4.7 数学建模活动：生长规律的描述（教学课件）高一数学人教B版必修第二册

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.7 数学建模活动：生长规律的描述 4.7 数学建模活动：生长规律的描述 【新教材】人教B版·高一必修第二册 学 习 目 标 1 2 回顾指数、对数、幂函数的增长特征，知道线性、指数、对数模型分别适合描述哪一类生长变化； 掌握数学建模完整流程：提出问题 → 收集整理数据 → 画散点图 → 选择函数模型 → 求参数 → 检验模型 → 修正模型； 能结合实际生长案例，借助函数模型对生长趋势做简单预测，理解模型参数的实际含义。 教学重点：完整经历数学建模活动，用函数描述生长规律。 教学难点：依据散点图选择合适函数模型，以及模型的检验、优化。 同学们，自然界里随处可见生长现象：细菌不断分裂增殖、树苗逐年长高、动植物体重随时间变化。大家观察思考： 生物生长 •细菌数量短时间快速倍增，这种增长是匀速的吗？用一次函数能描述吗？ •树苗长高到一定阶段，生长速度慢慢放缓，不再无限长高，这时指数模型还适用吗？ 同样是"生长"，不同事物的增长节奏差别很大。前面我们已经对比过线性、指数、对数函数的增长快慢，今天我们不再单纯研究函数图像性质，而是用数学建模的方法，用函数去描述真实的生长数据，预测生长趋势。 我们将以一组实际生长数据为载体，一起完成一次完整的数学建模活动。 目标一：如何描述生长规律 1.发现问题、提出问题 知识讲解 互动探究 新课引入 生物的生长发育是一个连续的过程，但不同的时间段可能有不同的增长速度。 卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国7岁以下女童身高（长）的中位数如下表所示（0岁指刚出生时）： 年龄/岁 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 身高/cm 49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3 年龄/岁 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 身高/cm 99.4 103.1 106.7 110.2 113.5 116.6 119.4 这些数据可以用下图表示。 从数据和图都可以看出，我国7岁以下女童身高的增长速度越来越慢。 5 1.发现问题、提出问题 知识讲解 互动探究 新课引入 再例如，农业专家在研究某地区玉米在不同生长阶段的植株高度时，得到了以下数据： 这些数据可以用下图直观表示。 从具体的数据和图都可以看出，玉米植株高度的增长，具有先慢后快、然后由变慢的规律。 能否利用数学语言来描述类似的生长规律呢？ 生长阶段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 植株高度/cm 0.67 1.75 3.69 7.73 16.55 32.55 53.38 97.46 153.6 174.9 180.79 6 2.分析问题、建立模型 知识讲解 互动探究 新课引入 要描述生长规律，实际上是要描述当一个量（记为 x）变化时，另外一个量（记为 y）会怎样变化。例如，随着年龄的增长，身高将怎样变化；随着生长阶段的不同，植株高度会怎样变化；等等。 不难想到，我们可以借助函数 y=f(x) 来描述生长规律。 因为从生长规律来说，当 x 增大时，y 是增大的，这说明函数 y=f(x) 在指定的范围内应该是增函数；又因为不同的时间段有不同的增长速度，所以函数 y=f(x) 不能是一次函数。 为了简单起见，可以假设函数的变量 x,y 都是连续变化的（也就是说可以取某个区间内的任意值）。 当然，根据不同对象的生长规律，可以选择不同的函数形式。 例如，对于前述我国7岁以下女童身高来说，考虑到增长速度一开始比较快，后来慢慢变缓，而我们熟悉的函数中，幂函数 y= 具有这种性质，因此生长规律可用 g(x)=+b 来描述。 7 2.分析问题、建立模型 知识讲解 互动探究 新课引入 类似地，对于前述玉米植株高度来说，因为增长速度一开始比较慢，后来逐渐加快，而我们熟悉的函数中，指数函数 y= (a>1) 具有这种性质，所以生长规律可用 h(x)= 来描述。 8 3.确定参数、计算求解 知识讲解 互动探究 新课引入 对于描述我国7岁以下女童身高的函数 g(x)=a+b 来说，为了确定 a,b 的值，可以在已有的数据中选择两对代入函数式，然后列方程组求解。 例如，如果选择的是 g(0)=49.7 与 g(4)=103.1，则有 由此可解得 a=26.7,b=49.7，所以 g(x)=26.7+49.7。 类似地，也可选择已有数据中的两对来确定函数 h(x)=a 中的 a,b。 例如，如果选择的是 h(2)=1.75 与 h(8)=97.46，则有 由此可解得 a≈0.458,b≈0.670，所以 h(x)=0.458。 9 4.验证结果、改进模型 知识讲解 互动探究 新课引入 因为在求解时，我们都只用到了部分已有的数据，所以可以利用其他数据来检验所建立模型的优劣。 例如，对于描述我国7岁以下女童身高的函数 g(x)=26.7+49.7 来说，计算函数值，可以得到以下数据的对比表。 由表可以看出，误差都在 2cm 以内，因此 g(x)=26.7+49.7 能够较好地反映我国7岁以下女童身高的生长规律。 年龄/岁 0.5 1 1.5 2 2.5 3 身高/cm 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3 68.6 76.4 82.4 87.5 91.9 95.9 年龄/岁 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 身高/cm 99.4 106.7 110.2 113.5 116.6 119.4 119.4 99.7 106.3 109.4 112.3 115.1 117.8 117.8 10 4.验证结果、改进模型 知识讲解 互动探究 新课引入 对于玉米植株高度函数 h(x)=0.458 来说，可以算得函数值的对应表如下。 不难看出，在前面 7 个阶段内，h(x) 的函数值与实际值之间的误差不大，但是第 9~11 阶段就不一样了。 这种现象实际上是可以预料到的。因为指数函数 h(x)= 0.458 的增长速度会越来越快，这就意味着这个函数一定不能反映出植株高度的实际增长规律（即先慢后快，然后由变慢）。 生长阶段 1 3 4 5 6 7 9 10 11 植株高度/cm 0.67 3.69 7.73 16.55 32.55 53.38 153.6 174.9 180.79 0.90 3.42 6.68 13.05 25.51 49.85 190.40 372.08 727.14 11 目标二：典型例题 指数衰减模型 例1 一种放射性元素，最初质量为500g，按每年10%衰减。求 t 年后质量 w 的表达式，并计算半衰期（精确到0.1年）。 典例分析 牛刀小试 分析与解答： 建立模型：每年衰减10%，意味着每年剩余前一年的90%。这是一个典型的指数衰减模型。经过 年，剩余质量 。 求解半衰期：半衰期即质量衰减到初始值一半（250g）所需的时间。令 ，得 。两边取常用对数，，解得 年。 对数模型 例2 鲑鱼的游速 v（m/s）与耗氧量单位数 θ 满足函数 。求耗氧量为900单位时的游速；若游速提高1 m/s，耗氧量变为原来的多少倍？ 典例分析 牛刀小试 分析与解答： 直接计算：代入 ， m/s。 * 逆推倍数：设原游速为 ，耗氧量为 ；新游速 ，耗氧量为 。两式相减：。则 ，解得 。耗氧量变为原来的9倍。 模型选择与检验 例3 某地CO₂浓度增加量 y 与年份增加数 x 的数据如下：x=1 时 y=1，x=2 时 y=3，x=3 时 y=6。现有两个模拟函数：二次函数 y=p+qx+r 或指数型函数 y=a⋅+c。已知 x=4 时实际增加量为16.5。问哪个函数模拟效果更好？ 典例分析 牛刀小试 分析与解答： 求解二次函数：将三组数据代入 ，解方程组得 。当 时，预测值 。 求解指数函数：将数据代入 ，解方程组可得 。当 时，预测值 。 比较检验：实际值为16.5。二次函数预测值10（误差6.5），指数函数预测值40（误差23.5）。因此，二次函数模型在此处模拟效果更好。 目标三：针对训练 举一反三 1.植物研究者在研究某种植物5年内的植株高度时，将得到的数据用下图直观表示。现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在5年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是（） A. B. C. D. 解析： 由散点图可知，植株高度增长越来越缓慢，故选择对数型函数模型。 故选B。 举一反三 2.下列函数关系中，可以看作是指数型函数模型 的是（） A. 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） B. 我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数随年份的变化关系 C. 如果某人 s 内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度 与时间 的函数关系 D. 信件的邮资与其质量间的函数关系 解析： A，竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系是二次函数关系； B，我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数随年份的变化关系是指数型函数关系； C，如果某人 s 内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度 与时间 的函数关系是反比例函数关系； D，信件的邮资与其质量间的函数关系一般是分段函数关系，且每段都是常数函数。故选B。 举一反三 3.杭州亚运会火炬如图①所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图②所示的几何体。假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为 ，则 关于时间 的函数的大致图象可能是（） 解析： 由题图可知，该火炬中间细，两端粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快，燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢，结合所给的函数图象，A选项较为合适，故选A。 举一反三 4.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据。 解析： 对于A选项，当 时，对应的 值分别为10，20，30，40，50； 对于B选项，当 时，对应的 值分别为10，20，40，70，110； 对于C选项，当 时，对应的 值分别为10，20，，30，； 对于D选项，当 时，对应的 值分别为10，20，40，80，160，而表中所给的 第 天 1 2 3 4 5 被感染的计算机数量 （台） 10 20 39 81 160 则下列函数模型中，能较好地反映计算机在第 天被感染的数量 与 之间的关系的是（） A. B. C. D. 举一反三 4.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据。 数据，当 时，对应的 值分别为10，20，39，81，160，通过比较，发现选项D中 的值与表格中 的值误差最小，即 能更好地反映 与 之间的关系。故选D。 第 天 1 2 3 4 5 被感染的计算机数量 （台） 10 20 39 81 160 则下列函数模型中，能较好地反映计算机在第 天被感染的数量 与 之间的关系的是（） A. B. C. D. 举一反三 5.一种细胞的分裂速度 （单位：个/秒）与其年龄 （单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示： 其中 ，而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的。若这种细胞在5岁和60岁时的分裂速度相等，则 （） A. 6.402 B. 6.462 C. 6.502 D. 6.522 解析： 由细胞在5岁和60岁时的分裂速度相等，即 ， 所以 ，整理得 ，又分裂速度变化是连续的， 则 ，整理得 ， 所以 ， 解得 。故选B。 目标四：小结 学海拾贝 本节课我们完成了一次数学建模实践，梳理核心要点： 1.建模基本步骤：提出实际问题 → 采集整理数据 → 绘制散点图，观察变化趋势 → 选取恰当函数模型 → 求出模型参数 → 检验模型与数据的吻合度 → 若偏差大则调整、更换模型，最后用模型做预测。 2. 模型选择要点：线性模型适合均匀变化；指数模型适合短时间爆发式增长；对数、逻辑增长模型适合增速逐步放缓、趋于饱和的生长现象。没有万能模型，模型只是现实规律的近似。 学海拾贝 3. 重要认识：建模不是算出解析式就结束，检验与修正不可或缺；模型预测有适用范围，超出范围预测会失真。 4. 课后任务：小组自选一个生长问题（比如绿豆发芽、植物生长），收集数据，独立完成一份简短的数学建模研究报告。 【新教材】人教B版·高一必修第二册 感谢聆听! $