4.7 数学建模活动：生长规律的描述 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册

该高中数学课件聚焦“数学建模活动：生长规律的描述”，通过数学建模发展历程及女童身高、玉米植株高度案例导入，连接函数知识，搭建从实际问题到用函数模型描述生长规律的学习支架。 其亮点是以真实数据案例驱动，引导学生经历发现问题、建立函数模型（如幂函数、指数函数）、验证误差的完整建模过程，体现数学眼光（观察数据规律）、数学思维（分析函数选择）、数学语言（构建模型）。采用案例教学与步骤总结，助学生提升建模能力，为教师提供清晰教学流程。

4.7 数学建模活动：生长规律的描述 第四章 作者编号：32200 1.体会人们是如何借助函数刻画实际问题，感悟数学模型中参数的现实意义. 学习目标 作者编号：32200 数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂.经过30多年的发展现在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径.大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例.可以说数学建模竞赛是在美国诞生，在中国开花、结果的. 新课导入 … … … 作者编号：32200 什么是数学建模呢？ 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要过程包括： 1.发现问题、提出问题； 2.分析问题、建立模型； 3.确定参数、计算结果； 4.验证结果、分析模型. 新知探究 … … … 作者编号：32200 生长规律的描述 1.发现问题、提出问题 生物的生长发育是一个连续的过程，但不同的时间段可能有不同的增长速度. 例如，原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国7岁以下女童身高(长)的中位数如下表所示(0岁指刚出生时)，这些数据可用右图所示： 新知探究 … … … 作者编号：32200 从数据和图可以看出，我国7岁以下女童的身高的增长速度越来越慢. 再例如，农业专家在研究某地区玉米在不同生长阶段的植株高度时，得到了以下数据，这些数据可用下图直观表示： 玉米植株高度的增长，具有先慢后快、然后又慢的规律. 作者编号：32200 2.分析问题、建立模型 要描述生长规律，实际上是要描述当一个量(记为x)变化时，另外一个量(记为y)会怎样变化.例如，随着年龄的增长，身高将怎样变化;随着阶段的不同，植株高度将怎样变化;等等. 不难想到，我们可以借助函数y=f(x)来描述生长规律. 因为从生长规律来说，当x增大时，y是增大的，这说明函数y=f(x)在指定的范围内应该是增函数;又因为不同的时间段有不同的增长速度，所以函数y=f(x)不能是一次函数. 为了简单起见，可以假设函数的变量x，y都是连续变化的(也就是说可以取某个区间内的任意值). 作者编号：32200 当然根据不同对象的生长规律，可以选择不同的函数形式. 例如，对于前述我国7岁以下女童身高来说，考虑到生长速度一开始比较快，后来慢慢变缓慢，而我们熟悉的函数中，幂函数y=具有这样的性质，因此，生长规律可用g(x)=a+b来描述. 类似地，对于前述玉米植株高度来说，增长速度一开始比较慢，后来逐渐加快，而我们熟悉的函数中，指数函数y=ax(a>1)具有这种性质，因此生长的规律可用h(x)=aebx来描述. 作者编号：32200 3.确定参数、计算结果 对于描述我国7岁以下女童身高的函数g(x)=a+b来说，为了确定a、b的值可以在已有的数据中选择两对代入函数式，然后列方程组求解. 例如，如果选择的是g(0)=49.7与g(4)=103.1，则有 由此可解得，a=26.7，b=49.7，所以 g(x)=26.7+49.7. 作者编号：32200 类似地，也可选择已有数据中的两对，来确定函数h(x)=aebx中的a、b. 例如，如果选择的是h(2)=1.75与h(8)=97.46，则有 由此可解得，a≈0.458，b≈0.670，所以h(x)=0.45e0.670x. 作者编号：32200 4.验证结果、分析模型 因为在求解时，我们都只用到了部分已有的数据，因此可以利用其他数据来检验所建立模型的优劣. 例如，对于描述我国7岁以下女童身高的函数g(x)=26.7+49.7来说， 计算函数值，可以得到以下数据的对比表： 由表可以看出，误差都在2cm以内，因此g(x)=26.7+49.7能够较好的反映我国7岁以下女童的身高生长规律. 作者编号：32200 根据玉米植株高度函数h(x)=0.45e0.670x来说，可以得到以下数据的对比表： 不难看出，在前面7个阶段内，h(x)的函数值与实际值之间的误差不大，但是第9-11阶段就不一样了. 这种现象实际上是可以预料到的，因为指数函数h(x)=0.45e0.670x的增长速度会越来越快，这就意味着这个函数一定不能反映出其实际增长规律(即先慢后快，然后又变慢). 作者编号：32200 数学模型的步骤： 1.发现问题、提出问题; 2.分析问题、建立模型; 3.确定参数、计算结果; 4.验证结果、分析模型. 课堂总结 … … … 作者编号：32200 $