2026—2027 学年浙教版数学九年级上册第一次阶段检测（测试范围：第1章—第2章）

**基本信息** 聚焦二次函数与概率，以移动喷灌机、双肩包销售等真实情境设计问题，注重数学应用与核心素养考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|二次函数顶点坐标（1）、平移（3）；概率随机事件（2）、频率估计概率（9）|基础概念与图像辨析结合，如第4题借图像判断方程根| |填空|6/18|二次函数解析式转化（11）、概率面积模型（12）|开放题（13）与几何综合（15）兼顾，考查灵活应用| |解答|8/72|二次函数应用（18、21）、概率计算（20、22）、代数几何综合（23、24）|以喷灌机（18）、销售利润（21）为情境，体现模型意识；24题动态探究抛物线与线段交点，发展创新意识|

2026—2027学年九上第一次阶段检测 考试范围：第1（二次函数）-2（随机事件的概率）章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A A C D B A D D B 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 12. 13. （答案不唯一） 14. 25 15. 16.23 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，画二次函数的图象， 对于（1），将点代入，求出a值即可； 对于（2），根据列表，描点，连线可得答案． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得；（4分） （2）解：由（1）可知函数解析式为， 列表： 0 1 0 1 0 描点、连线，作图如下． （8分） 18．（8分） 【答案】(1)水流的最高点到地面的距离为10米 (2)左、右两条水流最高点之间的距离为6米 【分析】（1）将二次函数转化为顶点式进行求解即可； （2）根据点关于轴对称的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流最高点到地面的距离为10米；（4分） （2）解：∵左、右两条抛物线关于轴对称， ∴左边抛物线的顶点为，其关于轴的对称点即为右边抛物线的顶点， ∴左、右两条水流最高点之间的距离为：米．（8分） 19．（8分） 【答案】(1) 证明：一元二次方程中，，， ， 该二次函数图象与轴总有两个不同交点； (2) 【分析】（1）先判断一元二次方程根的情况，再结合二次函数与一元二次方程的关系即可得证； （2）令，求出、两点的横坐标及；令，得与轴交点的纵坐标，即高，根据的面积为推得，求解即可． 【详解】（1）略（4分） （2）解：令，解方程， ， 解得，， ， 令，得与轴交点的纵坐标为， 即高为， 三角形面积， ①时，； ②时，（无实数解）． 故．（8分） 20．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：从A，A，B，B，C，D的六张卡片中，随机抽取一个，共有6种等可能的结果，其中质量为的卡片只有C， ∴在天平右端托盘放置质量为的物体的概率为．（4分） （2）解：小明第一次抽到卡片D，即为，，那么还需要抽一张质量为的卡片，即A， ∴概率为．（8分） 21．（8分） 【答案】(1)（，为正整数） (2)当售价定为110元时，商店每月获得利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，审清题意，列出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意，列出函数解析式即可； （2）设每月获得利润元，根据题意，可得，整理得，，再根据二次函数的性质取最值即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，涨价元，则每月可少销售个， 每月的销售量为个， 销售量要大于或等于0， ，解得，则； 故答案为：（，为正整数）；（4分） （2）解：设每月获得利润元， 由题可得，， 整理得，， ， 当时，取得最大值，为元， ， 答：当售价定为110元时，商店每月获得利润最大，最大利润是元（8分） 22．（10分） 【答案】(1) (2)， 理由：分别用A、B、C表示《我本是高山》、《志愿军：雄兵出击》、《奇迹乐队》三部电影，画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种， ∴（选不同电影）． 【分析】（1）根据概率公式进行解答即可； （2）分别用A、B、C表示《我本是高山》、《志愿军：雄兵出击》、《奇迹乐队》三部电影，画出树状图，找到所有等可能的情况数和符合题意的情况数，利用概率公式进行解答即可． 【详解】（1）解：∵现有《我本是高山》、《志愿军：雄兵出击》、《奇迹乐队》共3部电影， ∴甲同学选择《志愿军：雄兵出击》电影的概率为．（5分） （2）略．（10分） 23．（10分） 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）由题意易得，，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）连接，由题意易得，，设点，且，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线得：，解得：， ∴， 把代入直线得：， ∴， ∵抛物线经过，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为；（5分） （2）解：连接，如图所示： ∴， ∵，， ∴，， 设点，由题意知， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，此时点的坐标为．（10分） 24．（12分） 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先利用点求出直线的解析式，再求出点，最后使用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）分为，和三类讨论，结合抛物线的增减性求出每种情况的最大值和最小值，判断两数之差是否为定值即可； （3）根据题意，点，，结合线段与抛物线有一个公共点可得不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为；（4分） （2）解：， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越近，函数值越大， ①当时， ∴在上，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值； 不是定值，不符合题意； ②当时， ∴抛物线在顶点处取得最大值，即当时，取得最大值， ∵， ∴当时，取得最小值， 为定值，符合题意； ③当时， 同理，当时，取得最大值；当时，取得最小值； 不是定值，不符合题意； 综上所述，的取值范围为；（8分） （3）解：根据题意，点的坐标为， ∵点向上平移两个单位长度得到点， ∴点的坐标为， ∵线段与抛物线只有一个公共点， ∴， 由①得， 由②得或， ∴点的横坐标的取值范围为或．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年九上第一次阶段检测 考试范围：第1（二次函数）-2（随机事件的概率）章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．下列事件中，是随机事件的为（     ） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．画一个三角形，其内角和为 C．寒来暑往 D．从只有红球的袋子中摸出黑球 3．将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 5．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 6．一个不透明的礼盒中装有8个八宝粽，若干个肉粽，它们除标签名称不同外其余均相同，若从中随机拿出1个粽子为八宝粽的概率为，则肉粽的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．8个 D．10个 7．已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 9．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共个．将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下表是试验中统计的数据．若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率约为（     ） 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率（结果保留三位小数） A． B． C． D． 10．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．将二次函数化为的形式是________． 12．一只蚂蚁在如图所示边长为2的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为______． 13．已知二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的值可以是______．（写出一个即可） 14．一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，估计盒子中小球的个数为______． 15．如图，某建筑物的截面可以视作由两条线段，和一条曲线围成的封闭的平面图形．已知 ，曲线是以点为顶点的抛物线的一部分， ，点到、的距离分别为 和 ，则的长为________________． 16．如图，二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在的边上移动，轴，轴，M点坐标为，，．若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则的最大值是_____________． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)在所给的坐标系中画出这个函数的图象． 18．（8分）将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益的重要途径．某农田引进了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示． (1)求水流的最高点到地面的距离； (2)求左、右两条水流最高点之间的距离． 19．（8分）已知二次函数： (1)求证：该二次函数的图象与轴总有两个不同的交点； (2)若该二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且的面积为，求的值． 20．（8分）如图，在一个平衡天平的左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物体后，天平倾斜．分别标有A，A，B，B，C，D的六张卡片（卡片除正面字母不同外，其他均相同），其中A代表质量为的物体，B代表质量为的物体，C代表质量为的物体，D代表质量为的物体，将卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张，记下卡片上的字母后放回，抽到卡片上的字母即在天平右端托盘放置相应质量的物体． (1)任意抽取一张卡片，在天平右端托盘放置质量为的物体的概率为____________； (2)小明第一次抽到卡片D，求小明第二次抽取卡片，在天平右端托盘放置相应质量的物体后，天平恢复平衡（即天平两端的托盘上放置的物体质量相同）的概率． 21．（8分）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60元．市场调查发现，若每个定价100元，则每月可销售300个；若每个涨价1元，则每月可少销售5个．设每个双肩包涨价元（为正整数），每月的销售量为个． (1)直接写出与的函数关系式： ； (2)当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少？ 22．（10分）为深入践行社会主义核心价值观，厚植家国情怀、砥砺奋斗精神，学校特开展“青春当燃，不负韶华”主题观影活动，号召同学们利用周末自主观看励志影片．现有《我本是高山》、《志愿军：雄兵出击》、《奇迹乐队》3部励志电影，甲、乙2位同学从这3部电影中任意选择1部观看． (1)甲同学选择《志愿军：雄兵出击》的概率为________； (2)求甲、乙2位同学选择不同电影的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 23．（10分）如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 24．（12分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求点的坐标和抛物线的解析式． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请求出的取值范围． (3)点为直线上一动点，将点向上平移两个单位长度得到点．若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年九上第一次阶段检测 考试范围：第1（二次函数）-2（随机事件的概率）章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线为， 顶点坐标是． 2．下列事件中，是随机事件的为（     ） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．画一个三角形，其内角和为 C．寒来暑往 D．从只有红球的袋子中摸出黑球 【答案】A 【分析】随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，必然事件是一定会发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件．根据定义，判断各选项的事件类型，即可选出正确答案． 【详解】解：A选项，投掷一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向上，故该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件； B选项，∵任意三角形的内角和都为，∴画一个三角形，其内角和为是必然事件； C选项，寒来暑往是固定的自然规律，是必然事件； D选项，从只有红球的袋子中不可能摸出黑球，是不可能事件． 3．将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为． 4．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 【答案】C 【分析】根据的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧可得出答案． 【详解】解：由函数图象可得：的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧， ∴关于x的方程即有两个同号不等实数根， 5．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式的性质，逐项判断即可得到正确结果． 【详解】解：对于二次函数，其中，，， ， 抛物线开口向上，A选项错误； 顶点式的对称轴为直线， 对称轴为直线，B选项错误； 抛物线与轴交点，令代入解析式：， 与轴交点纵坐标为，不是，C选项错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小，D选项正确 故选：D． 6．一个不透明的礼盒中装有8个八宝粽，若干个肉粽，它们除标签名称不同外其余均相同，若从中随机拿出1个粽子为八宝粽的概率为，则肉粽的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．8个 D．10个 【答案】B 【分析】先根据八宝粽及其概率求出肉粽和八宝粽的总个数，再用肉粽和八宝粽的总个数减去八宝粽的个数即可得到肉粽的个数． 【详解】解：由题意可得，肉粽和八宝粽的总个数为：（个） ∴肉粽的个数为（个）． 7．已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将、两点坐标代入抛物线解析式，用含的代数式表示、，结合的取值范围推导函数值的大小关系． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 8．如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质可确定反比例函数a的范围，再利用二次函数的性质确定二次函数中字母a的范围，看a的范围是否统一． 【详解】解：A、反比例函数图象在第一、三象限，则，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； B、二次函数的图象开口向下，则，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； C、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； D、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后一致，故此选项符合题意． 9．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共个．将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下表是试验中统计的数据．若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率约为（     ） 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率（结果保留三位小数） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】大量重复试验后，频率会稳定在某个常数附近，该常数即为事件发生的概率，观察表格中频率的稳定趋势即可求解． 【详解】解：观察表格可得，随着摸球次数不断增加，摸到白球的频率逐渐稳定在附近， ∴摸到白球的概率约为． 10．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤，共个． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．将二次函数化为的形式是________． 【答案】 【详解】解：． 12．一只蚂蚁在如图所示边长为2的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为______． 【答案】 【详解】解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的， 即蚂蚁停在阴影部分的概率为． 13．已知二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】二次函数图象与轴有两个不同交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式大于零求出的取值范围，任取范围内一个值即可. 【详解】解：二次函数的图象与轴有两个不同交点 一元二次方程有两个不相等的实数根 ， 解得， 满足，（答案不唯一）． 14．一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，估计盒子中小球的个数为______． 【答案】25 【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算的值． 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【详解】解：根据题意，盒子中小球的个数为：． 15．如图，某建筑物的截面可以视作由两条线段，和一条曲线围成的封闭的平面图形．已知 ，曲线是以点为顶点的抛物线的一部分， ，点到、的距离分别为 和 ，则的长为________________． 【答案】 【分析】利用顶点式求出二次函数解析式，进而得出答案，利用时，求出y的值即可得出的长． 【详解】解：由题意知， ∵点是抛物线的顶点，可设抛物线的解析式为：， 点在抛物线上，可得，， 解得：， 因此，； 当时，， 所以，． 16．如图，二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在的边上移动，轴，轴，M点坐标为，，．若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则的最大值是_____________． 【答案】23 【分析】先求出N，R的坐标，观察图形可知，当顶点在R处时，点B的横坐标为3，由此求出a值，当时，当顶点在M处时取最大值，据此可解． 【详解】解：，，， ，， 由题意可知，当顶点在R处时，点B的横坐标为3， 则抛物线的解析式为， 将点B坐标代入上式得，， 解得，， 当时，， 观察图形可知，顶点在M处时，取最大值， 此时抛物线的解析式为：， 将代入得，． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)在所给的坐标系中画出这个函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，画二次函数的图象， 对于（1），将点代入，求出a值即可； 对于（2），根据列表，描点，连线可得答案． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得；（4分） （2）解：由（1）可知函数解析式为， 列表： 0 1 0 1 0 描点、连线，作图如下． （8分） 18．（8分）将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益的重要途径．某农田引进了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示． (1)求水流的最高点到地面的距离； (2)求左、右两条水流最高点之间的距离． 【答案】(1)水流的最高点到地面的距离为10米 (2)左、右两条水流最高点之间的距离为6米 【分析】（1）将二次函数转化为顶点式进行求解即可； （2）根据点关于轴对称的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流最高点到地面的距离为10米；（4分） （2）解：∵左、右两条抛物线关于轴对称， ∴左边抛物线的顶点为，其关于轴的对称点即为右边抛物线的顶点， ∴左、右两条水流最高点之间的距离为：米．（8分） 19．（8分）已知二次函数： (1)求证：该二次函数的图象与轴总有两个不同的交点； (2)若该二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且的面积为，求的值． 【答案】(1) 证明：一元二次方程中，，， ， 该二次函数图象与轴总有两个不同交点； (2) 【分析】（1）先判断一元二次方程根的情况，再结合二次函数与一元二次方程的关系即可得证； （2）令，求出、两点的横坐标及；令，得与轴交点的纵坐标，即高，根据的面积为推得，求解即可． 【详解】（1）略（4分） （2）解：令，解方程， ， 解得，， ， 令，得与轴交点的纵坐标为， 即高为， 三角形面积， ①时，； ②时，（无实数解）． 故．（8分） 20．（8分）如图，在一个平衡天平的左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物体后，天平倾斜．分别标有A，A，B，B，C，D的六张卡片（卡片除正面字母不同外，其他均相同），其中A代表质量为的物体，B代表质量为的物体，C代表质量为的物体，D代表质量为的物体，将卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张，记下卡片上的字母后放回，抽到卡片上的字母即在天平右端托盘放置相应质量的物体． (1)任意抽取一张卡片，在天平右端托盘放置质量为的物体的概率为____________； (2)小明第一次抽到卡片D，求小明第二次抽取卡片，在天平右端托盘放置相应质量的物体后，天平恢复平衡（即天平两端的托盘上放置的物体质量相同）的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：从A，A，B，B，C，D的六张卡片中，随机抽取一个，共有6种等可能的结果，其中质量为的卡片只有C， ∴在天平右端托盘放置质量为的物体的概率为．（4分） （2）解：小明第一次抽到卡片D，即为，，那么还需要抽一张质量为的卡片，即A， ∴概率为．（8分） 21．（8分）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60元．市场调查发现，若每个定价100元，则每月可销售300个；若每个涨价1元，则每月可少销售5个．设每个双肩包涨价元（为正整数），每月的销售量为个． (1)直接写出与的函数关系式： ； (2)当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（，为正整数） (2)当售价定为110元时，商店每月获得利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，审清题意，列出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意，列出函数解析式即可； （2）设每月获得利润元，根据题意，可得，整理得，，再根据二次函数的性质取最值即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，涨价元，则每月可少销售个， 每月的销售量为个， 销售量要大于或等于0， ，解得，则； 故答案为：（，为正整数）；（4分） （2）解：设每月获得利润元， 由题可得，， 整理得，， ， 当时，取得最大值，为元， ， 答：当售价定为110元时，商店每月获得利润最大，最大利润是元（8分） 22．（10分）为深入践行社会主义核心价值观，厚植家国情怀、砥砺奋斗精神，学校特开展“青春当燃，不负韶华”主题观影活动，号召同学们利用周末自主观看励志影片．现有《我本是高山》、《志愿军：雄兵出击》、《奇迹乐队》3部励志电影，甲、乙2位同学从这3部电影中任意选择1部观看． (1)甲同学选择《志愿军：雄兵出击》的概率为________； (2)求甲、乙2位同学选择不同电影的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 【答案】(1) (2)， 理由：分别用A、B、C表示《我本是高山》、《志愿军：雄兵出击》、《奇迹乐队》三部电影，画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种， ∴（选不同电影）． 【分析】（1）根据概率公式进行解答即可； （2）分别用A、B、C表示《我本是高山》、《志愿军：雄兵出击》、《奇迹乐队》三部电影，画出树状图，找到所有等可能的情况数和符合题意的情况数，利用概率公式进行解答即可． 【详解】（1）解：∵现有《我本是高山》、《志愿军：雄兵出击》、《奇迹乐队》共3部电影， ∴甲同学选择《志愿军：雄兵出击》电影的概率为．（5分） （2）略．（10分） 23．（10分）如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）由题意易得，，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）连接，由题意易得，，设点，且，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线得：，解得：， ∴， 把代入直线得：， ∴， ∵抛物线经过，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为；（5分） （2）解：连接，如图所示： ∴， ∵，， ∴，， 设点，由题意知， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，此时点的坐标为．（10分） 24．（12分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求点的坐标和抛物线的解析式． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请求出的取值范围． (3)点为直线上一动点，将点向上平移两个单位长度得到点．若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先利用点求出直线的解析式，再求出点，最后使用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）分为，和三类讨论，结合抛物线的增减性求出每种情况的最大值和最小值，判断两数之差是否为定值即可； （3）根据题意，点，，结合线段与抛物线有一个公共点可得不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为；（4分） （2）解：， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越近，函数值越大， ①当时， ∴在上，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值； 不是定值，不符合题意； ②当时， ∴抛物线在顶点处取得最大值，即当时，取得最大值， ∵， ∴当时，取得最小值， 为定值，符合题意； ③当时， 同理，当时，取得最大值；当时，取得最小值； 不是定值，不符合题意； 综上所述，的取值范围为；（8分） （3）解：根据题意，点的坐标为， ∵点向上平移两个单位长度得到点， ∴点的坐标为， ∵线段与抛物线只有一个公共点， ∴， 由①得， 由②得或， ∴点的横坐标的取值范围为或．（12分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026—2027学年九上第一次阶段检测 考试范围：第1（二次函数）-2（随机事件的概率）章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．下列事件中，是随机事件的为（     ） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．画一个三角形，其内角和为 C．寒来暑往 D．从只有红球的袋子中摸出黑球 3．将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 5．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 6．一个不透明的礼盒中装有8个八宝粽，若干个肉粽，它们除标签名称不同外其余均相同，若从中随机拿出1个粽子为八宝粽的概率为，则肉粽的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．8个 D．10个 7．已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 9．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共个．将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下表是试验中统计的数据．若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率约为（     ） 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率（结果保留三位小数） A． B． C． D． 10．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．将二次函数化为的形式是________． 12．一只蚂蚁在如图所示边长为2的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为______． 13．已知二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的值可以是______．（写出一个即可） 14．一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，估计盒子中小球的个数为______． 15．如图，某建筑物的截面可以视作由两条线段，和一条曲线围成的封闭的平面图形．已知 ，曲线是以点为顶点的抛物线的一部分， ，点到、的距离分别为 和 ，则的长为________________． 16．如图，二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在的边上移动，轴，轴，M点坐标为，，．若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则的最大值是_____________． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)在所给的坐标系中画出这个函数的图象． 18．（8分）将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益的重要途径．某农田引进了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示． (1)求水流的最高点到地面的距离； (2)求左、右两条水流最高点之间的距离． 19．（8分）已知二次函数： (1)求证：该二次函数的图象与轴总有两个不同的交点； (2)若该二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且的面积为，求的值． 20．（8分）如图，在一个平衡天平的左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物体后，天平倾斜．分别标有A，A，B，B，C，D的六张卡片（卡片除正面字母不同外，其他均相同），其中A代表质量为的物体，B代表质量为的物体，C代表质量为的物体，D代表质量为的物体，将卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张，记下卡片上的字母后放回，抽到卡片上的字母即在天平右端托盘放置相应质量的物体． (1)任意抽取一张卡片，在天平右端托盘放置质量为的物体的概率为____________； (2)小明第一次抽到卡片D，求小明第二次抽取卡片，在天平右端托盘放置相应质量的物体后，天平恢复平衡（即天平两端的托盘上放置的物体质量相同）的概率． 21．（8分）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60元．市场调查发现，若每个定价100元，则每月可销售300个；若每个涨价1元，则每月可少销售5个．设每个双肩包涨价元（为正整数），每月的销售量为个． (1)直接写出与的函数关系式： ； (2)当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少？ 22．（10分）为深入践行社会主义核心价值观，厚植家国情怀、砥砺奋斗精神，学校特开展“青春当燃，不负韶华”主题观影活动，号召同学们利用周末自主观看励志影片．现有《我本是高山》、《志愿军：雄兵出击》、《奇迹乐队》3部励志电影，甲、乙2位同学从这3部电影中任意选择1部观看． (1)甲同学选择《志愿军：雄兵出击》的概率为________； (2)求甲、乙2位同学选择不同电影的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 23．（10分）如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 24．（12分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求点的坐标和抛物线的解析式． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请求出的取值范围． (3)点为直线上一动点，将点向上平移两个单位长度得到点．若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $