1.11 有理数的乘方 课时作业 2026-2027学年华东师大版数学七年级上册

华东师大版 七年级上册 第1章 有理数 课时作业 1.11 有理数的乘方 课时作业 班级：__________ 姓名：__________ 学号：________ 用时：______分钟 一、学习目标 1．理解乘方的意义，知道底数、指数、幂的概念，会进行有理数的乘方运算。 2．掌握乘方的符号法则，能区分 (−a)n 与 −an 的不同。 3．会用科学记数法表示较大的数，体会乘方在实际问题中的应用。 二、知识点梳理 知识点1　乘方的意义 求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 an 中，a 叫做底数，n 叫做指数，an 读作“a 的 n 次方”或“a 的 n 次幂”。 例如：23 = 2 × 2 × 2 = 8，其中 2 是底数，3 是指数，8 是幂。 特别地：一个数可以看作这个数本身的一次方，如 5 = 51，指数 1 通常省略不写；a2 也读作“a 的平方”，a3 也读作“a 的立方”。 知识点2　乘方的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3）0 的任何正整数次幂都是 0。 例如：(−2)3 = −8，(−2)4 = 16，(−1)2026 = 1，(−1)2025 = −1。 知识点3　注意书写与区分 （1）底数是负数或分数时，必须用括号括起来：(−3)2 表示 (−3) × (−3) = 9，而 −32 表示 −(3 × 3) = −9； （2）()2 = × = ，而 = ； （3）乘方运算先确定幂的符号，再计算幂的绝对值。 式子 底数 指数 意义 结果 (−3)2 −3 2 (−3) × (−3) 9 −32 3 2 −(3 × 3) −9 (−)3 − 3 3 个 − 相乘 − 知识点4　科学记数法 把一个大于 10 的数表示成 a × 10n 的形式（其中 1 ≤ a < 10，n 是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 确定 n 的方法：n 等于原数的整数位数减 1。例如：3 800 000 = 3.8 × 106（原数有 7 位整数，n = 6）。 反过来：a × 10n 还原为原数时，把 a 的小数点向右移动 n 位。如 2.05 × 105 = 205 000。 三、典型例题 例1　计算：（1）(−4)3；（2）(−)4；（3）−24；（4）(−0.1)3；（5）(−1)2026。 解答：（1）(−4)3 = −64；（2）(−)4 = ；（3）−24 = −16；（4）(−0.1)3 = −0.001；（5）(−1)2026 = 1。 方法：先由指数的奇偶性和底数的正负确定符号，再计算绝对值。 例2　把一张厚度为 0.1 毫米的纸对折，对折 1 次后厚度为 0.1 × 2 毫米，如图1。对折 5 次后，纸的厚度是多少毫米？ 图1 解答：对折 1 次厚度为 0.1 × 2 毫米，对折 2 次为 0.1 × 22 毫米……对折 5 次为 0.1 × 25 = 0.1 × 32 = 3.2（毫米）。 例3　用科学记数法表示下列各数：（1）地球与太阳的平均距离约为 150 000 000 千米；（2）我国陆地面积约为 9 600 000 平方千米；（3）−302 000。 解答：（1）1.5 × 108 千米；（2）9.6 × 106 平方千米；（3）−3.02 × 105。 说明：负数用科学记数法表示时，先把它的相反数用科学记数法表示，再添上负号。 例4　已知 |a − 2| + (b + 1)2 = 0，求 a3 + b2026 的值。 解答：因为 |a − 2| ≥ 0，(b + 1)2 ≥ 0，且和为 0，所以 a = 2，b = −1。 a3 + b2026 = 23 + (−1)2026 = 8 + 1 = 9。 四、基础巩固 （一）选择题 1．(−3)2 的值是（　　） A．−6 B．6 C．−9 D．9 2．在 53 中，底数和指数分别是（　　） A．5，3 B．3，5 C．5，5 D．3，3 3．下列各式计算结果为负数的是（　　） A．(−2)2 B．(−2)4 C．−(−2)3 D．−22 4．下列各组数中，结果相等的是（　　） A．32 与 23 B．−32 与 (−3)2 C．(−2)3 与 −23 D．()2 与 5．(−1)2025 + (−1)2026 的值是（　　） A．0 B．1 C．−1 D．−2 6．用科学记数法表示 5 400 000，正确的是（　　） A．54 × 105 B．5.4 × 106 C．0.54 × 107 D．5.4 × 105 7．若 a2 = 9，则 a 的值是（　　） A．3 B．−3 C．±3 D．81 8．下列说法正确的是（　　） A．一个数的平方一定是正数 B．平方等于它本身的数是 0 和 1 C．立方等于它本身的数是 1 D．−a2 一定是负数 （二）填空题 9．(−5)3 读作________________，其中底数是________，指数是________，结果是________。 10．计算：（1）(−2)5 = ________；（2）(−)2 = ________；（3）−(−1)3 = ________；（4）02026 = ________。 11．平方等于 的数是________；立方等于 −27 的数是________。 12．(−)3 = ________；− = ________。 13．用科学记数法表示：63 000 = ________；−1 200 000 = ________。 14．7.08 × 105 表示的原数是________。 15．若 (a + 3)2 + |b − 2| = 0，则 ab = ________。 16．某细菌每过 30 分钟由 1 个分裂为 2 个，经过 3 小时后，1 个细菌可分裂为________个。 （三）解答题 17．计算： （1）(−6)2；（2）−62；（3）(−)3；（4）(−1)2；（5）−(−0.2)3；（6）(−10)4。 18．计算： （1）(−2)3 × (−3)2；（2）−32 ÷ (−)2；（3）(−1)2026 − (−1)2025；（4）(−)3 × 24。 19．用科学记数法表示下列各数： （1）2025 年某省常住人口约 87 000 000 人；（2）光的速度约为 300 000 000 米/秒；（3）某城市 GDP 约为 1 560 000 000 000 元。 20．如图2，一个细胞 30 分钟后分裂成 2 个细胞，1 小时后分裂成 4 个细胞……这样，1 个细胞经过 5 小时后能分裂成多少个细胞？ 图2 五、能力提升 21．若 a < 0，则下列各式一定成立的是（　　） A．a2 > 0 B．a3 > 0 C．a2 = −a2 D．a3 = −a3 22．比较大小：（1）23____32；（2）(−2)3____(−3)2；（3）(−)2____(−)2；（4）−24____(−2)4。 23．已知 |x| = 3，y2 = 4，且 xy < 0，求 x2 + y3 的值。 24．观察下列等式：13 = 12；13 + 23 = 32；13 + 23 + 33 = 62；13 + 23 + 33 + 43 = 102；…… （1）写出第 5 个等式；（2）求 13 + 23 + 33 + … + 103 的值。 25．若 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，m 的绝对值是 2，求 (a + b)2026 − (cd)2025 + m2 的值。 六、拓展探究 26．有一张厚度为 0.1 毫米的纸，将它连续对折，问： （1）对折 10 次后，这叠纸的厚度是多少毫米？（210 = 1024） （2）假设纸可以无限对折，至少对折多少次，这叠纸的厚度能超过 1 米？ 27．计算 21，22，23，24，25，26，27，28，…，观察其个位数字的规律： （1）2n 的个位数字按什么规律循环？（2）求 22026 的个位数字。（3）求 32026 的个位数字。 七、易错专练 28．（易错点：底数与指数混淆）23 = ________，32 = ________，二者________（填“相等”或“不相等”）。 29．（易错点：−an 与 (−a)n 混淆）−42 = ________，(−4)2 = ________。 30．（易错点：分数乘方不加括号）()2 = ________， = ________。 31．（易错点：已知平方求原数时漏解）若 x2 = 16，则 x = ________。 32．（易错点：科学记数法中 a 的范围）下列用科学记数法表示正确的是（　　） A．12 000 = 12 × 103 B．12 000 = 1.2 × 104 C．12 000 = 0.12 × 105 D．12 000 = 1.2 × 103 八、综合应用 33．某种病毒在人体内繁殖速度很快，每过 1 分钟由 1 个变为 2 个。若开始时有 1 个病毒，经过 10 分钟后有多少个？若开始时有 5 个，经过 10 分钟后有多少个？ 34．一根 1 米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第 6 次后剩下的绳子长多少米？ 35．若 (a − 1)2 + |b + 3| = 0，求 (a + b)3 的值。 36．我国“天问一号”探测器飞行了约 475 000 000 千米到达火星附近。用科学记数法表示这个数；若光速约为 3 × 105 千米/秒，光走这段路程大约需要多少秒？ 【课后反思】 本课时我掌握得最好的知识：______________________________________________ 我还存在疑惑的地方：__________________________________________________ 我的易错题题号及错因：________________________________________________ 参考答案与解析 一、选择题 1．D　解析：(−3)2 = (−3) × (−3) = 9。 2．A 3．D　解析：−22 = −4；A 为 4，B 为 16，C 为 8。 4．C　解析：(−2)3 = −8，−23 = −8，相等；A 为 9 与 8；B 为 −9 与 9；D 为 与 。 5．A　解析：−1 + 1 = 0。 6．B　解析：1 ≤ a < 10，5 400 000 有 7 位整数，n = 6。 7．C 8．B　解析：A 中 02 = 0 不是正数；C 中立方等于本身的数是 0，±1；D 中 a = 0 时 −a2 = 0。 二、填空题 9．负 5 的 3 次方（或负 5 的 3 次幂）；−5；3；−125 10．（1）−32；（2）；（3）1；（4）0 11．±；−3 12．−；− 13．6.3 × 104；−1.2 × 106 14．708 000 15．9　解析：a = −3，b = 2，(−3)2 = 9。 16．64　解析：3 小时内分裂 6 次，26 = 64。 三、解答题 17．解：（1）36；（2）−36；（3）−；（4）(−)2 = ；（5）−(−0.008) = 0.008；（6）10000。 18．解：（1）(−8) × 9 = −72；（2）−9 ÷ = −9 × = −4；（3）1 − (−1) = 2；（4）(−) × 16 = −2。 19．解：（1）8.7 × 107 人；（2）3 × 108 米/秒；（3）1.56 × 1012 元。 20．解：5 小时共分裂 10 次，1 个细胞经过 5 小时能分裂成 210 = 1024（个）细胞。 四、能力提升 21．A　解析：负数的偶次幂为正，a2 > 0；a3 < 0。 22．（1）<；（2）<；（3）>；（4）<　解析：（1）8 < 9；（2）−8 < 9；（3） > ；（4）−16 < 16。 23．解：x = ±3，y = ±2，且 xy < 0。当 x = 3，y = −2 时，x2 + y3 = 9 − 8 = 1；当 x = −3，y = 2 时，x2 + y3 = 9 + 8 = 17。 24．解：（1）13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 152； （2）右边底数依次为 1，1 + 2，1 + 2 + 3，…，所以 13 + 23 + … + 103 = (1 + 2 + … + 10)2 = 552 = 3025。 25．解：a + b = 0，cd = 1，m2 = 4。原式 = 0 − 1 + 4 = 3。 五、拓展探究 26．解：（1）0.1 × 210 = 0.1 × 1024 = 102.4（毫米）； （2）1 米 = 1000 毫米，0.1 × 213 = 819.2（毫米）< 1000 毫米，0.1 × 214 = 1638.4（毫米）> 1000 毫米，所以至少对折 14 次。 27．解：（1）21，22，23，24 的个位数字依次为 2，4，8，6，之后按 2，4，8，6 循环，每 4 个一循环； （2）2026 ÷ 4 = 506……2，所以 22026 的个位数字与 22 相同，是 4； （3）3n 的个位数字按 3，9，7，1 循环，2026 ÷ 4 = 506……2，所以 32026 的个位数字是 9。 六、易错专练 28．8；9；不相等 29．−16；16 30．； 31．±4 32．B 七、综合应用 33．解：经过 10 分钟后有 210 = 1024（个）；若开始时有 5 个，则有 5 × 210 = 5120（个）。 34．解：剩下的绳子长为 ()6 = （米）。 35．解：a = 1，b = −3，(a + b)3 = (−2)3 = −8。 36．解：475 000 000 = 4.75 × 108（千米）。475 000 000 ÷ 300 000 ≈ 1583（秒）。答：大约需要 1583 秒。 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $