4.3 指数函数与对数函数的关系（教学课件）高一数学人教B版必修第二册

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.3 指数函数与对数函数的关系 4.3 指数函数与对数函数的关系 【新教材】人教B版·高一必修第二册 学 习 目 标 1 2 了解反函数的概念，知道同底的指数函数 y= 与对数函数 (a>0,a≠1) 互为反函数。 掌握互为反函数的两组核心关系：①定义域、值域互换；②图像关于直线 y=x 对称。 会求简单单调函数的反函数，能利用图像对称性解决简单问题。 重点：指数函数与对数函数互为反函数；互为反函数图像关于 y=x 对称。 难点：理解反函数的本质——对应关系可逆。 复习设问式 前面我们分别学习了指数函数 y= 和对数函数 ，先填表： 0 1 2 3   1 2 4 8 1 2 4 8   0 1 2 3 提问： 对比两张表格，坐标点有什么变化？（点 (x,y) 变成 (y,x)） 在同一坐标系画出两个函数图像，观察图像有什么对称特点？ 指数运算和对数运算是互逆运算，那么对应的指数函数、对数函数是不是也有互逆的函数关系？ 今天我们研究指数函数与对数函数的关系，认识反函数。 目标一：反函数的定义 反函数的概念 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地，如果在函数 y=f(x) 中，给定值域中任意一个 y 的值，只有唯一的 x 与之对应，那么 x 是 y 的函数，这个函数称为 y=f(x) 的反函数。此时，称 y=f(x) 存在反函数。而且，如果函数的自变量仍用 x 表示，因变量仍用 y 表示，则函数 y=f(x) 的反函数的表达式，可以通过对调 y=f(x) 中的 x 与 y，然后从 x=f(y) 中求出 y 得到。 5 理解概念 知识讲解 互动探究 新课引入 当一个函数是一一对应时，可以把这个函数的自变量作为一个新的函数的因变量，而把这个函数的因变量作为新的函数的自变量，我们称这两个函数互为反函数。函数 y=f(x) 的反函数，常用 表示。 如一次函数 y=kx+b(k≠0)、反比例函数 y= (k≠0)、指数函数 y=(a>0且a≠1)、对数函数 (a>0且a≠1)，都有反函数。像二次函数 y=a+bx+c(a≠0)，在整个定义域上没有反函数，因为关于对称轴 x=- 对称的两个不同的自变量对应同一个函数值，它不是自变量和因变量一一对应的函数，所以没有反函数。 6 理解概念 知识讲解 互动探究 新课引入 求反函数的步骤 当函数 存在反函数时，求反函数的步骤为： (1) 由 ，解出 ； (2) 交换 ，得 ； (3) 根据 的值域，写出 的定义域。 7 函数 的反函数是( )。 A. B. C. D. 对点体验 解 由 ，得 ，即 ， ， 反函数为 。 答 B 特别提醒 求反函数时一定要正确标注定义域。 目标二：反函数的性质 互为反函数图象与性质关系 知识讲解 互动探究 新课引入 ①互为反函数的两个函数的图像关于直线 y=x 对称。 ②若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图像自身关于直线 y=x 对称。 ③若函数 y=f(x) 图像上有一点 (a,b)，则点 (b,a) 必在其反函数的图像上；反之，若点 (b,a) 在反函数的图像上，则点 (a,b) 必在原函数的图像上。 ④单调函数的反函数一定存在，且互为反函数的两个函数的单调性相同。即如果 y=f(x) 是单调函数，那么它的反函数 一定存在，此时，若 y=f(x) 是增函数，则 也是增函数；若 y=f(x) 是减函数，则 也是减函数。 10 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)任意一个函数都有反函数.( × ) (2)与互为反函数.( × ) (3)函数的图象与的图象关于直线对称.( √ ) 对点体验 已知函数 的定义域为 ，则它的反函数 的定义域为_______。 对点体验 解 ，即 的定义域为 。 答 。 点评 反函数的定义域与原函数的值域相同，本题即求函数 f(x) 的值域。 若函数 的反函数的图像经过点 ，则 _______。 对点体验 解 方法一：函数 的反函数是 ，则 ，所以 法二：反函数的图像经过点 ，所以函数 的图像经过点 ，所以 ，则 。 答 目标三：指对数函数的关系 解析式内在联系 知识讲解 互动探究 新课引入 根据对数式与指数式的互化可知 y=可化为对数式 ，再将等式 中的 x,y 互换，也就形成了对数函数 ，从这一过程可以看出 与 的定义域和值域是互换的。 15 单调性一致 知识讲解 互动探究 新课引入 当 0<a<1 时，上述两个函数均是其定义域上的减函数；当 a>1 时，上述两个函数均是其定义域上的增函数。因此单调性一致。 16 对比表 知识讲解 互动探究 新课引入 名称 指数函数 对数函数 一般形式 图象 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 非奇非偶函数 单调性 当 时， 在 上为增函数；当 时， 在 上为减函数 当 时， 在区间 上为增函数；当 时， 在区间 上为减函数 对称性 的图象与 的图象关于直线 对称   函数值的变化情况 ①当 时，若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 。②当 时，若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ①当 时，若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 。②当 时，若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 17 设 ，若 的反函数的图象经过点 ，则 A. 7 B. 3 C. 1 D. -1 对点体验 解析 的反函数的图象经过点 ， 的图象经过点 ， ，解得 。故选 A。 目标四：典型例题 题型1求反函数 例1 求下列函数的反函数： (1) ； (2) f(x)=5x+1。 典例分析 牛刀小试 解 令 ，对调 ，得 ，解得 。。解 令 ，对调 ，得 ，解得 。。 规律方法 求函数 f(x) 的反函数 (x) 的主要步骤 (1) 令 y=f(x)，对调其中的 x 和 y，得 x=f(y)； (2) 从 x=f(y) 中解出 y=φ(x)； (3) 写出反函数 f^(-1) (x) 的解析式。 简记为“一换、二解、三写”。 题型1求反函数 例2 写出下列对数函数的反函数： (1) y=lgx；(2) 。 典例分析 牛刀小试 解 因为对数函数 的底数是10，所以它的反函数是指数函数 。 解 因为对数函数 的底数是 ，所以它的反函数是指数函数 。 题型2指数函数与对数函数图象的关系 例3 (1)已知 且 ，则函数 与 的图象可能是( ) 典例分析 牛刀小试 解析 (方法一)首先，曲线 只可能在 轴上方， 只可能在 轴左边，从而排除A,C。 其次，从单调性着眼， 与 的单调性正好相反，又可排除D。故选B。 (方法二)若 ，则函数 单调递减且图象过点 ，而函数 单调递增且图象过点 ，所有选项均不符合这些条件。 若 ，则函数 单调递增且图象过点 ，而函数 单调递减且图象过点 ，只有B满足条件。 题型2指数函数与对数函数图象的关系 例3 (1)已知 且 ，则函数 与 的图象可能是( ) 典例分析 牛刀小试 (方法三)如果注意到 的图象关于 轴的对称图象为 ，又 与 互为反函数(图象关于直线 对称)，则可直接选B。 题型2指数函数与对数函数图象的关系 例3 (2)将 的图象()，再作关于直线 对称的图象，可得到函数 的图象。 A.先向上平移1个单位长度 B.先向右平移1个单位长度 C.先向左平移1个单位长度 D.先向下平移1个单位长度 典例分析 牛刀小试 解析 由图象的平移变换易知需先向下平移1个单位长度。 规律方法 互为反函数的图象特点 (1)互为反函数的图象关于直线 对称；图象关于直线 对称的两个函数互为反函数。 (2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致。 (3)若一奇函数有反函数，则它的反函数也是奇函数。 题型2指数函数与对数函数图象的关系 例4 已知函数 的定义域是 ，其图象如图所示，则不等式 的解集是() A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 解析 由题意可得 的图象如图所示。 由图象知 的解集为 ， 的解集为 ， 故不等式 的解集为 。故选C 目标五：针对训练 举一反三 已知 是函数 的反函数，则 的值为() A. 0 B. 1 C. 10 D. 100 解析 因为 是函数 的反函数，则 ，，所以 的值为0。故选A。 举一反三 2. 若函数 的反函数的图象过点 ，则 A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 解析 依题意，函数 的反函数是 ，即函数 的图象过点 ，则 ，，于是得 ，所以 。故选B。 举一反三 3. 已知 ，则 。 解析 由 ，得 ， ，即 。 4. 若函数 的反函数的定义域为 ，则此函数的定义域为 解析 函数 的反函数的定义域为 ，即这个函数的值域为 ， 所以 ，即 ，所以 。 所以此函数的定义域为 。 举一反三 5. 函数 的图象关于直线 对称的图象大致是() 解析： 函数 的反函数为 ，其图象过点 ，且在定义域 内为减函数，分析四个选项发现只有 A 选项满足要求。故选 A。 举一反三 6. 把函数 的图象关于 轴对称后得到 的图象，则 的图象与函数 的图象关于() A. 轴对称 B. 轴对称 C. 原点对称 D. 直线 对称 解析： 由题意知，。因为指数函数 与对数函数 互为反函数，图象关于直线 对称，所以 的图像与函数 的图像关于直线 对称。故选：D。 目标六：小结 学海拾贝 本节课我们主要研究了指数函数与对数函数的关系，核心要点： 反函数概念： 若一个函数是一一映射（单调函数一定是一一映射），把它的自变量、因变量互换得到的新函数就是原函数的反函数；y=与 (a>0,a≠1) 互为反函数。 学海拾贝 两大性质： 定义域值域互换：y= 定义域为 R，值域为 (0,+∞)； 定义域为 (0,+∞)，值域为 R。 图像对称：互为反函数的两个函数图像关于直线 y=x 对称；点 (a,b) 在原函数上 ⇔ 点 (b,a) 在其反函数上。 学海拾贝 求简单反函数步骤： ①由 y=f(x) 解出 x 关于 y 的表达式； ②x,y 互换；③标明定义域（即原函数的值域）。 思想方法： 数形结合、转化与对应，用"互逆"视角理解两类函数。 【新教材】人教B版·高一必修第二册 感谢聆听! $