2026-2027学年人教版九年级数学上册第一次月质量检测试卷（第25、26章）

2026～2027学年度第一学期九年级数学第一次月考试卷 （考查范围：第二十五章　一元二次方程　第二十六章　二次函数） （满分：120分　　考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请将姓名、班级、准考证号等信息填写在试卷相应位置上；作图时请使用2B铅笔或黑色签字笔． 3．本试卷考查范围：人教版《数学》九年级上册第二十五章“一元二次方程”与第二十六章“二次函数”． 第Ⅰ卷（选择题　共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列方程中，是关于 的一元二次方程的是（　　） A．　　B．（ 为常数） C．　　D． 2．用配方法解一元二次方程 ，配方后正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．一元二次方程 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根　　B．有两个相等的实数根 C．没有实数根　　D．无法确定 4．关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B． 且 　　C．　　D． 5．若 ， 是方程 的两个根，则 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．如图，二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，则该函数的表达式可能是（　　） A．　　B． C．　　D． 7．将抛物线 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式为（　　） A．　　B． C．　　D． 8．二次函数 ，当 时， 的最大值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 9．定义新运算：．例如：．则函数 的最小值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 10．如图，二次函数 的图象与 轴交于两点，则这两点之间的距离为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 第Ⅱ卷（非选择题　共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．用配方法解方程 ，配方后可化为 ________． 12．某种商品原价为 元，经过两次降价后价格变为 元．若每次降价的百分率相同，设为 ，则可列方程为________． 13．若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ________． 14．抛物线 与 轴交于点 ，则点 的坐标为________． 15．将抛物线 向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（6分）解方程： （1）（配方法）； （2）（因式分解法）； （3）（公式法）． 17．（8分）（2026·眉山素材改编）某景区2025年接待游客约 万人次，预计2026年、2027年游客量持续增长．若今、明两年的年平均增长率相同，设为 ，且到2027年该景区游客量将达到 万人次，求这两年的年平均增长率 ． 18．（9分）如图，一块长为 、宽为 的矩形空地，在中间修两条互相垂直、宽度均为 的“十字形”道路（道路两端抵矩形边界），其余部分为种植区，种植区面积为 ． （1）求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围； （2）若种植区面积为 ，求道路的宽度 ． 19．（9分）（2026·南充素材改编）已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：无论 取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根为 ，，且 ，求 的值． 20．（10分）如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点（ 在 左侧），顶点为 ．一条平行于 轴的直线 与该抛物线相交于 ， 两点（ 在 左侧），与 轴交于点 ． （1）求 ，， 的坐标； （2）设线段 的长为 ，求 关于 的函数关系式，并写出 的取值范围； （3）当 时，求 的值及点 的坐标． 21．（10分）（2026·烟台素材改编）某商店试销一种文创产品，经市场调查发现：当售价定为 元/件时，月销售量为 件，且 与 之间满足一次函数关系，其图象如图所示．已知该产品的成本为 元/件． （1）求 与 之间的函数关系式； （2）设月销售利润为 元，求 与 之间的函数关系式，并求出售价定为多少时月销售利润最大，最大利润是多少元； （3）若物价部门规定该产品售价不得高于 元/件，且商店要求月销售利润不低于 元，求售价 的取值范围． 22．（11分）如图，广场上的喷泉喷出的水柱呈抛物线形．以水面与喷头所在竖直线的交点 为原点，水平方向为 轴，竖直向上为 轴建立平面直角坐标系．喷头 在水面以上 处（即点 在 轴上，），水柱最高点坐标为 （即最高点距喷头水平距离 、高出水面 ）． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）在水柱正下方、距水面高度为 处拉一条与水面平行的水平彩带，若彩带恰好与水柱相交于两点，且这两点间的距离为 ，求 的值； （3）现要在水柱正下方放置一个宽 、高 的矩形装饰物（底面在水面上）．要使装饰物不被水柱淋到（即水柱在装饰物正上方的高度都不小于 ），求装饰物放置位置的水平范围（用装饰物左边缘与点 的水平距离 表示）． 23．（12分）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点（ 在 左侧），与 轴交于点 ，顶点为 ，直线 与抛物线交于 ， 两点． （1）求点 ，， 的坐标及该抛物线的对称轴； （2）点 是直线 上方抛物线上的一动点，过点 作 轴，交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ，求线段 的最大值及此时点 的坐标； （3）点 是抛物线上的动点，点 是 轴上的动点，是否存在以 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案与评分标准 九年级数学第一次月考试卷（第25、26章） （满分120分）　说明：解答题按步骤给分，其他合理解法参照评分标准酌情给分． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．D　2．A　3．A　4．B　5．C　6．A　7．B　8．C　9．A　10．B 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．　　12．　　13．　　14．　　15． 三、解答题（共75分） 16．（6分）【解析】（1），，，即 ，……（1分） 解得 ，．……（2分） （2），因式分解得 ，……（3分） 解得 ，．……（4分） （3），，，，，……（5分） ，即 ，．……（6分） 17．（8分）【解析】由题意得 ，……（3分） 即 ，……（5分） 解得 或 （舍去），……（6分） ∴．……（7分） 答：这两年的年平均增长率为 ．……（8分） 18．（9分）【解析】（1）道路面积为两条互相垂直道路面积之和减去重叠部分，即 ，……（1分） ∴种植区面积 ．……（3分） 由实际意义得 ，∴．……（5分） （2）当种植区面积为 时，，即 ，……（6分） 因式分解得 ，解得 ，．……（7分） ∵，∴ 不合题意，舍去，……（8分） ∴道路的宽度 为 ．……（9分） 19．（9分）【解析】（1）证明： ，……（3分） ∴无论 取何实数，方程总有两个不相等的实数根．……（4分） （2）由根与系数的关系得 ，，……（5分） ∴．……（6分） 由 得 ，即 ，……（7分） 解得 ，．……（8分） 经检验， 或 时 均成立，……（9分） ∴ 的值为 或 ． 20．（10分）【解析】（1），……（1分） 令 ，则 ，解得 ，， ∴，，顶点 ．……（3分） （2）联立 与 ，得 ，即 ，……（4分） 解得 （），……（5分） ∴，，……（6分） ∴．……（7分） 其中 的取值范围为 （当 时直线与抛物线相切，只有一个交点）．……（8分） （3）当 时，，解得 ，即 ．……（9分） 直线 即 与 轴交于点 ，∴点 的坐标为 ．……（10分） 21．（10分）【解析】（1）设 ，将 ， 代入，得 ，解得 ，，……（2分） ∴ 与 之间的函数关系式为 ．……（3分） （2）月销售利润 ，……（4分） 整理得 ．……（6分） ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线 ， ∴当售价定为 元/件时，月销售利润最大，最大利润为 元．……（8分） （3）由题意得 ，即 ，解得 ．……（9分） 又售价不得高于 元/件，即 ，且由图象知售价 ，……（10分） ∴售价 的取值范围为 ．……（10分） 22．（11分）【解析】（1）设抛物线表达式为 ，……（1分） 将喷头 代入，得 ，解得 ，……（2分） ∴水柱所在抛物线的函数表达式为 （或 ）．……（3分） （2）彩带所在直线为 ，与水柱交点满足 ，……（4分） 整理得 ，解得 （需 ）．……（5分） 两交点间距离 ．令 ，得 ，即 ，……（6分） 解得 ，．……（7分） 答：彩带距水面的高度 为 ．……（8分） （3）装饰物左边缘距 为 ，则其水平范围为 ，且 ．……（9分） 要使装饰物不被淋到，需水柱在该范围内的高度均不小于 ，即对任意 ，都有 ，……（10分） 化简得 ，解得 ；结合 且水柱落地范围 ，需 ，即 且 ，解得 ．……（11分） 答：装饰物左边缘与点 的水平距离 应满足 （单位：m）．……（11分） 23．（12分）【解析】（1）令 ，则 ，即 ，解得 ，， ∴，；……（1分） 令 ，则 ，∴；……（2分） ∵，∴对称轴为直线 ．……（3分） （2）设直线 的表达式为 ，把 ， 代入， 解得 ，，∴直线 为 ．……（4分） ∵点 的横坐标为 ，且 在 上方的抛物线上，∴， ，其中 ．……（5分） ∴．……（6分） ∵，∴当 时， 取得最大值 ，……（7分） 此时点 的坐标为 ．……（8分） （3）存在．设 ，，且 ，． 以 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形，利用对角线互相平分，分三种情况：……（9分） ①当 为对角线时，，则 ， 由 得 ，解得 （此时 与 重合，舍去），， ∴；……（10分） ②当 为对角线时，，则 ， 同样由 得 （舍去 ），此时 仍为 ；……（11分） ③当 为对角线时，，则 ， 由 解得 ，此时 的纵坐标为 ， ∴，．……（12分） 综上，存在满足条件的点 ，其坐标为 或 或 ．……（12分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $