第三十章 直线与圆的位置关系（单元分层测试·基础通关卷）数学新教材人教版九年级上册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三十章直线与圆的位置关系·基础通关（参考答案) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A 0 A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11.5 π 2π，2」 12.3/3π 13.42°142度 14普sr<10 15.150 16.5 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)解：如图：∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm, B .AB=AC2+BC2 =5cm :D为AB的中点， CD=74B=2.5cm ·⊙C 的半径为2. cm2.5>2.4 ⊙C 点D在外；3分 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解： AC.BC AB-CE 2 2, 3×45CE 即22· 解得CE=2.4cm, 2.4=2.4, AB,⊙C 直线与 相切.6分 18.(1)如图，BE即为所求： A E3分 B (2)如图，点M即为所求； D E M 6分 B G H 图2 19.(1) 证明：如图，连接OD, B C D 直线l与⊙0相切于点D, ∴.OD⊥CE」 AE⊥CE, 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OD∥AE, .∠ODA=∠EAD. OA=OD ∴.∠ODA=∠OAD. .∠OAD=∠EAD」 .AD平分∠CAE;3分 (2)解：设O0的半径为r,则OB=OD=r, E 在RIAOCD中，OD=r,CD=3,OC=r+1, .+32=+ 解得r=4, 即⊙0的半径为4.6分 20. 【详解】解，(6-2x180x120。 6 ∠BAF的度数为120°.2分 (2)解：·正六边形ABCDEF,⊙0是它的外接圆， 中心角∠C0D=360°=60 6 2 ”劣弧CD的长为3π， @rs00 180, 解得：OD=2, .OC=OD,∠COD=60°， 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .aOCD是等边三角形， ..CD=OD=2. 又OG⊥CD, CG=DG=2X-1 :0G=2-P=-5 '的长为3 .6分 21.(1)证明：连接BC,如图： D A :AB是⊙0的直径，且点C在⊙0上， .∠ACB=90°，即BC⊥AD, 又，DC=AC, .BC垂直平分AD, .BA=BD, .∠BAD=∠BDA, 设∠FAD=a, :2D-8D, ∴.∠ABD=2a, 等度B0中，1D=I80-∠HBD180r-2c-0 2 2 ∠BAF=∠BAD+∠FAD=(90°-a)+a=90° .FA⊥AB, AB是⊙O的直径，且点A在⊙0上， .FA是⊙0的切线4分 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：设BD=x, 由(1)知，BA=BD, :'BA=BD=x, FD=4, .FB=FD+DB=4+x. 在RtAFAB中， .FA2+AB2=FB2,且FA=8, :82+2=(4+ 解得x=6。 .BA=BD=6,FB=4+6=10. 连接AE,如图： B E A AB是⊙O的直径，且点E在⊙O上， .∠AEB=90°，即AE⊥BF, 1 1 S.ru-7FA-AB-7FB-AE 2 ∴.FAAB=FB·AE,即8×6=10AE, 解得1E=24 5 在ABB中，=-E-6-(- :BE=18 .8分 22. 【详解】(1)解：如图，连接OA,OP,交AB于点H, 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 HB ,⊙0与地面相切于点P, .OP⊥地面， 又AB地面， .OP⊥AB, H4B=28cm 2 设轮胎半径为cm,则OA=OP=rcm, 由题意得HP=14cm, OH=(r-14)cm 在RIAOAH中，由勾股定理得OA=AH+OH2 r2=282+r-14 解得r=35,即轮胎的半径为35cm;4分 (2)解：由题意得∠FCM-30°，， .OM⊥CM, .∠CMF=90° .∠CFM=90°-∠FCM=60°. .∠OFD=∠CFM=60°. ⊙O与坡面CD相切于D, .OD⊥CD. .∠ODF=90°， .∠D0F=90°-∠OFD=30°. 30π×3535π ·劣弧DE的长=180=6m, 在Rta0DF中，DF=OD·tan30=3583 3 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 35π35V5 63, .劣弧DE<线段DF.8分 23, 【详解】(1)解：，OO是△ABC的内切圆， .'BD=BE,AD=AF,CE=CF BD=BE=x,AD=AF=y,CE=CF=z,AB=10cm,BC=16cm,CA=14cm, x+y=10 x=6 y+z=14 y=4 (x+z=16,解得： z=10 .BD=6Cm;2分 (2)解：连接OA,OB,OC,过点A作AH⊥BC于点H,如图所示： HE 由题意得：OD=OE=OF, 设BH=tcm,则C CH =(16-t)cm 在RtABH中，由勾股定理可得：AH=AB2-BH=100-P, 同理可得：H=4C2-CH2=196-(16-} :100-=196-(16-} 解得：1=5， :.AH=V196-(16-5}2=5V3cm 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S.c-BC.AH-S.o+8cS. -ODC-OF(C+C)-OD 2 2 .0D=16x5V5 =2v3cm 10+14+16 0⊙o 2v3cm 的半径为 ;5分 (3)解：如(2)的解图： 由(2)可知： AH=5V3cmAB=10cm⊙0 2v3cm 的半径为 :sin∠ABH=AH、V3 AB 2, ∠ABH=60°， ∴.∠BAC+∠ACB=120°， :OA,OC分别平分∠BAC,∠ACB, 20ac-4C20c4-4cB, a20ac+0C1-4C+4CB=60, ∴.∠A0C=180°-∠0AC-∠0CA=120°， 120×π×2W34v3 -cm ∴.A0、C0与⊙0围成的劣弧的弧长为180 3 .8分 24.(1) 证明：连接OC,如图， B E D F.OA=OC 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAC=∠OCA. ∠DAB的平分线AC, ∴.∠DAC=∠BAC, .∠OCA=∠DAC, .OC∥AD .∠ADC=∠OCE. :AD⊥DE, .∠ADC=∠OCE=90°， OC为圆O的半径， ∴EF⊙O 是的切线：4分 (2) 证明：连接OC, B 01 E DF:AF∥BC .∠BCE=∠AFC, OB=OC ∴.∠B=∠BCO :EF,⊙O 与相切于点C, ∴∠0C℉=90° .∠BCO+∠BCE=90°， ∠B+∠AFC=90°；8分 (3)解：连接OC,过点O作OH⊥AC于点H,如图， 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的半径为 E DF.⊙O 5dm ∴.OA=OC=5dm ∠ACD=30°，∠ADC=90° .∠CAD=60°， ∠DAC=∠BAC=60°， .△OAC为等边三角形， .AC=OA=5dm,∠AOC=60°， 2 .CD=V4C2-4D=3dm :OH⊥AC,△OAC 为等边三角形， ∠C0H=30°， :.CH=Loc=5dm 2 :.oH =oc-c5 3dm, 2 ·阴影部分的面积 =S。Ac-(S形O4c-SOac） -24P-CD- 60xX5LAC.OH 360 2n分 25 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(I)解：连接PB、PC」 ,AP为⊙0的直径， ∴.∠ABP=∠ACP=90°， .AP平分∠MAN, .∠BAP=30°， :4B=4C=Anes30°=4x5=25 2 AB+AC=43 ;.4分 (2) AB +AC 解： 的长度不变 理由：连接 PB PB PCPC APBB和PCC中， 和 2B4P=∠CAP=30 :PB-PC PB=PC ∠ABP=∠CCP=90°PB=PC .RtAPBB,≌Rt△PCC(HL) BB=CC B+4C-4B-BB+AC+CC=4B+4C-45 :8分 6)4v3 A02 ，解：连接并延长 交OO于D,连接PD、PC, ∴.∠APD=90°，则∠D+∠PAD=90°， 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :o0,与MM切于A点， .∠PAD+∠BAP=90°， ∴.∠ADP=∠BAP=∠CAP=30°， :∠ADP=AC,P ∠AC,P=∠CAP .△APC2 为等腰三角形， :∠4CP=90,即 C⊥AC2 :4C=CC=25 :4C=4C+CC,=45 M M M B 12分 “D 图<1> 图<2> 图<3> 12/12………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三十章 直线与圆的位置关系·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 2．三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 3．正方形内接于，若的半径为，则该正方形边心距的长是（     ） A． B． C． D． 4．如图，为地球示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，，是在点处的切线．则点处的太阳高度角（即光线与切线所成的锐角）的大小是（     ） A． B． C． D． 5．中，，，，则内切圆的半径等于（   ） A．1 B． C． D． 6．如图，四边形是的内接四边形，是的切线，交的延长线于点E．若经过圆心O，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，内接正六边形，正方形，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．已知的半径长为4，点B在线段上，且，如果与有公共点，那么的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 10．苯（）的环状结构模型由德国化学家奥古斯特-凯库勒于1865年提出，该模型为有机化学中芳香族化合物的研究奠定了重要基础．随着研究的不断深入，发现一个苯分子中6个碳原子形成了正六边形的结构，如图1．其示意图如图2，点O为该正六边形的中心，连接，若，则相邻两个碳原子的核间距（即正六边形的边长）为（   ） A．1 B． C． D．2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，正五边形内接于半径为的，则的长为______． 12．如图，点C在直径的延长线上，与半圆O相切于点D，，，则弧的长度为________．（结果保留） 13．如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 14．在中，，，（如图所示） ．点D在边上（不与点A、B重合），，，垂足分别为E、F，的半径长为2．如果与外切，那么的半径长r的取值范围是________． 15．生活中的剪刀蕴含着数学知识．如图1是某剪刀，其结构主要包括剪刀、剪柄和指圈．当剪刀张角最大时，其理想化模型如图2，剪刀所在直线与指圈所在半圆相切．已知与相交于点，为半圆的直径，，，则此时张角的大小为______________． 16．2025年“苏超”火爆全国，足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁．图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，、是圆的切线，为切点，为圆心，连接并延长交射线于点，若，则的长度为__________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．在中，，，，以点为圆心，2.4为半径画圆．求： (1)的中点与的位置关系； (2)直线与的位置关系． 18．如图，是的内接三角形，是的直径，点为的中点．请仅用无刻度的直尺按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出的平分线； (2)在图2中，作出的内心． 19．如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． (1)求证：平分； (2)如果，，求的半径． 20．如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆． (1)求的度数 (2)连接，，作．若劣弧的长为，求的长 21．如图，点在以为直径的上，连接并延长至点，使，连接交于点，延长至点，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 22．一辆汽车停放于积水路面上，如图1是该汽车轮胎的截面示意图，已知轮胎与地面相切于点（轮胎的形变忽略不计），若轮胎没入积水的最大深度为，轮胎与积水面的接触长度为． (1)求轮胎的半径； (2)如图2，当汽车行驶到坡角为的斜坡上的点时（与坡面相切于点），过轮胎中心作水平地面的垂线与交于点，与斜坡交于点，与水平地面交于点．直接写出劣弧的长度，并直接比较劣弧与线段的大小（结果保留）． 23．如图，的内切圆与分别相交于点，若． (1)求的长； (2)求的半径． (3)连接，求与围成的劣弧的弧长． 24．停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．图2是某直角停车楔和轮胎的示意图，，当车辆停于水平地面时，此时停车楔紧贴轮胎，停车楔边与地面重合，是的直径，的平分线，交于点，连接，过点A作交于点F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为，，求图2中阴影部分的面积为多少． 25．如图，已知：，平分，且．请探究： (1)如图＜1＞，若以为直径作，分别交、于B、C，求的长； (2)如图＜2＞，若以为弦（不是直径），任作分别交、于、点，则的长是否不变？请说明理由； (3)如图＜3＞，若以为弦（不是直径）作与切于A点，交于点，则的长是多少？请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三十章 直线与圆的位置关系·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 【答案】A 【分析】本题根据两圆位置关系的判定方法，比较圆心距与两圆半径差的大小，即可得出结论，若两圆半径分别为，（），圆心距为，当时，两圆内含． 【详解】解：设的半径，的半径，两圆圆心距， ， ， 与的位置关系是内含． 2．三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【详解】解：∵三角形内切圆的圆心到三角形三条边的距离相等， 又∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点． 3．正方形内接于，若的半径为，则该正方形边心距的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先连接圆心与正方形相邻顶点，得到等腰直角三角形，利用圆半径和勾股定理求出正方形边长；再借助三角形面积的两种表达形式，通过等面积法，求出边心距． 【详解】解：如图，连接、，过点作于点，则为边心距， ∵正方形内接于，的半径为， ∴，， 在中， ， ∵， ∴ 解得． 4．如图，为地球示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，，是在点处的切线．则点处的太阳高度角（即光线与切线所成的锐角）的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据角的和差关系求出的度数，再利用平行线的性质求出的度数，最后根据切线的性质及角的和差关系计算的大小； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 5．中，，，，则内切圆的半径等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内切圆及勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆及勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后根据“三角形的内切圆的半径即为三角形的内心到三角形三条边的距离”，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 设内切圆的半径为r，则有：， ∴； 故选：A． 6．如图，四边形是的内接四边形，是的切线，交的延长线于点E．若经过圆心O，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接．由四边形是的内接四边形可得，得出．由切线的性质得，可得，根据三角形外角的性质可得的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是的内接四边形， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴ ． ∴ ． ∴． ∵， ∴． 7．如图，内接正六边形，正方形，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆， 证明三角形是等腰三角形，即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵为正六边形的中心角， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ，， 正方形中，， 故选：C． 8．已知的半径长为4，点B在线段上，且，如果与有公共点，那么的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆与圆的位置关系，两圆有公共点包含相切和相交两种情况，求出两种临界情况的半径即可得到r的取值范围． 【详解】解：∵半径为4，两圆圆心距， 当内切于时，的半径，此时两圆有一个公共点，符合要求； 当内切于时，的半径，此时两圆有一个公共点，符合要求； 当时，两圆相交，有两个公共点，符合要求； ∴与有公共点时，的半径r的取值范围是． 9．如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据切线长定理得到，，再根据的周长为12得到，即可求出的长． 【详解】解；∵分别和切于两点， ∴， ∵过C作的切线分别交于． ∴， ∴， ∴的周长为12， ∴， ∴ 10．苯（）的环状结构模型由德国化学家奥古斯特-凯库勒于1865年提出，该模型为有机化学中芳香族化合物的研究奠定了重要基础．随着研究的不断深入，发现一个苯分子中6个碳原子形成了正六边形的结构，如图1．其示意图如图2，点O为该正六边形的中心，连接，若，则相邻两个碳原子的核间距（即正六边形的边长）为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，理解正多边形的边，圆心角的数量的特点是解题的关键．根据正多边形的性质可得，，是等边三角形，由此即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵正六边形，点为中心， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，正五边形内接于半径为的，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，，由正五边形求出圆心角，结合半径为利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴的长为：． 12．如图，点C在直径的延长线上，与半圆O相切于点D，，，则弧的长度为________．（结果保留） 【答案】/ 【分析】由切线的性质得到，从而得到，根据直角三角形的性质得到，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵与半圆相切， ∴， ∵，， ∴，， ∴的长度． 13．如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 【答案】/42度 【分析】根据切线及，得到，根据切线长定理得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是的切线，A为切点，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∴， ∴． 14．在中，，，（如图所示） ．点D在边上（不与点A、B重合），，，垂足分别为E、F，的半径长为2．如果与外切，那么的半径长r的取值范围是________． 【答案】 【分析】画出图形，连接，设与交于点，证明，求出的取值范围即可． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， 如果与外切，则的长为的半径长， 在中，， ∴， ，，， 四边形为矩形， ， ， 当时，最短， 根据三角形面积公式可得，此时， ， 当点无限接近点时，此时， ， 即的半径长r的取值范围是． 15．生活中的剪刀蕴含着数学知识．如图1是某剪刀，其结构主要包括剪刀、剪柄和指圈．当剪刀张角最大时，其理想化模型如图2，剪刀所在直线与指圈所在半圆相切．已知与相交于点，为半圆的直径，，，则此时张角的大小为______________． 【答案】 【分析】设右半圆的圆心为，与相切于点，连接，分别求得，根据，得出，进而根据邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图，设右半圆的圆心为，与相切于点，连接， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 16．2025年“苏超”火爆全国，足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁．图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，、是圆的切线，为切点，为圆心，连接并延长交射线于点，若，则的长度为__________． 【答案】5 【分析】连接、，根据圆的切线的性质，易证，得到，由勾股定理得出，设，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 、是圆的切线，为切点，为圆心， ， ，， ， ， ， 在中，， 设，则， 在中，, ， 解得：， ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．在中，，，，以点为圆心，2.4为半径画圆．求： (1)的中点与的位置关系； (2)直线与的位置关系． 【答案】(1)点D在外 (2)相切 【分析】（1）根据题意建立图形，利用勾股定理算出的长，再结合直角三角形性质得到的长，比较与半径的大小，即可判断的中点与的位置关系；； （2）利用等面积法求出点到直线的距离，再与半径比较，即可判断直线与的位置关系． 【详解】（1）解：如图，，， ， 为的中点， ， 的半径为2.4，， 点D在外； （2）解：， 即， 解得， ， 直线与相切． 【点睛】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，直角三角形性质，解题的关键在于正确掌握点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系． 18．如图，是的内接三角形，是的直径，点为的中点．请仅用无刻度的直尺按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出的平分线； (2)在图2中，作出的内心． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，点即为所求； 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，根据中位线定理可得，进而得，由得，代换得，故即为所求； （2）连接、交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接交于点，由、是的中线可得也是的中线，同（1）可证平分，故点即为所求． 【详解】（1）解：如图，连接并延长交于点，连接，即为所求； ∵点是的中点，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴平分； （2）解：如图，在（1）的基础上，连接、交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接交于点，点即为所求． ∵点是的中点，是中点，即、是的中线， ∴是的中线，即点是中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴平分， 又∵平分，交于点， ∴点是的内心． 19．如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． (1)求证：平分； (2)如果，，求的半径． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵直线与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； (2)4 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，结合题意可证，可得，再根据等边对等角可得，可得，即可证得结论； （2）设的半径为，则，，根据勾股定理即可得的半径． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为，则， 在中，，，， ∴， 解得， 即的半径为． 20．如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆． (1)求的度数 (2)连接，，作．若劣弧的长为，求的长 【答案】(1)的度数为； (2)的长为． 【分析】（1）根据多边形的内角和公式计算即可； （2）先求出中心角，是等边三角形，根据弧长公式求得半径为2，由等边三角形的性质，结合已知可得，根据勾股定理即可得的长． 【详解】（1）解：， ∴的度数为． （2）解：∵正六边形，是它的外接圆， ∴中心角， ∵劣弧的长为， ∴， 解得：， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查正多边形的内角，圆与正多边形，解直角三角形，正多边形的中心角，弧长公式，等边三角形的判定和性质，勾股定理． 21．如图，点在以为直径的上，连接并延长至点，使，连接交于点，延长至点，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接，如图： ∵是的直径，且点在上， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 在等腰中，， ∴， ∴， ∵是的直径，且点在上， ∴是的切线 (2) 【分析】（1）由是直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到，结合条件，可知既是边上的高，又是边上的中线，由此得到，设，结合已知角的倍数关系得到，利用等腰三角形内角和求出，计算推出，根据切线的判定定理证明是的切线； （2）已经得到，设，利用勾股定理列方程，求解得到与的长度，连接，再次利用直径所对圆周角是直角，得，用直角三角形面积的两种表达方式，面积法求出线段，最后在中，再通过勾股定理计算的长． 【详解】（1）略； （2）解：设， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，且， ∴， 解得， ∴，， 连接，如图： ∵是的直径，且点在上， ∴，即， ∵， ∴，即， 解得， ∵在中，， ∴． 【点睛】三角形同一条边上高线与中线重合，可以判定该三角形为等腰三角形，题目出现直径优先使用直径所对圆周角为直角，直角三角形可以利用面积法求斜边上的高． 22．一辆汽车停放于积水路面上，如图1是该汽车轮胎的截面示意图，已知轮胎与地面相切于点（轮胎的形变忽略不计），若轮胎没入积水的最大深度为，轮胎与积水面的接触长度为． (1)求轮胎的半径； (2)如图2，当汽车行驶到坡角为的斜坡上的点时（与坡面相切于点），过轮胎中心作水平地面的垂线与交于点，与斜坡交于点，与水平地面交于点．直接写出劣弧的长度，并直接比较劣弧与线段的大小（结果保留）． 【答案】(1) (2)劣弧的长，劣弧线段 【分析】（1）连接，，交于点，利用切线性质得地面，结合地面推出，由垂径定理求出的长，设轮胎半径为，用含的式子表示，在中，利用勾股定理列方程求解即可； （2）先由斜坡坡角和地面，求出，再结合切线性质，在中求出圆心角；然后利用弧长公式计算劣弧的长度，利用三角函数求出线段的长度，最后通过数值比较，即可得出劣弧与线段的大小关系． 【详解】（1）解：如图，连接，，交于点， ∵与地面相切于点， ∴地面， 又地面， ∴， ∴， 设轮胎半径为，则， 由题意得， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得，即轮胎的半径为； （2）解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与坡面相切于， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧的长， 在中，， ∵， ∴劣弧线段． 23．如图，的内切圆与分别相交于点，若． (1)求的长； (2)求的半径． (3)连接，求与围成的劣弧的弧长． 【答案】(1) (2)的半径为 (3) 【分析】本题主要考查三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角函数及弧长公式，熟练掌握三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角函数及弧长公式是解题的关键； （1）由切线长定理可得，设，则有，进而求解即可； （2）连接，过点A作于点H，由题意易得，设，则，然后根据勾股定理可得，进而根据等积法可进行求解； （3）如（2）的解图，由（2）可知：，，的半径为，然后可得，则有，进而根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】（1）解：∵是的内切圆， ∴， 设，且， ∴，解得：， ∴； （2）解：连接，过点A作于点H，如图所示： 由题意得：， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， 同理可得：， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的半径为； （3）解：如（2）的解图： 由（2）可知：，，的半径为， ∴， ∴， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴， ∴与围成的劣弧的弧长为． 24．停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．图2是某直角停车楔和轮胎的示意图，，当车辆停于水平地面时，此时停车楔紧贴轮胎，停车楔边与地面重合，是的直径，的平分线，交于点，连接，过点A作交于点F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为，，求图2中阴影部分的面积为多少． 【答案】(1) 证明：连接，如图， ， ， 的平分线AC， ， ， ， ， ， ， 为圆O的半径， 是的切线； (2) 证明：连接， ， ， ， ， 与相切于点C， ， ， ； (3) 【分析】此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，得出，即可证明结论成立； （2）先证明，，根据切线性质可得，即，由此即得出 （3）先证明是等边三角形，得出，求出，，最后根据阴影部分的面积求出结论即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，过点O作于点H，如图， 的半径为， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 阴影部分的面积 25．如图，已知：，平分，且．请探究： (1)如图＜1＞，若以为直径作，分别交、于B、C，求的长； (2)如图＜2＞，若以为弦（不是直径），任作分别交、于、点，则的长是否不变？请说明理由； (3)如图＜3＞，若以为弦（不是直径）作与切于A点，交于点，则的长是多少？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：的长度不变． 理由：连接、，，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； (3)，解：连接并延长交于D，连接、， ∴，则， ∵与切于A点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∵，即， ∴， ∴． 【分析】（1）根据，平分，即可得出，再利用求出即可； （2）首先利用证明，即可得出，进而得出； （3）先得出为等腰三角形，即可求出，即，，即可得出答案． 【详解】（1）解：连接． ∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴； （2）略 （3）略 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三十章直线与圆的位置关系·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.已知⊙A的半径为3，⊙B的半径为7，且AB=2,则⊙A与⊙B位置关系是() A.内含 B.相交 C.相切 D.相离 2.三角形内切圆的圆心为() A.三条高的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条中线的交点 3.正方形ABCD内接于⊙0，若⊙0的半径为V2,则该正方形边心距的长是() A I B2 c v D.22 4.如图，⊙O为地球示意图，其中AB表示赤道，CD,EF分别表示北回归线和南回归线， ∠DOB=∠FOB=23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O,HF∥GD,FI是⊙O在点 F处的切线.则点F处的太阳高度角FH(即光线HF与切线FI所成的锐角)的大小是() 北回归线 G D 赤道 南回归线 A.32° B.40° C.43° D.46° 5.△ABC中，∠A=90°，AB=3,AC=4,则△ABC内切圆的半径等于（) A.1 B.9 c.2 6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DE是OO的切线，交BC的延长线于点E.若BC经过圆心 O,∠A=110°，则∠E的度数为() 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E A.30° B.40° C.50° D.60° 7.如图，OO内接正六边形ABCDEF,正方形EFGH,连接OF,OG,则∠FOG的度数为() G A.30° B.20° C.15° D.10° 8.已知⊙0的半径OA长为4，点B在线段OA上，且OB=2,如果⊙B与⊙0有公共点，那么⊙B的半径r 的取值范围是() A.r>6 B.r<2 C.2<r<6 D.2≤r≤6 ).如图所示，P是O0外一点 PA,PB ⊙0.A,B 0 分别和 切于“两点，C是B 上任意一点，过C作 的切 线分别交PA,PB于D,E.若△PDE的周长为12，则PA的长为() B A.12 B.6 C.8 D.4 C6H 10.苯( °)的环状结构模型由德国化学家奥古斯特凯库勒于1865年提出，该模型为有机化学中芳香 族化合物的研究奠定了重要基础.随着研究的不断深入，发现一个苯分子中6个碳原子形成了正六边形的 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 结构，如图1.其示意图如图2，点O为该正六边形的中心，连接OB,若OB=1,则相邻两个碳原子的核 间距（即正六边形的边长）为() B D 图1 图2 A.1 B.V② C,3 D.2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） ABCDE 11.如图，正五边形 内接于半径为的O0,则征 的长为 B 12.刻图，点C在直径B的延长线上，D与半圆0相切于点D,∠C=30,0C=4,则D的长度 BD 为 (结果保留兀) B 13.如图，PA,PB是⊙0的切线，A,B为切点，AC是⊙0的直径，若∠OAB=2I°，则∠P= 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13,BC=5(如图所示)·点D在边AB上（不与点A、B重 合)，DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E、F,⊙E的半径长为2.如果⊙F与⊙E外切，那么⊙F的半 径长？的取值范围是 B 15.生活中的剪刀蕴含着数学知识.如图1是某剪刀，其结构主要包括剪刀、剪柄和指圈.当剪刀张角最 大时，其理想化模型如图2，剪刀所在直线与指圈所在半圆相切.已知AC与BD相交于点O,CE为半圆 的直径，OC=9,CE=6,则此时张角∠AOB的大小为 剪 指圈 剪柄 图1 图2 16.2025年“苏超”火爆全国，足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带.它超越国界，连接 人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁.图①是一次足球比赛的奖 杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，PA、PB是圆的切线，A,B为切点，O为圆心，连接BO并延长 BO PA C PB=6,PC=10 OC 交射线“于点，若 ,则的长度为 图1 图2 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 4/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 共9小题，共72分) 17.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm,以点C为圆心，2.4cm为半径画圆.求： (I)AB的中点D与OC的位置关系： (2)直线AB与⊙C的位置关系. I8.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点D为AC的中点.请仅用无刻度的直尺按照 下列要求作图（保留作图痕迹）· 图1 图2 (I)在图1中，作出∠ABC的平分线： (2)在图2中，作出△ABC的内心. 19.如图，直线I与⊙O相切于点D,AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥1于点E,延长AB交直线I于点C, (1)求证：AD平分∠CAE: (2)如果BC=1,DC=3,求⊙0的半径. 20.如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形ABCDEF,⊙O 是它的外接圆. 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 图1 图2 (1)求∠BAF的度数 2 (2)连接0C,Op:作0G⊥CD:若劣弧CD的长为5π，求OG的长 21.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，连接AC并延长至点D,使DC=AC,连接BD交⊙O于点E, 延长BD至点r,连接A,使∠FAD-ABD D (1)求证：FA是⊙0的切线： (2)若FD=4,FA=8,求BE的长. 22.一辆汽车停放于积水路面上，如图1是该汽车轮胎的截面示意图，已知轮胎⊙0与地面相切于点P (轮胎的形变忽略不计)，若轮胎没入积水的最大深度为l4cm,轮胎与积水面的接触长度AB为56cm, 图1 图2 (1)求轮胎的半径： 618 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，当汽车行驶到坡角为30°的斜坡CD上的D点时（⊙0与坡面相切于点D)，过轮胎中心O作水 平地面的垂线与⊙O交于点E,与斜坡CD交于点F,与水平地面交于点M,直接写出劣弧DE的长度， 并直接比较劣弧DE与线段DF的大小（结果保留π）， 23.如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BCCA分别相交于点D,E、F,若 AB =10cm,BC=16cm,CA=14cm (1)求BD的长： (2)求⊙0的半径. (3)连接A0,C0,求A0、C0与⊙0围成的劣弧的弧长. 24.停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将 停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动.图2是某直角停车楔和轮胎的示意图，AD⊥DE, 当车辆停于水平地面EF时，此时停车楔AC紧贴轮胎，停车楔边CD与地面EF重合，AB是OO的直径， ∠DAB ACAC,⊙O C BC AF∥BC、EF 的平分线， 交 于点，连接，过点A作 交于点F. E C D 图1 图2 (1)求证：EF是OO的切线； (2)求证：∠B+∠AFC=90°； 718 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若⊙0的半径为5dm,∠ACD=30°，求图2中阴影部分的面积为多少dm2. 25.如图，己知：∠MAW=60°，AP平分∠MAN,且AP=4.请探究： M M B B B CIN 02 图<1> 图<2> 图<3> (I)如图<1>，若以AP为直径作⊙O,分别交AM、AN于B、C,求AB+AC的长： @图<2，若以为弦（不是直径），任作9O分别交4W、4N手A、G点，则48+C ⊙0 的长是 否不变？请说明理由： (3)如图<3>，若以4P为弦（不是直径）作⊙ 年o0与4M切于A点，交1N于9点，则1C的长是多少？请 说明理由. 818