4.3 指数函数与对数函数的关系-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

4.3　指数函数与对数函数的关系 　 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 知识层面 1．了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，了解它们的图象间的对称关系. 2．能够利用反函数与原函数图象、单调性等性质的关系解决相关问题． 素养层面 通过反函数概念及指数函数与对数函数图象间的关系学习，培养直观想象素养；通过求函数的反函数，提升数学运算、逻辑推理素养． 新知导学 1 合作探究 2 随堂演练 3 课时测评 4 内容索引 新知导学 返回 问题　在同一坐标系下，画出函数y＝2x与y＝log2x的图象，试描述两个函数图象的关系． 提示： 两个函数图象关于直线y＝x对称． 问题导思 知识点　指数函数与对数函数的关系 1．反函数的概念 一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有________与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．此时，称y＝f(x)存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数y＝f(x)的反函数的表达式，可以通过对调y＝f(x)中的x与y，然后从x＝f(y)中求出y得到． 新知构建 唯一的x 2．反函数的性质 一般地，函数y＝f(x)的反函数记作________．则： (1)y＝f(x)的定义域与y＝f-1(x)的______相同，y＝f(x)的值域与y＝f-1(x)的_______相同． (2)y＝f(x)与y＝f-1(x)的图象关于直线______对称． (3)单调函数的反函数一定存在，且互为反函数的两个函数的单调性相同． y＝f-1(x) 值域 定义域 y＝x 微提醒 (1)由性质(2)可知，若函数y＝f(x)的图象上有一点(a，b)，则点(b，a)必在其反函数的图象上；反之，若点(b，a)在y＝f(x)的反函数的图象上，则点(a，b)必在函数y＝f(x)的图象上． (2)特别地，若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象关于直线y＝x对称，如反比例函数y＝ (k≠0). 3．求反函数的步骤 当函数y＝f(x)存在反函数时，求反函数的步骤为： (1)对于函数y＝f(x)，若任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，则f(x)存在反函数．如一次函数y＝kx＋b(k≠0)、反比例函数y＝ (k≠0)、指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)、对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)，它们都有反函数；如二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，在整个定义域上没有反函数，因为关于－ 对称的两个不同的自变量对应同一个函数值，所以二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)没有反函数． (2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换，对应法则互逆． 微提醒 1．函数y＝ ＋1(x≥1)的反函数是 A．y＝x2－2x＋2(x＜1) B．y＝x2－2x＋2(x≥1) C．y＝x2－2x(x＜1) D．y＝x2－2x(x≥1) 自主检测 由y＝ ＋1，得x＝(y－1)2＋1，即x＝y2－2y＋2，因为x≥1，所以y＝ ＋1≥1，所以反函数为y＝x2－2x＋2(x≥1).故选B. √ 方法一　由y＝1＋3－x得x＝－log3(y－1)，又3－x＞0，所以y＝1＋3－x＞1，所以g(x)＝－log3(x－1)(x＞1)，所以g(10)＝－2. 方法二　设g(10)＝a，则f(a)＝10，即1＋3－a＝10，所以a＝－2，即g(10)＝－2. 2．若函数y＝f(x)＝1＋3－x的反函数为y＝g(x)，则g(10)等于 A．2 B．－2 C．3 D．－1 √ 易知y＝f(x)是y＝ex的反函数，所以f(x)＝ln x． 3．函数y＝ex的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则 A．f(x)＝lg x B．f(x)＝log2x C．f(x)＝ln x D．f(x)＝xe √ 4．(多选)下列区间，在函数f(x)＝log2(3x＋1)的反函数y＝f-1(x)的定义域内的是 A．(1，＋∞) B．[0，＋∞) C．(0，＋∞) D．[1，＋∞) y＝f-1(x)的定义域即函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域．因为3x＋1＞1，所以log2(3x＋1)＞0，所以y＝f-1(x)的定义域为(0，＋∞).故选ACD. √ √ √ 5．(多选)已知函数y＝－logax(a>0，a≠1)和y＝ (a>0，a≠1)，以下结论正确的有 A．它们互为反函数 B．它们的定义域与值域正好互换 C．它们的单调性相反 D．它们的图象关于直线y＝x对称 √ √ √ 因为y＝－logax＝log x，所以函数y＝－logax(a>0，a≠1)和y＝ (a>0，a≠1)互为反函数，故A正确；再根据反函数的定义可知B、D正确；又互为反函数的函数图象关于直线y＝x对称，所以它们的单调性相同，故C不正确．故选ABD. 返回 合作探究 返回 题型一　判断函数是否有反函数 判断下列函数是否有反函数： (1)f(x)＝ ；(2)g(x)＝x2－2x. [思路点拨]　由反函数的定义判断，当函数没有反函数时，可取值说明． 个单位，向上平移一个单位得到，在(－∞，1)，(1，＋∞)上都是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，所以f(x)存在反函数． (2)令g(x)＝3，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3， 即对应的x不唯一，因此g(x)的反函数不存在． 例1 规律方法 判定函数存在反函数的方法 1．逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果都是唯一的，则函数的反函数存在． 2．确定函数在定义域上的单调性，如果函数是单调函数，则函数的反函数存在． 3．利用原函数的解析式，解出自变量x，如果x是唯一的，则函数的反函数存在．　　 对点练1．判断下列函数是否存在反函数． 到，在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数． (2)y＝－2x2＋4x，x∈(1，＋∞). 解：y＝－2x2＋4x＝－2(x－1)2＋2，对称轴为x＝1，在(1，＋∞)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数． 题型二　求函数的反函数 　函数y＝－ (x≤1)的反函数是 A．y＝x2－1(－1≤x≤0) B．y＝x2－1(0≤x≤1) C．y＝1－x2(x≤0) D．y＝1－x2(0≤x≤1) [思路点拨]　由y＝f(x)解出x即可．解之前要注意原函数的值域． 例2 又反函数的定义域与原函数的值域相同，所以只有C中的定义域满足条件．故选C. √ 规律方法 反函数的求法 1．先确定原函数的值域，即反函数的定义域． 2．对调原函数解析式中的x和y，解出y. 3．写出反函数．　　 √ 对点练2．函数y＝1－ (x≥2)的反函数为 A.y＝(x－1)2＋1(x≥1) B．y＝(x－1)2－1(x≥0) C．y＝(x－1)2＋1(x≤1) D．y＝(x－1)2＋1(x≤0) 题型三　原函数与反函数的图象与性质 　若函数f(x)与 g(x)＝ 的图象关于直线 y＝x对称，则f(4－x2)的单调递增区间是 A．(－2，2] B．[0，＋∞) C．[0，2) D．(－∞，0] 例3 √ √ 返回 随堂演练 返回 1．若函数y＝f(x)的反函数图象过点(1，5)，则函数y＝f(x)的图象必过点 A．(1，1)　　　　　　　 B．(1，5) C．(5，1) D．(5，5) 原函数与它的反函数的图象关于直线y＝x对称，因为y＝f(x)的反函数的图象过点(1，5)，而点(1，5)关于y＝x的对称点为(5，1)，所以函数y＝f(x)的图象必过点(5，1).故选C. √ 2．函数y＝log3 x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是 A．(0，＋∞) B．R C．(－∞，0) D．(0，1) 由原函数与反函数间的关系知，反函数的值域为原函数的定义域．故选A. √ √ 3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图象经过点( ，a)，则f(x)＝ 4．下列函数中，反函数是其自身的函数为 A．f(x)＝x2，x∈[0，＋∞) B．f(x)＝x3，x∈(－∞，＋∞) C．f(x)＝ex，x∈(－∞，＋∞) D．f(x)＝ ，x∈(0，＋∞) √ 返回 课时测评 返回 当0<a<1时，函数y＝ax在R上是减函数，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，且函数y＝ax与函数y＝logax的图象关于直线y＝x对称．故选D. 1．当0<a<1时，在同一坐标系中，函数y＝ax与y＝logax的图象是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为 A．－e B．－ C． D．e 根据题意，可得f(x)＝ln x(x＞0)，由于f(x)＝ln x与y＝g(x)的图象关于x轴对称，故g(x)＝－ln x(x＞0).由g(a)＝1，得ln a＝－1，解得a＝ .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．函数y＝3x2－1(－1≤x＜0)的反函数是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a＞0且a≠1)，若f(3)·g(3)＜0，则f(x)与g(x)在同一直角坐标系内的图象可能是 因为f(x)＝ax与g(x)＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，所以它们具有相同的单调性，排除A、D；又f(3)·g(3)＜0，所以f(3)＞0，g(3)＜0，所以0＜a＜1，排除B.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．已知函数f(x)＝loga(x－k)的图象过点(4，0)，其反函数f-1(x)的图象过点(1，7)，则f(x)是 A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 因为函数f(x)＝loga(x－k)的图象过点(4，0)，所以loga(4－k)＝0，所以k＝3，所以f(x)＝loga(x－3).又反函数f-1(x)的图象过点(1，7)，所以函数f(x)的图象过点(7，1)，所以loga4＝1，解得a＝4，所以f(x)＝log4(x－3)，所以f(x)是增函数． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．若函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3x(x＞0)的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝________． 函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3x(x＞0)的图象关于直线y＝x对称，则它们互为反函数，所以f(x)＝3x. 3x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．已知函数f(x)＝log (x＋2)的定义域为(1，7]，则它的反函数f-1(x)的定义域为____________． 因为1＜x≤7，所以3＜x＋2≤9，所以－2≤log (x＋2)＜－1，即f-1(x)的定义域为[－2，－1). [－2，－1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，g(x)为f(x)的反函数，求关于x的不等式g(x)－loga(2－3x)≤loga1的解集． 解：因为f(x)＝ax(a＞0且a≠1)， 所以g(x)＝logax(a＞0且a≠1)， 所以由g(x)－loga(2－3x)≤loga1， 得logax≤loga(2－3x). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当a＞1时，因为函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增， 当0＜a＜1时，因为函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)已知函数f(x)＝loga(2－x)(a＞1). (1)求函数f(x)的定义域、值域；(2分) 解：要使函数f(x)有意义，需满足2－x＞0，即x＜2，故函数f(x)的定义域为(－∞，2)，值域为R. (2)求函数f(x)的反函数f-1(x)；(3分) 解：设y＝f(x)＝loga(2－x)，由y＝loga(2－x)，得x＝2－ay，所以f-1(x)＝2－ax(x∈R). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)判断f -1(x)的单调性．(5分) 解：f -1(x)在定义域R上是减函数．证明如下： 任取x1，x2∈R且x1＜x2. 因为a＞1，x1＜x2，所以ax1＜ax2，即ax1－ax2＜0. 因为f -1(x2)－f -1(x1)＝2－ax2－2＋ax1＝ax1－ax2＜0， 所以f -1(x2)＜f -1(x1)， 所以f -1(x)在定义域R上是减函数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，若f(x)能分解成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和，则g(x)＝ A．2x－2-x B．2x＋2-x C．2x-1－21-x D．2x-1－2-x-1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)(多选)给出下列结论，其中正确的结论是 A．函数y＝( )－x2＋1的最大值为 B．已知函数y＝loga(2－ax)(a>0且a≠1)在(0，1)上是减函数，则实数a的取值范围是(1，2] C．在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称 D．若3a＝4b＝36，则 的值为1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0 的根为b，求a＋b的值． 解：将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3. 如图可知， a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标． 由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图象关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称， 于是A，B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a). 而A，B都在直线y＝－x＋3上， 所以b＝－a＋3(A点坐标代入)， 或a＝－b＋3(B点坐标代入)，故a＋b＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)方程x＋2x＝2的根为a，方程x＋log2x＝2的根为b，则a＋b＝__． 2 a是方程x＋2x＝2的根，即是y＝2x和y＝2－x图象 交点的横坐标，b是方程x＋log2x＝2的根，即是 y＝log2x和y＝2－x图象交点的横坐标；在同一坐 标系中画出函数y＝2x，y＝log2x，y＝2－x的图象， 如图所示： 由图可知，a是y＝2x和y＝2－x图象交点A的横坐标，b是y＝log2x和y＝2－x图象交点B的横坐标，因为y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以图象关于直线y＝x对称，故点A，B也关于直线y＝x对称，所以点A，B为A(a，b)，B(b，a)，而点A，B又在y＝2－x上，所以b＝2－a，a＝2－b，即a＋b＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1). (1)求f(x)的定义域；(3分) 解：要使函数有意义，必须ax－1>0，得ax＞1. 当a>1时，x>0； 当0<a<1时，x<0. 所以当a>1时，f (x)的定义域为(0，＋∞)； 当0<a<1时，f (x)的定义域为(－∞，0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)讨论f(x)的单调性；(4分) 解：当a>1时，设0<x1<x2，则1<ax1<ax2， 故0<ax1－1<ax2－1， 所以loga(ax1－1)<loga(ax2－1)， 所以f(x1)<f(x2). 故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数； 类似地，当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)解方程f(2x)＝f -1(x).(8分) 解：令y＝loga(ax－1)，则ay＝ax－1， 所以x＝loga(ay＋1). 所以f -1(x)＝loga(ax＋1). 由f (2x)＝f -1(x)，得loga(a2x－1)＝loga(ax＋1)， 所以a2x－1＝ax＋1， 解得ax＝2或ax＝－1(舍去)，所以x＝loga2. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 四 章 　 指 数 函 数 、 对 数 函 数 与 幂 函 数 返回 解：(1)令y＝f(x)，因为y＝＝1＋，是由反比例函数y＝向右平移一 (1)y＝－2； 解： y＝－2是由函数y＝向左平移1个单位，向下平移2个单位得 因为x≤1，所以≥0，所以－≤0. 因为y＝1－，所以＝1－y，所以x－1＝(1－y)2，所以x＝(1－y)2＋1.因为x≥2，所以x－1≥1，所以≥1，所以－≤－1，所以1－≤0.所以函数y＝1－(x≥2)的反函数为y＝(x－1)2＋1(x≤0). 由题意，可得函数f(x)与g(x)＝ 互为反函数，故f(x)＝logx，f(4－x2)＝log(4－x2)，令t＝4－x2，由4－x2>0，解得－2<x<2，故f(4－x2)的定义域为(－2，2)，利用二次函数的性质可得，函数t＝4－x2在(－2，2)上的减区间为[0，2)，又y＝logt在定义域内单调递减，由复合函数的单调性可知：f(4－x2)＝log (4－x2)的单调递增区间是[0，2).故选C. 对点练3．函数y＝f的图象与函数g＝ex的图象关于直线y＝x对称，则函数y＝f的单调递减区间为 A． B． C． D． 由题意函数f(x)的图象与函数g(x)＝ex的图象关于直线y＝x对称，所以f(x)＝ln x，即f(4＋3x－x2)＝ln (4＋3x－x2)，要使函数有意义，则4＋3x－x2>0，即x2－3x－4<0，解得－1<x<4，设t＝4＋3x－x2，则t＝4＋3x－x2在上单调递增，在上单调递减，因为函数y＝ln t，在定义域上为增函数，所以由复合函数的单调性可知此所求单调递减区间是.故选D. A．log2x B．logx C． D．x2 因为y＝ax的反函数为y＝logax.又此函数经过点(，a)，因此loga＝a，解得a＝，所以f(x)＝logx.故选B. f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)的反函数为f-1(x)＝，x∈[0，＋∞)；f(x)＝x3，x∈(－∞，＋∞)的反函数为f-1(x)＝，x∈(－∞，＋∞)；f(x)＝ex，x∈(－∞，＋∞)的反函数为f-1(x)＝ln x，x∈(0，＋∞)；只有f(x)＝，x∈(0，＋∞)的反函数仍为f-1(x)＝，x∈(0，＋∞).故选D. A．y＝ B．y＝－ C．y＝ D．y＝－ 易知函数y＝3x2－1为定义域上的减函数，当x＝0时，y＝，当x＝－1时，y＝1，所以＜y≤1.由y＝3x2－1得x2－1＝log3y，则x＝－.所以反函数为y＝－.故选D. 7．已知函数f(x)＝则f -1＝________． 设f -1＝x，则f(x)＝.当0≤x≤1时，由x2＋1＝，得x＝或x＝－(舍去)；当－1≤x＜0时，由2x＝，得x＝(舍去).综上，得f -1＝. 所以解得0＜x≤. 所以解得≤x＜. 综上，当a＞1时，原不等式的解集为；当0＜a＜1时，原不等式的解集为. 因为f是函数y＝log2x的反函数，所以f＝2x，根据条件设g＋h＝2x，(1)，所以g＋h＝2-x，因为g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，所以－g＋h＝2-x, (2)，(1)－(2)得到2g＝2x－2-x，g＝＝2x-1－2-x-1.故选D. ＋ 对于A，y＝()－x2＋1＝2x2－1≥2-1＝， 函数y＝()－x2＋1的最小值为，故A错误； 对于B，已知函数y＝loga(2－ax)(a>0且a≠1)在(0，1)上是减函数，所以解得1<a≤2，实数a的取值范围是(1，2]，故B正确；对于C，同一平面直角坐标系中，由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图象关于直线y＝x对称，故C正确；对于D，由于3a＝4b＝36，则a＝log336⇒＝log363，则＝log369，同理＝log364，所以＋＝log3636＝1，故D正确．故选BCD. $