第三十章 直线与圆的位置关系（高效培优单元测试·强化卷）数学新教材人教版九年级上册
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摘要：
**基本信息**
直线与圆的位置关系单元强化卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖位置关系判定、切线性质等核心知识，适配单元复习，提升几何直观与推理能力。
**题型特征**
|题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色|
|----|-----------|----------|----------|
|选择题|10/30|直线与圆位置关系（1）、圆与圆内切（5）|结合烯分子结构（10）体现科技情境|
|填空题|6/18|切线作图依据（12）、内心性质（15）|正多边形中心角（16）强化空间观念|
|解答题|8/72|切线证明（17）、内切圆作图（21）、正五边形与圆（23）|地球纬度问题（4）培养模型意识，尺规作图（21）提升动手能力|
内容正文：
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第三十章直线与圆的位置关系（高效培优单元自测·强化卷）
（考试时间：120分钟试卷满分：120分)
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。)
1.C
2.D
3.B
4.D
5.D
6.D
7.A
8.C
9.B
10.B
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.)
11.3(答案不唯一)
12.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
13.①②③④
14.6
15.40°/40度
16.72°/72度
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(8分)
【答案】
连接OE,OD
1/9
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B
E
,AB,AC分别与小圆相切于点D、E,
.OE⊥AC,OD⊥AB,AD=AE,
AB,AC是大圆的弦，
.AD-TAB.AE-TAC.
..AB=AC.
18.(8分)
【答案】(1)
证明：如图，连接OA,
,BC是⊙O的直径，
.∠BAC=90°，
.OA=OB
.∠OAB=∠B,
,∠B=∠CAD,
.∠OAB=∠CAD,
∴.∠OAB+∠OAC=∠CAD+∠OAC,
即∠BAC=∠OAD,
.∠OAD=90°，
.OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线：
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(2)解：∠B=30°，
∴.∠AOC=2∠B=60°，
OA=OC,
:.△OAC是等边三角形，
..OA=AC=3,
∴.扇形OAC的面积=
60×π×323
360
19.(8分)如图，⊙O是以等腰△ABC的腰AB为直径所作的圆，点D是⊙O与底边AC的交点，自D
点作DE⊥BC,垂足为点E,过点B作OO的切线BF,交AC于F
(1)求证：DE是⊙O的切线：
(2)若⊙O的半径为5，DE=3,求此时DF的长.
【答案】(1)
证明：，AB=BC,
.∠A=∠C.
.DE⊥BC,
∴.∠DEC=90°，
∴∠CDE+∠C=90°
.AB是⊙O的直径，
.∠ADB=90°，
∴.∠A+∠ABD=90°，∠CDE+∠BDE=90°，
∴.∠BDE=∠C=∠A」
.BO=OD
∠OBD=∠ODB,
∴.∠BDE+∠ODB=90°，
∴.DE⊥OD,
319
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.DE是⊙O的切线：
(2)过点D作DG⊥AB,交AB于点G,
.AB=CB,∠ADB=90°，
.BD平分∠ABC.
.DE⊥BC,DG⊥AB,
..DG=DE=3.
在Rt△ODG中，OD=5,DG=3,
0G=0D2-DG2=4
.BG=1,AG=9.
在Rt△ADG中，AG=9,DG=3,
根据勾股定理，得AD=Vg+3=3V10
,BF是⊙O的切线，
.∠ABF=∠AGD=90°，
:.DG BF,
.AD=AG
DF BG
即3V09
DF 1'
解得DF=0
31
20.
(8分)
【详解】(1)解：如图所示，当⊙A恰好与y轴相切时，设切点为C,连接AC,
AC⊥y轴，
A1,2,
∴.r=AC=1,
419
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当r>1时，⊙A必定与y轴有两个交点，当0<r<1时，⊙A与x轴和y轴都无交点，
∴.当⊙A与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是r=1,
故答案为：r=1;
(2)解：如图所示，当⊙A恰好与x轴相切时，设切点为D,连接AD,
.AD⊥X轴，
A1,2,
.AD=2,
∴.当1<r<2时，⊙A与y轴有两个交点，与x轴无交点，
当r>2时，⊙A与x轴和y轴都有两个不同的交点，即此时⊙A与坐标轴最少有3个交点，
.当⊙A与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是1<r<2,
故答案为：1<r<2
(3)解：由(2)可知，当r=2时，⊙A与y轴有两个交点，与x轴有一个交点，且不是原点，
.当r=2时，⊙A与坐标轴有3个交点：
如图所示，当⊙A恰好经过原点时，此时⊙A与y轴有两个交点，与x轴有两个交点，但是其中有一
个交点是原点，即此时⊙A与坐标轴有三个交点，
÷此时，=2-02+1-0=5
综上所述，当r=2或r=5时，⊙A与坐标轴有三个交点，
故答案为：r=2或r=V5:
519
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A
○
(4)解：如图所示，当2<r<V5或r>V5时，⊙A与y轴有两个交点，与x轴有两个交点，且不经
过原点，即此时⊙A与坐标轴有4个交点，
故答案为：2<r<V5或r>5
y
21.(10分)
【答案】
（1)如图所示.
(2)如图所示，
:△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切与点D,E,F,
.AE=AF,BF=BD,CD=CE.
..AB=5cm,BC=7cm,CA=6cm,
.BF=(5-AF)cm,
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.BD=(5-AF)cm」
则CD=[7-(5-AF)]=(2+AF)cm,
∴.CE=(2+AF)cm
则AE=[6-(2+AF)]=(4-AF)cm,
即AF=4-AF,
解得AF=2cm】
22.（10分)
【答案】(1)解：，点O是△ABC的外心，
.⊙O是△ABC的外接圆，
,点I是△ABC的内心，
∴.AD平分∠BAC,BI平分∠ABC,
.∠BAD=∠CAD,∠ABD=∠CBI,
“CD=CD
∴.∠CAD=∠CBD
.∠BAD=∠CBD,∠BID=2∠BAD,
∴.∠DBI=∠CBD+∠CBI=2∠BAD=∠BID,
.BD=ID:
(2)
点D是图中△BCI的外心，理由如下：
如图，连接CD,CI,
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由(1)知∠BAD=∠CAD,
BD=CD'即BD=CD:
∴BD=ID=CD,
∴.点B,I,C在以点D为圆心，BD为半径的圆上，即⊙D是△BCI的外心.
23.（10分)
【详解】(1)解：.‘正五边形ABCDE内接于⊙O,
∠A0C=360×2=14
∠ADc=号A0C=72
(2)由(1)得∠AOC=144°，
.⊙O的半径为1，
:扇形A0C(阴影部分)的面积为：S=mr=144π×1_=2元.
360
360
5
24.（10分)
【答案】(1)证明：如图，连接OD交AC于点F.
C
D
B
E.DE
⊙0
D
与
相切于点，
∴.OD⊥DE,即∠ADE+∠ODA=90」
.AB是⊙O的直径，
∴.∠ADB=90°，即∠ODA+∠BDO=90°，
8/9
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∴∠BDO=∠ADE.
.OB=OD.
∴.∠OBD=∠BDO,
.∴.∠OBD=∠ADE」
,点D是AC的中点，
∴.∠OBD=∠CBD,
∴.∠ADE=∠CBD:
(2)解：设OF=x,
.⊙O的半径为5，
..OA=OD=5.
..DF=OD-OF=5-x,
点D是AC的中点，
∴.OD⊥AC,
在Rt△AOF中，AF2=OA2-OF2,
在Rt△ADF中，AF=AD2-DF2,
.AD2-DF2=0A2-0F2,
.AD=4,
16-(5-x2=25-x2
解得x=3.4,
.∴.0F=3.4,
∴AF=V0A-0F=V5-3.4-421
5
AC=2AF=8821
5
9/9
第三十章 直线与圆的位置关系（高效培优单元自测·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．如果的半径为，圆心到直线的距离为，且，那么和直线的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】C
【分析】比较圆的半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到位置关系，规则为：时直线与圆相交，时相切，时相离．
【详解】解：∵的半径，圆心到直线的距离，
∴，
根据判定规则可得和直线的位置关系是相交．
2．在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径作，则下列说法错误的是（ ）
A．与轴相切 B．与轴相离
C．点在内 D．点在外
【答案】D
【分析】此题主要考查了勾股定理，直线与圆和点与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点，根据点的坐标得到圆心到轴的距离是2，到轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案，熟练掌握运用直线与圆和点与圆的位置关系是解题的关键．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径作，
∴到轴的距离是2，到轴的距离是3，
∴与轴相切，与轴相离，故选项正确，不符合题意；
∵，
则点在内，故选项正确，不符合题意；
∵，
∴点在内，故选项错误，符合题意；
故选：D．
3．如图，点A，B，D在上，，的延长线交直线于点，且 ，连接，则直线与的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】B
【分析】此题主要考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系，及圆的切线的判定，解题的关键是掌握上述知识点．
先利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系求出，再求，可得结论．
【详解】解：，
．
，
，
．
是的半径，
是的切线，即直线与的位置关系为相切．
故选：B．
4．如图，是地球示意图，表示赤道，太阳光线、地平面与相切．某时刻某地纬度，太阳光直射纬度，则太阳高度角（太阳光线与地平面的夹角）的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用切线性质得到直角，再结合太阳光线平行的条件，通过角度的和差关系推导太阳高度角的度数．
【详解】如图，设切点为，连接，
∵地平面与相切于D，
∴，
∵太阳光线，
∴，
∵，，
∴．
5．已知⊙O1与⊙O2内切于点A，⊙O1的半径等于5，O1 O2=3,那么O2A的长等于（ ）
A．2 B．3 C．8 D．2或8
【答案】D
【分析】根据题意可知分两种情况讨论即可求解.
【详解】根据题意可知分两种情况讨论：
①O1A＞O2A，∵O1A =5，O1 O2=3,
∴O2A= O1A-O1 O2=2
①O2A＞O1A，∵O1A =5，O1 O2=3,
∴O2A= O1A+O1 O2=8
故选D.
6．如图，，分别与相切于点，，与相切于点，交于点，交于点，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由、是的切线，得；由、和、分别是的切线，得、；将的周长转化为，再替换为，进一步转化为，结合的长度计算结果．
【详解】解：，分别相切于点，
，
，分别与相切于点，
，
分别与相切于点，
，
．
7．已知的三边长a，b，c满足，则的内切圆半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】因为一个数的平方、算术平方根、绝对值是非负数，所以可求、、的值，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，用面积法可求内切圆半径．
【详解】解：，
，，．
，
，
是直角三角形．
设内切圆的半径为．
根据题意，得，即，
解得
故选：A．
8．如果与内含，圆心距，的半径长是，那么的半径长的取值范围是（ ）．
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，两个圆的半径差的绝对值小于圆心距离，那么这两个圆内含，据此分内含于和内含于两种情况，讨论求解即可．
【详解】解：当内含于时，则，
∴，
∴；
当内含于时，则，
∴，
∴；
综上所述，或，
故选：C．
9．如图，是的外接圆，是直径，是的内切圆，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握三角形的外接圆，内切圆的综合运用是解题的关键．
根据外接圆，是直径可得，根据内切圆，可得是角平分线，再结合三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：是外接圆，是直径，
∴，
∴在中，，
∵是内切圆，
∴是的角平分线，
∴，
∴在中，，
故选：B．
10．五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形中，连接，若，则正六边形的边长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】B
【分析】本题考查了正六边形的性质；解题的关键是掌握正六边形对顶点连线（长对角线）的长度等于边长的2倍．由正六边形的对称性知对顶点连线经过中心，长度为2倍边长，由直接求得边长为9．
【详解】解：设正六边形的边长为，
正六边形的六个顶点均匀分布在圆周上，中心角为，
正六边形的对顶点连线（长对角线）经过中心，长度为边长的2倍，
为正六边形的一组对顶点，
，
，
，
．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．已知的半径为，圆心到直线的距离为4，若直线与相离，且为整数，则的值可以为__________．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查直线与圆的关系，根据直线与圆相离的位置关系，圆心到直线的距离大于半径得出，再根据r为整数且，即可得出答案．
【详解】∵直线l与相离，
∴圆心O到直线l的距离．已知，
∴，即，
又∵r为整数且，
∴r可取1，2，3．
故答案为：3
12．已知及外一点P，求作直线，，使，与相切于点D，E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）：
①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C；
②作直线，交于点B；
③以点B为圆心，长为半径画弧， 交于点D，E；
④作直线，，则直线，
即为所求．请给出，为切线的理论依据：________请写出定理的内容）
【答案】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【分析】首先根据作图过程已知垂直平分，，进而得到两个等腰三角形和，利用等边对等角，以及三角形内角和定理，得到，即可证明与相切，从而可得理论依据.
【详解】证明：如图，连接，，
根据题意，得垂直平分，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵为的半径，
∴与相切；
同理：与相切；
∴，为切线的理论依据为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
13．如图，在中，为直径，点M为延长线上的一点，与相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径两侧，且使得，连接．现有下列结论：①与相切；②四边形是菱形；③；④．其中正确的结论是 _________（填序号）．
【答案】①②③④
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、切线的判定及性质、菱形的判定及性质、含角的直角三角形的特征，利用得，可得，再根据切线的判定及性质可判断①，利用三角形的判定及性质得，再根据菱形的判定即可判断②，利用含角的直角三角形的特征可判断③，利用菱形的性质可判断④，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：连接，，
，，，
，
，
与相切于点C，
，
，
是的直径，
与相切；故①正确；
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形是菱形，故②正确；
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
∵四边形是菱形，
，
，故④正确；
故答案为：①②③④．
14．如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交于点．若的周长为12，则的长为___________．
【答案】6
【分析】本题主要考查切线长定理．解题的关键在于利用切线长定理得出线段间的等量关系，进而将△的周长转化为与相关的表达式来求解．本题可根据切线长定理，将△的周长转化为与、有关的线段长度，再结合与的关系求解的长．
【详解】解：由题意可得：．．
同理，，是的切线，切点分别为，，
．
．
．
又，
．
△的周长为12，即，
，可得，
解得．
故答案为：6
15．如图，点为的内心，若，则的度数为___________．
【答案】/40度
【分析】本题考查了三角形的内心，正确把握三角形内心的性质是解题的关键．根据内心定义得出即可求出结论．
【详解】解：∵点为的内心，
，
，
，
故答案为：．
16．已知一正多边形的一个外角等于，则该正多边形的中心角等于____________．
【答案】/度
【分析】先根据已知外角度数求出正多边形的边数，再代入中心角公式计算即可．
【详解】解：任意正多边形的外角和为，该正多边形的一个外角等于，
该正多边形的边数为 ．
又正边形的中心角为，
该正多边形的中心角为．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦，分别与小圆相切于点D、E．求证：．
【答案】
连接，
∵分别与小圆相切于点D、E，
∴，，，
∵是大圆的弦，
∴，，
∴．
【分析】先由切线的性质及切线长定理得出，，，再由垂径定理得出，，即可证明．
【详解】略．
【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、垂径定理，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．
18．（8分）如图，是的外接圆，是的直径，．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求扇形的面积．
【答案】(1)
证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
是的半径，
∴是的切线；
(2)
【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定、扇形的面积公式；
（1）由是的直径，得到，由得到，进而得到，再利用切线的判定定理即可证明；
（2）根据圆周角定理得到，进而推出是等边三角形，则，再利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴扇形的面积．
19．（8分）如图，是以等腰的腰为直径所作的圆，点是与底边的交点，自点作，垂足为点，过点作的切线，交于
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求此时的长．
【答案】(1)
证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
(2)
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得，再根据“同角的余角相等”得，然后根据等腰三角形的性质得，即可得，进而得出答案；
（2）作，根据等腰三角形的性质得平分，再根据角平分线的性质得，接下来根据勾股定理求出，进而得出，，再根据勾股定理求出，最后根据平行线分线段成比例得出答案．
【详解】（1）略
（2）过点D作，交于点G，
∵，，
∴平分．
∵，，
∴．
在中，，，
∴，
∴，．
在中，，，
根据勾股定理，得．
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
即，
解得．
20．（8分）如图坐标系中，，以A为圆心，r为半径画圆，
(1)当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是 ；
(2)当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是 ；
(3)当与坐标轴有三个公共点时，r的取值范围是 ；
(4)当与坐标轴有四个公共点时，r的取值范围是 ；
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)或
【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，坐标与图形和勾股定理，根据题意求出恰好与y轴相切时，当恰好与x轴相切时，当恰好经过原点时的半径长，结合题意画图图形，进行求解即可．
（1）求出当恰好与y轴相切时的半径长即可得到答案；
（2）求出当恰好与x轴相切时的半径长，结合图形即可得到答案；
（3）求出当恰好经过原点时的半径长，结合图形可知，当恰好与x轴相切时，恰好经过原点时，此时与坐标轴有3个交点；
（4）当半径大于与x轴相切时的半径长时，与x轴和y轴都有两个不同的交点，出去经过原点时的半径长，此时与坐标轴有4个交点，据此可得答案．
【详解】（1）解：如图所示，当恰好与y轴相切时，设切点为C，连接，
∴轴，
∵，
∴，
当时，必定与y轴有两个交点，当时，与x轴和y轴都无交点，
∴当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是，
故答案为：；
（2）解：如图所示，当恰好与x轴相切时，设切点为D，连接，
∴轴，
∵，
∴，
∴当时，与y轴有两个交点，与x轴无交点，
当时，与x轴和y轴都有两个不同的交点，即此时与坐标轴最少有3个交点，
∴当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是，
故答案为：；
（3）解：由（2）可知，当时，与y轴有两个交点，与x轴有一个交点，且不是原点，
∴当时，与坐标轴有3个交点；
如图所示，当恰好经过原点时，此时与y轴有两个交点，与x轴有两个交点，但是其中有一个交点是原点，即此时与坐标轴有三个交点，
∴此时；
综上所述，当或时，与坐标轴有三个交点，
故答案为：或；
（4）解：如图所示，当或时，与y轴有两个交点，与x轴有两个交点，且不经过原点，即此时与坐标轴有4个交点，
故答案为：或．
21．（10分）（1）尺规作图：如图，已知．求作：的内切圆．（要求：不写作法，保留作图痕迹）．
（2）的内切圆与分别相切于点D，E，F，且cmcm，求的长．
【答案】
（1）如图所示．
（2）2
【分析】本题主要考查了尺规作三角形内切圆，切线长性质定理，
对于（1），作的平分线，再作的平分线，交于点O，过点O作，交于点D，以点O为圆心，为半径作圆，即为所求作；
对于（2），根据切线长定理得，再结合，可得答案．
【详解】解：（1）略
（2）如图所示，
∵的内切圆与分别相切与点D，E，F，
∴．
∵，
∴，
∴．
则，
∴，
则，
即，
解得．
22．（10分）如图，点是的内心，点是的外心．
(1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得．
(2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2）
【答案】(1)
如图所示，点D为所求：
(2)
点是图中的外心，理由如下：
如图，连接，
由（1）知，
∴，即，
∴，
∴点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心．
【分析】本题考查了三角形外心与内心，弧与弦的关系，圆周角定理．熟记三角形外心与内心的性质是解题的关键．
（1）连接，并延长交于点，连接，由三角形内心的性质可得平分，平分，得到，根据圆周角定理可得，推出，进而求出，即可得到；
（2）如图，连接，由（1）知，圆周角定理可得，推出，进而得到点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心．
【详解】（1）解：∵点是的外心，
∴是的外接圆，
∵点是的内心，
∴平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）略
23．（10分）如图，已知正五边形内接于，连接，，．
(1)求的度数；
(2)若的半径为，求扇形（阴影部分）的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，扇形面积的计算，解题关键是掌握正多边形的性质与扇形面积公式．
（1）由正五边形的性质，可得，即可解答；
（2）根据扇形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：正五边形内接于，
；
（2）由（1）得，
的半径为，
扇形（阴影部分）的面积为：．
24．（10分）如图，以为直径的经过点，点是的中点，连接，过点作的切线交延长线于点．
(1)求证：；
(2)若的半径为，求的长．
【答案】(1)证明：如图，连接交于点．
与相切于点，
，即．
是的直径，
，即，
．
，
，
．
∵点是的中点，
，
；
(2)
【分析】（）连接，由切线性质得，结合直径所对圆周角为直角推出与相等，再通过得到等角，依据弧中点性质完成角等量代换，最终证得；
（）设，利用弧中点垂径定理得，通过两个直角三角形的勾股定理列方程求出，再计算，最后由垂径定理得出长度．
【详解】（1）略
（2）解：设，
∵的半径为，
∴，
∴，
∵点是的中点，
，
在中，，
在中，，
，
，
∴，
解得，
，
∴，
．
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第三十章 直线与圆的位置关系（高效培优单元自测·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．如果的半径为，圆心到直线的距离为，且，那么和直线的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
2．在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径作，则下列说法错误的是（ ）
A．与轴相切 B．与轴相离
C．点在内 D．点在外
3．如图，点A，B，D在上，，的延长线交直线于点，且 ，连接，则直线与的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
4．如图，是地球示意图，表示赤道，太阳光线、地平面与相切．某时刻某地纬度，太阳光直射纬度，则太阳高度角（太阳光线与地平面的夹角）的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知⊙O1与⊙O2内切于点A，⊙O1的半径等于5，O1 O2=3,那么O2A的长等于（ ）
A．2 B．3 C．8 D．2或8
6．如图，，分别与相切于点，，与相切于点，交于点，交于点，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
7．已知的三边长a，b，c满足，则的内切圆半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如果与内含，圆心距，的半径长是，那么的半径长的取值范围是（ ）．
A． B． C．或 D．
9．如图，是的外接圆，是直径，是的内切圆，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形中，连接，若，则正六边形的边长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．已知的半径为，圆心到直线的距离为4，若直线与相离，且为整数，则的值可以为__________．（写出一个即可）
12．已知及外一点P，求作直线，，使，与相切于点D，E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）：
①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C；
②作直线，交于点B；
③以点B为圆心，长为半径画弧， 交于点D，E；
④作直线，，则直线，
即为所求．请给出，为切线的理论依据：________请写出定理的内容）
13．如图，在中，为直径，点M为延长线上的一点，与相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径两侧，且使得，连接．现有下列结论：①与相切；②四边形是菱形；③；④．其中正确的结论是 _________（填序号）．
14．如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交于点．若的周长为12，则的长为___________．
15．如图，点为的内心，若，则的度数为___________．
16．已知一正多边形的一个外角等于，则该正多边形的中心角等于____________．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦，分别与小圆相切于点D、E．求证：．
18．（8分）如图，是的外接圆，是的直径，．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求扇形的面积．
19．（8分）如图，是以等腰的腰为直径所作的圆，点是与底边的交点，自点作，垂足为点，过点作的切线，交于
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求此时的长．
20．（8分）如图坐标系中，，以A为圆心，r为半径画圆，
(1)当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是 ；
(2)当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是 ；
(3)当与坐标轴有三个公共点时，r的取值范围是 ；
(4)当与坐标轴有四个公共点时，r的取值范围是 ；
21．（10分）（1）尺规作图：如图，已知．求作：的内切圆．（要求：不写作法，保留作图痕迹）．
（2）的内切圆与分别相切于点D，E，F，且cmcm，求的长．
22．（10分）如图，点是的内心，点是的外心．
(1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得．
(2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2）
23．（10分）如图，已知正五边形内接于，连接，，．
(1)求的度数；
(2)若的半径为，求扇形（阴影部分）的面积．
24．（10分）如图，以为直径的经过点，点是的中点，连接，过点作的切线交延长线于点．
(1)求证：；
(2)若的半径为，求的长．
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