第三十章 直线与圆的位置关系（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学直线与圆位置关系单元提升卷，通过选择、填空、解答题（10/6/8题，30/18/72分）覆盖切线性质、圆与几何综合等核心知识，融合文化情境与动态问题，适配单元复习培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|切线判定、圆与坐标系综合（如第3题一次函数平移与圆位置关系）|结合团扇文化（第2题），考查几何直观| |填空题|6/18|圆与坐标轴交点、切线长定理（第15题）|动态几何与代数结合（第12题方程与位置关系），体现运算能力| |解答题|8/72|尺规作图（第17题）、圆与平行四边形综合（第17题(3)）|多问分层设计（如第20题内心外心距离），发展推理能力与空间观念|

第三十章 直线与圆的位置关系（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 2．团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为，扇柄所在直线经过圆心，她过扇柄端点作，分别与相切于点，，得到．若的半径为，，则小红想要装饰的的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，，与轴，轴均相切，将一次函数的图象平移，当图象与有公共点时，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，已知点若以M为圆心，r为半径的圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则圆的半径r的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．数学课上，老师提出一个问题：“如图，用尺规作图的方法，过外一点作的切线．”学生们展开了讨论和探究，其中嘉嘉和淇淇给出了下面两种不同的作图方案，则下列说法正确的是（   ） 嘉嘉： ．连接 ．作的垂直平分线交于点 ．以点为圆心，为半径作圆交于点 ．连接，则为的切线 淇淇： ．连接并延长交于点、交于点 ．分别以点为圆心，为半径作弧，两弧交于点 ．连接交于点 ．连接，则为的切线 A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误 6．如图，是的直径，过上一点作的切线，所作切线与的延长线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 8．如图所示，在中，已知，，，则其内心O和外心M之间的距离是（   ） A． B． C． D． 9．已知线段，用尺规作大小确定的圆，使之过点，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．1个或2个 D．0个，1个或2个 10．如图，在正六边形中，连接，，以点A为圆心，长为半径作圆弧，得到，若的长为，则正六边形的边长为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若以点为圆心的圆与两坐标轴只有3个交点，则该圆的半径长是______． 12．已知的半径为，圆心到直线的距离为，若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则直线与的位置关系为______． 13．如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 14．是的弦，与相切于点B，圆心O在上，若，则_______． 15．如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 16．已知点和直线，求点P到直线的距离d，可用公式计算．已知的圆心Q的坐标为，半径r为2，则与直线的位置关系是_______ ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图1，点为上一点，且于点． (1)下列说法正确的是（    ） A．与相离        B．与相切 C．与相交        D．以上说法均不正确 (2)过点作的切线，切点为，且点与点不重合（保留作图痕迹，简单写出作图方法）； (3)如图2，在图1的基础上，连接并延长交于点和点．过点作，交的延长线于点，交于点，连接．若四边形是平行四边形，且，求的长． 18．（8分）如图，是的外接圆，连接，过点C作一条射线． (1)请从以下条件中：①，；②；③平分．选择一组能证明是的切线的条件，并写出证明过程； (2)若，，，求的度数． 19．（8分）如图，已知是的直径，点为上一点，过点的切线交延长线于点，且． (1)求证：； (2)过点作交于点，若，求的长． 20．（8分）如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 21．（10分）如图，平面直角坐标系中，点，，作过点、、的圆． (1)依题意补全图形； (2)圆心坐标为______； (3)劣弧的弧长为______； (4)若点为圆上任意一点（不与、点重合），则的度数为_____． 22．（10分）阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们已经学习过点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，那么圆与圆有什么样的位置关系呢？学习小组的各位同学通过查阅资料，得到圆与圆的位置关系如图． 爱动脑筋的小刚提出了疑问：点与圆的位置关系是根据点到圆心的距离与半径之间的关系进行判断的，直线与圆的位置关系是根据圆心到直线的距离与半径之间的关系进行判断的，那么如何判断两圆之间的位置关系呢？ 学习小组的同学通过不断探究，最终得出了结论： 如图，设两圆的圆心分别为点，，两圆心之间的距离即圆心距为（即），两圆的半径分别为，（假设），则 外离：没有公共点，两圆外离； 外切：有唯一的公共点，两圆外切； 相交：有两个公共点，两圆相交； 内切：有唯一的公共点，两圆内切； 内含：没有公共点，两圆内含． 任务： (1)若两圆的圆心分别为点，，其半径分别为和，且，则两圆的位置关系为_____． (2)若两圆的半径比为，内切时圆心距等于，那么这两圆相交时，圆心距的取值范围是_____． (3)如图3，半径均为的与外切于点．将三角板的直角顶点放在点处，再将三角板绕点旋转，使三角板的两直角边中的一边与相交于点，另一边与相交于点（转动过程中直角边与两圆都不相切），连接．在转动过程中线段的长与半径之间有什么关系？并证明你的结论． 23．（10分）如图，正六边形内接于． (1)若P是上的动点，连接，求的度数； (2)已知的面积为，求阴影部分的面积． 24．（10分）已知：如图，与相交于点、，且，过点的直线分别交、于点、，且．点是线段的中点．联结并延长交于点，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三十章直线与圆的位置关系（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.D 2.B 3.B 4.C 5.c 6.D 7.A 8.C 9.D 10.D 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.) 11.V5或2 12.相交 13.3 14.25 15.24 16.相离 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(8分) 【详解】(1)解：，点A为⊙O上一点，且PA⊥OA于点A, ∴OA是半径，PA是⊙O的切线， .PA与⊙O相切， 故选：B. (2)解：在△APO和△BPO中， 1/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AP=BP OP=OP OA=OB ∴.△APO≌△BPO SSS, .∠OBP=∠OAP=90°， .OB⊥BP, 又OB为半径， ∴PB为⊙O的切线。 (3)解：如图，连接OE, AECO OA=OC D 四边形 是平行四边形， ∴.四边形AECO是菱形， ..OA=OC=AE=CE, ..OC=OE=CE ∴.△OCE是等边三角形， ∴.∠OCE=60°， CD⊥PA, .∠P=30°， PA⊥OA. ..OP=20A, ·0P2=0A2+PA2,即120A2=0A2+43P, .OA=4,OP=8, ..OC=OE=OA=4,CP=OP+CO=12, CD-号cP=6. .DE=CD-CE=6-4=2 18.(8分) 【答案】(1)解：选择①CDOA,∠ABC=45°， 连接OC,如解①图： 2/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解①图 .AC=AC, ∴.∠AOC=2∠ABC=90°， .CD OA, .∠OCD=∠AOC=90°， OC是圆的半径， CD是⊙O的切线， 选择②∠BCD=∠BAC, 如解②图，连接CO并延长交圆于点E,连接BE, D B 解②图 BC=BC. ∠BAC=∠E, .∠BCD=∠BAC .∠BCD=∠E ,CE是⊙O的直径， ∴∠CBE=90°， ∴.∠ECB+∠E=90°， .∠BCD+∠ECB=90°， 即ㄥOCD=90°， OC是圆的半径， ∴.CD是⊙O的切线： (2)解：连接OB,OC. 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B OA=OB. ∠OBA=∠OAB=22.5, AB=CB,OB=OB,OA=OC, ∴.△AOB≌△COB(SSS), ∴.∠CB0=∠AB0=22.5°，∠OCB=∠OAB=22.5°， ∴.∠B0C=∠AOB=180°-22.5°-22.5°=135° 19.(8分) 【答案】(1)证明：连接OC, ,点C为⊙O上一点，过点C的切线交BA延长线于点P, ∴.∠OCP=90°，即∠OCA+∠PCA=90°， ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， .∠OCA+∠BCO=90°， ∴.∠BCO=∠PCA, .PC=BC, .∠P=∠B, .OB=OC, .∠B=∠BCO, ∴.∠P=∠PCA, ∴.AP=AC: (2)解：如图，连接OD, 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠OCP=90, ∴.∠P+∠POC=∠PCA+∠OCA=90°， .∠P=∠PCA ∴.∠POC=∠OCA, ..AC=AO, 又OC=OA, ∴，△ACO是等边三角形， ∴.∠AOC=60, CD‖AB .∠OCD=∠AOC=60, :0C=0D=AB=4, 2 △COD是等边三角形， .CD=C0=4. 20.(8分) 【详解】(1)解：.·⊙O是△ABC的内切圆， .∴.OA平分∠CAB,OB平分∠CBA, .'在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴.CAB+∠CBA=90°， ∠0AB+∠0BA-CAB+∠CB4-45 ∴.∠A0B=180°-45°=135°. (2)解：设半径为r,连接OE、OF ·⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F, ∴.由切线长定理得：BE=BD=6,AF=AD=4,CE=CF, ∠C=90,OE⊥BC,OF⊥AC, ∴.四边形OECF是正方形，CE=CF=r, 5/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC=AF+CF=4+r,BC=BE+CE=6+r, .AB=AD+BD=4+6=10, 在Rt△ABC中，由勾股定理得： (4+r)2+(6+r)2=102 解得：r=2或r=-12(舍去负值)， ∴.⊙O的半径r=2 (3)解：由(2)知AC=6,BC=8,AB=10, 设斜边AB的中点为M,则M是Rt△ABC的外心， 分别连接OM,OD, .AD=4,AB=10, ..AM=1AB=5, 2 ∴.MD=AM-AD=5-4=1, .OD是内切圆半径，OD⊥AB, ∴.OD=r=2, 在Rt△OMD中，由勾股定理得： 0M=V0D2+MD=V22+1=V5' ∴.Rt△ABC的外心和内心的距离为V5, 21.(10分) 【答案】(1) 解：补全图形如图所示： 6/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 XM C 4-3X02本56 (2)解：.点M在线段AB的垂直平分线上，A-1,-1,B3,-1, -1+3=1, 2 设M1,m, .MA=MC,A-1,-1,C-2,0 .←1-1P+-1-mP=-2-1P+0-mP,即4+1+2m+m2=9+m2 .∴.m=2, ∴.M1,2, 故答案为：1,2： (3)解：由(2)得，M1,2, .MB=/3-1+-1-27=V13 连接BC,MB,MC,过点M作MH⊥BC交BC于点H, M 2 .BC=-2-32+0--1=26 4-3T©i23456x B -3 -4 .MH⊥BC, ·BH=号BC=26 2 7/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Rt△BMH中， MH-9MB-BH2-26 ∴.BH=MH,∠MHB=90°， ∴.∠BMH=∠MBH=45°， MB=MC, ∴.∠BCM=45°， ∴.∠BMC=180°-∠BCM-∠MBH=90°， 劣弧BC的弧长为： 90×V13r_V13π 180 V13π 故答案为： 2 (4)解：如图， M 4-3 3456x B -4 点P在优弧BC上时， ,∠BMC=90°， ∠BPC=BC=45 点P在劣弧BC上时， B,C,P,P四点共线，∠BPC=45°， ∴.∠BPC=180°-45°=135°： 综上，∠BPC的度数为45°或135°， 故答案为：45°或135°. 22.(10分) 8/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：0102=16cm,半径分别为4cm和8cm, ..16cm>4cm+8cm, 两圆的位置关系为：外离， 故答案为：外离： (2)解：，两圆的半径比为3：4， .设两圆的半径分别为3x,4x, ,内切时圆心距等于12cm, ∴.4x-3x=12cm,解得：x=12cm, .两圆的半径分别为36cm,48cm .两圆相交时，圆心距d的取值范围是48-36<d<48+36,即12<d<84, 故答案为：12<d<84; (3)AB=2r,理由， 如图，连接O1O2,01A,O2B, r⊙01⊙02 ,半径均为的 与 外切于点 .O1、P、O2三点共线， .O A=OP,O,B=O,P, ∠O1AP=∠O1PA,∠O2BP=∠O,PB ∴.∠AO1P=180°-2∠O1AP,∠BO2P=180°-2∠O,BP, .∠APB=90°， .∠O1PA+∠O2PB=90°， .∠O1AP+∠O2BP=90, ∠AO1P+∠BO,P=180°-2∠O1AP+180°-2∠O,BP=360°-2∠O1AP+2∠O,BP=180, .O1A‖O2B, .O1A=02B, ∴.四边形O1ABO2是平行四边形， ∴.AB=O1O2=2r. 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.(10分) 【详解】(1)解：如图所示，在CD取一点P,连接BP、AP、FP、FO、AO, A A D ,六边形ABCDEF是正六边形， AF=AB,∠AOF=360 =60°， 6 ·∠APF= 2 ∠AOF=30°， .AF=AB, ..AF=AB .∠APB=∠APF=30°， .∠BPF=∠APB+∠APF=60°： (2)解：连接OE,则：OA=OF=OE, A D 正六边形， AF=EF,∠AFE=l6-2×180 =120°， ∴.OF垂直平分AE,∠FAE=∠FEA=30°， .AE=2AG,FG=AG·tan30°= -AG, 3 5L号AD~G-2AG9AG=25. 2 3 ..AG=6. 10112 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..FG= 3.6=2, 由(1)可知：∠A0F=360 =60°， ∴△AOF为等边三角形， .OF⊥AG ..OF=2FG=22. ∴阴影部分的面积=S△AEF+S扇形AOF-S△AOF =23+60nx22-号×22×6 360 -4n 3 24.(10分) 【答案】(1) 证明：作O1N⊥AP,垂足为N. A B ,O1N过圆心，O1N⊥AP, AN=PN-AP.∠0，P=90° .PM=BM, .PMBP .AP=BP, .PN=PM,即点P是MN中点. ,O2M过圆心，PM=BM, .O2M⊥BP .∠O2MB=90°， .∠O1NP=∠O,MB 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .ON‖O2M, .O1N≠O2M, ∴.四边形O1NMO2是梯形， ,点C是线段O1O2的中点，点P是MN中点， .CP‖O2M, .∠CPB=∠O,MB=90°. ∴.CP⊥AB (2) 证明：联结PQ交O1O2于D. M A .⊙O1与⊙O2相交于点P、Q, ∴.O1O2垂直平分PQ, ..DP=DQ,CP=CQ .CP‖O2M, CD_DP 0,DDQ' .'.CD=0,D .DP=DQ, ∴.四边形CPO2Q是平行四边形， .CP=CQ, .四边形CPO2Q是菱形. 12112 第三十章 直线与圆的位置关系（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用三线合一求得圆心角的度数，再分点在优弧、劣弧两种情况，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质计算的度数. 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 当点在优弧上时，. 当点在劣弧上，如图点的位置时，. 2．团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为，扇柄所在直线经过圆心，她过扇柄端点作，分别与相切于点，，得到．若的半径为，，则小红想要装饰的的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，确定，得出，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，分别与相切于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴的长为：． 3．如图，，与轴，轴均相切，将一次函数的图象平移，当图象与有公共点时，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心坐标及圆与坐标轴相切得出圆的半径，设圆上任意一点坐标为，由半径得，，那么圆上任意一点的横纵坐标满足方程 ，再联立与得到一元二次方程，根据直线与圆有公共点，利用一元二次方程根的判别式 建立关于 b 的不等式，最后利用二次函数的图象与性质解不等式即可． 【详解】解：圆心 ， ∴圆心到轴，轴的距离为 ∵与轴，轴均相切， 的半径， 设圆上任意一点坐标为， 由半径得， ∴圆上任意一点的横纵坐标满足方程， 当图象与有公共点时， 联立与， 得： ， 整理得：， 关于 的一元二次方程有实数根， ， 整理得，. 令， 解得， 令， ∴不等式的解集，即为抛物线在轴下方时，对应于轴交点横坐标的取值范围， ∵，抛物线开口方向向上， 不等式的解集为． 4．在平面直角坐标系中，已知点若以M为圆心，r为半径的圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则圆的半径r的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算圆心M到给定直线的距离，再根据圆上满足距离为1的点仅有2个的条件，结合直线与圆的位置关系推导半径r的取值范围． 【详解】解：设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，如图，过M作于N， 当时，， 当时，，解得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，以M为圆心，r为半径的圆上到直线的距离为1的点有且仅有1个；当时，以M为圆心，r为半径的圆上到直线的距离为1的点有且仅有3个，如图， ∴以M为圆心，r为半径的圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个时，圆的半径r的取值范围是． 5．数学课上，老师提出一个问题：“如图，用尺规作图的方法，过外一点作的切线．”学生们展开了讨论和探究，其中嘉嘉和淇淇给出了下面两种不同的作图方案，则下列说法正确的是（   ） 嘉嘉： ．连接 ．作的垂直平分线交于点 ．以点为圆心，为半径作圆交于点 ．连接，则为的切线 淇淇： ．连接并延长交于点、交于点 ．分别以点为圆心，为半径作弧，两弧交于点 ．连接交于点 ．连接，则为的切线 A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误 【答案】C 【分析】根据切线的判定定理，需证明，嘉嘉利用了“直径所对的圆周角是直角”构造直角；淇淇利用了等腰三角形“三线合一”的性质构造直角，分别验证两人的作图依据即可． 【详解】解：对于嘉嘉的作法：∵作的垂直平分线交于点， 为的中点，即以为圆心，为半径的圆是以为直径的圆， 点在该圆上， ，即， 为的半径， 为的切线，故嘉嘉的作法正确； 对于淇淇的作法：连接， ∵以为圆心，为半径作弧， ，即为等腰三角形， ∵以为圆心，为半径作弧， ． 为的直径，为半径， ，即， 点在上且在上， 为的一半，即为的中点， 在等腰中，，为底边的中点， ，即， 为的半径， 为的切线， 故淇淇的作法正确； 综上所述，两人都正确． 6．如图，是的直径，过上一点作的切线，所作切线与的延长线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，进而求得的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴ ∴ 7．如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得点，在以为直径的上，连接，证明和都是的切线，利用切线长定理结合四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，由题意得点，在以为直径的上，连接， ∴， ∵和都是的半径， ∴和都是的切线， ∴， ∴． 8．如图所示，在中，已知，，，则其内心O和外心M之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆与各边的切点分别为E，F，N，连接，根据切线的性质，证明四边形是正方形，设，，得，根据解方程组，勾股定理求解即可． 【详解】解：设圆与各边的切点分别为E，F，N， 连接， 根据切线的性质，得， 故四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 根据切线长定理，得， 设，， ，，， ， 故， 解得， 点M是圆的外心， 故点M是斜边的中点， 故， 连接， 根据勾股定理，得， 故选：C． 9．已知线段，用尺规作大小确定的圆，使之过点，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．1个或2个 D．0个，1个或2个 【答案】D 【分析】过已知两点作大小确定（即半径确定）的圆，圆心需到两点的距离都等于定半径，通过判断两个以已知点为圆心，定半径为半径的圆的交点个数，分情况讨论即可得到结果． 【详解】解：∵ 所作圆过A、B两点且大小确定，即半径r为定值，圆心需满足到A、B两点的距离都等于r， ∴ 圆心是以A为圆心r为半径的圆与以B为圆心r为半径的圆的交点，两圆圆心距， 分三种情况讨论： 当，即时，两圆外离，无交点，符合条件的圆有0个， 当，即时，两圆外切，仅有1个交点，符合条件的圆有1个， 当，即时，两圆相交，有2个交点，符合条件的圆有2个， 因此这样的圆的个数为0个，1个或2个． 10．如图，在正六边形中，连接，，以点A为圆心，长为半径作圆弧，得到，若的长为，则正六边形的边长为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】先根据正六边形性质求出内角度数，利用等腰三角形性质求出和的度数，进而得到圆心角的度数；根据弧长公式求出半径的长，最后在中利用勾股定理或特殊角性质求出边长． 【详解】解：六边形是正六边形， ，， ，， ， 设正六边形的边长为，即， 过点作于点， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， 的长为， ， ， 解得， 正六边形的边长为3． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若以点为圆心的圆与两坐标轴只有3个交点，则该圆的半径长是______． 【答案】或2 【分析】本题考查了切线的性质，圆与坐标轴的交点问题，正确分类讨论是解题的关键． 分两种情况讨论：①经过原点；②与轴相切且与轴相交，再结合图形分别求出对应的圆的半径长即可． 【详解】解：①如图，当经过原点时，与两坐标轴只有3个交点， 此时该圆的半径长； ②如图，当与轴相切（切点为）且与轴相交时，与两坐标轴只有3个交点， 则轴， 此时该圆的半径长； ∴综上，该圆的半径长是或2． 故答案为：或2． 12．已知的半径为，圆心到直线的距离为，若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则直线与的位置关系为______． 【答案】相交 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直线与圆的位置关系，由一元二次方程有两个不相等的实数根，得判别式大于零，求出半径，再比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，得出直线与圆相交，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∵， ∴， ∵圆心到直线的距离为，且， ∴距离小于半径，直线与相交， 故答案为：相交． 13．如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查切线的判定及切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，其切线长相等，熟练掌握切线长定理是解题关键． 根据题意得出与、都相切，切点为、，根据切线长定理即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴与、都相切，切点为、， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 14．是的弦，与相切于点B，圆心O在上，若，则_______． 【答案】25 【分析】连接，根据切线的定义得到，进而可求出，再根据圆周角定理得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【答案】24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 16．已知点和直线，求点P到直线的距离d，可用公式计算．已知的圆心Q的坐标为，半径r为2，则与直线的位置关系是_______ ． 【答案】相离 【分析】本题考查了算术平方根的应用，直线和圆的位置关系．根据公式计算即可．利用点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离，再与圆的半径比较大小，判断位置关系． 【详解】解：圆心到直线的距离， 故圆与直线相离． 故答案为：相离． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图1，点为上一点，且于点． (1)下列说法正确的是（    ） A．与相离        B．与相切 C．与相交        D．以上说法均不正确 (2)过点作的切线，切点为，且点与点不重合（保留作图痕迹，简单写出作图方法）； (3)如图2，在图1的基础上，连接并延长交于点和点．过点作，交的延长线于点，交于点，连接．若四边形是平行四边形，且，求的长． 【答案】(1)B (2) 如图，以点为圆心，的长为半径作圆交于点，点B即为所求； (3)的长为． 【分析】（1）根据切线的定义进行判断即可； （2）以点为圆心，的长为半径作圆交于点，证明得，即可得为的切线； （3）连接，证明四边形是菱形，进而可得是等边三角形，则，，根据含30度角的直角三角形的性质得，由勾股定理求出，则，，再根据含30度角的直角三角形的性质得，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵点为上一点，且于点， ∴是半径，是的切线， ∴与相切， 故选：B． （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵为半径， ∴为的切线． （3）解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 18．（8分）如图，是的外接圆，连接，过点C作一条射线． (1)请从以下条件中：①，；②；③平分．选择一组能证明是的切线的条件，并写出证明过程； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)解：选择①，， 连接，如解①图； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是圆的半径， ∴是的切线， 选择②， 如解②图，连接并延长交圆于点，连接， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 即， ∵是圆的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）选择①连接，由可得，由可得，进而可证明是的切线，选择②连接并延长交圆于点，证明，从而证明，即可得出结论，③平分，无法得出结论； （2）连接，，证明，求得，进而求出． 【详解】（1）略； （2）解：连接，． ∵， ∴， ，，， ， ， ． 19．（8分）如图，已知是的直径，点为上一点，过点的切线交延长线于点，且． (1)求证：； (2)过点作交于点，若，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵点为上一点，过点的切线交延长线于点， ∴，即， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）连接，证明，，，进一步可得，可得，可证明； （2）连接，证明与是等边三角形，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 20．（8分）如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 21．（10分）如图，平面直角坐标系中，点，，作过点、、的圆． (1)依题意补全图形； (2)圆心坐标为______； (3)劣弧的弧长为______； (4)若点为圆上任意一点（不与、点重合），则的度数为_____． 【答案】(1) 解：补全图形如图所示； (2) (3) (4)或 【分析】本题考查作图一复杂作图，坐标与图形的性质，三角形外接圆，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，垂直平分线的性质． （1）根据的外接圆圆心为的外心，易得圆心在线段，的垂直平分线上，即可作图； （2）由（1）知，圆心在线段的垂直平分线上，设，由，即可求解； （3）由（2）可得的外接圆的半径，连接，过点M作交于点H，由两点间距离公式得，根据垂径定理得，由勾股定理易得，易得，根据，求得，即可求劣弧的弧长； （4）由（3）知，分两种情况讨论：点在劣弧上；点P在优弧上；根据圆周角定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：点M在线段的垂直平分线上，，， ， 设， ，， ，即， ， ， 故答案为：； （3）解：由（2）得，， ， 连接，过点M作交于点H， ， ， ， 中， ， ，， ， ， ， ， 劣弧的弧长为：， 故答案为：； （4）解：如图， 点P在优弧上时， ， ； 点在劣弧上时， 四点共线，， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 22．（10分）阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们已经学习过点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，那么圆与圆有什么样的位置关系呢？学习小组的各位同学通过查阅资料，得到圆与圆的位置关系如图． 爱动脑筋的小刚提出了疑问：点与圆的位置关系是根据点到圆心的距离与半径之间的关系进行判断的，直线与圆的位置关系是根据圆心到直线的距离与半径之间的关系进行判断的，那么如何判断两圆之间的位置关系呢？ 学习小组的同学通过不断探究，最终得出了结论： 如图，设两圆的圆心分别为点，，两圆心之间的距离即圆心距为（即），两圆的半径分别为，（假设），则 外离：没有公共点，两圆外离； 外切：有唯一的公共点，两圆外切； 相交：有两个公共点，两圆相交； 内切：有唯一的公共点，两圆内切； 内含：没有公共点，两圆内含． 任务： (1)若两圆的圆心分别为点，，其半径分别为和，且，则两圆的位置关系为_____． (2)若两圆的半径比为，内切时圆心距等于，那么这两圆相交时，圆心距的取值范围是_____． (3)如图3，半径均为的与外切于点．将三角板的直角顶点放在点处，再将三角板绕点旋转，使三角板的两直角边中的一边与相交于点，另一边与相交于点（转动过程中直角边与两圆都不相切），连接．在转动过程中线段的长与半径之间有什么关系？并证明你的结论． 【答案】(1)外离； (2)； (3)， 理由， 如图，连接，，， ∵半径均为的与外切于点 ∴三点共线， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【分析】本题考查了两圆之间的位置关系，平行四边形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据半径与圆心距进行比较即可求解； （）设两圆的半径分别为，，根据内切时圆心距等于，求出，则两圆的半径分别为，，然后通过两圆相交即可求解； （）连接，，，由半径均为的与外切于点则三点共线，通过角度和差证明四边形是平行四边形即可求解． 【详解】（1）解：∵，半径分别为和， ∴， ∴两圆的位置关系为：外离， 故答案为：外离； （2）解：∵两圆的半径比为， ∴设两圆的半径分别为，， ∵内切时圆心距等于， ∴，解得：， ∴两圆的半径分别为，， ∴两圆相交时，圆心距的取值范围是，即， 故答案为：； （3）略 23．（10分）如图，正六边形内接于． (1)若P是上的动点，连接，求的度数； (2)已知的面积为，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了圆内接正六边形问题，圆周角定理，求阴影部分的面积，解题的关键是掌握圆内接正六边形的性质． （）在取一点，连接，利用圆周角定理，进行求解即可； （2）连接，根据阴影部分的面积等于进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，在取一点，连接， ∵六边形是正六边形， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，则：， ∵正六边形， ∴， ∴垂直平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 24．（10分）已知：如图，与相交于点、，且，过点的直线分别交、于点、，且．点是线段的中点．联结并延长交于点，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1) 证明：作，垂足为． ∵过圆心，， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴，即点是中点． ∵过圆心，， ∴． ∴， ∴． ∴， ∵， ∴四边形是梯形． ∵点是线段的中点，点是中点， ∴， ∴， ∴． (2) 证明：联结交于． ∵与相交于点、， ∴垂直平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）作，垂足为，根据垂径定理可得，，，从而得到，可得到四边形是梯形，即可求证； （2）联结交于，根据题意可得垂直平分，从而得到，，再有，可得，从而得到，可得到四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $