 解得， 即点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； 综上，抛物线的函数关系式为：或． 40．如图，抛物线经过，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，连接、，交轴于点，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，且位于轴上方，连接、，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数、二次函数与直角三角形综合，解决问题的关键是熟练掌握二次函数性质、用待定系数法确定二次函数的解析式、运用勾股定理解直角三角形． （1）根据，，得到，，对，令，则，得到，则，根据轴，得得到，把，代入，求得，的值，即可求得到抛物线解析式； （2）抛物线解析式并配方为，得到抛物线的对称轴是直线，设，写出，，,根据是以为直角边的直角三角形，分两种情况：当时，；当时，，分别列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 在中，令，则， ∴，则， ∵轴， ∴； 把点，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）∵抛物线的表达式为， ∴抛物线的对称轴是直线， 设，， 则，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴（不合题意，舍去）， ∴． 综上所述，点的坐标为 41．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F． ①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值； ②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标． 【答案】(1) (2)①；②或或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①先求出的解析式，设，将三角形的面积转化为二次函数求最值，即可； ②分点为直角顶点，点为直角顶点，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点、代入解析式，得： ，解得：； ∴； （2）①∵， ∴当时，， ∴， 设的解析式为，把代入，得：， ∴， 设点，则：， ∴， ∴， ∴当时，面积的最大值为； ②∵， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴ 设点，则：， ∴， 当点为直角顶点时，则：， ∴， 解得：（舍去），或； ∴或 当点为直角顶点时：， ∴， 解得：（舍），（舍），或； ∴或； 综上：或或或． 42．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知，点P是抛物线H上的一个动点． (1)求抛物线H的表达式； (2)如图，点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点，是否存在点M，使得以点A，M，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在点，，， 【分析】（1）根据题意设抛物线，根据点A的坐标，待定系数法求二次函数解析式即可； （2）设，，，则， ，则分类讨论，即，，，根据勾股定理建立方程，解方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线， 将代入得：，解得： ∴抛物线H的表达式为； （2）解：令，得， 解得：或， 令，则， ∴，， ∵点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点， ∴设， ∴，， 如图示： ①当时，则 ∴， 解得：， ∴，， ②当时，， ∴ 解得： ，即 ③当时，， 即 解得，即， 综上所述：在抛物线的对称轴上存在点，，，，使以A、M、C为顶点的三角形为直角三角形． 【点睛】本题考查了二次函数与直角三角形的存在性问题，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 43．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A、，抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或或或 【分析】（1）将点C的坐标代入得，，故点，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）分是斜边、是斜边、是斜边三种情况，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：将点C的坐标代入得，， 故点； 将点B、C的坐标代入抛物线的表达式得， 解得， 故抛物线得表达式为； （2）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 设点， 而点B、C的坐标分别为、， 则，， 同理， 当是斜边时，则 解得； 当是斜边时，同理可得， 当是斜边时，的中点坐标为，， 则， 解得， 故点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，勾股定理的运用等，其中对于问题（2），要注意分类求解，避免遗漏． 44．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； (2)当的周长最小时，求抛物线对应的函数关系式； (3)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)抛物线的函数关系式为：或． 【分析】本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及勾股定理解答． （1）根据抛物线：求出点，的坐标，由抛物线与是“共根抛物线”，可设出抛物线的解析式，最后把点代入即可求解； （2）连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小，先求出直线的解析式，从而求出点的坐标，据此即可求解； （3）设点的坐标为，求得，，，分点在轴上方和点在轴下方，利用勾股定理列式，求得点的坐标，据此即可求解． 【详解】（1）解：在抛物线：中，令，则， 解得：或， 即点，点， 根据题意，设抛物线的函数关系式为：， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （2）解：连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小． 令，则， ∴， 设直线的解析式为，将点代入得，， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （3）解：假设存在，设点的坐标为， ∵，， ∴，，， 当点在轴上方时， 由题意得，即， 解得， 即点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； 当点在轴下方时， 由题意得，即， 解得， 即点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； 综上，抛物线的函数关系式为：或． 【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】 45．二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点M作轴交直线于点N，交抛物线于点D，连接，设运动的时间为t秒． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上存在一点P，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数与几何的综合题，待定系数法求二次函数表达式，根据等腰直角三角形求点的坐标，解题的关键是根据点的坐标求出函数解析式，同时根据解析式将点表示出来，列出方程进行计算． （1）将、两点的坐标代入二次函数解析式中，求出系数与即可； （2）由的值得出的坐标，因此设，由勾股定理可得，，根据题意，所以，得出的坐标为，再利用勾股定理列出方程，解得或，代入求值即得出答案． 【详解】（1）解：将 ， 代入中， 得： ， 解得： ． 二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴， ． 对于，当， ∴， ∴， 设， 则，． ， ， ， ． ， ∴， ， 将代入整理得：， 解得：或． 将或分别代入中， 或． 46．如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置． （1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值； （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点B的坐标为，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，解得：或0（舍去）， ∴a的值为1； （2）解：存在，理由如下： 如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，则，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由（1）得点B的坐标为，对称轴为直线， ∴点C的坐标为， 故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为． 47．如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接，，． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)如图1，当点F的坐标为，过点P作x轴的垂线，交线段于点D，求线段长度的最大值； (3)如图2，是否存在点F，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题考查待定系数法，三角形的面积求法，等腰直角三角形的讨论，二次函数的图象与性质，难度比较大，根据题意正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作x轴的垂线，交线段于点D，用待定系数法求出直线的解析式，利用抛物线解析式设出点P坐标，从而得出点D的坐标，利用求面积，再配成顶点式从而可求面积的最大值； （3）通过作垂线构造，从而得出边相等，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点、， ∴， 解得：， ∴该抛物线所对应的函数解析式为； （2）解：如图1，过点P作x轴的垂线，交线段于点D， 设直线的解析式为， 由，的坐标得， ， 解得 ∴直线的表达式为：， 设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，面积的最大值为； （3）解：存在，理由： 设，F（0，n）， ∵， ∴，， 如图2，过点P作轴于点Q， 则， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：或2， 当时，，， ∴，即， ∵点F在y的负半轴上， ∴， ∴； 当时，，， ∴，即， ∵点F在y的负半轴上， ∴， ∴． 综上，点F的坐标为或． 48．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为或 (3)的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解； （3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：    此时； ②当在第一象限，在第四象限时，   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（小于0，舍去）或， ， 的坐标为； ③当在第四象限，在第三象限时，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得， 解得或（大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④当在第四象限，在第一象限，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（舍去）或， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 49．如图，二次函数与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求函数表达式及顶点坐标； (2)连接，点P为线段上方抛物线上一点，过点P作轴于点Q，交于点H，当时，求点P的坐标； (3)是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，并转化为顶点式，即可求出顶点坐标； （2）先求出直线的解析式，设点，则，则，，根据，列出关于m的方程，解方程即可； （3）过点M作轴，交对称轴于点F，过点B作于点E，证明，得出，设点，则，，得出，求出s的值即可． 【详解】（1）解：把点、代入得：， 解得： ∴， ∴顶点坐标为：； （2）解：把代入得：， ∴， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴， 设点，则， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）， ∴； （3）解：过点M作轴，交对称轴于点F，过点B作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则，， ∴， 当时，解得：或； 当时，解得：或； 综上分析可知，点M的横坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，三角形全等的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明． 【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】 50．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l． （1）求该抛物线的表达式； （2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）． 【分析】（1）根据待定系数法，将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式，即可求解； （2）在△AOC中，OA＝OC＝3，由题意：以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等可知PD＝DE＝3，再分点P在抛物线对称轴右侧、点P在抛物线对称轴的左侧两种情况，求解即可． 【详解】解：（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得 ，解得， 故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3； （2）抛物线的对称轴为x＝﹣1，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3， 故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C（0，﹣3）， 故OA＝OC＝3， ∵∠PDE＝∠AOC＝90°， ∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等， 设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2， 故n＝22+2×2﹣3＝5，故点P（2，5）， 故点E（﹣1，2）或（﹣1，8）； 当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（﹣4，5），此时点E坐标同上， 综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何运用，涉及到三角形全等，掌握数形结合思想是解答关键，其中（2）需要分类求解，避免遗漏． 51．如图，抛物线与x轴交于点，点B，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)如图1，点M是抛物线上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，连接，若，求m的值； (3)如图2，将抛物线平移后得到顶点为B的抛物线．点P为抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点R．当以点P，Q，R为顶点的三角形与全等时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先利用待定系数法求得直线的解析式，进而求得设直线的解析式，再和抛物线联立方程组求解即可； （3）先求得,进而求得平移后抛物线的解析式，设，则，，分当P在Q点上方时和当点P在Q点下方时两种情况，利用全等三角形的性质和坐标与图形性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得． 抛物线所对应的函数解析式为； （2）解：当时，， ∴    ， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 如图1，当M点在x轴上方时， ∵， ∴， 则设直线的解析式为， ∵直线经过点C， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 解得：，（舍去）， ∴； （3）解：∵抛物线的图象过点，对称轴为直线， ∴, ∵抛物线平移后得到，且顶点为点B， ∴， 即． 设，则， 由题意，点Q、R关于抛物线的对称轴对称，且对称轴为直线， ∴， ①如答图2，当P在Q点上方时， ，， ∵与全等，，，， ∴当且时，且，则， ∴，； 当且时，且，无解； ②如答图3，当点P在Q点下方时， 同理：，， 当且时，且，则， ∴，； 当且时，且，无解； 综上可得P点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移、坐标与图形、全等三角形的性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键． 52．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，其顶点为D，对称轴为直线，对称轴与x轴交于点E． (1)求抛物线的解析式． (2)M是该抛物线上在第三象限内的一点，过点M作轴于点N，P是x轴上一点，要使以M，N，P为顶点的三角形与全等，求满足条件的点M，P的坐标． 【答案】(1) (2)①，；②当M的坐标为时，点P的坐标为或；当M的坐标为时，点P的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的函数解析式即可； （2）根据解析式求出相关线段的长度，再分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：依题意，得 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴，， ∴，． 在中，令， 解得，， ∴，． ∵，， ∴当以M，N，P为顶点的三角形与全等时，E与N是对应点． ①若，，如图1，则． 在中，令，得． 解得（大于0，舍去），， ∴，， ∴，． ②若，，如图2，则． 在中，令，得． 解得（大于0，舍去），， ∴，， ∴，． 综上所述，若以M，N，P为顶点的三角形与全等，则当M的坐标为时，点P的坐标为或；当M的坐标为时，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法、抛物线的顶点、与坐标轴的交点、全等三角形判定等知识，解决此题的关键是由数形结合列出方程． 【题型11：二次函数与相似三角形存在性问题】 53．如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)已知点是抛物线的顶点，点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点E作轴于点，交抛物线于点． ①求四边形的面积； ②求的边上的高的最大值； ③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①9；②．③ 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于，两点，设函数解析式为，再将点代入求解即可． （2）①先求出抛物线的顶点坐标为，再根据四边形的面积计算即可； ②求出直线的解析式为：，求出，设的边上的高为，设点E为，则，在中，，即可求出答案； ③以点A为顶点作，过点G作于点M，得到三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置，利用解直角三角形求出答案即可． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设该抛物线的解析式为：． ∵过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为：． （2）∵， ∴抛物线的顶点坐标为 ∴四边形的面积； 即四边形的面积 ②设直线的解析式为：， 把点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：． ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，如图， 设点E为，则， 则， 在中，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ③以点A为顶点作，过点G作于点M， ∴， ∴，即三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置， 如图： 由可知，当时，， ∴有最大值时，点E的坐标为， 则， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数求最值，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题关键是在求等腰直角三角形的存在性时，注意分类讨论的思想的运用，要把所有符合条件的点求全． 54．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且横坐标为1，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴交于点，点为抛物线的顶点，点的坐标为． (1)求线段的长； (2)点为线段上方抛物线上的任意一点，当的面积最大时，求此时点坐标，并求出最大面积； (3)在（2）的情况下，过点作的垂线交于点，点在轴上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、二次函数与面积综合、二次函数求最值等问题，数形结合是解决问题的关键． （1）根据题意，令，代入表达式求出即可得到，再根据点与点关于抛物线的对称轴对称，即可求出，从而得到答案； （2）作轴交于，如图所示，设，数形结合，在平面直角坐标系中表示出的面积，由二次函数图象与性质分析即可得到答案； （3）作直线交于，使得，作于交于，如图所示，数形结合得，利用等面积法求解即可得到答案． 【详解】（1）解：点在抛物线上，且横坐标为1， 令，则，则， 点与点关于抛物线的对称轴对称， ， ； （2）解：作轴交于，如图所示： 设， 直线的解析式为， ， ， ， 抛物线开口向下，有最大值，当时，的面积最大为，此时； （3）解：作直线交于，使得，作于交于，如图所示： 由（2）知点，， ， ， ，此时的值最小， ， ， 的最小值为． 55．如图，已知抛物线经过点和，顶点为，与y轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)若点G是线段上方抛物线上一个动点，求面积的最大值，并求出此时点G的坐标； (3)若抛物线对称轴上有点E，使得取得最小值，连接并延长交第二象限抛物线为点M，求的长度． 【答案】(1) (2)最大值为，此时，点； (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由面积，即可求解； （3）证明，即最小，当点A，E，H三点共线且垂直时最小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意设， 将点D的坐标代入上式得：，则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的解析式知，点， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线的表达式为：， 过点G作轴交于点H， 设点，则点，则， 则面积， ∵， ∴当时，面积有最大值，最大值为，此时，点； （3）解：如图2，过点A作于点H，交对称轴于点E，连接并延长交第二象限抛物线为点M， 由题意知：，， ， ， 在中，， ， ，即最小， 当点A，E，H三点共线且垂直时最小， 在，中，， ， ，即 ∵， 同理可求得的解析式为：， 联立和抛物线， 解得：， 则点， 则 【点睛】本题属于二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求得一次函数解析式，解直角三角形，直线与抛物线交点的求法，及二次函数图象上点的坐标特征，作出辅助线，进行分类讨论，是解题的关键． 56．如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，点P的坐标为； (2)点E的坐标为； (3)存在，点N的坐标为或 【分析】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程． （1）先求得点坐标，再代入，求出，即可得到抛物线解析式，配方解析式即可得到顶点； （2）在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，设出点E，F的坐标，列出函数，根据函数的性质即可得到答案； （3）根据B，C ，P三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类讨论边对应成比例列式解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：直线，令，得，令，得， 所以，，代入得， ，解得：， ∴， ∴， ∴顶点P的坐标为：； （2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值， 此时，点E的坐标为； （3）解：存在，理由如下， 连接，设， 当时，， 解得，， ∴， ∵，，， ∴，且非等腰三角形， 若为顶点的三角形与相似， ，则点在点的左侧， ， ①当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， ②当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或． 【题型12：二次函数与胡不归问题】 57．如图，抛物线（a，b为常数，）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，D为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点E． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)是否存在以C，D，E为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及相似三角形的判定与性质． （1）根据已知条件将抛物线化为交点式，再将式子展开后与抛物线表达式进行对比，得到，再将代入原式得到抛物线的表达式即可； （2）先求出相关点坐标和直线的表达式，再分情况讨论为等腰直角三角形的情况，最终得到点E的坐标． 【详解】（1）解：由题意得：，则， 则抛物线的表达式为：． （2）解：存在， 理由：由抛物线的表达式知，点，则为等腰直角三角形，直线的表达式为：， 当以C，D，E为顶点的三角形与相似时，则为等腰直角三角形， 当为直角时，则此时C、D关于抛物线的对称轴对称，则点， 当时，，即点，则，符合题意； 当为直角时，则此时点D为抛物线的顶点， 当时，，即点， 则，符合题意； 综上，点或． 58．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点P是第一象限抛物线上一点，设P点的横坐标为m．过点P作轴，交于点D，过点D作轴，垂足为E，连接，当和相似时，求点P的坐标； 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点P的坐标或 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数，二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，两点间的距离公式，二次函数的最值等知识，第二问注意两三角形相似时根据边的对应关系分情况讨论是解题的关键， （1）用待定系数法进行解答即可； （2）根据已知P点的横坐标为m，可得点P和D的坐标，用m的代数式表示和，根据相似三角形的两种情况，由两直角边对应成比例，列出m的方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，令，得， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 依题意得，则， ∴， ∵， ∵， ∴当和相似时， ∴或， ∴或， ①当时，， ， 解得（舍）或2， ∴， ②当时，， 解得：（舍）或， ∴； 综上，点P的坐标为：或． 59．如图，已知抛物线与轴交于，的两点，与轴交于点，为顶点，点是轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点，与交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点的坐标； (2)是否存在点，使得以点，、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在点，或 【分析】本题主要考查二次函数的性质、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数、两点之间距离公式和相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和相似三角形的性质． （1）设抛物线解析式为，将点代入求得函数解析式，再化为顶点式即可； （2）根据点的坐标利用两点之间的距离公式和勾股定理逆定理即可判定为直角三角形，且， ， ．分两种情况(Ⅰ) ，则；(Ⅱ) ，则，分别求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 解得 ∴抛物线所对应的函数关系式， ∴抛物线的顶点为； （2）存在点，使得以点，、为顶点的三角形与相似；理由如下： ∵，， 则，，， ∵， ∴为直角三角形，． （Ⅰ）如图2，若，则， 即， 整理，得， 解得，（舍去）． ∴． （Ⅱ）如图3，若， 则， 即 整理，得， 解得，（舍去）． ∴ 故符合条件的点的坐标为或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $