4.2.3 对数函数的性质与图象-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦对数函数的定义、图象及性质，通过考古估算黄河巨龙年代的情境导入，结合碳14含量对数函数模型，衔接对数概念，搭建从实际问题到函数性质的学习支架。 其亮点在于情境导学激发兴趣，通过比较大小四法、母题探究等问题链设计，培养数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。例如用碳14模型体现数学眼光观察现实世界，复合函数定义域值域问题训练逻辑推理，助力学生深化理解，教师可直接使用例题与训练提升教学效率。

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.2　对数与对数函数 4.2.3　对数函数的性质与图象 学习任务 1．理解对数函数的概念、图象及性质．(数学抽象) 2．根据对数函数的定义判断一个函数是否为对数函数．(逻辑推理) 3．初步掌握对数函数的图象和性质，会解与对数函数相关的定义域、值域、单调性、最值等问题．(数学运算) 4.2.3　对数函数的性质与图象 中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认，河南汝阳县一村民李锤发现的“龙骨”实际上是一头距今已有8 000万至1亿年历史的黄河巨龙的肋骨．经过发掘、整理、还原模型，专家推断这条黄河巨龙活着的时候，体重应该在60吨左右． 同学们，你们知道专家是怎样依据化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗？那就让我们学习一种新的函数模型——对数函数来解决这个问题吧！ 必备知识·情境导学探新知 4.2.3　对数函数的性质与图象 问题：(1)考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t＝loP(P为碳14含量)估算出土文物或古遗址的年代t，那么t是P的函数吗?为什么? (2)函数t＝loP的解析式与函数y＝log2x的解析式有什么共同特征? [提示]　(1)t是P的函数，因为对于P每取一个确定的值按照对应关系f：t＝loP，都有唯一的t值与之相对应，故t是P的函数． (2)两个函数都是对数的真数作为函数的自变量． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 知识点1　对数函数的定义 一般地，函数________称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1． y＝logax 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 知识点2　对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的性质与图象   y＝logax(a＞0且a≠1，x＞0) 图象 a＞1 0＜a＜1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象   y＝logax(a＞0且a≠1，x＞0) 性质 定义域 ____________ 值域 __ 奇偶性 非奇非偶函数 单调性 ______ ______ 过定点 图象过点__________，即loga1＝0 (0，＋∞) R 增函数 减函数 (1，0) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象   y＝logax(a＞0且a≠1，x＞0) 性质 函数值特点 x∈(0，1)时， y∈____________； x∈[1，＋∞)时， y∈____________ x∈(0，1)时， y∈____________； x∈[1，＋∞)时， y∈____________ (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 思考　函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置有何影响？ [提示]　观察图象，总结变化规律： (1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图象越靠近x轴，0<a<1时，a越小，图象越靠近x轴． (2)左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 1．(多选)下列函数为对数函数的是(　　) A．y＝logax＋1(a＞0且a≠1) B．y＝loga(2x)(a＞0且a≠1) C．y＝loga－1x(a＞1且a≠2) D．y＝logax(a＞0且a≠1) CD　[由对数函数定义进行判断，只有C，D正确，本题要紧扣定义解题．] √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 2．函数f (x)＝＋lg (5－3x)的定义域是(　　) A． B． C． D． √ C　[由得 即1≤x<．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 3．若a＝log0.20.3，b＝log26，c＝log0.24，则a，b，c的大小关系为________． b>a>c　[因为f (x)＝log0.2x为减函数，且0.2<0.3<1<4， 则log0.20.2>log0.20.3>log0.21>log0.24， 即1>a>0>c． 同理log26>log22＝1，可知b＞a＞c．] b>a>c 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 类型1　利用对数函数的单调性比较大小 【例1】　【链接教材P26例1】 比较下列各题中两个数的大小： (1)log25.3，log24.7；(2)log0.27，log0.29；(3)log3，log3；(4)loga3.1，loga5.2(a＞0且a≠1)． 关键能力·合作探究释疑难 4.2.3　对数函数的性质与图象 [解]　(1)因为2＞1，所以函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数． 由5.3＞4.7，得log25.3＞log24.7． (2)因为0＜0.2＜1，所以函数y＝log0.2x在定义域(0，＋∞)上是减函数． 由7＜9，得log0.27＞log0.29． (3)因为3＞1，所以函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)上是增函数． 由＞3，得log3＞log33＝1． 同理可得1＝log＞log3． 因此log3＞log3． (4)对数函数的单调性取决于其底数是大于1还是大于0且小于1，而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大，因此需要对底数进行分类讨论． 当a＞1时，函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上是增函数，此时由3.1＜5.2，得loga3.1＜loga5.2； 当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上是减函数，此时由3.1＜5.2，得loga3.1＞loga5.2． 【教材原题·P26例1】 例1　比较下列各题中两个值的大小： (1)log0.33与log0.35； (2)ln 3与ln 3.001； (3)log70.5与0． [解]　(1)因为0＜0.3＜1，所以y＝log0.3x是减函数，又因为3＜5， 所以 log0.33＞log0.35． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 (2)因为e＞1，所以y＝ln x是增函数， 又因为3＜3.001，所以 ln 3＜ln 3.001． (3)因为7＞1，所以y＝log7x是增函数，又因为log71＝0，而且0.5＜1，所以 log70.5＜log71＝0． 发现规律　比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的______． (2)同真数的利用对数函数的____或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找______． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行________． 提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小． 单调性 图象 中间量 分类讨论 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 [跟进训练] 1．(1)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　) A．a＜c＜b　　 B．a＜b＜c C．b＜c＜a　　 D．c＜a＜b (2)设a＝log32，b＝log2，c＝2log32，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 (1)A　(2)B　[(1)因为a＝log323＜log39＝＝c，b＝log533＞log525＝＝c，所以a＜c＜b． (2)因为0＝log31＜a＝log32＜log33＝1， b＝log2＜log21＝0，c＝2log32＝log34＞1，所以a，b，c的大小关系为b＜a＜c．] 类型2　对数函数的定义域、值域问题 【例2】　【链接教材P27例3】 (1)求下列函数的定义域： ①y＝； ②f (x)＝． (2)求下列函数的值域： ①y＝log2(x2＋4)；②y＝lo(3＋2x－x2)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 [思路导引]　(1)对数函数的性质⇒构建不等式组⇒解不等式组． (2)利用函数的单调性及真数取值范围求解． [解]　(1)①由题意得即解得x≤1． 故函数y＝的定义域为(－∞，1]． ②由得x<4且x≠3． 故函数f (x)＝的定义域为(－∞，3)∪(3，4)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 (2)①因为t＝x2＋4≥4，且y＝log2t为增函数， 所以y＝log2(x2＋4)≥log24＝2． 即函数y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)． ②因为t＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4， 且y＝lot为减函数， 所以lo(3＋2x－x2)≥lo4＝－2． 即函数y＝lo(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)． [母题探究] (变条件)把本例(1)①函数变成“y＝”，结果如何？ [解]　由题意可知所以 所以即1≤x<2． 故函数y＝的定义域为[1，2)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 【教材原题·P27例3】 例3　求下列函数的定义域； (1)y＝lg (4－x)；(2)y＝ln x2． [解]　(1)因为y＝lg (4－x)有意义的充要条件是4－x＞0，即x＜4，所以所求定义域为(－∞，4)． (2)因为y＝ln x2有意义的充要条件是x2＞0，即x≠0，所以所求定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 反思领悟　1．求与对数函数有关的定义域时应注意的两点 (1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法，如分式分母不为零，偶次根式被开方式大于或等于零等． (2)遵循对数函数自身的要求：一是真数大于零；二是底数大于0且不等于1；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 2．求函数值域的方法 (1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法． (2)求对数型复合函数的最大值、最小值问题，有些需要转化为求二次函数最值的问题．求二次函数的最值常用配方法，配方时应注意自变量的取值范围． (3)形如y＝logaf (x)(a>0且a≠1)的复合函数的值域的求解步骤：①分解成y＝logau，u＝f (x)两个函数；②求f (x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 [跟进训练] 2．(1)函数f (x)＝－log2x的定义域为(　　) A．(0，2] B．(－∞，2) C．(－∞，0)∪(0，2] D．[2，＋∞) (2)已知f (x)＝loga(2－x)＋loga(4＋x)(a＞0且a≠1)． ①求函数f (x)的定义域、值域； ②若函数f (x)有最小值－4，求a的值． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 (1)A　[由题意得解得0＜x≤2，∴f (x)的定义域为(0，2]．故选A．] (2)[解]　①由题意得解得－4＜x＜2， 所以函数的定义域为(－4，2)； f (x)＝loga(2－x)＋loga(4＋x)＝loga[－(x＋1)2＋9]， 所以当0<a<1时，f (x)＝loga[－(x＋1)2＋9]≥loga9， 当a>1时，f (x)＝loga[－(x＋1)2＋9]≤loga9． 综上所述，当0<a<1时，函数的值域为[loga9，＋∞)； 当a>1时，函数的值域为(－∞，loga9]． ②由①可知，若函数有最小值－4， 则0＜a＜1且loga9＝－4， 所以a-4＝9，所以a＝． 类型3　对数函数的图象问题 【例3】　(1)y＝ln (1－x)的图象大致为(　　) √ A　　　　B　　　　C　　　　D (2)已知f (x)＝loga|x|，满足f (－5)＝1，试画出函数f (x)的图象． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 (1)C　[由1－x＞0知x＜1，排除A，B；函数在定义域(－∞，1)上为减函数，故选C．] (2)[解]　因为f (－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5， 故f (x)＝log5|x|＝ 所以函数y＝log5|x|的图象如图所示． [母题探究] 1．(变结论)本例(2)条件不变，试写出函数f (x)＝loga|x|的值域及单调区间． [解]　由本例(2)的图象知f (x)的值域为R，单调递增区间为(0， ＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 2．(变条件)若把本例(2)中的函数改为y＝log5|x＋1|，请画出它的图象． [解]　利用图象变换来解题，画出函数y＝log5|x|的图象，将函数y＝log5|x|的图象向左平移1个单位长度，即可得函数y＝log5|x＋1|的图象，如图中实线部分所示． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 3．(变条件、变结论)若把本例(2)中的函数改为y＝logb(x－1)(b＞0且b≠1)，试求该函数图象恒过的定点． [解]　令x－1＝1，得x＝2，又y＝logb1＝0，故该函数图象恒过定点(2，0)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 反思领悟　1．画对数函数图象时要注意的问题 (1)明确图象位置：对数函数图象都在y轴右侧，当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交． (2)强化讨论意识：画对数函数图象之前要对底数a的取值范围是a>1，还是0<a<1进行判断． (3)牢记特殊点：对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象经过点(1，0)，(a，1)和． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 2．常见的函数图象的变换技巧 (1)y＝f (x)y＝f (|x|)． (2)y＝f (x)y＝|f (x)|．　 (3)y＝f (x)y＝f (－x)． (4)y＝f (x)y＝－f (x)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 类型4　对数函数性质的综合应用 【例4】　已知函数f (x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a＞0且a≠1)． (1)求f (x)的定义域； (2)判断f (x)的奇偶性并予以证明； (3)当a>1时，求使f (x)>0的x的取值范围． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 [解]　(1)f (x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)， 则解得－1<x<1，故所求函数的定义域为(－1，1)． (2)f (x)为奇函数．证明如下： 由(1)知f (x)的定义域为(－1，1)， 且f (－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x) ＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f (x)， 故f (x)为奇函数． (3)因为当a>1时，f (x)在定义域(－1，1)上是增函数， 所以由f (x)>0，得loga(x＋1)－loga(1－x)＞0，即loga(x＋1)＞loga(1－x)， 即x＋1>1－x，解得0<x<1． 所以使f (x)>0的x的取值范围是(0，1)． 反思领悟　解决对数函数综合问题的方法 对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算，解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 [跟进训练] 3．已知f (x)＝log4(4x－1)． (1)求f (x)的定义域； (2)讨论f (x)的单调性； (3)求f (x)在区间上的值域． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 [解]　 (1)由4x－1＞0，解得x＞0， 因此f (x)的定义域为(0，＋∞)． (2)设任意0<x1<x2，则－1， 因此， 即f (x1)＜f (x2)，故f (x)在(0，＋∞)上单调递增． (3)由(2)知f (x)在区间上单调递增， 又f ＝0，f (2)＝log415， 因此f (x)在上的值域为[0，log415]． 1．函数f (x)＝－lg (1－x)的定义域为(　　) A．[－2，1]　　　　　　 B．[－2，1) C．(－2，1) D．[－2，＋∞) 学习效果·课堂评估夯基础 √ B　[由题意得解得－2≤x＜1．] 4.2.3　对数函数的性质与图象 2．对数函数y＝logax与y＝logbx的图象如图，则(　　) A．a＜0，b＜0 B．a＜0，b＞0 C．0＜a＜1，b＞1 D．0＜a＜1，0＜b＜1 √ C　[由对数函数的图象与性质的关系可知，0＜a＜1，b＞1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 3．函数f (x)＝log2(3x＋1)的值域为(　　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) √ A　[∵3x＞0，∴3x＋1＞1，∴log2(3x＋1)＞0． ∴函数f (x)的值域为(0，＋∞)．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 4．函数f (x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝______． 1　[由题意知，a2－a＋1＝1，解得a＝1或a＝0． 又a＋1＞0，且a＋1≠1，所以a＝1．] 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．如何判断一个函数是不是对数函数？ [提示]　判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a＞0且a≠1)这种形式． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 2．如何确定函数y＝logaf (x)的单调性？ [提示]　函数y＝logaf (x)可看成是由y＝logau与u＝f (x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断y＝logaf (x)的单调性．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．已知函数f (x)＝则f 的值为(　　) A． C．3 D．5 课时分层作业(六)　对数函数的性质与图象 51 B　[∵＞0，∴f ＝log2＝－1， ∴f ＝f (－1)， 又∵－1＜0，∴f (－1)＝2-1＋1＝， ∴f ＝．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．(教材P29习题4－2AT7(4)改编)函数f (x)＝的定义域是(　　) A．[4，＋∞) B．(10，＋∞) C．(4，10)∪(10，＋∞) D．[4，10)∪(10，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 53 D　[由题意得解得 ∴x≥4且x≠10， ∴函数f (x)的定义域为[4，10)∪(10，＋∞)． 故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 3．函数y＝lg (x＋1)的图象大致是(　　) √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　　　　B　　　　C　　　　D C　[由底数大于1可排除A，B，y＝lg (x＋1)可看作是y＝lg x的图象向左平移1个单位长度．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 55 √ 4．函数f (x)＝|lox|的单调递增区间是(　　) A． B．(0，1] C．(0，＋∞) D．[1，＋∞) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[f (x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 56 √ 5．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就．其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”．已知正整数N的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值(精确到0.001)，可得N的值为(　　) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 M 2 3 7 11 13 lg M 0.301 0.477 0.845 1.041 1.114 A．13 B．14 C．15 D．16 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 57 C　[由题意知，N的70次方为一个83位数，所以N70∈(1082，1083)，则lg 1082＜lg N70＜lg 1083，即82＜70lg N＜83，整理得1.171＜lg N＜1.186，根据表格可得lg 14＝lg 2＋lg 7＝1.146＜1.171，lg 16＝4lg 2＝1.204＞1.186，所以lg N＝lg 15，即N＝15．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 58 二、填空题 6．函数f (x)＝loga(3x－2)＋2(a＞0且a≠1)恒过定点________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (1，2)　[f (x)＝loga(3x－2)＋2， 因为f (1)＝loga1＋2＝2， 所以f (x)恒过点(1，2)．] (1，2) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 59 7．已知函数f (x)＝若f (m)＝，则m＝___________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 或－lg 2　[由题意，得或 所以m＝或m＝－lg 2．] 或－lg 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 60 8．函数y＝log0.3(－x2＋5x－6)的单调递增区间是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[由题意得－x2＋5x－6>0，得2<x<3，函数u＝－x2＋5x－6(2<x<3)在上单调递增，在上单调递减，函数y＝log0.3u在定义域内单调递减， 所以函数y＝log0.3(－x2＋5x－6)的单调递增区间是．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 61 三、解答题 9．已知f (x)＝(logmx)2＋2logmx－3(m＞0且m≠1)． (1)当m＝3时，解不等式f (x)＜0； (2)若f (x)＜0在[2，4]上恒成立，求实数m的取值范围． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)当m＝3时，由f (x)<0，得(log3x)2＋2log3x－3＜0， 即－3＜log3x＜1，∴＜x＜3， ∴不等式的解集为． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 62 (2)由f (x)<0在[2，4]上恒成立，得－3<logmx<1在[2，4]上恒成立． ①当m>1时，由得m>4； ②当0＜m＜1时，由得0＜m＜． 故实数m的取值范围为∪(4，＋∞)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 63 √ 10．(多选)函数f (x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，那么(　　) A．f (x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值 B．f (x)在(1，＋∞)上单调递减且无最小值 C．f (x)在定义域内是偶函数 D．f (x)的图象关于直线x＝1对称 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 64 AD　[∵函数f (x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数， 由于当x∈(0，1)时，令u＝|x－1|＝－x＋1，在(0，1)上是减函数，由复合函数的单调性可得a>1， 从而函数f (x)＝loga|x－1| ＝作出函数f (x)的草图，如图， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 65 由图象可得： A．f (x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值，正确； B．f (x)在(1，＋∞)上单调递减且无最小值，不正确； C．∵函数f (x)的图象关于y轴不对称，∴f (x)在定义域内不是偶函数，故C不正确； D．f (x)的图象关于直线x＝1对称，正确．故选AD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 11．函数y＝logax＋ax-1＋2(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(k，b)，若m＋n＝b－k且m＞0，n＞0，则的最小值为(　　) A．9 B．8 C． D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 67 B　[函数y＝logax＋ax-1＋2(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(1，3)，所以m＋n＝3－1＝2， 2＝(m＋n)＝10＋≥10＋2＝16， ∴2≥16，∴≥8，当且仅当＝，即n＝，m＝时等号成立．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 68 12．已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数， f ＝0，则不等式f (lox)>0的解集为__________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ∪(2，＋∞)　[∵f (x)是R上的偶函数， ∴它的图象关于y轴对称． ∵f (x)在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x)在(－∞，0)上为减函数， ∪(2，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 69 作出函数图象如图所示． 由f ＝0，得f ＝0． 由f ＝0，得f ＝0． ∴f (lox)>0⇒lo⇒x>2或0<x<， ∴x∈∪(2，＋∞)．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 70 13．已知f (x)＝是(－∞，＋∞)上的减函 数，那么实数a的取值范围是__________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[因为f (x)＝ 是(－∞，＋∞)上的减函数，所以 解得≤a＜，所以实数a的取值范围为．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 71 14．已知f (x)＝loga(a－ax)(a＞1)． (1)求f (x)的定义域和值域； (2)判断并证明f (x)的单调性． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)由a＞1，a－ax＞0，即a＞ax，得x＜1．故f (x)的定义域为(－∞，1)．由0＜a－ax＜a， 可知loga(a－ax)＜logaa＝1． 故函数f (x)的值域为(－∞，1)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 72 (2)f (x)在(－∞，1)上为减函数，证明如下： 任取1＞x1＞x2，又a＞1， ， ， 即f (x1)＜f (x2)， 故f (x)在(－∞，1)上为减函数． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 73 15．已知函数f (x)＝lg (ax2＋2x＋1)． (1)若f (x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)若f (x)的值域为R，求实数a的取值范围． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.2.3　对数函数的性质与图象 74 [解]　(1)若f (x)的定义域为R，则关于x的不等式ax2＋2x＋1>0的解集为R． 当a＝0时，x>－，这与x∈R矛盾，∴a≠0， 因此，不等式需满足解得a>1． ∴实数a的取值范围是(1，＋∞)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 75 (2)若f (x)＝lg (ax2＋2x＋1)的值域为R， 设t＝ax2＋2x＋1的值域为A，则(0，＋∞)⊆A， ①当a＝0时，t＝2x＋1，与题意相符； ②当a≠0时，结合二次函数的性质， 得解得0<a≤1． 综上所述，实数a的取值范围是[0，1]． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 76 $