第4章《相似三角形》综合测评卷2026-2027学年浙教版九年级数学上册

数学 · 九年级上册 第4章综合测评卷 ▍选择题 1. 若 ，则下列各式中，不成立的是（　）。 A. B. C. D. 2. 下列图形中，一定相似的一组是（　）。 A. 邻边对应成比例的两个平行四边形 B. 有一个内角相等的两个菱形 C. 腰长对应成比例的两个等腰三角形 D. 有一条边相等的两个矩形 3. 如图所示， 为 的边 上的一点，且 ， 交 于点 ，则 为（　）。 A. B. C. D. 4. 网球单打比赛场地的宽为 ，长在球网的两侧各有 ，球网的高为 （即图中 的高度）。网球比赛中，某运动员退出场地在距球网 的 点处接球，设计打出直线穿越球，使球落在对方底线上的点 处，用刁钻的落点牵制对方。在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点的高度至少要为（　）。 A. B. C. D. 5. 如图所示， 在由边长为 个单位的小正方形组成的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点的位置，其中点 也是小正方形的顶点，则与 相似的是（　）。 A. 以点 为顶点的三角形 B. 以点 为顶点的三角形 C. 以点 为顶点的三角形 D. 以点 为顶点的三角形 6. 如图所示，在正方形 中， 是 的中点， 的面积为 ，则正方形 的面积为（　）。 A. B. C. D. 7. 如图所示，在 中，，，点 在腰 上，且 。下列结论中，正确的是（　）。 A. B. C. D. 8. 如图所示，在四边形 中，，，，， 为 的中点， 为线段 上的点，且 ，则点 到边 的距离是（　）。 A. B. C. D. 9. 如图所示，在矩形 中，，， 平分 ，，则 的长为（　）。 A. B. C. D. 10. 如图所示，矩形 的边长 ，， 为 的中点， 在边 上，且 ， 分别与 ， 相交于点 ，，则 的长为（　）。 A. B. C. D. ▍填空题 11. 在比例尺为 的地图上，某地区的图上面积为 ，则实际面积为 ＿＿＿＿ 。 12. 如图所示，在 与 中，，要使 与 相似，还需要添加一个条件，这个条件是 ＿＿＿＿。 13. 如图所示，测量小玻璃管管径的量具 ， 的长为 ， 被分为 等份。若玻璃管的管径 正好对着量具上 等份处（），则小玻璃管的管径 ＿＿＿＿ 。 14. 在 中，，，点 分别在 上。若 与 相似，且 ，则 ＿＿＿＿ 。 15. 如图所示，在 中，，，， 于点 ，点 是 的中点，连结 ，则 的长为 ＿＿＿＿。 16. 设 的面积为 ，如图1所示，将边 分别二等分， 相交于点 ， 的面积记为 ；如图2所示，将边 分别三等分， 相交于点 ， 的面积记为 ……依此类推，则 ＿＿＿＿， 可表示为 ＿＿＿＿（用含 的代数式表示，其中 为正整数）。 ▍解答题 17. (8分)已知线段 ，且 。 (1) 求 的值。 (2) 若线段 满足 ，求 的值。 18. (8分)如图所示，在四边形 中，， 是 的中点，连结 交 于点 ， 的延长线交 的延长线于点 。 (1) 求证：。 (2) 若 ，，求线段 的长。 19. (8分)如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ，，。 (1) 以原点 为位似中心，在 轴的右侧画出 的一个位似三角形 ，使它与 的相似比为 ，并分别写出点 的对应点 的坐标。 (2) 画出将 向左平移 个单位，再向上平移 个单位后得到的 ，并写出点 的对应点 的坐标。 (3) 判断 和 是否为位似图形。若是，请在图中标出位似中心 ，并写出点 的坐标。 20. (8分)如图所示，为测量学校围墙外直立电线杆 的高度，小亮在操场上点 处直立一根高 的竹竿 ，然后退到点 处，此时恰好看到竹竿顶端 与电线杆顶端 重合；小亮又在点 处直立一根高 的竹竿 ，然后退到点 处，此时恰好看到竹竿顶端 与电线杆顶端 重合。小亮的眼睛离地面的高度 ，量得 ，，。 (1) ＿＿＿＿， ＿＿＿＿。 (2) 求电线杆 的高度。 21. (8分)如图所示，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点 处，手电筒的光从平面镜上点 处反射后，恰好经过木板的边缘点 ，落在墙上的点 处，点 到地面的高度 ，点 到地面的高度 ，灯泡到木板的水平距离 ，木板到墙的水平距离 。图中点 在同一条直线上。 (1) 求 的长。 (2) 求灯泡到地面的高度 。 22. (10分)如图所示，在 中，，以 为直径作 分别交 于点 ，连结 和 ，过点 作 ，垂足为点 ，交 于点 。 (1) 求证：。 (2) 若 ，求线段 的长。 (3) 在(2)的条件下，求 的面积。 23. (10分)如图所示，在矩形 中，，， 是 边上的任意一点（不与点 重合），连结 ，过点 作 交直线 于点 。 (1) 当 时，是否存在点 使得点 与点 重合？若存在，求出此时 的长；若不存在，说明理由。 (2) 连结 ，若 ，求线段 的长（用含 的代数式表示）。 (3) 若 为等腰三角形，求以点 为顶点的四边形的面积 关于 的函数表达式，并写出 的取值范围。 24. (12分)如图1所示，在 中， 是 上一点，过点 的直线与 及 的延长线分别相交于点 。 (1) 【问题引入】若 是 的中点，，求 的值。（温馨提示：过点 作 的平行线交 的延长线于点 。） (2) 【探索研究】若 是 上任意一点（不与点 重合），求证：。 (3) 【拓展应用】如图2所示， 是 内任意一点，射线 分别交 于点 ，若 ，，求 的值。 参考答案 1. D 2. B 3. D 4. D 5. B 6. B 7. C 8. C 9. C 10. B 11. 12. 13. 14. 或 15. 。【解析】如图所示，在 上截取 ，连结 。在 中，，∴。∵，易证 。∴，即，解得 。∵ 是等腰直角三角形， 是 中点，∴。∴。∵，∴。在 和 中，∴。∴。∵，∴，即 是等腰直角三角形。∵，∴。 16. ， 17. 设 ，则 。 (1) 。 (2) ∵，∴，解得 。∴。 18. (1) ∵，∴。∴。∵ 是 的中点，∴。∴。 (2) ∵，∴。∴。∵，∴。∴。 19. (1) 如图所示， 即为所求，点 的坐标分别为 。 (2) 如图所示， 即为所求，点 的坐标分别为 。 (3) 和 是位似图形，如图所示，点 即为所求，位似中心 的坐标为 。 20. (1) ， (2) ∵，∴。∵，∴。∵，∴，即。∴。∵，∴。∴。∴。∴电线杆 的高度为 。 21. (1) 由题意得，，∴。∴，即，解得 。∴ 的长为 。 (2) ∵，∴。由题意得，，又∵，∴。∴，即，解得 。∴灯泡到地面的高度 为 。 22. (1) ∵ 是 的直径，∴。∵，∴ 是 的中点，。∴。 (2) ∵四边形 内接于 ，∴。∵，∴。∴。∵ 是 的中点，∴。 (3) 如图所示，延长 交 于点 。，在 中，，∴。∵ 是 的直径，∴。∴。∴。∴。∴。∴。∴。∵，，∴。∴。 23. (1) 存在点 。假设存在一点 ，使点 与点 重合，如图1所示，设 的长为 ，则 。在 中，。在 中，。在 中，，即 ，解得 或 。故当 时，存在点 使得点 与点 重合，此时 或 。 (2) 连结 ，设 ，则 。∵，∴。∴，即。∵，∴。∵，∴。∴。∴，即。∴。 (3) ①当点 在 上时，如图3所示，连结 。∵，∴只有当 时， 为等腰三角形。∵，∴。∴。∴以点 为顶点的四边形的面积 。②当点 在 延长线上时，如图4所示，连结 。∵，∴。∴。∴。∴ 24. (1) 如图所示，过点 作 交 延长线于点 。∴。又∵，∴。∴。∴。∴，即。同理，在 和 中，，∴。∵ 为 中点，∴。∴。∴。 (2) 由(1)知 ，∴。 (3) 在 中， 是 上的一点，过点 的直线与 及 的延长线分别相交于点 ，由(2)得 ，在 中， 是 上一点，过点 的直线与 及 的延长线分别相交于点 ，由(2)得 ，∴。∴。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $