4.4 幂函数-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

4.4　幂函数 　 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 知识层面 1．了解幂函数的概念，能正确区分幂函数与指数函数．　 2．熟悉α＝1，2，3， ，－1时的五类幂函数的图象、性质及其特点．　 3．能利用幂函数的图象与性质解决一些综合性问题． 素养层面 通过幂函数概念与图象的学习，培养数学抽象素养；借助幂函数性质的学习，提升数学运算、逻辑推理素养． 新知导学 1 合作探究 2 随堂演练 3 课时测评 4 内容索引 新知导学 返回 1．给出函数：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x-1，y＝ ，思考并回答： 问题1．这些函数的解析式有什么共同的特征？这类函数解析式的一般形式应如何表示？ 提示：解析式都具有幂的形式而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数，一般形式可用y＝xα表示． 问题导思 2．在同一坐标系中分别画出函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x-1，y＝ 的图象，思考并回答： 问题2．这些函数图象有什么共同特征？ 提示：五个幂函数的图象均过定点(1，1). 问题3．在第一象限，函数图象具有哪些特点？ 提示：①当α>0时，y＝xα在第一象限内的图象由左向右呈上升趋势． ②当α<0时，y＝xα在第一象限内图象由左向右呈下降趋势． 知识点一　幂函数的概念 1．幂函数的概念 一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数． 2．幂函数的特征 (1)xα的系数为1； (2)xα的底数是自变量x，指数为常数α； (3)项数只有一项． 符合以上三个特征的函数才是幂函数． 新知构建 知识点二　常见幂函数的图象与性质 1．五个具体幂函数的图象 画函数图象的步骤：列表、描点、连线．幂函数的图象也可以按照此步骤画出，下面我们在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，如图所示． 2．五个具体幂函数的性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x-1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为 增函数 在[0，＋∞) 上是增函数； 在(－∞，0] 上是减函数 在R上 为增函数 在[0，＋∞) 上是增函数 在(0，＋∞) 上是减函数； 在(－∞，0) 上是减函数 图象过定点 (0，0)，(1，1) (0，0)，(1，1) (0，0)，(1，1) (0，0)，(1，1) (1，1) 微提醒 (1)除函数y＝ 外，其余四个函数都具有奇偶性． (2)在第一象限内，函数y＝x-1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近，我们称x轴和y轴为该函数图象的渐近线． 1．下列结论正确的是 A．幂函数图象一定过原点 B．当α<0时，幂函数y＝xα是减函数 C．当α>1时，幂函数y＝xα是增函数 D．函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数 自主检测 函数y＝x-1的图象不过原点，故A不正确；y＝x-1在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数，故B不正确；函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故C不正确． √ 2．幂函数f(x)的图象过点(3， )，则f(8)＝ A．8 B．6 C．4 D．2 √ f(x)，且f(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．故选B. √ 由函数为幂函数得m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，f(x)＝x-2，符合题意．当m＝2时，f(x)＝x，不合题意． 综上m＝－1. 4．已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm-1在(0，＋∞)上单调递减，则m的值为 A．－1 B．2 C．－1或2 D．－2 √ 当α＝1，3时，函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数；当α＝－1时，y＝ 的定义域是{x|x∈R且x≠0}；当α＝ 时， 的定义域是{x|x≥0}. 返回 5．设α∈ ，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为________． 1，3 合作探究 返回 例1 题型一　幂函数的概念 (1)下列函数：①y＝x3；②y＝ ；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1). 其中幂函数的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 (2)若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为 A．1 B．－3 C．－1 D．3 (3)已知幂函数f(x)的图象经过点 ，则f(4)＝________． [思路点拨]　(1)依据幂函数的定义逐个判断． (2)依据幂函数的定义列方程求m. (3)先设f(x)＝xα，再将点 代入求α. (1)下列函数：①y＝x3；②y＝ ；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1). 其中幂函数的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 √ 符合幂函数定义只有①⑥，其余的不是幂函数．故选B. (2)若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为 A．1 B．－3 C．－1 D．3 √ 因为函数是幂函数，所以m2＋2m－2＝1，所以m＝1或m＝－3，又函数在第一象限为增函数，所以m＝1.故选A. (3)已知幂函数f(x)的图象经过点 ，则f(4)＝_____． 规律方法 求幂函数解析式的依据和常用方法 1．依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件． 2．常用方法：设幂函数解析式为f(x)＝xα，依据条件求出α.　　 √ 因为f(x)＝ax2a+1－b＋1是幂函数，所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.故选A. √ (2)已知f(x)＝ax2a+1－b＋1是幂函数，则a＋b＝ A．2 B．1 C． D．0 题型二　幂函数的图象与性质 [思路点拨]　根据幂函数的定义域、奇偶性、单调性等性质确定相应的图象． 例2 ⑥　 ④ ③ ② ① ⑤ 由第一、二、三个图象在第一象限的图象特征可知α＜0，而第一个图象关于原点对称，则为奇函数；第二个图象关于y轴对称，则为偶函数；第三个图象在y轴左侧无图象，即在(－∞，0)上无意义，因而这三个图象从左到右看，下面的括号内应分别填⑥④③.由第四、五个图象在第一象限的图象特征可知0＜α＜1，而第四个图象关于y轴对称，则为偶函数；第五个图象在y轴左侧无图象，即函数在(－∞，0)上无意义，因而这两个图象从左到右看，下面的括号内应分别填②①.第六个图象对应的幂指数大于1，故填⑤. 规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 1．依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数较大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). 2．依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x-1或y＝x 或y＝x3)来判断．　　 对点练2．(1)已知幂函数f(x)＝ (m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________； (2)幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图象如图，则将 m，n，p，q的大小关系用“<”连接起来结果是_________． 因为函数的图象与x轴，y轴都无交点，所以m2－1<0，解得－1<m<1；因为图象关于原点对称，且m∈Z，所以m＝0，所以f(x)＝x-1. f(x)＝x-1　 n<q<m<p 过原点的指数α>0，不过原点的α<0，所以n<0， 当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，所以p>1，0<m<1，0<q<1；当x>1时，指数越大，图象越高，所以m>q，综上所述n<q<m<p. 题型三　幂函数的单调性质及应用 角度1　比较幂值的大小 比较下列各组数的大小： [思路点拨]　(1)(2)小题构造幂函数，借助幂函数的单调性来比较．(3)小题需引入中间量进行比较． 例3 解：(1)因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数， 角度2　已知单调性求参数值或范围 已知幂函数y＝x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1) <(3－2a) 的实数a的取值范围． 解：因为幂函数y＝x3m-9(m∈N*)在(0，＋∞)上单调递减， 所以3m－9<0，解得m<3. 又因为m∈N*，所以m＝1，2. 因为幂函数y＝x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1. 例4 所以a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a， 在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减， 对点练3．(1)比较下列各题中两个值的大小： 且0.31<0.35， 返回 随堂演练 返回 1．函数f(x)＝－x3的图象是 f(x)＝－x3与幂函数y＝x3的图象关于x轴对称，因此选项B的图象适合．故选B. √ 2．已知幂函数f(x)＝x4-m(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，则m等于 A．1 B．2 C．1或3 D．3 因为f(x)＝x4-m在(0，＋∞)上单调递增，所以4－m>0，即m<4.又因为m∈N*，所以m＝1，2，3.又因为f(x)＝x4-m是奇函数，所以4－m是奇数，因此m＝1或m＝3.故选C. √ < 4．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表： 则f(x)＝______；不等式f(|x|)≤2的解集是____________． {x|－4≤x≤4} 返回 课时测评 返回 根据五个幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x ，y＝x-1的图象和性质，可知A、C正确． 1．(多选)下列结论中，正确的是 A．幂函数y＝x-1，y＝x的图象都过点(－1，－1)，(1，1) B．当α＝1，2，3， ，－1时，幂函数y＝xα的图象都经过第一、三象限 C．在幂指数α取1，3， 时，幂函数y＝xα是增函数 D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2．已知点(n，8)在幂函数f(x)＝(m－2)xm的图象上，则函数f(x)在区间[n，n＋1]上的值域为 A．[－8，27] B．[2，3] C．[4，9] D．[8，27] 因为函数f(x)＝(m－2)xm是幂函数，所以m－2＝1，解得m＝3，所以f(x)＝x3，因为点(n，8)在幂函数f(x)＝x3的图象上，所以f(n)＝n3＝8，解得n＝2.因为f(x)＝x3在R单调递增，函数f(x)＝x3在[2，3]上的值域为[8，27].故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3．下列函数中是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数的是 A．y＝x-1 B．y＝x2 C．y＝x3 D．y＝ 显然A、C中的函数是奇函数，B中的函数在(－∞，0]上是减函数． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm+1为偶函数，则m＝ A．1 B．2 C．1或2 D．3 因为幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm+1为偶函数，所以m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件. 故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5．如图所示是幂函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则 A．－1<n<0，0<m<1 B．n<－1，0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1 由图知，y＝xm在[0，＋∞)上是增函数，y＝xn在(0，＋∞)上为减函数，所以m>0，n<0.又当x>1时，y＝xm的图象在y＝x下方，y＝xn的图象在y＝x-1的下方，所以m<1，n<－1，从而0<m<1，n<－1.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6．给出下列函数： ①y＝x2；②y＝ ；③y＝5x3；④y＝x2＋1； ⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a＞1，a为常数). 其中是幂函数的有________(填序号). ①⑥ 由幂函数的定义可知①⑥是幂函数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7．幂函数f(x)的图象过点 ，那么f(8)的值是________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8．当α∈ 时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第_____象限． 四 幂函数y＝x-1，y＝x，y＝x3的图象经过第一、三象限；y＝x 的图象经过第一象限；y＝x2的图象经过第一、二象限．所以幂函数y＝xα 的图象不可能经过第四象限． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9．(10分)比较下列各题中两个幂值的大小： (1)3.11.3与2.91.3；(2分) 解：函数y＝x1.3在(0，＋∞)上为增函数，又因为3.1>2.9，所以3.11.3>2.91.3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10．(5分)(多选)关于幂函数f(x)＝xα，下列说法正确的是 A．若f(x)＝x-2，则f(x)的定义域是{x|x≠0} B．若α＝－1，则f(x)是减函数 C．若f(x)＝xα的图象经过点(2，8)，则其解析式为f(x)＝x3 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11．(5分)(开放题)已知函数f(x)＝x2，若f(x)＋g(x)是幂函数，且f(x)＋g(x)是奇函数，试写出一个符合条件的函数g(x)＝_________________． 因为f(x)＝x2，所以f(x)为偶函数， 因为f(x)＋g(x)是幂函数，且f(x)＋g(x)是奇函数，可设f(x)＋g(x)＝x，即g(x)＝x－x2(答案不唯一). x－x2(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12．(15分)已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm-1为偶函数． (1)求f(x)的解析式；(5分) 解：由m2－5m＋7＝1，可得m＝2或m＝3，又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2. (2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1，3]上不单调，求实数a的取值范围．(10分) 所以实数a的取值范围为(2，6). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13．(5分)(新设问)有四个幂函数：①f(x)＝x-1； ②f(x)＝x-2； ③f(x)＝x3；④f(x)＝x .某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质： (1)偶函数； (2)值域是{y|y≠0}； (3)在(－∞，0)上单调递增． 如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________(填序号). 对于函数①，f(x)＝x-1，这是一个奇函数，值域是{y|y≠0}，在(－∞，0)上单调递减，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②，f(x)＝x-2，这是一个偶函数，其值域是{y|y>0}，在(－∞，0)上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中函数不符合条件． ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14．(20分)已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)-1(m∈N*). (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(8分) 解：因为m2＋m＝m(m＋1)(m∈N*)，而m与m＋1中必有一个为偶数，所以m2＋m为偶数， 所以函数f(x)＝x(m2＋m)-1(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上是增函数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若函数f(x)经过点(2， )，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．(12分) 解得m＝1或m＝－2， 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 谢 谢 观 看 ！ 第 四 章 　 指 数 函 数 、 对 数 函 数 与 幂 函 数 返回 x x y＝x x 设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，由函数的图象过点(3，)，可得＝3α，所以α＝，则幂函数f(x)＝x，所以f(8)＝8＝4. 3．幂函数f(x)＝x的大致图象为 由于f(0)＝0，所以排除C、D选项．而f(－x)＝(－x)＝ ＝＝x＝ y＝x＝ 设f(x)＝xα，由题意得3α＝，所以α＝－2，所以f(x)＝x-2，所以f(4)＝4-2＝. 对点练1．(1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝ A． B．1 C． D．2 由幂函数的定义知k＝1.又f＝，所以＝，解得α＝，从而k＋α＝.故选C. 　给定一组函数解析式：①y＝x；②y＝x；③y＝x－；④y＝x－；⑤y＝x；⑥y＝x－．请把图象对应的函数解析式的序号填在图象下面的括号内． xm2－1 (3)因为函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，y＝x－在(0，＋∞)上为减函数， 所以4.1＞1＝1，0＜3.8－＜1－＝1. 又(－1.9)＜0，所以(－1.9)＜3.8－＜4.1. (1)和；(2)3－和3.1－；(3)4.1，3.8－和(－1.9)． 且＞，所以＞. (2)因为函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.1，所以3－＞3.1－. 故实数a的取值范围为(，)∪(－∞，－1). 则原不等式可化为(a＋1)<(3－2a). 因为y＝x 解得<a<或a<－1. 因为y＝x为(0，＋∞)上的减函数，且<， 所以()>(). ①2.3，2.4； 因为y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，所以2.3<2.4. ②()，()； 又函数y＝x为[0，＋∞)上的增函数， 所以0.31<0.35，即(－0.31)<0.35. ③(－0.31)，0.35. 因为y＝x为R上的偶函数， 所以(－0.31)＝0.31. (2)若(3－2m)＞(m＋1)，则实数m的取值范围为__________． 因为函数y＝x在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以解得－1≤m＜.故实数m的取值范围为. 3．比较大小：2.3________2.4.(填“＞”或“<”) 因为y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，所以2.3<2.4. x 1 f(x) 1 x 由表中数据，知＝()α，所以α＝，所以f(x)＝x.由f(|x|)≤2，得|x|≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4. 设f(x)＝xα，将点代入得＝4α，解得α＝－，则f(x)＝x，f(8)＝8＝. 而函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，且4>3，所以4>3，即>. (2)与；(3分) 解：方法一　函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，又因为<，所以>. 方法二　＝4，＝3. 所以<. (3)与.(5分) 解：因为<＝1； 而>＝1； D．若f(x)＝x，则对于任意的x1，x2∈[0，＋∞)，都有f ≥ f(x)＝x-2＝的定义域为{x|x≠0}，故A选项正确；α＝－1<0，f(x)＝x-1定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)＝x-1在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，而不能说f(x)在定义域上是减函数，故B选项错误；把点(2，8)代入，此时2α＝8，解得：α＝3，所以f(x)＝x3，选项C正确；任意的x1，x2∈[0，＋∞)，f＝，＝，其中＝，＝≤＝，当且仅当x1＝x2时等号成立． 所以f≥，故选项D正确．故选ACD. 解：g(x)＝x2－ax－3＝(x－)2－3－在[1，3]上不单调， 则对称轴x＝需满足1<<3，即2<a<6. 又因为m∈N*，所以m＝1，f(x)＝x. 又因为f(2－a)>f(a－1)，所以解得1≤a<. 故函数f(x)经过点(2，)时，m＝1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为[1，). 解：因为函数f(x)经过点(2，)， 所以＝2，即m2＋m＝2， $