4.2.3 对数函数的性质与图象（教学课件）高一数学人教B版必修第二册

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.2.3 对数函数的性质与图象 4.2对数与对数函数 【新教材】人教B版·高一必修第二册 学 习 目 标 1 2 理解对数函数的定义：（(a(>0))且a≠1），明确定义域是(0,+∞)。 会画对数函数的图象，掌握((a>1))和((0<a<1))两种情况下图象特征与对应性质（定义域、值域、定点、单调性、函数值分布）。 能利用对数函数单调性比较对数大小、能求对数型函数定义域值域，能研究对数型函数定义域或值域R时参数范围、 重点：对数函数的图象、基本性质 难点：底数a对单调性的影响；利用单调性比较大小； 考古情境 知识讲解 互动探究 新课引入 我们已经知道，假设有机体生存时碳14的含量为1，那么有机体死亡x年后体内碳14的含量y满足y 也就是说，y是x的函数。 在得到古生物的样品时，考古学家能够测量出其中的碳14含量y，你认为考古学家们能利用这个值推断出古生物的死亡时间x吗？给定一个y值，有多少个x值与之对应？这里的x能看成y的函数吗？为什么？ 3 考古情境 知识讲解 互动探究 新课引入 在表达式中，因为 所以这个函数可以看成一个指数函数，根据指数函数的性质可知，这个函数是一个减函数。这也就意味着，给定一个值，只有唯一的值与它对应，也就是说，如果把看成自变量，看成因变量，那么这里的可以看成的函数。 4 考古情境 知识讲解 互动探究 新课引入 事实上，利用指数运算和对数运算的关系，可以把上述关系式改写为 如果仍用表示自变量，表示因变量，那么这一函数关系可以表示为 其中自变量在真数的位置上，我们称这样的函数为对数函数。 5 复习回顾 前面我们学习了对数，也学习过指数函数y= ((a(>0)),a≠1)。指数函数中，给定x，能求出y； 如果反过来，已知(y(>0))，能不能把x看作y的函数？ 由y=，写成对数形式就是。把变量习惯上换符号，得到， 这就是我们今天要研究的新函数——对数函数。 指数函数有图象和性质，那对数函数的图象长什么样、有什么规律？ 目标一：对数函数概念 对数函数的概念 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地，函数 称为对数函数，其中 a 是常数，a>0 且 a≠1。 两种特殊的对数函数 特别地，以 10 为底的对数函数 叫作常用对数函数，以无理数 提示 对数函数的特征：(1) 的系数是 1；(2的底数是不等于 1 的正数；(3) 的真数仅含自变量 x，且 x>0。 8 对点体验 1.已知函数：(1) ()；(2) ()；(3) ()；(4) (， 是常数)。其中，一定是对数函数的是________。(填序号) 解 对于(1)，真数是 ，故(1)不是对数函数；对于(2)，真数是 ，故(2)不是对数函数；对于(3)，易知(3)是对数函数；对于(4)，底数 不一定大于 0 且可能等于 1，故(4)不一定是对数函数。 答 (3) 对点体验 已知 是对数函数，则 ________， ________。 解 由 是对数函数，得 ，则 ，满足题意，则 ，故 。 目标二 ：对数函数性质和图象 性质 知识讲解 互动探究 新课引入 对数函数 中， 的值可以是 -1 吗？可以是 0 吗？为什么？ 可以看出， 中，x 不能是 -1，也不能是 0。 分别求出对数函数 在自变量取 ，，，1，2，4，8 时所对应的函数值（填写下表），并由此猜测对数函数 的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由。 12 性质 知识讲解 互动探究 新课引入 1 2 4 8 -3 -2 -1 0 1 2 3 事实上，根据对数运算的定义和性质，可以得到对数函数 的性质： 1.定义域是 (0,+∞)； 2.值域是 R； 3.奇偶性是 非奇非偶函数 ； 4.单调性是 增函数 。 13 图象 知识讲解 互动探究 新课引入 思考一下： 根据上述对数函数 的性质，总结一下对数函数 的图象. 根据以上信息可知，函数 的图象都在 y 轴右侧，而且从左往右图象是逐渐上升的.通过描点，可以作出函数 的图象，如图所示. 14 目标三 ：对数函数 的性质与图象 图象对称关系 知识讲解 互动探究 新课引入 思考一下： 对数函数 的性质与图象. 注意到 ， 因此不难看出 和 之间的联系： 当这两个函数的自变量相等时，对应的函数值互为相反数. 也就是说，如果点 在 的图象上，那么这个点关于 轴的对称点 一定在 的图象上； 反之， 的图象上任意一点 ，其关于 轴的对称点 也一定在 的图象上. 因此，对数函数 和 的图象 关于 轴对称，如图所示. 16 图象对称关系 知识讲解 互动探究 新课引入 思考一下： 对数函数 的性质与图象. 注意到 ， 因此不难看出 和 之间的联系： 当这两个函数的自变量相等时，对应的函数值互为相反数. 也就是说，如果点 在 的图象上，那么这个点关于 轴的对称点 一定在 的图象上； 反之， 的图象上任意一点 ，其关于 轴的对称点 也一定在 的图象上. 因此，对数函数 和 的图象 关于 轴对称，如图所示. 17 图象对称关系 知识讲解 互动探究 新课引入 (1)你能指出对数函数 和 的图象的公共点吗？这两个函数图象的关系如何？ (2)你能得出指数函数 一定过哪个定点吗？ 函数 和 的图象的公共点为 (1,0). 因为 =0，所以 的图象一定过点 (1,0). 18 性质 知识讲解 互动探究 新课引入 事实上，根据对数运算的定义和性质及图象，可以得到对数函数 的性质： 1.定义域是 (0,+∞)； 2.值域是 R； 3.奇偶性是 非奇非偶函数 ； 4.单调性是 减函数 。 19 目标四 ：对数函数的性质与图象 列表展示 知识讲解 互动探究 新课引入 根据对数函数 的图像特征的分析，可以得到 （a>0 且 a≠1,x>0）的图像和性质如下表。 的范围 图像 性质   ①定义域②值域为 ③当 时，，即恒过定点④当 时，；当 时，⑤在 上是增函数 ①定义域②值域为 ③当 时，，即恒过定点④当 时，；当 时，⑤在 上是减函数 既不是奇函数也不是偶函数   21 补充性质 知识讲解 互动探究 新课引入 设 ，其中 （或 ），在 轴上方， 当 时，“底大图低”，即若 ，则 ； 当 时，“底大图高”，即若 ，则 。 说明 对数函数 的底数 越大，图像在 轴上方部分越偏居右侧，如图 所示。 两个单调性相同的对数函数，它们的图像在位于直线 𝑥=1 右侧的部分是“底大图低”，如图 22 函数 的图像恒过点 ，则点 的坐标是______。 对点体验 解 方法一：当 时，不论底数 取何值，总有 成立，即函数 的图像恒过点 。 方法二：因为函数 的图像恒过点 ，要由函数 的图像得到函数 的图像，需将函数 的图像作如下变换：先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度。故函数 的图像恒过点 。 答 点评 由于对数函数 (a>0,且a≠1) 的图像过定点 (1,0)，因此求函数 (a>0,且a≠1) 的图像所过的定点时，只需令 f(x)=1，求出 x，即得定点为 (x,m)。 已知 ，且 ，函数 与 在同一平面直角坐标系中的图像可能是下面的（ ）。 对点体验 解 首先，曲线 只可能在 轴上方，函数 的图像只可能在 轴左侧，从而排除选项 A，C；其次，从单调性来看，函数 与函数 的单调性正好相反，排除选项 D。故选 B。 答 B 如图 ，曲线是对数函数 的图像，已知 取 ，则相应于 的 值依次为（ ）。 A. B. C. D. 对点体验 解 方法一： 的底数都大于 1，因为当 时底数大的靠近 轴，所以 对应的 值分别为 。 的底数都小于 1，因为当 时底数大的远离 轴，所以 对应的 值分别为 。综合以上分析，可得 对应的 值依次为。故选 C。 如图 ，曲线是对数函数 的图像，已知 取 ，则相应于 的 值依次为（ ）。 A. B. C. D. 对点体验 方法二：如图 4-2-3-8，作直线 与四条曲线交于四点，由 ，得 （即交点的横坐标等于底数），因为横坐标小的底数小，所以 ，即 对应的 值分别为 。故选 C。 目标五 ：对数型函数的定义域和值域的求解 对数函数的定义域 知识讲解 互动探究 新课引入 求对数函数的复合函数定义域的方法同前面讲到的求一般函数定义域的解法一样，不过应特别注意的是真数大于零、底数大于零且不等于1。 方法技巧 求函数定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于0；②偶次根式中被开方数大于或等于0；③指数为0的幂的底数不等于0；④对数的底数大于0且不等于1；⑤对数的真数大于0。 求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围。经常考虑以下几种情况：① 中 ；② 中 ；③ 中 ；④ 中 且 ；⑤求抽象函数或复合函数的定义域，需正确理解函数的符号及其定义域的含义。 28 求下列函数的定义域： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 对点体验 答 (1) 要使用函数式有意义 解得 ，且 。故 的定义域是 (2) 要使函数式有意义，需 即 解得 。故函数 的定义域是 。 (3) 要使函数式有意义，需 ，解得 。故函数 的定义域是 。 求下列函数的定义域： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 对点体验 (4) 要使函数式有意义，需 解得 ，且 。故函数 的定义域是 。 对数函数的值域 知识讲解 互动探究 新课引入 (1) 充分利用函数的单调性和图像是求函数值域的常用方法。 (2) 解最值问题，一定要注意转化思想的应用，求对数函数的最大值、最小值问题一般要转化为求二次函数最值的问题，求二次函数最值常用配方法，用配方法时注意自变量的取值范围。 (3) 形如 的复合函数的值域的求解步骤：①分解成 两个函数；②求 的定义域；③求 的取值范围；④利用 的单调性求解。 31 求下列函数的值域。 (1) ； (2) 。 对点体验 答 (1) ，则函数 的值域是 。 ，则 。 函数 在 上是减函数， ， 故函数 的值域为 。 目标六 ：定义域或值域为全体实数的问题 定义域R 知识讲解 互动探究 新课引入 对于形如 的定义域或值域为 的问题。关键是抓住对数函数 的定义域和值域，并结合图像来分析和解决问题。 由图 可知对数函数 的定义域为 ，值域为 。 因此若 的定义域为 ，则对于任意实数 恒有 ，特别是当 时，要使 的定义域为 ，则有 ，且 。 34 值域R 知识讲解 互动探究 新课引入 若已知 的值域为 ，则 必须取遍 内的所有值（一个也不能少），特别是当 ，要使 的值域为 ，则有 ，且 。 35 (1) 已知函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围； (2) 已知函数 的值域为 ，求实数 的取值范围。 对点体验 【答】(1) 的定义域为 ， 恒成立，，。 (2) 的值域为 ， 取遍所有正数， ， 。 已知函数 。 (1) 若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围； (2) 若函数 的值域为 ，求实数 的取值范围 对点体验 答 (1) 的定义域为 ，即关于 的不等式 的解集为 ，当 时，此不等式化为 ，其解集不是 ； 当 时，有 解得 。 实数 的取值范围为 。 已知函数 。 (1) 若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围； (2) 若函数 的值域为 ，求实数 的取值范围 对点体验 (2) 的值域为 ，即 能取遍一切正数， 或 解得 ， 实数 的取值范围为 。 目标七 ：利用对数函数的性质比较大小 比较对数的大小 知识讲解 互动探究 新课引入 一般遵循以下几条原则： (1) 如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性（底数 为增函数， 为减函数）进行比较。 (2) 如果底数不同，一种方法是化为同底的对数，另一种方法是寻找中间变量。 (3) 如果两对数的底数不同而真数相同，如 与 的比较（）。 当 时，曲线 比 的图像（在第一象限内）上升得慢，即当 时，，即在第一象限内，图像越靠近 轴的对数函数的底数越大。 当 时，曲线 比 的图像（在第四象限内）下降得快，即当 时，，即在第四象限内，图像越靠近 轴的对数函数的底数越小。 另外，可用换底公式化为同底，再进行比较。 (4) 若底数、真数都不相同，则可找 等中间量进行比较。 除此以外，还可以用作差法、作商法以及图像法等进行比较。 40 比较下列各题中两个值的大小： (1) 与 ； 对点体验 因为 ，所以 是减函数，又因为 ，所以 比较下列各题中两个值的大小： (1) 与 ； (2) 与 ； 因为 ，所以 是增函数，又因为 ，所以 比较下列各题中两个值的大小： (3) 与 因为 ，所以 是增函数，又因为 ，而且 ，所以 。 已知 ，求 的取值范围。 对点体验 因为 的定义域为 ，而且是减函数，所以由已知有 ，即 解得 。 目标八 ：针对训练 举一反三 1.函数 的值域为() A. B. C. D. 解析： 由 ，得函数 的定义域为 ，所以 ，所以 为增函数， 因此 ，所以函数的值域为 ，故 C 正确. 举一反三 2.给出下列函数：①；②；③；④. 其中是对数函数的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4 解析： ①不是对数函数，因为 的底数是自变量 ，不是常数；②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量 ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数.故选 A. 举一反三 3.已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是() A. B. C. D. 解析： 函数 为增函数， 的对称轴为 ，开口向上， 若函数在区间 上单调递增，则 且 ，解得：.故选:C 举一反三 4.已知函数 的值域为 ， 的值域为 ，则 ( A ) A.0 B.1 C.3 D.5 解析： 因为函数 的值域为 ，所以函数 的值域为 ，所以 ，解得 ，因为 的值域为 ，所以 的最小值为 9，所以 ，解得 ，所以 . 故选：A. 目标九：小结 学海拾贝 定义：对数函数y=log_a x（a>0),a≠1），定义域(0,+∞)，值域(R)，恒过定点((1,0))。 图象与性质分类 当(a>1)：在(0,+∞)上单调递增；(x>1)时(y>0)，(0<x<1)时(y<0)； 当(0<a<1)：在(0,+∞)上单调递减；(x>1)时(y<0)，(0<x<1)时(y>0)。 学海拾贝 重要关系：与y=互为反函数，图象关于直线(y=x)对称。 常用题型思路: 比较对数大小：①同底看单调性；②同真看底数；③找中间量（0或1）。 易错警示 真数必须大于0，求定义域优先考虑真数(>0)； 底数a是分类依据，判断单调性一定要先看a范围； 的图象只在y轴右侧，y轴是渐近线。 学海拾贝 6. 思想方法： 数形结合、分类讨论；研究函数的一般方法：定义→作图→归纳性质→应用。 【新教材】人教B版·高一必修第二册 感谢聆听! $